ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΓΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΕΣ ΜΙΚΡΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΓΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΕΣ ΜΙΚΡΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ Γαλάτιος Σιγανός Διπλωματική Εργασία που υποβλήθηκε στο Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς ως μέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στην Εφαρμοσμένη Στατιστική Πειραιάς Απρίλιος 7

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΓΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΕΣ ΜΙΚΡΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ Γαλάτιος Σιγανός Διπλωματική Εργασία που υποβλήθηκε στο Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς ως μέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στην Εφαρμοσμένη Στατιστική Πειραιάς Απρίλιος 7

Η παρούσα Διπλωματική Εργασία εγκρίθηκε ομόφωνα από την Τριμελή Εξεταστική Επιτροπή που ορίσθηκε από τη ΓΣΕΣ του Τμήματος Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς στην υπ αριθμ... συνεδρίασή του σύμφωνα με τον Εσωτερικό Κανονισμό Λειτουργίας του Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών στην Εφαρμοσμένη Στατιστική Τα μέλη της Επιτροπής ήταν: -.. (Επιβλέπων) -.. -.. Η έγκριση της Διπλωματική Εργασίας από το Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωμών του συγγραφέα.

UNIVERSITY OF PIRAEUS DEPARTMENT OF STATISTICS AND INSURANCE SCIENCE POSTGRADUATE PROGRAM IN APPLIED STATISTICS STATISTICAL PROCESS CONTROL FOR SHORT PRODUCTION RUNS By Galaos Sgaos MSc Dsserao submed o he Deparme of Sascs ad Isurace Scece of he Uversy of Praeus paral fulflme of he requremes for he degree of Maser of Scece Appled Sascs Praeus, Greece Aprl 7

Στους γονείς μου Στέλιο και Ευτυχία

Περίληψη Ο Στατιστικός Έλεγχος Διεργασιών ασχολείται κυρίως με την εφαρμογή διαγραμμάτων ελέγχου. Τα διαγράμματα ελέγχου χρησιμοποιούνται για την παρακολούθηση της ποιότητας και της σταθερότητας των διεργασιών. Τα διαγράμματα ελέγχου Shewhar, που χρησιμοποιούνται ευρέως στη βιομηχανία, έχουν κάποια μειονεκτήματα. Ένα από αυτά είναι ότι για να χρησιμοποιηθούν αποτελεσματικά χρειάζονται συνήθως -5 προκαταρκτικά δείγματα μεγέθους 4-5 μονάδων το καθένα για να καθοριστούν αξιόπιστα όρια ελέγχου. Έτσι απαιτείται η παραγωγή και μέτρηση 8- μονάδων προϊόντος. Όμως, ορισμένες παραγωγικές διεργασίες δεν δίνουν τόσες μονάδες σε ένα παραγωγικό κύκλο. Επίσης η μέτρηση τόσων πολλών μονάδων μπορεί να έχει υψηλό κόστος. Εμφανίζεται επίσης η ανάγκη να χρησιμοποιηθεί διάγραμμα ελέγχου από την πρώτη κιόλας παραγόμενη μονάδα, δηλαδή από την πρώτη κιόλας διαθέσιμη μέτρηση. Σε αυτές τις περιπτώσεις χρησιμοποιούνται ειδικά διαγράμματα ελέγχου όπως τα DNOM, τα, κτλ. Σκοπός της διπλωματικής είναι η καταγραφή και η αναλυτική παρουσίαση των διαγραμμάτων ελέγχου που εφαρμόζονται σε προβλήματα παραγωγής μικρού μεγέθους.

Absrac Sascal process corol s maly abou applcaos of qualy corol chars. ualy corol chars are used o observe he qualy ad sably of processes. Shewhar corol chars, whch are maly used maufacure, have some cos. Oe of hem s ha for a corol char o be relable, o 5 prelmary samples of sze 4 o 5 should be used. I oher words, qualy corol process cao sar uless a produco of abou 8 o us s a had. Some maufacurg les are o capable of producg such amou of us a sgle produco crcle. Oher ha ha, he cos of measurg so may us ca be affordable ad herefore o worhy. Also, he eed of plog a sgle u as soo as we have ha, s creasg. A soluo o all hese problems would be he use of corol chars such as DNOM or ec. Ths maser hess ams a gaherg ad descrbg corol charg mehods whch are appled o shor produco rus.

Περιεχόμενα Περίληψη v Absrac x Περιεχόμενα Κατάλογος Πινάκων 4 Κατάλογος Σχημάτων 6 Διαγράμματα ελέγχου. Διαγράμματα ελέγχου Shewhar 9. Διαγράμματα ελέγχου Shewhar για μεταβλητές.. Διαγράμματα ελέγχου για τη μέση τιμή... Διαγράμματα ελέγχου φάσης ΙΙ ( μ, σ γνωστά)... Διαγράμματα ελέγχου φάσης Ι ( μ, σ άγνωστα).. Διαγράμματα ελέγχου για τη διασπορά 6... Διαγράμματα ελέγχου φάσης ΙΙ (σ γνωστό) 6... Διαγράμματα ελέγχου φάσης Ι (σ άγνωστο) 8.. Διαγράμματα ελέγχου για μεμονωμένες παρατηρήσεις... Διαγράμματα ελέγχου φάσης ΙΙ ( μ, σ γνωστά)... Διαγράμματα ελέγχου φάσης Ι ( μ, σ άγνωστα). Διαγράμματα ελέγχου Shewhar για ιδιότητες.. Διαγράμματα ελέγχου για το ποσοστό των ελαττωματικών προϊόντων... Διαγράμματα ελέγχου φάσης ΙΙ ( p γνωστό )... Διαγράμματα ελέγχου φάσης Ι ( p άγνωστο ) 5.. Διαγράμματα ελέγχου για τον αριθμό και μέσο αριθμό ελαττωμάτων 6... Διαγράμματα ελέγχου φάσης ΙΙ ( c γνωστό ) 6... Διαγράμματα ελέγχου φάσης Ι ( c άγνωστο ) 8.4 Κανόνες ευαισθητοποίησης ενός διαγράμματος ελέγχου Shewhar 9.5 Διαγράμματα ελέγχου CUSUM.6 Διαγράμματα ελέγχου EWMA 4 διαγράμματα ελέγχου. Εισαγωγή στα διαγράμματα ελέγχου 8. Αρχές κατασκευής διαγραμμάτων ελέγχου 9. διαγράμματα ελέγχου για μεταβλητές 4.. διαγράμματα ελέγχου για δείγματα 4.. διαγράμματα ελέγχου για μεμονωμένες παρατηρήσεις 49

.. Το EWMA διάγραμμα ελέγχου 5..4 Το CUSUM διάγραμμα ελέγχου 58..5 Το Εκθετικό διάγραμμα ελέγχου 58.4 διαγράμματα ελέγχου για ιδιότητες 6.4. Διωνυμικά διαγράμματα ελέγχου 6.4. Posso διαγράμματα ελέγχου 68.4. Γεωμετρικά διαγράμματα ελέγχου 74.4.4 Σταθμισμένα Posso διαγράμματα ελέγχου 79 Άλλες μέθοδοι - διαγράμματα ελέγχου. και R διαγράμματα ελέγχου για μικρό αριθμό δειγμάτων 85. DNOM διαγράμματα ελέγχου για μεμονωμένες παρατηρήσεις 9. DNOM διαγράμματα ελέγχου για δείγματα.4 Δυναμικό EWMA διάγραμμα ελέγχου Παραρτήματα Π. Περιπτώσεις Π, Π, Π, Π4, Π5, Π6 6 Π. Περιπτώσεις Π, Π, Π, Π4, Π5, Π6 7 Π. Η μέθοδος του Hller (969) 9 Π4. Η μέθοδος του Farum (99) Βιβλιογραφία

Κατάλογος Πινάκων. Συσσωρευμένα αθροίσματα για K. 5. Δεδομένα για την επίδειξη ενός διαγράμματος ελέγχου EWMA 6. Δείγματα, δειγματικοί μέσοι και δειγματικές διασπορές 4. Δεδομένα δειγμάτων μεγέθους 5 45. Δεδομένα δειγμάτων από διάφορες κανονικές κατανομές 5.4 Συνάρτηση πιθανότητας κ κατανομής των κατανομών b(6,.) κ b (6,.) 6.5 Πιθανότητες ζωνών για τις τυχαίες μεταβλητές, Y, Z 67.6 Συνάρτηση πιθανότητας και κατανομής των κατανομών P (6.8) και P (6.8) 69.7 Πιθανότητες ζωνών για τις τυχαίες μεταβλητές, Y, Z 7.8 5 δεδομένα από κατανομή Posso και 4 διαφορετικά είδη ελαττωμάτων 8. Σφάλμα τύπου Ι στην παρακολούθηση μελλοντικών δειγμάτων μεγέθους 5 85. Τιμές του. Τιμές του ** A για δείγματα μεγέθους 5 για το διάγραμμα ελέγχου Φάσης Ι 87 ** D για δείγματα μεγέθους 5 για το R διάγραμμα ελέγχου Φάσης Ι 87.4 Τιμές του D για δείγματα μεγέθους 5 για το R διάγραμμα ελέγχου Φάσης Ι 88 ** 4.5 Τιμές του A * για δείγματα μεγέθους 5 για το διάγραμμα ελέγχου Στάδιου ΙΙ 89.6 Τιμές του D * για δείγματα μεγέθους 5 για το Rδιάγραμμα ελέγχου ΣτάδιουΙΙ 89.7 Τιμές του D * 4 για δείγματα μεγέθους 5 για το Rδιάγραμμα ελέγχου Στάδιου ΙΙ 89.8 Δεδομένα για την επίδειξη της μεθόδου του Hller 9.9. Δεδομένα για την επίδειξη αδυναμιών των και ΜR διαγραμμάτων ελέγχου για διεργασίες παραγωγής διαφορετικών τύπων προϊόντων Δεδομένα για την επίδειξη του DNOM διαγράμματος ελέγχου για μεμονωμένες παρατηρήσεις. Τιμές της σταθεράς H 98. Δεδομένα για την επίδειξη του Z διαγράμματος ελέγχου. Επιπρόσθετα δεδομένα για την επίδειξη του Z και του MR διαγράμματος ελέγχου.4 Δεδομένα για την επίδειξη του DNOM διαγράμματος ελέγχου για δείγματα 4 9 96 4

.5 Δεδομένα για την επίδειξη του τυποποιημένου DNOM διαγράμματος ελέγχου 6.6 Δείγματα για το Μοντέλο ΙΙ με K. 5 και k. 9.7 Στατιστικές συναρτήσεις για τα δεδομένα του Πίνακα.6.8 Δεδομένα για την επίδειξη του δυναμικού EWMA διαγράμματος ελέγχου 4 5

Κατάλογος Σχημάτων. Τυπικό διάγραμμα ελέγχου Shewhar. Διάγραμμα ελέγχου Shewhar και προειδοποιητικά όρια 9. Διάγραμμα ελέγχου CUSUM για τα δεδομένα του Πίνακα. για K. 5 και H 5.4 Διάγραμμα ελέγχου EWMA για τα δεδομένα του Πίνακα. 7. Τυποποιημένο διάγραμμα ελέγχου 4. ( ) διάγραμμα ελέγχου (περίπτωση Π4) 44. ( S ) διάγραμμα ελέγχου (περίπτωση Π6) 45.4 ( ) διάγραμμα ελέγχου (περίπτωση Π4) 46.5 ( S ) διάγραμμα ελέγχου (περίπτωση Π5) 47.6 ( ) διάγραμμα ελέγχου (περίπτωση Π) 47.7 EWMA ( S ) διάγραμμα ελέγχου 54.8 Shewhar ( S ) διάγραμμα ελέγχου (περίπτωση Π6) 54.9 EWMA ( ) διάγραμμα ελέγχου 55. Shewhar ( ) διάγραμμα ελέγχου (περίπτωση Π4) 55. EWMA ( S ) διάγραμμα ελέγχου 56. Shewhar ( S ) διάγραμμα ελέγχου (περίπτωση Π5) 56. EWMA ( ) διάγραμμα ελέγχου 57.4 Shewhar ( ) διάγραμμα ελέγχου (περίπτωση Π) 54.5 Shewhar διάγραμμα ελέγχου (περίπτωση Π) 59.6 Γραφική παράσταση της συνάρτησης b (x;6,.) 6.7 Γραφική παράσταση της συνάρτησης b (q;6,.) 6.8 Διωνυμικό Shewhar διάγραμμα ελέγχου (περίπτωση Π) 64.9 Διωνυμικό Shewhar διάγραμμα ελέγχου (περίπτωση Π4) 64. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f (c;6.8) 7. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f P (q;6.8) 7. Posso Shewhar διάγραμμα ελέγχου (περίπτωση Π5) 7. Posso Shewhar διάγραμμα ελέγχου (περίπτωση Π6) 7 6

.4 Γεωμετρικό Shewhar διάγραμμα ελέγχου (περίπτωση Π7) 74.5 EWMA διάγραμμα ελέγχου (περίπτωση Π7) 77.6 Γεωμετρικό Shewhar διάγραμμα ελέγχου (περίπτωση Π8) 78.7 EWMA διάγραμμα ελέγχου (περίπτωση Π8) 79.8 Σταθμισμένο Posso διάγραμμα ελέγχου (περίπτωση Π6 ) 8.9 Σταθμισμένο Posso διάγραμμα ελέγχου (περίπτωση Π5 ) 8. Σταθμισμένο EWMA Posso διάγραμμα ελέγχου (περίπτωση Π6 ) 8. Σταθμισμένο EWMA Posso διάγραμμα ελέγχου (περίπτωση Π5 ) 8. διάγραμμα ελέγχου για το προϊόν 9. MR διάγραμμα ελέγχου για το προϊόν 94. διάγραμμα ελέγχου για το προϊόν 94.4 MR διάγραμμα ελέγχου για το προϊόν 95.5 Διάγραμμα διαδοχικών τιμών για τα δεδομένα του Πίνακα.9 95.6 DNOM διάγραμμα ελέγχου για τα δεδομένα του Πίνακα. 97.7 DNOM MR διάγραμμα ελέγχου για τα δεδομένα του Πίνακα. 97.8.9 Διάγραμμα των μέσων των κινούμενων μέσων για τα δεδομένα του Πίνακα.9 Διάγραμμα των μέσων των κινούμενων μέσων για τα δεδομένα του Πίνακα.. Ζ διάγραμμα ελέγχου για τα δεδομένα του Πίνακα.. MR διάγραμμα ελέγχου για τα δεδομένα του Πίνακα.. DNOM διάγραμμα ελέγχου 5. DNOM Rδιάγραμμα ελέγχου 5.4 DNOM τυποποιημένο διάγραμμα ελέγχου 7.5 DNOM τυποποιημένο Rδιάγραμμα ελέχου 7.6 Διάγραμμα διασποράς των ζευγών ( T, S ) για,,...,.7 DNOM διάγραμμα ελέγχου για το Μοντέλο ΙΙ.8 DNOM διάγραμμα ελέγχου για το Μοντέλο Ι.9 EWMA διάγραμμα ελέγχου για τα δεδομένα του πίνακα.8 5 99 7

8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διαγράμματα Ελέγχου. Διαγράμματα ελέγχου Shewhar Στις παραγωγικές διεργασίες μας ενδιαφέρει η παρακολούθηση της συμπεριφοράς μιας κρίσιμης ποσότητας ενός (μετρήσιμου) χαρακτηριστικού των προϊόντων που παράγονται. Η διαδικασία παρακολούθησης της κρίσιμης ποσότητας βασίζεται σε μετρήσεις αυτού του χαρακτηριστικού, όπως προκύπτουν από την επιλογή τυχαίων δειγμάτων,...., Χρησιμοποιώντας τα τυχαία αυτά δείγματα υπολογίζουμε την τιμή W ),,,..., g( μιας κατάλληλης στατιστικής συνάρτησης (τυχαίας μεταβλητής) που εκτιμά (συνήθως χρησιμοποιούμε αμερόληπτη εκτιμήτρια) την ποσότητα που μας ενδιαφέρει (π.χ. μέση τιμή ή διακύμανση της ). Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι ενδιαφερόμαστε να παρακολουθήσουμε τη συμπεριφορά της μέσης τιμής της διαμέτρου Χ των κυλίνδρων που παράγει μια μηχανή. Για το σκοπό αυτό επιλέγονται τυχαία δείγματα μεγέθους ( ) κυλίνδρων από την παραγωγή της μηχανής σε διαφορετικά χρονικά διαστήματα και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη στατιστική συνάρτηση W ( / g ) (... ) (η οποία είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια του μέσου της Χ) για την παρακολούθηση της συμπεριφοράς της μέσης τιμής. Ένα τυπικό διάγραμμα ελέγχου Shewhar είναι μια γραφική παράσταση με την ακόλουθη μορφή 9

Σχήμα.: Τυπικό διάγραμμα ελέγχου Shewhar όπου στο Σχήμα., εκτός από τις παρατηρούμενες τιμές W, που έχουν απεικονιστεί με σημεία τα οποία έχουν συνδεθεί με μια τεθλασμένη γραμμή, έχουν σχεδιαστεί και άλλες τρεις γραμμές. Η κεντρική γραμμή (ceer le, CL) παριστάνει συνήθως τη μέση τιμή (mea value) της W όπως προκύπτει από τη λειτουργία μιας εντός ελέγχου διεργασίας, δηλαδή μιας διεργασίας που λειτουργεί μόνο με την παρουσία φυσικής μεταβλητότητας. Οι δύο άλλες γραμμές που εμφανίζονται στο παραπάνω διάγραμμα ονομάζονται άνω και κάτω όριο ελέγχου του διαγράμματος. Όσο οι τιμές της W βρίσκονται εντός των ορίων ελέγχου και η συμπεριφορά τους είναι τυχαία μπορούμε να υποθέσουμε ότι η διεργασία παραμένει εντός ελέγχου. Αν όμως κάποιο σημείο βρεθεί εκτός των ορίων ελέγχου λέμε ότι υπάρχει ένδειξη ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου και πρέπει να προχωρήσουμε σε έρευνα για να ανακαλύψουμε τις ειδικές αιτίες μεταβλητότητας που είναι υπεύθυνες για αυτή τη συμπεριφορά και αν κριθεί απαραίτητο να προβούμε σε διορθωτικές ενέργειες. Ωστόσο, θα πρέπει να σημειώσουμε ότι ακόμη και στην περίπτωση που όλα τα σημεία του διαγράμματος βρίσκονται εντός των ορίων ελέγχου αλλά συμπεριφέρονται με ένα συστηματικό ή μη τυχαίο τρόπο τότε και αυτό αποτελεί ένδειξη ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου. Στο ακόλουθο πλαίσιο δίνεται ένα γενικό μοντέλο, το μοντέλο ορίων σίγμα (sgma lms model), για την κατασκευή ενός διαγράμματος ελέγχου Shewhar Μοντέλο ορίων σίγμα UCL µ W Lσ W Ceer Le µ W LCL µ W Lσ W

Οι ποσότητες µ W και σ W δηλώνουν τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση της στατιστικής συνάρτησης W που απεικονίζεται στο διάγραμμα ελέγχου (συνήθως γίνεται η υπόθεση ότι ακολουθεί κανονική κατανομή). Η ποσότητα L δηλώνει την απόσταση των ορίων ελέγχου από την κεντρική γραμμή σε μονάδες τυπικής απόκλισης. Συνήθως L, οπότε ομιλούμε για διαγράμματα ελέγχου Shewhar με σ όρια ελέγχου. Στα διαγράμματα ελέγχου Shewhar διακρίνουμε δύο μεγάλες κατηγορίες ανάλογα με το αν το χαρακτηριστικό είναι συνεχής ή διακριτή τυχαία μεταβλητή. Αν η τυχαία μεταβλητή είναι συνεχής με μέση τιμή µ και διακύμανση σ, τότε υπάρχουν διαγράμματα ελέγχου Shewhar για την παρακολούθηση της μέσης τιμής και της διασποράς της. Στην περίπτωση που η τυχαία μεταβλητή είναι διακριτή υπάρχουν διαγράμματα ελέγχου Shewhar για την παρακολούθηση του ποσοστού (και του αριθμού) των ελαττωματικών προϊόντων που αποδίδει η παραγωγική διεργασία, καθώς επίσης και για τον αριθμό (και το μέσο αριθμό) των ελαττωμάτων (ατελειών) σε μια μονάδα ελέγχου (Αντζουλάκος (), Δαμιανού (996), Καφφές (996)). Το πιο απλό και πλέον διαδεδομένο διάγραμμα ελέγχου Shewhar είναι το διάγραμμα ελέγχου για την παρακολούθηση της μέσης τιμής ενός συνεχούς χαρακτηριστικού το οποίο θα αναπτύξουμε εν συντομία στην επόμενη παράγραφο μέσω ενός παραδείγματος.. Διαγράμματα ελέγχου Shewhar για μεταβλητές Στην παρούσα παράγραφο θα αναπτύξουμε την κατασκευή διαγράμματος τύπου Shewhar για την παρακολούθηση της συμπεριφοράς της μέσης τιμής µ ενός συνεχούς ποιοτικού χαρακτηριστικού.... Διαγράμματα ελέγχου για την μέση τιμή... Διαγράμματα ελέγχου φάσης ΙΙ ( μ, σ γνωστά) Ας υποθέσουμε ότι η κατανομή του χαρακτηριστικού Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή N ( µ, σ ). Αν,,..., ) είναι ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους από την Χ τότε ( είναι γνωστό ότι ο δειγματικός μέσος ακολουθεί την κατανομή N( µ, σ / ), και είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της μέσης τιμής µ του ποιοτικού χαρακτηριστικού. Επομένως

χρησιμοποιώντας ένα διάγραμμα ελέγχου στο οποίο θα απεικονίζεται η τιμή του δειγματικού μέσου W στα δείγματα που επιλέγουμε από την παραγωγή με σ σ LCL µ W σ CL UCL W µ, µ W µ, µ W σ W µ και με την υπόθεση ότι η διακύμανση (ή γενικότερα η διασπορά) του χαρακτηριστικού σε όλη τη διαδικασία παραμένει σταθερή μπορούμε να πούμε τα εξής: (α) εφόσον τα σημεία του διαγράμματος βρίσκονται εντός των ορίων ελέγχου θεωρούμε ότι η διεργασία είναι εντός ελέγχου οπότε η μέση τιμή µ του χαρακτηριστικού δεν έχει αλλάξει (μετατοπιστεί) και επομένως το 99.7% των σημείων του διαγράμματος ελέγχου θα βρίσκονται εντός των ορίων ελέγχου, και (β) στην περίπτωση που ένα σημείο του διαγράμματος βρεθεί εκτός των ορίων του διαγράμματος και επειδή η πιθανότητα αυτού του ενδεχομένου είναι πολύ μικρή (.7), τότε υπάρχει ένδειξη ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου λόγω μετατόπισης της μέσης τιμής του χαρακτηριστικού. Τα σ όρια του διαγράμματος ελέγχου για τη μέση τιμή του χαρακτηριστικού συνοψίζονται στο ακόλουθο πλαίσιο όπου Πλαίσιο ( διάγραμμα) Phase IΙ corol lms (σ) UCL µ Aσ Ceer Le µ LCL µ Aσ A... Διαγράμματα ελέγχου φάσης Ι ( μ, σ άγνωστα) Στην πράξη οι ποσότητες µ, σ είναι άγνωστες οπότε πρέπει να εκτιμηθούν. Για το σκοπό αυτό παίρνουμε m ανεξάρτητα προκαταρκτικά τυχαία δείγματα μεγέθους το καθένα,,..., ), m, για να εκτιμήσουμε τις ποσότητες µ και σ, ( υποθέτοντας ότι η επιλογή των προκαταρκτικών δειγμάτων έγινε όταν η διεργασία ήταν εντός ελέγχου (τα µ και σ σταθερά καθόλη τη διάρκεια της δειγματοληψίας). Οι εκτιμήσεις µˆ και σˆ προκύπτουν συνήθως από έως 5 προκαταρκτικά δείγματα μεγέθους 4 έως 6.

Στην ανάλυση που ακολουθεί υποθέτουμε ότι το χαρακτηριστικό ακολουθεί κατανομή N ( µ, σ ) (µ, σ άγνωστα) και ότι έχουμε m το πλήθος ανεξάρτητα τυχαία δείγματα μεγέθους το καθένα. Εκτίμηση του μ Έστω,...,, m οι δειγματικοί μέσοι των m δειγμάτων και ας θέσουμε... m m m j Η ποσότητα ακολουθεί κατανομή N( µ, σ / m) και χρησιμοποιείται ως εκτίμηση της ποσότητας µ (αμερόληπτη και συνεπής εκτιμήτρια του µ ), δηλαδή µˆ Αξίζει να σημειώσουμε ότι E ( ) µ, V ( ) σ / m ανεξάρτητα από την κατανομή του χαρακτηριστικού Χ. Εκτίμηση του σ (Μέθοδος R) Έστω R,..., Μπορεί να δειχθεί ότι, R Rm τα εύρη των m δειγμάτων, δηλαδή R m, m ( ) (). µ E( R ) σ d R όπου d είναι μια σταθερά που εξαρτάται από το μέγεθος του δείγματος. Θέτοντας R R... Rm R m έχουμε ότι E( R ) σ d, οπότε η ποσότητα R / d είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της ποσότητας σ, και χρησιμοποιείται ως εκτίμηση της ποσότητας σ, δηλαδή Εκτίμηση του σ (Μέθοδος S) Έστω R σ ˆ d, S Sm οι ποσότητες που ορίζονται από τη σχέση S,..., j

Αν και η ποσότητα ποσότητα να δειχθεί ότι S S ( j j ), m. S είναι αμερόληπτη (και συνεπής) εκτιμήτρια της διακύμανσης σ, η S δεν αποτελεί αμερόληπτη εκτιμήτρια της τυπικής απόκλισης σ. Μπορεί µ E( S ) σ c S όπου c 4 είναι μια σταθερά που εξαρτάται από το μέγεθος του δείγματος. Θέτοντας S S S... S m έχουμε ότι E( S ) σ c4, οπότε η ποσότητα S / c4 είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της ποσότητας σ, και χρησιμοποιείται ως εκτίμηση της ποσότητας σ, δηλαδή Εκτίμηση του σ (Μέθοδος S ) Έστω, S,..., Sm S σ ˆ c S οι ποσότητες που ορίζονται από τη σχέση για τις οποίες είναι γνωστό ότι Η ποσότητα (προσέξτε ότι S ( j j 4 ) µ, m E( S ) σ S 4 m S (στα περισσότερα βιβλία συμβολίζεται με S S S... S S m. m S ) όπου S ) αν και δεν είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια του σ χρησιμοποιείται αρκετές φορές (λόγω του ότι έχει μικρότερη διακύμανση από την S / c4 ) ως εκτίμηση της ποσότητας σ, δηλαδή σ ˆ S 4

Τώρα, χρησιμοποιώντας ως εκτίμηση του µ την ποσότητα µˆ και ως εκτίμηση του σ την ποσότητα σ ˆ R / d, το Πλαίσιο παίρνει την ακόλουθη μορφή Πλαίσιο ( διάγραμμα) όπου η ποσότητα A είναι ίση με Phase I corol lms (σ) R Mehod UCL A R Ceer Le LCL A R A. d Χρησιμοποιώντας ως εκτίμηση του µ την ποσότητα µˆ και ως εκτίμηση του σ την ποσότητα σ ˆ S / c4 τότε το Πλαίσιο παίρνει την ακόλουθη μορφή όπου A. c 4 Πλαίσιο ( διάγραμμα) Phase I corol lms (σ) S Mehod UCL A S Ceer Le LCL A S Χρησιμοποιώντας ως εκτίμηση του µ την ποσότητα µˆ και ως εκτίμηση του σ την ποσότητα σ ˆ S, το Πλαίσιο παίρνει την ακόλουθη μορφή Πλαίσιο 4 ( διάγραμμα) Phase I corol lms (σ) S Mehod UCL A S Ceer Le LCL A S 5

.. Διαγράμματα ελέγχου για τη διασπορά... Διαγράμματα ελέγχου φάσης ΙΙ (σ γνωστό) Στην προηγούμενη παράγραφο αναφέραμε ότι στην περίπτωση που ένα σημείο του διαγράμματος ελέγχου για τη μέση τιμή του χαρακτηριστικού βρεθεί εκτός των ορίων του διαγράμματος τότε υπάρχει ένδειξη ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου με την προϋπόθεση ότι η διασπορά του ποιοτικού χαρακτηριστικού είχε παραμείνει σταθερή σε όλη τη διάρκεια της διαδικασίας. Στην παρούσα παράγραφο θα αναπτύξουμε την κατασκευή διαγραμμάτων τύπου Shewhar για την παρακολούθηση της συμπεριφοράς της διασποράς ενός συνεχούς χαρακτηριστικού. Στην ανάλυση που ακολουθεί υποθέτουμε ότι το χαρακτηριστικό ακολουθεί κατανομή N ( µ, σ ) και ότι έχουμε m το πλήθος ανεξάρτητα τυχαία δείγματα από τη Χ τα,,..., ), m, μεγέθους το καθένα. ( R διάγραμμα ελέγχου Έστω,,..., ) ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους από τη Χ και ας θέσουμε ( W R. Είναι γνωστό ότι ( ) () µ E( R ) σ d σ d R, σ R V ( R ) όπου οι ποσότητες d και d εξαρτώνται από το μέγεθος του δείγματος. Συνεπώς ένα διάγραμμα ελέγχου για τη διασπορά του ποιοτικού χαρακτηριστικού Χ μπορεί να βασιστεί σε ένα διάγραμμα όπου η απεικονιζόμενη ποσότητα θα είναι το εύρος των δειγμάτων που ως γνωστό είναι ένα μέτρο διασποράς της Χ. Το μοντέλο με όρια σ θα έχει τη μορφή LCL µ σ ( d d ) σ, CL d σ, UCL µ σ ( d d ) σ. R R µ R R R Θέτοντας D d d, D d d προκύπτει το ακόλουθο πλαίσιο Πλαίσιο 5 (R διάγραμμα) Phase II corol lms (σ) UCL D σ Ceer Le d σ LCL D σ R 6

Επειδή D < για 6, σε αυτές τις περιπτώσεις θέτουμε D. S διάγραμμα ελέγχου Έστω,,..., ) ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους από τη Χ και ας θέσουμε Γνωρίζουμε ότι ( µ S S ( j j ), m. E( S ) σ c σ c 4, σ S V ( S ) Συνεπώς ένα διάγραμμα ελέγχου για τη διασπορά του χαρακτηριστικού Χ μπορεί να βασιστεί σε ένα διάγραμμα όπου η απεικονιζόμενη ποσότητα θα είναι οι δειγματικές τυπικές αποκλίσεις έχει τη μορφή Θέτοντας S που είναι το πιο σύνηθες μέτρο διασποράς της Χ. Το μοντέλο με όρια σ θα προκύπτει το ακόλουθο πλαίσιο LCL µ S σ ( c 4 c 4 ) σ, S CL µ S c4σ, UCL µ S σ ( c 4 c 4 ) σ. B S 5 c4 c4, B6 c4 c Πλαίσιο 6 (S διάγραμμα) Phase II corol lms (σ) UCL B 6 σ Ceer Le c 4 σ LCL B σ Επειδή B για 5, σε αυτές τις περιπτώσεις θέτουμε B. 5 < S διάγραμμα ελέγχου Έστω,,..., ) είναι ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους από τη Χ ας θέσουμε Είναι γνωστό ότι ( S ( j j ), 5 5 4 m. 4 7

Επιπρόσθετα οπότε E ( S ) σ και P χ σ P χ ) S σ ( ) σ S ~ χ ( ; a / χ ; a / S σ χ. a ; a / ; a / a. Συνεπώς ένα διάγραμμα ελέγχου για τη διασπορά του χαρακτηριστικού Χ μπορεί να βασιστεί σε ένα διάγραμμα όπου η απεικονιζόμενη ποσότητα θα είναι η δειγματική διακύμανση πλαίσιο S που είναι μέτρο διασποράς της Χ, το οποίο περιγράφεται στο ακόλουθο Πλαίσιο 7 (S διάγραμμα) Phase II corol lms (α/) UCL σ χ Ceer Le σ LCL σ ; a / ; a / Πρέπει να σημειώσουμε ότι τα παραπάνω όρια ελέγχου είναι όρια πιθανότητας (probably lms) αφού δεν συνηθίζεται η ανάπτυξη διαγραμμάτων ελέγχου ορίων σ για την ποσότητα S.... Διαγράμματα ελέγχου φάσης Ι (σ άγνωστο) Στην πράξη η ποσότητα σ είναι άγνωστη οπότε πρέπει να εκτιμηθεί παίρνοντας προκαταρκτικά ανεξάρτητα τυχαία δείγματα. Στην ανάλυση που ακολουθεί υποθέτουμε ότι το χαρακτηριστικό ακολουθεί κατανομή N ( µ, σ ) και ότι έχουμε m το πλήθος ανεξάρτητα τυχαία δείγματα από τη Χ τα,,..., ), m, μεγέθους το καθένα. ( R διάγραμμα ελέγχου 8

Χρησιμοποιώντας ως εκτίμηση του σ την ποσότητα σ ˆ R / d τότε το Πλαίσιο 5 παίρνει την ακόλουθη μορφή όπου Πλαίσιο 8 (R διάγραμμα) Phase I corol lms (σ) UCL D 4 R Ceer Le R LCL R D d D, D4 d Επειδή D για 6, σε αυτές τις περιπτώσεις θέτουμε D. < S διάγραμμα ελέγχου Χρησιμοποιώντας ως εκτίμηση του σ την ποσότητα σ ˆ S / c4 τότε το Πλαίσιο 6 παίρνει την ακόλουθη μορφή όπου B d d Πλαίσιο 9 (S διάγραμμα) Phase I corol lms (σ) UCL B 4 S Ceer Le S LCL S B c4, B4 c4 c4 c. Επειδή B για 5, σε αυτές τις περιπτώσεις θέτουμε B. < S διάγραμμα ελέγχου Χρησιμοποιώντας ως εκτίμηση του Πλαίσιο 7 παίρνει την ακόλουθη μορφή σ την ποσότητα ˆ 4 σ S (δείτε σχέση (5)) το 9

Πλαίσιο ( S διάγραμμα) Phase I corol lms (α/) UCL S χ Ceer Le S LCL S χ ; a / ; a / Σημειώσουμε πάλι ότι τα παραπάνω όρια ελέγχου είναι όρια πιθανότητας (probably lms). Κλείνοντας την παρούσα παράγραφο σημειώνουμε ότι σύμφωνα με όσα έχουν προηγηθεί μπορούμε εύκολα να αναπτύξουμε R και S διαγράμματα ελέγχου Φάσης Ι με όρια πιθανότητας a /... Διαγράμματα Ελέγχου για Μεμονωμένες Παρατηρήσεις Σε ορισμένες περιπτώσεις το μέγεθος του δείγματος είναι ίσο με (αυτόματη επιθεώρηση παραγόμενων προϊόντων, μικρός ρυθμός παραγωγής, κτλ.). Σε αυτή την περίπτωση ομιλούμε για διαγράμματα ελέγχου για μεμονωμένες ή ατομικές παρατηρήσεις (dvdual observaos). Oι μέθοδοι που αναπτύξαμε στις προηγούμενες παραγράφους χρειάζονται τροποποίηση. Σε ότι ακολουθήσει στην παρούσα παράγραφο υποθέτουμε ότι το χαρακτηριστικό Χ ακολουθεί κατανομή N ( µ, σ ) και ότι έχουμε στη διάθεσή μας m ανεξάρτητες παρατηρήσεις,...,, m από την Χ για την ανάλυση Φάσης Ι.... Διαγράμματα ελέγχου φάσης ΙΙ ( μ, σ γνωστά) Σε αυτή την περίπτωση το Πλαίσιο παίρνει τη μορφή Πλαίσιο (Χ διάγραμμα) Phase II corol lms (σ) UCL µ σ Ceer Le µ LCL µ σ

αφού, και ομιλούμε για Χ διάγραμμα ελέγχου αφού στο διάγραμμα απεικονίζονται οι μεμονωμένες παρατηρήσεις ( W, ). Για τη συμπεριφορά της διασποράς του χαρακτηριστικού Χ το αντίστοιχο R διάγραμμα ελέγχου δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί επειδή για δεν έχει νόημα η ποσότητα R. Σε αυτή την περίπτωση χρησιμοποιούμε το κινούμενο εύρος (movg rage) των μεμονωμένων παρατηρήσεων που ορίζεται από τη σχέση Προφανώς, για το κινούμενο εύρος MR, m. MR ισχύει ότι µ E( MR ) σ d σ d. MR, σ MR V ( MR ) Πρέπει να προσεχθεί ότι οι πιο πάνω σταθερές d, d υπολογίζονται για. Συνεπώς ένα διάγραμμα ελέγχου για τη διασπορά του χαρακτηριστικού Χ μπορεί να βασιστεί σε ένα διάγραμμα όπου η απεικονιζόμενη ποσότητα θα είναι το κινούμενο εύρος παρατηρήσεων. Το μοντέλο με όρια σ θα έχει τη μορφή MR των LCL µ σ ( d d ) σ, CL d σ, UCL µ σ ( d d ) σ. MR MR µ MR Για D d d, D d d προκύπτει το ακόλουθο πλαίσιο Πλαίσιο (MR διάγραμμα) Phase II corol lms (σ) UCL D σ Ceer Le d σ LCL D σ... Διαγράμματα ελέγχου φάσης Ι ( μ, σ άγνωστα) MR MR Στην περίπτωση που οι ποσότητες µ και σ είναι άγνωστες πρέπει να εκτιμηθούν. Η εκτίμηση του μέσου δίνεται από τη σχέση... m Η ποσότητα ακολουθεί κατανομή N( µ, σ / m) και χρησιμοποιείται ως εκτίμηση της ποσότητας µ (αμερόληπτη και συνεπής εκτιμήτρια του µ ), δηλαδή Για την εκτίμηση του σ, θέτοντας µˆ m.

) MR MR MR... MR m /d έχουμε ότι E( MR σ d, οπότε η ποσότητα MR είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της ποσότητας σ, και χρησιμοποιείται ως εκτίμηση της ποσότητας σ, δηλαδή MR σ ˆ d Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω εκτιμήσεις το Πλαίσιο παίρνει την ακόλουθη μορφή ενώ το Πλαίσιο, για Πλαίσιο (Χ διάγραμμα) Phase I corol lms (σ) UCL Ceer Le LCL d D m MR d MR d, D4 παίρνει τη μορφή d d Πλαίσιο 4 (MR διάγραμμα) Phase I corol lms (σ) UCL Ceer Le LCL d D MR 4 MR D MR Πρέπει να προσεχθεί ότι οι πιο πάνω σταθερές D, D 4 υπολογίζονται για.. Διαγράμματα ελέγχου Shewhar για ιδιότητες Σε αρκετές περιπτώσεις ταξινομούμε ένα προϊόν σαν ελαττωματικό ή μη συμμορφούμενο (defecve or ocoformg) αν τουλάχιστον ένα ποιοτικό χαρακτηριστικό του έχει τιμή η

οποία βρίσκεται εκτός των ορίων προδιαγραφών. Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι το προϊόν παρουσιάζει τουλάχιστον ένα ελάττωμα ή ατέλεια (defec or ocoformy). Ο αριθμός των ελαττωματικών προϊόντων μιας παραγωγικής διεργασίας, όπως και ο αριθμός των ελαττωμάτων ενός προϊόντος, είναι ποιοτικά χαρακτηριστικά που περιγράφονται με διακριτές τυχαίες μεταβλητές οι οποίες στα πλαίσια του Στατιστικού Ελέγχου Ποιότητας ονομάζονται ιδιότητες (arbues). Στο παρόν κεφάλαιο θα παρουσιάσουμε τρία βασικά είδη διαγραμμάτων ελέγχου (arbue corol chars) που χρησιμοποιούνται σε αυτές τις περιπτώσεις. Το πρώτο διάγραμμα αφορά το ποσοστό p των ελαττωματικών προϊόντων μιας παραγωγικής διεργασίας γνωστό ως p διάγραμμα. Το δεύτερο διάγραμμα ελέγχου αφορά το συνολικό αριθμό των ελαττωμάτων σε μια μονάδα ελέγχου (speco u) γνωστό ως c διάγραμμα. Το τρίτο διάγραμμα αφορά το μέσο αριθμό των ελαττωμάτων ανά μονάδα ελέγχου γνωστό ως u διάγραμμα. Ο όρος μονάδα ελέγχου δεν σημαίνει απαραίτητα ένα προϊόν. Η μονάδα ελέγχου ή απλά μονάδα μπορεί να είναι είτε το ίδιο το προϊόν (π.χ. ένα τόπι ύφασμα), είτε τμήμα του προϊόντος (π.χ. τρέχοντα μέτρα από το τόπι), είτε ένα σύνολο προϊόντων (π.χ. τόπια ύφασμα). Επίσης τα ελαττώματα που παρουσιάζει μια μονάδα ελέγχου δεν είναι αναγκαστικά του ίδιου τύπου (π.χ. σε ένα Η/Υ ελάττωμα μπορεί χαρακτηριστεί η απουσία κάποιων εξαρτημάτων, αστοχίες συγκολήσεων, ελαττωματική RAM, απουσία αυτοκόλητου του σειριακού αριθμού, κτλ.)... Διαγράμματα ελέγχου για το ποσοστό των ελαττωματικών προϊόντων Στην παρούσα παράγραφο θα αναπτύξουμε την κατασκευή διαγράμματος τύπου Shewhar για την παρακολούθηση της συμπεριφοράς του ποσοστού p των ελαττωματικών ή μη συμμορφούμενων προϊόντων μιας παραγωγικής διεργασίας. Με τον όρο ποσοστό ελαττωματικών προϊόντων ορίζουμε το πηλίκο του αριθμού των ελαττωματικών προϊόντων δια του συνολικού αριθμού των παραγόμενων προϊόντων.... Διαγράμματα ελέγχου φάσης ΙΙ ( p γνωστό ) Η κατασκευή ενός διαγράμματος ελέγχου για το ποσοστό p των ελαττωματικών προϊόντων μιας διεργασίας βασίζεται στη Διωνυμική κατανομή. Ας υποθέσουμε ότι το

ποσοστό των ελαττωματικών προϊόντων είναι γνωστό και ίσο με p και ότι από την παραγωγή επιλέγουμε ανεξάρτητα τυχαία δείγματα μεγέθους προϊόντων το καθένα. Ας συμβολίσουμε με, j, j, την τυχαία μεταβλητή με τιμές και ανάλογα με το αν το αντίστοιχο προϊόν (, j) είναι ελαττωματικό ή όχι. Για την τυχαία μεταβλητή j έχουμε ότι j ~ B(, p), ενώ για την τυχαία μεταβλητή... που δηλώνει τον αριθμό των ελαττωματικών προϊόντων στο δείγμα έχουμε ότι ~ B(, p). και Αν ~ B(, p) είναι γνωστό ότι µ p, σ p ( p ). Για την τυχαία μεταβλητή x x P( x) p ( p) I A( x), A {,,..., } x W p, που δηλώνει το ποσοστό των ελαττωματικών προϊόντων στο δείγμα ισχύει ότι µ p( p) p, σ,. W W Έτσι μπορούμε να αναπτύξουμε ένα διάγραμμα ελέγχου για την παρακολούθηση του ποσοστού των ελαττωματικών προϊόντων στο οποίο θα απεικονίζεται η τιμή της W p στα διάφορα δείγματα που επιλέγουμε από την παραγωγή. Τα όρια του / διαγράμματος ελέγχου συνοψίζονται στο ακόλουθο πλαίσιο Πλαίσιο 5 ( p διάγραμμα ) Phase II corol lms (σ) UCL Ceer Le p LCL p p p( p) p( p) Η κατασκευή ενός διαγράμματος ελέγχου για την παρακολούθηση του αριθμού των ελαττωματικών προϊόντων επιτυγχάνεται με τη βοήθεια της τυχαίας μεταβλητής. Στο 4

διάγραμμα ελέγχου απεικονίζεται η τιμή της W ) στα διάφορα δείγματα που επιλέγουμε ( από την παραγωγή και τα όρια του διαγράμματος ελέγχου δίνονται στο ακόλουθο πλαίσιο Πλαίσιο 6 (p διάγραμμα ) Phase II corol lms (σ) UCL p p( p) Ceer Le p LCL p p( p) Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι στην πράξη αρκεί να κατασκευάσουμε ένα από τα δύο παραπάνω διαγράμματα αφού είναι ισοδύναμα.... Διαγράμματα ελέγχου φάσης Ι ( p άγνωστο ) Όταν το ποσοστό των ελαττωματικών προϊόντων της διεργασίας είναι άγνωστο πρέπει να εκτιμηθεί από τις πληροφορίες που θα μας δώσουν m ανεξάρτητα προκαταρκτικά δείγματα μεγέθους το καθένα, έστω τα,,..., ), m. Θέτοντας έχουμε ότι P p (..., m p p Λ pm... m m m m m j E ( P) p αφού ~ B( m, p). Η ποσότητα P χρησιμοποιείται ως j εκτίμηση της ποσότητας p, δηλαδή j m p ˆ P. Συνεπώς το Πλαίσιο 5 παίρνει τη μορφή Πλαίσιο 7 ( p διάγραμμα ) Phase I corol lms (σ) UCL Ceer Le P LCL P P P( P ) P( P ) j 5

ενώ το Πλαίσιο 6 παίρνει τη μορφή Πλαίσιο 8 (p διάγραμμα ) Phase I corol lms (σ) UCL P P( P ) Ceer Le P LCL P P( P ).. Διαγράμματα ελέγχου για τον αριθμό και το μέσο αριθμό των ελαττωμάτων Στην παρούσα παράγραφο θα αναπτύξουμε την κατασκευή διαγράμματος τύπου Shewhar για τον (συνολικό) αριθμό των ελαττωμάτων σε μια μονάδα ελέγχου και για το μέσο αριθμό των ελαττωμάτων ανά μονάδα ελέγχου. Η βασική υπόθεση που θα κάνουμε είναι ότι ο (συνολικός) αριθμός των ελαττωμάτων (πιθανόν διαφορετικών τύπων) σε μια μονάδα ελέγχου ακολουθεί την κατανομή Posso. Σύμφωνα με αυτή την υπόθεση θα πρέπει η πιθανότητα εμφάνισης ελαττώματος σε οποιοδήποτε σημείο (περιοχή) μιας μονάδας να είναι μικρή και σταθερή και φυσικά ο αριθμός των ελαττωμάτων είναι θεωρητικά μη πεπερασμένος αριθμός. Επιπλέον απαιτείται οι μονάδες ελέγχου στα δείγματα να είναι ίδιες.... Διαγράμματα ελέγχου φάσης ΙΙ ( c γνωστό ) Ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός των ελαττωμάτων που εμφανίζονται σε μια μονάδα ελέγχου ακολουθεί την κατανομή Posso με παράμετρο c (συμβολικά ~ P( c) ), δηλαδή Είναι γνωστό ότι x c c P( x) e I A ( x), όπου A {,,...} και x!, x A I A ( x), x A µ σ c. Συνεπώς μπορούμε να αναπτύξουμε ένα διάγραμμα ελέγχου για την παρακολούθηση του αριθμού των ελαττωμάτων των μονάδων ελέγχου στο οποίο θα απεικονίζεται η τιμή της W στις διάφορες μονάδες ελέγχου που επιλέγουμε από την παραγωγή. Τα όρια του διαγράμματος ελέγχου συνοψίζονται στο ακόλουθο πλαίσιο 6

Πλαίσιο 9 ( c διάγραμμα ) Phase II corol lms (σ) UCL c c Ceer Le c LCL c c Έστω τώρα ότι από την παραγωγή επιλέγουμε ανεξάρτητα τυχαία δείγματα μεγέθους μονάδων το καθένα. Ας συμβολίσουμε με, j, j, την τυχαία μεταβλητή που δηλώνει τον αριθμό των ελαττωμάτων της αντίστοιχης μονάδας ελέγχου (, j). Για την τυχαία μεταβλητή Λ έχουμε ότι ~ P( c), ενώ για την τυχαία μεταβλητή j j που δηλώνει το συνολικό αριθμό των ελαττωμάτων στο δείγμα έχουμε ότι ~ P( c). Για την τυχαία μεταβλητή U που δηλώνει το μέσο αριθμό των ελαττωμάτων ανά / μονάδα ελέγχου στο δείγμα έχουμε ότι c µ U c, σ, U. Συνεπώς μπορούμε να αναπτύξουμε ένα διάγραμμα ελέγχου για την παρακολούθηση του μέσου αριθμού των ελαττωμάτων ανά μονάδα ελέγχου σε κάθε δείγμα στο οποίο θα απεικονίζεται η τιμή της U στα διάφορα δείγματα που επιλέγουμε από την / παραγωγή. Τα όρια του διαγράμματος ελέγχου συνοψίζονται στο ακόλουθο πλαίσιο Πλαίσιο (u διάγραμμα ) Phase II corol lms (σ) UCL Ceer Le c c LCL c c c 7

Στα Πλαίσια 9 και, αν το LCL είναι αρνητικό το θέτουμε ίσο με. Βέβαια στο Πλαίσιο αυτό μπορεί να αποφευχθεί αυξάνοντας το μέγεθος του δείγματος.... Διαγράμματα ελέγχου φάσης Ι ( c άγνωστο ) Σχετικά με το c διάγραμμα όταν η παράμετρος c της κατανομής Posso είναι άγνωστη πρέπει να εκτιμηθεί από τις πληροφορίες που θα μας δώσουν m προκαταρκτικές μονάδες ελέγχου. Ας συμβολίσουμε με m. Θέτοντας έχουμε ότι των αριθμό των ελαττωμάτων της μονάδος ελέγχου,... m C, m m E ( C ) c. Η ποσότητα C χρησιμοποιείται ως εκτίμηση της ποσότητας c, δηλαδή Συνεπώς το Πλαίσιο 9 παίρνει τη μορφή c ˆ C. Πλαίσιο ( c διάγραμμα ) Phase I corol lms (σ) UCL C C Ceer Le C LCL C C Στην περίπτωση του u διαγράμματος η παράμετρος c της κατανομής Posso θα εκτιμηθεί από τις πληροφορίες που θα μας δώσουν m ανεξάρτητα προκαταρκτικά δείγματα μεγέθους μονάδων ελέγχου το καθένα, έστω τα,,..., ), m. Θέτοντας και έχουμε ότι U (..., m U U... U m... U m m m m j m E ( U ) c αφού ~ P( mc). Η ποσότητα U χρησιμοποιείται ως εκτίμηση της ποσότητας c, δηλαδή j j c ˆ U m. Συνεπώς το Πλαίσιο παίρνει τη μορφή j 8

Πλαίσιο (u διάγραμμα ) Phase I corol lms (σ) UCL Ceer Le U LCL U U.4 Κανόνες ευαισθητοποίησης ενός διαγράμματος ελέγχου Shewhar Από μελέτες έχει διαπιστωθεί ότι για μικρές μετατοπίσεις του μέσου µ της W (έως και.5σ ) το εκτός ελέγχου μέσο μήκος ροής ARL του διαγράμματος ελέγχου Shewhar δεν είναι ικανοποιητικό (δηλαδή είναι αρκετά μεγάλος αριθμός). Για να γίνει περισσότερο ευαίσθητο ένα διάγραμμα ελέγχου Shewhar με σ όρια ως προς την ικανότητά του να ανιχνεύει πιο γρήγορα εκτός ελέγχου διεργασίες, εκτός από τη σχεδίαση των ορίων ελέγχου, σχεδιάζουμε επίσης και προειδοποιητικά όρια εσωτερικά των ορίων ελέγχου όπως δείχνει το ακόλουθο διάγραμμα U U Zoe A Zoe B Zoe C Zoe C Zoe B Zoe A UCL (σ lm) CL LCL (σ lm) Σχήμα.: Διάγραμμα ελέγχου Shewhar και προειδοποιητικά όρια σ Warg Lm σ Warg Lm σ Warg Lm σ Warg Lm Τα προειδοποιητικά όρια χρησιμοποιούνται για την ανάπτυξη κανόνων ευαισθητοποίησης (seszg rules) οι οποίοι περιγράφουν ενδεχόμενα που σχετίζονται με την εμφάνιση ειδικών ακολουθιών σημείων (paers) σε ένα διάγραμμα ελέγχου. Στην περίπτωση που 9

συμβεί το ενδεχόμενο που περιγράφει ο κανόνας τότε θεωρούμε ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου χωρίς απαραίτητα να έχουμε κάποιο σημείο του διαγράμματος εκτός των ορίων ελέγχου (UCL και LCL ). Οι σημαντικότεροι κανόνες που χρησιμοποιούνται για την ευαισθητοποίηση ενός διαγράμματος ελέγχου Shewhar είναι οι ακόλουθοι: Κανόνας. Ένα σημείο εκτός των ορίων ελέγχου (κανόνας -από-) Κανόνας. Δύο από τρία συνεχόμενα σημεία σε μια από τις δύο ζώνες Α (κανόνας από-) Κανόνας. Τέσσερα από πέντε συνεχόμενα σημεία σε μια από τις δύο περιοχές, πέραν της Ζώνης C (κανόνας 4-από-5) Κανόνας 4. Πέντε συνεχόμενα σημεία, όλα πέραν της ολικής Zώνης C (και στις δύο περιοχές) Κανόνας 5. Έξι συνεχόμενα σημεία σε αύξουσα ή φθίνουσα διάταξη Κανόνας 6. Δεκαπέντε συνεχόμενα σημεία στην ολική Zώνη C Κανόνας 7. Δεκατέσσερα συνεχόμενα σημεία σε εναλλασσόμενη μορφή πάνω-κάτω Κανόνας 8. Εννέα συνεχόμενα σημεία στην ίδια μεριά (επάνω ή κάτω) της κεντρικής γραμμής (κανόνας 9-από-9).5 Διαγράμματα ελέγχου CUSUM Στα διαγράμματα ελέγχου Shewhar απεικονίζονται τιμές που βασίζονται στις μετρήσεις κάθε δείγματος χωρίς να λαμβάνουν υπόψη τους μετρήσεις από προηγούμενα δείγματα. Για το λόγω αυτό χαρακτηρίζουμε τα διαγράμματα ελέγχου Shewhar ως διαγράμματα ελέγχου χωρίς μνήμη (corol chars whou memory). Τα διαγράμματα Shewhar είναι πολύ χρήσιμα στην ανίχνευση μετατοπίσεων του μέσου για τιμές μεγαλύτερες του.5σ. Τα διαγράμματα ελέγχου τύπου CUSUM έχουν μη περιορισμένη και ομοιόμορφη μνήμη αφού λαμβάνουν πληροφορία από όλα τα προηγούμενα δείγματα και το καθένα από αυτά έχει την ίδια βαρύτητα. Χρησιμοποιούνται για να εντοπίζουν γρήγορα μικρές μετατοπίσεις του μέσου και ανήκουν στην κατηγορία των διαγραμμάτων με μνήμη (corol chars wh memory). Ας θεωρήσουμε μια εντός ελέγχου διεργασία η οποία παράγει προϊόντα στα οποία η τιμή ενός ποιοτικού χαρακτηριστικού τους που θέλουμε να παρακολουθήσουμε έχει μέση

τιμή µ και τυπική απόκλιση σ. Από τη διεργασία λαμβάνονται μεμονωμένες παρατηρήσεις,, και μας ενδιαφέρει να ανιχνεύσουμε μετατοπίσεις του μέσου της διεργασίας της μορφής µ µ ± δσ ( δ > ). Τα δίπλευρα (συμμετρικά) διαγράμματα ελέγχου CUCUM (wo-sded CUSUMS) με διαστήματα απόφασης εισήχθησαν από τον Page (954). Στα διαγράμματα αυτά απεικονίζονται ταυτοχρόνως οι δύο ακόλουθες στατιστικές συναρτήσεις Οι τιμές των ποσοτήτων S max[, ( µ K) S ], S, S m[, ( µ K) S ], S. S και S ονομάζονται τιμές εκκίνησης (headsar values). Η ποσότητα K ( ) ονομάζεται τιμή αναφοράς (referece value) και η πιο συνήθης τιμή της δίνεται από τη σχέση Η ποσότητα δσ µ µ K kσ, k δ /. S συσσωρεύει τις αποκλίσεις των παρατηρήσεων από την ποσότητα µ K από τη στιγμή που θα εμφανιστεί θετική απόκλιση και μπορεί να θεωρηθεί κατάλληλη για τον έλεγχο της υπόθεσης αφού μεγάλες θετικές τιμές της ποσότητα H : µ µ H : µ µ µ δσ, δ > S οδηγούν στην αποδοχή της υπόθεσης S συσσωρεύει τις αποκλίσεις των παρατηρήσεων H. Ανάλογα, η από την ποσότητα από τη στιγμή που θα εμφανιστεί αρνητική απόκλιση και συνεπώς η ποσότητα θεωρηθεί κατάλληλη για τον έλεγχο της υπόθεσης αφού μικρές αρνητικές τιμές της H : µ µ H : µ µ µ δσ, δ > Για το ποια από τις δύο εναλλακτικές υποθέσεις S οδηγούν στην αποδοχή της υπόθεσης H και H. µ K S μπορεί να H θα αποδεχθούμε ή όχι σε κάθε βήμα της διαδικασίας η απόφασή μας θα εξαρτηθεί από το αν ισχύει η σχέση η σχέση S S > H < H, όπου H μια θετική σταθερά ( H > ). Η πιο συνήθης τιμή για το διάστημα απόφασης είναι η H hσ, h 4,5. ή

Η ποσότητα H ονομάζεται διάστημα απόφασης (decso erval). Φυσικά αν μια από τις δύο εναλλακτικές υποθέσεις H ή H γίνει αποδεκτή τότε θεωρούμε ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου λόγω μετατόπισης του μέσου της διεργασίας σε υψηλότερο ή χαμηλότερο επίπεδο αντίστοιχα. Για τα δεδομένα του Πίνακα. έχουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα για K µ µ / /.5 (επίσης k. 5) Παρατήρηση Πίνακας.: Συσσωρευμένα αθροίσματα για K. 5 ( µ K) S ( µ K) 9.45 -.5 -.5 -.5 7.99 -.5 -.5 -.56 9.9 -. -. -.77 4.66.6.6.6 5.6.66.8.66 6.8 -..5.68 7 8.4 -.46.4 -.46 -.46 8.46.96.96 9 9. -. -. -..4 -.6.84 9. -.47 -.47 -.47.47.97.97.97.5..98. 4 9.4 -. -. -. 5.8 -.4.58 6 9.7 -. -. -. 7.6... 8. -.9.8 9 8.5 -.98 -.98 -.98.84.4.4.4.9.4.74.4 9. -.7 -.7 -.7.9.79.79.79 4.5.79 5.6..89. 6.8.58.47.58 7.8 -..5.88 8.6. 4.47. 9..8 5.8.8.5. 5.. Για H 5 σ 5 (επίσης h 5), το διάγραμμα ελέγχου CUSUM ( S και S S στο ίδιο διάγραμμα) είναι το ακόλουθο

Cumulave Sum 5-5 Upper CUSUM Lower CUSUM Subgroup Number Σχήμα.: Διάγραμμα ελέγχου CUSUM για τα δεδομένα του Πίνακα. για K. 5 και H 5 Από το παραπάνω διάγραμμα προκύπτει ότι S 5 και συνεπώς η διεργασία είναι εκτός ελέγχου λόγω μετατόπισης του μέσου της διεργασίας σε υψηλότερο επίπεδο. Στη γενική περίπτωση, τόσο η τιμή αναφοράς K όσο και το διάστημα απόφασης H μπορούν να διαφέρουν σε ένα δίπλευρο διάγραμμα ελέγχου CUSUM. Τότε ομιλούμε για μη 9 > συμμετρικό διάγραμμα ελέγχου CUSUM. Επίσης οι τιμές εκκίνησης υποχρεωτικό να είναι ίσες με το. Όταν 5-5 S και S δεν είναι S < H ή/και < H S ομιλούμε για εφαρμογή της μέθοδου της άμεσης αρχικής αντίδρασης (fas al respose). Συνεπώς στη γενική περίπτωση σε ένα δίπλευρο διάγραμμα ελέγχου CUSUM απεικονίζονται οι ποσότητες όπου S < max[, ( µ K ) S ], S < H, S m[, ( µ K ) S ], H < S K >, H >, K <, H <. Το παραπάνω διάγραμμα δίνει σήμα εκτός ελέγχου διεργασίας τη χρονική στιγμή αν S > H > ή < H <. Φυσικά αν μας ενδιαφέρει να ανιχνεύσουμε μετατοπίσεις του S <

μέσου σε υψηλότερο (χαμηλότερο) επίπεδο στο διάγραμμα ελέγχου CUSUM θα απεικονιστεί μόνο η ποσότητα S ( S ) και το διάστημα απόφασης H ( H ). Σε αυτή την περίπτωση ομιλούμε για μονόπλευρα διαγράμματα ελέγχου συσσωρευμένων αθροισμάτων (oe-sded CUSUM). Τα διαγράμματα ελέγχου CUSUM μπορούν να χρησιμοποιηθούν και στην περίπτωση που δεν έχουμε μεμονωμένες παρατηρήσεις αλλά δείγματα μεγέθους >. Σε αυτή την περίπτωση η ποσότητα θα πρέπει να αντικατασταθεί με την ποσότητα μέσο του δείγματος) και η ποσότητα σ με την ποσότητα σ / ( δηλαδή με το. Έτσι στο δίπλευρο συμμετρικό διάγραμμα ελέγχου CUSUM απεικονίζονται οι στατιστικές συναρτήσεις όπου S max[, ( µ K) S ] S m[, ( µ K) S ] σ σ K k, H h..6 Διαγράμματα ελέγχου EWMA Ας θεωρήσουμε μια εντός ελέγχου διεργασία η οποία παράγει προϊόντα στα οποία η τιμή ενός ποιοτικού χαρακτηριστικού τους που θέλουμε να παρακολουθήσουμε έχει μέση τιμή µ και τυπική απόκλιση σ. Από τη διεργασία λαμβάνονται ανεξάρτητες μεμονωμένες παρατηρήσεις διεργασίας της μορφής,, και μας ενδιαφέρει να ανιχνεύσουμε μετατοπίσεις του μέσου της µ µ ± δσ. Στα διαγράμματα ελέγχου εκθετικά σταθμισμένου κινητού μέσου ή απλά διαγράμματα ελέγχου EWMA (expoeally weghed movg average) τα οποία εισήχθησαν από τον Robers (959), απεικονίζεται η στατιστική συνάρτηση Z ( λ) Z λ,, < λ. Για την εκκίνηση του παραπάνω σχεδίου EWMA απαιτείται ο καθορισμός της τιμής εκκίνησης Z η οποία συνήθως λαμβάνεται ίση με µ ( Z µ ), ή γενικότερα λαμβάνεται ίση με μια τιμή στόχο (arge value) T ( Z ). Χρησιμοποιώντας διαδοχικά τον παραπάνω τύπο παίρνουμε T 4

Παρατηρούμε ότι η ποσότητα Z,,...,, με αντίστοιχα βάρη λ ( ) Z ( λ ) Z λ. Z αποτελεί ένα σταθμισμένο μέσο των παρατηρήσεων ( λ ), (τα βάρη αθροίζουν στη μονάδα). Τα βάρη γεωμετρικά καθώς προχωρούμε από την παρατήρηση λ ( λ), λ ( λ), λ ( λ) των ποσοτήτων λ( λ), λ φθίνουν προς την παρατήρηση και συνεπώς η τιμή της παραμέτρου λ απεικονίζει τη σπουδαιότητα που δίνουμε στις νέες (μεγάλη τιμή για το λ ) ή στις παλαιότερες (μικρή τιμή για το λ ) παρατηρήσεις. Για αυτό το λόγω, ο Robers (959) ονόμασε τα διαγράμματα που βασίζονται στη ποσότητα Z ως διαγράμματα ελέγχου γεωμετρικού κινητού μέσου (geomerc movg average corol chars). Στις μέρες μας βέβαια έχει επικρατήσει ο όρος διαγράμματα ελέγχου EWMA. σ Για το μέσο και τη διακύμανση της στατιστικής συνάρτησης µ Var ( λ) Z λ ( λ) λ σ [( λ) ] Z µ Z έχουμε ότι ( µ λ [ ( λ) λ Z ) Z σ ]. Συνεπώς, λαμβάνοντας υπόψη τη φιλοσοφία κατασκευής ενός διαγράμματος ελέγχου Shewhar, στο διάγραμμα ελέγχου EWMA απεικονίζεται η τιμή της στατιστικής συνάρτησης Z και τα όρια ελέγχου θα δίνονται από τους τύπους UCL µ LCL µ Z CL µ Z Z Lσ µ - Lσ Z Z µ µ Lσ - Lσ λ [- (- λ) λ λ [- (- λ) λ Αξίζει να σημειώσουμε ότι για λ το διάγραμμα ελέγχου EWMA ανάγεται στο αντίστοιχο διάγραμμα ελέγχου Shewhar. Επίσης παρατηρούμε ότι τα όρια ελέγχου του παραπάνω διαγράμματος είναι μεταβλητά ( λ ). Ωστόσο η ποσότητα ] ] ( λ ) τείνει στο μηδέν καθώς το αυξάνει, οπότε σε σχετικά σύντομο χρονικό διάστημα τα όρια ελέγχου σταθεροποιούνται και δίνονται από τη σχέση 5

UCL µ LCL µ Z Z Lσ - Lσ Z Z µ µ Lσ - Lσ λ - λ λ - λ Αν και η μέθοδος των διαγραμμάτων ελέγχου EWMA αναπτύχθηκε για μεμονωμένες παρατηρήσεις μπορεί να τροποποιηθεί άμεσα έτσι ώστε να καλύψει και την περίπτωση όπου έχουμε δείγματα μεγέθους >. Σε αυτή την περίπτωση η ποσότητα θα πρέπει να αντικατασταθεί με την ποσότητα με την ποσότητα σ / (δηλαδή με το μέσο του δείγματος) και η ποσότητα σ. Συνεπώς στο διάγραμμα ελέγχου απεικονίζεται η ποσότητα Z ( λ) Z λ, < λ σ λ με όρια ελέγχου UCL µ Z Lσ Z µ L [ ( λ) ] λ Ceer Le µ Z µ σ λ LCL µ Z Lσ Z µ L [ ( λ) ] λ Τα διαγράμματα ελέγχου EWMA χρησιμοποιούνται, όπως και τα διαγράμματα ελέγχου CUSUM, όταν θέλουμε να εντοπίσουμε μικρές μετατοπίσεις του μέσου της διεργασίας. Το πλεονέκτημα των διαγραμμάτων ελέγχου EWMA έναντι των CUSUM είναι ότι δεν είναι ευαίσθητα στην υπόθεση της κανονικότητας των παρατηρήσεων και για το λόγο αυτό είναι ιδανικά στην περίπτωση που έχουμε μεμονωμένες παρατηρήσεις. Για την επίδειξη ενός διαγράμματος ελέγχου EWMA θα χρησιμοποιήσουμε τα δεδομένα του Πίνακα.. Για Z µ, σ, λ. και L. 7 προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας για τις τιμές Z που θα απεικονιστούν στο διάγραμμα Πίνακας.: Δεδομένα για την επίδειξη ενός διαγράμματος ελέγχου EWMA Παρατήρηση Z Παρατήρηση 9.45 9.45 6 9.7 9.9846 7.99 9.495 7.6.478 9.9 9.55 8..74 Z 6

4.66 9.99 9 8.5 9.986 5.6.5.84,8 6.8.7.9.997 7 8.4 9.67 9..7 8.46.755.9.495 9 9. 9.8796 4.5.745.4. 5.6.97 9. 9.84 6.8.4654.47.9785 7.8.4568.5.6 8.6.57 4 9.4.495 9..6468 5.8.55.5.64 Τα σταθεροποιημένα όρια ελέγχου ( ) είναι ίσα με λ. UCL µ Lσ.7. 6 λ (.) λ. LCL µ Lσ.7 9. 8 λ (.) και το διάγραμμα ελέγχου EWMA είναι το ακόλουθο EWMA.8.5. 9.9 9.6 9. EWMA Char for 5 5 5 Observao Σχήμα.4: Διάγραμμα ελέγχου EWMA για τα δεδομένα του Πίνακα. UCL.6 CTR. LCL 9.8 Στο συγκεκριμένο διάγραμμα παρατηρούμε ότι μετά την η παρατήρηση διαφαίνεται μια μετατόπιση του μέσου της διεργασίας σε υψηλότερο επίπεδο η οποία γίνεται αντιληπτή στην 9 η παρατήρηση. 7

. Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ διαγράμματα ελέγχου H χρήση των διαγραμμάτων ελέγχου Shewhar απαιτεί την ύπαρξη συνήθως -5 προκαταρκτικών δειγμάτων μεγέθους 4-5 μονάδων το καθένα για να καθοριστούν αξιόπιστα όρια ελέγχου. Έτσι απαιτείται η παραγωγή και μέτρηση 8- μονάδων προϊόντος. Όμως, ορισμένες παραγωγικές διεργασίες δεν δίνουν τόσες μονάδες σε ένα παραγωγικό κύκλο, όπως οι υπηρεσίες παροχής υπηρεσιών που συμπεριλαμβάνουν εκπαιδευτικούς οργανισμούς, τράπεζες, ασφαλιστικούς και επενδυτικούς οργανισμούς, μεταφορικές εταιρείες κτλ.. Για τέτοιου είδους βιομηχανίες ή οργανισμούς δεν έχουν αναπτυχθεί μέθοδοι ελέγχου ποιότητας ή οι υπάρχουσες μέθοδοι κρίνονται ανεπαρκείς. Εμφανίζεται έτσι η ανάγκη χρήσης διαγραμμάτων ελέγχου από την πρώτη κιόλας παραγόμενη μονάδα, δηλαδή από την πρώτη κιόλας διαθέσιμη μέτρηση. Ένα άλλο πρόβλημα που εμφανίζεται στη χρήση των διαγραμμάτων ελέγχου Shewhar είναι στην περίπτωση που έχουμε δείγματα μεταβλητού μεγέθους από το ποιοτικό χαρακτηριστικό. Σε αυτή την περίπτωση η διακύμανση της στατιστικής συνάρτησης W που απεικονίζεται στο διάγραμμα ελέγχου μεταβάλλεται από δείγμα σε δείγμα με αποτέλεσμα να εμφανίζονται μεταβλητά όρια ελέγχου. Η ύπαρξη μεταβλητών ορίων ελέγχου σε ένα διάγραμμα ελέγχου καθιστά αδύνατη την ανίχνευση ειδικών ακολουθιών σημείων (paers) στο διάγραμμα ελέγχου αφού τα σημεία που απεικονίζονται στο διάγραμμα είναι σε διαφορετικές κλίμακες τυπικής απόκλισης. Έτσι ένα σημαντικό εργαλείο ανίχνευσης ειδικών αιτιών μεταβλητότητας σε ένα διάγραμμα ελέγχου αποκτά ελάχιστη ισχύ. Επίσης, στα S και R διαγράμματα ελέγχου ορίων σ όταν το μέγεθος δείγματος είναι μικρότερο του 6 δεν υπάρχει κάτω όριο ελέγχου και έτσι εκ των πραγμάτων δεν μπορούμε να ανιχνεύσουμε μετατοπίσεις της διασποράς της διεργασίας σε χαμηλότερο επίπεδο. Φυσικά αν χρησιμοποιήσουμε διαγράμματα ελέγχου με όρια πιθανότητας, το προαναφερθέν μειονέκτημα μπορεί να αρθεί, αλλά ακόμη και σε αυτή την περίπτωση είναι γνωστό ότι το 8

διάγραμμα ελέγχου έχει μικρή ευαισθησία στο να ανιχνεύει μετατοπίσεις της διασποράς της διεργασίας σε χαμηλότερο επίπεδο. Για να λυθούν όλα τα παραπάνω προβλήματα που συνοδεύουν τη χρήση των διαγραμμάτων ελέγχου Shewhar ο ueseberry προχώρησε στην ανάπτυξη των διαγραμμάτων ελέγχου. Λεπτομέρειες για αυτά διαγράμματα ελέγχου μπορούν να βρεθούν στις εργασίες των uesesberry (997, 99a, 99b, 99c), Farum (99), Hller (969),. Αρχές κατασκευής διαγραμμάτων ελέγχου Έχουμε ήδη αναφέρει ότι σε ένα διάγραμμα ελέγχου Shewhar για την παρακολούθηση της συμπεριφοράς μιας κρίσιμης ποσότητας ενός ποιοτικού χαρακτηριστικού απεικονίζονται οι τιμές W (,,... ) μιας κατάλληλης στατιστικής συνάρτησης ( W g() ) που εκτιμά την κρίσιμη ποσότητα που μας ενδιαφέρει. Στο μοντέλο ορίων σ, τα όρια ελέγχου του διαγράμματος είναι ίσα με E W ) ± SD( W ). Η μέθοδος αυτή δίνει σχετικά καλά αποτελέσματα όταν η κατανομή της ( αποτελέσματα όταν είναι σταθερή και προσεγγιστικά κανονική. W είναι προσεγγιστικά σταθερή και πολύ καλά H μέθοδος που πρότεινε ο ueseberry μετασχηματίζει την ακολουθία των στατιστικών συναρτήσεων W,... στην ακολουθία των στατιστικών συναρτήσεων,... που, W, είναι ακριβώς ή προσεγγιστικά ακολουθία από ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές με κατανομή N (, ). Αν η στατιστική συνάρτηση W ακολουθεί κανονική κατανομή τότε απλά την τυποποιούμε (αφαιρούμε τη μέση τιμή και διαιρούμε με την τυπική απόκλιση). Αν η στατιστική συνάρτηση W δεν ακολουθεί ή δεν προσεγγίζεται από κανονική κατανομή, τότε χρησιμοποιούμε ένα μη γραμμικό μετασχηματισμό. Έστω ότι η στατιστική συνάρτηση W έχει συνάρτηση κατανομής G ( ) η οποία είναι γνωστή και έστω Φ ( ) η αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης κατανομής της τυπικής κανονικής κατανομής N (, ). Ο μετασχηματισμός των στατιστικών συναρτήσεων W είναι ο ακόλουθος u G ( W ) ( u ),,,... Φ 9

Όταν οι συναρτήσεις κατανομής G ( ) δεν είναι τελείως γνωστές (κάποιοι παράμετροι είναι άγνωστοι) θα παρουσιάσουμε μεθόδους οι οποίες επιτρέπουν την εκτίμηση της συνάρτησης μετασχηματισμού από τα δεδομένα και αποδίδουν ακολουθία τιμών, που είναι είτε, ακριβώς είτε προσεγγιστικά ακολουθία από ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με κατανομή N (, ). Οι μέθοδοι για γνωστές και άγνωστες τιμές δεν «συναγωνίζονται» μεταξύ τους. Όμως όταν υπάρχουν αρκετά δεδομένα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις μεθόδους για γνωστές τιμές παραμέτρων. Μια τυπική εφαρμογή της μεθόδου θα ήταν να χρησιμοποιήσουμε τους μετασχηματισμούς για άγνωστες τιμές παραμέτρων και όταν συγκεντρώσουμε επαρκές πλήθος δεδομένων να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο για γνωστές τιμές παραμέτρων. Αφού η ακολουθία των στατιστικών συναρτήσεων,,... είναι (ακριβώς ή προσεγγιστικά) ακολουθία από ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές με κατανομή N (, ), τα όρια ελέγχου των (τυπικών) Shewhar διαγραμμάτων ελέγχου θα είναι σχεδιασμένα πάντα στις τιμές ±. Έτσι είναι δυνατή η ανίχνευση ειδικών ακολουθιών σημείων (paers) στο διάγραμμα ελέγχου χρησιμοποιώντας εσωτερικά όρια σχεδιασμένα στις τιμές ± και ±. Τέλος, στην περίπτωση που θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε διαγράμματα ελέγχου με όρια πιθανότητας a a U al ( P > ) au ( και P ( < ) al ), έχουμε ότι UCL z, CL, LCL z. au a L. διαγράμματα ελέγχου για μεταβλητές.. διαγράμματα ελέγχου για δείγματα Έστω ότι το ποιοτικό χαρακτηριστικό ακολουθεί κανονική κατανομή N ( µ, σ ) (όταν η διεργασία λειτουργεί σε ευσταθή κατάσταση) και ότι έχουμε στη διάθεσή μας δείγματα μετρήσεων του ποιοτικού χαρακτηριστικού μεγέθους μεγαλυτέρου της μονάδας. Στον ακόλουθο πίνακα παρουσιάζουμε τα δείγματα και συμβολισμούς για τις δύο σημαντικότερες στατιστικές συναρτήσεις που συνοδεύουν τη στατιστική ανάλυση δειγμάτων, το δειγματικό μέσο και τη δειγματική διασπορά. 4