Κεφάλαιο 1. Βασικές Εννοιες. 1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα

Κεφάλαιο 1 Βασικές Εννοιες 1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα Συχνά στα µαθηµατικά µας ενδιαφέρει να εξετάσουµε αν κάποια ϕαινόµενα που ισχύουν σε αριθµητικά συστήµατα ισχύουν σε ένα γενικότερο περιβάλλον, όπως π.χ. σε τυχαία σύνολα. Για την έννοια της οµάδας ένα ερώτηµα αφετηρίας είναι πώς γενικεύεται η αριθµητική δοµή (Z, +) όταν στη ϑέση του συνόλου των ακέραιων είναι ένα τυχαίο σύνολο και στη ϑέση της πρόσθεσης µία τυχαία πράξη ; Θα µπορούσε να µας ενδιαφέρει ένα τέτοιο επίτευγµα ; Γνωρίζουµε τις ιδιότητες της πρόσθεσης στο Z από τις πρώτες ενασχολήσεις µας µε την αριθµητική, έτσι ας ασχοληθούµε µε το πρώτο από τα δύο παραπάνω ερωτήµατα. Το δεύτερο ϑα µας απασχολεί συνεχώς σε αυτό το κείµενο και ϑα έχουµε απαντήσεις. Για τις έννοιες που δεν αναφέρονται εδώ ο αναγνώστης παραπέµπεται στα Παραρτήµατα. Ορισµός 1.1.1 Εστω G ένα µη κενό σύνολο εφοδιασµένο µε µία πράξη. Η αλγεβρική δοµή (G, ) λέγεται οµάδα (group) αν ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες : i. Η πράξη είναι προσεταιριστική (associative), δηλαδή για όλα τα στοιχεία α, β, γ G. (α β) γ = α (β γ), ii. Υπάρχει ένα στοιχείο, έστω e, στο G τέτοιο ώστε e α = α = α e, για κάθε α G. Το στοιχείο e G λέγεται ουδέτερο ή ταυτοτικό στοιχείο (neutral or identity) της G. 1

2 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων iii. Αν α G, υπάρχει ένα στοιχείο α 1 G ώστε α α 1 = e = α 1 α. Το στοιχείο α 1 λέγεται αντίστροφο (inverse) του α. Ιδιαίτερα αν η πράξη είναι αντιµεταθετική, δηλαδή αν α β = β α, για όλα τα α, β G, τότε η οµάδα (G, ) λέγεται αντιµεταθετική (commutative) ή αβελιανή (abelian) ή οµάδα του Abel. Ο συµβολισµός του αντίστροφου στοιχείου προέρχεται από τον συµβολισµό του αντίστροφου στοιχείου στις αριθµητικές δοµές. Αν η πράξη της οµάδας συµβολίζεται µε + ονοµάζεται πρόσθεση (addition). Σε αυτήν την περίπτωση το ουδέτερο στοιχείο λέγεται µηδενικό (zero) και συµβολίζεται µε 0, ενώ το αντίστροφο του α λέγεται αντίθετο (opposite) και συµβολίζεται α. Αν η πράξη λέγεται πολλαπλασιασµός (multiplication), τότε συµβολίζεται µε όπως στις αριθµητικές δοµές και το ουδέτερο στοιχείο λέγεται επίσης µοναδιαίο (unit). Θα συµβολίζουµε µε e το ουδέτερο στοιχείο για τις πολλαπλασιαστικές δοµές. Για τα συγκεκριµένα παραδείγµατα όπως οι αριθ- µητικές δοµές ή τα σύνολα πινάκων ή συναρτήσεων ϑα χρησιµοποιούµε τους γνωστούς και καθιερωµένους συµβολισµούς για το αντίστροφο, το αντίθετο, το µοναδιαίο ή το µηδενικό στοιχείο. Αυτό γίνεται σαφές στα παραδείγµατα που ακολουθούν. Παραδείγµατα 1.1.2 1. Οι αριθµητικές δοµές (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) είναι αβελιανές (προσθετικές) οµάδες. 2. Συµβολίζουµε µε Q = Q/{0} = {α Q a 0} και ανάλογα R = R/{0}, C = C/{0}. Εύκολα ϐλέπουµε ότι οι αριθµητικές δοµές (Q, ), (R, ), (C, ) είναι αβελιανές (πολλαπλασιαστικές) οµάδες. Ενώ οι αριθµητικές δοµές (Q, ), (Z, ) δεν είναι οµάδες. 3. Εστω 2Z = {2α α Z}, παρατηρούµε ότι η (2Z, +) είναι µία αβελιανή οµάδα, ενώ η (2Z, ) δεν είναι οµάδα. 4. Εστω n, m ϕυσικοί αριθµοί και X ένα µη κενό σύνολο. Θυµίζουµε ότι µε τον όρο n m-πίνακας (matrix) µε συντελεστές από το X εννοούµε µία συνάρτηση {1, 2,..., n} {1, 2,..., m} X, (i, j) (x ij )

Κεφάλαιο 1 Εδάφιο 1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα 3 και τον συµβολίζουµε µε x 11 x 12 x 1m x 21 x 22 x 2m x n1 x n2 x nm Με M n m (X) συµβολίζουµε το σύνολο των n m-πινάκων (x ij ), µε x ij X, για 1 i n και 1 j m. Η αλγεβρική δοµή (M n m (Z), +) είναι µία αβελιανή οµάδα, όπου µε + συµβολίζουµε το άθροισµα των n m-πινάκων, δηλαδή αν (α ij ), (β ij ) M n m (Z), τότε (α ij ) + (β ij ) = (α ij + β ij ). Το µηδενικό στοιχείο της M n m (Z) είναι ο µηδενικός n m-πίνακας 0, δηλαδή αυτός για τον οποίο α ij = 0, για 1 i n και 1 j m. Αντίθετος του πίνακα (α ij ) M n m (Z) είναι ο πίνακας ( α ij ), δηλαδή (α ij ) = ( α ij ). Ανάλογα οι αλγεβρικές δοµές (M n m (Q), +), (M n m (R), +), (M n m (C), +) είναι προσθετικές αβελιανές οµάδες. Συµβολίζουµε µε M n (X) = {(α ij ) α ij X, 1 i, j n} το σύνολο των n nπινάκων µε συντελεστές από το σύνολο X. Παρατηρούµε ότι η (M n (X), +), όπου X {Z, Q, R, C}, είναι επίσης µία προσθετική αβελιανή οµάδα. 5. Εστω X {Q, R, C}. Συµβολίζουµε µε GL n (X) = {(α ij ) M n (X) det(α ij ) 0}, όπου µε det(α ij ) συµβολίζουµε την ορίζουσα του πίνακα (α ij ). Από τη Γραµµική Άλγεβρα γνωρίζουµε ότι αν για τον πίνακα (α ij ) M n (X) ισχύει det(α ij ) 0, τότε και µόνον τότε ορίζεται ο αντίστροφος πίνακας (α ij ) 1 για τον οποίο ισχύουν οι σχέσεις det((α ij ) 1 ) = (det(α ij )) 1 και (α ij ) 1 (α ij ) = I n = (α ij )(α ij ) 1, όπου µε I n συµβολίζουµε τον λεγόµενο µοναδιαίο (unit) n n-πίνακα, δηλαδή αυτόν που όλα τα στοιχεία του πάνω στην κύρια διαγώνιο ισούνται µε 1 και όλα τα άλλα στοιχεία του είναι ίσα µε µηδέν. Παρατηρούµε αµέσως ότι το σύνολο GL n (X) µε πράξη τον πολλαπλασιασµό πινάκων αποτελεί οµάδα µε µοναδιαίο στοιχείο το I n και αντίστροφο του (α ij ) GL n (X) τον πίνακα (α ij ) 1. Η οµάδα (GL n (X), ), για n > 1, δεν είναι αβελιανή, αφού δεν ισχύει πάντα η αντιµεταθετικότητα των πινάκων, δηλαδή, δεν ισχύει (α ij )(β ij ) = (β ij )(α ij ),

4 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων για όλα τα (α ij ), (β ij ) GL n (X). Η GL n (X) λέγεται γενική γραµµική οµάδα (general linear group). 6. Ας ϑεωρήσουµε ένα µη κενό σύνολο X και το σύνολο X X όλων των συναρτήσεων f X X. Συµβολίζουµε, ως συνήθως, µε τη σύνθεση συναρτήσεων. Είναι ϕανερό ότι η σύνθεση συναρτήσεων στο X X ορίζεται και ότι έχει την προσεταιριστική ιδιότητα. Ετσι η (X X, ) είναι µία αλγεβρική δοµή. Από τη ϑεωρία των συναρτήσεων γνωρίζουµε ότι η ταυτοτική συνάρτηση 1 X στο σύνολο X έχει την ιδιότητα 1 X f = f = f 1 X, δηλαδή η 1 X είναι ουδέτερο στοιχείο της (X X, ). Είναι η (X X, ) οµάδα ; Για να συµβαίνει αυτό ϑα πρέπει, για κάθε στοιχείο f X X, να υπάρχει µία συνάρτηση g X X έτσι ωστε g f = 1 X = f g. Γνωρίζουµε, όµως, από τη ϑεωρία συναρτήσεων ότι η ύπαρξη µίας τέτοιας συνάρτησης ισοδυναµεί µε το γεγονός ότι η f είναι αµφιµονότιµη και επί συνάρτηση. Οµως, κάθε συνάρτηση f X X δεν έχει αυτές τις ιδιότητες. Εποµένως η (X X, ) δεν µπορεί να είναι οµάδα. Συµβολίζουµε µε S X το σύνολο των αµφιµονότιµων και επί συναρτήσεων του συνόλου X. Βέβαια S X X X. Το S X λέγεται σύνολο των µετασχηµατισµών (transformations) του συνόλου X. Είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι η αλγεβρική δοµή (S X, ) είναι οµάδα µε τη συνάρτηση 1 X να είναι ουδέτερο στοιχείο και την αντίστροφη συνάρτηση f 1 της f S X να είναι το αντίστροφο στοιχείο της f. Βέβαια η οµάδα (S X, ) δεν είναι αντιµεταθετική, αφού η σύνθεση συναρτήσεων (όταν αυτή ορίζεται) δεν έχει πάντα την αντιµεταθετική ιδιότητα. Η οµάδα (S X, ) λέγεται οµάδα µετασχηµατισµών (transformation group) του συνόλου X και, όπως ϑα διαπιστώσουµε από την ανάπτυξη της ϑεωρίας οµάδων, παίζει εξαιρετικά ενδιαφέροντα ϱόλο τόσο για τη ϑεωρία οµάδων όσο και για τις εφαρµογές της σε άλλους επιστηµονικούς κλάδους. Οι οµάδες µετασχηµατισµών είναι από τις ϐασικές οµάδες που εµφανίζονται στις εφαρµογές της ϑεωρίας οµάδων. Το 1872 ο Felix Klein ανακοίνωσε το Erlangen Program σύµφωνα µε το οποίο επιχειρούσε να ταξινοµήσει τις γεωµετρίες χρησιµοποιώντας τη σηµασία των οµάδων µετασχηµατισµών. Το ενδιαφέρον της Γεωµετρίας για τις οµάδες µετασχηµατισµών εµφανί- Ϲεται όταν το σύνολο X είναι το σύνολο των σηµείων κάποιου γεωµετρικού α- ντικειµένου π.χ. της πραγµατικής ευθείας, του επιπέδου, της σφαίρας κ.ο.κ. Παρατηρούµε ότι κάθε στοιχείο f X X της οµάδας S X ικανοποιεί τη σχέση f(x) = X, όµως δε συµβαίνει f(x) = x, x X, εκτός αν η f είναι η ταυτοτική συνάρτηση. Γι αυτόν τον λόγο κάθε στοιχείο της S X λέγεται συµµετρία (symmetry) του X και η οµάδα S X οµάδα των συµµετριών

Κεφάλαιο 1 Εδάφιο 1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα 5 του X (group of symmetries of X). Στα παραδείγµατα 1.1.4 ϑα δούµε συγκεκριµένες περιπτώσεις. 7. Ας ϑεωρήσουµε το σύνολο {x 1, x 2,..., x n }. Τότε το σύνολο S X είναι ακριβώς το σύνολο των αµφιµονότιµων και επί συναρτήσεων του συνόλου X στον εαυτό του, δηλαδή το σύνολο των µεταθέσεων των αντικειµένων x 1, x 2,..., x n. Η οµάδα (S X, ) σε αυτήν την περίπτωση λέγεται οµάδα µεταθέσεων (permutation group) των n αντικειµένων και συµβολίζεται µε S n. Τα αντικείµενα τα συµβολίζουµε µε τους αριθµούς 1, 2,, n για να α- πλουστευτεί ο συµβολισµός. Είναι εύκολο να αποδείξουµε ότι το πλήθος των στοιχείων του συνόλου S n είναι n!. Ενα στοιχείο της S n συµβολίζεται αναλυτικότερα σ = ( 1 2... n σ(1) σ(2)... σ(n) ), όπου σ(i) είναι η εικόνα του i µέσω της σ. Αν σ, τ S n, τότε το γινόµενο σ τ και απλούστερα στ είναι η σύνθεση των συναρτήσεων σ, τ. Ετσι στ(i) = σ(τ(i)), i X. Το αντίστροφο του σ S n είναι το σ 1 = ( σ(1) σ(2)... σ(n) 1 1... n ). Στο σηµείο αυτό ας παρατηρήσουµε ότι το στοιχείο σ ϑα µπορούσε να γραφτεί κατά τους n ισοδύναµους τρόπους : σ = ( 1 2... n σ(1) σ(2)... σ(n) ) = ( 2 3... n 1 σ(2) σ(3)... σ(n) σ(1) ) = κ.ο.κ.. Αν σ = ( 1 2 3 4 5 2 5 1 4 3 ) S 5, τότε το σ 1 είναι το σ 1 = ( 2 5 1 4 3 1 2 3 4 5 ) = ( 1 2 3 4 5 3 1 5 4 2 ). Ιδιαίτερα υπολογίζουµε ότι S 1 = {1}, S 2 = ( 1 2 1 2 ), ( 1 2 2 1 ),

6 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων S 3 = ( 1 2 3 1 2 3 ), ( 1 2 3 1 3 2 ), ( 1 2 3 3 2 1 ), ( 1 2 3 2 1 3 ), ( 1 2 3 2 3 1 ), ( 1 2 3 3 1 2 ). 8. Το παράδειγµα που ϑα παρουσιάσουµε τώρα είναι από το σύνολο των µιγαδικών αριθµών. Αν p είναι ένας συγκεκριµένος πρώτος ακέραιος αριθ- µός, ορίζουµε C p = {c C c pn = 1, για κάποιο ϕυσικό αριθµό n}. Παρατηρούµε ότι ο αριθµός n εξαρτάται από τον c. Το σύνολο Cp µε πράξη τον συνήθη πολλαπλασιασµό των µιγαδικών αριθµών αποτελεί αντιµεταθετική οµάδα. Πράγµατι : i. Αν α, β Cp, τότε υπάρχουν ϕυσικοί αριθµοί n, m τέτοιοι ωστε α pn = 1 και β pm = 1 (αβ) pk = 1, όπου k είναι ο µεγαλύτερος από τους n, m. Αυτό σηµαίνει ότι αβ Cp, δηλαδή ο πολλαπλασιασµός είναι πράξη στο Cp. ii. Αφού Cp C, έπεται ότι ο πολλαπλασιασµός στο Cp διατηρεί τις ιδιότητες που έχει στο C. Ετσι η πράξη στο Cp είναι προσεταιριστική και αντιµεταθετική. iii. Είναι ϕανερό ότι 1 Cp. iv. Αν c Cp, τότε ϑα υπάρχει ϕυσικός αριθµός n τέτοιος ώστε cpn = 1. Τότε, όµως, ( 1 c )pn = 1. Άρα 1 c C p και c 1 c = 1. Από τα i. iv. έπεται ότι το Cp είναι αβελιανή οµάδα. Η Cp λέγεται σχεδόν κυκλική οµάδα (almost cyclic group). 9. Το σύνολο Z n των κλάσεων υπολοίπων modn, n N και n > 1, είναι το επόµενο παράδειγµα που ϑα µας απασχολήσει. Χωρίς µαθηµατική αυστηρότητα µπορούµε να περιγράψουµε το Z n ως εξής : Το σύνολο Z n είναι ένα σύνολο µε στοιχεία σύνολα. Σε κάθε στοιχείο του Z n ανήκουν όλοι οι ακέραιοι αριθµοί που διαιρούµενοι δια του n αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο. Αν α είναι αυτό το υπόλοιπο, τότε το στοιχείο αυτό του Z n το συµβολίζουµε µε α. Τα δυνατά υπόλοιπα που παρουσιάζονται, αν διαιρέσουµε κάθε ακέραιο δια του n, είναι 0, 1, 2,..., n 1. Ετσι Z n = {0, 1,..., n 1}, όπου 0 = {kn k Z n }, 1 = {kn + 1 k Z n } κ.ο.κ.

Κεφάλαιο 1 Εδάφιο 1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα 7 Θα κατασκευάσουµε, τώρα, το Z n. Στο σύνολο Z ορίζουµε τη σχέση α β α β = kn, για κάποιο k Z. Η σχέση αυτή είναι σχέση ισοδυναµίας. (Να αποδειχθεί ως άσκηση). Συµβολίζουµε µε α την κλάση που ανήκει ο ακέραιος αριθµός α. Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναµίας που χωρίζει αυτή η σχέση ισοδυναµίας το Z, δηλαδή το σύνολο πηλίκο Z/, το συµβολίζουµε µε Z n. Ετσι Z n = {α α Z n }. Από τις ιδιότητες των σχέσεων ισοδυναµίας ισχύουν οι σχέσεις i. Z = α Z α. ii. α β = ή α β = α, για α, β Z n. Είναι ϕανερό ότι Από την άλλη µεριά, όµως, αφού έπεται ότι Z n {0, 1,..., n 1}. α Z, α = kn + υ, για k, υ Z και 0 υ n 1, {α α Z n } {0, 1,..., n 1}. Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι Z n = {0, 1,..., n 1}. Στο σύνολο Z n ορίζουµε την πρόσθεση ως εξής : + Z n Z n Z n, (α, β) α + β. Θα αποδείξουµε ότι η + είναι συνάρτηση, δηλαδή η + είναι πράξη στο Z n. Αν (α, β) = (γ, δ), τότε α = γ και β = δ. Άρα γ α = kn και όµοια δ β = λn, για κάποιους ακεραίους k, λ. Ετσι γ + δ = α + β + (k + λ)n και γ + δ = α + β. Εποµένως η + είναι πράξη στο Z n. Οµοια µπορεί να αποδειχθεί ότι ο πολλαπλασιασµός Z n Z n Z n, (α, β) α β είναι πράξη στο Z n. Εξετάζουµε τώρα τις ιδιότητες των πράξεων αυτών στο Z n.

8 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων 1. Αν α, β, γ Z, τότε α + (β + γ) = α + (β + γ) = (α + β) + γ = α + β + γ = (α + β) + γ, δηλαδή η πρόσθεση στο Z n είναι προσεταιριστική. 2. Αν α Z, τότε α + 0 = α + 0 = α, δηλαδή το 0 είναι µηδενικό στοιχείο. 3. Αν α Z, τότε α + ( α) = α + ( α) = 0, δηλαδή το ( α), η κλάση µε αντιπρόσωπο το α, είναι αντίθετο του α. 4. Αν α, β Z, τότε α+β = α + β = β + α = β +α, δηλαδή η πρόσθεση είναι αντιµεταθετική πράξη. Οµοια µπορούν να αποδειχθούν οι ιδιότητες 5. Αν α, β, γ Z, τότε (α β) γ = α (β γ). 6. Αν α Z, τότε α 1 = α. 7. Αν α, β Z, τότε α β = β α. Από τα παραπάνω καταλήγουµε στο επόµενο συµπέρασµα. Συµπέρασµα : Η (Z n, +) είναι αντιµεταθετική οµάδα, ενώ η (Z n, ) δεν είναι οµάδα. 10. Θεωρούµε το σύνολο Z n = {α α Z n, (α, n) = 1}. Είναι ϕανερό ότι Z n Z n. Τα στοιχεία του Z n λέγονται πρώτες κλάσεις υπολοίπων modn (prime classes modn). Ο πολλαπλασιασµός στο Z n εξακολουθεί να είναι πράξη στο Z n. Πράγµατι : Αν α, β είναι ακέραιοι αριθµοί τέτοιοι ώστε (α, n) = 1 και (β, n) = 1, τότε είναι γνωστό ότι (αβ, n) = 1. Άρα, αν α, β Z n, τότε αβ Z n. Ο πολλαπλασιασµός στο Z n είναι προσεταιριστική και αντιµεταθετική πράξη, αφού αυτό συµβαίνει στο Z n. Ακόµη, είναι ϕανερό ότι 1 Z n αφού (1, n) = 1. Θα δείξουµε, τώρα, ότι κάθε στοιχείο του Z n έχει αντίστροφο στο Z n. Αν (α, n) = 1, τότε κα + λn = 1 για κάποιους ακεραίους κ, λ. Ετσι 1 = κα + λn = κα = κ α. Οµως, κ Z n γιατί για τους ακέραιους α, λ ισχύει κα + λn = 1. Άρα η κ Z n είναι η αντίστροφη κλάση της α Z n. Αποδείχθηκε, εποµένως, ότι η (Z n, ) είναι αβελιανή οµάδα.

Κεφάλαιο 1 Εδάφιο 1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα 9 Ενα εύλογο ερώτηµα είναι αν και πότε συµβαίνει Z n = Z n /{0}. Παρατη- ϱούµε ότι αν ο n είναι σύνθετος ακέραιος, δηλαδή έχει µία ανάλυση n = ms, m ±1, s ±1, τότε υπάρχουν στοιχεία του Z n που δεν ανήκουν στο Z n, π.χ. m, s Z n. Άρα Z n Z n. Αν n = p, όπου p είναι πρώτος ϕυσικός αριθ- µός, τότε είναι ϕανερό ότι Z p = Z p /{0}, αφού (p, α) = 1, για 1 α p 1. Καταλήγουµε, λοιπόν, στο συµπέρασµα : Συµπέρασµα : Εστω Z n = {α Z n, (α, n) = 1}. Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να ισχύει Z n = Z n /{0}, είναι ο n να είναι πρώτος ϕυσικός αριθµός. 11. Εστω G 1, G 2 δύο οµάδες. Σχηµατίζουµε το καρτεσιανό γινόµενο G 1 G 2 = {(g 1, g 2 ) g 1 G 1, g 2 G 2 }. Στο σύνολο G 1 G 2 ορίζουµε την πράξη (g 1, g 2 )(g 1, g 2) = (g 1 g 1, g 2 g 2), (1.1.1) όπου g i, g i G i, i = 1, 2. Είναι εύκολο να αποδείξουµε ότι η πράξη αυτή στο G 1 G 2 είναι προσεταιριστική. Ακόµη αν e i είναι το ουδέτερο στοιχείο της G i, i = 1, 2, τότε το στοιχείο (e 1, e 2 ) είναι το ουδέτερο στοιχείο του G 1 G 2. Πράγµατι και (e 1, e 2 )(g 1, g 2 ) = (e 1 g 1, e 2 g 2 ) = (g 1, g 2 ) (g 1, g 2 )(e 1, e 2 ) = (g 1 e 1, g 2 e 2 ) = (g 1, g 2 ). Άρα το (e 1, e 2 ) είναι το ουδέτερο στοιχείο του G 1 G 2. Αν (g 1, g 2 ) G 1 G 2, τότε ϐλέπουµε ότι και (g 1, g 2 )(g 1 1, g 1 2 ) = (g 1 g 1 1, g 2 g 1 2 ) = (e 1, e 2 ) (g 1 1, g 1 2 )(g 1, g 2 ) = (g 1 1 g 1, g 1 2 g 2 ) = (e 1, e 2 ). Άρα το (g 1 1, g 1 2 ) είναι το αντίστροφο του (g 1, g 2 ), δηλ. (g 1, g 2 ) 1 = (g 1 1, g 1 2 ), g i G i, i = 1, 2. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το G 1 G 2 µε την πράξη (1.1.1) είναι οµάδα. Η οµάδα G 1 G 2 είναι αβελιανή αν και µόνον αν η G 1 και η G 2 είναι αβελιανές οµάδες. Ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει την αλήθεια αυτής της πρότασης. Ας ϑεωρήσουµε, τώρα, έναν ϕυσικό αριθµό n και έστω G 1 G 2 G n = {(g 1, g 2,..., g n ) g i G i, 1 i n},

10 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων το καρτεσιανό γινόµενο των οµάδων G i, i i n. Ανάλογα µε την οµάδα G 1 G 2, µπορούµε να δώσουµε στο G 1 G 2 G n τη δοµή µίας οµάδας. Πράγµατι ορίζουµε στο G 1 G 2 G n την πράξη : (g 1, g 2,..., g n )(g 1, g 2,..., g n) = (g 1 g 1, g 2 g 2,..., g n g n) όπου g i, g i G i για 1 i n. Η πράξη αυτή είναι προσεταιριστική, όπως καλείται να αποδείξει ο αναγνώστης. Ακόµη, αν e i είναι το ουδέτερο στοιχείο της G i, 1 i n, το (e 1, e 2,..., e n ) είναι το ουδέτερο στοιχείο του G 1 G 2 G n. Επίσης το (g1 1, g 1 2,..., g 1 n ) είναι αντίστροφο στοιχείο του (g 1, g 2,..., g n ), δηλ. (g 1, g 2,..., g n ) 1 = (g 1 1, g 1 2,..., g 1 n ). Ο αναγνώστης καλείται να εκτελέσει τις απαιτούµενες πράξεις. G 1 G 2 G n µε αυτήν την πράξη είναι οµάδα. Ετσι το Η οµάδα G 1 G 2 G n λέγεται ευθύ εξωτερικό γινόµενο (external direct product) των οµάδων G 1, G 2,..., G n. Από τα παραδείγµατα που προηγήθηκαν διαπιστώνουµε ότι η έννοια της οµάδας συναντάται πολύ συχνά στα µαθηµατικά. Πριν προχωρήσουµε σε πε- ϱισσότερα παραδείγµατα αλλά και σε ιδιότητες των οµάδων, ϑα σχολιάσουµε τον ορισµό της οµάδας και συγκεκριµένα ϑα µας απασχολήσει η µοναδικότητα ή µη του ουδέτερου στοιχείου µίας οµάδας και η µοναδικότητα ή µη του αντίστροφου στοιχείου α 1 ενός στοιχείου α G. Βέβαια οι πληροφορίες αυτές δεν προσφέρονται αµέσως από τον ορισµό της οµάδας. Ο ορισµός της οµάδας απαιτεί την ύπαρξη αυτών των στοιχείων, η µοναδικότητα ϑα απαιτήσει λίγο κόπο, όπως ϑα δούµε αµέσως. Πρόταση 1.1.3 Εστω (G, ) µία οµάδα. Η G έχει µοναδικό ουδέτερο στοιχείο και κάθε στοιχείο g G έχει µοναδικό αντίστροφο στοιχείο. Απόδειξη : Εστω e 1 και e 2 δύο ουδέτερα στοιχεία της G, τότε e 1 e 2 = e 2, αφού το e 1 είναι ουδέτερο στοιχείο της G, και e 1 e 2 = e 1, αφού το e 2 είναι ουδέτερο στοιχείο της G. Άρα e 1 = e 2, δηλαδή το ουδέτερο στοιχείο της G είναι µοναδικό. Εστω, τώρα, ότι g 1, g 2 G είναι αντίστροφα στοιχεία του στοιχείου g G. Τότε g 1 g = e (g 1 g) g 2 = e g 2,

Κεφάλαιο 1 Εδάφιο 1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα 11 αφού η είναι συνάρτηση. Οµως, η είναι προσεταιριστική πράξη, έτσι από την τελευταία σχέση και τον ορισµό της οµάδας προκύπτει ότι g 1 (g g 2 ) = g 2 g 1 e = g 2 g 1 = g 2 Άρα κάθε στοιχείο της οµάδας G έχει µοναδικό αντίστροφο στοιχείο. Εστω (G, ) µία οµάδα και ας υποθέσουµε ότι G = {α 1, α 2,..., α n }, δηλαδή το σύνολο G είναι πεπερασµένο. Μπορούµε να γράψουµε τα n 2 πλήθους στοιχεία α i α j, 1 i, j n, σχηµατίζοντας τον ακόλουθο πίνακα α 1 α 2... α n α 1 α 1 α 1 α 1 α 2... α 1 α n α 2 α 2 α 1 α 2 α 2... α 2 α n α n α n α 1 α n α 2... α n α n Πίνακας 1.1 όπου στη ϑέση i-γραµµή και j-στήλη τοποθετούµε το στοιχείο α i α j. Ετσι τα στοιχεία κάθε γραµµής και κάθε στήλης του παραπάνω πίνακα ανήκουν στο σύνολο G. Ο πίνακας αυτός λέγεται πίνακας Cayley της οµάδας G (multiplication Cayley table or multiplication table of G). Από τον πίνακα Cayley της οµάδας (G, ) µπορούν να διαπιστωθούν διάφορες ιδιότητες της οµάδας. Π.χ. αν η οµάδα (G, ) είναι αβελιανή, τότε ο πίνακας των στοιχείων α i α j είναι συµµετρικός ως προς την κύρια διαγώνιο που σχηµατίζουν τα στοιχεία α i α i, 1 i n, αλλά ισχύει και το αντίστροφο. Βέβαια αν το σύνολο G έχει µεγάλο πλήθος στοιχείων, τότε ο πίνακας Cayley της G δεν είναι πρακτικός. Με τον ίδιο τρόπο µπορούµε να δηµιουργήσουµε τον πίνακα Cayley για την τυχούσα αλγεβρική δοµή (A, ), χωρίς απαραίτητα να είναι οµάδα. Παραδείγµατα 1.1.4 1. Θεωρούµε το υποσύνολο G = {1, 1, i, i} του συνόλου των µιγαδικών αριθµών, δηλαδή i 2 = 1, και την αλγεβρική δοµή (G, ) µε πράξη τον πολλαπλασιασµό των µιγαδικών αριθµών. Είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι η (G, ) είναι αβελιανή οµάδα µε πίνακα Cayley τον ακόλουθο Πίνακα 1.2

12 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων 1 1 i i 1 1 1 i i 1 1 1 i i i i i 1 1 i i i 1 1 Πίνακας 1.2 2. Εστω X = {α, β}, τότε το σύνολο X X = {f, φ, g, h}, όπου τα στοιχεία f,φ,g,h είναι οι συναρτήσεις που περιγράφονται από τον Πίνακα 1.3 α β f α α φ β β g α β h β α Πίνακας 1.3 Η αλγεβρική δοµή (X X, ) µε πράξη τη σύνθεση συναρτήσεων είναι ηµιοµάδα, αφού η είναι προσεταιριστική. Ο πίνακας Cayley της (X X, ) είναι ο ακόλουθος f φ g h f f f f f φ φ φ φ φ g f φ g h h φ f h g Πίνακας 1.4 Από το Παράδειγµα 1.1.2.6 η (X X, ) δεν είναι οµάδα. Παρατηρώντας ότι µόνον οι g, h είναι αµφιµονότιµες και επί, το (S X, ) µε S X = {g, h}, είναι οµάδα µε πίνακα Cayley g h g g h h h g Πίνακας 1.5 3. Θεωρούµε ένα ισόπλευρο τρίγωνο µε κορυφές 1, 2, 3 και κέντρο Ο όπως στο σχήµα :

Κεφάλαιο 1 Εδάφιο 1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα 13 1 2 3 Σχήµα 1.1 Ας καλέσουµε X το σύνολο των σηµείων του επιπέδου που περικλείονται από τις πλευρές του τριγώνου. Εστω ρ 120 η στροφή ως προς το κέντρο του Ο του τριγώνου κατά γωνία 120 µε ϕορά αντίστροφη των δεικτών του ϱολογιού. Βέβαια η στροφή ρ 120 είναι µία συνάρτηση από το X στο X η οποία είναι ϕανερό ότι είναι αµφιµονότιµη και επί, δηλαδή ρ 120 (X) = X. Οµως, κάθε σηµείο του X δεν µένει στη ϑέση του π.χ. ρ 120 (1) = 2, ρ 120 (2) = 3, ρ 120 (3) = 1. Ας συµβολίσουµε ως ακολούθως 1 3 ρ 120 2 3 1 2 Σχήµα 1.2 τη µεταβολή του τριγώνου από τη στροφή ρ 120. Οµοια 1 2 ρ 240 ενώ 2 3 1 3 1 1 ρ 0 2 3 2 3 Σχήµα 1.3

14 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Παρατηρούµε ότι ρ 0 = ρ 2κπ, µε κ N, και ρ 120 ρ 120 = ρ 240, και ρ 120 ρ 240 = ρ 0. Μπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε ότι το σύνολο {ρ 0, ρ 120, ρ 240 } µε πράξη τη σύνθεση συναρτήσεων αποτελεί οµάδα. Ας συµβολίσουµε τώρα µε ε τη στροφή του τριγώνου κατά 180 ως προς άξονα τη µεσοκάθετο του τριγώνου που διέρχεται από την κορυφή 1. Τότε η ε είναι επίσης µία αµφιµονότιµη και επί συνάρτηση του συνόλου X επί του X και 1 1 ε 2 3 Σχήµα 1.4 3 2 Τώρα παρατηρούµε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι επίσης αµφιµονότιµες και επί : 1 2 ρ 120 ε 2 3 1 3 Σχήµα 1.5 1 3 ρ 240 ε 2 3 Σχήµα 1.6 2 1 Ακόµη, ϐλέπουµε αµέσως ότι ισχύουν οι σχέσεις : ε ρ 120 = ρ 240 ε και ε ρ 240 = ρ 120 ε. Ας συµβολίσουµε ρ = ρ 120, ρ 2 = ρ 240, e = ρ 0 και D 2 3 = {e, ρ, ρ 2, ε, ρε, ρ 2 ε}.

Κεφάλαιο 1 Εδάφιο 1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα 15 Η σύνθεση συναρτήσεων ϐέβαια ορίζεται στο σύνολο D 2 3, άρα µπορούµε να δηµιουργήσουµε τον Πίνακα 1.6 που είναι ο πίνακας Cayley της (D 2 3, ) e ρ ρ 2 ε ρε ρ 2 ε e e ρ ρ 2 ε ρε ρ 2 ε ρ ρ ρ 2 e ρε ρ 2 ε ε ρ 2 ρ 2 e ρ ρ 2 ε ε ρε ε ε ρ 2 ε ρε e ρ 2 ρ ρε ρε ε ρ 2 ε ρ e ρ 2 ρ 2 ε ρ 2 ε ρε ε ρ 2 ρ e Πίνακας 1.6 και να διαπιστώσουµε ότι η (D 2 3, ) είναι µία µη αβελιανή οµάδα. Τα στοιχεία της οµάδας D 2 3 ονοµάζονται συµµετρίες του ισόπλευρου τριγώνου. Η γραµµική άλγεβρα µας ϐεβαιώνει ότι αυτές είναι όλες οι συµµετρίες του ισόπλευρου τριγώνου, αλλά η απόδειξη δε ϑα µας απασχολήσει τώρα. Αργότερα, όµως, ϑα δώσουµε περισσότερες πληροφορίες. 4. Ας ϑεωρήσουµε ως Y το σύνολο των σηµείων ενός τετραγώνου µε κο- ϱυφές 1, 2, 3, 4 και κέντρο Ο όπως στο Σχήµα 1.7: 1 2 O 4 3 Σχήµα 1.7 Ας συµβολίσουµε µε ρ = ρ 90 τη στροφή του τετραγώνου κατά 90 ως προς το κέντρο Ο µε ϕορά αντίστροφη των δεικτών του ϱολογιού, µε ρ 180 = ρ 2, ρ 270 = ρ 3, ρ 0 = e. Ακόµη, έστω ε η στροφή κατά 180 του τετραγώνου ως προς άξονα την ευθεία που διέρχεται από το µέσον της πλευράς των σηµείων 1,4 και το κέντρο Ο. Οπως πριν ας συµβολίσουµε D 2 4 = {e, ρ, ρ 2, ρ 3, ε, ρε, ρ 2 ε, ρ 3 ε}. Η αλγεβρική δοµή (D 2 4, ) είναι επίσης µία µη αβελιανή οµάδα, η οποία λέγεται οµάδα συµµετρίας του τετραγώνου. Εχει 8 στοιχεία και γεωµετρικά, όπως πριν, µπορούµε να διαπιστώσουµε τις σχέσεις : ερ = ρ 3 ε, ερ 2 = ρ 2 ε, ερ 3 = ρε,

16 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων (ερ) 2 = e, (ερ 2 ) 2 = e, και Ο πίνακας Cayley της D 2 4 είναι ο Πίνακας 1.7 (ερ 3 ) 2 = e e ρ ρ 2 ρ 3 ε ρε ρ 2 ε ρ 3 ε e e ρ ρ 2 ρ 3 ε ρε ρ 2 ε ρ 3 ε ρ ρ ρ 2 ρ 3 e ρε ρ 2 ε ρ 3 ε ε ρ 2 ρ 2 ρ 3 e ρ ρ 2 ε ρ 3 ε ε ρε ρ 3 ρ 3 e ρ ρ 2 ρ 3 ε ε ρε ρ 2 ε ε ε ρ 3 ε ρ 2 ε ρε e ρ 3 ρ 2 ρ ρε ρε ε ρ 3 ε ρ 2 ε ρ e ρ 3 ρ 2 ρ 2 ε ρ 2 ε ρε ε ρ 3 ε ρ 2 ρ e ρ 3 ρ 3 ε ρ 3 ε ρ 2 ε ρε ε ρ 3 ρ 2 ρ e Πίνακας 1.7 Ας παρατηρήσουµε από τον παραπάνω πίνακα ότι η ({e, ρ, ρ 2, ρ 3 }, ) είναι επίσης οµάδα. Για την οικονοµία των εκφράσεων ϑα δώσουµε τους ακόλουθους ορισµούς. Ορισµός 1.1.5 Μία αλγεβρική δοµή (A, ), όπου A είναι ένα µη κενό σύνολο, λέγεται ηµιοµάδα (semigroup) αν η πράξη είναι προσεταιριστική. Η (A, ) λέγεται µονοειδές (monoid) αν είναι ηµιοµάδα και έχει ουδέτερο στοιχείο. Ετσι οι αλγεβρικές δοµές (Z, ), (Q, ), (R, ), (C, ), (Z n, ), (X X, ), (M n (Q), ) είναι µονοειδή, αλλά όχι οµάδες. Μία οµάδα είναι ένα µονοειδές που κάθε στοιχείο του έχει αντίστροφο στοιχείο. Ο επόµενος ορισµός χαρακτηρίζει τις οµάδες ανάλογα µε το πλήθος των στοιχείων του συνόλου τους. Ορισµός 1.1.6 Η οµάδα (G, ) λέγεται πεπερασµένη (finite) αν το σύνολο G είναι πεπερασµένο, διαφορετικά λέγεται άπειρη (infinite). Το πλήθος των στοιχείων G του συνόλου G λέγεται τάξη (order) της οµάδας G. Ετσι αν G <, τότε η (G, ) είναι πεπερασµένη. Ενώ αν G =, τότε η (G, ) είναι άπειρη. Η οµάδα (S n, ) έχει τάξη n!, ενώ η οµάδα (Z, +) είναι άπειρη. Άπειρες είναι επίσης οι οµάδες (Q, +), (R, +), (C, +), (Q, ), (R, ), (C, ).

Κεφάλαιο 1 Εδάφιο 1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα 17 Παρατήρηση Εχουµε διαπιστώσει µέχρι τώρα ότι η οµάδα είναι µία δυάδα που αποτελείται από ένα σύνολο και µία πράξη. Στο ίδιο σύνολο µπορούν να οριστούν πε- ϱισσότερες από µία πράξεις και διαφορετικές πράξεις στο ίδιο σύνολο δίνουν διαφορετικές αλγεβρικές δοµές. Μία ακόµη σηµαντική διαπίστωση είναι ότι στον ορισµό της οµάδας δεν µας ενδιαφέρει η ϕύση των στοιχείων, π.χ. δε µας ενδιαφέρει αν είναι αριθµοί, ή πίνακες, ή συναρτήσεις, ή κλάσεις ισοδυναµίας, ή στροφές, ή συµµετρίες γεωµετρικών σχηµάτων. Η ϕύση των στοιχείων µας ενδιαφέρει αν έχουµε να εξετάσουµε µία συγκεκριµένη οµάδα π.χ. την οµάδα (Z, +) ή την GL n (Q) κ.ο.κ. Επίσης διαπιστώνουµε ότι για τον ορισµό της οµάδας και τη µελέτη των ϐασικών ιδιοτήτων της, η αριθµητική στο σύνολο Q ή στο R ή στο C είναι ένα κίνητρο που επηρεάζει και τις ιδέες µας αλλά και τους συµβολισµούς µας. Λαµβάνοντας όλα αυτά υπόψη και προκειµένου να έχουµε κατά το δυνατόν απλούστερους συµβολισµούς, στο εξής µία οµάδα ϑα τη συµβολίζουµε µε ένα κεφαλαίο γράµµα του συνόλου της π.χ. G ή A κ.λ.π.. Πράξη της οµάδας ϑα εννοείται ο πολλαπλασιασµός και δε ϑα συµβολίζεται, έτσι ϑα γράφουµε G και όχι (G, ) για την οµάδα, εκτός αν ϑέλουµε να δώσουµε έµφαση στην πράξη. Με e συµβολίζουµε το ουδέτερο στοιχείο της G. Ασκήσεις 1. Να υπολογίσετε το αντίστροφο του στοιχείου ( 1 2 3 4 5 6 7 2 7 3 5 6 4 1 ) της S 7. 2. Να υπολογίσετε τον πίνακα Cayley των οµάδων (Z 4, +), S 3. 3. Να αποδείξετε ότι η οµάδα GL n (Q) είναι αβελιανή αν και µόνον αν n = 1. 4. Να αποδείξετε ότι το σύνολο SL n (Q) = {A GL n (Q) deta = 1} µε πράξη τον πολλαπλασιασµό πινάκων αποτελεί οµάδα. Η οµάδα (SL n (Q), ) λέγεται ειδική γραµµική οµάδα (special linear group) των n n-πινάκων µε στοιχεία από το Q. (Ανάλογα ορίζονται οι οµάδες 5. Να αποδείξετε ότι i. GL 1 (Z) = { 1, 1}, (SL n (Z), ), (SL n (R), ), (SL n (C), ) )

18 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων ii. SL 1 (Q) = SL 1 (R) = SL 1 (Z) = {1}. 6. ίνεται το σύνολο G = {I, A, B, Γ,, E} των συναρτήσεων ενός συνόλου X C που ορίζονται ως εξής : I(x) = x, A(x) = 1 1 x, B(x) = 1 1 x, Γ(x) = 1 x, (x) = 1 x, E(x) = x x 1, x X. Να αποδείξετε ότι το σύνολο G είναι οµάδα µε πράξη τη σύνθεση συναρτήσεων. Να σχηµατίσετε τον πίνακα Cayley της G. Είναι η G αβελιανή ; 7. Αν i είναι ο µιγαδικός αριθµός που ορίζεται από τη σχέση i 2 = 1, να αποδείξετε ότι το σύνολο Q = ( 1 0 0 1 ), ( 1 0 0 1 ), ( 0 1 1 0 ), ( 0 i i 0 ), ( 0 i i 0 ), ( i 0 0 i ), ( i 0 0 i ), ( 0 1 1 0 ), αποτελεί οµάδα µε πράξη τον πολλαπλασιασµό πινάκων. Να σχηµατίσετε τον πίνακα Cayley της Q. 8. Να αποδείξετε ότι δεν είναι πεπερασµένες οι οµάδες (GL 2 (Q), ), (SL 2 (Z), ). 9. Εστω G = G 1 G 2 G n το ευθύ εξωτερικό γινόµενο των οµάδων G i, 1 i n, όπου n 2 ϕυσικός αριθµός. i. Να αποδείξετε ότι η G είναι αβελιανή αν και µόνον αν η G i είναι αβελιανή, για 1 i n. ii. Αν G i = k i, 1 i n, τότε G = k 1 k 2... k n. iii. Η G είναι άπειρη αν µία τουλάχιστον από τις οµάδες G i, 1 i n, είναι άπειρη. 1.2 Βασικές ιδιότητες της έννοιας της Οµάδας Στην παράγραφο αυτή ϑα εξετάσουµε ισοδύναµους ορισµούς της οµάδας και ϐασικές ιδιότητες της οµάδας. Θεώρηµα 1.2.1 Εστω G ένα µη κενό σύνολο και µία πράξη στο G. Η (G, ) είναι οµάδα αν και µόνον αν : i. Η είναι προσεταιριστική. ii. Υπάρχει ένα στοιχείο e G τέτοιο ώστε για κάθε στοιχείο g G. eg = g,

Κεφάλαιο 1 Εδάφιο 1.2 Βασικές ιδιότητες της έννοιας της Οµάδας 19 iii. Για κάθε στοιχείο g G, υπάρχει ένα στοιχείο g 1 G τέτοιο ώστε g 1 g = e. Απόδειξη : Αν η (G, ) είναι οµάδα, τότε από τον Ορισµό 1.1.1 προκύπτουν αµέσως τα i), ii), iii) του Θεωρήµατος. Αντίστροφα, έστω ότι ισχύουν τα i), ii), iii). Πρέπει να αποδείξουµε ότι, για κάθε g G, ισχύουν οι ge = g gg 1 = e. Από το iii), για κάθε στοιχείο g G, έχουµε Εποµένως g 1 g = e (g 1 g)g 1 = eg 1 g 1 (gg 1 ) = g 1 (g 1 ) 1 [g 1 (gg 1 )] = (g 1 ) 1 g 1 [(g 1 ) 1 g 1 ](gg 1 ) = e e(gg 1 ) = e gg 1 = e g 1 g = e = gg 1, (1.2.1) δηλαδή αποδείχθηκε το iii) του Ορισµού 1.1.1. Χρησιµοποιώντας τη σχέση (1.2.1), έχουµε ge = g(g 1 g) = (gg 1 )g = eg = g, δηλαδή ge = g, (1.2.2) για κάθε g G. Τώρα από το ii) και τη σχέση (1.2.2) προκύπτει ότι, για κάθε g G, eg = g = ge, δηλαδή το ii) του Ορισµού 1.1.1 και ολοκληρώθηκε η απόδειξη. Ανάλογα µε το Θεώρηµα 1.2.1 µπορούµε να αποδείξουµε τον επόµενο ισοδύναµο ορισµό της έννοιας της οµάδας. Θεώρηµα 1.2.2 Εστω G ένα µη κενό σύνολο και µία πράξη στο G. Η (G, ) είναι οµάδα αν και µόνον αν :

20 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων i. Η είναι προσεταιριστική. ii. Υπάρχει ένα στοιχείο e G τέτοιο ώστε ge = g, για κάθε στοιχείο g G. iii. Για κάθε στοιχείο g G, υπάρχει ένα στοιχείο g 1 G τέτοιο ώστε gg 1 = e. Το στοιχείο e της G που ικανοποιεί το ii) του Θεωρήµατος 1.2.1 λέγεται αριστερό ουδέτερο στοιχείο (left unit element) της (G, ), ενώ το στοιχείο g 1 G που ικανοποιεί το iii) του ίδιου Θεωρήµατος λέγεται αριστερό αντίστροφο (left inverse) του στοιχείου g G. Ετσι ο ισχυρισµός του Θεωρήµατος 1.2.1 είναι ότι µία ηµιοµάδα είναι οµάδα αν και µόνον αν υπάρχει αριστερό ουδέτερο στοιχείο στο G και κάθε στοιχείο g G έχει αριστερό αντίστροφο. Ανάλογα ένα στοιχείο e της ηµιοµάδας (G, ) λέγεται δεξιό ουδέτερο στοιχείο (right unit) της (G, ) αν ικανοποιείται το ii) του Θεωρήµατος 1.2.2. Ενώ το στοιχείο g 1 G που ικανοποιεί το iii) του Θεωρήµατος 1.2.2 λέγεται δεξιό αντίστροφο (right inverse) του στοιχείου g G. Ετσι ο ισχυρισµός του Θεωρήµατος 1.2.2 είναι, ότι µία ηµιοµάδα (G, ) είναι οµάδα αν και µόνον αν υπάρχει δεξιό ουδέτερο στοιχείο στο G και κάθε στοιχείο του G έχει δεξιό αντίστροφο στοιχείο στο G. Συνεχίζουµε µε την εξέταση ϐασικών ιδιοτήτων των οµάδων και µε έναν ακόµα ισοδύναµο ορισµό της έννοιας της οµάδας. Πρόταση 1.2.3 Σε κάθε οµάδα (G, ) ισχύει η απλοποίηση και από αριστερά και από δεξιά, δηλαδή ισχύουν οι επόµενες προτάσεις : i. Αν αβ = αγ, για α, β, γ G, τότε β = γ ii. Αν αβ = γβ, για α, β, γ G, τότε α = γ Απόδειξη : i) Εστω στοιχεία α, β, γ στοιχεία της οµάδας (G, ), από τη σχέση αβ = αγ α 1 (αβ) = α 1 (αγ) (α 1 α)β = (α 1 α)γ eβ = eγ β = γ

Κεφάλαιο 1 Εδάφιο 1.2 Βασικές ιδιότητες της έννοιας της Οµάδας 21 ii). Οµοια αποδεικνύεται η ii). Ετσι παρατηρούµε ότι η απλοποίηση επιτρέπεται στις οµάδες (Z, +), (C, +), (C {0}, ). Οµως στην αλγεβρική δοµή (C, ) δεν επιτρέπεται η α- πλοποίηση αφού από τη σχέση 0 α = 0 β α = β. Πρόταση 1.2.4 Εστω (G, ) µία οµάδα. i. Για κάθε στοιχείο g G ισχύει (g 1 ) 1 = g. ii. Αν g 1, g 2,..., g n είναι τυχαία στοιχεία του G, τότε Απόδειξη : i) Εστω g G. Από τη σχέση (g 1 g 2... g n ) 1 = gn 1... g2 1 g1 1. gg 1 = e προκύπτει, αφού το αντίστροφο στοιχείο ορίζεται µοναδικά, ότι το g είναι το αντίστροφο του στοιχείου g 1. Άρα (g 1 ) 1 = g. ii) Επειδή ισχύει ο γενικευµένος προσεταιριστικός νόµος (ϐλ. Παράρτηµα Α) το στοιχείο g 1 g 2... g n ορίζεται µοναδικά στο σύνολο G χωρίς να υπάρχουν παρενθέσεις, για n N {0}. Παρατηρούµε ότι Εποµένως Άρα ολοκληρώθηκε η απόδειξη. g 1 n g 1 n 1... g 1 2 g 1 1 g 1 g 2... g n = e. (g 1 g 2... g n ) 1 = g 1 n g 1 n 1... g 1 2 g 1 1. Πρόταση 1.2.5 Εστω (G, ) µία οµάδα. i. Η αντιστοιχία είναι αµφιµονότιµη και επί. ϕ G G, g g 1

22 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων ii. Εστω α ένα στοιχείο της G, τότε οι αντιστοιχίες f 1 G G, f 2 G G, g αg g gα είναι αµφιµονότιµες και επί συναρτήσεις. Απόδειξη : i. Η ϕ είναι αµφιµονότιµη συνάρτηση, γιατί αν g 1, g 2 G, τότε g 1 = g 2 g 1 1 g 1 = g 1 1 g 2 e = g 1 1 g 2 eg 1 2 = g 1 1 g 2g 1 2 g 1 2 = g 1 1. Η ϕ είναι επί συνάρτηση γιατί, αν g είναι τυχαίο στοιχείο της G, τότε g 1 G και σύµφωνα µε την Πρόταση 1.2.4 ϕ(g 1 ) = (g 1 ) 1 = g. Άρα η ϕ είναι αµφιµονότιµη και επί συνάρτηση. ii. Η f 1 είναι αµφιµονότιµη συνάρτηση γιατί από τον ορισµό της πράξης και την Πρόταση 1.2.3 έχουµε, για g 1, g 2 G, g 1 = g 2 αg 1 = αg 2 f 1 (g 1 ) = f 1 (g 2 ). Η f 1 είναι επί συνάρτηση γιατί αν g G, τότε υπάρχει το στοιχείο α 1 g G ώ- στε f 1 (α 1 g) = α(α 1 g) = g. Άρα η f 1 είναι αµφιµονότιµη και επί συνάρτηση. Οµοια αποδεικνύεται ότι η f 2 είναι επίσης αµφιµονότιµη και επί συνάρτηση. Παρατήρηση : Η Πρόταση 1.2.5, i) ουσιαστικά µας λέει ότι όταν ένα στοιχείο της οµάδας G διατρέχει όλα τα στοιχεία της G, τότε και το αντίστροφο του διατρέχει όλα τα στοιχεία της G. Το ii) της Πρότασης 1.2.5 µας προσφέρει µία ενδιαφέρουσα πληροφορία για τον πίνακα Cayley µίας οµάδας (G, ). Μία γραµµή αυτού του πίνακα, έστω αυτή που το αριστερό στοιχείο της είναι το α G, έχει ως στοιχεία τα α g, όπου το g διατρέχει όλα τα στοιχεία της G. Αυτά τα στοιχεία είναι διακεκριµένα και ακριβώς όλα τα στοιχεία της G, σύµφωνα µε τις ιδιότητες της συνάρτησης f 1 της Πρότασης 1.2.5. Ετσι κάθε γραµµή του πίνακα Cayley της (G, ) περιέχει ακριβώς όλα τα στοιχεία του G. Ανάλογο συµπέρασµα ισχύει για τις στήλες του πίνακα Cayley της (G, ): Κάθε στήλη περιέχει ακριβώς όλα τα στοιχεία του G.

Κεφάλαιο 1 Εδάφιο 1.2 Βασικές ιδιότητες της έννοιας της Οµάδας 23 Παραδείγµατα 1.2.6 1. Υπάρχει οµάδα µε ένα µόνον στοιχείο ; Μία τέτοια οµάδα έχει σύνολο το {e} και πίνακα Cayley τον e e e Πίνακας 1.8 Βέβαια δεν υπάρχει οµάδα µε σύνολο το. Μπορούµε να κατασκευάσουµε µία οµάδα µε δύο στοιχεία, έστω G = {e, g}; Αν υπάρχει µία τέτοια οµάδα ϑα έχει πίνακα Cayley τον ακόλουθο : e g e e g g g e Πίνακας 1.9 δηλαδή αναγκαστικά g g = e, ισοδύναµα g = g 1. Κατασκευάσαµε εποµένως µία οµάδα µε δύο στοιχεία. Παρατηρούµε ότι η (Z 2, +) είναι µία οµάδα µε δύο στοιχεία (ϐλ. Παράδειγµα 1.1.2.9). Με την παραπάνω διαδικασία µπορούµε να κατασκευάσουµε µία οµάδα µε τρία στοιχεία. Πράγµατι, έστω G = {e, α, β} το σύνολο της οµάδας (G, ) µε τρία στοιχεία, µε e το ουδέτερο στοιχείο της. Ο πίνακας Cayley της (G, ) σύµφωνα µε το περιεχόµενο της παραπάνω Παρατήρησης πρέπει να είναι ο ακόλουθος e α β e e α β α α β e β β α e Πίνακας 1.10 διότι σε κάθε γραµµή και σε κάθε στήλη του πίνακα πρέπει να υπάρχουν όλα τα στοιχεία του G. Εποµένως για µία τέτοια οµάδα έχουµε τις σχέσεις αα = β, ααα = e, αβ = e = βα, δηλαδή α 1 = β. 2. Στο σύνολο A = {e, α, β, γ} ορίζουµε µία πράξη όπως περιγράφεται στον ακόλουθο πίνακα Cayley

24 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων e α β γ e e α β γ α α β γ e β β γ e α γ γ e α β Πίνακας 1.11 Είναι ϕανερό ότι το e είναι το ουδέτερο στοιχείο της (A, ). Η πράξη είναι αντιµεταθετική, αφού ο πίνακας Cayley είναι συµµετρικός. Παρατηρούµε ότι α 1 = γ, γ 1 = α, β 1 = β. Τέλος εύκολα, αλλά µε δουλειά ϱουτίνας, µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι η πράξη είναι προσεταιριστική. Άρα η (A, ) είναι µία αβελιανή οµάδα τάξης 4. 3. Θεωρούµε το σύνολο G = { ( α α 0 0 ) α C /{0}}. Παρατηρούµε ότι ο πολλαπλασιασµός 2 2- πινάκων ορίζεται στο G, αφού για α, β C /{0} ( α α 0 0 )( β β 0 0 ) = ( αβ αβ 0 0 ) G. Ετσι η (G, ) είναι αλγεβρική δοµή. Ο πολλαπλασιασµός πινάκων όταν ο- ϱίζεται είναι προσεταιριστική πράξη. Άρα η πράξη αυτή στο G είναι προσεταιριστική. Είναι ϕανερό ότι η πράξη είναι αντιµεταθετική στο G. Ακόµη ϐλέπουµε ότι ( 1 1 0 0 )( α α 0 0 ) = ( α α 0 0 ) G και ( α 1 α 1 0 0 )( α α 0 0 ) = ( 1 1 0 0 ) G, δηλαδή το ( 1 1 ) είναι το αριστερό µοναδιαίο στοιχείο και το τυχαίο στοιχείο ( α α 0 0 ) G έχει αριστερό αντίστροφο το ( α 1 α 1 ) G. Εποµένως 0 0 0 0 η (G, ) είναι αβελιανή οµάδα. Τέλος G =, δηλαδή η (G, ) είναι άπειρη οµάδα. Θεώρηµα 1.2.7 Η αλγεβρική δοµή (G, ) είναι οµάδα αν και µόνον αν i. Η είναι προσεταιριστική, δηλαδή η (G, ) είναι ηµιοµάδα.

Κεφάλαιο 1 Εδάφιο 1.2 Βασικές ιδιότητες της έννοιας της Οµάδας 25 ii. Κάθε µία από τις εξισώσεις α x = β και x α = β, για όλα τα α, β G, έχει λύση στο σύνολο G. Απόδειξη : Ας υποθέσουµε ότι η (G, ) είναι οµάδα, ϕυσικά η i) ισχύει από τον ορισµό της οµάδας. Για την απόδειξη του ii) παρατηρούµε ότι για α, β G αx = β α 1 αx = α 1 β x = α 1 β, δηλαδή η εξίσωση αx = β έχει λύση στο σύνολο το α 1 β, η οποία είναι µοναδική αφού η είναι συνάρτηση. Οµοια η x α = β έχει, επίσης µοναδική, λύση στο G την x = βα 1. Αντίστροφα τώρα υποθέτουµε ότι ισχύουν τα i) και ii). Θα αποδείξουµε τα i) και ii) του Θεωρήµατος 1.2.1. Υποθέτουµε ότι οι εξισώσεις αx = β και xα = β έχουν λύση στο G, για όλα τα α, β G. Η εξίσωση αx = β για α = β, ϐεβαιώνει ότι υπάρχει στοιχείο ε G, ώστε εα = α. Θα αποδείξουµε ότι το ε είναι αριστερό ουδέτερο στοιχείο της (G, ), δηλαδή εg = g, g G. Η εξίσωση αx = g έχει λύση στο G, έστω την ω, για το τυχαίο g G. ηλαδή αω = g, για g G. Εποµένως, για κάθε g G, έχουµε εg = ε(αω) = (εα)ω = αω = g. Με άλλα λόγια το ε είναι αριστερό ουδέτερο στοιχείο της (G, ), αυτό αποδεικνύει το i) του Θεωρήµατος 1.2.1. Τέλος, για το τυχαίο στοιχείο g G, υπάρχει ένα στοιχείο g 1 G που είναι λύση της εξίσωσης xg = ε. Αυτό σηµαίνει ότι το g 1 είναι το αριστερό συµµετρικό στοιχείο του g στην G, αυτό αποδεικνύει το ii) του Θεωρήµατος 1.2.1. Άρα η (G, ) είναι οµάδα. Παρατήρηση : Από την Πρόταση 1.2.5 και την Παρατήρηση που την ακολουθεί, είδαµε ότι σε κάθε γραµµή και σε κάθε στήλη του πίνακα Cayley µίας οµάδας υπάρχουν ακριβώς όλα τα στοιχεία της οµάδας. Το Θεώρηµα 1.2.7 απαντά καταφατικά στο ερώτηµα : Αν έχουµε τον πίνακα Cayley µίας ηµιοµάδας, δηλαδή η πράξη είναι προσεταιριστική, και σε κάθε γραµµή και σε κάθε στήλη του πίνακα ϐρίσκονται όλα τα στοιχεία του συνόλου της ηµιοµάδας, τότε συµπεραίνουµε ότι η αλγεβρική δοµή είναι οµάδα ; Η απάντηση είναι ναι, γιατί οι λύσεις αx = β είναι τα στοιχεία της γραµµής του πίνακα που ξεκινάει από το α και οι λύσεις της xα = β είναι τα στοιχεία της στήλης του πίνακα που ξεκινάει από το α. Ο αναγνώστης µπορεί να συµπεράνει ότι κάθε πίνακας Sudoku δεν είναι πίνακας Cayley µίας οµάδας, κάποιοι από αυτούς είναι.

26 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Παραδείγµατα 1.2.8 1. Μπορούµε να υπολογίσουµε τον πίνακα Cayley µίας οµάδας τάξης 4; Ας εξετάσουµε το ερώτηµα. Ηδη το Παράδειγµα 2 της σελίδας 23 δίνει έναν πίνακα Cayley µίας οµάδας τάξης 4. Οπως διαπιστώσαµε η οµάδα προσδιορίζεται από το σύνολο και την πράξη που ορίζεται σε αυτό. Μήπως σε ένα σύνολο µε 4 στοιχεία µπορούµε να ορίσουµε και µία άλλη πράξη ώστε αυτό να αποτελεί επίσης οµάδα ; Λοιπόν, ας ϑεωρήσουµε µία οµάδα (G, ) µε σύνολο G = {e, α, β, γ} και την πράξη που ορίζεται σε αυτό ας την ονοµάσουµε πολλαπλασιασµό και ας τη συµβολίσουµε µε, έτσι αν x, y G, x y είναι το γινόµενο των στοιχείων αυτών στο G. Με e συµβολίζουµε το µοναδιαίο στοιχείο της (G, ). Το στοιχείο α α δεν µπορεί να είναι το α (ϐλέπε Πρόταση 1.2.5 και την Παρατήρηση που την ακολουθεί). Εποµένως το α α µπορεί να είναι ένα από τα στοιχεία e, β, γ. ας υποθέσουµε ότι α α = e. Τότε το α β δεν µπορεί να είναι κανένα από τα στοιχεία α, e και β. Άρα η µόνη δυνατή τιµή για το α β είναι το γ και τότε α γ = β. Το στοιχείο β α δεν µπορεί να είναι κανένα από τα β, α και e. Άρα β α = γ. Τότε, όµως, το στοιχείο γ α µπορεί να πάρει µόνον την τιµή β. Το στοιχείο β β µπορεί να λάβει την τιµή e ή την τιµή α. Αν β β = e, τότε β γ = α, γ β = α, γ γ = e. Αν β β = α, τότε β γ = e, γ β = e, γ γ = α. Ετσι αν α α = e, οδηγούµαστε στους Πίνακες 1.12 και 1.13 e α β γ e e α β γ α α e γ β β β γ e α γ γ β α e e α β γ e e α β γ α α e γ β β β γ α e γ γ β e α Πίνακας 1.12 Πίνακας 1.13 Ας υποθέσουµε τώρα ότι α α = β, τότε καταλήγουµε στον Πίνακα 1.14 και αν α α = γ, τότε καταλήγουµε στον Πίνακα 1.15. e α β γ e e α β γ α α β γ e β β γ e α γ γ e α β e α β γ e e α β γ α α γ e β β β e γ α γ γ β α e Πίνακας 1.14 Πίνακας 1.15 Ετσι µπορούµε να ορίσουµε τέσσερις πράξεις στο σύνολο G ώστε να αποτελεί οµάδα. Θα δούµε αργότερα πόσο διαφορετικές είναι αυτές οι οµάδες µε πίνα-

Κεφάλαιο 1 Εδάφιο 1.2 Βασικές ιδιότητες της έννοιας της Οµάδας 27 κα Cayley τους εµφανιζόµενους παραπάνω. Βέβαια από την διαδικασία που ακολουθήσαµε η ϕύση των στοιχείων του συνόλου G δεν παίζει ουσιαστικό ϱόλο. Από τους Πίνακες 1.12-1.15 παρατηρούµε ότι οι εµφανιζόµενες οµάδες είναι αβελιανές. Ετσι συµπαιρένουµε ότι κάθε οµάδα τάξης 4 είναι αβελιανή. Οµως µπορούµε να οδηγηθούµε στο συµπέρασµα αυτό χωρίς τον υπολογισµό των πινάκων 1.12-1.15, όπως ϑα δούµε στο επόµενο παράδειγµα. 2. Κάθε οµάδα τάξης 4 είναι αβελιανή. Πράγµατι : έστω G = {e, α, β, γ} µία οµάδα τάξης 4. Τότε το στοιχείο α β µπορεί να λάβει µόνον τις τιµές e ή γ (αν π.χ. α β = α, τότε β = e). Αν α β = e, τότε β α = e, από τον ορισµό της οµάδας. Άρα α β = β α. Εστω α β = γ. Τότε το β α µπορεί επίσης να λάβει την τιµή e ή γ. Αν β α = e, τότε α β = e. Αυτό, όµως, είναι αδύνατον αφού α β = γ. Εποµένως η µόνη δυνατή περίπτωση είναι β α = γ, οπότε α β = β α. Με τον ίδιο τρόπο συµπαιρένουµε ότι α γ = γ α και β γ = γ β. Άρα η G είναι αβελιανή. 3. Εστω (G, ) µία οµάδα τάξης 5 της οποίας δίνεται στον Πίνακα 1.16 τµήµα του πίνακα Cayley. e α β γ δ e e α β γ δ α α β γ e β β δ α γ γ δ α δ δ Πίνακας 1.16 Μπορούµε να τον συµπληρώσουµε ; Η απάντηση είναι ναι. Ας το επιχειρήσουµε. Το στοιχείο α γ οφείλει να είναι το δ, ώστε στη δεύτερη γραµµή να είναι όλα τα στοιχεία της G. Το στοιχείο γ δ µπορεί να είναι µόνον το e, α- ϕού δεν µπορεί να είναι κανένα από τα β, γ, δ που ϐρίσκονται ήδη στην τρίτη στήλη, ούτε το α που ϐρίσκεται στην τέταρτη γραµµή. Εποµένως το στοιχείο γ δ πρέπει να είναι το β, το στοιχείο δ β πρέπει να είναι το α και το στοιχείο δ δ πρέπει να είναι το γ. Το στοιχείο β α έχει τη δυνατότητα να είναι το e ή το γ. Αν είναι το e, τότε το στοιχείο β γ πρέπει να είναι το γ. Αυτό, όµως, είναι αδύνατον γιατί υπάρχει το γ στην τέταρτη στήλη. Εποµένως β α = γ και β γ = e. Τέλος είναι ϕανερό ότι δ α = e και δ γ = β. Ετσι ο πίνακας Cayley

28 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων της δοθείσας οµάδας είναι ο Πίνακας 1.17 e α β γ δ e e α β γ δ α α β γ δ e β β γ δ e α γ γ δ e α β δ δ e α β γ Πίνακας 1.17 Από τον Πίνακα 1.17 προκύπτει αµέσως ότι η (G, ) είναι αβελιανή. Το επόµενο συµπέρασµα µας προσφέρει µία άλλη εφαρµογή του Θεωρή- µατος 1.2.7. Η αποδεικτική µέθοδος που ϑα ακολουθήσουµε χρησιµοποιείται συχνά προκειµένου να διαπιστώσουµε αν µία ηµιοµάδα είναι οµάδα. Πρόταση 1.2.9 Εστω (G, ) µία ηµιοµάδα και G = {g 1, g 2,..., g n }, για n <. Αν η απλοποίηση στο σύνολο G επιτρέπεται από αριστερά και δεξιά τότε η (G, ) είναι οµάδα. Απόδειξη : Εστω (G, ) µία ηµιοµάδα µε G = {g 1, g 2,..., g n }. Σχηµατίζουµε τα στοιχεία αg 1, αg 2,..., αg n. Τα στοιχεία αυτά ανήκουν προφανώς στο σύνολο G και επιπλέον είναι διακεκριµένα, εφόσον επιτρέπεται η απλοποίηση στην G από αριστερά. Πράγµατι, αν για i j, 1 i, j n, ισχύει αg i = αg j g i = g j. Με άλλα λόγια G = {g 1, g 2,..., g n } = {αg 1, αg 2,..., αg n }, δηλαδή, για το στοιχείο αg i G, υπάρχει ένα στοιχείο g j G ώστε αg i = g j. Αυτό σηµαίνει ότι η εξίσωση xg i = g j, 1 i, j n, έχει λύση στην (G, ). Οµοια εφόσον επιτρέπεται η απλοποίηση στην (G, ) από δεξιά, καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι η εξίσωση g i x = g j, 1 i, j n, έχει λύση στην (G, ). Τώρα ο ισχυρισµός της Πρότασης προκύπτει αµέσως από το Θεώρηµα 1.2.7, αφού η πράξη είναι προσεταιριστική. Θα πρέπει να παρατηρήσουµε ότι η Πρόταση 1.2.9 δεν ισχύει όταν το σύνολο G δεν είναι πεπερασµένο. Για παράδειγµα το σύνολο 2Z /{0}, όπου 2Z = {2κ κ Z}, εφοδιασµένο µε την πράξη του πολλαπλασιασµού είναι µία αβελιανή ηµιοµάδα, που επιτρέπεται η απλοποίηση από αριστερά και

Κεφάλαιο 1 Εδάφιο 1.3 υνάµεις στοιχείων οµάδας 29 συνεπώς από δεξιά. Πράγµατι, αν α, κ, λ Z {0}, τότε από τις ιδιότητες των ακεραίων ισχύει 2α 2κ = 2α 2λ κ = λ 2κ = 2λ. Οµως η (2Z /{0}, ) δεν είναι οµάδα γιατί δεν υπάρχει µοναδιαίο στοιχείο και ϐέβαια κάθε στοιχείο του 2Z δεν έχει αντίστροφο. Ασκήσεις 1. Να αποδείξετε ότι σε µία οµάδα (G, ) οι εξισώσεις αx = β και xα = β, για α, β G, έχουν µοναδική λύση στο G. 2. Να συµπληρώσετε τον Πίνακα 1.18 ώστε να ϐρείτε τον πίνακα Cayley της οµάδας (G, ), για G = {e, α, β, γ, δ, ε}, e α β γ δ ε e e α β γ δ ε α α β ε δ β β γ γ δ α δ δ ε ε Πίνακας 1.18 1.3 υνάµεις στοιχείων οµάδας Από τον γενικευµένο προσεταιριστικό νόµο προκύπτει ότι σε µία οµάδα (G, ) ορίζεται το στοιχείο g 1 g 2 g n G, για τυχαίο ϕυσικό αριθµό n και για ο- ποιαδήποτε στοιχεία g 1, g 2,..., g n G. Η ϑέση των παρενθέσεων δεν έχει σηµασία εξαιτίας του γενικευµένου προσεταιριστικού νόµου και για αυτόν τον λόγο παραλείπονται. Βεβαίως η σειρά των στοιχείων g 1, g 2,..., g n σε αυτή την παράσταση είναι απαραίτητη, εφόσον η (G, ) δεν είναι αβελιανή. Ετσι το στοιχείο g 1 g 2 g n ορίζεται µοναδικά στο σύνολο G. Αν g 1 = g 2 = = g n = g για κάποιο g G, τότε το στοιχείο gg g, για n πλήθος στοιχεία g, συµβολίζεται ως g n. Ο συµβολισµός αυτός προκύπτει από τον αντίστοιχο συµβολισµό για το γινόµενο αριθµών. Το στοιχείο g n λέγεται n-οστή δύναµη (power) του στοιχείου g G, για τον ϕυσικό αριθµό n. Το αντίστροφο του στοιχείου g n, δηλαδή το (g n ) 1, είναι ϕανερό ότι είναι

30 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων το g 1 g 1 g 1, µε n πλήθος στοιχεία g, αφού (gg g)(g 1 g 1 g 1 ) = e. n ϕορές n ϕορές Άρα (g n ) 1 = (g 1 ) n, για n > 0. Συµφωνούµε, όπως στο γινόµενο αριθµών, ότι g 0 = e, όπου e είναι το ουδέτερο στοιχείο της οµάδας (G, ). Ορίζουµε g n = (g 1 ) n, για κάθε n > 0. Ο ορισµός αυτός µιµείται τον αντίστοιχο των αριθµών. Ετσι οδηγούµαστε στον ακόλουθο ορισµό. Ορισµός 1.3.1 Εστω (G, ) και g G. Ορίζουµε τις δυνάµεις g n, n Z, ως εξής : gg g, αν n N {0} g n = n ϕορές e, αν n = 0 (g 1 ) n, αν n < 0 Αν η πράξη συµβολίζεται προσθετικά, τότε για τα στοιχεία της οµάδας (G, +) έχουµε τον συµβολισµό ng = g + g + +g, αν n N {0} n ϕορές 0, αν n = 0 ( n)( g), αν n < 0 Το επόµενο Θεώρηµα συγκεντρώνει τις ϐασικές ιδιότητες των δυνάµεων στοιχείων µίας οµάδας. Θεώρηµα 1.3.2 Εστω (G, ) µία οµάδα και g G. Ισχύουν οι επόµενες προτάσεις : i. (g 1 ) n = (g n ) 1, για κάθε n Z. ii. g n g m = g n+m, για κάθε n, m Z. iii. (g n ) m = g nm, για κάθε n, m Z. Απόδειξη : Τα i), ii), iii) αποδεικνύονται επαγωγικά ως προς n, m N /{0}. Οι αποδείξεις αυτές αφήνονται για τον αναγνώστη.

Κεφάλαιο 1 Εδάφιο 1.3 υνάµεις στοιχείων οµάδας 31 Μένει να αποδείξουµε τις προτάσεις αυτές για αρνητικούς ακέραιους. i. Εστω n > 0 και g G. Τότε από τον Ορισµό 1.3.1, την i), για ϕυσικό αριθµό n, και την Πρόταση 1.2.4 ισχύει (g n ) 1 = [(g 1 ) n ] 1 = ((g n ) 1 ) 1 = g n (1.3.1) και ακόµη (g 1 ) n = ((g 1 ) 1 ) n = g n. (1.3.2) Από τις σχέσεις (1.3.1), (1.3.2) προκύπτει ότι (g n ) 1 = (g 1 ) n, για n > 0 δηλαδή αποδείχθηκε η i). ii. Θα αποδείξουµε την περίπτωση που n < 0 και m > 0. Οι άλλες περιπτώσεις αποδεικνύονται ανάλογα και αφήνονται για τον αναγνώστη. Εστω n = s, για s > 0 και m > s, τότε g n g m = g s g s+(m s) = g s g s g m s = g m s = g m+n. Αν m = s, τότε g n g m = g s g s = e = g 0 = g n+m. Αν m < s, τότε g n g m = g s g m = (g s ) 1 g m = (g s m+m ) 1 g m = = (g s m g m ) 1 g m = (g s m ) 1 (g m ) 1 g m = = (g s m ) 1 = g m s = g m+n = g n+m. Αποδείξαµε το ii). iii. Αφήνεται ως άσκηση για τον αναγνώστη. Παραδείγµατα 1.3.3 1. Εστω (G, ) µία οµάδα και g G τέτοιο ώστε g 2 = e. Παρατηρούµε ότι g 2 = e g g = e g g g 1 = e g 1 g = g 1. Ετσι, ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε ένα στοιχείο της οµάδας να ισούται µε το αντίστροφό του, είναι το τετράγωνό του να ισούται µε το ουδέτερο στοιχείο της οµάδας.

32 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Θα δούµε αµέσως ότι αν g 2 = e για κάθε στοιχείο του G, τότε αναγκαστικά η (G, ) είναι αβελιανή. Πράγµατι, είδαµε ότι g 2 = e g = g 1. Εστω α, β G, τότε (α β) 2 = e α β = (α β) 1 = β 1 α 1 = β α, δηλαδή α β = β α, για όλα τα στοιχεία α, β G. Άρα η (G, ) είναι αβελιανή. Καταλήγουµε έτσι στην επόµενη πρόταση Πρόταση 1.3.4 Εστω (G, ) µία οµάδα. Τότε : i. Για ένα g G, g = g 1 αν και µόνον αν g 2 = e. ii. Αν g 2 = e, για κάθε g G, τότε η (G, ) είναι αβελιανή. 2. Θα αποδείξουµε ότι αν (αβ) 2 = α 2 β 2 για όλα τα στοιχεία α, β µίας οµάδας (G, ), τότε η οµάδα είναι αβελιανή. Πράγµατι η σχέση (αβ) 2 = α 2 β 2 αβαβ = ααββ βα = αβ, αφού επιτρέπεται η απλοποίηση από αριστερά και από δεξιά σε κάθε οµάδα. Άρα η (G, ) είναι αβελιανή. Ασκήσεις 1. Να ολοκληρώσετε την απόδειξη του Θεωρήµατος 1.3.2. 2. ίνονται δύο στοιχεία α, β µιας οµάδας G τέτοια ώστε αβ = βα. Να αποδείξετε ότι και τα στοιχεία gαg 1, gβg 1 της G, για κάθε g G, επίσης αντιµετατίθενται. 3. Επαγωγικά να αποδείξετε ότι αν α, g είναι στοιχεία µιας οµάδας G, τότε (α 1 gα) n = α 1 g n α. 4. Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα και g G. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας ϕυσικός αριθµός κ 0 τέτοιος ώστε g κ = e. 5. Αν α, β είναι στοιχεία µίας οµάδας G τέτοια ώστε β 6 = e και αβ = β 4 α, να αποδείξετε ότι β 3 = e και αβ = βα. 6. ίνονται δύο στοιχεία α, β µιας οµάδας G τέτοια ώστε αβ = βα κ, όπου κ είναι ένας σταθερός ϕυσικός αριθµός διάφορος του µηδενός. Να αποδείξετε επαγωγικά ότι i. α n β = βα κn, n N, ii. αβ n = β n α κn, n N. 7. Να αποδείξετε ότι αν σε µία οµάδα G ισχύει (αβ) n = α n β n για τρεις διαδοχικούς ακέραιους αριθµούς n, τότε η G είναι αβελιανή.