Στατιστική Ι-Πιθανότητες Ι

Στατιστική Ι-Πιθανότητες Ι Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 15 Οκτωβρίου 2015

Περιγραφή 1 Ενωση και Τομή Ενδεχομένων

Πιθανότητα Ορισμός Πιθανότητατουενδεχομένου x = x i,αναφέρεταιωςολόγοςτουαριθμούτων αποτελεσμάτωνενόςπειράματοςμετιμές x i προςτονσυνολικόαριθμότων αποτελεσμάτων ενός πειράματος. Παραδείγματα 1 Παράδειγμα Ι: Η Πιθανότητα να έχουμε«(κ)εφάλι»όταν ρίχνουμε ένα νόμισμα(θεωρητική πιθανότητα) 1/2 2 Παράδειγμα ΙΙ: Η Πιθανότητα να έχουμε«βασιλιά»(κ) όταν επιλέγουμε ένα χαρτί τράπουλας(θεωρητική πιθανότητα) 4/52 3 Παράδειγμα ΙΙΙ: Η Πιθανότητα να έχουμε δαπάνες για διαφήμιση ίση με 5.000σεσχετικήδειγματολη ία(εμπειρικήπιθανότητα) 6/24 βεαμερ-τυ-λογ

Δαπάνες για Διαφήμιση σε 000ς Ευρώ advertisement in thous. Euro advertisement in thous. Euro 0 1 2 3 4 5 6 7 Frequency 0 2 4 6 8 10 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 30 adv

Δαπάνες για Διαφήμιση Πίνακας: Δαπάνες για Διαφήμιση x i f i F i P(x = x i ) P(x x i ) 0 2 2 2/24 2/24 5 6 8 6/24 2/24+6/24 10 3 11 3/24... 15 7 18 7/24... 20 3 21 3/24... 25 3 24 3/24 1

Πιθανότητεςγια Διαφήμιση Εκτίμηση Πιθανοτήτων 1 P(x = 5) = 6/24 2 P(x 10) = 2/24+6/24+3/24 = 11/24 3 P(x > 20) = 1 P(x 20)

Πιθανότητα(συν.) Είδη Πιθανοτήτων 1 Εμπειρική Πιθανότητα: Η πιθανότητα που εκτιμάται ως αποτέλεσμα ενός εμπειρικού πειράματος(δειγματοληψία) 2 Θεωρητική Πιθανότητα: Η πιθανότητα που εκτιμάται ως αποτέλεσμα ενός θεωρητικού πειράματος

Σημαντικό!! 1 Οι Θεωρητικές Πιθανότηες ποτέ δεν ταυτίζονται με τις εμπειρικές 2 Οσο αυξάνουμε το δείγμα μας N τόσο οι εμπειρικές προσεγγίζουν τις θεωρητικές 3 Οιεμπειρικέςσυγκλίνουνστιςθεωρητικέςόταν N

Πιθανότητα(συν.) Δειγματικός Χώρος Ο Δειγματικός Χώρος(Ω) είναι το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός τυχαίου πειράματος Ω = {x 1,...,x n} Ταδειγματικάσημεία {x i } n i=1,πουαπαρτίζουντον Ω,μπορούναπόμόνατους να ορίζουν ένα ένδεχόμενο είτε ένα σύνολο αυτων. Παράδειγμα: Εστωτ.μ. Xορίζεταιωςτοαποτέλεσματηςρίψηςδυοζαριών.Μπορουμενα ορίσουμε ως ενδεχόμενο A να έχουμε άθροισμα ζαριών < 4. Τότε: A = {(1, 1),(1, 2),(2, 1)} Ενω μπορούμε να ορίσουμε ως ενδεχόμενο B να έχουμε άθροισμα ζαριών = 2.Τότε: B = {(1, 1)} βεαμερ-τυ-λογ

Ενωση και Τομή Ενδεχομένων Πιθανότητα(συν.) Ενωση και Τομή ενδεχομένων Εστω δεδομένου του Ω μιας τ.μ. X ορίζουμε ενδεχόμενα {E 1, E 2,...,E k }. Γιαταενδεχόμενα(ήσύνολα) {E i } k i=1μπορούμεναπραγματοποιήσουμε πράξεις: 1 που συμβολίζει την ένωση των ενδεχομένων 2 που συμβολίζει την τομή των ενδεχομένων Ενωση 2 ενδεχομένων 1 Για E 1 και E 2 όπου E 1 E 2, P(E 1 E 2 ) = P(E 1 )+P(E 2 ) P(E 1 E 2 ), 2 Για E 1 και E 2 όπου E 1 E 2 =, P(E 1 E 2 ) = P(E 1 )+P(E 2 ). βεαμερ-τυ-λογ

Ενωση και Τομή Ενδεχομένων Πιθανότητα(συν.) Ενωση 3 ενδεχομένων Για E 1, E 2 και E 3 όπου E 1 E 2 E 3, P(E 1 E 2 E 3 ) = P(E 1 )+P(E 2 )+P(E 3 ) P(E 1 E 2 ) P(E 1 E 3 ) P(E 2 E 3 )+P(E 1 E 2 E 3 )