Κύριες διευθύνσεις στα ασύµµετρα πολυώροφα κτίρια µε και χωρίς σεισµική µόνωση βάσης

Κύριες διευθύνσεις στα ασύµµετρα πολυώροφα κτίρια µε και χωρίς σεισµική µόνωση βάσης A.Μ. Αθανατοπούλου & Ι.Ν. ουδούµης Τοµέας Επιστήµης & Τεχνολογίας των Κατασκευών ΑΠΘ. Λέξεις κλειδιά: Σεισµική ανάλυση, πολυώροφα ασύµµετρα κτίρια, κύριες διευθύνσεις, σεισµική µόνωση βάσης ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Σε αυτή την εργασία παρουσιάζεται πρόταση ορισµού και µεθοδολογία υπολογισµού των κυρίων διευθύνσεων τυχόντος πολυώροφου ασύµµετρου κτιρίου, µε διαφραγµατική λειτουργία των πλακών των ορόφων. Οι προτεινόµενες κύριες διευθύνσεις εξαρτώνται από την καθ ύψος κατανοµή της οριζόντιας φόρτισης και αποτελούν ορθολογική γενίκευση του τρόπου µε τον οποίο ορίζονται οι κύριες διευθύνσεις στα µονώροφα κτίρια. Η µεθοδολογία µπορεί να εφαρµοσθεί τόσο σε κτίρια µε συµβατικό τρόπο στήριξης, όσο και σε ευρεία κατηγορία κτιρίων µε σεισµική µόνωση βάσης, είναι δε απολύτως συµβατή µε τις σχετικές διατάξεις του Ελληνικού Αντισεισµικού Κανονισµού. Η εφαρµογή της µεθοδολογίας επεξηγείται µε αντίστοιχες αριθµητικές εφαρµογές. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σύµφωνα µε τον ΕΑΚ/000 ( 3..[]) ο υπολογισµός της σεισµικής απόκρισης γίνεται µε δύο µεθόδους γραµµικής ανάλυσης: α) Τη δυναµική φασµατική µέθοδο και β) την απλοποιηµένη φασµατική µέθοδο. Για την εφαρµογή της απλοποιηµένης φασµατικής µεθόδου είναι απαραίτητος ο προσδιορισµός του ελαστικού άξονα και των κύριων διευθύνσεων του κτιρίου. Είναι γνωστό ότι το ελαστικό κέντρο και οι κύριες διευθύνσεις ορίζονται ορθολογικά στα µονώροφα κτίρια και σε ορισµένες ειδικές κατηγορίες πολυώροφων κτιρίων. Έχει αποδειχτεί ότι στο µονώροφο κτίριο µε διαφραγµατική λειτουργία πλάκας, υπάρχει πάντα ένα σύστηµα συντεταγµένων Κ(Ι,ΙΙ,z,) (Αναστασιάδης 989), ως προς το οποίο το µητρώο οριζόντιας δυσκαµψίας γίνεται διαγώνιο. Η αρχή Κ του συστήµατος είναι το ελαστικό κέντρο και οι οριζόντιοι άξονες Ι και ΙΙ είναι οι κύριες διευθύνσεις του κτιρίου. Η δυσκαµψία κατά τη διεύθυνση Ι είναι µέγιστη ενώ κατά τη διεύθυνση ΙΙ είναι ελάχιστη. Μία δύναµη που διέρχεται από το Κ κατά µήκος του άξονα Ι (ή ΙΙ) προκαλεί µεταφορά του µονώροφου κτιρίου κτά µήκος του αντίστοιχου άξονα ενώ στρεπτική ροπή γύρω από τον κατακόρυφο άξονα z προκαλεί περιστροφή του κτιρίου γύρω από το Κ. Τα ανωτέρω ισχύουν και στα πολυώροφα ισότροπα κτίρια. Έτσι ονοµάζονται τα κτίρια των ο- ποίων τα στοιχεία δυσκαµψίας έχουν ανάλογα µητρώα δυσκαµψίας (K i =λ Κ 0 ) (Kan & Chopra 977, Anastassiadis 985, Makarios & Anastassiadis 998a,b, Athanatopoulou et al 005). Μία άλλη κατηγορία κτιρίων που διαθέτουν κατακόρυφο ελαστικό άξονα είναι τα συµµετρικά ως προς δύο κατακόρυφα επίπεδα κτίρια. Η τοµή των δύο κατακόρυφων επίπεδων συµµετρίας καθορίζει τον κατακόρυφο ελαστικό άξονα και οι τοµές των κατακόρυφων επίπεδων συµµετρίας µε τα οριζόντια επίπεδα των πλακών καθορίζουν τις οριζόντιες κύριες διευθύνσεις. Η συντριπτική πλειοψηφία των πολυώροφων κτιρίων δεν ανήκουν στις ανωτέρω δύο κατηγορίες και ως εκ τούτου δεν διαθέτουν κατακόρυφο ελαστικό άξονα και κύριες διευθύνσεις. Στον ΕΑΚ/000 ορίζεται ο πλασµατικός ελαστικός άξονας και οι κύριες διευθύνσεις των ασύµ- µετρων πολυώροφων κτιρίων µε βάση τις σχετικές εργασίες των Μακάριου και Αναστασιάδη (998 a,b). Με βάση τις ανωτέρω εργασίες ο προσδιορισµός του άξονα βέλτιστης στρέψης και των κύριων διευθύνσεων των πολυώροφων ασύµµετρων κτιρίων, στηρίζεται στην παραµετρική µελέτη κτιρίων των οποίων τα χαρακτηριστικά είναι σταθερά ή παρουσιάζουν µικρή µεταβολή κατά την έννοια του ύψους και αναφέρονται σε κτίρια πακτωµένα στη βάση τους. Ο ΕΑΚ/000 δεν περιέχει

διατάξεις σχετικές µε κτίρια σεισµικά µονωµένα στη βάση τους. Στον EC8 αναφέρεται ότι και στα κτίρια µε σεισµική µόνωση στη βάση τους, ο υπολογισµός της σεισµικής απόκρισης µπορεί να γίνει µε γραµµικές µεθόδους όταν η διάταξη σεισµικής µόνωσης αποτελείται από ελαστοµεταλλικά εφέδρανα ή εφέδρανα µε διγραµµική υστερητική συµπεριφορά. ηλαδή η απλοποιηµένη φασµατική µέθοδος εφαρµόζεται και σε αυτήν την κατηγορία κτιρίων. Εποµένως απαιτείται ο υπολογισµός του πλασµατικού ελαστικού άξονα και των κύριων διευθύνσεων και σε αυτή την κατηγορία κτιρίων. Στην παρούσα εργασία προτείνεται ένα ορθολογικό κριτήριο για τον ορισµό των κυρίων διευθύνσεων των ασύµµετρων πολυώροφων κτιρίων µε βάση τις ιδιότητές τους στο µονώροφο κτίριο. Με χρήση του κριτηρίου προκύπτουν µαθηµατικές σχέσεις µε τη βοήθεια των οποίων υπολογίζονται οι κύριες διευθύνσεις. Οι σχέσεις αυτές είναι εύκολο να προγραµµατιστούν και τα δεδοµένα που απαιτούνται είναι οι µετακινήσεις από τρεις στατικές αναλύσεις λόγω των στατικών σεισµικών δυνάµεων (τις ίδιες αναλύσεις απαιτούν και οι αναφερόµενες στον ΕΑΚ σχέσεις). Οι µοναδικοί περιορισµοί που απαιτούνται για την εφαρµογή των σχέσεων είναι η γραµµική ελαστική συµπεριφορά και η διαφραγµατική λειτουργία των πλακών. Ως εκ τούτου δύνανται να χρησιµοποιηθούν όχι µόνο σε κτίρια µε συµβατική στήριξη αλλά και σε κτίρια µε σεισµική µόνωση όταν η συµπεριφορά των µονωτήρων µπορεί να προσοµοιωθεί ως γραµµικά ελαστική. ΠΛΑΣΜΑΤΙΚΟΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ Στα σχόλια του ΕΑΚ/000 (Σ.3.3.3[]) ο πλασµατικός ελαστικός άξονας (άξονας βέλτιστης στρέψης) ορίζεται ως ο κατακόρυφος άξονας που χαρακτηρίζεται από την εξής ιδιότητα: εάν το κατακόρυφο επίπεδο των οριζόντιων σεισµικών δυνάµεων διέρχεται από τον άξονα αυτό, τότε το άθροισµα των τετραγώνων των γωνιών στροφής θ i των πατωµάτων είναι ελάχιστο: θ i =min () i Στο κυρίως κείµενο του ΕΑΚ ( 3.3.3[]) ως πραγµατικός ή πλασµατικός άξονας του κτιρίου ορίζεται ο κατακόρυφος άξονας που διέρχεται από τον πόλο στροφής Po του πλησιέστερου προς την στάθµη z o =0.8 H του διαφράγµατος (i o ) του κτιρίου για στρεπτική φόρτιση όλων των διαφραγ- µάτων µε τις οµόσηµες στρεπτικές ροπές M zi =+c F i, όπου H το ύψος του κτιρίου και c αυθαίρετος µοχλοβραχίονας των σεισµικών δυνάµεων F i. ηλαδή δεν χρησιµοποιείται το κριτήριο που καθορίστηκε αλλά µία προσεγγιστική σχέση. Οι Marino and Rossi (004) χρησιµοποιώντας το κριτήριο της εξισώσεως () κατέληξαν σε µαθηµατικές σχέσεις για τον ακριβή προσδιορισµό του άξονα βέλτιστης στρέψης. Περιόρισαν όµως την εφαρµογή των σχέσεων σε κτίρια που έχουν στοιχεία δυσκαµψίας µε άξονες παράλληλους µεταξύ τους. Οι γράφοντες (Doudoumis & Athanatopoulou 005) επέκτειναν την εφαρµογή των σχέσεων που προτάθηκαν από τους Marino and Rossi σε κτίρια που έχουν στοιχεία δυσκαµψίας µε τυχαίο προσανατολισµό. Οι συντεταγµένες του σηµείου από το οποίο διέρχεται ο πλασµατικός ε- λαστικός υπολογίζονται από τις σχέσεις: y z,x z,z = θ θ θ z,z θ z,z, z,y z,z x = θ θ θ z,z θ z,z όπου θ z,x : είναι διάνυσµα Ν διαστάσεων (Ν ο αριθµός των ορόφων) του οποίου τα στοιχεία είναι οι γωνίες στροφής των ορόφων που προκύπτουν από φόρτιση του κτιρίου µε τις οριζόντιες σεισµικές δυνάµεις F καθορισµένης καθύψος κατανοµής, εφαρµοσµένες κατά µήκος του άξονα x του καθολικού συστήµατος συντεταγµένων. θ z,y : είναι διάνυσµα Ν διαστάσεων του οποίου τα στοιχεία είναι οι γωνίες στροφής των ορόφων που προκύπτουν από φόρτιση του κτιρίου µε τις οριζόντιες σεισµικές δυνάµεις F καθορισµέ- ()

νης καθύψος κατανοµής, εφαρµοσµένες κατά µήκος του άξονα y του καθολικού συστήµατος συντεταγµένων. θ z,z : είναι διάνυσµα Ν διαστάσεων του οποίου τα στοιχεία είναι οι γωνίες στροφής των ορόφων που προκύπτουν από φόρτιση του κτιρίου µε τις στρεπτικές ροπές M= F γύρω από τον άξονα z του καθολικού συστήµατος συντεταγµένων. Οι ανωτέρω σχέσεις απαιτούν την ανάλυση του κτιρίου λόγω τριών διαφορετικών φορτιστικών καταστάσεων και είναι εύκολο να προγραµµατιστούν. Ισχύουν για οιοδήποτε ασύµµετρο πολυώροφο κτίριο µε ελαστική συµπεριφορά και διαφραγµατική λειτουργία πλακών. Εποµένως µπορούν να χρησιµοποιηθούν και σε κτίρια µε σεισµική µόνωση βάσης όταν αυτή θεωρηθεί ότι έχει ελαστική λειτουργία. 3 ΚΥΡΙΕΣ ΙΕΥΘΥΝΣΕΙΣ 3. Μονώροφο κτίριο Θεωρούµε τυχόν µονώροφο κτίριο µε διαφραγµατική λειτουργία πλακών και το καθολικό σύστηµα αναφοράς Oxyz (Σχ.). Η κινηµατική συµπεριφορά του διαφράγµατος περιγράφεται από τρεις ε- λευθερίες κίνησης: δύο οριζόντιες µετακινήσεις u x και u y κατά µήκος των αξόνων x και y και µία στροφή γύρω από τον κατακόρυφο άξονα z. Το διάνυσµα µετακινήσεων και το µητρώο δυσκαµψίας ως προς το καθολικό σύστηµα είναι (Αναστασιάδης 989): u k k k x xx xy xz u y, o= kyx kyy kyz θz kzx kzy kzz u = K () o Έχει αποδειχτεί ότι υπάρχει ένα σύστηµα συντεταγµένων Κ(Ι,ΙΙ,z,) ως προς το οποίο το µητρώο δυσκαµψίας γίνεται διαγώνιο. Οι συντεταγµένες της αρχής Κ δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις (Αναστασιάδης 989): x o = (kxxkzy kxyk zx) (kxxkyy k xy), y o (kyykzx kxyk zy) (kxxkyy k xy) = (a, b) Η γωνία a που σχηµατίζει η κύρια διεύθυνση I µε τον άξονα x του καθολικού συστήµατος δίνεται από τη σχέση: tna = k xy (kxx k yy ) (3) Σχήµα. Μονώροφο κτίριο. Καθολικό και κύριο σύστηµα αναφοράς 3

Η γωνία a =a+90 καθορίζει την κύρια διεύθυνση ΙΙ. Το διάνυσµα µετακινήσεων και το µητρώο δυσκαµψίας ως προς το κύριο σύστηµα Κ(Ι,ΙΙ,z,) είναι (Αναστασιάδης 989): u K k u I = uii και θz I,II K K k 0 0 I = 0 kii 0 0 0 kiii ( k + k ) ( k k ) xx yy xx yy kxy = ± + όπου k I είναι η µέγιστη τιµή της οριζόντιας δυσκαµψίας και k II είναι η ελάχιστη τιµή. Μία οριζόντια δύναµη που περνά από το Κ και έχει τη διεύθυνση του άξονα Ι ή II προκαλεί µετακίνηση κατά µήκος του άξονα Ι ή II και το µέτρο της µετακίνησης είναι ελάχιστο ή µέγιστο αντίστοιχα. Στηριζόµενοι σε αυτή την ιδιότητα των κυρίων διευθύνσεων του µονώροφου κτιρίου ορίζουµε ως κύριες διευθύνσεις στα πολυώροφα κτίρια τις διευθύνσεις που χαρακτηρίζονται από την εξής ιδιότητα: όταν το κατακόρυφο επίπεδο το οποίο ορίζουν οι διευθύνσεις των οριζοντίων στατικών δυνάµεων, διέρχεται από τον πλασµατικό ελαστικό άξονα και είναι παράλληλο προς την κύρια διεύθυνση Ι ή II, τότε το άθροισµα των τετραγώνων των οριζοντίων µετακινήσεων των ιχνών του πλασµατικού ελαστικού άξονα στις στάθµες των ορόφων καθίσταται µέγιστο ή ελάχιστο αντίστοιχα. 3. Πολυώροφο κτίριο Θεωρούµε τυχόν Ν-ώροφο κτίριο µε διαφραγµατική λειτουργία πλακών και το καθολικό σύστηµα αναφοράς Oxyz (Σχ.). Η κινηµατική συµπεριφορά του διαφράγνατος κάθε ορόφου του κτιρίου περιγράφεται από τρεις ελευθερίες κίνησης: δύο οριζόντιες µετακινήσεις u x και u y κατά µήκος των αξόνων x και y και µία στροφή γύρω από τον κατακόρυφο άξονα z. Χρησιµοποιώντας τις Σχέσεις υπολογίζεται η θέση Τ του άξονα βέλτιστης στρέψης. Κατόπιν θεωρούµε τις εξής δύο φορτιστικές καταστάσεις (Σχ. ): [ F F...... F ] [ F F...... F ] F F...... F [ F F...... F ] x = x x x = y = y y y = F και F Οι µετακινήσεις των ιχνών του άξονα βέλτιστης στρέψης όλων των ορόφων, Τ i, λόγω της φόρτισης F x σε µητρωική µορφή είναι: u x,x και (4a) = u x,x u x,x...... ux,x u y,x (4b) = u y,x u y,x...... u y,x Σχήµα. Πολυώροφο κτίριο. Άξονας βέλτιστης στρέψης και περιπτώσεις οριζόντιας φόρτισης. 4

Η συνισταµένη µετακίνηση του ορόφου i είναι: ui,x uxi,x uyi,x = + (5) Το άθροισµα των τετραγώνων των συνισταµένων µετακινήσεων όλων των ορόφων είναι: u ix, = u, x = uxx, uxx, + uyx, uyx, (6) Αντίστοιχα, οι µετακινήσεις των ιχνών του άξονα βέλτιστης στρέψης όλων των ορόφων, Τi, λόγω της φόρτισης F y είναι: u x,y και (7a) = ux,y u x,y...... ux,y u y,y (7b) = u y,y u y,y...... u y,y Το άθροισµα των τετραγώνων των συνισταµένων µετακινήσεων όλων των ορόφων είναι: u iy, = u, y= uxy, uxy, + uyy, uyy, (8) Εάν χρησιµοποιήσουµε τον συµβολισµό, ui,j u i,j =ui,j (i=x,y και j=x,y), οι Εξισώσεις (6) και (8) γίνονται αντίστοιχα: x = x, x + y, x u, u u (9) y = x, y + y, y u, u u (0) Εάν οι δυνάµεις F i εφαρµοστούν κατά µήκος του άξονα ξ (Σχ. 3) οι συνιστώσες των µετακινήσεων των ιχνών Τ i, όλων των πλακών δίνονται από τις σχέσεις: = cosa + sin a () ux, ξ = ux,x + ux,y uy, ξ = uy,x cosa + uy,y = + sin a () Το άθροισµα των τετραγώνων των συνισταµένων µετακινήσεων όλων των ορόφων είναι: u i, ξ = u, ξ = ux, ξ ux, ξ + uy, ξ uy, ξ (3) Εάν οι δυνάµεις F i εφαρµοστούν κατά µήκος του άξονα η (Σχ. 3) οι συνιστώσες των µετακινήσεων των ιχνών Τ i, όλων των πλακών δίνονται από τις σχέσεις: = sin a + cosa (4) ux, η = ux,x + ux,y uy, η = uy,x sin a + uy,y = + cosa (5) Σχήµα 3: Συστήµατα συντεταγµένων xyz και ξηz 5

Το άθροισµα των τετραγώνων των συνισταµένων µετακινήσεων όλων των ορόφων είναι: u i, η = u, η = ux, η ux, η + uy, η uy, η (6) Ορίζουµε επίσης τον όρο u ξη ως εξής: u Τ Τ ξη = ux, ξ ux, η + uy, ξ uy, η = + (7) Χρησιµοποιώντας τις Εξισώσεις,, 4 και 5, οι Εξισώσεις 3, 6 και 7 παίρνουν την παρακάτω µορφή: όπου: u i, ξ = u, ξ = u,x cos a + u,y sin a + sina u xy u i, η = u, η = u,x sin a+ u,y cos a sina uxy (8a) (8b) uξη = sina [u,x u,y] + cosa uxy (8c) xy ux,x ux,y uy,x u y,y (9) u = + Οι εξισώσεις 8a,b,c είναι όµοιες µε τις εξισώσεις µετασχηµατισµού των όρων ενός συµµετρικού τανυστή δευτέρας τάξης. Ως εκ τούτου οι ποσότητες u, ξ, u, η και uηξ = uξη δύνανται να θεωρηθούν ως όροι ενός συµµετρικού τανυστή δευτέρας τάξης, ο οποίος ως προς τους άξονες (ξ, η) και (x, y) έχει αντίστοιχα την παρακάτω µορφή: u, u u, x u ξ ξη xy Ua =, U 0 =. uξη u, η uxy u, y Για τον ανωτέρω τανυστή είναι γνωστό ότι υπάρχει ένα σύστηµα αναφοράς (Τ ) ως προς το ο- ποίο ο όρος u ξη µηδενίζεται και οι όροι u, ξ, u, η λαµβάνουν αντίστοιχα τη µέγιστη και ελάχιστη τιµή. Οι γωνίες a 0 και a 0 που σχηµατίζουν οι άξονες και µε τον άξονα x προσδιορίζονται µε τη βοήθεια της γωνίας a 0 και του Σχήµατος 4 (-45 o a 0 +45 0 ). uxy a0 tan = u, x u, y Η µέγιστη και ελάχιστη τιµή του όρου u δίνεται από τις σχέσεις: u, x + u, y u, x u, y max u, ξ = u, I = + + uxy u, x + u, y u, x u, y min u, η = u, II = + uxy (0) (a) (b) 6

Σχήµα 4. Προσδιορισµός των κυρίων διευθύνσεων 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 4. Πενταώροφο κτίριο µε συµβατική έδραση Θεωρούµε πενταώροφο κτίριο, η κάτοψη του οποίου καθώς και το καθολικό σύστηµα συντεταγµένων φαίνονται στο Σχήµα 5. Οι διαστάσεις των διατοµών δίνονται στον πίνακα. Το ύψος των ορόφων είναι 3 m και το µέτρο ελαστικότητας είναι E=.9 0 7 k/m. Για τον καθορισµό των κύριων διευθύνσεων πρέπει πρώτα να καθοριστεί ο άξονας βέλτιστης στρέψης. Για το σκοπό αυτό θεωρούµε µία αυθαίρετη τιµή της τέµνουσας βάσης, V 0 =500 k, την οποία κατανέµουµε τριγωνικά καθ ύψος. Στη συνέχεια θεωρούµε τις επόµενες τρεις καταστάσεις φόρτισης: F x = [ 00 00 300 400 500] k, y = [ 00 00 300 400 500] M = km. z 00 00 300 400 500 F k και Η ανάλυση λόγω των ανωτέρω τριών φορτιστικών καταστάσεων έδωσε τις εξής γωνίες στροφής των ορόφων: Σχήµα 5. Κάτοψη πενταώροφου κτιρίου 7

Πίνακας. ιατοµές του φέροντος συστήµατος ος όροφος ος όροφος 3 ος όροφος 4 ος όροφος 5 ος όροφος Υποστυλώµατα (cm) 50/50 50/50 40/40 40/40 35/35 οκοί (cm) B-B4 B5-B 30/70 5/60, (cm) 5/00 5/00 5/00 5/00 5/00 3 (cm) 5/00 5/00 5/00 5/00 - y (cm) 5/50 5/50 5/50 5/00 - θ z,x = 0.000073 0.00098 0.000339 0.000469 0.00087 θ z,y = 0.00058 0.000444 0.00079 0.0054 0.005 θ z,z = 0.00006 0.00007 0.0003 0.00075 0.00077 Γνωρίζοντας τα διανύσµατα θ z,x, θ z,y και θ z,z, εφαρµόζονται οι Σχέσεις α,β και υπολογίζεται η θέση του άξονα βέλτιστης στρέψης: x =7.6 m, y =.877 m Γνωρίζοντας τη θέση του σηµείου Τ (Σχ. 5), καθορίζεται το σύστηµα συντεταγµένων (Τxyz). Στη συνέχεια θεωρούµε τις επόµενες δύο φορτιστικές καταστάσεις: (α) F x = [ 00 00 300 400 500] και (β) F y = [ 00 00 300 400 500]. Οι δυνάµεις F xj (j=,,,5) διέρχονται από τον άξονα βέλτιστης στρέψης και είναι παράλληλες στον άξονα x, ενώ οι δυνάµεις F yj (j=,,,5) διέρχονται από τον άξονα βέλτιστης στρέψης και είναι παράλληλες στον άξονα y. Οι συνιστώσες των µετακινήσεων των σηµείων Τ i λόγω αυτών των δύο χωριστών φορτιστικών καταστάσεων είναι: u x,x = 0.00353 0.00366 0.006336 0.008959 0.0863 u y,x = 0.000049 0.00005 0.0006 0.000356 0.00077 u x,y = 0.000048 0.00003 0.00000 0.00034 0.000793 u y,y = 0.0030 0.0036 0.006367 0.0095 0.033 Γνωρίζοντας τα διανύσµατα των µετακινήσεων u x, x u x, y u y, x και u y, y, εφαρµόζουµε τις Σχέσεις 6,8 και 9 και υπολογίζουµε τους όρους u,x, u,y και u xy. Στη συνέχεια εφαρµόζουµε τη Σχέση 0 και λαµβάνοντας υπόψη τις υποδείξεις του Σχήµατος 4, υπολογίζουµε τις γωνίες a 0 και a 0. a 0 = 7.897 o a 0 =90+7.897=7.897 ο και a 0 =90+7.897 ο =07.897 o διότι u, x =.7690E-04 < u, y =3.699E-04. Επίσης εφαρµόζουµε τις Σχέσεις α,β και υπολογίζουµε τη µέγιστη και ελάχιστη τιµή του αθροίσµατος των τετραγώνων: max u, I = 3.33E-04 και min u, II =.63E-04. Για την επαλήθευση των ανωτέρω αποτελεσµάτων έγιναν αναλύσεις για διάφορες τιµές της γωνίας a (Σχ. 6α). Για κάθε τιµή της γωνίας a (0 o, 0 o, 0 o, 80 o ) υπολογίστηκε το άθροισµα των τετραγώνων των µετακινήσεων των σηµείων i (i=,, 5). Τα αποτελέσµατα δίνονται στον Πίνακα. Παρατηρούµε ότι η µέγιστη τιµή πραγµατοποιείται για γωνία a=a 0 =7.897 o, ενώ η ελάχιστη για a=7.897 o ή a 0 =80 o +7.897 o =07.897 o. 8

r 4.70 4.60 4.50 4.40 4.30 4.0 4.0 4.00 3.90 3.80 3.70 3.60 3.50 (α) 0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00 0 0 30 40 50 60 70 80 Σχήµα 6. (α) Γωνία προσανατολισµού των οριζοντίων δυνάµεων, (β) Μεταβολή του λόγου r συναρτήσει της γωνίας διευθύνσεως a (β) a Στο Σχήµα 6β δίνεται η γραφική παράσταση του λόγου r = u, /(u, u, ). Παρατηρούµε ότι, ό- ταν το επίπεδο των οριζοντίων δυνάµεων σχηµατίζει γωνία a που διαφέρει 0 ο από την a 0, το αντίστοιχο άθροισµα των τετραγώνων των µετακινήσεων των σηµείων i είναι µικρότερο από την µέγιστη τιµή κατά 3% της διαφοράς (u,i u,ii ). Εάν χρησιµοποιήσουµε τη διαδικασία που προτείνει ο ΕΑΚ/000 (Makarios & Anastassiadis 998a,b) προκύπτουν οι παρακάτω τιµές: x P =6.57 m, y P =.554 m a 0 = 39.7 o a 0 = 9.7 o Εάν αλλάξει η κατανοµή των οριζοντίων δυνάµεων (π.χ. οµοιόµορφη) θα προκύψει διαφορετική θέση για τον άξονα βέλτιστης στρέψης και διαφορετικός προσανατολισµός των κυρίων διευθύνσεων. Στον Πίνακα 3 δίνονται τα αποτελέσµατα για δύο διαφορετικές κατανοµές των οριζοντίων δυνάµεων (τριγωνική και οµοιόµορφη) και χρησιµοποιώντας δύο µεθόδους για τον υπολογισµό τους (την προτεινόµενη εδώ µεθοδολογία (PP) και την προτεινόµενη στον ΕΑΚ/000 (AP)). Πίνακας. Τιµές του u, ξ για διάφορες τιµές της γωνίας διευθύνσεως a Γωνία a Γωνία a Γωνία a (µοίρες) u, ξ (µοίρες) u, ξ (µοίρες) u, ξ 0 0.00077 60 0.0008 0 0.000333 0 0.00068 70 0.00093 30 0.00039 0 0.00063 80 0.000306 40 0.0003 7.897 0.0006 90 0.00037 50 0.0003 30 0.0006 00 0.00036 60 0.00030 40 0.00064 0 0.00033 70 0.00088 50 0.0007 7.897 0.000333 80 0.00077 Πίνακας 3. Άξονας βέλτιστης στρέψης και κύριες διευθύνσεις Τριγωνική κατανοµή Οµοιόµορφη κατανοµή x y a 0 (µοίρες) x y a 0 (µοίρες) PP 7.6.877 7.897 7.04.83 0.69 AP 6.57.554 9.7 6.55.66 30.55 ξ I II 9

Για το µονώροφο κτίριο είναι γνωστό ότι όταν το κέντρο µάζας και το ελαστικό κέντρο συµπίπτουν, τότε οι τρεις ιδιοµορφές είναι ασύζευκτες µεταξύ τους. Για τον έλεγχο της ανωτέρω ιδιότητας έγινε ιδιοµορφική ανάλυση για τριγωνική κατανοµή των οριζοντίων δυνάµεων και τις εξής δύο θέσεις του κατακόρυφου µαζικού άξονα: (a) Ο κατακόρυφος µαζικός άξονας συµπίπτει µε τον άξονα βέλτιστης στρέψης που υπολογίστηκε µε την προτεινόµενη διαδικασία (σηµείο Τ (Σχ. 5)). (b) Ο κατακόρυφος µαζικός άξονας συµπίπτει µε τον άξονα που υπολογίστηκε εφαρµόζοντας την διαδικασία του ΕΑΚ/000 (σηµείο P (Σχ. 5)). Οι πέντε πρώτες ιδιοµορφές που προέκυψαν δίνονται στον Πίνακα 4. Στην περίπτωση (a) οι συνιστώσες των ιδιοµορφών αναφέρονται στο σύστηµα (z) ενώ στην περίπτωση (b) στο σύστηµα (P I II z). Παρατηρούµε ότι στην περίπτωση (a) οι ιδιοµορφές φ και φ 4 είναι σχεδόν µεταφορικές κατά τη διεύθυνση του άξονα (οι συνιστώσες κατά τη διεύθυνση του άξονα και οι γωνίες στροφής γύρω από τον άξονα z είναι ασήµαντες). Επίσης οι ιδιοµορφές φ και φ 5 είναι σχεδόν µεταφορικές κατά τη διεύθυνση του άξονα. Επί πλέον παρατηρούµε ότι η σύζευξη των συνιστωσών των ιδιοµορφών στην περίπτωση (b) είναι ισχυρότερη από την σύζευξη της περίπτωσης (a). Πίνακας 4. Ιδιοµορφές για δύο θέσεις του κατακόρυφου µαζικού άξονα Ο µαζικός άξονας διέρχεται από το ση- µείο (περίπτωση (a)) Ο µαζικός άξονας διέρχεται από το ση- µείο P (περίπτωση (b)) Όροφος u u θ Z u I u II θ Z φ φ st -.86484-0.0503-0.069-0.3369 0.0635 0.00066 nd -7.96983 0.00534-0.43-0.94 0.9893 0.004436 3 rd -4.76 0.05364-0.706 -.6935 0.36938 0.0894 4 th -0.7783 0.5738-0.660 -.47488 0.559546 0.0806 5 th -3.759 0.4588-3.9503 0.5693 φ φ st.698734 6.734-0.3038 0.4343 0.4893-0.00406 nd 3.68354 7.307-0.55 0.36668.3393-0.0093 3 rd 5.650633 7.6304-0.653 0.640435.3580-0.0048 4 th 7.79747 8.8354-0.39747 0.888937 3.357536-0.0055 5 th 4.994.0803 4.5668 0.0357 φ 3 φ 3 st 0.83483-0.0505 0.080575 0.3-0.09649 0.0848 nd 0.433403-0.39 0.0879 0.54659-0.3398 0.77 3 rd 0.6590-0.337 0.38867 0.876386-0.393 0.39664 4 th 0.78673-0.0749 0.556435.55-0.33 0.56068 5 th -0.8434 0.08887-0.558 0.58874 φ 4 φ 4 st.744503-0.473-0.4084 0.90803-0.056-0.059 nd 6.39-0.573-0.6944.688-0.55659-0.96 3 rd 8.3985 -.00689 -.483.93886-0.88386-0.5047 4 th 7.8403 -.50 -.846.976683 -.05376-0.7065 5 th -0.534 0.396-3.7576 0.09708 φ 5 φ 5 st -0.55336-8.09363 0.566-0.48734 -.6894 0.039579 nd -0.667-6.596 0.497777-0.8838-3.46 0.089797 3 rd -0.4086-6.97 0.550395-0.79365-3.579 0.09393 4 th -0.5494-6.73666 0.7569-0.803 -.44409 0.0548 5 th 9.8708-0.77075 4.7993-0.3975 0

(α) (β) Σχήµα 7. ιώροφο κτίριο µε σεισµική µόνωση βάσης (α) κάτοψη πρώτου ορόφου και κύριες διευθύνσεις, (β) κάτοψη δεύτερου ορόφου 4. ιώροφο κτίριο µε σεισµική µόνωση βάσης Θεωρούµε διώροφο κτίριο, η κάτοψη του οποίου παρουσιάζεται στο Σχήµα 7. Το ύψος των ορόφων είναι 3 m και το µέτρο ελαστικότητας είναι Ε= 9 GPa. Στη βάση όλων των υποστυλωµάτων και των τοιχίων υπάρχουν σεισµικοί µονωτήρες µε οριζόντια δρώσα δυσκαµψία k eff =3000 k/m, ενώ κατά την κατακόρυφη διεύθυνση είναι ατενείς. Ο υπολογισµός του άξονα βέλτιστης στρέψης και των κύριων διευθύνσεων θα γίνει θεωρώντας οµοιόµορφη κατανοµή των οριζοντίων δυνάµεων. Θεωρούµε µια αυθαίρετη τιµή της τέµνουσας βάσης V 0 =5000 k την οποία κατανέµουµε οµοιόµορφα καθ ύψος. Στη συνέχεια φορτίζουµε το κτίριο µε τις επόµενες τρεις ανεξάρτητες φορτίσεις ως προς το σύστηµα Οxy (Σχ. 7): F x = [ 5000 5000 5000] k, [ 5000 5000 5000] y = M [ 5000 5000 5000] km. z = F k και Η ανάλυση του κτιρίου λόγω των ανωτέρω ανεξάρτητων φορτίων έδωσε τις εξής γωνίες στροφής των ορόφων: 0.005 θ z,x = 0.0089, 0.009 0.005 θ z,y = 0.0084 και 0.009 θ z,z 0.0048 = 0.038 0.07 Γνωρίζοντας τα διανύσµατα θ z,x, θ z,y και θ z,z, εφαρµόζονται οι σχέσεις και υπολογίζεται η θέση του άξονα βέλτιστης στρέψης: x = -0.683 m y = -0.696 m Γνωρίζοντας τη θέση του σηµείου Τ, καθορίζεται το σύστηµα συντεταγµένων (Τxyz) (Σχ. 7a). Στη συνέχεια θεωρούµε τις επόµενες δύο φορτιστικές καταστάσεις: F [ 5000 5000 5000] k και [ 5000 5000 5000 ] x = F k y = Οι δυνάµεις F xj (j=,,3) διέρχονται από τον άξονα βέλτιστης στρέψης και είναι παράλληλες στον άξονα x, ενώ οι δυνάµεις F yj (j=,,3) διέρχονται από τον άξονα βέλτιστης στρέψης και είναι παράλληλες στον άξονα y. Οι συνιστώσες των µετακινήσεων των σηµείων Τ i λόγω αυτών των δύο χωριστών φορτιστικών καταστάσεων είναι:

u x,x 0.44 = 0.4884 0.5059 u y,x 0.343 = 0.556 0.65 u x,y 0.336 = 0.566 0.69 u y,y 0.445 = 0.4850 0.4986 Γνωρίζοντας τα διανύσµατα των µετακινήσεων u x, x u x, y u y, x και u y, y, εφαρµόζουµε τις Σχέσεις 6,8 και 9 και υπολογίζουµε τους όρους u,x, u,y και u xy. Στη συνέχεια εφαρµόζουµε τη Σχέση 0 και λαµβάνοντας υπόψη τις υποδείξεις του Σχήµατος 4, υπολογίζουµε τις γωνίες a 0 και a 0. a 0 = 5.54 o a 0 =5.54 o και a 0 =90+5.54 o =5.54 o διότι u, x =0.88047 > u, y =0.8746. 5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Οι προτεινόµενες "κύριες" διευθύνσεις του κτιρίου ταυτίζονται µε τις κύριες διευθύνσεις ενός συµµετρικού τανυστή β! τάξης και εποµένως είναι ανεξάρτητες από το χρησιµοποιούµενο σύστη- µα αναφοράς. Εξαρτώνται µόνο από την καθ ύψος κατανοµή της οριζόντιας φόρτισης ενώ συγχρόνως αποτελούν ορθολογική γενίκευση του ορισµού των κυρίων διευθύνσεων στα µονώροφα κτίρια. Η προταθείσα µεθοδολογία µπορεί να εφαρµοσθεί τόσο σε κτίρια µε συµβατικό τρόπο στήριξης, όσο και σε µία ευρεία κατηγορία κτιρίων µε σεισµική µόνωση βάσης. Επίσης µπορεί να χρησιµοποιηθεί σε όλες τις περιπτώσεις που οι Αντισεισµικοί Κανονισµοί επιτρέπουν τη χρήση της απλοποιηµένης φασµατικής µεθόδου αντισεισµικού υπολογισµού και είναι απολύτως συµβατή µε τις ισχύουσες διατάξεις του ΕΑΚ 003, χωρίς να απαιτεί πρόσθετη υπολογιστική εργασία. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Σηµαντικό τµήµα αυτής της ερευνητικής εργασίας έγινε µε την υποστήριξη της Ευρωπαϊκής Ένωσης και του ΥΠ.Ε.Π.Θ. στα πλαίσια του προγράµµατος Ε.Π.Α.Ε.Κ. (πράξη Αρχιµήδης ). ΑΝΑΦΟΡΕΣ Anastassiadis K. 985. Caracteristiques elastiques spatiales des batiments a etages. Annales, o 435, Juin, pp 59-78. Αναστασιάδης Κ. 989. Αντισεισµικές Κατασκευές Ι Computer echnics, Θεσσαλονίκη. Athanatopoulou A. M., Makarios., Anastassiadis K. 005. Earthquake Analysis of isotropic asymmetric multistorey buildings. he Structural Design of all and & Special Buildings (accepted for publication). Doudoumis, I.. & Athanatopoulou, A.M., 005. Invariant torsion properties of multistorey asymmetric buildings, he Structural Design of all & Special Buildings (accepted for publication). ΕAΚ/003. Ελληνικός Αντισεισµικός Κανονισµός - 003, Οργανισµός Αντισεισµικού Σχεδιασµού και Προστασίας, Αθήνα. Kan CL, Chopra AK. 977. Elastic earthquake analysis of a class of torsionally coupled buildings. Journal of the Str. Div. ASCE, April, pp 8-838. Makarios, Anastassiadis K. 998a. Real and Fictitious Elastic Axis of Multi-Storey Buildings: heory. he Structural Design of all Buildings, Vol. 7, umber, p.p. 33-45. Makarios, Anastassiadis K. 998b. Real and Fictitious Elastic Axis of Multi-Storey Buildings: Applications. he Structural Design of all Buildings, Vol. 7, umber, p.p. 57-7. Marino, E. & Rossi, P. P., 004. Exact evaluation of the location of the optimum torsion axis, he Structural Design of all and Special Buildings, 3(4), pp. 77-90.