ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΜΕΣΟΥ Ανθούλα Ν. Τσίπη Διπλωματική Εργασία που υποβλήθηκε στο τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστήμιου Πειραιώς ως μέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στην Εφαρμοσμένη Στατιστική. Πειραιάς Οκτώβριος,
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΜΕΣΟΥ Ανθούλα Ν. Τσίπη Διπλωματική Εργασία που υποβλήθηκε στο τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστήμιου Πειραιώς ως μέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στην Εφαρμοσμένη Στατιστική. Πειραιάς Οκτώβριος, []
Η παρούσα Διπλωματική Εργασία εγκρίθηκε ομόφωνα από την Τριμελή Εξεταστική Επιτροπή που ορίστηκε από τη ΓΣΕΣ του τμήματος Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς στην υπ αριθμόν 5 /-4- συνεδρίαση του σύμφωνα με τον Εσωτερικό Κανονισμό Λειτουργίας του Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών στην Εφαρμοσμένη Στατιστική. Τα μέλη της τριμελούς επιτροπής ήταν: Αντζουλάκος Δημήτριος, Αναπληρωτής Καθηγητής (Επιβλέπων) Ευαγγελάρας Χαράλαμπος, Επίκουρος Καθηγητής Μπερσίμης Σωτήρης, Λέκτορας Η έγκριση της Διπλωματικής Εργασίας από το Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωμών του συγγραφέα. []
UNIVERSITY OF PIRAEUS DEPARTMENT OF STATISTIC AND INSURANCE SCIENCE POSTGRADUATE PROGRAM IN APPLIED STATISTICS MOVING AVERAGE CONTROL CHARTS By Ts Ν. Ahoulla MSc Dsserao submed o he Dearme of Sascs ad Icurace Scece of he Uversy of Praeus fulfllme of he requremes for he degree of Maser of Scece Aled Sascs. Praeus, Greece Ocober,. [v]
[v] Στην οικογένεια μου.
Ευχαριστίες Στο σημείο αυτό θέλω να ευχαριστήσω θερμά : Τον κ. Δημήτριο Αντζουλάκο (επιβλέποντα καθηγητή) για την άψογη συνεργασία και την πραγματική βοήθεια που μου προσέφερε για την ολοκλήρωση της παρούσας διπλωματικής εργασίας, καθώς επίσης και τα υπόλοιπα μέλη της τριμελούς επιτροπής τον κ. Ευαγγελάρα Χαράλαμπο και τον κ. Μπερσίμη Σωτήριο για την επίβλεψή της. Την οικογένεια μου, τους φίλους μου και όσους είναι δίπλα μου και με στηρίζουν στην επίτευξη των στόχων μου. [v]
Περίληψη Τα διαγράμματα ελέγχου χρησιμοποιούνται ευρέως στην βιομηχανία για την παρακολούθηση της ποιότητας μιας παραγωγικής διεργασίας. Εκτός από τα κλασικά διαγράμματα ελέγχου Shewhar, υπάρχουν επίσης τα διαγράμματα ελέγχου με μνήμη, που είναι πιο αποτελεσματικά στην ανίχνευση μικρών μετατοπίσεων της διεργασίας, όπως είναι τα διαγράμματα ελέγχου CUSUM, EWMA, και του κινούμενου μέσου. Σκοπός της διπλωματικής είναι να καταγράψει τα σημαντικότερα αποτελέσματα που έχουν παρουσιαστεί στη σύγχρονη βιβλιογραφία γύρω από τα διαγράμματα ελέγχου του κινούμενου μέσου. [v]
Absrac Corol chars have bee wdely used dusry o moor he qualy of a maufacurg rocess. Exce from he classcal Shewhar corol chars, here are also corol chars wh memory ha are more effce deecg small rocess shfs such as he CUSUM, he EWMA ad he Movg Average corol chars. The urose of hs hess s o wre dow he mos mora resuls ha have bee reseed moder leraure abou movg average corol chars.. [v]
[x]
Κατάλογος Σχημάτων Σχήμα. Τυπικό διάγραμμα ελέγχου Shewhar..3 Σχήμα. διάγραμμα ελέγχου για τα δεδομένα του Πίνακα...5 Σχήμα.3. Διάγραμμα ελέγχου CUSUM για τα δεδομένα του Πίνακα....9 Σχήμα.4. Διάγραμμα ελέγχου EWMA για τα δεδομένα του Πίνακα.3...33 Σχήμα.. Διάγραμμα ελέγχου απλού κινούμενου μέσου ΜΑ για τα δεδομένα του Πίνακα. 4 Σχήμα.. Διάγραμμα ελέγχου διπλού κινούμενου μέσου DΜΑ για τα δεδομένα του Πίνακα.4 47 Σχήμα.3. Διάγραμμα κινούμενου μέσου για την από κοινού παρακολούθηση της μέσης τιμής και της διακύμανσης..55 Σχήμα.4. Βέλτιστη τιμή για το δοθέντος του w και του ARL στο ΜΑ διάγραμμα ελέγχου ( w,,3 ).67 Σχήμα.5. Βέλτιστη τιμή για το δοθέντος του w και του ARL στο ΜΑ διάγραμμα ελέγχου ( w 4,5,6,7,8 ).68 Σχήμα.6. Βέλτιστη τιμή για το δοθέντος του w και του ARL στο ΜΑ διάγραμμα ελέγχου ( w 9,,...,4)..69 Σχήμα.7. Βέλτιστη τιμή για το δοθέντος του w και του ARL στο ΜΑ διάγραμμα ελέγχου ( w 5,6,...,3) 7 Σχήμα.8 Σύνθετο διάγραμμα Shewhar MA.74 Σχήμα 3.. Διάγραμμα ελέγχου κινούμενου μέσου για τα δεδομένα του Πίνακα 3. ( )..79 Σχήμα 3.. διάγραμμα ελέγχου για τα δεδομένα του Πίνακα 3...79 Σχήμα 3.3. Διάγραμμα ελέγχου κινούμενου μέσου για τα δεδομένα του Πίνακα 3. ( 3)..8 Σχήμα 3.4. Διάγραμμα ελέγχου κινούμενου μέσου για τα δεδομένα του Πίνακα 3. ( 4)..8 Σχήμα 3.5. Posso διάγραμμα ελέγχου κινούμενου μέσου για τα δεδομένα του Πίνακα 3.3 ( )..87 Σχήμα 3.6. c διάγραμμα ελέγχου για τα δεδομένα του Πίνακα 3.3.88 Σχήμα 3.7. Posso διάγραμμα ελέγχου κινούμενου μέσου για τα δεδομένα του Πίνακα 3.3 ( 3)...88 Σχήμα 3.8. Posso διάγραμμα ελέγχου κινούμενου μέσου για τα δεδομένα του Πίνακα 3.3 ( 4 )..89 Σχήμα 3.9. DMA διάγραμμα ελέγχου για τα δεδομένα του Πίνακα 3.4.. 95 Σχήμα 3.. διάγραμμα ελέγχου για τα δεδομένα του Πίνακα 3.4.95 []
Κατάλογος Πινάκων Πίνακας. Δεδομένα για την επίδειξη Χ διαγράμματος.5 Πίνακας.. Δεδομένα για επίδειξη διαγράμματος ελέγχου CUSUM (Κ =.5 και Η = 5) 8 Πίνακας.3. Δεδομένα για επίδειξη διαγράμματος ελέγχου EWMA (. και L. 7 )..3 Πίνακας.. Δεδομένα για την επίδειξη του διαγράμματος ελέγχου απλού κινούμενου μέσου 39 Πίνακας.. Τιμές του L για το DMA διάγραμμα ελέγχου για δεδομένο ARL και...43 Πίνακας.3. Τιμές του ARL για το DMA και το ΜΑ διάγραμμα ελέγχου (ARL = )..45 Πίνακας.4. Δεδομένα για την επίδειξη του διαγράμματος ελέγχου διπλού απλού κινούμενου μέσου (DΜΑ char) 46 Πίνακας.5. Όρια ελέγχου του διαγράμματος DMA για τα δεδομένα του Πίνακα.4 47 Πίνακας.6. Δεδομένα για την επίδειξη του από κοινού διαγράμματος ελέγχου κινούμενου μέσου για την παρακολούθηση της μέσης τιμής και της διακύμανσης 5 Πίνακας.7. Υπολογισμοί για την κατασκευή από κοινού διαγράμματος ελέγχου..54 Πίνακας.8. Τιμές ARL για το από κοινού διάγραμμα ελέγχου κινούμενου μέσου (ARL =5, = 5)...56 Πίνακας.9. Τιμές ARL για το διάγραμμα ελέγχου MaxEWMA (ARL = 5, = 5) 57 Πίνακας.. Τιμές ARL για CUSUM, EWMA και WMA διαγράμματα ελέγχου (ARL = ) 6 Πίνακας.. Τιμές ARL για CUSUM, EWMA και WMA διάγραμμα ελέγχου (ARL = 4).. 6 Πίνακας..Τιμές των a, b για τον υπολογισμό του βέλτιστου εύρους w δοθέντος του ARL του ΜΑ διαγράμματος ελέγχου log w a blog 66 Πίνακας.3. Υπολογισμός του ARL,ΜΑ του ΜΑ διαγράμματος συναρτήσει του ARL του σύνθετου ΜΑ ARL a b ARL Shewhar διαγράμματος:, MA..7 Πίνακας.4. Τιμές του ARL,ΜΑ υου ΜΑ διαγράμματος για w,3,, 3..73 Πίνακας 3.. Δεδομένα για την επίδειξη του διαγράμματος ελέγχου κινούμενου μέσου για το ποσοστό των ελαττωματικών προϊόντων 77 Πίνακας 3.. Τιμές ARL για το διάγραμμα ελέγχου και του κινούμενου μέσου -διαγράμματος ελέγχου για. και.8 Πίνακας 3.3. Δεδομένα για την επίδειξη του Posso διαγράμματος ελέγχου κινούμενου μέσου..86 []
Πίνακας 3.4. Τιμές ARL για το c διάγραμμα ελέγχου και του Posso διαγράμματος ελέγχου κινούμενου μέσου για c, 3, 6,, 6..9 Πίνακας 3.5. Δεδομένα για την επίδειξη του DMA διαγράμματος ελέγχου για τον αριθμό των ελαττωματικών προϊόντων. 93 Πίνακας 3.6. Τιμές ARL για τα, MA, και DMA διαγράμματα ελέγχου.96 []
Περιεχόμενα Περίληψη Absrac Κατάλογος Σχημάτων Κατάλογος Πινάκων Κεφάλαιο ο: Εισαγωγή στα διαγράμματα ελέγχου. Δομή της Διπλωματικής Εργασίας. Εισαγωγή.. Ο Στατιστικός Έλεγχος Ποιότητας.. Περιγραφή και Χρήση ενός Διαγράμματος Ελέγχου..3 Διαγράμματα ελέγχου Φάσης Ι και Φάσης ΙΙ 5..4 Ταξινόμηση Διαγραμμάτων ελέγχου 6.3 Εκτίμηση της μέσης τιμής και της διασποράς ενός συνεχούς χαρακτηριστικού 7.3. Η περίπτωση των μεμονωμένων παρατηρήσεων 7.3. Η περίπτωση των δειγμάτων 8.4 Διαγράμματα ελέγχου Shewhar.4. Διαγράμματα ελέγχου Shewhar για μεταβλητές.4. Διάγραμμα ελέγχου Shewhar για τη διασπορά 6.4.3 Διαγράμματα ελέγχου Shewhar για ιδιότητες. 9.5 Διαγράμματα ελέγχου με μνήμη 5.5. Αθροιστικά διαγράμματα ελέγχου (CUSUM) 7.5. Διαγράμματα ελέγχου τύπου EWMA 3.6 Μέσο μήκος ροής στα διαγράμματα ελέγχου 33 Κεφάλαιο ο : Διαγράμματα ελέγχου κινούμενου μέσου για συνεχή χαρακτηριστικά 36. Εισαγωγή 36. Διάγραμμα ελέγχου απλού κινούμενου μέσου (ΜΑ) για τη μέση τιμή 36.3 Διάγραμμα ελέγχου διπλού κινούμενου μέσου (DMA) για τη μέση τιμή 4.4 Διάγραμμα ελέγχου κινούμενου μέσου για την από κοινού παρακολούθηση της μέσης τιμής και της διακύμανσης 48.5 Διαγράμματα ελέγχου σταθμισμένoυ κινούμενου μέσου (WMA) 58.6 Διαγράμματα ελέγχου κινούμενων μέσων σε ομάδες (GMA) 6.7 Σχεδιασμός διαγραμμάτων ελέγχου κινούμενου μέσου 64.7. Το βέλτιστο διάγραμμα ελέγχου κινούμενου μέσου 65.7. Το βέλτιστο σύνθετο διάγραμμα ελέγχου ΜΑ-Shewhar 7 Κεφάλαιο 3 ο Διαγράμματα ελέγχου κινούμενου μέσου για ιδιότητες 75 3. Εισαγωγή 75 3. Διάγραμμα ελέγχου κινούμενου μέσου για την παρακολούθηση του ποσοστού των ελαττωματικών προϊόντων. 75 [v]
3.3 Posso διάγραμμα ελέγχου κινούμενου μέσου για την παρακολούθηση του αριθμού των ελαττωμάτων ανά μονάδα επιθεώρησης 84 3.4 Διάγραμμα διπλού κινούμενου μέσου για τον αριθμό των ελαττωματικών προϊόντων 9 Βιβλιογραφία 98 Ελληνική Βιβλιογραφία 98 Ξενόγλωσση Βιβλιογραφία 98 [v]
Κεφάλαιο ο: Εισαγωγή στα διαγράμματα ελέγχου. Δομή της Διπλωματικής Εργασίας Στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας δίνονται κάποιες απαραίτητες εισαγωγικές πληροφορίες για τα διαγράμματα ελέγχου και τα χαρακτηριστικά τους. Στο ίδιο κεφάλαιο παρουσιάζονται συνοπτικά τα κλασικά διαγράμματα ελέγχου Shewhar για μεταβλητές και για ιδιότητες καθώς επίσης και τα διαγράμματα ελέγχου τύπου CUSUM και EWMA. Κύρια πηγή για το Κεφάλαιο είναι ο Αντζουλάκος (3). Στο δεύτερο κεφάλαιο της εργασίας παρουσιάζονται αναλυτικά οι μέθοδοι που έχουν αναπτυχθεί στην σύγχρονη βιβλιογραφία γύρω από τα διαγράμματα ελέγχου κινούμενου μέσου (movg averages corol char) και αφορούν την παρακολούθηση συνεχών χαρακτηριστικών (μεταβλητές). Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι προσεγγίσεις που έχουν αναπτυχθεί γύρω από τα διαγράμματα κινούμενου μέσου και αφορούν την παρακολούθηση διακριτών χαρακτηριστικών (ιδιότητες).. Εισαγωγή.. Ο Στατιστικός Έλεγχος Ποιότητας Για τις επιχειρήσεις αποτελεί στρατηγικής σημασίας το επίπεδο ποιότητας των προϊόντων που παράγονται από τις διάφορές παραγωγικές διεργασίας και εστιάζουν στην χρησιμοποίηση μεθόδων του στατιστικού ελέγχου ποιότητας. Ένας ορισμός για την ποιότητα δίνεται μέσω του διεθνούς προτύπου ISO 84, όπου με τον όρο «ποιότητα» εννοούμε το σύνολο των ιδιοτήτων και των χαρακτηριστικών ενός προϊόντος, διαδικασίας ή υπηρεσίας που καθορίζουν την ικανότητα ανταπόκρισης σε δηλωμένες ή εννοούμενες ανάγκες. Η διασφάλιση και η βελτίωση της ποιότητας των παραγόμενων προϊόντων επιτυγχάνεται από έναν ολοκληρωμένο σύνολο τεχνικών και μεθόδων, τον Έλεγχο Ποιότητας ή Ποιοτικό Έλεγχο. Ο Στατιστικός Έλεγχος Ποιότητας περιλαμβάνει (α) τον Σχεδιασμό και Ανάλυση Πειραμάτων (Desg of Exermes), (β) τον Στατιστικό Έλεγχο Διεργασιών (Sascal Process Corol - SPC), και (γ) Δειγματοληψία Αποδοχής (Acceace Samlg). Η αρχική ανάπτυξη του ελέγχου παραγωγικής διεργασίας οφείλεται στον - -
Waler Shewhar, ο οποίος σχεδίασε απλές στατιστικές τεχνικές και αντίστοιχα διαγράμματα ελέγχου και πρότεινε τρόπους βελτίωσης της ποιότητας με εξάλειψη των αιτιών συστηματικών μεταβολών των παραμέτρων των παραγωγικών διεργασιών. Τα διαγράμματα που πρότεινε ο Shewhar εξακολουθούν μέχρι και σήμερα να αποτελούν τα ευρύτερα χρησιμοποιούμενα εργαλεία για τον έλεγχο της ομαλής λειτουργίας των παραγωγικών διεργασιών. Το κύριο αντικείμενο του Στατιστικού Ελέγχου Διεργασιών είναι η έγκαιρη ανίχνευση της εμφάνισης ειδικών αιτιών μεταβλητότητας σε μια διεργασία έτσι ώστε να προχωρήσουμε σε έρευνα και να προβούμε στις απαραίτητες διορθωτικές ενέργειες προτού κατασκευαστούν αρκετά προϊόντα μη συμμορφούμενα με τις προδιαγραφές. Με τον όρο μη συμμορφούμενο ή ελαττωματικό προϊόν ονομάζουμε το προϊόν για το οποίο τουλάχιστον ένα ποιοτικό χαρακτηριστικό έχει τιμή η οποία βρίσκεται εκτός των ορίων προδιαγραφών του, δηλαδή παρουσιάζει ένα ελάττωμα ή ατέλεια. Ανάλογα με τον αριθμό και την σοβαρότητα των ελαττωμάτων (ατελειών) που παρουσιάζει ένα προϊόν μπορεί να χαρακτηριστεί συμμορφούμενο ή μη ελαττωματικό και να προωθηθεί προς πώληση στην αγορά... Περιγραφή και Χρήση ενός Διαγράμματος Ελέγχου Στις παραγωγικές διεργασίες μας ενδιαφέρει η παρακολούθηση της συμπεριφοράς μιας κρίσιμης ποσότητας ενός (μετρήσιμου) χαρακτηριστικού Χ (τυχαία μεταβλητή) των προϊόντων που παράγονται (για παράδειγμα το χαρακτηριστικό Χ μπορεί να είναι μήκος, βάρος, όγκος προϊόντων κ.λ.π). Η διαδικασία παρακολούθησης της κρίσιμης ποσότητας βασίζεται σε μετρήσεις του χαρακτηριστικού Χ (τυχαία μεταβλητή), όπως προκύπτουν από την επιλογή τυχαίων δειγμάτων προϊόντων από την παραγωγή σε διαφορετικές χρονικές στιγμές στα οποία αντιστοιχούν τυχαία δείγματα τιμών του χαρακτηριστικού Χ, έστω τα Χ, Χ, Χρησιμοποιώντας τα τυχαία δείγματα Χ, Χ, υπολογίζουμε την τιμή W g ), =,.., μιας κατάλληλης στατιστικής ( συνάρτησης (τυχαίας μεταβλητής) που εκτιμά (συνήθως αμερόληπτη εκτιμήτρια) την κρίσιμη ποσότητα που μας ενδιαφέρει (π.χ. μέση τιμή ή διακύμανση της Χ). Έτσι η διαχρονική παρακολούθηση της συμπεριφοράς της κρίσιμης ποσότητας επιτυγχάνεται - -
W με την παρακολούθηση των τιμών που λαμβάνει η στατιστική συνάρτηση W στα διάφορα δείγματα. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι ενδιαφερόμαστε να παρακολουθήσουμε τη συμπεριφορά της μέσης τιμής διαμέτρου Χ των κυλίνδρων που παράγει μια μηχανή. Για το σκοπό αυτό επιλέγονται τυχαία δείγματα μεγέθους ( ) κυλίνδρων από την παραγωγή της μηχανής σε διαφορετικά χρονικά διαστήματα και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη στατιστική συνάρτηση W ( / g ) (... ) (η οποία είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια του μέσου της Χ) για την παρακολούθηση της συμπεριφοράς της μέσης τιμής. Ένα τυπικό διάγραμμα ελέγχου Shewhar είναι μια γραφική παράσταση με την ακόλουθη μορφή όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα.. 4 Corol Char 3 Uer Corol Lm 9 8 7 6 Ceer Le Lower Corol Lm 4 6 8 Samle umber or me Σχήμα.. Τυπικό διάγραμμα ελέγχου Shewhar Στο διάγραμμα εκτός από τις παρατηρούμενες τιμές της W, που έχουν απεικονιστεί με σημεία (συμπαγή κυκλάκια) τα οποία έχουν συνδεθεί με μια τεθλασμένη γραμμή, έχουν σχεδιαστεί και άλλες τρεις γραμμές. Η κεντρική γραμμή (ceer le, CL) ή μέσο επίπεδο της διεργασίας παριστάνει συνήθως τη μέση (mea value) της W όπως προκύπτει από τη λειτουργία μιας εντός (στατιστικού) ελέγχου διεργασίας, δηλαδή μιας διεργασίας που λειτουργεί μόνο με την παρουσία φυσικής μεταβλητότητας - 3 -
(chace causes of varao). Οι δυο ακραίες γραμμές που εμφανίζονται στο διάγραμμα ονομάζονται άνω και κάτω όρια ελέγχου (uer ad lower corol lm, UCL ad LCL). Όσο οι τιμές της W βρίσκονται εντός των ορίων ελέγχου και η συμπεριφορά τους είναι «τυχαία» μπορούμε να υποθέσουμε ότι η διεργασία παραμένει εντός ελέγχου και δεν χρειάζεται να προβούμε σε κάποια διορθωτική ενέργεια. Αν όμως κάποιο σημείο βρεθεί εκτός των ορίων ελέγχου λέμε ότι υπάρχει ένδειξη ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου οπότε αντιμετωπίζουμε κατάσταση συναγερμού (alarm) και πρέπει να προχωρήσουμε σε έρευνα για να ανακαλύψουμε τις ειδικές αιτίες μεταβλητότητας (assgable causes of varao) που είναι υπεύθυνες για αυτήν την συμπεριφορά και αν κριθεί απαραίτητο να προβούμε σε διορθωτικές ενέργειες. Επίσης θα πρέπει να σημειώσουμε ότι ακόμη και στην περίπτωση που όλα τα σημεία του διαγράμματος βρίσκονται εντός των ορίων ελέγχου αλλά συμπεριφέρονται με ένα συστηματικό ή μη τυχαίο τρόπο τότε και αποτελεί ένδειξη ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου. Ως (ακραίο) παράδειγμα μπορούμε να αναφέρουμε την περίπτωση όπου όλα τα σημεία βρίσκονται μεταξύ της κεντρικής γραμμής και του κάτω ορίου ελέγχου. Στο ακόλουθο πλαίσιο δίνεται ένα γενικό μοντέλο, το μοντέλο ορίων σίγμα για την κατασκευή ενός διαγράμματος ελέγχου. Το μ W και το σ W δηλώνουν τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση της στατιστικής συνάρτησης W που απεικονίζεται στο διάγραμμα ελέγχου, η οποία εκτιμά την κρίσιμη ποσότητα του προϊόντος που θέλουμε να παρακολουθήσουμε, ενώ ο αριθμός L δηλώνει την απόσταση των ορίων ελέγχου από την κεντρική γραμμή σε μονάδες τυπική απόκλισης της W. Μοντέλο ορίων L σίγμα UCL μ LCL μ Για την αποτελεσματική χρήση ενός τέτοιου διαγράμματος ελέγχου θα πρέπει η W να W CL W W Lσ Lσ ακολουθεί κανονική κατανομή. Όταν L 3 τότε αναφερόμαστε για κατασκευή ορίων W W - 4 -
ελέγχου τριών σίγμα (hree sgma corol lms, ή 3σ). Για μεγάλες τιμές του L η απόσταση των ορίων ελέγχου από την κεντρική γραμμή μεγαλώνει και έτσι μειώνεται ο κίνδυνος (ρίσκο, πιθανότητα) να βρεθεί ένα σημείο του διαγράμματος εκτός των ορίων ελέγχου. Σε αναλογία με την ορολογία που χρησιμοποιείται στους ελέγχους στατιστικών υποθέσεων, λέμε ότι μειώνεται η πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι (ή ρίσκο α) όμως, ταυτόχρονα αυξάνεται ή πιθανότητα σφάλματος τύπου ΙΙ (ή ρίσκο β). Για μικρές τιμές του L έχουμε τα αντίθετα αποτελέσματα. Για όρια ελέγχου 3σ και κανονική κατανομή της στατιστικής συνάρτησης W, όταν η διεργασία είναι εντός ελέγχου, η πιθανότητα να πάρει η W τιμή εκτός των ορίων ελέγχου είναι ίση με a.7. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι ένας εσφαλμένος συναγερμός συμβαίνει (κατά μέσο όρο) 7 φορές ανά σημεία του διαγράμματος ελέγχου. Επίσης για εντός ελέγχου διεργασίες η πιθανότητα να βρεθεί ένα σημείο πέραν του LCL (UCL) είναι.35. Εκτός από το μοντέλο ορίων σίγμα για την κατασκευή διαγραμμάτων ελέγχου Shewhar, υπάρχει και το μοντέλο ορίων πιθανότητας που παρουσιάζεται στο ακόλουθο πλαίσιο (μοντέλο ορίων πιθανότητας a ) (με w α συμβολίζεται το άνω a ποσοστιαίο σημείο της W). Μοντέλο ορίων πιθανότητας a UCL w CL w.5 LCL w ( a/ a/ )..3 Διαγράμματα ελέγχου Φάσης Ι και Φάσης ΙΙ. Στην βιβλιογραφία υπάρχουν δυο φάσεις για τον έλεγχο μιας παραγωγικής διεργασίας με την χρήση διαγραμμάτων ελέγχου, η Φάση Ι και η Φάση ΙΙ. Φάση Ι: Σε αυτήν τη φάση τα διαγράμματα ελέγχου χρησιμοποιούνται αναδρομικά για να ελέγξουν αν η διεργασία ήταν εντός ή εκτός ελέγχου εξετάζοντας δείγματα που συλλέχθηκαν σε παρελθόντα χρόνο. Σε αυτήν την φάση τα διαγράμματα ελέγχου βοηθούν τον διαχειριστή να φέρει την διεργασία - 5 -
εντός στατιστικού ελέγχου. Όταν αυτό επιτευχθεί τα διαγράμματα ελέγχου που προκύπτουν (κεντρική γραμμή και όρια ελέγχου) είναι κατάλληλα για την παρακολούθηση της μελλοντικής συμπεριφοράς της διεργασίας. Αυτή η χρήση των διαγραμμάτων ελέγχου αναφέρεται και ως αναδρομική (rerosecve). Φάση ΙΙ: Σε αυτή την φάση τα διαγράμματα ελέγχου χρησιμοποιούνται προκειμένου να ελέγχουμε συνεχώς αν η διεργασία παραμένει εντός ελέγχου. Στη φάση αυτή ο διαχειριστής έχει στα χέρια του ένα πολύτιμο εργαλείο μέσω του οποίου είναι δυνατόν να παρακολουθεί συνεχώς την παραγωγική διεργασία και να ανιχνεύει εγκαίρως μια πιθανή αλλαγή στο μέσο επίπεδο των χαρακτηριστικών που καθορίζουν την ποιότητα του παραγόμενου προϊόντος. Δηλαδή σε κάθε χρονική περίοδο που ένα δείγμα λαμβάνεται από την διεργασία ο διαχειριστής παίρνει μια απάντηση στο ερώτημα παραμένει η διεργασία εντός ελέγχου;. Σε αυτήν την φάση ο διαχειριστής αδιαφορεί για τον τρόπο με τον οποίο το μέσο επίπεδο της διεργασίας έχει εκτιμηθεί ή ήταν γνωστό εκ των προτέρων...4 Ταξινόμηση Διαγραμμάτων ελέγχου. Ανάλογα με ορισμένα χαρακτηριστικά τους τα διαγράμματα ελέγχου μπορούν να ταξινομηθούν σε πολλές κατηγορίες. Έτσι έχουμε τις εξής βασικές κατηγορίες: (a) Ανάλογα με το είδος της μεταβλητής που περιγράφει το ποιοτικό χαρακτηριστικό έχουμε διαγράμματα ελέγχου για μεταβλητές (corol chars for varables) και διαγράμματα ελέγχου για ιδιότητες (corol chars for arbues). (b) Εάν το μέγεθος των δειγμάτων είναι μεγαλύτερο της μονάδας αναφερόμαστε σε διαγράμματα ελέγχου για δείγματα/υποομάδες (corol chars for raoal subgrous), ενώ αν λαμβάνονται δείγματα μετρήσεων μεγέθους ένα τότε αναφερόμαστε σε διαγράμματα ελέγχου για μεμονωμένες παρατηρήσεις (corol chars for dvdual observaos). (c) Αν οι μετρήσεις που λαμβάνονται αφορούν ένα ποιοτικό χαρακτηριστικό αναφερόμαστε σε μονομεταβλητά διαγράμματα ελέγχου ενώ αν οι μετρήσεις αναφέρονται σε περισσότερα χαρακτηριστικά αναφερόμαστε σε πολυμεταβλητά διαγράμματα ελέγχου. - 6 -
(d) Αν οι μετρήσεις που λαμβάνονται ακολουθούν μια γνωστή κατανομή τότε αναφερόμαστε σε παραμετρικά διαγράμματα ελέγχου ενώ στην αντίθετη περίπτωση αναφερόμαστε σε μη-παραμετρικά διαγράμματα ελέγχου. (e) Αν λαμβάνεται υπόψη μόνο το τρέχον δείγμα αναφερόμαστε σε διαγράμματα ελέγχου χωρίς μνήμη (Shewhar ye corol chars), ενώ αν λαμβάνονται υπόψη και προηγούμενα δείγματα αναφερόμαστε σε διαγράμματα ελέγχου με μνήμη (CUSUM & ΕWMA corol chars.3 Εκτίμηση της μέσης τιμής και της διασποράς ενός συνεχούς χαρακτηριστικού. Στις περιπτώσεις που δεν είναι γνωστές οι παράμετροι του συνεχούς ποιοτικού χαρακτηριστικού της διεργασίας (μέση τιμή και διακύμανση), όπως στην Φάση ΙΙ, απαιτείται η εκτίμησή τους..3. Η περίπτωση των μεμονωμένων παρατηρήσεων Έστω,, ανεξάρτητες μεμονωμένες παρατηρήσεις από ένα πληθυσμό με άγνωστη μέση τιμή και άγνωστη διακύμανση. Ένας αμερόληπτος εκτιμητής της μέσης τιμής είναι ο δειγματικός μέσος ˆ και μια αμερόληπτη εκτίμηση της διακύμανσης είναι ή δειγματική διακύμανση S ( ). Αν υποθέσουμε τώρα ότι το τυχαίο δείγμα,, προέρχεται από κανονικό πληθυσμό N (, ) μπορούμε να βρούμε αμερόληπτους εκτιμητές της τυπικής απόκλισης. Τέτοιες είναι οι εκτιμήσεις ˆ R ( ) () S S, ˆ d ( ) d ( ) c4 ( ) c4 ( ) - 7 -
Οι ποσότητες d ( ) και c ( ) είναι σταθερές και εξαρτώνται από το μέγεθος του 4 δείγματος και μπορούν να βρεθούν σε βιβλία ποιοτικού ελέγχου..3. Η περίπτωση των δειγμάτων Έστω ότι έχουμε στη διάθεση μας m ανεξάρτητα τυχαία δείγματα μεγέθους το καθένα, τα,, ), m, από έναν κανονικό πληθυσμό ( ~ N(, ) με άγνωστη μέση τιμή και άγνωστη διακύμανση. Εκτίμηση του μ Έστω,, οι δειγματικοί μέσοι των m δειγμάτων και ας θέσουμε m m m m. Η ποσότητα έχει την κατανομή N(, / m) και χρησιμοποιείται ως εκτίμηση του (αμερόληπτη και συνεπής εκτιμήτρια του μ), δηλαδή ˆ. Αξίζει να σημειώσουμε ότι Ε ( ) μ, V( ) / m ανεξάρτητα από την κατανομή του. Εκτίμηση του σ μέσω του εύρους R Έστω R, R,, R m τα εύρη των m δειγμάτων, δηλαδή R, m ( ) (). Θέτουμε R R Rm R m και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις d ( ), προκύπτει ότι E ( R ) d ( ). Έτσι R η ποσότητα R / d( ) είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της ποσότητας, και χρησιμοποιείται ως εκτίμησή της, δηλαδή - 8 -
- 9 - ) ( ˆ d R. Εκτίμηση του σ μέσω της δειγματικής τυπικής απόκλισης S Έστω S η ποσότητα που ορίζεται από m S S, ) (. Θέτοντας m S S S S m και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις ) ( c 4 S προκύπτει ότι ) ( ) ( 4 c S E. Έτσι η ποσότητα ) ( / 4 c S είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της ποσότητας και χρησιμοποιείται ως εκτίμηση της, δηλαδή 4 ˆ c S. Εκτίμηση του σ μέσω της δειγματικής διακύμανσης S Έστω,,, m S S S οι ποσότητες που ορίζονται από τη σχέση m S, ) ( για τις οποίες είναι γνωστό ότι ) ( S S E. Η ποσότητα S όπου m S S S S m
αν και δεν είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια του χρησιμοποιείται αρκετές φορές (λόγω του ότι έχει μικρότερο μέσο τετραγωνικό σφάλμα από την S / c 4 ( ) ) ως εκτίμηση της ποσότητας, δηλαδή ˆ S..4 Διαγράμματα ελέγχου Shewhar.4. Διαγράμματα ελέγχου Shewhar για μεταβλητές Στην ενότητα αυτή θα παρουσιάσουμε περιληπτικά τα διαγράμματα ελέγχου τύπου Shewhar για τη μέση τιμή και τη διασπορά ενός συνεχούς ποιοτικού χαρακτηριστικού της παραγωγικής διεργασίας που μας ενδιαφέρει να παρακολουθήσουμε..4.. Διαγράμματα ελέγχου Shewhar για τη μέση τιμή.4... Διαγράμματα ελέγχου Shewhar Φάσης ΙΙ (μ, σ γνωστά) Ας υποθέσουμε ότι η κατανομή του χαρακτηριστικού ακολουθεί την κανονική κατανομή N (, ) και έστω Χ,,, ),, τυχαία δείγματα ( μεγέθους από το χαρακτηριστικό. Ο δειγματικός μέσος W ακολουθεί την κατανομή N(, / ) και απεικονίζεται στο επονομαζόμενο διάγραμμα ελέγχου. Τα όρια ελέγχου και η κεντρική γραμμή του διαγράμματος σε αυτήν την περίπτωση δίνονται στο ακόλουθο πλαίσιο. διάγραμμα Φάση ΙΙ Όρια ελέγχου 3σ UCL A CL LCL A - -
όπου 3 Α..4... Διαγράμματα ελέγχου Shewhar Φάσης ΙΙ (μ, σ γνωστά) για μεμονωμένες παρατηρήσεις Σε ορισμένες περιπτώσεις το μέγεθος του δείγματος είναι ίσο με (αυτόματη επιθεώρηση παραγόμενων προϊόντων παραγόμενων προϊόντων, μικρός ρυθμός παραγωγής, κτλ..). Σε αυτή την περίπτωση ομιλούμε για διαγράμματα ελέγχου για μεμονωμένες η ατομικές παρατηρήσεις (dvduals observaos). Οι μέθοδοι που αναπτύχθηκαν στις προηγούμενες ενότητες δεν μπορούν να εφαρμοστούν και χρειάζονται κατάλληλη τροποποίηση. Ας υποθέσουμε ότι η κατανομή του χαρακτηριστικού των προϊόντων που παράγονται ακολουθεί κανονική κατανομή N (, ) με και γνωστά. Το διάγραμμα ελέγχου για την παρακολούθηση της μέσης τιμής για μεμονωμένες παρατηρήσεις δίνεται από το ακόλουθο πλαίσιο διάγραμμα Φάση ΙΙ Όρια ελέγχου 3σ UCL 3 CL LCL 3 Στο διάγραμμα απεικονίζονται πλέον οι μεμονωμένες παρατηρήσεις ( W, )..4...3 Διαγράμματα ελέγχου Φάσης Ι (μ, σ άγνωστα) Στην πράξη οι ποσότητες με και είναι άγνωστες οπότε πρέπει να εκτιμηθούν. Για το σκοπό αυτό παίρνουμε m ανεξάρτητα προκαταρκτικά τυχαία δείγματα μεγέθους το καθένα,, ), m, για να εκτιμήσουμε τις ( ποσότητες και, υποθέτοντας ότι η επιλογή των προκαταρκτικών δειγμάτων έγινε όταν η διεργασία ήταν εντός ελέγχου (συνήθως m 5 και 4 6 ). - -
Στην ανάλυση που ακολουθεί υποθέτουμε ότι το χαρακτηριστικό ακολουθεί την κατανομή N (, ) με (, άγνωστα) και έχουμε τα ακόλουθα. Ως εκτίμηση του έχουμε τη στατιστική συνάρτηση και ως εκτίμηση του έχουμε τις ακόλουθες στατιστικές συναρτήσεις Χ R ˆ, d S ˆ, c 4 ˆ S. Επομένως ανάλογα με την εκτίμηση που χρησιμοποιούμε για την τυπική απόκλιση προκύπτει διαφορετικό διάγραμμα ελέγχου για την μέση τιμή. Για R ˆ έχουμε το ακόλουθο πλαίσιο με τα όρια ελέγχου και την κεντρική d γραμμή του διαγράμματος. διάγραμμα Φάση Ι Όρια ελέγχου 3σ Μέθοδος R UCL Α R CL LCL Α R όπου η σταθερά A 3. d Για S ˆ έχουμε το ακόλουθο πλαίσιο με τα όρια ελέγχου και την κεντρική c 4 γραμμή του διαγράμματος. διάγραμμα Φάση Ι Όρια ελέγχου 3σ Μέθοδος S - -
UCL Α S CL LCL Α S 3 3 όπου η σταθερά A 3 3. c 4 Τέλος, για ˆ S τα όρια ελέγχου και η κεντρική γραμμή του διαγράμματος συνοψίζονται στο ακόλουθο πλαίσιο. διάγραμμα Φάση Ι Όρια ελέγχου 3σ Μέθοδος S όπου η σταθερά 3 A. UCL CL LCL Α Α S S.4...4 Διαγράμματα ελέγχου Φάσης Ι (μ, σ άγνωστα) για μεμονωμένες παρατηρήσεις Στην περίπτωση που οι ποσότητες και είναι άγνωστες πρέπει να εκτιμηθούν. Αν έχουμε στην διάθεση μας τυχαίο δείγμα μεγέθους m από το χαρακτηριστικό, το,,..., ), η εκτίμηση του μέσου δίνεται από τη σχέση ( m... m ˆ και ~ N(, / m). Για την εκτίμηση του, m MR MR MR θέτοντας MR m MR max(, ) m(, ) m όπου έχουμε ότι ( MR) sd, οπότε η ποσότητα E( MR) d, οπότε η ποσότητα είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της ποσότητας, δηλαδή - 3 -
ˆ MR d Έτσι, χρησιμοποιώντας τις παρακάτω εκτιμήσεις, το πλαίσιο για το διάγραμμα στην περίπτωση των μεμονωμένων παρατηρήσεων για και άγνωστα δίνεται από τις σχέσεις στο ακόλουθο πλαίσιο διάγραμμα Φάση Ι Όρια ελέγχου 3σ MR UCL 3 d CL MR LCL 3 d Αξίζει να σημειώσουμε ότι μια αποτελεσματική εκτίμηση της τυπικής απόκλισης προκύπτει χρησιμοποιώντας τη σχέση ˆ S / c4 (όπου η σταθερά c4 υπολογίζεται για m) όπου S m m.4...5 Εφαρμογή για την κατασκευή διαγράμματος ελέγχου Shewhar για την μέση τιμή Στον Πίνακα.. παρουσιάζονται οι μετρήσεις ενός χαρακτηριστικού που περιγράφεται από μια συνεχή τυχαία μεταβλητή όπως προέκυψαν από την επιλογή τυχαίων δειγμάτων μεγέθους δύο. Έστω ότι, υπό συνθήκες φυσικής μεταβλητότητας (εντός ελέγχου διεργασίας), η κατανομή του χαρακτηριστικού είναι η κανονική κατανομή με μέση τιμή και τυπική απόκλιση. 5, και ότι ενδιαφερόμαστε να παρακολουθήσουμε τη συμπεριφορά της μέσης τιμής της. - 4 -
-bar Πίνακας.: Δεδομένα για την επίδειξη Χ διαγράμματος Δείγμα Πρώτη μέτρηση Δεύτερη Μέτρηση Μέση τιμή 9.844 9.6656 9.73539 9.8879 9.93767 9.8733 3.588 9.3768 9.948 4 9.9469.645.54 5 9.5596.98 9.888 6 9.583 9.7789 9.6496 7 9.47.5 9.7769 8 9.5985 9.95854 9.7757 9 9.544 9.676 9.5859.6653.366.4595 Κατασκευάζοντας το διάγραμμα ελέγχου Φάσης ΙΙ με τρία σίγμα όρια ελέγχου (απεικονιζόμενη ποσότητα η W ) έχουμε ότι CL, UCL A (3/ ).5.533, LCL A (3/ ).5 9.4697. Το διάγραμμα ελέγχου δίνεται στο ακόλουθο σχήμα (Σχήμα.). -bar Char for Measuremes,6,4, UCL =,53 CTR =, LCL = 9,47 9,8 9,6 9,4 4 6 8 Subgrou Σχήμα.: διάγραμμα ελέγχου για τα δεδομένα του Πίνακα. - 5 -
Εφόσον όλα τα σημεία του διαγράμματος βρίσκονται εντός των ορίων ελέγχου μπορούμε να ισχυριστούμε ότι ο μέσος δεν έχει αλλάξει (μετατοπιστεί) και επομένως η διεργασία είναι εντός στατιστικού ελέγχου..4. Διάγραμμα ελέγχου Shewhar για τη διασπορά.4.. Διάγραμμα ελέγχου Shewhar Φάσης ΙΙ (σ γνωστό). Στην παρούσα παράγραφο θα αναπτύξουμε την κατασκευή διαγραμμάτων ελέγχου τύπου Shewhar για την παρακολούθηση της διασποράς ενός συνεχούς χαρακτηριστικού. Υποθέτουμε ότι το χαρακτηριστικό ακολουθεί την κανονική κατανομή N (, ) και ότι έχουμε στην διάθεσή μας τα ανεξάρτητα τυχαία δείγματα Χ,,, ),, από το χαρακτηριστικό. ( R διάγραμμα ελέγχου Θέτοντας W R ( ) ( ) έχουμε ότι R d και R 3 V R d. Συνεπώς ένα διάγραμμα ελέγχου για την διασπορά του ποιοτικού χαρακτηριστικού μπορεί να βασιστεί σε ένα διάγραμμα όπου η απεικονιζόμενη ποσότητα θα είναι το εύρος R των δειγμάτων που ως γνωστό είναι ένα μέτρο διασποράς της. Το μοντέλο τριών σίγμα θα έχει όρια ελέγχου και κεντρική γραμμή τα ακόλουθα: UCL R 3 R ( d 3d 3), CL R d, LCL R 3 R ( d 3d 3) Θέτοντας D d 3d3 και D d 3d3 προκύπτει το ακόλουθο πλαίσιο R διάγραμμα Φάση ΙΙ Όρια ελέγχου 3σ UCL D CL d LCL D S διάγραμμα ελέγχου Θέτοντας W S, όπου - 6 -
S, m έχουμε ότι s E( S ) c, 4 V ( S ) c. s 4 Επομένως ένα διάγραμμα ελέγχου για την διασπορά του χαρακτηριστικού μπορεί να βασιστεί σε ένα διάγραμμα όπου οι απεικονιζόμενες ποσότητες θα είναι οι δειγματικές τυπικές αποκλίσεις S που είναι το πιο σύνηθες μέτρο διασποράς της. Το μοντέλο με τα 3σ όρια ελέγχου προκύπτει από τις παρακάτω σχέσεις UCL S 3 S ( c4 3 c4 ), CL S c4, LCL S 3 S ( c4 3 c 4 ) Θέτοντας B 6 c4 3 c και 4 B 5 c4 3 c προκύπτει το ακόλουθο πλαίσιο 4 S διάγραμμα Φάση ΙΙ Όρια ελέγχου 3σ UCL B CL c 4 6 LCL B 5 S διάγραμμα ελέγχου Θέτοντας W S, όπου S, m έχουμε ότι P ( ) ( ) ; a S ; a a. Επομένως ένα διάγραμμα ελέγχου για τη διασπορά μπορεί να βασιστεί σε ένα διάγραμμα όπου η απεικονιζόμενη ποσότητα θα είναι η δειγματική διακύμανση S - 7 -
που είναι ένα μέτρο διασποράς της. Τα όρια ελέγχου και η κεντρική γραμμή του διαγράμματος δίνεται στο ακόλουθο πλαίσιο: UCL S διάγραμμα Φάση ΙΙ Όρια ελέγχου πιθανότητας ; a, CL, LCL ; a.4.. Διαγράμματα ελέγχου Φάσης Ι (σ άγνωστο). Συνήθως η ποσότητα είναι άγνωστη επομένως θα πρέπει να εκτιμηθεί παίρνοντας τυχαία προκαταρκτικά δείγματα. Για το σκοπό αυτό παίρνουμε m ανεξάρτητα προκαταρκτικά τυχαία δείγματα μεγέθους το καθένα,, ), ( m, για να εκτιμήσουμε το, υποθέτοντας ότι η επιλογή των προκαταρκτικών δειγμάτων έγινε όταν η διεργασία ήταν εντός ελέγχου. Στην ανάλυση που ακολουθεί υποθέτουμε ότι το χαρακτηριστικό ακολουθεί την κατανομή N (, ). R διάγραμμα ελέγχου Χρησιμοποιώντας ως εκτίμηση του την ποσότητα ˆ R / d προκύπτει το ακόλουθο πλαίσιο R διάγραμμα Φάση ΙΙ Όρια ελέγχου 3σ UCL D4R CL R LCL D3R d3 όπου D3 3, d D 4 3 d d 3 S διάγραμμα ελέγχου Χρησιμοποιώντας ως εκτίμηση της ποσότητας την ˆ S / c4, τα όρια ελέγχου και η κεντρική γραμμή του διαγράμματος δίνεται στο ακόλουθο πλαίσιο: - 8 -
S διάγραμμα Φάση Ι Όρια ελέγχου 3σ UCL B4S CL S LCL B3S 3 όπου B3 c4, c 4 B 3 c4. c 3 4 S διάγραμμα ελέγχου Χρησιμοποιώντας ως εκτίμηση του την ποσότητα ˆ S και η κεντρική γραμμή του διαγράμματος δίνεται στο ακόλουθο πλαίσιο. S διάγραμμα Φάση Ι Όρια ελέγχου πιθανότητας UCL LCL CL S S S ; a ; a τότε τα όρια ελέγχου.4.3 Διαγράμματα ελέγχου Shewhar για ιδιότητες. Σε αρκετές περιπτώσεις ταξινομούμε ένα προϊόν σαν ελαττωματικό ή μη συμμορφούμενο (defecve or ocoformg) αν τουλάχιστον ένα ποιοτικό χαρακτηριστικό του έχει τιμή ή οποία βρίσκεται εκτός των ορίων προδιαγραφών. Σε αυτήν την περίπτωση λέμε ότι το προϊόν παρουσιάζει τουλάχιστον ένα ελάττωμα ή ατέλεια (defec or ocoformy). Ο αριθμός των ελαττωματικών προϊόντων μιας παραγωγικής διεργασίας, όπως και ο αριθμός των ελαττωμάτων ενός προϊόντος, είναι ποιοτικά χαρακτηριστικά που περιγράφονται με διακριτές τυχαίες μεταβλητές οι οποίες στα πλαίσια του Στατιστικού Ελέγχου Ποιότητας ονομάζονται ιδιότητες (arbues). - 9 -
Τρία είναι τα βασικά διαγράμματα ελέγχου τύπου Shewhar για ιδιότητες (arbues corol chars). Το πρώτο αφορά το ποσοστό (ή αναλογία ή κλάσμα) των ελαττωματικών προϊόντων μιας παραγωγικής διεργασίας γνωστό ως διάγραμμα ελέγχου, ενώ για τον αριθμό των ελαττωματικών προϊόντων χρησιμοποιείται το διάγραμμα ελέγχου. Το δεύτερο αφορά το συνολικό αριθμό των ελαττωμάτων σε μια μονάδα επιθεώρησης (seco u) γνωστό ως c διάγραμμα ελέγχου. Τέλος το τρίτο διάγραμμα αφορά το μέσο αριθμό των ελαττωμάτων ανά μονάδα επιθεώρησης γνωστό ως u διάγραμμα ελέγχου. Ως μονάδα επιθεώρησης μπορεί να είναι το ίδιο το προϊόν, ένα τμήμα του προϊόντος είτε ακόμα ένα σύνολο προϊόντων..4.3. Διάγραμμα ελέγχου Shewhar για το ποσοστό των ελαττωματικών προϊόντων. Στην παρούσα παράγραφο θα αναπτύξουμε την κατασκευή διαγράμματος τύπου Shewhar για την παρακολούθηση της συμπεριφοράς του ποσοστού των ελαττωματικών ή μη συμμορφούμενων προϊόντων μιας παραγωγικής διεργασίας. Με τον όρο ποσοστό ελαττωματικών προϊόντων ορίζουμε το πηλίκο του αριθμού των ελαττωματικών προϊόντων δια του συνολικού αριθμού των παραγόμενων προϊόντων..4.3.. Διαγράμματα ελέγχου Φάσης ΙΙ ( γνωστό) Η κατασκευή ενός διαγράμματος ελέγχου για το ποσοστό των ελαττωματικών προϊόντων μιας διεργασίας βασίζεται στη διωνυμική κατανομή. Ας υποθέσουμε ότι το ποσοστό των ελαττωματικών προϊόντων είναι γνωστό και ίσο με και ότι από την παραγωγή επιλέγουμε ανεξάρτητα τυχαία δείγματα μεγέθους προϊόντων το καθένα. Ας συμβολίσουμε με (, ) την τυχαία μεταβλητή με τιμές και ανάλογα με αν το αντίστοιχο προϊόν είναι ελαττωματικό ή όχι. Για την τυχαία μεταβλητή έχουμε ότι ~ B(, ) ενώ για την τυχαία μεταβλητή που δηλώνει τον αριθμό των ελαττωματικών προϊόντων στο δείγμα έχουμε ότι η ~ B(, ). Για την τυχαία μεταβλητή W, - -
που δηλώνει το ποσοστό των ελαττωματικών προϊόντων στο δείγμα, ισχύει ότι, W W ( ). Έτσι μπορούμε να αναπτύξουμε ένα διάγραμμα ελέγχου για την παρακολούθηση του ποσοστού των ελαττωματικών προϊόντων στο οποίο θα απεικονίζεται η τιμή της W στα διάφορα δείγματα που συλλέγουμε από την παραγωγική / διεργασία. Τα όρια του διαγράμματος και η κεντρική γραμμή συνοψίζονται στο ακόλουθο πλαίσιο: διάγραμμα Φάση ΙΙ Όρια ελέγχου 3σ ( ) UCL 3 CL ( ) LCL 3 Η κατασκευή ενός διαγράμματος για την παρακολούθηση του αριθμού των ελαττωματικών προϊόντων επιτυγχάνεται με την βοήθεια της τυχαίας μεταβλητής ( ). Στο διάγραμμα ελέγχου απεικονίζεται η τιμή της στατιστικής συνάρτησης W έναντι των δειγμάτων που συλλέγονται από την παραγωγή. Τα όρια ελέγχου και η κεντρική γραμμή του διαγράμματος δίνεται στο ακόλουθο πλαίσιο. διάγραμμα Φάση ΙΙ - Όρια ελέγχου 3σ UCL 3 CL LCL 3 ( ) ( ).4.3.. Διαγράμματα ελέγχου Φάσης Ι ( άγνωστο) - -
Στις περιπτώσεις που το ποσοστό των ελαττωματικών προϊόντων είναι άγνωστο θα πρέπει να το εκτιμήσουμε από m προκαταρκτικά δείγματα μεγέθους το καθένα. Έστω ότι τα δείγματα αυτά είναι τα,,, ), m. Θέτουμε ( m m P m m m m m m. Προφανώς E( P) και επομένως έχουμε το ακόλουθο πλαίσιο: διάγραμμα Φάση Ι Όρια ελέγχου 3σ UCL P 3 P( P), CL P, LCL P 3 P( P) Για το διάγραμμα τα όρια ελέγχου Φάσης Ι και η κεντρική γραμμή του δίνονται στο ακόλουθο πλαίσιο διάγραμμα Φάση Ι Όρια ελέγχου 3-σίγμα UCL P 3 P( P) CL P LCL P 3 P( P).4.3. Διαγράμματα ελέγχου Shewhar για τον αριθμό και το μέσο αριθμό των ελαττωμάτων. Στην παρούσα παράγραφο θα αναπτύξουμε την κατασκευή διαγράμματος για την παρακολούθηση του (συνολικού) αριθμού των ελαττωμάτων σε μια μονάδα επιθεώρησης και για το μέσο αριθμό ελαττωμάτων ανά μονάδα επιθεώρησης. Η βασική υπόθεση που θα κάνουμε είναι ότι ο (συνολικός) αριθμός ελαττωμάτων - -
(πιθανόν διαφορετικών τύπων) σε μια μονάδα επιθεώρησης ακολουθεί την κατανομή Posso. Επιπλέον απαιτείται οι μονάδες επιθεώρησης να είναι ίδιες..4.3.. Διαγράμματα ελέγχου φάσης ΙΙ (c γνωστό). Ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός των ελαττωμάτων που εμφανίζονται σε μια μονάδα επιθεώρησης ακολουθεί την κατανομή Posso με παράμετρο c. Έτσι μπορούμε να αναπτύξουμε ένα διάγραμμα ελέγχου για την παρακολούθηση του αριθμού των ελαττωμάτων των μονάδων επιθεώρησης στο οποίο θα απεικονίζεται η τιμή της W στις διάφορες μονάδες επιθεώρησης που επιλέγουμε από την παραγωγή. Τα όρια ελέγχου και η κεντρική γραμμή του διαγράμματος συνοψίζονται στο ακόλουθο πλαίσιο. c διάγραμμα Φάση ΙI Όρια ελέγχου 3σ UCL c 3 c CL c LCL c 3 c Τώρα, ας θεωρήσουμε ότι από την παραγωγή επιλέγουμε ανεξάρτητα τυχαία δείγματα μεγέθους μονάδων το καθένα και ας συμβολίσουμε με (, ) την τυχαία μεταβλητή που δηλώνει τον αριθμό ελαττωμάτων της αντίστοιχης μονάδας επιθεώρησης. Για την τυχαία μεταβλητή έχουμε ότι ~ P( c), ενώ για την τυχαία μεταβλητή που δηλώνει το συνολικό αριθμό των ελαττωμάτων στο δείγμα έχουμε ότι ~ P( c). Για την τυχαία μεταβλητή U που δηλώνει το μέσο αριθμό των ελαττωμάτων / ανά μονάδα επιθεώρησης στο δείγμα έχουμε ότι U c, U c. Επομένως μπορούμε να αναπτύξουμε ένα διάγραμμα ελέγχου για την παρακολούθηση του μέσου αριθμού των ελαττωμάτων ανά μονάδα επιθεώρησης σε κάθε δείγμα στο οποίο θα απεικονίζεται η τιμή της U στα διάφορα δείγματα / - 3 -
που επιλέγουμε από την παραγωγή. Τα όρια ελέγχου και η κεντρική γραμμή του διαγράμματος ελέγχου συνοψίζονται ακόλουθο πλαίσιο u διάγραμμα Φάση ΙI Όρια ελέγχου 3σ UCL c 3 CL c LCL c 3 c c.4.3.. Διαγράμματα ελέγχου Φάσης Ι (c άγνωστο) Όσον αφορά το c διάγραμμα, όταν η παράμετρος c της κατανομής Posso είναι άγνωστη, τότε θα πρέπει να εκτιμηθεί από τις πληροφορίες που θα μας δώσουν m προκαταρκτικές μονάδες επιθεώρησης. Ας συμβολίσουμε με ελαττωμάτων της μονάδας επιθεώρησης ( m). Θέτοντας τον αριθμό των C m m έχουμε ότι E( C ) c. Η ποσότητα C χρησιμοποιείται ως εκτίμηση της ποσότητας c, δηλαδή cˆ C. Επομένως τα όρια ελέγχου φάσης Ι και η κεντρική γραμμή του διαγράμματος δίνεται στο ακόλουθο πλαίσιο. c διάγραμμα Φάση Ι Όρια ελέγχου 3σ UCL C 3 C CL C LCL C 3 C Στην περίπτωση του u διαγράμματος η παράμετρος c της κατανομής Posso θα εκτιμηθεί από τις πληροφορίες που θα μας δώσουν m ανεξάρτητα προκαταρκτικά δείγματα μεγέθους μονάδων επιθεώρησης το καθένα, έστω τα,,, ), m. Θέτουμε ( m - 4 -
U m, m, U U U U m m m m m m. Τότε E( U ) c και επομένως η ποσότητα U χρησιμοποιείται ως εκτίμηση της ποσότητας c, δηλαδή cˆ U διαγράμματος δίνεται στο ακόλουθο πλαίσιο.. Επομένως τα όρια ελέγχου και η κεντρική γραμμή του u διάγραμμα Φάση Ι Όρια ελέγχου 3σ UCL U CL U LCL U 3 3 U U.5 Διαγράμματα ελέγχου με μνήμη Στα διαγράμματα ελέγχου Shewhar απεικονίζονται τιμές που βασίζονται στις μετρήσεις κάθε δείγματος χωρίς να λαμβάνουν υπόψη τους μετρήσεις από προηγούμενα δείγματα. Για το λόγο αυτό τα διαγράμματα ελέγχου Shewhar χαρακτηρίζονται ως διαγράμματα ελέγχου χωρίς μνήμη (corol chars whou memory). Τα διαγράμματα ελέγχου Shewhar είναι πολύ χρήσιμα στην ανίχνευση μετατοπίσεων του μέσου για τιμές μεγαλύτερες του.5. Μια άλλη κατηγορία διαγραμμάτων είναι τα διαγράμματα ελέγχου με μνήμη (corol chars wh memory). Στην κατηγορία αυτή ανήκουν τα διαγράμματα ελέγχου τύπου CUSUM, τα διαγράμματα ελέγχου τύπου EWMA, και τα διαγράμματα ελέγχου κινούμενου μέσου (ΜΑ) με τα οποία και θα ασχοληθούμε εκτενώς στην συγκεκριμένη εργασία. Τα διαγράμματα ελέγχου με μνήμη χρησιμοποιούνται κυρίως στην Φάση ΙΙ, όταν δηλαδή θέλουμε να παρακολουθούμε συνεχώς την συμπεριφορά - 5 -
ενός χαρακτηριστικού μιας παραγωγικής διεργασίας, του οποίου οι παράμετροι είναι ήδη γνωστές ή έχουν εκτιμηθεί σε προηγούμενο στάδιο. Τα διαγράμματα ελέγχου με μνήμη, ονομάζονται έτσι διότι ο σχεδιασμός ενός σημείο στο διάγραμμα ελέγχου βασίζεται σε πληροφορίες που δίνει όχι μόνο το πρόσφατο δείγμα αλλά και προγενέστερα δείγματα. Τα διαγράμματα αυτά εμφανίζουν πολύ καλές ιδιότητες στην απόδοση τους όσον αφορά την παρακολούθηση της παραγωγικής διεργασίας, κυρίως λόγω του ότι ανιχνεύουν γρηγορότερα πολύ μικρές μετατοπίσεις. Στη συνέχεια δίνεται το βασικό πλαίσιο που διέπει τη στατιστική συνάρτηση που απεικονίζεται στα διαγράμματα ελέγχου με μνήμη. Ας θεωρήσουμε μια παραγωγική διεργασία από την οποία λαμβάνονται τυχαία δείγματα,, της μορφής (,,..., ),. Ας υποθέσουμε ότι σε κάθε τυχαίο δείγμα αντιστοιχείται η στατιστική συνάρτηση g( ). Τότε στο διάγραμμα ελέγχου με μνήμη απεικονίζονται τα σημεία (, Y ), όπου η γραμμική στατιστική συνάρτηση Y,, δίνεται από τη σχέση Y a, () Y a b g( ), Y ( () () a b g ) b g( ), Y a b ( ) g( ) a b ( ) g( ) b ( ) g( ) b ( ) g( ) (σχέση.5) - 6 -
.5. Αθροιστικά διαγράμματα ελέγχου (CUSUM) Στα διαγράμματα ελέγχου τύπου CUSUM με βάση τη σχέση.5 στην προηγούμενη παράγραφο απεικονίζεται η στατιστική συνάρτηση Y [ g( ) Y ] [ g( ) Y ] Y Y g( ) όπου Y είναι μια τιμή στόχος. Συνεπώς ( ) a Y, b,,,...,. Ειδικότερα, ας θεωρήσουμε ότι έχουμε μια διεργασία με εντός ελέγχου μέσο μ και τυπική απόκλιση σ. Έστω ότι από τη διεργασία λαμβάνονται μεμονωμένες παρατηρήσεις της τυχαίας μεταβλητής, και μας ενδιαφέρει να ανιχνεύσουμε μετατοπίσεις του μέσου της διεργασίας της μορφής ( ). Στα δίπλευρα διαγράμματα CUSUM (Page (954)) απεικονίζονται ταυτοχρόνως οι δυο ακόλουθες συναρτήσεις Οι τιμές των ποσοτήτων S max[, ( K) S ], S, S m[, ( K) S ], S. S και S ονομάζονται τιμές εκκίνησης (headsar values). Η ποσότητα K ονομάζεται τιμή αναφοράς (referece value) και συνήθως δίνεται από τη σχέση K, / Η ποσότητα S μπορεί να θεωρηθεί κατάλληλη για τον έλεγχο της υπόθεσης H : H :, αφού μεγάλες (θετικές) τιμές της S οδηγούν στην αποδοχή της υπόθεσης H. Ανάλογα, η ποσότητα υπόθεσης S μπορεί να θεωρηθεί κατάλληλη για τον έλεγχο της - 7 -
H : H :, αφού (μικρές) αρνητικές τιμές της Για το ποια από τις δύο εναλλακτικές υποθέσεις S οδηγούν στην αποδοχή της υπόθεσης H και H. H θα αποδεχθούμε ή όχι σε κάθε βήμα της διαδικασίας η απόφασή μας θα εξαρτηθεί από το αν ισχύει S H ή S H, όπου H μια θετική σταθερά που συνήθως δίνεται από τη σχέση H h και ονομάζεται διάστημα απόφασης (decso erval H). Στην πράξη έχουμε ότι H 4 ή H 5 Φυσικά αν μια από τις δύο εναλλακτικές υποθέσεις H, γίνει αποδεκτή τότε θεωρούμε ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου λόγω μετατόπισης του μέσου της διεργασίας Για την επίδειξη του διαγράμματος ελέγχου τύπου CUSUM θα χρησιμοποιήσουμε 3 παρατηρήσεις από την κανονική κατανομή (βλ. Mogomery (5)), οι πρώτες παρατηρήσεις ακολουθούν την κατανομή N (,), ενώ οι τελευταίες παρατηρήσεις προέρχονται από την κατανομή N (, ). Στον ακόλουθο πίνακα δίνονται τα δεδομένα αυτά και τα αποτελέσματα για τις H ποσότητες S και S για K. 5 (επίσης =.5 και h=5). Πίνακας.. Δεδομένα για επίδειξη διαγράμματος ελέγχου CUSUM Δείγμα (Κ =.5 και Η = 5) ( K) S ( K) 9.45 -.5 -.5 -.5 7.99 -.5 -.5 -.56 3 9.9 -. -. -.77 4.66.6.6.6 5.6.66.8.66 6.8 -.3.5.68 7 8.4 -.46.4 -.46 -.46 8.46.96.96 9 9. -.3 -.3 -.3.34 -.6.84 9.3 -.47 -.47 -.47 S - 8 -
Cumulave Sum.47.97.97.97 3.5..98. 4 9.4 -. -. -. 5.8 -.4.58 6 9.37 -.3 -.3 -.3 7.6... 8.3 -.9.8 9 8.5 -.98 -.98 -.98.84.34.34.34.9.4.74.4 9.33 -.7 -.7 -.7 3.9.79.79.79 4.5.79 5.6..89. 6.8.58 3.47.58 7.38 -. 3.35.88 8.6. 4.47. 9.3.8 5.8.8 3.5. 5.3. Το διάγραμμα ελέγχου CUSUM (με το στατιστικό πακέτο Sagrahcs) δίνεται στο ακόλουθο σχήμα. CuSum Char for Daa 9 7 5 3 - -3-5 H=5, K=,5 AIM=, K=-,5 H=-5, -7 4 6 8 4 6 8 4 6 8 3 Subgrou Number Σχήμα.3. Διάγραμμα ελέγχου CUSUM για τα δεδομένα του Πίνακα. - 9 -
Από το παραπάνω διάγραμμα προκύπτει ότι S 5 και συνεπώς η διεργασία είναι εκτός ελέγχου λόγω μετατόπισης του μέσου διεργασίας σε υψηλότερο επίπεδο. Στις περιπτώσεις που το μέγεθος δείγματος χρησιμοποιούμε την μέση τιμή του 9 δείγματος, δηλαδή η ποσότητα θα πρέπει να αντικατασταθεί με την ποσότητα (το μέσο του δείγματος) και η ποσότητα σ με την ποσότητα /. Έτσι στο δίπλευρο συμμετρικό διάγραμμα τύπου CUSUM απεικονίζονται οι συναρτήσεις όπου S max[, ( K) S ], S, S m[, ( K) S ], S K, H h.5. Διαγράμματα ελέγχου τύπου EWMA Στα διαγράμματα ελέγχου τύπου EWMA με βάση τη σχέση.5 απεικονίζεται η στατιστική συνάρτηση Y ( ) Y g( )... ( ) Y ( ) g( ),, όπου Y είναι μια τιμή στόχος. Συνεπώς a ( ) ( ) Y, b ( ),,,...,. Τα διαγράμματα ελέγχου τύπου EWMA, εισήχθηκαν για πρώτη φορά από τον Robers (βλ. (Robers (959,966)), έχουν μη περιορισμένη και μη ομοιόμορφη μνήμη αφού λαμβάνουν πληροφορίες από όλα τα προηγούμενα δείγματα και το καθένα από αυτά έχει διαφορετική βαρύτητα. Ειδικότερα η συνάρτηση g( ) για μεμονωμένες παρατηρήσεις είναι συνήθως η ταυτοτική συνάρτηση οπότε σε αυτή την περίπτωση απεικονίζεται στο διάγραμμα η ποσότητα Z ( ) Z,. - 3 -
Για μια διεργασία με εντός ελέγχου μέσο και διακύμανση έχουμε συνήθως ότι Z. Τότε Z ( ) Z ( ) Z ( ).. Για το μέσο και τη διακύμανση της στατιστικής συνάρτησης Z έχουμε ότι ( Z ) Z, Z [ ( ) ]. Συνεπώς η κατασκευή ενός διαγράμματος ελέγχου για το μέσο της διεργασίας θα μπορούσε να βασιστεί στην ποσότητα απεικονίζεται η τιμή της στατιστικής συνάρτησης γραμμή δίνονται στο ακόλουθο πλαίσιο Z. Στο διάγραμμα ελέγχου τύπου EWMA θα Όρια ελέγχου διάγραμμα EWMA Z, τα όρια ελέγχου και η κεντρική UCL L CL LCL L Z L L ( ( ) ) ( ( ) ) Αν και η μέθοδος των διαγραμμάτων EWMA αναπτύχθηκε για μεμονωμένες παρατηρήσεις μπορεί να τροποποιηθεί άμεσα έτσι ώστε να καλύψει και την περίπτωση όπου έχουμε δείγματα μεγέθους. Σε αυτή την περίπτωση η ποσότητα θα πρέπει να αντικατασταθεί με την ποσότητα (δηλαδή με το μέσο του δείγματος) και η ποσότητα με την ποσότητα διάγραμμα ελέγχου απεικονίζεται η ποσότητα /. Συνεπώς στο Z ( ) Z, με όρια ελέγχου και κεντρική γραμμή που δίνονται στο επόμενο πλαίσιο - 3 -
Όρια ελέγχου διαγράμματος EWMA για > UCL LCL Z CL Z Z L, L Z Z L L ( ( ) ( ( ) ), ) Τα διαγράμματα ελέγχου τύπου EWMA χρησιμοποιούνται, όπως και τα διαγράμματα ελέγχου τύπου CUSUM, όταν θέλουμε να εντοπίσουμε μικρές μετατοπίσεις του μέσου της διεργασίας. Το πλεονέκτημα των διαγραμμάτων ελέγχου EWMA έναντι των CUSUM είναι ότι δεν είναι ευαίσθητα στην υπόθεση της κανονικότητας των παρατηρήσεων και για το λόγο αυτό είναι ιδανικά στην περίπτωση που έχουμε μεμονωμένες παρατηρήσεις. Για την επίδειξη ενός διαγράμματος EWMA θα χρησιμοποιήσουμε τα δεδομένα του Πίνακα. για τα οποία έχουμε Z, και θέτουμε. και L.7. Στον παρακάτω πίνακα.5. δίνονται τα δεδομένα αυτά καθώς και οι τιμές Z που θα απεικονιστούν στο διάγραμμα EWMA. Πίνακας.3. Δεδομένα για επίδειξη διαγράμματος ελέγχου EWMA Δείγμα (. και L. 7 ) Z Δείγμα Z 9.45 9.45 6 9.37 9.9846 7.99 9.495 7.6.478 3 9.9 9.355 8.3.74 4.66 9.99 9 8.5 9.986 5.6.53.84.8 6.8.37.9.997 7 8.4 9.67 9.33.7 8.46.755 3.9.495 9 9. 9.8796 4.5.3745.34.3 5.6.397 9.3 9.384 6.8.4654-3 -
EWMA.47.9785 7.38.4568 3.5.6 8.6.573 4 9.4.495 9.3.6468 5.8.55 3.5.634 Το EWMA διάγραμμα ελέγχου (με το στατιστικό πακέτο Sagrahcs) δίνεται στο ακόλουθο σχήμα.(σχήμα.4) EWMA Char for Daa,8,5 UCL =,6 CTR =, LCL = 9,38, 9,9 9,6 9,3 5 5 5 3 Subgrou Number Σχήμα.4. Διάγραμμα ελέγχου EWMA για τα δεδομένα του Πίνακα.3.6 Μέσο μήκος ροής στα διαγράμματα ελέγχου Μια βασική έννοια που σχετίζεται με τα διαγράμματα ελέγχου είναι το μέσο μήκος ροής ARL (average ru legh). Η τυχαία μεταβλητή Τ που δηλώνει το πλήθος των σημείων που πρέπει να σχεδιαστούν σε ένα διάγραμμα ελέγχου έως ότου πάρουμε ένδειξη ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου ονομάζεται μήκος ροής (ru legh) του διαγράμματος. Η ποσότητα ARL δηλώνει τον αναμενόμενο αριθμό των σημείων (δειγμάτων) που πρέπει να σχεδιαστούν στο διάγραμμα έως ότου λάβουμε για πρώτη ένδειξη ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου, δηλαδή ARL E(T ). Στα διαγράμματα ελέγχου Shewhar, με απεικονιζόμενη ποσότητα την W ή οποία έχει εντός ελέγχου μέση τιμή, τυπική απόκλιση και συνάρτηση κατανομής F ( ) έχουμε ότι η - 33 -
πιθανότητα εμφάνισης ενός σημείου του διαγράμματος εκτός των ορίων ελέγχου είναι ίση με P( LCL W UCL) F ( L ) F (( L ) ) και το εντός ελέγχου μέσο μήκος ροής είναι ίσο με ARL αφού το μήκος ροής T ακολουθεί τη γεωμετρική κατανομή με πιθανότητα επιτυχίας. Για παράδειγμα, αν για την τυχαία μεταβλητή W είναι γνωστό ότι W ~ N(, ), τότε έχουμε ότι το εντός ελέγχου μέσο μήκος ροής είναι ίσο με ARL και για 3σ όρια ελέγχου παίρνουμε ( L) ARL.7 37. Για μια διεργασία που βρίσκεται εντός ελέγχου θέλουμε να έχουμε μεγάλη τιμή για το ARL έτσι ώστε να μειωθεί ο αριθμός των λανθασμένων ενδείξεων εκτός ελέγχου διεργασίας ή αλλιώς ο αριθμός των λανθασμένων συναγερμών (false alarms). Για μια εκτός ελέγχου διεργασία, όπου η συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής W είναι ίση με F ( ), έχουμε ότι η πιθανότητα σημείου εκτός των ορίων ελέγχου του διαγράμματος είναι ίση με P( LCL W UCL) F ( L ) F (( L ) ) και το εκτός μέσο μήκος ροής είναι ίσο με ARL. εμφάνισης ενός - 34 -
Προφανώς για μια διεργασία που βρίσκεται εκτός ελέγχου θέλουμε να έχουμε μικρή τιμή για το ARL, έτσι ώστε να μειωθεί ο αριθμός των δειγμάτων (και συνεπώς ο χρόνος) που απαιτούνται για να γίνει αντιληπτό ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου. - 35 -
Κεφάλαιο ο : Διαγράμματα ελέγχου κινούμενου μέσου για συνεχή χαρακτηριστικά. Εισαγωγή Τις τελευταίες δεκαετίες αναπτύσσονται νέες τεχνικές αλλά και επεκτάσεις των ήδη διαθέσιμων διαγραμμάτων ελέγχου που στόχο έχουν την βελτιστοποίηση της απόδοσής τους στην παρακολούθηση της διεργασίας. Στο κεφάλαιο αυτό της εργασίας θα αναφερθούμε στις κυριότερες τεχνικές που έχουν αναπτυχθεί και αφορούν επεκτάσεις του διαγράμματος ελέγχου κινούμενου μέσου (movg average corol char) για την παρακολούθηση της μέσης τιμής και της διασποράς μιας διεργασίας. Στην διεθνή βιβλιογραφία είναι περιορισμένη η αναφορά στα διαγράμματα ελέγχου κινούμενου μέσου σε σχέση με τα υπόλοιπα διαγράμματα ελέγχου με μνήμη όπως τα CUSUM και τα EWMA. Παρόλα αυτά τα τελευταία χρόνια κάποιοι ερευνητές μελετούν τις ιδιότητες των διαγραμμάτων ελέγχου κινούμενου μέσου και έχουν προτείνει νέες προσεγγίσεις που αφορούν τη βελτίωση της αποτελεσματικότητας των διαγραμμάτων αυτών. Στην συνέχεια της εργασίας θα παρουσιαστούν λεπτομερώς κάποιες από αυτές τις προσεγγίσεις, ενώ για περαιτέρω πληροφορίες για τα διαγράμματα ελέγχου κινούμενου μέσου ο αναγνώστης μπορεί να συμβουλευθεί τη βιβλιογραφία στο τέλος της εργασίας.. Διάγραμμα ελέγχου απλού κινούμενου μέσου (ΜΑ) για τη μέση τιμή Με βάση την σχέση.5 των διαγραμμάτων ελέγχου με μνήμη που δόθηκε στην Ενότητα.5, στο διάγραμμα ελέγχου κινούμενου μέσου απεικονίζεται η στατιστική συνάρτηση M Y g( g( r ) r ) g( ) g( ) που αντιστοιχεί στην περίπτωση - 36 -
a r, b ( ) r,, r,,, r Τα διαγράμματα ελέγχου κινούμενου μέσου έχουν περιορισμένη και ομοιόμορφη μνήμη αφού βασίζονται σε πληροφορίες που δίνουν τα πιο πρόσφατα δείγματα και το καθένα από αυτά έχει την ίδια βαρύτητα b /. Η συνάρτηση g () για μεμονωμένες παρατηρήσεις είναι συνήθως η ταυτοτική συνάρτηση οπότε σε αυτήν την περίπτωση απεικονίζεται στο διάγραμμα η ποσότητα MA,. Για μια διεργασία εντός ελέγχου με μέση τιμή και διακύμανση προκύπτει λόγω ανεξαρτησίας των παρατηρήσεων ότι E ( MA ), V ( MA ) r V ( r ) r. Επομένως, αν θεωρήσουμε ότι η τιμή στόχος για τον μέσο της διεργασίας είναι τότε για περιόδους του κινούμενου μέσου είναι τα, η κεντρική γραμμή και τα όρια ελέγχου του διαγράμματος UCL L, CL, LCL L όπου η είναι η εντός ελέγχου τυπική απόκλιση και L είναι μια σταθερά και δηλώνει την απόσταση των ορίων ελέγχου από την κεντρική γραμμή σε μονάδες τυπικής απόκλισης της απεικονιζόμενης στατιστικής συνάρτησης ελέγχου. Όταν L 3 τότε με βάση το πιο πάνω πλαίσιο παίρνουμε τα όρια ελέγχου τριών σίγμα. Για περιόδους, δεν έχουμε αρκετές παρατηρήσεις για να υπολογίσουμε τον πλήρη κινούμενο μέσο εύρους, και επομένως η στατιστική συνάρτηση ορίζεται ως ο μέσος όρος των πρώτων παρατηρήσεων, δηλαδή MA,,,...,. Σε αυτή την περίπτωση τα όρια ελέγχου του διαγράμματος για το σημείο προφανώς τα MA είναι - 37 -
UCL L, LCL L Η διαδικασία ελέγχου μιας διεργασίας μπορεί να περιγραφεί ως εξής:. Γίνεται ο υπολογισμός του νέου κινούμενου μέσου MA καθώς κάθε νέα παρατήρηση γίνεται διαθέσιμη.. Στη συνέχεια απεικονίζουμε στο διάγραμμα το MA έναντι του μαζί με τα άνω και κάτω όρια ελέγχου του διαγράμματος. 3. Τέλος συμπεραίνουμε ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου αν κάποιο από τα MA βρεθεί εκτός των ορίων ελέγχου. Τα διαγράμματα ελέγχου μπορούν εύκολα να τροποποιηθούν έτσι ώστε να μπορούν χρησιμοποιηθούν για οποιοδήποτε σταθερό μέγεθος δείγματος. Σε αυτήν την περίπτωση χρησιμοποιείται η στατιστική συνάρτηση MA,., Για έχουμε ότι E ( MA ), V ( MA ) r V ( r ) r. Έτσι τα «σταθεροποιημένα» όρια ελέγχου ( ) και η κεντρική γραμμή είναι τα UCL L, CL, LCL L. Για έχουμε ότι E ( MA ), V ( MA ) r V ( r ) r και επομένως τα όρια ελέγχου και η κεντρική γραμμή για τα πρώτα σημεία του διαγράμματος είναι τα UCL L, CL, LCL L. - 38 -
Τα διαγράμματα ελέγχου κινούμενου μέσου είναι πιο αποτελεσματικά από τα διαγράμματα ελέγχου τύπου Shewhar στην ανίχνευση μικρών μετατοπίσεων της υπό παρακολούθηση παραμέτρου της διεργασίας. Ωστόσο δεν είναι τόσο αποτελεσματικά όσο τα διαγράμματα ελέγχου τύπου CUSUM και EWMA για αυτό και η χρήση τους είναι σχετικά περιορισμένη. Σε γενικές γραμμές το μέγεθος της μετατόπισης που ενδιαφερόμαστε να ανιχνεύσουμε σχετίζεται αντίστροφα με το εύρος του κινούμενου μέσου, δηλαδή μικρότερες μετατοπίσεις μπορούν να ανιχνευθούν πιο αποτελεσματικά από μεγαλύτερου εύρους κινούμενους μέσους, εις βάρος ωστόσο της γρήγορης απόκρισης του διαγράμματος σε μεγάλες μετατοπίσεις. Για να δείξουμε τον σχεδιασμό ενός διαγράμματος απλού κινούμενου μέσου για την παρακολούθηση του μέσου μιας διεργασίας θα χρησιμοποιήσουμε τα δεδομένα που χρησιμοποιήσαμε αρχικά στην ενότητα.5. (πίνακας.). Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι παρατηρήσεις αυτές καθώς και οι κινούμενοι μέσοι που έχουν υπολογιστεί για εύρος 5. Πίνακας.. Δεδομένα για την επίδειξη του διαγράμματος ελέγχου απλού κινούμενου μέσου (ΜΑ char) x MA x MA 9.45 9.45 6 9.37.66 7.99 8.7 7.6 9.996 3 9.9 8.9 8.3 9.956 4.66 9.5975 9 8.5 9.78 5.6..84 9.93 6.8.56.9.38 7 8.4.66 9.33 9.98 8.46.7 3.9.376 9 9..8 4.5.97.34 9.844 5.6.94 9.3 9.64 6.8.96.47.3 7.38.7 3.5. 8.6.36 4 9.4.5 9.3.998 5.8.98 3.5.98-39 -
Movg Average Θα σχεδιάσουμε προσεκτικά ένα διάγραμμα ελέγχου απλού κινούμενου μέσου για τα παραπάνω δεδομένα χρησιμοποιώντας εύρος 5. Οι παρατηρήσεις x στον παραπάνω πίνακα είναι για περιόδους 3. Η στατιστική συνάρτηση που απεικονίζεται στο διάγραμμα ελέγχου κινούμενου μέσου είναι η MA 3... 5 4 για 5. Τα όρια ελέγχου τριών σίγμα μπορούν εύκολα να υπολογιστούν με βάση τις σχέσεις που δώσαμε προηγουμένως, και εφόσον και., παίρνουμε 3 3 (.) UCL 5.34, 3 3 (.) LCL 8.66. 5 Τα παραπάνω όρια για MA ισχύουν για περιόδους 5. Για περιόδους 5, η απεικονιζόμενη στατιστική συνάρτηση είναι η MA (... ) και τα όρια / ελέγχου δίνονται από την σχέση 3 / (,,3,4 ). Μια εναλλακτική προσέγγιση που αποφεύγει την χρήση ειδικών ορίων ελέγχου για τις περιόδους, είναι η χρησιμοποίηση ενός κλασικού διαγράμματος ελέγχου Shewhar μέχρις ότου ληφθούν δείγματα από περιόδους. Παρακάτω δίνεται το διάγραμμα ελέγχου κινούμενου μέσου μέσω του στατιστικού πακέτου Sagrahcs. MA Char for Idvdual Observaos 3 9 8 UCL =,34 CTR =, LCL = 8,66 7 5 5 5 3 Observaos Σχήμα.. Διάγραμμα ελέγχου απλού κινούμενου μέσου ΜΑ για τα δεδομένα του Πίνακα. - 4 -
Παρατηρούμε ότι για τα παραπάνω δεδομένα δεν υπάρχουν σημεία στο διάγραμμα που να υπερβαίνουν τα όρια ελέγχου. Παρατηρούμε ότι τα όρια ελέγχου στις αρχικές περίοδοι 5, είναι πλατύτερα σε σχέση με τα σταθεροποιημένα όρια ελέγχου. Αξίζει να σημειώσουμε ότι οι ποσότητες MA r και MA m για r m είναι συσχετισμένες και έτσι υπάρχει αντικειμενική δυσκολία να ερμηνεύσουμε πρότυπα στο διάγραμμα ελέγχου κινούμενου μέσου. Κλείνοντας την παρούσα παράγραφο σημειώνουμε ότι στην βιβλιογραφία δεν υπάρχει ακριβής τύπος που να δίνει τον υπολογισμό του ARL για ένα γενικό διάγραμμα ελέγχου κινούμενου μέσου. Στις περισσότερες εργασίες στην βιβλιογραφία χρησιμοποιούνται προσεγγίσεις για τον υπολογισμό του ARL οι οποίες προκύπτουν με μεθόδους προσομοίωσης. Από τις λίγες εργασίες που ασχολούνται με την μελέτη του ARL στα διαγράμματα κινούμενου μέσου δίνοντας (κυρίως άνω και κάτω φράγματα) αναφέρουμε τους Robers (959, 966), La (974), Böhm & Hacl (99), Ross (999), Zhag e al(4).3 Διάγραμμα ελέγχου διπλού κινούμενου μέσου (DMA) για τη μέση τιμή Το διάγραμμα ελέγχου διπλού κινούμενου μέσου (double movg average corol char- DMA char) είναι μια προσέγγιση που στόχο έχει την βελτίωση της απόδοσης του διαγράμματος ελέγχου απλού κινούμενου μέσου (MA char). Η προσέγγιση αυτή εισήχθη από τους Khoo & Wog (8) οι οποίοι στηρίχθηκαν σε προηγούμενη εργασία των Shamma & Shamma (99)), και Zhag & Che (5)). Οι προαναφερθέντες εισήγαγαν κάποια νέα διαγράμματα ελέγχου τα διαγράμματα DEWMA (double exoeally movg average corol char), τα οποία αποτελούν μια επέκταση του διαγράμματος ελέγχου EWMA.. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια παραγωγική διεργασία εντός ελέγχου και έστω,, οι δειγματικοί μέσοι των (ανεξάρτητων) δειγμάτων μεγέθους που λαμβάνονται από τη διεργασία, δηλαδή ). ( / - 4 -
- 4 - Όπως αναφέραμε στην προηγούμενη παράγραφο η στατιστική συνάρτηση που δηλώνει τον κινούμενο μέσο εύρους την χρονική περίοδο είναι η ακόλουθη.,, MA Το διάγραμμα του διπλού κινούμενου μέσου (DMA) βασίζεται στον υπολογισμό του κινούμενου μέσου των κινούμενων μέσων. Η στατιστική συνάρτηση του διπλού κινούμενου μέσου (DMA) με εύρος την χρονική περίοδο δίνεται από τη σχέση.,, MA MA MA MA MA DMA Για μια διεργασία εντός ελέγχου με μέση τιμή και διακύμανση προκύπτει ότι ο μέσος της στατιστικής συνάρτησης DMA για (και ενώ η διεργασία είναι εντός ελέγχου) δίνεται από τη σχέση ) ( ) ( MA E DMA E. Το ίδιο μπορεί να δειχθεί και στις περιπτώσεις που το. Η διακύμανση της στατιστικής συνάρτησης DMA για δίνεται (σύμφωνα με τους Khoo & Wog (8)) από τη σχέση,,, ) ( DMA Var Σημειώνεται ότι για, η ποσότητα ) ( DMA Var υπολογίζεται χρησιμοποιώντας μόνο την πρώτη και τρίτη γραμμή της παραπάνω εξίσωσης.
Τα όρια ελέγχου του διαγράμματος DMA για είναι τα εξής: L UCL/ LCL L L,,,. Τα όρια ελέγχου του διαγράμματος DMA για υπολογίζονται με βάση στην πρώτη και τρίτη γραμμή της παραπάνω σχέσης. Το L η σταθερά που δηλώνει την απόσταση των ορίων ελέγχου από την κεντρική γραμμή και επομένως καθορίζει τη εντός ελέγχου μέσο μήκος ροής του διαγράμματος. Παρακάτω δίνονται οι τιμές του L για επιλεγμένες τιμές του εντός ελέγχου μέσου μήκους ροής για διάφορες τιμές του που έχουν ληφθεί μέσω προσομοίωσης από τους Khoo & Wog (8). Η κατανομή των παρατηρήσεων (, ) θεωρούμε ότι είναι η N (, ). Σημειώνεται ότι οι τιμές του Πίνακα. ισχύουν ανεξαρτήτως της τιμής του μεγέθους των δειγμάτων. Πίνακας.. Τιμές του L για το DMA διάγραμμα ελέγχου για δεδομένο ARL και L ARL = = 3 = 4 = 5 = = 5 3.64 3.474 3.778 4.36 4.836 5.3 5 3.45 3.695 4.55 4.444 5.33 5.776 3.36 3.844 4.38 4.649 5.668 6.349 5 3.453 3.959 4.376 4.85 5.94 6.638 3 3.58 4.5 4.49 4.93 6.5 7.86 35 3.594 4.3 4.587 5.9 6.3 7.44 37 3.66 4.6 4.63 5.66 6.337 7.487 4 3.646 4.87 4.665 5. 6.43 7.78 45 3.69 4.5 4.77 5.9 6.553 7.996 5 3.73 4.33 4.787 5.56 6.658 8.38 55 3.77 4.349 4.837 5.33 6.755 8.4 6 3.8 4.389 4.88 5.364 6.847 8.33 65 3.83 4.47 4.93 5.48 6.93 8.484 7 3.859 4.459 4.967 5.45 7. 8.639-43 -
75 3.886 4.495 5. 5.49 7.69 8.683 8 3.98 4.5 5.4 5.57 7.8 8.76 85 3.93 4.55 5.73 5.564 7.78 8.779 9 3.949 4.575 5. 5.66 7.33 8.83 95 3.969 4.6 5.3 5.639 7.85 8.89 3.99 4.67 5.58 5.667 7.34 9.3 Εάν η μέση τιμή και η διακύμανση της κατανομής της διεργασίας είναι άγνωστες τότε εκτιμώνται από m προκαταρκτικά δείγματα με τη βοήθεια των γνωστών σχέσεων m ˆ, m m m R R m ˆ d d S S m ή ˆ c4 c4. Στην περίπτωση των μεμονωμένων παρατηρήσεων, εάν οι τιμές και δεν είναι διαθέσιμες τότε εκτιμώνται από m προκαταρκτικές μεμονωμένες παρατηρήσεις με τη βοήθεια των γνωστών σχέσεων m ˆ, m m / ˆ MR MR m S.8.8 ή ˆ c4 όπου MR,,3,, m, και S m m η δειγματική τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων. Ο ακόλουθος πίνακας περιέχει τιμές του ARL του ΜΑ και του DMA διαγράμματος ελέγχου για διάφορες μετατοπίσεις δ του μέσου μιας διεργασίας που περιγράφεται από την κατανομή N (,). Για έχουμε εντός ελέγχου διεργασία. Το ARL είναι ίσο με ενώ οι τιμές του ARL δίνονται για =, 5, και =, 3, 4, 5,, 5. Οι τιμές στις παρενθέσεις αντιστοιχούν στο MA διάγραμμα ελέγχου. - 44 -
Πίνακας.3. Τιμές του ARL για το DMA και το ΜΑ διάγραμμα ελέγχου (ARL = ) 5 Μετατόπιση = = 3 = 4 = 5 = = 5 δ L = 3.36 L = 3.844 L = 4.38 L = 4.649 L = 5.668 L = 6.349 99.8 99.9 99.8 99.6.. (.) (99.9) (99.9) (.) (.4) (.3). 4.4 8.7 7.7 4.4 9. 7.5 (47.4) (37.5) (8.8) (3.) (98.) (87.5).4 7.8 59. 5.7 38.5 34.9 5.7 (8.5) (69.) (59.3) (5.7) (38.) (3.).6 38. 8.3 4. 7.4 6.9 5.5 (44.7) (34.5) (8.4) (5.) (8.) (5.8).8.7 6. 4.4 3.. (5.) (8.6) (5.8) (4.) (.7) (9.5)..7. 9. 7.6..7 (5.) (.7) (9.8) (8.8) (7.) (6.5).5 5. 4.8 4.9 5. 6.8 8. (5.8) (4.7) (4.) (4.) (3.5) (3.3). 3. 3. 3.5 3.9 4.9 6. (3.) (.7) (.5) (.5) (.3) (.) 99.7 99.9.8 98. 95. 99.7 (99.5) (.) (.8) (99.) (97.9) (99.7). 6.9 48.5 4. 3.7 9.6 9.4 (7.8) (57.7) (48.8) (43.7) (3.9) (6.5).4 6..5. 8.7.3 4. (9.6) (5.) (.4) (.) (8.6) (7.7).6 6.5 5.7 5.7 5.7 7.5 9.4 (7.6) (6.) (5.3) (4.9) (4.3) (4.).8 3.7 3.7 4. 4.4 5.5 6.5 (3.9) (3.3) (3.) (3.) (.7) (.5)..6.8 3. 3.5 4.3 4.9 (.4) (.) (.) (.) (.) (.8).5.6.8...7 3. (.3) (.3) (.3) (.3) (.) (.)...3.4.6.. (.). (.) (.) (.) (.) (.) 99.6 99.9 98. 99. 94.7 97.7 (98.3) (.4) (98.7) (99.8) (98.) (.). 33.8.5.9 5.4 7.4 9.5 (4.4) (3.) (5.6) (.5) (6.3) (4.4).4 7.4 6.3 6. 6. 8.. (8.6) (6.7) (5.9) (5.5) (4.7) (4.3).6 3.3 3.4 3.7 4. 5. 6. (3.4) (.9) (.8) (.7) (.5) (.3).8..5.7 3. 3.7 4. (.9) (.8) (.8) (.8) (.7) (.6)..7.9..3.9 3. (.4) (.4) (.4) (.3) (.3) (.).5...3.5.9. (.) (.) (.) (.) (.) (.).......5 (.) (.) (.) (.) (.) (.) - 45 -
Οι τιμές του ARL στον παραπάνω πίνακα υπολογίστηκαν μέσω προσομοίωσης βασισμένοι στον μέσο όρο 5 επαναληπτικών δοκιμών (βλ. Khoo & Wog (8)). Με βάση τις τιμές του παραπάνω πίνακα γίνεται αντιληπτό ότι το DMA διάγραμμα έχει καλύτερη απόδοση στην περίπτωση των μεμονωμένων παρατηρήσεων σε σχέση με το MA διάγραμμα. Ειδικότερα όταν 3 και οι τιμές του ARL είναι.8, 5.9, 8.3, 6. για μετατόπιση.,.4,.6,.8 όταν οι αντίστοιχες τιμές του ARL είναι.37, 69., 34.5, 8.6. Για μεγάλες μετατοπίσεις το DMA διάγραμμα είναι ελαφρώς λιγότερο ευαίσθητο σε σχέση με το MA διάγραμμα, όπως.5. Για ομαδοποιημένα δεδομένα το DMA διάγραμμα παραμένει πιο ευαίσθητο σε σχέση με το MA όσον αφορά τις μικρές μετατοπίσεις, αλλά για τις μέτριες μετατοπίσεις τα δυο διαγράμματα είναι σχεδόν συγκρίσιμα. Για τις μεγάλες μετατοπίσεις το ΜΑ διάγραμμα είναι ελαφρώς πιο ευαίσθητο σε σχέση με το DMA διάγραμμα. Γενικότερα και για τα δυο διαγράμματα, για το ίδιο μέγεθος μετατόπισης, οι τιμές του ARL μειώνονται καθώς αυξάνεται η τιμή του εύρους. Στη συνέχεια δίνουμε ένα παράδειγμα εφαρμογής του DMA διαγράμματος ελέγχου όταν το 5. Θα χρησιμοποιήσουμε τα δεδομένα του Πίνακα.. Εφαρμόζοντας τον ορισμό του DMA προκύπτει ο παρακάτω πίνακας. Πίνακας.4. Δεδομένα για την επίδειξη του διαγράμματος ελέγχου διπλού απλού κινούμενου μέσου (DΜΑ char) x MA DMA x MA DMA 9.45 9.45 9.45 6 9.37.66.648 7.99 8.7 9.85 7.6 9.996.4 3 9.9 8.9 9.67 8.3 9.956.73 4.66 9.5975 9.694 9 8.5 9.78 9.999 5.6. 9.3575.84 9.93 9.966 6.8.56 9.587.9.38 9.984 7 8.4.66 9.879 9.33 9.98 9.977 8.46.7.859 3.9.376.6 9 9..8.38 4.5.97.996-46 -
.34 9.844.548 5.6.94.498 9.3 9.64.64 6.8.96.644.47.3.33 7.38.7.884 3.5..5 8.6.36.4 4 9.4.5.36 9.3.998.76 5.8.98.544 3.5.98.9 Θα χρησιμοποιήσουμε ARL = 37 οπότε από τον Πίνακα. προκύπτει ότι L 5.66. Οι τιμές των ορίων υπολογίζονται με τους τύπου που δόθηκαν προηγουμένως και συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα (επαναλαμβάνουμε εδώ ότι και. ). Πίνακας.5. Όρια ελέγχου του διαγράμματος DMA για τα δεδομένα του Πίνακα.4 3 4 5 6 7 8 9 UCL 5.66 3.3.865.88.53.34..38.3 LCL 4.934 6.8977 7.735 8.7 8.469 8.766 8.8978 8.968 8.9868 Στην συνέχεια δίνεται και το DMA διάγραμμα ελέγχου - 47 -
Σχήμα.. Διάγραμμα ελέγχου διπλού κινούμενου μέσου DΜΑ για τα δεδομένα του Πίνακα.4 (Πηγή βλ. Khoo & Wog (8)) Παρατηρούμε ότι ο 9 ος και 3 ος διπλός κινούμενος μέσος υπερβαίνουν το άνω όριο ελέγχου του διαγράμματος και επομένως έχουμε ένδειξη για εκτός ελέγχου διεργασία στην 9 η και την 3 η παρατήρηση..4 Διάγραμμα ελέγχου κινούμενου μέσου για την από κοινού παρακολούθηση της μέσης τιμής και της διακύμανσης. Συνήθως χρησιμοποιούνται δυο ξεχωριστά διαγράμματα ελέγχου, ένα για την παρακολούθηση της μέσης τιμή και ένα για τη διασπορά μιας διεργασίας. Ωστόσο τα τελευταία χρόνια έχουν προταθεί αρκετά διαγράμματα ελέγχου για την ταυτόχρονη παρακολούθηση της μέσης τιμής και της διασποράς μιας διεργασίας. Η από κοινού παρακολούθηση της μέσης τιμής και της διακύμανσης της διεργασίας έχει μεγαλύτερη σημασία όταν και οι δυο παράμετροι μετατοπίζονται ταυτοχρόνως. Τέτοιου είδους διαγράμματα μπορούν να βρεθούν στις εργασίες των Che e al. (,4), Ga (), Ga e al. (4), Zhag & Wu (6), Cosa & Rahm (6), και Khoo & Ya (5). Στην παρούσα παράγραφο θα αναπτύξουμε το διάγραμμα ελέγχου κινούμενου μέσου που πρότειναν οι Khoo & Ya (5) για την ταυτόχρονη παρακολούθηση της μέσης τιμής και της διακύμανσης μια παραγωγικής διεργασίας. Έστω ότι οι παρατηρήσεις μας είναι της μορφής (, ), δηλαδή έχουμε δείγματα μεγέθους, και θεωρούμε ότι ~ N( a, ). Οι τιμές a και δηλώνουν μια διεργασία είναι εντός ελέγχου. Έστω επίσης )/ (ο δειγματικός μέσος του δείγματος) και ( S ( ) /( ) (η δειγματική διακύμανση του δείγματος). Για, ορίζουμε της στατιστικές συναρτήσεις - 48 -
- 49 - (,) ~ / N U, ~ ) ( N S H V όπου ) ( και H η συνάρτηση κατανομής της τυπικής κανονικής κατανομής και η συνάρτηση κατανομής της χι-τετράγωνο κατανομής με βαθμούς ελευθερίας, αντίστοιχα. Οι στατιστικές συναρτήσεις U και V είναι ανεξάρτητες διότι οι, S είναι ανεξάρτητες. Τώρα θέτουμε U U U U U L,, και.,, V V V V V M Ορίζουμε την στατιστική συνάρτηση W },, max{ M L W Η στατιστική συνάρτηση W θα παίρνει μεγάλες τιμές όταν ο μέσος της διεργασίας έχει μετατοπιστεί από την εντός ελέγχου τιμή και/ή όταν η διακύμανση της διεργασίας έχει αυξηθεί ή μειωθεί. Η συνάρτηση πυκνότητας της W για την εντός ελέγχου περίπτωση, δίνεται από τον τύπο ], ) ( )[ ( 4 ) ( w w w w f όπου ) ( η συνάρτηση πυκνότητας της τυπικής κανονικής κατανομής. Εφόσον το W παίρνει μόνο μη αρνητικές τιμές, τότε το από κοινού διάγραμμα ελέγχου κινουμένου μέσου, στο οποίο απεικονίζεται το W, χρειάζεται μόνο άνω όριο ελέγχου UCL. Αν υποθέσουμε ότι το σφάλμα τύπου Ι που ορίζεται από την διοίκηση και
βασίζεται σε κάποιους προκαθορισμένους παράγοντες είναι a, τότε το άνω όριο ελέγχου UCL από τη λύση της εξίσωσης UCL f ( w) dw a. Προτείνεται η χρήση του παραπάνω UCL ακόμα και όταν το για να απλοποιηθεί ο χειρισμός του διαγράμματος ελέγχου αλλά και οι σχετικοί υπολογισμοί. Για την εφαρμογή του από κοινού διαγράμματος ελέγχου κινουμένου μέσου μπορούν μα ακολουθήσουμε τα επόμενα βήματα:. Αν οι παράμετροι της διεργασίας είναι άγνωστοι τότε εκτιμώνται από m προκαταρκτικά δείγματα ως ακολούθως: Η μέση τιμή της διεργασίας μ εκτιμάται από το μέσο των δειγματικών μέσων των δειγμάτων. Η τυπική απόκλιση εκτιμάται με το R d ή το S c4, όπου R ( R R R ) / m m ο μέσος των δειγματικών ευρών και S S S Sm ) / m ο μέσος των δειγματικών ( τυπικών αποκλίσεων. Επίσης d d( ) και c4 c4( ) όπου [( m ) / m].. Υπολογίζουμε U, V, L, M και W για κάθε δείγμα. 3. Καθορίζουμε το άνω όριο UCL χρησιμοποιώντας την σχέση f ( w) dw a όπου a το επιθυμητό σφάλμα τύπου Ι. 4. Όταν W UCL, σχεδιάζουμε στο διάγραμμα ένα σημείο έναντι του. Όταν W UCL, τότε εξετάζουμε τις τιμές τα L και M σε σχέση με το UCL. Αν μόνο το L είναι μεγαλύτερο από το UCL τότε (α) σχεδιάζουμε στο διάγραμμα το m έναντι του όταν ισχύει U για να δηλώσουμε ότι αυξήθηκε ο μέσος της διεργασίας, και (β) σχεδιάζουμε στο διάγραμμα το m όταν ισχύει U για να δηλώσουμε ότι μειώθηκε ο μέσος της διεργασίας. Ομοίως, αν μόνο το M μεγαλύτερο από το UCL, τότε (α) σχεδιάζουμε στο διάγραμμα το v έναντι του όταν ισχύει V για να δηλώσουμε ότι αυξήθηκε η διακύμανση της διεργασίας, και (β) σχεδιάζουμε στο διάγραμμα το v όταν ισχύει V για να δηλώσουμε ότι μειώθηκε η διακύμανση της διεργασίας. Στην περίπτωση - 5 - UCL
που UCL και UCL τότε σχεδιάζουμε στο διάγραμμα,, L M,, όταν U και V, U και V, U και V, U και V, αντίστοιχα. 5. Ελέγχουμε για ειδικές αιτίες μεταβλητότητας για κάθε σημείο του διαγράμματος που δίνει σήμα εκτός ελέγχου διεργασίας και προβαίνουμε σε διορθωτικές ενέργειες όταν εντοπιστούν. Τα παραπάνω βήματα είναι σχεδόν ίδια με αυτά που πρότεινε ο Che () για το διάγραμμα MaxEWMA, που έχει σχεδιαστεί για τον ίδιο σκοπό. Για την επίδειξη του διαγράμματος κινούμενου μέσου για την από κοινού παρακολούθηση μέσης τιμής και της διακύμανσης θα χρησιμοποιήσουμε τα δεδομένα του ακόλουθου πίνακα (Khoo & Ya (5). Τα δεδομένα είναι προϊόν προσομοίωσης, όπου το μέγεθος των δειγμάτων είναι. Τα πρώτα δείγματα προέρχονται από την τυπική κανονική κατανομή N (, ), ενώ τα υπόλοιπα δείγματα προέρχονται από την τυπική κανονική κατανομή N (, ), δηλαδή στα τελευταία δείγματα υπάρχει μια μετατόπιση τυπικών αποκλίσεων στο μέσο της διεργασίας. Το άνω όριο ελέγχου UCL για, ARL 5 (ή ισοδύναμα a.4 ) είναι ίσο με UCL. 84. - 5 -
Πίνακας.6. Δεδομένα για την επίδειξη του από κοινού διαγράμματος ελέγχου κινούμενου μέσου για την παρακολούθηση της μέσης τιμής και της διακύμανσης 3 4 5 6 7 8 9.449 3 4 5 -.856 -.6 -.8483 -.489 -.464.3334.4637 -.9357 -.88.6378.48897.45396.6558 -.7999 -.433 -.77 -.7643.7953.467.39867.86.7478-5 - -.988 -.396 -.76759 -.4454 -.5433.55849.369.799.833 -.6 -.5353 6.533.93.3874.7836.586.6393 7 -.45.5639 -.956.8597.43.3695.8367.8397.7465 -.8356 -.9333 -.63879 -.494 -.739.433 -.976 8.4734.867.599 3.9.86893.695.4679.36998 9 3 4 5 6 7 8 9 -.84 -.73973 -.7485.779.657.8.56 -.7495.94 -.3787 -.93494.5465 -.33476 -.43 -.97555 -.3353.8534.845 -.7589 -.8936 -.649 -.9.5334.7346 -.55475 -.886 -.399.7958.45 -.336.483.9336.4733.56748.769.38999.5856.335.7337.9987.355.6887.39959.98453.397.9395.339.9539.463.64644.4399 3.46.5.574 3.4767.478.669 3.45.75973.4584.9679.9459.37487.7947.7996 3.88.67 3.573.7338.96594.7 3..6889.353.859.856 5.59.59.7359.38498 4.8.498.6669.3.358.5545.84893.6393.346.765.76 3.64.686 -.88696.96883.847.85.83776.539.735.357.9864 3.7484 3.49.733.353.48794.594.8899.89845.4478 3.55 3.977.96697.54655.566 3.538.8599.394.894.56456.53 -.35493.8.9786.5483.6776.495.3484.78834.4875.947 3.5375.899.8997.589.8783.675.537.38.7477.889 3.36747.9388.6866.775.557.93663.543.9578.396.4533.5743 -.499.946.635.34484.583.67.4575.58473.7436.95536.83353 3.7448.7566
3 4 5 6 7 8 9 3.4835 3.996 3.647.7995.6664.56584.57378.883 3.85656.457.43795.734.8996.963 -.495 -.676.44656.79739.433.487.5954.84359.3637 3.395.9374.54.9865.756.6556.575.69968.33.87843.66.46368 -.543.794 3.3464.9855 3.847.4377.44.975.76785 3.8.33693.5667 3.85554 4.664.54.98.74976.6588.443.433.65864.388.67.33884.37348.98.633.57856.8758.369 3.548.656.675 3.3898.73-53 -
Στον ακόλουθο πίνακα υπάρχουν όλοι οι απαραίτητοι υπολογισμοί για την κατασκευή του διαγράμματος. Πίνακας.7. Υπολογισμοί για την κατασκευή από κοινού διαγράμματος ελέγχου ` S U V L M W.933.9444.995.653.995.653.653.69.378474.536.77.76358.68965.68965 3 -.87549.8337 -.6683 -.576 -.87398.755.87398 4.96883.977887.76338.6 -.9453 -.574.9453 5 -.3755.78 -.4337.58.4638.36.36 6.363.844.74738.6483.566548.655.655 7.536689.977747.875.637.77467.356.77467 8.943463.88788.983493 -.3539.89839 -.45.89839 9 -.959.8446 -.66784.575.63549.768.63549.3859.9767.6768.336 -.97577.755.97577.589489.8648 5.6456 -.689.54769 -.377.54769.583.89987 6.85439 -.635 5.957747 -.65975 5.957747 3.55687.38993 6.86888.874 6.84 -.755 6.84 4.8878.8363384 6.633986 -.5537 6.7397 -.335 6.7397 5.436.364493 7.6579.69 7.388.5375 7.388 6.768739.77358 5.593438.886 6.6534 5.6 6.6534 7.635.879388 7.46 -.3948 6.36735.456 6.36735 8.9645.845369 6.945645 -.558 6.999343 -.463 6.999343 9.9347.65443 6.5867.646 6.537548.574 6.537548.55.784695 7.68 -.7885 6.568465 -.7395 6.568465.83755.9475597 5.7355969 -.65 6.378399 -.4685 6.378399.747.93456 5.4435985.546 5.5895977.445 5.5895977 3.56.75775 7.86855 -.596 6.84 -.3675 6.84 4.78.3897 7.8494.33 7.53897 -.495 7.53897 5.87569.944886 5.93597 -.768 6.5576768.5 6.5576768 6.6445.9476 5.397.5493 5.565885.365 5.565885 7.763336.4346 5.57658.67 5.388776.65 5.388776 8.95558.84884 7.5998.36 6.476749.998 6.476749 9.5568.869349 4.953 -.467 6.845985.4595 6.845985 3.7379.966464 5.387857 -.555 5.4893 -.8 5.4893-54 -
Το διάγραμμα ελέγχου κινούμενου μέσου για την από κοινού παρακολούθηση της μέσης τιμής και της διακύμανσης της παραγωγικής διεργασίας με εύρος ) για τα παραπάνω δεδομένα είναι το ακόλουθο, Σχήμα.3. Διάγραμμα κινούμενου μέσου για την από κοινού παρακολούθηση της μέσης τιμής και της διακύμανσης Με βάση το παραπάνω διάγραμμα ελέγχου κινούμενου μέσου παρατηρούμε ότι έχουμε ένδειξη εκτός ελέγχου για την διεργασία ήδη από το ο δείγμα η οποία οφείλεται στην μετατόπιση (αύξηση) της μέσης τιμής. Όλα τα σημεία μετά το ο δείγμα βρίσκονται υψηλότερα από το άνω όριο ελέγχου UCL το οποίο είναι λογικό αφού στα τελευταία δείγματα υπάρχει μετατόπιση του μέσου μεγέθους τυπικών αποκλίσεων. Αναφέραμε προηγουμένως ότι το από κοινού διάγραμμα ελέγχου μέσου που πρότεινε οι Khoo και Ya (7) βασίστηκε στο διάγραμμα ελέγχου MaxEWMA που πρότεινε οι Che και συν. () για την κοινή παρακολούθηση της μέσης τιμής και της διακύμανσης της παραγωγικής διεργασίας. Οι Khoo και Ya (7) σύγκριναν την απόδοση του δικού τους διαγράμματος ελέγχου με το διάγραμμα ελέγχου MaxEWMA των Che e al. () για ARL 5 και 5. Οι τιμές ARL του παρακάτω πίνακα, που αναφέρονται στο από κοινού διάγραμμα ελέγχου των Khoo και Ya (7), προέκυψαν με προσομοίωση. - 55 -