1 Ε.Μ.Π. - ΦΟΛΗ ΠΟΛΙΣΙΚΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ - ΣΑΣΙΚΗ ΙΙ -17/02/2012 ΘΕΜΑ 1 ο τον φορϋα του ςχόματοσ ζητούνται: α) να χαραχθούν τα διαγρϊμματα M, Q, N. β) να βρεθεύ η κατακόρυφη μετακύνηςη του κόμβου 4 ςε μϋγεθοσ και φορϊ. Δύδονται ΕΙ=60.000kNm 2, EA=30.000kN. Λύςη: α) Υορϋασ ςυμμετρικόσ με φόρτιςη ςυμμετρικό οπότε μεταςχηματύζεται ςε: Εκλϋγω τατικό Κύριο ύςτημα:
2 Επύλυςη.Κ. για Φ 1=1 F x=0 A x-1ςυν45 =0 A x=0,707kn F y=0 A y-1ημ45 =0 A y=0,707kn Μ (Α)=0 Μ Α-0.707*3.0=0 Μ Α=2.121kNm Επύλυςη.Κ. λόγω εξωτερικών φορτύων Πρόκειται για πρόβολο με ομοιόμορφο φορτύο με ροπό ςτην πϊκτωςη Μ Α= =360kNm. Ωρα: = 20 6 8 = 90 ΕΞΙΨΗ ΤΜΒΙΒΑΣΟΤ Αρκεύ να λυθεύ η εξύςωςη: δ 11X 1+δ 1α= 0 ΕΤΡΕΗ ΤΝΣΕΛΕΣΨΝ ΕΝΔΟΙΜΟΣΗΣΑ δ 11 =. [ (-2,121)(-2,121) *3]+. (1,0 *1,0 *18) δ11=2,1642*10 δ1α = 3[( + ) * ] δ1α =. { ( 2 121)[( 90) + 2( 360)] + 22 5( 2.121)} =δ 1α = 0,01352 Επύλυςη εξύςωςησ: 2,1642*10 Φ 1+0 01352=0 Φ 1=-62,477kN
3 ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΡΟΠΨΝ ΚΑΜΧΕΨ ΣΑ Φ.. Ṁ Δ = 0+0(-62,477)= 0 Ṁ Γ = -90 + 0(-62,477)=-90 knm = -360 +(-2,121)(-62,477)=-227,49 knm ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΣΕΜΝΟΤΨΝ ΣΑ Φ.. = + = 0 kn = - =-60 kn = ( ) + =-15,83 kn = ( ) - =-75,83 kn ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΑΞΟΝΙΚΨΝ ΣΑ Φ.. Ν =Ν = 0 Από Δ.Ε.. (βλ. διπλανό ςχόμα και αρχικό ςχόμα εκφώνηςησ): F y=0 (ςτον ςτύλο)= -75,83*2=-151,66kN= =-151,66+2(-62,477)*0,707=-240kN= ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΡΟΠΨΝ ΚΑΜΧΕΨ M(x) [knm] = = 22 50kNm
4 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΣΕΜΝΟΤΨΝ ΔΤΝΑΜΕΨΝ Q(x) [kn] ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΑΞΟΝΙΚΨΝ ΔΤΝΑΜΕΨΝ N(x) [kn] S 1=S 2=-62,477kN β) Από τον νόμο του Hooke η επιβρϊχυνςη κϊθε ρϊβδου εύναι: Δl= Δl=. Δl=8,8356*10-3 m Ωρα η ζητούμενη κατακόρυφη βύθιςη θα εύναι: Δl=δ ysinθ δ y= δ y= δ y=0,0125m
5 ΘΕΜΑ 2 ο- ΣΑΣΙΚΗ ΙΙ - 17/02/2012 - ΠΟΛ.ΜΗΦΑΝΙΚΟΙ-Ε.Μ.Π. τον φορϋα του ςχόματοσ ζητεύται η ποιοτικό χϊραξη των διαγραμμϊτων M, Q χωρύσ κανϋνα υπολογιςμό. Λύςη: Παρατηρώ ότι ο φορϋασ μου εύναι ςυμμετρικόσ με φόρτιςη ςυμμετρικό. Αφαιρώντασ τουσ προβόλουσ και βϊζοντασ μονοκινητϋσ πακτώςεισ ςτην μϋςη των ζυγωμϊτων ο φορϋασ μετατρϋπεται ςτον ιςοδύναμο που φαύνεται ςτο διπλανό ςχόμα. χεδιϊζω την ελαςτικό γραμμό του μιςού φορϋα. Όπωσ φαύνεται από το παραπϊνω ςχόμα ο κόμβοσ Β ςτρϋφεται δεξιόςτροφα λόγω τησ ροπόσ Μ ενώ δεν υφύςταται καθόλου μετακύνηςη ούτε κατϊ x oύτε κατϊ y. (Οι κόμβοι Β και Δ δεν μετακινούνται αφού ΕΑ και λόγω τησ κύλιςησ ςτην θϋςη Δ. Ο κόμβοσ Β ςτρϋφεται περιςςότερο από ότι ο κόμβοσ Δ. Ετςι ςχηματύζεται ςημεύο καμπόσ (.Κ.) κοντϊ ςτον κόμβο Δ. Με την βοόθεια τησ ελαςτικόσ γραμμόσ χαρϊζω το διϊγραμμα ροπών κϊμψησ του φορϋα.
6 Ξεκινώντασ από την ελαςτικό γραμμό χαρϊζω το διϊγραμμα ροπών. Παρατηρώ ότι ςτο τμόμα ΑΒ η ύνα θλύβεται και ϊρα η ροπό εύναι αρνητικό και μϊλιςτα επειδό δεν ϋχω κατακόρυφη αντύδραςη ούτε εξωτερικό κϊθετο φορτύο η ροπό θα εύναι ςταθερό. το τμόμα ΓΔ η ύνα εφελκύεται και ϊρα η ροπό εύναι θετικό. Για τον ύδιο λόγο που αναφϋραμε και ςτο τμόμα ΑΒ η ροπό θα εύναι ςταθερό. Μϊλιςτα η ροπό ςτο τμόμα ΑΒ θα εύναι μεγαλύτερη ςε απόλυτη τιμό από τον τμόμα ΓΔ. Για το τμόμα ΒΔ εφόςον παρουςιϊζεται ςημεύο καμπόσ ςτην ελαςτικό γραμμό θα ϋχω αλλαγό του προςόμου του διαγρϊμματοσ των ροπών.
7 Παρατηρώ ότι ςτην θϋςη Β-κϊτω η ύνα θλύβεται και ϊρα η ροπό εύναι αρνητικό ενώ ςτην θϋςη Δ-πϊνω η ύνα εφελκύεται και ϊρα η ροπό εύναι θετικό. Μϊλιςτα η ροπό ςτη θϋςη Β-κϊτω ςε απόλυτη τιμό θα εύναι μεγαλύτερη από ότι η ροπό ςτην θϋςη Δ-πϊνω. Σϋλοσ η ροπό ςτα τμόματα ΑΒ και ΒΔ μοιρϊζεται ανϊλογα με την δυςκαμψύα τουσ. τη ςυνϋχεια καταςκευϊζω το διϊγραμμα τεμνουςών. Εφόςον δεν ϋχω φορτύο και αντύδραςη από την ςτόριξη ςτα τμόματα ΑΒ και ΓΔ η τϋμνουςα θα εύναι μηδενικό. Για την τϋμνουςα ςτο τμόμα ΒΔ θα ϋχω: Q ΒΔ=ΔQ ΒΔ= <0 (ςταθερό τιμό). τον πρόβολο η τϋμνουςα θα εύναι ςταθερό και ύςη με -P. Για την καταςκευό των αξονικών δυνϊμεων ξεκινϊω πρώτα από το τμόμα ΒΔ το οπούο δϋχεται θλιπτικό αξονικό δύναμη P αφού το εξωτερικό φορτύο ενεργεύ ςτον κόμβο Β και το τμόμα ΒΔ καταλόγει ςε ςτόριξη (κύλιςη) με αντύδραςη παρϊλληλη με αυτόν. Δηλαδό εξ'ολοκλόρου η φόρτιςη P μεταφϋρεται ςτην κύλιςη δια μϋςω του τμόματοσ ΒΔ. Για τα τμόματα ΑΒ και ΓΔ αρκεύ να κϊνω ιςορροπύεσ των κόμβων Β και Δ αντύςτοιχα.
8 ΘΕΜΑ 3 ο - ΣΑΣΙΚΗ ΙΙ - 17/02/2012 - ΠΟΛ.ΜΗΦΑΝΙΚΟΙ-Ε.Μ.Π. τον φορϋα του ςχόματοσ ζητούνται να χαραχθούν τα διαγρϊμματα M, Q. Δύδεται ΕΙ=60000kNm 2. Λύςη: Εκλϋγω κύριο γεωμετρικό ςύςτημα. Οι ϊγνωςτοι μου εύναι η ςτροφό φ 4 του ςτερεού κόμβου (4) και η οριζόντια μετακύνηςη δ αυτού. ΑΡΦΙΚΕ ΡΟΠΕ Μ 43= =90kNm Μ 23=. ( ) =-40kNm
9 ΑΝΣΙΣΟΙΦΟ ΔΙΚΣΤΨΜΑ Ο πόλοσ ςτροφόσ του δύςκου (α) εύναι Ο αo (η ϊρθρωςη ςτο 2) Ο πόλοσ ςτροφόσ του δύςκου (b) εύναι Ο bo (από θεώρημα 3 πόλων) Ο πόλοσ ςτροφόσ του δύςκου (c) εύναι Ο co (η ϊρθρωςη ςτο 1) Ο πόλοσ ςτροφόσ του δύςκου (d) εύναι Ο do (η ϊρθρωςη ςτο 5) εφ45= x=6,0m ΕΤΡΕΗ ΣΡΟΥΨΝ ΔΙΚΨΝ Τ 14= Τ 14=0,25δ (>0) Τ 45= Τ 45=0,50δ (<0) Τ 34= Τ 34=0,167δ (<0) Επύςησ Τ 34 = 0 167δ = 0 1785ε ε=1 4142δ Τ 23= Τ 23 = => Τ 23=0,25δ (>0)
10 ΣΕΛΙΚΕ ΡΟΠΕ Μ 23= (1,5φ 2-1 5Τ 23) 40 Μ 23=-0,13258 EIδ-40 Μ 43= (1,5φ 4-1 5Τ 43)+90 Μ 43 =0,50EIφ 4+0,08335EIδ+90 Μ 45= (1,5φ 4-1 5Τ 45) Μ 45=1,50EIφ 4+0,75EIδ Μ 14= (2φ 1+φ 4-3Τ 41) Μ 14=0,50EIφ 4-0,375EIδ Μ 41= (2φ 4+φ 1-3Y 41) Μ 41=EIφ 4-0,375EIδ ΙΟΡΡΟΠΙΑ ΚΟΜΒΟΤ 4 Μ=0 Μ 45+Μ 43+Μ 41=0 1,50EIφ 4+0,75EIδ+0,50EIφ 4+ +0,08335EIδ+90+EIφ 4-0,375 EIδ=0 3EIφ 4+0,45835EIδ+90=0 1 ΑΡΦΗ ΣΨΝ ΔΤΝΑΣΨΝ ΕΡΓΨΝ Μ 23(0,25 δ)+μ 43(-0 1667δ)+(Μ 41+Μ 14)0 25δ+Μ 45(-0 50δ)+120*0 50δ+80*0 50δ+ +80*0 50δ*2=0-0,45835EIφ 4-0,6095EIδ+155=0 2 Από 1κ 2 EIδ=+312,764 EIφ 4=-77,785 ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΡΟΠΨΝ ΚΑΜΧΕΨ ΣΑ Φ.. Οι τελικϋσ ροπϋσ (με πρόςημα τησ μεθόδου μετακινόςεων) θα εύναι: Μ 23 =-81,47 knm με ύνα αναφορϊσ <0 Μ 43= +77,17 knm με ύνα αναφορϊσ <0 Μ 45= +117,90 knm με ύνα αναφορϊσ <0 Μ 41= 195 07 knm με ύνα αναφορϊσ <0 Μ 14= 156 19 knm με ύνα αναφορϊσ >0
11 ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΣΕΜΝΟΤΨΝ ΣΑ Φ.. Q 45= =-58,95kN=Q 54 Q 41= ( ) =+87,82kN=Q14 Q 34= + =+47,14kN Q 43= - =-72,86kN Q 23= ( ) + =+42,69kN Q 32= ( ) - =-13,88kN ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΡΟΠΨΝ ΚΑΜΧΗ M(x) [knm] = 10 32 8 = 40 = 20 6 8 = 90
12 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΣΕΜΝΟΤΨΝ ΔΤΝΑΜΕΨΝ Q(x) [kn]
13 ΘΕΜΑ 4 ο- ΣΑΣΙΚΗ ΙΙ - 17/02/2012 - ΠΟΛ.ΜΗΦΑΝΙΚΟΙ-Ε.Μ.Π. το φορϋα του ςχόματοσ και για κύνηςη του κατακόρυφου μοναδιαύου φορτύου από 1 εώσ 4 ζητεύται η χϊραξη των γραμμών επιρροόσ: α. τησ τϋμνουςασ δύναμησ ςτη θϋςη α β. τησ καμπτικόσ ροπόσ ςτη θϋςη β γ. τησ τϋμνουςασ δύναμησ ςτη θϋςη γ δ. τησ κατακόρυφησ αντύδραςησ ςτη ςτηριξη 2. Λύςη: α. β.
14 γ. δ.