ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΟΤ

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΟΤ ΣΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΔΙΟΙΚΗΗ & ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΚΗ ΣΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι 6 Δεκεμβρύου 2015

ΕΙΑΓΩΓΗ Με την παραγώγιςη μιασ ςυνϊρτηςησ ϋςτω F(x) παύρνουμε μια ϊλλη ςυνϊρτηςη, ϋςτω την f(x), που ονομϊζεται παράγωγοσ ςυνάρτηςη και που εκφρϊζει την ταχύτητα ό τον οριακό ό τον ςτιγμιαύο ρυθμό μεταβολόσ τησ F(x). Έτςι η παραγώγιςη μασ δύνει την δυνατότητα να βρύςκουμε: τισ ςυναρτόςεισ των οριακών οικονομικών μεγεθών από τισ αντύςτοιχεσ ςυναρτόςεισ των ολικών οικονομικών μεγεθών, όπωσ τη ςυνϊρτηςη του οριακού κόςτουσ από την αντύςτοιχη ςυνϊρτηςη του ολικού κόςτουσ, τη ςυνϊρτηςη των οριακών κερδών από την αντύςτοιχη ςυνϊρτηςη των ολικών κερδών, κλπ.

Ειςαγωγό ε πολλϋσ όμωσ εφαρμογϋσ χρειϊζεται να εφαρμόςουμε την ακριβώσ αντιςτροφη διαδικαςύα, οπού γνωρύζουμε ό μασ δύνεται η ςυνϊρτηςη του οριακού οικονομικού μεγϋθουσ και μασ ζητϊται να βρούμε την αντύςτοιχη ςυνϊρτηςη του ολικού οικονομικού μεγϋθουσ. Η διαδικαςύα αυτό προςδιοριςμού των ςυναρτόςεων, των οπούων οι παρϊγωγοι δύνονται, αποτελεύ μϋροσ τησ μαθηματικόσ ανϊλυςησ που ονομϊζεται ολοκλήρωςη. Με την ολοκλόρωςη μιασ ςυνϊρτηςησ βρύςκουμε όλεσ τισ ςυναρτόςεισ, που την ϋχουν ωσ παρϊγωγο και που ονομϊζονται αντιπαράγωγοι ό αόριςτα ολοκληρώματα.

Ειςαγωγό Προκύπτει λοιπόν, ότι η ολοκλόρωςη και η παραγώγιςη εύναι πρϊξεισ αλληλοαναιρούμενεσ όπωσ ακριβώσ το ϊνοιγμα και το κλεύςιμο μιασ πόρτασ, η πρόςθεςη και η αφαύρεςη, κ.λ.π την οικονομικό επιςτόμη όπωσ θα δούμε, ο ολοκληρωτικόσ λογιςμόσ παρουςιϊζει πολλϋσ ποικύλεσ και ενδιαφϋρουςεσ εφαρμογϋσ. Ο προςδιοριςμόσ του πλεονϊςματοσ του παραγωγού ό του καταναλωτό υπολογύζται ωσ το εμβαδόν κϊτω από τισ καμπύλεσ προςφορϊσ ό ζότηςησ. Με την ολοκλόρωςη τησ ςυνϊρτηςησ ενόσ οριακού οικονομικού μεγϋθουσ παύρνουμε τισ ςυναρόςεισ του αντύςτοιχου ολικού οικονομικού μεγϋθουσ.

ΑΟΡΙΣΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ονομϊζεται αόριςτο επειδό δεν αναφϋρεται ςε μια ςυγκεκριμϋνη τιμό αλλϊ αορύςτωσ ςε μια οικογϋνεια ςυναρτόςεων. υμβολύζεται : f x dx = F x + C όταν F x = f x, C R. Σο F x + C ονομϊζεται αόριςτο ολοκλόρωμα. Η f(x) ονομϊζεται ολοκληρωτϋα ςυνϊρτηςη και η C ςταθερϊ ολοκλόρωςησ. Η F(x) ονομϊζεται αντιπαρϊγωγοσ ό παρϊγουςα ςυνϊρτηςη.

ΑΟΡΙΣΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΒΑΙΚΩΝ 0dx = 0 + C, 1dx = x + C, ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ Κανόνασ δύναμησ αντιπαραγώγων: x α dx = xa+1 + C, x + a+1 x2 dx = x2 + x3 2 3 Γενικευμένοσ Κανόνασ δύναμησ αντιπαραγώγων: f x f(x) a dx = 1 a + 1 f(x) a+1 + C Γραμμικότητα ολοκληρωμάτων: αf x dx = a f x dx, α ςταθερϊ f x ± g x dx = f x dx + g x dx

ΑΟΡΙΣΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ - ΕΚΘΕΣΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ 1 dx = ln x + C, x > 0 και 1 dx = ln x + C, x 0 x x f (x) f(x) dx = ln f x + C, αν f x > 0 και f (x) f(x) dx = ln f x + C, αν f x 0 e x dx = e x + C, e ax dx = 1 a eax + C Για α > 0, α kx = e xklna, αν ln a 0 a 1 τοτε α kx dx = e xklna dx = 1 klna exklna + C = 1 klna αkx + C

ΟΡΙΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Εμβαδόν ενόσ γεωμετρικού τόπου που φρϊςςεται από ϋνα ςύνολο καμπυλών. Αν f(x) η ςυνϊρτηςη ενόσ οριακού οικονομικού μεγϋθουσ, για να βρούμε τη μεταβολό ςτη τιμό τησ ςυνϊρτηςησ F(x) του αντύςτοιχου ολικού μεγϋθουσ, όταν η τιμό τησ x μεταβϊλλεται από το ςημεύο x = α ςτο ςημεύο x = β, θα πρϋπει να βρούμε τη ςυνϊρτηςη ολικού μεγϋθουσ, δηλαδό ϋνα αόριςτο ολοκλόρωμα f x dx = F x + C και να αφαιρϋςουμε την F(α) από την F(β), δηλαδό: F β + C F a + C = F β F a - ΟΡΙΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ β υμβολύζεται: f x dx, όπου α: κατώτερο όριο, β: ανώτερο α όριο, [α, β]: διϊςτημα ολοκλόρωςησ, x: μεταβλητό ολοκληρωςησ.

Αν μια ςυνϊρτηςη f(x) εύναι ςυνεχόσ ςτο διϊςτημα [α, β] και F(x)+C ϋνα οποιοδόποτε αόριςτο ολοκλόρωμα τησ ςτο [α, β], τότε: β α f x dx = F x β α = F x β α = [F x ] β = F β α F(a) Αν το αόριςτο ολοκλόρωμα εύναι μια ςυνϊρτηςη, το οριςμϋνο ολοκλόρωμα εύναι ϋνασ αριθμόσ, που εξαρτϊται από τη ςυνϊρτηςη f και το διϊςτημα ολοκλόρωςησ [α, β] και όχι από τη μεταβλητό ολοκλόρωςησ. Σο οριςμϋνο ολοκλόρωμα ορύζεται για κϊθε μύα από τισ ακόλουθεσ περιπτώςεισ α > β, α = β, α < β ωσ εξόσ: γ γ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕ ΘΕΩΡΗΜΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ f x dx) = 0, γ α, β, f x dx = f x dx α β αν και μόνο αν f x dx + f x dx = 0 α β α β β α

ΟΡΙΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ω ΕΜΒΑΔΟΝ Σο εμβαδόν χαρακτηρύζεται από τισ εξόσ δύο βαςικϋσ ιδιότητεσ: i. Σο εμβαδόν εύναι μη αρνητικόσ αριθμόσ ii. Αν Α και Β δύο ξϋνεσ μεταξύ τουσ περιοχϋσ με γνωςτϊ τα εμβαδϊ τουσ, τότε ιςχύει η προςθετικό ιδιότητα: Σο ςυνολικό εμβαδόν των Α και Β = Εμβαδόν τησ Α + Εμβαδόν τησ Α Εμβαδόν Ε(X): β α f x dx = E(x) β a = Ε β Ε(α)

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ KATA RIEMANN Έςτω μια ςυνϊρτηςη f οριςμϋνη και φραγμϋνη ςτο κλειςτό διϊςτημα [α, β], το οπούο διαιρεύται ςε n μϋρη, επιλϋγοντασ τα n+1 ςημεύα α = x 0,, x n = β, ϋτςι ώςτε α = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = β. Σο διϊςτημα [α, β] διαιρεύται ςε n διαδοχικϊ υποδιαςτόματα [x i-1, x i ], i = 1, 2,, n μόκουσ δx i = x i x i-1, αντύςτοιχα. Αν επιλϋξουμε ϋνα αυθαύρετο αριθμό ξ i ςε κϊθε διϊςτημα [x i, x i-1 ], τότε το άθροιςμα n f ξ 1 δx 1 + f ξ 2 δx 2 + + f ξ n δx n = i=1 f ξ i δx i Ονομϊζεται άθροιςμα Riemann τησ f ςτο [α, β]. Έςτω ότι το όριο καθώσ n τεύνει ςτο ϊπειρο και ταυτόχρονα ο μεγαλύτεροσ των αριθμών δx 1,, δx n τεύνει ςτο μηδϋν, υπϊρχει. Σότε η f εύναι ολοκληρώςιμη κατϊ Riemann ςτο [α, β] και ιςχύει α β n 1 f x dx = lim f ξ i δx i Η τιμό του ολοκληρώματοσ εύναι ανεξϊρτητη τησ επιλογόσ ξ i. i=1

ΕΜΒΑΔΟΝ ΟΣΑΝ Η f(x) ΕΦΕΙ Όταν η f(x) ϋχει θετικϋσ και αρνητικϋσ τιμϋσ, εφαρμόζουμε την ακόλουθη διαδικαςύα: 1. Βρύςκουμε τισ ρύζεσ τησ f(x) = 0 στο διάστημα [α, β]. 2. Προςδιορύζουμε το πρόςημο τησ f(x) ςε κϊθε υποδιϊςτημα που ορύζεται από τισ ρύζεσ τησ f(x) = 0 και τα τελικϊ ςημεύα α, β και υπολογύζουμε το εμβαδόν, ϋςτω Ε, κϊθε υποπεριοχόσ ςε ϋνα υποδιϊςτημα, ϋςτω [γ, δ] ωσ εξόσ: Ε = δ γ δ γ 3. Αθρούζουμε τα εμβαδϊ. ΑΡΝΗΣΙΚΕ ΣΙΜΕ f x dx αν f(x) 0 f x dx αν f(x) 0

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΗ Η ολοκλόρωςη εύναι μια ουςιωδώσ πιο δύςκολη διαδικαςύα από τη παραγώγιςη. Για παρϊδειγμα, δεν υπϊρχουν κανόνεσ ολοκλόρωςησ γινομϋνου ό πηλύκου ςυναρτόςεων αντύςτοιχοι αυτών τησ παραγώγιςησ. Επιπλϋον, υπϊρχουν ολοκληρώματα που δεν μπορούν να υπολογιςτούν αναλυτικϊ αλλϊ μόνο προςεγγιςτικϊ με αριθμητικϋσ μεθόδουσ. Σεχνικϋσ ολοκλόρωςησ, κϊθε μια από τισ οπούεσ χρηςιμοποιεύ μια ςυνϊρτηςη, η οπούα αναγϊγει την ολοκληρωτϋα ςυνϊρτηςη ςε μια πιο απλό ςυνϊρτηςη τησ οπούασ το ολοκλόρωμα μπορεύ να εύναι τησ μορφόσ που αναλύςαμε παραπϊνω. Οι πιο βαςικϋσ μϋθοδοι εύναι αυτϋσ τησ αντικατάςταςησ, που αποτελεύ το ανϊλογο του αλυςωτού κανόνα τησ παραγώγιςησ, και τησ ολοκλήρωςησ κατά μέρη, που αποτελεύ το ανϊλογο του κανόνα του γινομϋνου τησ παραγώγιςησ. Θα παρουςιϊςουμε μια ακόμη μϋθοδο για ρητϋσ ςυναρτόςεισ γνωςτό ωσ ολοκλήρωςη με μερικά κλάςματα.

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΗ (2) Με αντικατάςταςη: 1. Επιλϋγουμε ϋνα μϋροσ u=g(x) τησ G(x) και υπολογύζουμε το διαφορικό τησ du=g (x)dx. 2. Αντικαθιςτούμε την u και dx = du ςτο G x du και παύρνουμε g (x) το ολοκλόρωμα f u du. 3. Αν το ολοκλόρωμα f u du εύναι απλούςτερο του αρχικού και μπορεύ να υπολογιςτεύ με ϋνα γνωςτό κανόνα πηγαύνουμε ςτο ςημεύο 4 κατωτϋρω. Αν κϊθε δυνατό αντικατϊςταςη ϋχει χρηςιμοποιηθεύ, τερματύζουμε τη διαδικαςύα με την ϋνδειξη ότι δεν μπορεύ να υπολογιςτεύ το ολοκλόρωμα (ύςωσ χρειαςτεύ να εφαρμόςουμε κϊποια ϊλλη μϋθοδο) και επιςτρϋφουμε ςτο ςημεύο 1. 4. Τπολογύζουμε το ολοκλόρωμα f u du = F u + C με ϋνα γνωςτό κανόνα, αντικαθιςτούμε την u με g(x) και παύρνουμε το ολοκλόρωμα G x dx = F g x + C.

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΗ (3) Κατά μέρη ή κατά παράγοντεσ: 1. Επιλϋγουμε τουσ παρϊγοντεσ u και dv. 2. Παραγωγύζουμε την u για να πϊρουμε du και ολοκληρώνουμε την dv για πϊρουμε την v. 3. Αντικαθιςτούμε τισ u, du και v, dv ςτην udv = uv vdu + C. 4. Αν το ολοκλόρωμα vdu ολοκληρώνεται πιο εύκολα από το αρχικό udv, τότε υπολογύζουμε το udv, εφαρμόζουμε την udv = uv vdu + C για πϊρουμε το vdu και τερματύζουμε. 5. Αν κϊθε δυνατό επιλογό χρηςιμοποιόθηκε η διαδικαςύα τερματύζεται με την ϋνδειξη ότι η μϋθοδοσ αυτό αδυνατεύ να βρει το αρχικό ολοκλόρωμα, οπότε χρειϊζεται να εφαρμοςτεύ ϊλλη μϋθοδοσ. Διαφορετικϊ πηγαύνουμε ςτο 1.

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΗ (4) Μέθοδοσ δοκιμήσ και ςφάλματοσ (error and trial method): Εύναι πολλϋσ φορϋσ η πιο αποτελεςματικό μϋθοδοσ. Αυτό ςυμβαύνει όταν γνωρύζουμε με ςχετικϊ καλό προςϋγγιςη τι εύδουσ ςυνϊρτηςη περιμϋνουμε να εύναι η αντιπαρϊγωγοσ. Όταν θϋλουμε να υπολογύςουμε f(x)e ax dx, όπου f(x) εύναι πολυώνυμο n βαθμού χρηςιμοποιούμε ωσ δοκιμαςτικό αντιπαρϊγωγο την (x)e ax όπου h(x) εύναι επύςησ πολυώνυμο n βαθμού.

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΗ (5) Ολοκλήρωςη ρητών ςυναρτήςεων. Μέθοδοσ των μερικών κλαςμάτων Αν ο αριθμητόσ τησ ρητόσ ςυνϊρτηςησ που πρϋπει να ολοκληρωθεύ εύναι f (x) η παρϊγωγοσ του παρανομαςτό τότε ϋχουμε: = ln f(x) + C. ε περύπτωςη που μια ρητό ςυνϊρτηςη δεν μπορεύ να ολοκληρωθεύ ϊμεςα, η μϋθοδοσ των μερικών κλαςμϊτων εύναι ςυχνϊ η πιο κατϊλληλη. Μεταςχηματύζει τη ρητό ςυνϊρτηςη ςε ϋνα ϊθροιςμα απλών ςυναρτόςεων που μπορούν αν ολοκληρωθούν με τισ γνωςτϋσ μεθόδουσ. Μια γνόςια ρητό ςυνϊρτηςη p(x)/q(x), όπου ωσ γνωςτόν ο βαθμόσ του p(x) εύναι μικρότεροσ του βαθμού του q(x) μπορεύ να γραφεύ ωσ ϊθροιςμα ϊλλων κλαςμϊτων που ονομϊζονται μερικϊ κλϊςματα, των οπούων οι παρονομαςτϋσ ϋχουν μικρότερο βαθμό του βαθμού τησ q(x). f(x)

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΗ (6) Ολοκλήρωςη ρητών ςυναρτήςεων. Μέθοδοσ των μερικών κλαςμάτων (2) Η μϋθοδοσ των μερικών κλαςμϊτων εφαρμόζεται μόνο εϊν η ολοκληρωτϋα ςυνϊρτηςη εύναι γνόςιο κλϊςμα. Εϊν όχι, τότε για κϊθε μη γνόςιο κλϊςμα p(x)/q(x) υπϊρχει ϋνα μοναδικό ζεύγοσ πολυωνύμων f(x) και που ικανοποιούν p x r(x) p x = f x q x + r x = f x + q x q(x) Όπου ο βαθμόσ τησ r(x) εύναι μικρότεροσ του βαθμού τησ q(x). Κϊθε πολυώνυμο q(x) με πραγματικούσ ςυντελεςτϋσ μπορεύ να γραφεύ με μοναδικό τρόπο ωσ γινόμενο δυνϊμεων πεπεραςμϋνου αριθμού γραμμικών παραγόντων, δηλαδό τησ μορφόσ αx+β και μη αναγόμενων παραγόντων, δηλαδό τησ μορφόσ αx 2 +βx+γ και μιασ ςταθερϊσ.

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΗ (7) Ολοκλήρωςη ρητών ςυναρτήςεων. Μέθοδοσ των μερικών κλαςμάτων (3) Αν οι παρϊγοντεσ τησ q(x) εύναι γραμμικού ό τετραγωνικού, επαναλαμβανόμενοι ό μη, διακρύνουμε τισ ακόλουθεσ περιπτώςεισ: 1. Γραμμικοί παράγοντεσ κανένασ από τουσ οποίουσ δεν επαναλαμβάνεται: Αν ϋνασ γραμμικόσ παρϊγων αx+β εμφανύζεται μόνο μια φορϊ ωσ παρϊγων του παρανομαςτό q(x), τότε ςτον παρϊγοντα αυτό αντιςτοιχούμε ϋνα μερικό κλϊςμα ςταθερϊ. Α αx+β όπου Α μια μη μηδενικό

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΗ (8) Ολοκλήρωςη ρητών ςυναρτήςεων. Μέθοδοσ των μερικών κλαςμάτων (4) 2. Γραμμικοί παράγοντεσ οριςμένοι από τουσ οποίουσ επαναλαμβάνονται: Αν ϋνασ γραμμικόσ παρϊγων αx+β εμφανύζεται k φορϋσ ωσ παρϊγων του παρανομαςτό q(x), τότε ςτον παρϊγοντα αυτό αντιςτοιχούμε τα k Α μερικϊ κλϊςματα 1 + Α 2 + + Α k αx+β αx+β 2 αx+β k, όπου Α 1,, Α k ςταθερϋσ και Α k 0. 3. Σετραγωνικοί παράγοντεσ κανένασ από τουσ οποίουσ δεν επαναλαμβάνεται: Αν ϋνασ τετραγωνικόσ παρϊγων αx 2 +βx+γ εμφανύζεται μόνο μια φορϊ ωσ παρϊγων του παρανομαςτό q(x), τότε ςτον παρϊγοντα αυτό αντιςτοιχούμε ϋνα μερικό κλϊςμα ςταθερϋσ και που δεν εύναι και οι δύο μηδϋν. Αx+B ax 2 +βx+γ, όπου Α και Β εύναι

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΗ (9) Ολοκλήρωςη ρητών ςυναρτήςεων. Μέθοδοσ των μερικών κλαςμάτων (5) 4. Σετραγωνικοί παράγοντεσ οριςμένοι από τουσ οποίουσ επαναλαμβάνονται: Αν ϋνασ τετραγωνικόσ παρϊγων αx 2 +βx+γ εμφανύζεται k φορϋσ ωσ παρϊγων του παρανομαςτό q(x), τότε ςτον παρϊγοντα αυτό αντιςτοιχούμε τα k μερικϊ κλϊςματα A 1 x + B 1 ax 2 + βx + γ + A 2 x + B 2 ax 2 + βx + γ 2 + + A k x + B k ax 2 + βx + γ k όπου Α 1, Β 1, Α 2, Β 2,, Α k, Β k μηδϋν. ςταθερϋσ και Α k, Β k δεν εύναι και οι δύο

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΗ (10) Ολοκλήρωςη ρητών ςυναρτήςεων. Μέθοδοσ των μερικών κλαςμάτων (6) Εφαρμόζουμε την εξόσ διαδικαςύα για τον υπολογιςμό του ολοκληρώματοσ: 1. Εκφρϊζουμε τον παρονομαςτό τησ ρητόσ ςυνϊρτηςησ ωσ γινόμενο γραμμικών παραγόντων τησ μορφόσ αx+β και ανϊγωγων τετραγωνικών παραγόντων τησ μορφόσ αx 2 +βx+γ. 2. Αναπτύςςουμε τη ςυνϊρτηςη ςε ϊθροιςμα μερικών κλαςμϊτων ςύμφωνα με τισ τϋςςερισ περιπτώςεισ που αναπτύξαμε παραπϊνω. 3. Τπολογύζουμε τισ τιμϋσ των ςταθερών που εμφανύζονται ςτουσ αριθμητϋσ των μερικών κλαςμϊτων, ςύμφωνα με το θεώρημα που λϋει ότι αν δύο πολυώνυμα του ύδιου βαθμού εύναι ταυτόςημα, οι ςυντελεςτϋσ των ύδιων δυνϊμεων τησ μεταβλητόσ και ςτα δύο πολυώνυμα πρϋπει να εύναι ύςοι. 4. Ολοκληρώνουμε τα μερικϊ κλϊςματα με γνωςτϋσ μεθόδουσ.

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕ ΕΥΑΡΜΟΓΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΣΩΝ

υνϊρτηςη κατανομόσ y = f(x), όπου x το ποςοςτό του πληθυςμού και f(x) το ποςοςτό του εθνικού ειςοδόματοσ που λαμβϊνει το ποςοςτό x του πληθυςμού. Επειδό x και y εύναι ποςοςτϊ, ϋχουμε 0 x 1 και 0 y 1. Καμπύλη Lorenz υντελεςτόσ ανιςοκατανομόσ: Ο λόγοσ Ε1/Ε2, όπου Ε1 εύναι το εμβαδόν τησ περιοχόσ μεταξύ τησ διχοτόμου y = x και τησ 1 0 καμπύλησ y = f(x), δηλαδό Ε 1 = x f(x) dx E2 εύναι το εμβαδόν του τριγώνου που φρϊςςεται από τη διχοτόμο y = x, την κϊθετη ευθεύα x = 1 και τον ϊξονα των x και εύναι ύςο ½. 0 Ε 1 1 Ε 2 υντελεςτήσ ανιςοκατανομήσ= Ε 1 Ε 2 = Ε 1 ΑΝΙΟΚΑΣΑΝΟΜΗ ΕΘΝΙΚΟΤ = 2Ε 1 2 1 = 2 x f(x) 0 1 ΕΙΟΔΗΜΑΣΟ dx, ονομϊζεται και ςυντελεςτήσ Gini Όςο ο ςυντελεςτήσ απομακρύνεται από το ένα και πληςιάζει το μηδέν, τόςο η ανιςοκατανομή μικραίνει.

Τ: διαθϋςιμο εθνικό ειςόδημα, C: κατανϊλωςη, S: αποταμύευςη. Τ = C + S dc dy + ds dy = 1 ό dc dy = 1 ds dy dc : οριακό ροπό προσ κατανϊλωςη dy ds dy : οριακό ροπό προσ αποταμύευςη Y t = Y 0 exp ΤΝΑΡΣΗΕΙ ΕΘΝΙΚΟΤ ΕΙΟΔΗΜΑΣΟ, ΚΑΣΑΝΑΛΩΗ, 1 a t β ΕΠΕΝΔΤΗ όπου α, β ςταθερϋσ αναλογύασ. Σο εθνικό ειςόδημα ςτο χρόνο εξαρτϊται από το χρονικό ειςόδημα το χρόνο μηδϋν και από τισ τιμϋσ των α, β.

ΜΕΓΙΣΟΠΟΙΗΗ ΚΕΡΔΩΝ Ω ΠΡΟ ΣΟ ΦΡΟΝΟ Έςτω C(t), R(t) και π(t) οι ςυναρτόςεισ ολικού κόςτουσ, εςόδων και κϋδρουσ μιασ οικονομικόσ δραςτηριότητασ που λειτουργεύ t χρόνια. Μια δραςτηριότητα γύνεται ζημιογόνα μετϊ την πϊροδο οριςμϋνου χρόνου t*. Εξετϊζουμε το χρόνο που πρϋπει να διακόψουμε τη λειτουργύα τησ οικονομικόσ αυτόσ δραςτηριότητασ ϋτςι ώςτε να μεγιςτοποιόςουμε τα ςυνολικϊ κϋρδη από τη λειτουργύα τησ. Σο μϋγιςτο κϋρδοσ δύνεται από το ολοκλόρωμα: t Μϋγιςτο κϋρδοσ= [ 0 R x C (x)]dx C(0)

ΠΛΕΟΝΑΜΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΤ ΚΑΣΑΝΑΛΩΣΗ ε μια τελείωσ ανταγωνιςτική αγορά: 1. Η τυπικό ςυνϊρτηςη ζότηςησ P = D(Q) εύναι φθύνουςα. 2. Η τυπικό ςυνϊρτηςη προςφορϊσ P = S(Q) εύναι αύξουςα. 3. ημεύο ιςορροπύασ: το ςημεύο τομόσ των ςυναρτόςεων προςφορϊσ και ζότηςησ Ε = (P*, Q*) όπου P* η τιμό ιςορροπύασ και Q* η ποςότητα ιςορροπύασ. 4. το ςημεύο ιςορροπύασ οι παραγωγού ειςπρϊττουν το ποςό των P* x Q* και εύναι ακριβώσ το ποςό που εύναι διατεθειμϋνοι οι καταναλωτϋσ να πληρώςουν. 5. το ςημεύο ιςορροπύασ μιασ τελεύωσ ανταγωνιςτικόσ αγορϊσ οι καταναλωτϋσ και οι παραγωγού από κοινού (αθροιςτικϊ) αποκομύζουν το μεγαλύτερο δυνατό όφελοσ.

1. ΠΛΕΟΝΑΜΑ ΚΑΣΑΝΑΛΩΣΗ Σο ςυνολικό ποςό που εξοικονομεύται από όλουσ τουσ καταναλωτϋσ με το να αγορϊζουν την ποςότητα που ζητούν ςε τιμϋσ μικρότερεσ από τισ μϋγιςτεσ τιμϋσ που όταν διατεθειμϋνοι να πληρώςουν ονομϊςτηκε από τον Άγγλο οικονομολόγο Marshall πλεόναςμα καταναλωτό και καθιερώθηκε να ςυμβολύζεται με CS. Πλεόναςμα καταναλωτή: P 0 Q CS = Q P dp = D Q dq P όπου Q(P) αντύςτροφη τησ P = D(Q). P Σο ύδιο αποτϋλεςμα προκύπτει και από το ολοκλόρωμα CS = D Q P 0 Q 0 dq Q

2. ΠΛΕΟΝΑΜΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΤ Η ςυνολικό ωφϋλεια όλων των παραγωγών που προκύπτει από την πώληςη του προώόντοσ ςε τιμϋσ μεγαλύτερεσ από τισ ελϊχιςτεσ τιμϋσ που εύναι διατεθειμϋνοι να διαθϋςουν το προώόν τουσ ονομϊζεται το πλεόναςμα του παραγωγού και ϋχει καθιερωθεύ να ςυμβολύζεται με PS. Πλεόναςμα παραγωγού: P S Q dq PS = G P dp = P Q, P 1 0 όπου G P αντύςτροφη τησ S(Q). Σο ύδιο αποτϋλεςμα προκύπτει και από το ολοκλόρωμα PS = 0 Q P S(Q) Q dq

ΜΕΗ ΣΙΜΗ ΜΙΑ ΤΝΑΡΣΗΗ ε πολλϋσ περιπτώςεισ δύνεται η ςυνϊρτηςη οριακού ρυθμού μεταβολόσ ενόσ οικονομικού μεγϋθουσ και ζητεύται η μϋςη τιμό τησ ςυνϊρτηςησ του αντύςτοιχου ολικού μεγϋθουσ. Θεώρημα τησ μέςησ τιμήσ του ολοκληρωτικού λογιςμού: Η μϋςη τιμό ενόσ ολικού μεγϋθουσ Μ(α, β) ςε ϋνα διϊςτημα [α, β] εύναι: Μ α, β = 1 β α ό β f x dx α β a f x dx = Μ(α, β)(β α)

ΔΙΑΥΟΡΙΚΕ ΕΞΙΩΕΙ Διαφορικέσ εξιςώςεισ: οι ϊγνωςτοι δεν εύναι μεταβλητϋσ, αλλϊ ςυναρτόςεισ και όπου τουλϊχιςτον μια παρϊγωγοσ των ςυναρτόςεων αυτών παρουςιϊζεται ςτισ εξιςώςεισ αυτϋσ. π.χ. y = 2t, y = 2ty, y - 4 y + 3y = 0 Η παρϊγωγοσ αποτελεύ την ϊγνωςτη ςυνϊρτηςη που επιθυμούμε να προςδιορύςουμε. υνηθύζεται να ςυμβολύζουμε την ανεξϊρτητη μεταβλητό με t, επειδό οι περιςςότερεσ από τισ διαφορικϋσ εξιςώςεισ που χρηςιμοποιούνται ϋχουν το χρόνο ωσ ανεξϊρτητη μεταβλητό.

ΔΙΑΥΟΡΙΚΕ ΕΞΙΩΕΙ (2) Λύςη μιασ διαφορικόσ εξύςωςησ εύναι μια ςυνϊρτηςη y = f(x), που δεν περιλαμβϊνει παραγώγουσ ό διαφορικϊ και όπου αν αυτό και οι παρϊγωγοι τησ αντικαταςταθούν ςτην εξύςωςη την καθιςτούν ταυτότητα. Σάξη: από την παρϊγωγο με τη μεγαλύτερη τϊξη. Βαθμόσ: η υψηλότερη δύναμη ςτην οπούα υψώνεται η παρϊγωγοσ τησ πιο μεγϊλησ τϊξησ.

ΔΙΑΥΟΡΙΚΕ ΕΞΙΩΕΙ (3) Αποθέματα Ροέσ: Σο απόθεμα εκφρϊζεται από μια ςυνϊρτηςη ολικού μεγϋθουσ, την Α(t) και το αντύςτοιχο μϋγεθοσ ροόσ εύναι ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ Α(t), εκφρϊζεται από με μια ςυνϊρτηςη ρ(t). Έχουμε λοιπόν τη διαφορικό εξύςωςη A t A t = da t = ρ t dt. = da(t) dt = ρ t, ϋχει τη γενικό λύςη

ΔΙΑΥΟΡΙΚΕ ΕΞΙΩΕΙ (4) ταθερόσ ποςοςτιαίοσ ρυθμόσ: Ποςοςτιαύοσ ρυθμόσ μεταβολόσ μιασ ςυνϊρτηςησ: f (t)/f(t) Εϊν f (t)/f(t) = r, r 0, τότε: f t = rf(t) για κϊθε t. Αν r > 0, η f(t) εύναι αύξουςα. Αν r 0, η f(t) εύναι φθύνουςα. Η φυςικό εκθετικό ςυνϊρτηςη f x = e rt εύναι η γενικό λύςη τησ f t, αφού εύναι η μόνη ςυνϊρτηςη τησ οπούασ η παρϊγωγοσ ιςούται προσ το γινόμενο μιασ μη μηδενικόσ ςταθερϊσ επύ τον εαυτό τησ. Η εξύςωςη f t μεγέθυνςη. = rf(t) ονομϊζεται ο νόμοσ για τη φυςική