Ο πίνακας Hilbert σε χώρους Hardy και Bergman

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ο ίνακας Hilbert σε χώρους Hardy και Bergman Βασίλης ασκαλογιάννης Τριµελής Εξεταστική Ειτροή : Καθηγητής Α. Συσκάκης ειβλέων Είκ. Καθηγητής Π. Γαλανόουλος Αν. Καθηγητής Ε. Κάος Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 25

Περιεχόµενα Πρόλογος Κεφάλαιο. Εισαγωγή 3. Η ανισότητα Hilbert 3 2. Χώροι αναλυτικών συναρτήσεων 4 3. Οι ειδικές συναρτήσεις Βήτα και Γάµµα 9 Κεφάλαιο 2. Ο ίνακας Hilbert ως τελεστής 2. Ο ίνακας Hilbert ως µετασχηµατισµός σε χώρους ακολουθιών 2 2. Ο H ως µετασχηµατισµός σε χώρους αναλυτικών συναρτήσεων 23 3. Ο τελεστής H δεν είναι ϕραγµένος στον H 26 4. Ο τελεστής H δεν είναι ϕραγµένος στον H 27 Κεφάλαιο 3. Η νόρµα του H στους χώρους Hardy 33. Αλλαγή της καµύλης ολοκλήρωσης 33 2. Εκτίµηση της νόρµας του H στους χώρους H 35 3. Μία διαφορετική ροσέγγιση του ροβλήµατος 44 4. Η ακριβής τιµή της νόρµας του H στους χώρους Hardy 5 Κεφάλαιο 4. Ο Τελεστής H στους χώρους Bergman 59. Ορισµός του τελεστή H στους χώρους A 59 2. Ο τελεστής H δεν είναι ϕραγµένος στον A 2 63 3. Ο τελεστής H συναρτήσει σταθµισµένων τελεστών σύνθεσης 64 4. Εκτίµηση της νόρµας του T t f στον A 65 5. Εκτίµηση της νορµας του H στους χώρους A 69 6. Μια διαφορετική, ολοκληρωτική µορφή του τελεστή H για τους χώρους Bergman 74 7. Ενα κάτω ϕράγµα για τη νόρµα του H στους χώρους Bergman 75 8. Ενα οµοιόµορφο ϕράγµα για τη νόρµα του H στους χώρους A, 2 < < 4 85 Βιβλιογραφία 89 i

Πρόλογος Σκοός της εργασίας αυτής είναι να εριγράψουµε τη δράση του ίνακα Hilbert, ως τελεστή, σε χώρους αναλυτικών συναρτήσεων και συγκεκριµένα στούς χώρους Hardy και Bergman του µοναδιαίου δίσκου. Θα ανατύξουµε τις διάφορες µεθόδους ου έχουν χρησιµοοιηθεί για να υολογιστεί η νόρµα του τελεστή, στους χώρους εκείνους ου ο τελεστής είναι ϕραγµένος ή για να γίνει µία εκτίµηση αυτής. Πιο συγκεκριµένα, στο κεφάλαιο 3 µελετάµε τον ίνακα Hilbert ως τελεστή στους χώρους Hardy H. Προκύτει οτι ο τελεστής εκφράζεται µέσω σταθµισµένων τελεστών σύνθεσης. Μέσω αυτής της ανααράστασης αοδεικνύεται οτι ο τελεστής Hilbert είναι ϕραγµένος σε κάθε H, < <, και λαµβάνεται µία άνω εκτίµηση της σχετικής νόρ- µας, η οοία είναι ϐέλτιστη για 2 < <. Μία ϐέλτιστη άνω εκτίµηση για όλα τα,, λαµβάνεται αξιοοιώντας την ιδιότητα οτι ο ίνακας Hilbert είναι ένας ίνακας Hankel. Τέλος, χρησιµοοιώντας κατάλληλες συναρτήσεις δοκιµής για χώρους Hardy, ροσδιορίζεται ϐέλτιστη κάτω εκτίµηση της νόρµας και ροκύτει ως όρισµα η ακρι- ϐής τιµή της νόρµας στον χώρο H, για < <. Τα αραάνω αοτελέσµατα εριέχονται στις εργασίες [3] και [5]. Στο κεφάλαιο 4 µελετάµε τον τελεστή Hilbert σε χώρους Bergman A. Με χρήση της ανααράστασης µέσω σταθµισµένων τελεστών σύν- ϑεσης ροκύτει οτι ο τελεστής ειναι ϕραγµένος στον A για > 2 και λαµβάνεται ϐέλτιστη άνω εκτίµηση της νόρµας για 4. Με χρήση κατάλληλων συναρτήσεων δοκιµής, αοδεικνύεται ένα κάτω ϕράγµα για την νόρµα, για > 2 και ροκύτει η ακριβής τιµή όταν 4 <. Τα αοτελέσµατα αυτά ροέρχονται αό τις εργασίες [4] και [5]. Το ρόβληµα του υολογισµού της ακριβούς τιµής της νόρµας α- ϱαµένει ανοιχτό στους χώρους Bergman A, για 2 < < 4.

Κεφάλαιο Εισαγωγή. Η ανισότητα Hilbert Για, q >, τέτοια ώστε + q και ακολουθίες {a m}, {b n } µη αρνητικών όρων τέτοιες ώστε οι σειρές a m, q b n να συγκλίνουν, ισχύει : m n a m b n m + n m m a m n Η ανισότητα Hilbert, έχει κοµβικό ϱόλο στην δράση του ίνακα H- ilbert άνω σε ακολουθίες του χώρου l, όως ϑα δούµε αναλυτικά αρακάτω. Στην αράγραφο αυτή ϑα δώσουµε µία στοιχειώδη αόδειξή της, σύµφωνα µε το [6], ενώ µια ιο γενική αόδειξη ϐρίσκεται στο []. Ο Hilbert αέδειξε την ειδική ερίτωση όου q 2 Hilbert s Double Series Theorem σε µία αό τις διαλέξεις του άνω στις ολοκληρωτικές εξισώσεις, χωρίς όµως να ροσδιορίσει εακριβώς τη σταθερά. Η αόδειξή του, δηµοσιεύθηκε αό τον Weyl 98, ενώ ο ροσδιορισµός της σταθεράς έγινε αό τον Schur 9. Η αόδειξη της γενικής ερίτωσης, για, q >, οφείλεται στους Hardy και M. Riesz και δηµοσιεύθηκε για ρώτη ϕορά στο []. Για την αόδειξη της ανισότητας, ϑα µας χρειαστεί το αρακάτω λήµµα : n Ληµµα.. Για κάθε m R, m > και για a > b n q q n m /a n /a m + n a Αοδειξη. Για f :,, ϕθίνουσα και ολοκληρωσιµη ισχύει : fn fxdx, n 3

4. ΕΙΣΑΓΩΓΗ άρα, για fx m /a x /a m + x, ροκύτει n m /a n /a m + n m /a x /a m + x dx Θέτουµε t x m και έχουµε n m /a n /a m + n dt t /a t + Το αραάνω ολοκλήρωµα, µορεί να υολογιστεί µε δύο τρόους. Α τρόος dt t /a t + t /a n n t n dt + n t n a dt + n dt t /a t + + dt t +/a + /t +/a n n dt t t n n t n a dt n n t n a dt + n t n a dt n n n n + /a + n+ n /a n n a + n n /a n + a + n /a + n n n n /a n + /a + n Θεωρούµε τώρα την συνάρτηση : φz z z n z n +, z C \ Z z + n n

. Η ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ HILBERT 5 Η φz είναι αναλυτική και σύµφωνα µε [, σελ.9], ροκύτει ότι η συνάρτηση : {, z Z fz φz, z C \ Z είναι ακέραια και ϕραγµένη. Εοµένως αό Θεώρηµα Liouville είναι σταθερή, άρα fz αντού. ηλαδή : z z + n z n +, z C \ Z z + n n n Για z ροκύτει ότι : a a + n /a n + /a + n εοµένως : Β τρόος Στο ολοκλήρωµα και έχουµε : n dt t /a t + m /a n /a m + n dt t /a t + a a κάνουµε αλλαγή µεταβλητής u + t u a u + u 2 du u u u a u a u u 2 du u a u a du B a, a και χρησιµοοιώντας ϐασικές ταυτότητες για τις συναρτήσεις Βήτα και Γάµµα Κεφ., 3, έχουµε : B a, Γ a Γ a a Γ a

6. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Παρατηρηση.. Στην ερίτωση ου a 2, η γινεται : m nm + n n Παρ όλο ου η αόδειξη του λήµµατος καλύτει και αυτή την ερίτωση, ενδιαφέρον έχει η αρακάτω, γεωµετρική αόδειξη. Αοδειξη. Εστω το άνω δεξιά τεταρτηµόριο ενός κύκλου, κέντρου C, και ακτίνας R m. Θα συµβολίσουµε µε S το εµβαδό του και ϑα ισχύει : S 4 m. Θεωρώ άνω στην ευθεία x m, τα σηµεία X n m, n, n,, 2,... και R n : την τοµή του ευθύγραµµου τµήµατος CX n µε την εριφέρεια του κύκλου. Με S n ϑα συµβολίζω το εµβαδόν του κυκλικού τοµέα CR n R n. Τέλος, B n είναι η τοµή του ευθ. τµήµατος CX n, µε την ευθεία ου είναι κάθετη στον οριζόντιο άξονα και διέρχεται αό το σηµειο R n ϐλ. σχηµα. Το εµβαδό τριγώνου, µε κορυφές Α, Β, Γ ϑα το συµβολίζω µε S ABΓ. Ισχύει : 2 S S n n S RnCBn, άρα n S RnCBn 4 m Εειδή τα τρίγωνα R n CB n και X n CX n είναι όµοια, ϑα ισχύει : 2 2 S RnCBn CRn CRn, δηλαδή S RnCBn S S XnCXn XnCXn CX n CX n n

. Η ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ HILBERT 7 Άρα η 2 γινεται : 3 2 CRn S XnCXn CX n 4 m n Ισχύουν, είσης S XnCXn S XnCX S Xn CX m n m n 2 2 m 2 n n, και CR n 2 m CX n 2 m 2 + n 2 m + n. Λαµβάνοντας υόψιν οτι 2 n n n, η 3 γινεται : 4 m m m m + n 2 n n n n n m m + n m 2 m m m + n4 n άρα τελικά m nm + n n 2 n Θεωρηµα.. Ανισότητα Hilbert Για, q >, τέτοια ώστε + και ακολουθίες {a q m }, {b n } µή αρνητικών όρων, τέτοιες ώστε οι σειρές a m, b q n να συγκλίνουν, m n

8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ισχύει : 4 m n a m b n m + n m a m n b n q q S Αοδειξη. Γράφουµε : m n m,n a m b n m + n m,n m,n a m b n m + n a m m /q n /q m + n b n n /q. / m /q m + n /q Αό την ανισότητα Hölder : a m m /q / b n n /q q /q S n /q m + n / m /q m + n /q m,n m a m a m n και λόγω της a m m m,n / m /q /q n / b n /q nq m + n m / m + n m,n / m /q q b n /q n n + m n q / b nq n m /q n / m / m + n Οµως η + q συνεάγεται ότι q, άρα ϑα έχουµε : m n a m b n m + n + q m a m m a m n /q b n q q n b n q q

. Η ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ HILBERT 9 Η αραάνω ανισότητα µορεί να τροοοιηθεί ελαφρά, ώστε τα αθροίσµατα να ξεκινούν αό το µηδέν. Θα χρειαστούµε, για τον σκοό αυτό, το αρακάτω αοτέλεσµα [], ου είναι το συνεχές ανάλογο της ανισότητας Hilbert. Θεωρηµα.2. Αν fx L, και gy L q, µε + q, τότε fxgy dx dy x + y / f g q Αοδειξη. Εχουµε I fxgy dx dy x + y gy fx x + y dy dx Παρατηρούµε ότι µε αλλαγή µεταβλητής y xw στο εσωτερικό ολοκλήρωµα, έχουµε άρα I gy x + y dy gxw x + xw x dw gxw + w dw, gxw fx + w dw dx fxgxw dx + w dw. Με εφαρµογή της ανισότητας Hölder στο εσωτερικό ολοκλήρωµα, λαµ- ϐάνουµε / /q I f xdx g xwdx q dw, + w και µε νέα αλλαγή µεταβλητής, xw u, έχουµε ότι g q xw dx w g q u du.

. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Άρα I / f /q xdx g q u du dw + w w /q f g q + w dw w/q B q, q f g q Γ q Γ q f g q /q f g q / f g q Στη συνέχεια ϑα αοδείξουµε το αρακάτω λήµµα [, σελ. 234] Ληµµα.2. Για m, n N, ισχύει m + n Αοδειξη. Εστω Im, n m m m m Με αλλαγή µεταβλητής x n 2 s, Im, n /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 Παροµοίως, για x n 2 + s, Im, n /2 /2 /2 /2 /2 n n n n dx dy x + y dx dy x + y. y m 2 + t έχουµε ds dt m + n s t ds dt m + n s t y m 2 t έχουµε ds dt m + n + s t Προσθέτουµε κατά µέλη τις δύο σχέσεις και λαµβάνουµε /2 /2 2Im, n m + n s t + ds dt. m + n + s t /2 /2

Οµως, για a, έχουµε. Η ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ HILBERT m + n a + m + n + a 2m + n m + n 2 a 2 ενώ /2 άρα δηλαδή /2 /2 /2 2Im, n m + n ds dt, 2 m + n m m n n 2 m + n, dx dy x + y. Αν στην τελευταία ανισότητα, αντικαταστήσουµε τα m, n µε m + και n +, αντίστοιχα, λαµβάνουµε m + n + m+ n+ m n dx dy x + y. Εστω ακολουθίες {a n } n l, {b m } m l q. Θεωρούµε συναρτήσεις fx, gy τέτοιες ώστε fx a n αν n x < n + και gy b m αν m y < m +. Τότε ισχύει m+ n+ m n fxgy x + y και αθροίζοντας, έχουµε a n b m m + n + m n dx dy a n b m m+ m a n b m m + n + fxgy x + y n+ n dx dy / f g q dx dy x + y / {a n} l {b n } l q. Τέλος, ϑα αοδείξουµε την αρακάτω ρόταση

2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Προταση.. Η σταθερά Hilbert, είναι η ϐέλτιστη για κάθε >., ου εµφανίζεται στην ανισότητα Αοδειξη. Εστω ɛ > και ακολουθίες {a m } m, {b n } n µε : a m m + +ɛ, b n όου, q συζυγείς δείκτες. Θα ισχύει, τότε {a m } l m + +ɛ άρα για την fx x, +ɛ ɛ δηλαδή dx x+ɛ Αν ϑέσουµε φɛ m m x, έχουµε m n + +ɛ q m m +ɛ + m +ɛ x dx + +ɛ ɛ m m +ɛ ɛ. m +ɛ ɛ, έχουµε {a m } l + φɛ, φɛ ɛ και αντίστοιχα, ϑέτοντας ψɛ n +ɛ ɛ, έχουµε n {b n } q l q ɛ + ψɛ, ψɛ. Είσης ισχύει a m b n m + n + όου n m ã m m +ɛ n m, bn a m b n m + n > n +ɛ q n m, m, n. ã m bn m + n Σύµφωνα µε το κριτήριο ολοκληρώµατος για διλές σειρές [8, σελ.422, Πρόταση 7.57] x +ɛ y +ɛ q ã m bn dx dy x + y m + n n m

. Η ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ HILBERT 3 και συνεώς I x +ɛ y +ɛ q x + y dx dy < n m a m b n m + n + Με αλλαγή µεταβλητής y xu, ροκύτει I x +ɛ /x u +ɛ q du dx + u και για t /x t ɛ t u +ɛ q ɛ tɛ t u +ɛ q du dt + u + u du Με ολοκλήρωση κατά αράγοντες, λαµβάνουµε I ɛ u +ɛ q + u du + t ɛ t +ɛ q + t dt u ɛ/q u /q ɛ + u du + t ɛ /q t /q + t dt s ɛ/ s /q ɛ + s ds + s ɛ/q s /q + s ds Εοµένως, n m Εχουµε δηλαδή, a m b n m + n + > ɛ ɛ F ɛ, q. dt. s ɛ/ s /q + s ds + s ɛ/q s /q + s ds n m a m b n m + n + {a m } l {b n } l q > /ɛ + φɛ / /ɛ + ψɛ /q ɛ F ɛ, q + ɛφɛ / + ɛψɛ /q F ɛ, q, ɛ >

4. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Παρατηρούµε ότι το όριο στο δεξί µέλος, για ɛ +, ισούται µε lim s ɛ/ s /q ɛ + + s ds + s ɛ/q s /q + s ds s /q εοµένως, για κάθε σταθερά K < n m + s ds, υάρχει ɛ > τέτοιο ώστε a m b n m + n + > K {a m} l {b n } l q Συµεραίνουµε ότι, στην ανισότητα Hilbert, η σταθερά ϐέλτιστη για κάθε >. είναι η, 2. Χώροι αναλυτικών συναρτήσεων Συµβολίζουµε µε D {z : z < } τον µοναδιαίο δίσκο στο µιγαδικό είεδο C και µε T {z : z } το σύνορό του. Ο χώρος όλων των αναλυτικών συναρτήσεων f : D C συµβολίζεται µε HD. Ο HD είναι γραµµικός χώρος και τον ϑεωρούµε εφοδιασµένο µε την τοολογία της τοικά οµοιόµορφης σύγκλισης. 2.. Οι χώροι Hardy του µοναδιαίου δίσκου. Στην αράγραφο αυτή ϑα αραθέσουµε κάοια ϐασικά στοιχεία για τους χώρους Hardy του D. Περισσότερα στοιχεία για αυτούς τους χώ- ϱους καθώς και οι αοδείξεις όσων αναφέρουµε, ϐρίσκονται στο [6]. Εστω < <. Για f HD και r <, ορίζουµε : Για ορίζουµε : M r, f 2 fre iθ dθ 2 M r, f max θ<2 freiθ Η M r, f είναι αύξουσα σαν συνάρτηση του r [,. Ορισµος.. Για <, ο χώρος Hardy H H D αοτελείται αό τις συναρτήσεις f HD για τις οοίες : f H su M r, f < + r<

2. ΧΩΡΟΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 Αό τις ιδιότητες του ολοκληρώµατος ροκύτει ότι για < ο H είναι γραµµικός χώρος. Για η H είναι νόρµα στον H ως ρος την οοία είναι λήρης, δηλαδή είναι χώρος Banach. Για < < η ϱf, g f g H είναι µετρική στον H, ως ρος την οοία ο H είναι λήρης. Για, ο H αοτελείται αό τις ϕραγµένες αναλυτικές συναρτήσεις στο D. 2... Βασικές Ιδιότητες των χώρων H. Αν < < q <, τότε ισχύει H H q H. Για 2 ο H 2 είναι χώρος Hilbert µε εσωτερικό γινόµενο : < f, g > lim r 2 2 fre iθ gre iθ dθ a n b n όου {a n } και {b n } είναι οι ακολουθίες των συντελεστών Taylor των f και g. Ειδικότερα, η νόρµα για 2 λαµβάνεται ως : /2 f H 2 a n 2, fz a n z n. n Οι συναρτήσεις f H ικανοοιούν την ανισότητα αυξητικότητας: n n 5 fz / 2 f H, z D. z Αν < και f H, τα ακτινικά όρια f e iθ lim r fre iθ υάρχουν σχεδόν αντού, ως ρος θ, στο [, 2]. Η συνοριακή συνάρτηση f e iθ είναι -ολοκληρώσιµη και ισχύει : 2 f H f e iθ dθ. 2 Μία συνάρτηση g L [, 2] είναι συνοριακή συνάρτηση για µία αναλυτική συνάρτηση g H αν και µόνο αν η σειρά Fourier της g είναι της µορφής : a n e inθ, n δηλαδή οι συντελεστές Fourier a n µε n, 2, 3,... είναι όλοι ίσοι µε.

6. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Για f H µε fz η ανισότητα Hardy : 6 n n a n z n, ισχύει a n και ειλέον ισχύει a n n + f H Για f H, < < ισχύει η ανισότητα Fejér - Riesz : 7 ft dt 2 2 fe iθ dθ. Γνωρίζουµε είσης οτι [9], αν f H, < <, τότε f m f H, καθώς m, όου f m το m οστό ολυώνυµο Taylor της f. Αν φ : D D είναι αναλυτική συνάρτηση και f H < <, τότε η σύνθεση f φ ανήκει στον H και / + φ 8 f φ H f H φ Εεται ότι ο γραµµικός τελεστής T φ : f f φ, είναι ϕραγµένος ως τελεστής στον χώρο H. Αν ψ H, τότε ο ολλαλασιαστικός τελεστής M ψ : fz ψzfz είναι ϕραγµένος ως τελεστής στον χώρο H και ισχύει ψf H ψ H f H 2.2. Οι χώροι Hardy του ηµιειέδου. Θεωρούµε το δεξί ηµιείεδο Π + {z C : Rez > } Για < < οι χώροι Hardy H Π + αοτελούνται αό τις συναρτήσεις f ου είναι αναλυτικές στο Π + και για τις οοίες ισχύει f H Π + su x> + fx + iy dy < Για < οι χώροι αυτοί, µε την αραάνω νόρµα, είναι χώροι Banach.

Αν f H Π + τότε : 2. ΧΩΡΟΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 7 fz C Rez / f H, z Π+, όου C σταθερά, ανεξάρτητη της f. Για f H Π +, η συνοριακή συνάρτηση υάρχει σχεδόν αντού και f y lim x fx + iy, f H Π + Για f H Π +, η αεικόνιση V : + H Π + H D fz f y dy 4/ fµz z 2/ όου η µz + z z αεικονίζει σύµµορφα το D εί του Π+ είναι γραµµική ισοµετρία εί του H D, άρα οι χώροι Hardy του ηµιειέδου είναι ισοµετρικά ισόµορφοι µε τους αντίστοιχους χώρους Hardy του µοναδιαίου δίσκου. 2.3. Οι χώροι Bergman του µοναδιαίου δίσκου. Για < <, ο χώρος Bergman A, αοτελείται αό τις συναρτήσεις f HD ου ανήκουν στον L D, δηλαδή τις αναλυτικές συναρτήσεις για τις οοίες ισχύει : / f A fz daz <, D όου daz dx dy r dr dt, το κανονικοοιηµένο µέτρο Lebesgue στον D. Η A είναι νόρµα για < ως ρος την οοία ο A είναι χώρος Banach. Για 2 ο χώρος A 2 είναι χώρος Hilbert, µε εσωτερικό γινόµενο : a n b n < f, g > A 2 fzgz daz n +, D n

8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ όου fz a n z n f A 2 : n A 2 και gz b n z n f A 2 Αν < < q <, τοτε ενώ αό τη σχέση : f A 2 n n H A q A, /2 a n 2. n + fre it dt r dr 2 A 2, εοµένως για [M r, f] r dr, είναι σαφές ότι H A για κάθε. Στην ραγµατικότητα ισχύει ο ολύ ισχυρότερος εγκλεισµός H A 2, µία αόδειξη του οοίου ϐρίσκεται στο [7, σελ. 77]. Αν < < και f A, τότε ισχύει η ανισότητα αυξητικότητας : 2/ 9 fz f A, z D, z 2 η αόδειξη της οοίας ϐρίσκεται στο [8]. Γνωρίζουµε είσης ότι [9], αν f A, < <, ισχύει : f N f A N, όου f N το Ν-οστό ολυώνυµο Taylor της f. Αν φ : D D είναι αναλυτική και f A, τότε ο τελεστής συνθεσης T φ : f f φ, είναι ϕραγµένος στον A, < < και µάλιστα [2, σελ.26] 2 + φ f φz daz fz daz, f HD D φ D Άµεση συνέεια είναι ότι για : T φ A A + φ φ 2/ Αν ψz H, τότε ο τελεστής ολλαλασιασµού M ψ : fz ψzfz, είναι ϕραγµένος στον A. Οι συναρτήσεις f A δεν έχουν κατ ανάγκη συνοριακές τιµές όως στην ερίτωση των χώρων Hardy.

3. ΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΒΗΤΑ & ΓΑΜΜΑ 9 3. Οι ειδικές συναρτήσεις Βήτα και Γάµµα Οι ειδικές συναρτήσεις secial functions Βήτα και Γάµµα ϑα ϕανούν χρήσιµες στην είλυση ολύλοκων ολοκληρωµάτων. Στην α- ϱάγραφο αυτή ϑα δώσουµε τον ορισµό τους και κάοιες ϐασικές τους ιδιότητες. Για ερισσότερα στοιχεία, ο αναγνώστης αραέµεται στο [4]. Ορισµος.2. Η συνάρτηση Γz, Rez >, ου ορίζεται ως Γz ονοµάζεται συνάρτηση Γάµµα. e t t z dt Η Γz εεκτείνεται αναλυτικά σε όλο το µιγαδικό είεδο, ως µερό- µορφη συνάρτηση µε αλούς όλους στα σηµεία z,, 2, 3,... σύµφωνα µε τον τύο k Γz k! z + k + e t t z dt, z,, 2,... k Για την συνάρτηση Γάµµα, αοδεικνύονται οι αρακάτω ιδιότητες i Γz + z Γz ii Γ iii Γn n!, n N iv Euler s Reflection Formula ΓzΓ z, z C \ Z. z Ορισµος.3. Η συνάρτηση x, y Bx, y, Rex, Rey >, ου ορίζεται ως Bx, y ονοµάζεται συνάρτηση Βήτα του Euler. Με αλλαγή µεταβλητής ροκύτει t x t y dt Bx, y t x dt, + t x+y

2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ και ακόµη 2 Bx, y 2 2x t cos 2y t dt. Για Rex, Rey >, οι συναρτήσεις Βήτα και Γάµµα συνδέονται µε την αρακάτω σχέση Bx, y ΓxΓy Γx + y.

Κεφάλαιο 2 Ο ίνακας Hilbert ως τελεστής. Ο ίνακας Hilbert ως µετασχηµατισµός σε χώρους ακολουθιών Ο ίνακας H 2. n. 2 3. n +. 3 4. n n +.... n + 2 2n..... ονοµάζεται ίνακας Hilbert. Τα στοιχεία του H είναι της µορφής : h i,j, i, j,, 2,... i + j + Εστω ακολουθία {a n } n a, a,..., a n,..., ϑεωρούµενη ως διάνυσµα - στήλη. Αό τον τυικό ολλαλασιασµό του H µε την a n, ροκύτει µια νέα ακολουθία {A n } n µε όρους : a k A n, n,, 2,... n + k + k υό την ροϋόθεση ότι η σειρά συγκλίνει για κάθε n. Αν αυτό συµ- ϐαίνει, τότε ο H εισάγει τον µετασχηµατισµό : {a n } H {A n } ο οοίος εύκολα ελέγχεται ότι ειναι γραµµικός. Θεωρούµε τους χώρους l, <, των -αθροίσιµων ακολου- ϑιών. Ο l αοτελείται αό τις ακολουθίες {a n } n µε όρους µιγαδικούς 2

22 2. Ο ΠΙΝΑΚΑΣ HILBERT ΩΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ αριθµούς, για τις οοίες : {a n } l n a n < και είναι χώρος Banach µε την αραάνω νόρµα. Αν < <, ο δυϊκός χώρος l ταυτίζεται µε τον l q, + q, ως εξής : Αν L l είναι ένα ϕραγµένο γραµµικό συναρτησοειδές, τότε υάρχει µοναδική ακολουθία {b n } l q ώστε La n a n b n, {a n } l. Ειλέον ισχύει : n L l {b n} l q Παρατηρούµε ότι αν {a n } n l, >, τότε η ακολουθία {A n } n ορίζεται καλά για κάθε n. Πράγµατι, χρησιµοοιώντας την ανισότητα Hölder: k όµως n N : άρα a k n + k + k k k a k k q n + k + q a k n + k + q, n + k + q < <, n N, δηλαδή ο H ορίζεται καλά ως µετασχηµατισµός στον l, < <. Θα δείξουµε τώρα ότι {A n } l. Γνωρίζουµε ότι [2], αν X χώρος µε νόρµα και χ X, τότε : Εοµένως ϑα ισχύει χ X su{ Lχ : L X, L X }. {A n } l su { LA n : L l, L } { } su A n b n : {b n } l q, {b n } q n

2. Ο H ΩΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 23 δηλαδή A n n { su n k a k n + k + b n : {b n } l q, {b n } q } και λόγω της ανισότητας Hilbert q su a n b n q n a n n <. n Άρα, ο µετασχηµατισµός H : l l είναι ϕραγµένος. 2. Ο H ως µετασχηµατισµός σε χώρους αναλυτικών συναρτήσεων : {b n } q Ο ίνακας Hilbert ορίζει είσης, έναν µετασχηµατισµό αναλυτικών συναρτήσεων στον µοναδιαίο δίσκο D, ως εξής. Για fz a n z n HD, ϑεωρούµε τον µετασχηµατισµό δυναµοσειρών Hf : a n z n A n z n, n µε την ροϋόθεση ότι οι συντελεστές A n ορίζονται καλώς, δηλ. οτι η σειρά a k A n n + k +, k συγκλίνει n N αρατηρούµε οτι αρκεί η σύγκλιση για n. Ληµµα 2.. Αν fz a n z n n n k n n H, τότε η δυναµοσειρά a k n + k + zn έχει ακτίνα σύγκλισης R και z D ισχύει n k a k n + k + zn ft tz dt

24 2. Ο ΠΙΝΑΚΑΣ HILBERT ΩΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ Αοδειξη. Αό την ανισότητα Hardy 6, για τους συντελεστές A n ισχύει A n a k n + k + a k n + k + k k k δηλαδή η ακολουθία {A n } είναι ϕραγµένη. Εεται ότι lim su n n An lim su n n f H, a k k + f H, οότε R n lim su An. n Άρα, για f H, η δυναµοσειρά a k Hfz z n, n + k + n k ορίζει αναλυτική συνάρτηση του µοναδιαίου δίσκου, δηλαδή ο ίνακας Hilbert ορίζει έναν τελεστή H : H HD f Hf. Παρατηρούµε τώρα ότι n + k + t n+k dt. Εειδή k t n+k a k dt a k k k t n+k dt a k n + k + f H <,

2. Ο H ΩΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 25 µορούµε να εναλλάξουµε άθροισµα µε ολοκλήρωµα, ώστε a k n + k + a k t n+k dt k k a k t k t n dt k Η δυναµοσειρά εοµένως γράφεται a k : z n n + k + n k Παροµοίως, εειδή ftt n z n dt n n ft tz n dt z n ft dt n ft t n dt n ft t n z n dt. z ft dt και λόγω της ανισότητας Fejér - Riesz z f H <, µορούµε να εναλλάξουµε άθροισµα µε ολοκλήρωµα στην, οότε ft t n z n dt ft tz n dt ft n n tz dt Παρατηρηση 2.. Αό τα αραάνω ροκύτει ειδικότερα ότι, για f H, το ολοκλήρωµα ft tz dt είναι εερασµένο για κάθε z D και ορίζει αναλυτική συνάρτηση στο D.

26 2. Ο ΠΙΝΑΚΑΣ HILBERT ΩΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ Το ότι το ολοκλήρωµα είναι εερασµένο ροκύτει είσης, µε άµεση εφαρµογή της ανισότητας Fejér - Riesz, ως εξής ft tz dt ft tz dt ft z dt z ft dt z ft dt και λόγω της 7, για z 2 2 z f H fe iθ dθ 3. Ο τελεστής H δεν είναι ϕραγµένος στον H Εστω α C \ {}. Η σταθερή συνάρτηση fz α, ανήκει στον H. Εειδή d dt z log tz tz ϑα έχουµε Hfz α η οοία δεν ανήκει στον H. α tz dt z log dt tz [ ] t α z log tz t α z log z,

4. Ο H ΕΝ ΕΙΝΑΙ ΦΡΑΓΜΕΝΟΣ ΣΤΟΝ H 27 4. Ο τελεστής H δεν είναι ϕραγµένος στον H Θα αοδείξουµε ρώτα το αρακάτω λήµµα [6, σελ.3, άσκηση 3]. Ληµµα 2.2. Εστω γ R. Η συνάρτηση f γ z z z log z ανήκει στον H αν και µόνο αν < γ <. Αοδειξη. Εειδή η συνάρτηση log γ z z + 2 z2 + 3 z3 +... έχει ϱίζα τάξης στο z, η συνάρτηση φz z log z είναι ολόµορφη στο D µε φ και δεν έχει ϱίζες στο D. Εοµένως για κάθε γ R ορίζεται η φ γ z ως ολόµορφη συνάρτηση στο D. Η φ γ z δεν µηδενίζεται στο D, άρα η f γ z είναι ολόµορφη στο D. Αν γ < τότε για < r <, z z log z f γ r γ r r log r γ και η f γ δεν ικανοοιεί την συνθήκη αυξητικότητας f γ z C z log γ r r την οοία ικανοοιούν οι συναρτήσεις των χώρων H, άρα f γ / H. Αν γ τότε f γ z z + z + z2 + z 3 +... µε συντελεστές Taylor a n για κάθε n. Η ακολουθία {a n } δεν τείνει στο, άρα f γ / H. Υοθέτουµε τώρα ότι γ > και ϑα εξετάσουµε τις συνοριακές τιµές της f γ.

28 2. Ο ΠΙΝΑΚΑΣ HILBERT ΩΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ Για θ [, ], θ έχουµε lim r re e iθ iθ eiθ e iθ 2 cos θ + i θ cos θ 2 + 2 θ 2 2 θ 2 + i2 θ 2 cos θ 2 4 2 θ 2 e iθ 2 + i cos θ 2, 2 θ 2 δηλαδή το σύνορο του D αεικονίζεται µέσω της z στην ευθεία z {z : Rez } 2 και το D στο ηµιείεδο {z : Rez > }. Είσης 2 Άρα ϑα έχουµε log [ όου φθ Arg 4 + cos2 θ 2 4 2 θ 2 4 2 θ 2 e log iθ e iθ + i φθ ] e iθ, το ρωτεύον όρισµα µε [ ] 2 < Arg < e iθ 2. 2 θ 2. Εοµένως e log iθ e iθ log e iθ + i φθ log 2 e iθ + φ2 θ log 2 2 θ 2 + φ2 θ

άρα για θ [, ], θ έχουµε f γ e iθ 4. Ο H ΕΝ ΕΙΝΑΙ ΦΡΑΓΜΕΝΟΣ ΣΤΟΝ H 29 e iθ 2 θ 2 e log iθ e iθ γ/2. log 2 2 θ + φ2 θ 2 γ Ειλέον [ ] φθ Arg e iθ cos θ 2 2 θ 2 arctan 2 arctan cot θ, 2 δηλαδή Άρα έχουµε f γ e iθ dθ lim u φθ /2 /2 2 θ 2 { 2 θ 2, θ > u θ 2 2, θ < log 2 2 θ + 2 θ γ/2 dθ 2 2 2 log 2 2 2 u + 2 u γ/2 du. Η συνάρτηση µέσα στο ολοκλήρωµα, είναι συνεχής και ϕραγµένη σε κάθε σύνολο της µορφής [, δ] [ δ, ], µε δ >, άρα το ολοκλή- 2 2 ϱωµα άνω σε κάθε τέτοιο σύνολο είναι εερασµένο. Εξετάζουµε το ολοκλήρωµα στο διάστηµα [ δ, δ], µε δ αρκούντος µικρό και ϑετικό. Για το [, δ], αρατηρούµε ότι u log γ u u log 2 2 γ/2 2 u + 2 u

3 2. Ο ΠΙΝΑΚΑΣ HILBERT ΩΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ άρα ειλέγοντας το δ όσο µικρό χρειάζεται, ϑα έχουµε 2 u log γ < u u log 2 2 γ/2 < 3 2 2 u + 2 u u log γ, u για < u < δ. Εεται ότι το ολοκλήρωµα στο [, δ] είναι εερασµένο αν και µόνο αν : δ u log γ du < u Με αρόµοιο τρόο ϐρίσκουµε οτι το ολοκλήρωµα στο διάστηµα [ δ, ] είναι εερασµένο αν και µόνο αν ισχύει η. Με αλλαγή µεταβλητής x log u στην, ροκύτει δ u log γ du u log δ x γ dx και το ολοκλήρωµα αυτό είναι εερασµένο, αν και µόνο αν γ >. είξαµε λοιόν ότι η συνοριακή συνάρτηση f γ e iθ είναι ολοκληρώσιµη αν και µόνο αν γ >. Γνωρίζουµε όµως, οτι αν g αναλυτική στο D και έχει συνοριακή συνάρτηση ge iθ L T τότε g H. Συµε- ϱαίνουµε λοιόν ότι αν γ > τότε f γ H. Αντίστροφα, αν f γ H, τότε η συνοριακή συνάρτηση f γ είναι ολοκληρώσιµη, άρα γ >. Εστω τώρα f ɛ z +ɛ z z log. z Για ɛ >, f ɛ z H και f ɛ t >, t [,. Εοµένως : 2 Hf ɛ z f ɛ t tz dt f ɛ t tz n dt n f ɛ tt n dt n z n

4. Ο H ΕΝ ΕΙΝΑΙ ΦΡΑΓΜΕΝΟΣ ΣΤΟΝ H 3 Ας υοθέσουµε ότι Hf ɛ z H. Τότε, οι συντελεστές της δυναµοσειράς 2 ϑα ικανοοιούν την ανισότητα Hardy, δηλ. ϑα ισχύει f ɛtt n dt < + n + Οµως : n n f ɛtt n dt n + Θέτουµε u log t t t log n f ɛ t f ɛ tt n dt n + n t n n + dt log t f ɛ t dt t ɛ t t log dt t και έχουµε : t ɛ dt e u ɛ u ɛ du + e u ɛ u ɛ du e u ɛ u ɛ du I + I 2 Παρατηρούµε ότι για ɛ έχουµε : I 2 u u du log u + u du + Άρα η υόθεση ότι Hf ɛ z H οδηγεί σε άτοο.

Κεφάλαιο 3 Η νόρµα του H στους χώρους Hardy. Αλλαγή της καµύλης ολοκλήρωσης Εχουµε δείξει οτι αν f H, τότε Hfz ft tz dt και το ολοκλήρωµα συγκλίνει αόλυτα για κάθε z D. Άρα, για r [, έχουµε : r Hfz lim r ft tz dt rt Θεωρούµε καµύλη γ r : [, ] D, µε γ r t rt z + και εφαρµόζουµε αλλαγή του µονοατιού ολοκλήρωσης στο εικαµύλιο r ολοκλήρωµα ft dt. Εχουµε δηλαδή : tz r Εοµένως ft tz dt r Hfz lim r lim r f γ r t γ r tz γ rt dt f γ r t rz rt z + f γ r t ft tz dt f r rz rt z + 2 dt r rt z + dt. rt rt z + 33 r rt z + dt

34 3. Η ΝΟΡΜΑ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ H Θέτουµε τώρα φ r,t z rt rt z +. Η φ r,t ως συνάρτηση του z, είναι αναλυτική στον δίσκο και φ r,t D D. Άρα, σύµφωνα µε την 8, f φ r,t z H και f φ r,t z H / + φr,t f H. φ r,t Είσης, συµφωνα µε την 5: f φ r,t z / 2 f φ r,tz H z / / 2 + φr,t f H z φ r,t / / 2 + rt f H z rt / / 2 + t f H z t Παρατηρούµε ακόµα r rt z + r t z z Αό τα αραάνω έχουµε f rt r rt z + rt z + z 2 z / / + t f H. t

2. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΝΟΡΜΑΣ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ H 35 Το δεξί µέλος είναι ολοκληρώσιµη συνάρτηση του t [,, εοµένως εφαρµόζεται το Θεώρηµα Κυριαρχούµενης Σύγκλισης και έχουµε r Hfz lim ft r tz dt όου και lim r lim f r rt f rt z + rt rt z + f φ t z w t z dt, φ t z t t z + r rt z + dt r rt z + dt w t z t z +. Παρατηρούµε οτι φ t D D, t [, και w t z t z t, z D δηλαδή για κάθε t [, η φ t z είναι µία ολόµορφη συνάρτηση ου αεικονίζει το D εντός του D και για κάθε t, η w t z είναι ολόµορφη και ϕραγµένη συνάρτηση στο D. Εεται ότι η w t f φ t z ανήκει στον H για κάθε t, και για κάθε f H. Θέτουµε και έχουµε 3 Hfz T t f w t f φ t T t fz dt, <. 2. Εκτίµηση της νόρµας του H στους χώρους H Θα χρειαστούµε το αρακάτω λήµµα []: Ληµµα 3.. Ανισότητα Minkowski για ολοκληρώµατα. Αν gx, y είναι µία συνάρτηση ορισµένη για a x b, c y d και <, τότε : [ b d ] d b gx, y dy dx gx, y dx dy a c c a

36 3. Η ΝΟΡΜΑ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ H Παρατηρούµε ότι 2 Hfre iθ dθ 2 2 2 T t fre iθ dt dθ 2 T t fre iθ dθ 2 T t f H dt dt ηλαδή M r, Hf και αίρνοντας su ως ρος r <, T t f H dt 4 Hf H T t f H dt Το ρόβληµα ανάγεται στο να ϐελτιώσουµε την εκτίµηση της νόρµας του σταθµισµένου τελεστή σύνθεσης T t, ώστε να είναι ολοκληρώσιµη για t,. Αυτό ϑα το ετύχουµε µε την µεταφορά του T t στους χώρους Hardy του δεξιού ηµιειέδου Π +. Θεωρούµε τις συναρτήσεις µ : D Π +, µz + z z µ : Π + D, µ z z z + V : H Π + H D, V fz 4/ fµz z 2/ V : H D H Π +, V gz και ϑέτουµε / + z 2/ gµ z T t : H Π + H Π +, Tt V T t V, t,.

2. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΝΟΡΜΑΣ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ H 37 Για f H Π +, έχουµε T t f z V T t V f z Ισχύουν 4 V / T t z f µz 2/ V w 4 / t z φ t z f µ φ 2/ t z / + z w 2/ t µ z 4 / [ φ t µ z] f 2/ µ φt µ z 4/ w t µ z + z 2/ [ φ t µ z] f 2/ µ φt µ z. w t µ z t µ z + και φ t µ z t t µ z + t µ z t µ z + z t z + t µ z + 2 t [t µ z + ]z + Αντικαθιστώντας στην ροηγούµενη σχέση, έχουµε T t f z 4 / + z 2/ t µ z + 2 t [t µ z + ] + z 2/ f µ φt µ z,

38 3. Η ΝΟΡΜΑ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ H άρα T t f z 4 / + z [t µ z + ] 2/ + z 2/ 2/ 2 2/ t 2/ [t µ z + ] f µ φt µ z [t µ z + ] 2/ t 2/ f µ φt µ z [t µ z + ] 2/ t f t 2/ t z + t αό την οοία ροκύτει 5 T t f z t µ z + 2 t 2/ f t t z +. t Παρατηρούµε οτι αν z Π +, t µ z + t µ z + 2 t, είσης t µ z + tµ z t. ιακρίνουµε τώρα τις εξής εριτώσεις Περίτωση Αν > 2 τότε 2 < και έχουµε T t f z t 2 t t 2 f t z +, t εοµένως + T t f z t 2 dy t 2 ηλαδή T t f H Π + t 2 t 2 t 2 t 2 t 2 t 2 + + f f + + su <x< f t t z + / dy t t / x + iy + dy t t t t x + t + iy t / dy. t f t t x + t + iy t / dy. t

Θέτουµε και έχουµε T t f H Π + 2. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΝΟΡΜΑΣ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ H 39 X t 2 t 2 t t x + t, Y y t t su t <X< + / f X + iy t dy t t t + / su f X + iy dy <X< t t για κάθε f H Π +. f H Π +, Περίτωση 2 Αν < < 2, τότε 2 > και έχουµε T t f z 2 t 2 t t 2 f t z + t οότε + T t f z dy Θέτουµε άλι X T t f H Π + 2 t 2 2 t 2 t 2 + t t x + t, Y y t t t 2 su t <X< + f t t x + t + iy t / dy t και έχουµε f X + iy t dy t / 2 t 2 t t f H Π + 2 2 t t f H Π +. Εειδή οι V, V είναι ισοµετρίες, έεται οτι Άρα, συνοψίζοντας T t f H Π + T t f H

4 3. Η ΝΟΡΜΑ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ H Θεωρηµα 3.. Εστω T t ο σταθµισµένος τελεστής συνθεσης ου εριγράψαµε ριν και f H. i Αν < < 2, τότε : T t f H 2 2 t t f H ii Αν 2, τότε : T t f H t t f H. Είµαστε έτοιµοι λοιόν, να υολογίσουµε ένα άνω ϕράγµα για τη νόρµα του τελεστή H. Αό την σχέση 4, έχουµε Hf H i Εστω 2, τότε T t f H dt Hf H t t dt f H B Γ t t dt f H, Γ Γ f H f H f H

2. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΝΟΡΜΑΣ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ H 4 ii Εστω < < 2, τότε Hf H 2 2 t t f H dt 2 2 t t dt f H 2 2 t t dt f H 2 2 B, f H. Παρατηρηση 3.. Για την ερίτωση < < 2 µορούµε να δείξουµε την ανισότητα για την νόρµα Hf H ου αοδείξαµε στην ερίτωση 2, αλλά µόνο για συναρτήσεις f H ου ικανοοιούν την σχέση f. Πράγµατι, αν f είναι µία τέτοια συνάρτηση τότε fz zgz µε g H και f H g H και ϑα έχουµε T t fz w t z f φ t z w t zφ t z g φ t z t t z + 2 g t. t z + t Θέτουµε S t gz t z + 2 g t. ουλεύουµε t z + όως ρίν, για g H Π + και έχουµε :

42 3. Η ΝΟΡΜΑ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ H S t g V S t V g z V φ t T t V g z φ t µ z [t µ z + ] 2/ t g t 2/ t z + t t t µ z + [t µ z + ] 2/ g t 2/ t [t µ z + ] 2/ 2 t g t 2/ t z +. t Για < < 2, έχουµε 2 2 < εοµένως άρα 2 S t g t t 2 2 S t g H Π + t οότε άρα, τελικά t 2 g + su <x< S t g H Π + t t t z + t t S t g H t t g t t z + t t t x + t + iy t / dy t g H Π + g H ηλαδή ϑα έχουµε Hf H t t t t f H. f H. dt f H είξαµε λοιόν, οτι

2. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΝΟΡΜΑΣ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ H 43 Θεωρηµα 3.2. Αν < <, τότε ο τελεστής H : H H, είναι ϕραγµένος και ειδικότερα : i Αν 2 < και f H, τότε : Hf H f H. ii Αν < < 2 και f H µε f, τότε : Hf H f H. iii Αν < < 2 και f H, τότε : Hf H 2 2 B, f H. Παρατηρηση 3.2. Χρησιµοοιώντας τις σχέσεις 6 Γ2z ΓzΓ z + 2 2 2z και 3 7 Γ 2 2 στο iii του ϑεωρήµατος, έχουµε : Hf H 2 2 B, f H Γ Γ 2 2 f H, Γ 2 και λόγω της 6 Hf H 2 4 2 Γ 2 4 2 Γ f H 3 2 λόγω της 7 2 4 Γ 3 2 Γ Γ 3 2 Γ Γ f H Γ Γ 3 2 f H.

44 3. Η ΝΟΡΜΑ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ H Εεται ότι Hf H B 2 4, 3 2 f H. 3. Μία διαφορετική ροσέγγιση του ροβλήµατος 3.. Η ροβολή Riesz. Γνωρίζουµε ότι ο χώρος Hardy H µορεί να ϑεωρηθεί ως κλειστός υόχωρος του L T, µέσω της ταύτισης fz fe iθ των αναλυτικών συναρτήσεων f H µε τις αντίστοιχες συνοριακές τους συναρτήσεις. Εστω τώρα g L T µε σειρά Fourier g ĝk e ikθ όου : 2 k ĝk 2 e ikt ge it dt, k Z είναι οι συντελεστές Fourier. Αο το ϑεώρηµα Riesz [6, σελ. 6] ροκύτει οτι αν < <, η τριγωνοµετρική σειρά ĝk e ikθ k είναι σειρά Fourier µιας συνάρτησης g + L T και υάρχει σταθερά C ου εξαρτάται µόνο αό το, ώστε g + L T C g L T. Εειδή οι συντελεστές Fourier {ĝk} k ϕραγµένη ακολουθία, η δυναµοσειρά ĝkz k k αοτελούν µηδενική, άρα έχει ακτίνα σύγκλισης R, είναι δηλαδή αναλυτική στον δίσκο. Άµεση συνέεια του ϑεωρήµατος Riesz είναι ότι g + H και έχει αντίστοιχη συνοριακή συνάρτηση την g + e iθ. Με αυτόν τον τρόο ορίζεται η αεικόνιση P + : L T H, g g + η οοία είναι γραµµική και ϕραγµένη για < <. Η P + ονοµάζεται ροβολή Riesz Riesz rojection.

3. ΜΙΑ ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 45 Παρατηρούµε ότι αν f L T και z D τότε 2 fe it 2 dt fe it z k e ikt dt 2 ze it 2 k k k 2 fe it e ikt dt 2 ˆfkz k, εοµένως η ροβολή Riesz γράφεται ως P + fz 2 2 fe it ze it dt, f L. Το 968, οι Gokhberg - Krunik [9] έδειξαν ότι P + L T H, < < και έκαναν την εικασία ότι ισχύει η ισότητα. Το 2 οι Hollenbeck - Verbitsky [3], ράγµατι αέδειξαν οτι 8 P + L T H, < <. 3.2. Τελεστές Hankel. Ενας αειροδιάστατος ίνακας, της µορ- ϕής : c c c 2 c 3 c c 2 c 3 c 4 A c 2 c 3 c 4 c 5 c 3 c 4 c 5 c 6....... όου {c n } n είναι ακολουθία µιγαδικών αριθµών, ονοµάζεται ίνακας Hankel. Με άλλα λόγια, τα στοιχεία α i,j ενός ίνακα Hankel εξαρτώνται µόνο αό το άθροισµα των δεικτών τους α i,j c i+j. Παρατηρούµε ότι για την ακολουθία {c n } µε c n, n,, 2,... n + ροκύτει ο ίνακας Hilbert. z k

46 3. Η ΝΟΡΜΑ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ H Ο ίνακας A ορίζει έναν γραµµικό µετασχηµατισµό H A ου αεικονίζει ακολουθίες σε ακολουθίες όου A n {a n } {A n }, c k+n a k, n,, 2,... k αρκεί ϐέβαια η σειρά να συγκλίνει για κάθε n. Ειδικότερα αν η α- κολουθία {c n } ου ορίζει τον A ανήκει στον l 2, τότε ο H A είναι καλά ορισµένος στον υοχώρο του l 2 ου αοτελείται αό όλες τις τελικά µηδενικές ακολουθίες αντίστοιχα στο σύνολο των ολυωνύµων του H 2, γιατί τότε το άθροισµα ου δίνει τους όρους A n είναι εερασµένο για κάθε n. Εειδή ο υόχωρος αυτός ειναι υκνός στον l 2 όως και το σύνολο των ολυωνύµων στον H 2 έεται ότι αν ο H A είναι συνεχής σε αυτό το σύνολο, τότε εεκτείνεται σε συνεχή τελεστή στον l 2 ή στον H 2. Ενας τελεστής αυτής της µορφής ονοµάζεται τελεστής Hankel. Ικανή και αναγκαία συνθήκη εί της {c n }, για να συµβαίνει αυτό, µας δινει το αρακάτω ϑεώρηµα. Θεωρηµα 3.3. Το Θεώρηµα Nehari [7]. Ο τελεστής Hankel H A, µε ίνακα A {c i+j } i,j, είναι ϕραγµένος στον l 2 αν και µόνο αν υάρχει g L T, τέτοια ώστε c n ĝn, n,, 2,... όου ĝn ο n -οστός συντελεστής Fourier της g. Στην ερίτωση αυτή H A l 2 l 2 inf{ g : ĝn c n, n } Ενας εναλλακτικός τρόος ορισµού του τελεστή Hankel στον H 2 και γενικότερα, σε κάθε χώρο H, < <, είναι µε χρήση της ροβολής Riesz. Συγκεκριµένα Ορισµος 3.. Εστω g L T και fz a n z n H, < <. Ορίζουµε : 9 H g fz P + M g Jfz 2 n gtfe it ze it dt 2 όου P + η ροβολή Riesz, M g ο ολλαλασιαστικός τελεστής και J ο τελεστής αναστροφής fli oerator µε : Jfe it fe it. Προκύτει άµεσα, ότι H g f H P + M g Jf H P + L H g f H

3. ΜΙΑ ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 47 Άρα, λόγω της 8 2 H g f H g f H Θεωρηµα 3.4. Εστω fz a k z k H, < < και g L, k µε συντελεστές Fourier ĝn. Ο τελεστής Hankel H g f, ταυτίζεται µε τον τελεστή H g f ĝn + ka k z n και συνεώς n k 2 H g f H g f H, < < Αοδειξη. Για το m-οστό ολυώνυµο Taylor f m z m a k z k, ισχύει : H g f m z P + M g Jf m z 2 2 n 2 n gtf m e it ze it dt 2 gtf m e it 2 m n k n e int z n dt 2 gte int f m e it dt 2 zn gte int 2 m k ikt dt a k e 2 zn in+kt dt gte 2 a kz n m ĝn + ka k n k H g f m z z n k

48 3. Η ΝΟΡΜΑ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ H Η εναλλαγή αθροίσµατος - ολοκληρώµατος δικαιολογείται αό την α- όλυτη σύγκλιση της γεωµετρικής σειράς, σε συµαγή υοσύνολα του D. Θα συµβολίσω : B m n m ĝn + ka k k τους συντελεστες Taylor της H g f m z. Παρατηρούµε ότι H g f m H g f ν H g f m f ν H, άρα λόγω της 5 H g f m H g f ν / 2 H g f m f ν H z και λόγω της 2 2 z / g f m f ν H, { } δηλ. η Hg f m m είναι ακολουθία οµοιόµορφα - Cauchy και συνεώς συγκλίνει οµοιόµορφα σε συµαγή υοσύνολα του D, έστω ρος µία συνάρτηση Gz. Σύµφωνα µε το Θεώρηµα σύγκλισης του Weierstrass : i η Gz HD και ii H g f m n G n οµοιόµορφα στα συµαγή του D. Η {f m } είναι ακολουθία Cauchy ως ρος τη νόρµα, δηλαδή ισχύει οτι για κάθε ɛ > υάρχει n N, τέτοιο ώστε m ν > n να ισχύει f m f ν H < ɛ. Εοµένως

3. ΜΙΑ ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 49 m ĝn + ka k k ν ĝn + ka k k m kν+ 2 2 ĝn + ka k gte int m kν+ a k e 2 ikt dt gte Jf int m f ν e it dt 2 g f m f ν H g ɛ ηλαδή η και άρα : { m k ĝn + ka k} m είναι ακολουθία Cauchy, συγκλίνει lim m m ĝn + ka k k ĝn + ka k k Οµως, για τους συντελεστές Taylor της H g f m ισχύει : lim m Bm n H g f m n lim m n! Gn n! δηλαδή, ο n-οστός συντελεστής Taylor της Gz είναι ο ĝn + ka k και άρα : k Gz ĝn + ka k z n H g fz n k Εχουµε δείξει, δηλαδή, ότι : lim H gf m z m lim m H g f m z H g fz

5 3. Η ΝΟΡΜΑ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ H Οµως, αρατηρούµε ότι 2 gtf f m e it dt 2 ze it 2 gtf f m e it ze it g 2 z dt 2 f f m e it dt 2 λόγω της ανισότητας Hölder g z Jf f m L το οοίο τείνει στο καθώς το m. Άρα : lim H gf m z H g fz m lim m g z f f m H 2 gtf m e it ze it dt 2 2 gtfe it dt ze it 2 2 lim m gtf m fe it ze it dt 2 Άρα τελικά H g fz H g fz σε συµαγή υοσύνολα του D και εο- µένως : H g f H g f H, < < Πορισµα 3.. Αν ϑέσουµε gt ie it t, t < 2, ροκύτει άρα : ĝn + k 2 n 2 k e in+kt gt dt n + k + a k H g fz z n Hfz n + k + και g, εοµένως για την νόρµα του τελεστή Hilbert ισχύει : Hf H f H, < <

4. Η ΤΙΜΗ ΤΗΣ ΝΟΡΜΑΣ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ H 5 4. Η ακριβής τιµή της νόρµας του H στους χώρους Hardy Για να υολογίσουµε την ακριβή τιµή της νόρµας του H στους χώ- ϱους Hardy H, ϑα αοδείξουµε το αρακάτω ϑεώρηµα. Θεωρηµα 3.5. Εστω < <. Για την νόρµα του τελεστή Hilbert στους χώρους H, ισχύει : H H Αοδειξη. Εστω < ɛ < και τυχαίο γ µε ɛ < γ <. Θα χρησι- µοοιήσουµε τις συναρτήσεις δοκιµής test functions f γ z z γ, z D οι οοίες ανήκουν στον H [6] αφού γ/ < / και για τις οοίες εύκολα ελέγχουµε ότι lim f γ H. γ Η ολοκληρωτική µορφή του τελεστή Hilbert, συνεάγεται ότι : Hf γ z f γ t tz dt Με αλλαγή µεταβλητής x t ροκύτει t γ tz dt. Hf γ z x γ xz dx x γ xz dx x γ xz dx I I 2 Παρατηρούµε ότι το δεύτερο ολοκλήρωµα γράφεται I 2 x x +γ/ xz dx x και για z C\, ], η οσότητα αραµένει ϕραγµένη xz για x <. Εοµένως το ολοκλήρωµα συγκλίνει αόλυτα για τις αραάνω τιµές του z και ορίζει αναλυτική συνάρτηση Rz x γ dx, z C \, ]. xz

52 3. Η ΝΟΡΜΑ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ H Οµοια, το ρώτο ολοκλήρωµα συγκλίνει αόλυτα για κάθε z C \, ] [, + και ορίζει αναλυτική συνάρτηση gz x γ xz dx, z C \, ] [, + άρα έχουµε Hf γ z gz Rz, z C \, ] [, + Θεωρούµε τώρα, τη συνάρτηση Gz z γ gz, όου για τον ορισµό της z γ e γ log z έχουµε ειλέξει τον κλάδο λογαρίθµου ου έχει ραγµατικές τιµές στους ϑετικούς ραγµατικούς αριθµούς. Η Gz είναι αναλυτική στο σύνολο C\, ] [, + και για z R, < z <, έχουµε Gz z γ gz z γ x γ xz dx γ z z x γ + xz z dx. Με αλλαγή µεταβλητής u xz z

4. Η ΤΙΜΗ ΤΗΣ ΝΟΡΜΑΣ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ H 53 λαµβάνουµε γ Gz z u γ z γ z + uz γ z z du z γ u γ + u du z γ B γ, γ z γ Γ γ Γ γ z γ. γ Εχουµε εοµένως z γ gz z γ, < z <. γ Οι συναρτήσεις καί στα δύο µέλη της αραάνω ισότητας είναι αναλυτικές στο σύνολο C \, ] [, + και οι τιµές τους στο διάστηµα, ταυτίζονται. Αο την αρχή ταυτισµού ροκύτει ότι η ισότητα ισχύει για κάθε z στο κοινό εδίο ορισµού τους. Ειδικότερα η ισότητα αυτή ισχύει για κάθε z T\{, } και για τις νόρµες τους στον L T ϑα έχουµε gz L T z γ gz L T f γ H, γ για ɛ < γ <. Εξετάζουµε τώρα τη συνάρτηση Rz, z C \, ]. L T νόρµα της, έχουµε Για την

54 3. Η ΝΟΡΜΑ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ H Rz L T 2 2 2 2 x γ xe it dx x γ xe it dt dt / dx x γ 2 2 dt dx xe it όου για την ανισότητα έχουµε χρησιµοοιήσει την συνεχή µορφή της ανισότητας Minkowski. Με αλλαγή µεταβλητής u x ροκύτει R L T + u γ + u γ Ju du 2 dt 2 + ue it du όου έχουµε ϑέσει Εειδή 2 J + J 2, ϑα έχουµε για 2 < u < + u γ Ju du + + u γ Ju du Ju 2 dt 2 + ue it. + ue it ue it u, + ue it u 2 και Ju 2 dt 2 + ue it u

4. Η ΤΙΜΗ ΤΗΣ ΝΟΡΜΑΣ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ H 55 Εοµένως για το ολοκλήρωµα J 2 ροκύτει J 2 2 2 Cɛ < + u γ Ju du + u ɛ όου Cɛ σταθερά, ανεξάρτητη του γ. 2 u + ɛ u du Εξ άλλου για < u < 2, έχουµε + u γ < άρα για το ολοκλήρωµα J έχουµε du Παρατηρούµε ότι J 2 2 + u γ Ju du Ju du. 2Ju 2 2 2 dt + ue it dt + ue it 2 2 dt [ + u cos t 2 + 2 t] 2 2 dt + 2u cos t + u 2 2 Θέτουµε : t θ + dθ 2u cos θ + u 2 2 Σύµφωνα µε γνωστό λήµµα [6, σελ. 65], για >, υάρχει σταθερά C τέοια ώστε dθ 2u cos θ + u 2 2 C u, u

56 3. Η ΝΟΡΜΑ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ H εοµένως, για το ολοκλήρωµα J έχουµε : J 2 2 Ju du C 2 2 C u du u < C όου C. 2 Συνδυάζοντας τα αραάνω, έχουµε δείξει ότι υάρχει M R ώστε R L T J + J 2 <, ανεξάρτητα αό την ειλογή του γ ɛ,. Χρησιµοοιώντας τώρα τη σχέση Hf γ z gz Rz, έχουµε du H H f γ H Hf γ L T και έεται ότι H H g R L T g L T R L T gz L T Rz L T f γ H Rz L T γ f γ H. Αφήνοντας το γ να τείνει στο και λαµβάνοντας υ όψιν οτι f γ H, ενώ η Rz L T αραµένει ϕραγµένη, έχουµε τελικά : 22 H H, < <.

4. Η ΤΙΜΗ ΤΗΣ ΝΟΡΜΑΣ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ H 57 Πορισµα 3.2. Για < <, η νόρµα του τελεστή H στους χώρους Hardy H, δίνεται αό την H H Αοδειξη. Άµεσα αό το ροηγούµενο ϑεώρηµα και το Πόρισµα 3., ου µας δίνει ότι H H συµεραίνουµε ότι H H, < <.

Κεφάλαιο 4 Ο Τελεστής H στους χώρους Bergman. Ορισµός του τελεστή H στους χώρους A Θεωρούµε το ολοκλήρωµα Sfz ft tz dt, z D για f A µε 2 < <. Για αυτές τις f ισχύει fz f A, z D, z 2/ εοµένως ft tz dt z z ft dt t 2/ dt f A <, δηλαδή το ολοκλήρωµα συγκλίνει αόλυτα. Εεται ότι η συνάρτηση Sfz ορίζεται καλώς και είναι αναλυτική στο D για κάθε f A, 2 < <. Εστω τώρα, fz a n z n A µε 2 < < και f N z N n n a n z n, τα µερικά αθροίσµατα της σειράς Taylor της f. Γνωρίζουµε ότι για ολυώνυµα P z άρα για τα ολυώνυµα f N ισχύει Sfz Hf N z SP z HP z 59 ft tz dt f N t tz dt ft f N t tz dt.

6 4. Ο ΤΕΛΕΣΤΗΣ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ BERGMAN Εοµένως Sfz Hf N z z z ft f N t dt tz ft f N t dt t 2/ dt f f N A. ηλαδή, για N, η σειρά Hf N z συγκλίνει τοικώς οµοιόµορ- ϕα στο D και ορίζει µία αναλυτική συνάρτηση στον µοναδιαίο δίσκο. Το ϑεώρηµα σύγκλισης του Weierstrass µας εξασφαλίζει, είσης, την ο- µοιόµορφη σύγκλιση της n-οστής αραγώγου της Hf N z, σε συµαγή υοσύνολα του D, ρος την n-οστή αράγωγο της Sfz, δηλαδή ισχύει : Hf N n lim N n! lim N N k a k n + k + k a k n + k + Sfn n! και άρα, αό τη µοναδικότητα του ανατύγµατος Taylor : 23 Hfz Sfz ft tz dt, όου Hfz n k a k n + k + zn. Παρατηρηση 4.. Το συµέρασµα ότι ο τελεστής Hfz ορίζει αναλυτική συνάρτηση στον µοναδιαίο δίσκο για f A, > 2, µε ολοκληρωτική µορφή Sfz, µορεί να εξαχθεί µε έναν ιό άµεσο τρόο, αοδεικνύοντας το αρακάτω Λήµµα [5] Ληµµα 4.. Αν fz a k z k A µε > 2, τότε : k k a k k + <

. ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ A 6 Αοδειξη. Για f A ισχύει : f A 2 [M s, f] s ds 2 r [M s, f] s ds, για < r <. Λόγω της µονοτονίας της M s, f ως ρός s, έχουµε Εοµένως f A 2[M r, f] s ds M r, f [M r, f] r 2 [M r, f] r. f A, r, r / Εφαρµόζουµε την ανισότητα Hölder για τους συζυγείς δείκτες 2 και, στο ολοκλήρωµα 2 και έχουµε 2 2 M 2 2 r, f 2 2 r fre iθ 2 dθ fre iθ 2 dθ 2 2 fre iθ 2 2 dθ dθ 2 M 2 r, f Συνολικά, έχουµε δείξει ότι αν 2 < < a k 2 r 2k M2 2 r, f M 2 r, f f 2 A, < r <. r 2/ k Θέτουµε r m 2m km Παρατηρούµε ότι : a k 2 m 2k µε m N, m > και έχουµε 2m m 22m km a k 2 m 2k m 2/ f 2 A km a k 2 2m km a k 2 m 2k

62 4. Ο ΤΕΛΕΣΤΗΣ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ BERGMAN εοµένως 2m km άρα τελικά 24 4m 2 m a k 2 m 2/ f 2 A m m 2/ f 2 A + 4m +2 m m 2/ f 2 A + 4m 2 m m m 2m km a k 2 m 2/ f 2 A 4e4. Θα δείξουµε τώρα, οτι το άθροισµα k a k k + είναι εερασµένο. Θεωρούµε τα σύνολα I k {2 k, 2 k +,..., 2 k }. Το λήθος των στοιχείων τους ειναι : I k 2 k, k N. Θα ισχύει : k a k k + a + a + a + a n n + n I k k k k 2 k n2 k a n n + 2 2 k 2 k n2 k a n Σύµφωνα µε την ανισότητα Cauchy - Schwarz, έχουµε ότι : 2 k n2 k a n 2 k a n 2 n2 k 2 k a n 2 n2 k /2 /2 2 k n2 k 2 k /2 /2

2. Ο H ΕΝ ΕΙΝΑΙ ΦΡΑΓΜΕΝΟΣ ΣΤΟΝ A 2 63 άρα : k a k k + a + 2 2 2 k k 2k /2 a n 2 k n2 k a + 2 k 2 2 k 2 k/2 a n 2 k n2 k /2 /2 Εφαρµόζουµε την σχέση 24 για m 2 k και έχουµε : k a k k + a + 2 2 k 2 k/2 4e 4 f 2 A 22k / /2 k a + 2 3 2 e 2 a + 2 3 2 e 2 2 k/ 2 k/2 k k 2 2 k < 2. Ο τελεστής H δεν είναι ϕραγµένος στον A 2 Γνωρίζουµε ότι αν fz a n z n, τότε ισχύει n f 2 A 2 n a n 2 n + Θα δειξουµε ότι υάρχει µία συνάρτηση f A 2 τέτοια ώστε, όχι µόνο Hf / A 2, αλλά ειλέον η σειρά ου ορίζει το Hf, αοκλίνει. Θεωρούµε τη συνάρτηση fz n logn + zn Η fz A 2 αφού, σύµφωνα µε το κριτήριο συµύκνωσης f 2 A 2 n n + log 2 n + <

64 4. Ο ΤΕΛΕΣΤΗΣ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ BERGMAN Παρατηρούµε όµως ότι Hfz n k a k n + k + zn, άρα Hf k a k k + k k + logk + +. 3. Ο τελεστής H συναρτήσει σταθµισµένων τελεστών σύνθεσης Στην αράγραφο αυτή, ϑα ανααραστήσουµε τον τελεστή H συναρτήσει σταθµισµένων τελεστών σύνθεσης, όως ακριβώς κάναµε και στους χώρους Hardy, για να δείξουµε ότι ο H ειναι ϕραγµένος στους χώρους Bergman A, > 2, και να υολογίσουµε ένα άνω ϕράγµα για τη νόρµα του. Εργαζόµενοι ακριβώς µε τον ίδιο τρόο, όως στην του 3ου κε- ϕαλαίου για τους χώρους Hardy, έχουµε ότι : Θεωρούµε την καµύλη r Hfz lim r ft tz dt γ r t rt rt z +, t και εφαρµόζουµε αλλαγή του µονοατιού ολοκλήρωσης στο εικαµύλιο ολοκλήρωµα ft dt. Εχουµε τότε r tz r ft tz dt rt r f rt z + rt z + dt

Παίρνοντας όρια, έχουµε 4. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΝΟΡΜΑΣ ΤΟΥ T tf ΣΤΟΝ A 65 ft tz dt rt lim f r rt z + lim f rt r rt z + t f t z + r Hfz lim r f φ t z w t z dt, r rt z + dt r rt z + dt t z + dt t όου φ t z t z + ολόµορφη στο D και φ td D για κάθε t, και w t z, ολόµορφη και ϕραγµένη στο D, t z + για κάθε t,. Συµεραίνουµε λοιόν ότι ο σταθµισµένος τελεστής συνθεσης : T t fz w t z f φ t z είναι ϕραγµένος στον A, <, για κάθε t,. 4. Εκτίµηση της νόρµας του T t f στον A Θα αοδείξουµε το αρακάτω ϑεώρηµα [4] Θεωρηµα 4.. Εστω T t ο τελεστής συνθεσης ου εριγράψαµε ριν και f A. i Αν 2 < < 4, τότε : 2 7 / T t f A 9 2 + t 2/ 24 t f 2/ A ii Αν 4, τότε : T t f A Αοδειξη. Παρατηρούµε ότι : φ tz t t t z + 2 και w2 t z t2/ t 2/ f A t z + 2 φ tz t t

66 4. Ο ΤΕΛΕΣΤΗΣ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ BERGMAN Για f A, > 2, έχουµε : T t f A D D D w t z fφ t z daz w t z 4 w t z 4 fφ t z daz w t z 4 φ tz 2 t 2 t 2 fφ tz daz. Θέτουµε w φ t z, άρα daw φ tz 2 daz και έχουµε T t f A w t 2 t 2 t φ t w 4 fw daw I. φ td Παρατηρούµε είσης ότι φ t w w t tw και w tφ t w w t Άρα, έχουµε I t 2 t 2 t 2 t 2 φ td w 4 fw daw t φ td w 4 fw daw Αν 4, τότε : Οότε, T t f A fw daw t 2 t 2 φ td fw daw t 2 t 2 D T t f A t 2 t 2 f A, 4 <

Αν 2 < < 4, τότε 4. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΝΟΡΜΑΣ ΤΟΥ T tf ΣΤΟΝ A 67 T t f A w 4 fw daw t 2 t 2 φ td w 4 fw daw t 2 t 2 t 2 t 2 D t 2 t 2 I + I 2 w 4 fw daw + w </2 /2 w < w 4 fw daw Για το ρώτο ολοκλήρωµα, I, έχουµε : I w </2 w 4 fw daw και λόγω της 9 w 4 w </2 w 2 daw f 2 A w 4 daw f 4 2 A w </2 6 9 /2 2 r 4 r dt dr f A 24 9 /2 r 3 2 dt dr f A 2 2 25 9 2 f A 27 9 2 f A

68 4. Ο ΤΕΛΕΣΤΗΣ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ BERGMAN Για το δεύτερο ολοκλήρωµα, I 2, έχουµε I 2 /2 w < w 4 fw daw 4 fw daw 2 /2 w < 2 4 fw daw D 2 4 f A. Άρα τελικά, για 2 < < 4, 25 T t f A 2 7 t 2 t 2 9 2 + 24 f A και το Ϲητούµενο αοδείχθηκε. Παρατηρηση 4.2. Μορούµε να ϐελτιώσουµε την εκτίµηση της νόρµας του τελεστή T t f, για 2 < < 4, κάνοντας έναν ιό ακριβή υολογισµό του ολοκληρώµατος I, ως εξής : w </2 w 4 w 2 2 daw /2 2 /2 r 4 rdθdr r 2 2 r 4 2 dθ r 2 2 rdr /2 /4 /4 r 4 r 2 2 2rdr r 2/2 2 r 2 2 dr2 s /2 2 s 2 ds.

5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΝΟΡΜΑΣ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ A 69 Παραγωγίζοντας την γεωµετρική σειρά, έχουµε w 4 /4 w 2 daw s /2 2 2 w </2 n + n n /4 n + s n ds s /2 2+n ds n n + n + /2 /2 4 n /2 4 n /2 2 4 2 n+/2 4 n + n + /2 /2 n n 4 n 4 n 4 άρα και τελικά, για 2 < < 4, I T t f A t 2 t 2 25 3 2, 25 3 2 f A 2 5 3 2 + 24 f A. 5. Εκτίµηση της νορµας του H στους χώρους A Στην αράγραφο αυτή, ϑα αοδείξουµε το εξής ϑεώρηµα [4] Θεωρηµα 4.2. Ο τελεστής H : A 2 < <. Ειλέον ισχύει : i Αν 4 <, τότε : Hf A 2 A, είναι ϕραγµένος για f A

7 4. Ο ΤΕΛΕΣΤΗΣ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ BERGMAN ii Αν 2 < < 4, τότε : Hf A 2 7 / 9 2 + 24 2 f A iii Αν 2 < < 4 και f, τότε : Hf A / 2 + 2 f A Αοδειξη. Εστω f A. Εφαρµόζοντας την ανισότητα Minkowski, έχουµε D / Hf A Hfz daz D / T t fz dt daz / T t fz daz dt D T t f A dt. Αν 4 <, τότε Hf A t 2/ t 2/ dt f A t 2/ t 2/ dt f A 2 B, 2 f A 2 Γ Γ 2 f A 2 f A.

Αν 2 < < 4, τοτε 5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΝΟΡΜΑΣ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ A 7 Hf A 2 7 9 2 + 24 / t 2/ t 2/ dt f A 2 7 / 9 2 + 24 t 2/ t 2/ dt f A 2 7 / 9 2 + 24 2 f A. Θα εξετάσουµε τώρα την ερίτωση iii, όου f A, 2 < < 4 και ειλέον f. Γράφουµε : fz zgz, g A. Θα χρειαστούµε τους αρακάτω ορισµούς κι ένα όρισµα Ορισµος 4.. Μια συνάρτηση sz, αναλυτική και ϕραγµένη στο D, µε : sz σχεδόν αντού στο σύνορο του µοναδιαίου δίσκου, ονο- µάζεται εσωτερική συνάρτηση inner function. Ορισµος 4.2. Μία συνάρτηση φ A ονοµάζεται A εσωτερική συνάρτηση, αν : D φz z n daz, n Z + {} / Προκύτει ότι η φz 2 + z, είναι µία A εσωτερική συνάρτηση, όως και κάθε συνάρτηση της µορφής φ n z n / 2 + z n. Προταση 4.. [2, όρισµα 3.23], Εστω < < + και φ µία ϕραγµένη, A εσωτερική συνάρτηση. Τότε D fz daz D φzfz daz, f A.

72 4. Ο ΤΕΛΕΣΤΗΣ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ BERGMAN Η αραάνω ρόταση, συνεάγεται ότι gz daz φzgz daz D D / D 2 + z gz daz 2 + fz daz D g A 2 + / f A Παρατηρούµε τώρα ότι αν fz zgz, έχουµε : T t f w t fφ t w t φ t gφ t, όου φ t z t t z + και w tz t z +. Εοµένως Hfz T t f dt w t φ t gφ t dt t z + t [t z + ] 2 g t φ2 t gφ t dt S t g dt t t z + g t t z + t t z + Άρα, εφαρµόζοντας άλι την ανισότητα Minkowski, έχουµε : Hf A S t g A dt.

5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΝΟΡΜΑΣ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ A 73 Για την εκτίµηση της νόρµας, του σταθµισµένου τελεστή σύνθεσης S t g, έχουµε S t g A D t φ2 t z gφ t z daz φ t t z 2 gφ t z daz D φ t t z 2 4 φ t z 4 gφ t z daz. D Παρατηρούµε ότι φ tz tt, α όου ροκύτει, [t z + ] 2 φ 4 t z t 2 t 2 φ tz 2, z D, < t <. Εχουµε, δηλαδή S t g A t2 φ t 2 t z 2 4 gφ t z φ tz 2 daz D ϑέτοντας φ t z w t2 t 2 φ td w 2 4 gw daw εειδή w < και 2 4 > t2 gw daw t 2 δηλαδή t2 t 2 φ td D gw daw, S t g A t2/ t 2/ g A.

74 4. Ο ΤΕΛΕΣΤΗΣ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ BERGMAN Άρα, ροκύτει ότι αν f A, 2 < < 4, µε f, τότε : Hf A S t g A dt t 2/ t 2/ dt g A 2 g A και η αόδειξη ολοκληρώθηκε. / 2 + 2 f A, 6. Μια διαφορετική, ολοκληρωτική µορφή του τελεστή H για τους χώρους Bergman Σ αυτήν την αράγραφο ϑα δείξουµε ότι ο τελεστής H έχει µία διαφορετική ολοκληρωτική ανααράσταση στους χώρους Bergman, α- οδεικνύοντας το αρακάτω ϑεώρηµα [5]. Θεωρηµα 4.3. Εστω 2 < <. Τότε, ο τελεστής Hf µορεί να γραφεί : f w 26 Hfz daw, f A w wz D Αοδειξη. Παρατηρούµε ότι : { w j w n+k daw n + k +, αν j n + k D, αν j n + k δηλαδή ισχύει : n + k + j D D D w j w n+k daw w j w n+k daw j w n+k w daw.

7. ΕΝΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΝΟΡΜΑ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ A 75 Εοµένως, έχουµε εειδή : εειδή : Hfz a k w k f w k wz n n wz n k n k n n a k n + k + zn a k D k D D n D D w n+k w dawzn a k w k wzn w daw f w wzn w daw n f w wz w daw f w w wz daw 7. Ενα κάτω ϕράγµα για τη νόρµα του H στους χώρους Bergman Στην αράγραφο αυτή ϑα χρησιµοοιήσουµε τις συναρτήσεις δοκι- µής test functions f γ z z γ για την εύρεση ενός κάτω ϕράγµατος της νόρµας του H σε χώρους Bergman. Θεωρηµα 4.4. Εστω 2 < <. Για την νόρµα του H : A A, ισχύει : H A 2

76 4. Ο ΤΕΛΕΣΤΗΣ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ BERGMAN Αοδειξη. Αν γ < 2 τότε f γ A και έχουµε Hf γ z f γ t tz dt t γ tz dt Πραγµατοοιούµε αλλαγή µεταβλητής w tz t t γ tz t και αρατηρούµε οτι καθώς το t διατρέχει το διάστηµα [,, το w διατρέχει την ηµιευθεία Θα έχουµε τότε Αν ϑέσουµε dt L z {w C : w tz t, t < }. w γ Hf γ z w z z L z w w z dw 2 γ z w z z L z w w z dw 2 z γ dw L z ww z γ dw f w w z γ γ z, L z 27 φ γ z έχουµε ότι L z dw w w z γ Hf γ z φ γ z f γ z. Παρατηρούµε ότι, για z D, η καµύλη L z ξεκινάει αό το για t και εκτείνεται ως το για t. Για r, ϑεωρούµε το,

7. ΕΝΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΝΟΡΜΑ ΤΟΥ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ A 77 ευθύγραµµο τµήµα ου ξεκινάει αό το w r rz και είναι κάθετο r στον οριζόντιο άξονα και το ονοµάζουµε S z ϐλέε σχήµα. Το σηµείο w r ϐρίσκεται στο δεξί ηµιείεδο, δεξιότερα της ευθείας x, αφού : Θέτουµε Re[w r ] r Re[z] r g z w. ww z γ. Η g z είναι αναλυτική συνάρτηση του w στο ηµιείεδο {w : Re[w] > Re[z]}, µε κατάλληλη ειλογή κλάδου λογαρίθµου. Αό το Θεώρηµα Cauchy, έεται ότι g z w dw όου είναι το τρίγωνο µε κορυφές τα σηµεία, w r, Re[w r ]. Για το ολοκλήρωµα στο ευθύγραµµο τµήµα S z, έχουµε g z w dw su { g zw : w S z } ls z, S z όου ls z το µήκος του S z. Γράφουµε z x + iy και έχουµε Re[w r ] rx r και Im[w r ] r y r ls z

78 4. Ο ΤΕΛΕΣΤΗΣ H ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ BERGMAN Για w S z, έχουµε w Re[w r ], άρα είσης εοµένως w z Εεται ότι g z w dw S z w r rx Re[w r ] z Re[w r ] w z r r x. r x r r γ r rx r y r x r r y γ r rx r x και συµεραίνουµε ότι lim g z w dw. r S z Λαµβάνοντας τα όρια των ολοκληρωµάτων στις υόλοιες δυο λευρές του τριγώνου, καθώς r, ϐρίσκουµε ds g z w dw. L z s s z γ ηλαδή για την φ γ z έχουµε φ γ z ds. s s z γ Παρατηρούµε ότι η φ γ z είναι αναλυτική στο D και συνεχής στο D, για γ 2 και > 2. Πράγµατι η φ γ είναι καλά ορισµένη αναλυτική συνάρτηση, αφού το ολοκλήρωµα ου την ορίζει συγκλίνει αόλυτα αφού γ > για κάθε z C \ [, + και ειδικότερα για κάθε z D \ {}. Ειλέον για το σηµείο z, αρατηρούµε ότι s s z, z D