Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1
Μη- Σχετικιστική Κβαντομηχανική Η μη- σχετικιστική έκφραση για την ενέργεια: Στην QM αντιστοιχούμε την ενέργεια και την ορμή με Τελεστές: καταλήγοντας στη εξίσωση του Schrödinger (για απλότητα V=0) όπου και (S1) η οποία επιδέχεται ως λύσεις, για το ελεύθερο σωμάτιο, το επιπεδο κύμα: Η S είναι πρωτης τάξης σε χρονικές παραγώγους και δεύτερης τάξης σε χωρικές παραγώγους με συνέπεια να ΜΗΝ ΕΙΝΑΙ Lorentz invariant. Στα επόμενα θα χρησιμοποιήσουμε την πυκνότητα και το ρεύμα πιθανότητας. Για την μη- σχετικιστική περίπτωση ορίζονται ως ακολούθως: (S1)* (S2) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 2
(S1) (S2) Συγκρίνωντας με την εξίσωση συνέχειας Καταλήγουμε στις ακόλουθες εκφράσεις για την πυκνότητα και το ρεύμα πιθανότητας Για το ελευθερο σωμάτιο and Ο αριθμός σωματίων ανά μονάδα όγκου είναι! Για σωματια ανά μ.ο. που κινούνται με ταχύτητα, σωμάτια διέρχονται ανά μονάδα επιφάνειας στη μονάδα του χρόνου (ροή σωματίων). Συνεπώς είναι διάνυσμα με την διεύθυνση της ταχύτητας και μέτρο ίσο με την ροή. Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 3
Η εξίσωση Klein- Gordon Εφαρμόζοντας Στην σχετικιστική έκφραση για την ενέργεια: (KG1) καταλήγει στην εξίσωση Klein- Gordon : (KG2) Χρησιμοποιώντας Η KG εκφράζεται συνοπτικά (KG3) Για το ελεύθερο σωμάτιο,, η η KG εξίσωση δίνει: Ως αναμένεται (από την KG1), η KG έχει λύσεις αρνητικής ενέργειας Κλασικά, οι αρνητικές ενεργειακές λύσεις δεν είναι αποδεκτές. Αλλά για την KG υπάρχει επιπλέον το πρόβλημα με την πυκνότητα πιθανότητας Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 4
Επαναλαμβάνουμε την ίδια μεθοδολογία για να ορίσουμε την πυκνότητα και ρεύμα πιθ.: (KG2)* (KG4) Συγκρίνοντας με την εξίσωση συνέχειας, καταλήγουμε ότι: Για επίπεδο κύμα και Η πυκνότητα σωματίων είναι ανάλογη του E. Αυτό είναι συνέπεια της σχετικιστικής έκφρασης για την ενέργεια (θυμηθείτε ότι δείξαμε πως εάν η πυκνότητα είναι 1/V σωμάτια στο σύστημα κέντρου μάζας, θα εμφανισθεί ως E/V στο σύστημα που το σωμάτιο έχει ενέργεια E, λόγω της συστολής μήκους). Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 5
Η Εξίσωση Dirac Ιστορικά, η εξίσωση Klein- Gordon αντιμετωπίσθηκε με σκεπτικισμό λόγω δύο σημαντικών προβλημάτων: Λύσεις με αρνητικη ενέργεια Σε αρνητικές ενέργειες αντιστοιχεί αρνητική πυκνότητα σωματιδίων Στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου ( Quantum Field Theory) αυτά τα προβλήματα ξεπερνιούνται και η εξίσωση KG χρησιμοποιείται για να εκφράζει spin- 0 σωμάτια (ως πολυ- σωματιδιακές, κβαντικές διεγέρσεις ενός βαθμωτού πεδίου) Ωστόσο: Ο Dirac (1928) αναζήτησε νέα έκφραση για την σχετικιστική κβαντομηχανική, η οποία να καταλήγει σε θετικές πυκνότητες σωματιδίων. Η ομώνυμη κυματική εξίσωση έχει λύσεις οι οποίες, αφενός λύνουν το πρόβλημα τις πυκνότητας, περιγράφουν αντι- σωμάτια και επιπλέουν περιγράφουν το spin και μαγνητική ροπή του e Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 6
Η Εξίσωση Dirac Schrödinger eqn: Klein- Gordon eqn: 1 η τάξη σε 2 2 τάξη σε 2 η τάξη παντού Ο Dirac αναζήτησε εναλλακτική εξίσωση που να είναι 1 η τάξη παντού: (D1) όπου είναι ο Hamiltonian Τελεστής και, Αναλύοντας την (D1) : και εφαρμόζοντας δύο φορές τους τελεστές Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 7
Αλλά για να είναι συνεπής με την σχετικότητα, θα πρέπει ένα ελεύθερο σωμάτιο να υπακούει στην,, δηλ. θα πρέπει να ικανοποιεί την Klein- Gordon Προφανώς, για να είναι συμβατή η Dirac με την KG, θα πρέπει: (D2) Προφανώς, τα σύμβολα και δεν μπορεί να είναι αριθμοί. Μας χρειάζονται 4 πίνακες που να μετατίθενται μεταξύ τους Θα δείξουμε πως χρειάζονται 4 πίνακες με (ελάχιστη) διάσταση 4x4 Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 8 (D3) (D4)
Διαστάσεις των Dirac Matrices Για να είναι το Hermiƒan για κάθε θα πρέπει Επιπλέον, δείξαμε ότι: Εάν Εφαρμόζοντας (χρησιμοποιώντας την μετάθεση) ομοίως Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 9
Ας εξετάσουμε την σχέση ιδιοτιμών Επειδή οι πίνακες α είναι Hermiƒan, οι ιδιοτιμές είναι πραγματικές άρα αλλά Καθώς οι είναι Hermiƒan πίνακες, με ίχνος ίσον με μηδέν και με ιδιοτιμές, θα πρέπει να έχουν άρτιες διαστάσεις Για N=2 οι 3 Pauli spin πίνακες ικανοποιούν Αλλά χρειαζόμαστε 4 μετατιθέμενους πίνακες. Συνεπώς οι της εξίσωσης Dirac πρέπει να έχουν διαστάσεις 4, 6, 8,.. Η απλούστερη επιλογή αντιστοιχεί σε 4x4 πινακες για να εκφράσουμε τα. Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 10
Dirac Spinors Συνεπώς, η κυματοσυνάρτηση θα πρέπει να έχει 4 συνιστώσες (Dirac Spinor) Συνέπεια της επιλογής 1 ης τάξης σε χρόνο/χώρο παραγώγων αποτελεί το γεγονός ότι η κυματοσυνάρτηση έχει 4 βαθμούς ελευθερίας!!! (τι εκφράζουν οι βαθμοί ελευθερίας;;;;) Οι σχέσεις μετάθεσης των 4 Hermiƒan 4x4 πινάκων, ορίζει την άλγεβρά τους Μας συμφέρει να επιλέξουμε «βολική» αναπαράσταση για τους πίνακες. Ωστόσο, επισημαίνουμε πως τα φυσικά αποτελέσματα δεν εξαρτόνται από την αναπαράσταση που θα επιλέξουμε Η «βολική» αναπαράσταση βασίζεται στις Pauli spin matrices: (D5) with Ασκηση: Δείξετε ότι είναι Hermiƒan και έχουν τις σωστές σχέσεις μετάθεσης Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 11
Εξίσωση Dirac : Πυκνότητα και Ρεύμα Πιθανότητας Σημειώστε ότι: Ας αρχίσουμε με την εξίσωση Dirac (D6) και την Hermiƒan συζηγή της (conjugate) (D7) Σχηματίστε την ( είναι Hermiƒan) Επειδή οι πίνακες α έχουν ως στοιχεία αριθμούς, ισχύει: Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 12
Καταλήγουμε στην (D8) όπου Συνεπώς, συγκρίνοντας με την εξίσωση συνέχειας, ταυτοποιούμε: Αρα: και Εν αντιθέσει με την KG, η εξίσωση Dirac επιδέχεται πυκνότητα πιθανότητας θετική Ακολούθως, θα δείξουμε πως οι 4 συνιστώσες των Dirac Spinors εμπεριέχουν τις ιδιότητες του spin και περιγράφουν spin ½ φερμιόνια. Επιπλέον περιγράφουν την μαγνητική ροπή ως: Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 13
Spin Το φυσικό μέγεθος Ο διατηρείται, εάν: Η γωνιακή στροφορμή, αντιμετατίθεται με την Hamiltonian? Ας δουλέψουμε με την x συνιστώσα της L: Οι μη μηδενικοί όροι έρχονται από: Συνεπώς (A.1) Επειδή η γωνιακή στροφορμή δεν αντιμετατίθεται με την Dirac Hamiltonian έπεται πως η γωνιακή στροφορμή δεν είναι σταθερά της κίνησης!!!! Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 14
Εισάγουμε ένα νέο 4x4 Τελεστή: όπου είναι οι Pauli spin matrices: i.e. Ας υπολογίσουμε τον αντιμεταθέτη όπου και επομένως Ας εξετάσουμε την x συνιστώσα: Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 15
Taking each of the commutators in turn: x x y Αρα Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 16
Συνεπώς η φυσική ποσότητα που εκφράζει ο τελεστής κίνησης. Αλλά... ΔΕΝ είναι σταθερά της και τελικά: Επειδή Οι σχέσεις αντιμετάθεσης για το είναι οι ίδιες με αυτές των. Επιπλέον, τα S 2 και S z είναι διαγώνια Συνεπώς παράλληλα με τον z άξονα και για ένα σωμάτιο που κινείται (βλπ στα επόμενα λύση της Dirac) S έχει όλες τις κβαντομηχανικές ιδιότητες του spin και συνεπώς η εξίσωση Dirac προσφέρει την περιγραφή σωματίων με S=1/2 Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 17