ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Πλυώυµ τυ x λέγετι κάθε πράστση της µρφής : x + x ++ x+ όπυ,,,, είι στθερί πργµτικί ριθµί κι φυσικός ριθµός Τ πλυώυµ τυ x συµβλίζυµε: f( x ), g( x ), f x = x + x ++ x+ h x,, πότε γράφυµε: Βθµός εός πλυωύµυ f( x ) λέγετι µεγλύτερς εκθέτης της µετβλητής x, της πίς συτελεστής είι διφρετικός πό τ µηδέ, γράφυµε συµβλικά βθ f( x) ( 0) έχει βθµό Είι φερό ότι κάθε στθερό µη µηδεικό πλυώυµ µηδέ Τ µηδεικό πλυώυµ δε έχει βθµό Αριθµητική τιµή πλυωύµυ Αριθµητική τιµή τυ πλυώυµυ f x = x + x ++ x+ γι x= ρ, όπυ ρ λέγετι ριθµός f( ρ ) πυ βρίσκυµε τικτστήσυµε τ x µε ρ f ρ = ρ + ρ ++ ρ+ κι κάυµε τις πράξεις, δηλδή Α f( ρ) = 0 τότε ριθµός ρ λέγετι ρίζ τυ πλυωύµυ φερό ότι ρίζες τυ πλυωύµυ f( x ) είι ι ρίζες της εξίσωσης: Ίσ πλυώυµ x + x ++ x+ = 0 Λέµε ότι τ πλυώυµ g( x) βx β x βx β όρω τυς είι ίσι, γράφυµε f( x) g( x) Επµέως f( x) g( x) β, β,, β f x Είι f x = x + x ++ x+ είι ίσ µε τ = + ++ + κι µό ι συτελεστές τω µβάθµιω Τ πλυώυµ = = = f x = x + x ++ x+ είι ίσ µε τ µηδεικό πλυώυµ κι µό όλι ι συτελεστές τυ είι ίσι µε τ µηδέ, δηλδή f x 0 = =,, = = 0
Πρτήρηση Ο υπλγισµός τω συτελεστώ εός πλυωύµυ πυ βσίζετι στ ρισµό τω ίσω πλυωύµω λέγετι µέθδς τω πρσδιριστέω συτελεστώ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Πρόσθεση Αφίρεση πλυωύµω Έστω f( x) = x + x ++ x+ κι τίτε: g x = β x + β x ++ β x+ β + = ( + ) + ( + ) ++ ( + ) + ( + ) f x g x β x β x β x β = ( ) + ( ) ++ ( ) + ( ) f x g x β x β x β x β + µ + µ f x g x = β x + β x ++ β x+ β µ µ > Ο βθµός τυ θρίσµτς κι της διφράς δύ πλυωύµω f( x ) κι g( x ) είι µικρότερς ή ίσς πό τ µεγλύτερ βθµό τω δύ υτώ πλυωύµω ηλδή { } ± βθ f x g x max βθ f x, βθ g x > Ο βθµός τυ γιµέυ δύ πλυωύµω f( x ) κι άθρισµ τω βθµώ τω δύ υτώ πλυωύµω ηλδή βθ f( x) g( x) = βθ f( x) + βθ g( x) Διίρεση πλυωύµω Θεώρηµ (Τυτότητ της διίρεσης) g x είι ίσς µε τ Γι κάθε ζευγάρι πλυωύµω ( x ) κι δ( x ) µε δ( x) 0, υπάρχυ δύ µδικά πλυώυµ π( x) κι υ( x ), τέτι ώστε: ( x) = δ( x) π( x) + υ( x) ( ) όπυ τ υ( x ) είι τ µηδεικό πλυώυµ ή έχει βθµό µικρότερ πό τ βθµό τυ δ( x ) Η ( ) λέγετι τυτότητ της διίρεσης τυ πλυωύµυ ( x ) µε τ δ( x )
Τ πλυώυµ ( x ) λέγετι διιρετές, τ δ( x ) διιρέτης, τ τ υ( x ) υπόλιπ της διίρεσης π x πηλίκ κι Α τ υπόλιπ της διίρεσης τυ πλυωύµυ ( x ) µε τ δηλδή υ( x) 0 τότε λέµε ότι η διίρεση είι τέλει κι θ ισχύει: ( x) = δ( x) π( x) ( ) Στη περίπτωση υτή λέµε ότι τ δ( x ) διιρεί τ ( x ) ή ότι τ δ( x ) είι πράγτς τυ ( x ) ή ότι τ ( x ) διιρείτι µε τ δ( x ) ή κόµη ότι τ δ( x ) είι διιρέτης τυ ( x ) δ x είι ίσ µε µηδέ, > Ο βθµός τυ πηλίκυ δύ πλυωύµω είι ίσς µε τη διφρά τω βθµώ τυ διιρετέυ κι τυ διιρέτη, δηλδή βθ π( x) = βθ ( x) βθ δ( x) Πρτήρηση Από τη ( ) έχυµε: x δ x υ x = π( x) + δ x ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ν κάετε τις πρκάτω διιρέσεις κι γράψετε τη τυτότητ της διίρεσης σε κάθε περίπτωση (i) ( x 5x 0 ) :( x+ ) (ii) ( 4x 8x + 5x 9 ) :( x ) (iii) ( x 4 x + x+ 4 ) :( x x+ ) Ν κάετε τη διίρεση: ( x 6 4x 5 + x 4 4x 8x + ) :( x + ) Ν βρείτε τυς,β,γ ώστε ισχύει η ισότητ: x x x β x γ x γ x 6γ + + = + + 4 Ν βρείτε τυς,β,γ ώστε τ f( x) ( ) x ( β ) x ( γ β ) είι τ µηδεικό πλυώυµ = + + + + 5 Ν βρείτε τυς,β ώστε ισχύει η ισότητ: 4x 7 β = + x x x x
4 6 Ν βρείτε τυς,β,γ ώστε τ f( x) = x x + x + βx+ 4 είι τετράγω τυ τριωύµυ x x+ γ κ x + λ+ x + µ x 5 7 Ν βρείτε τυς κ,λ,µ ώστε τ κλάσµ είι εξάρτητ τυ x x 6x + x 5 8 Χρησιµπιώτς τη µέθδ τω πρσδιριστέω συτελεστώ βρείτε τυς 4,β ώστε τ πλυώυµ f( x) = x x + x+ β διιρείτε µε τ x x+ 4 9 Ν βρείτε τυς, β, γ ώστε τ πλυώυµ x x+ δίει πηλίκ τ x x+ β κι υπόλιπ γ 4 x x + x διιρύµε µε τ 0 ίετι τ πλυώυµ Ρ( x) = 6x x + x+ (i) Ν δείξετε ότι τ πλυώυµ Ρ( x ) διιρείτι µε τ x (ii) Ν βρείτε τ πηλίκ της διίρεσης τυ Ρ( x ) µε τ x ( µε δύ τρόπυς ) (iii) Ν λύσετε τη εξίσωση Ρ( x) = 0 4
ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ ΜΕ ΔΙΩΝΥΜΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Θεώρηµ Τ υπόλιπ της διίρεσης τυ πλυωύµυ τη ριθµητική τιµή τυ πλυωύµυ γι x υ= f( ) Πόρισµ Τ υπόλιπ της διίρεσης τυ πλυωύµυ f x µε τ διώυµ x είι ίσ µε = ηλδή f x µε τ διώυµ x+ β, 0 είι β ίσ µε τη ριθµητική τιµή τυ πλυωύµυ γι x= ηλδή β υ= f Θεώρηµ Έ πλυώυµ ρίζ τυ f( x ), δηλδή κι µό f( ) = 0 Πόρισµ Έ πλυώυµ f x έχει πράγτ τ διώυµ x κι µό τ είι f x έχει πράγτ τ διώυµ x+ β, 0 κι µό τ β είι ρίζ τυ f( x ), δηλδή κι µό Συθετική διίρεση (Σχήµ τυ Horner) β f = 0 Ές γρήγρς τρόπς γι βρύµε τ πηλίκ κι τ υπόλιπ της διίρεσης εός f x µε τ διώυµ x είι η συθετική διίρεση Η µέθδς υτή πλυωύµυ βσίζετι στη σχέση πυ υπάρχει µετξύ τω συτελεστώ στ γιόµε τυ διιρέτη κι τυ πηλίκυ Από τη τυτότητ της διίρεσης τυ πλυωύµυ f x = x + x ++ x+ µε τ διώυµ x ρ έχυµε: f( x) = π( x)( x ρ) + υ, όπυ π(x) έ πλυώυµ βθµύ δηλδή π( x) = β x + β x ++ βx+ β κι υ µι στθερά, τότε ( ) x + x ++ x+ = β x + β x ++ β x+ β x ρ + υ x + x ++ x+ = β x + β ρβ x + β ρβ x ++ β ρβ x+ υ ρβ Εξισώτς τυς συτελεστές τω µβάθµιω όρω στη τελευτί ισότητ βλέπυµε ότι: = β β = 5
= β ρβ β = + ρβ = β ρβ β = + ρβ = β ρβ β = + ρβ = υ ρβ υ= + ρβ Τ πρπάω συµπεράσµτ κτγράφτι στ πίκ πυ κλυθεί x = ρ ρβ ρβ ρβ ρβ β β β β υ Ο πίκς υτός συµπληρώετι ως εξής: Στη πρώτη γρµµή γράφυµε τυς συτελεστές τυ πλυωύµυ f( x ) Κάθε στιχεί της δεύτερης γρµµής πρκύπτει µε πλλπλσισµό τυ µέσως πρηγύµευ στιχείυ της τρίτης γρµµής επί ρ Τ πρώτ στιχεί της τρίτης γρµµής είι συτελεστής τυ µεγιστβάθµιυ όρυ τυ πλυωύµυ f( x ), δηλδή β = Κάθε άλλ στιχεί της τρίτης γρµµής πρκύπτει ως άθρισµ τω τίστιχω στιχείω της πρώτης κι δεύτερης γρµµής Τ τελευτί στιχεί της τρίτης γρµµής είι τ υπόλιπ της διίρεσης f x µε τ x ρ f x γι τυ πλυωύµυ, δηλδή η τιµή τυ πλυωύµυ x= ρ Τ άλλ στιχεί της τρίτης γρµµής είι ι συτελεστές τυ πηλίκυ της διίρεσης Πράδειγµ Χρησιµπιώτς τη συθετική διίρεση βρεθεί τ πηλίκ κι τ υπόλιπ της διίρεσης : x 4 + x x + 5x+ : x+ (i) 5 4 (ii) ( x 8x x x ) :( x ) + + Λύση (i) Από τ διπλό σχήµ τυ Horner συµπερίυµε ότι τ πηλίκ της διίρεσης είι π x = x 5x + 4x+ 7 κι τ υπόλιπ υ= 0 5 6 5 4 5 4 7 0 ρ= 6
(ii) Από τ διπλό σχήµ τυ Horner συµπερίυµε ότι τ πηλίκ της διίρεσης είι π x = x x 4x 7x 5 4 κι τ υπόλιπ υ= 7 8 6 0 4 4 8 7 4 5 0 7 ρ= Με επγωγή πδεικύετι τ επόµε Θεώρηµ Α τ κέρι πλυώυµ x ρ, f x διιρείτε µε κθέ πό τ διώυµ x ρ, x ρ, *, όπυ ρ, ρ,, ρ ριθµί διφρετικί ά δύ, τότε θ διιρείτι κι πό τ γιόµε: ( x ρ ) ( x ρ ) ( x ρ ) Θεώρηµ Α τ κέρι πλυώυµ f( x) = x + x ++ x+, 0έχει ρίζες ρ, ρ,, ρ, διφρετικές ά δύ, τότε ληθεύει η ισότητ: f x = x ρ x ρ x ρ Σχόλι Η πργτπίηση πλυωύµω είι χρήσιµη γι Απλπιύµε κλσµτικές πρστάσεις Κάυµε πράξεις µε κλσµτικές πρστάσεις Λύυµε εξισώσεις Λύυµε ισώσεις Είι γωστί ι πρκάτω τρόπι πργτπίησης εός πλυωύµυ (i) Εξγωγή κιύ πράγτ (ii) Εξγωγή κιύ πράγτ κτά µάδες ( Οµδπίηση ) (iii) Με µί τυτότητ (iv) Πργτπίηση τριωύµυ (v) Με πρσθφίρεση ή διάσπση (vi) Συδυσµός περιπτώσεω Από τ πρηγύµε πρκύπτει ότι ές κόµη τρόπς πργτπίησης εός f x είι βρύµε µί ρίζ τυ ρ Τότε τ πλυώυµ διιρείτι µε πλυωύµυ τ διώυµ x ρ, πότε µε διίρεση ή µε τ σχήµ Horner µεττρέπυµε τ πλυώυµ f( x ) σε γιόµε πργότω, φύ f( x) ( x ρ) π( x) = Τ επόµε θεωρήµτ είι χρήσιµ γι βρίσκυµε µί κέρι ή ρητή ρίζ εός πλυωύµυ f( x ) ότ υπάρχει κι στη συέχει πργτπιήσυµε τ πλυώυµ 7
Θεώρηµ Α έ πλυώυµ f( x) = x + x ++ x+, 0µε κέριυς συτελεστές έχει ρίζ τ κέρι ριθµό ρ 0 τότε ρ είι διιρέτης τυ στθερύ όρυ Θεώρηµ Α έ πλυώυµ f( x) = x + x ++ x+, 0µε κέριυς κ συτελεστές έχει ρίζ τ ρητό ριθµό ρ= 0 τ κ είι διιρέτης τυ λ συτελεστή τυ µεγιστβάθµιυ όρυ κι τ λ είι διιρέτης τυ στθερύ όρυ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σε κθεµί πό τις πρκάτω ερωτήσεις σηµειώσετε τη σωστή πάτηση Α P( x) x x x = + + +, τότε τ P( ) Α Β Γ 4 Ε 8 είι ίσ µε Α P( x ) πλυώυµ, P( ) = κι λ είι ίσ µε Α 6 Β Γ 0 Ε 4 P x+ = x 4x + x+ λ, τότε τ Α P( x ) είι έ πλυώυµ κι γι κάθε x ισχύει: P( x+ ) + P( x ) = x + 4x 6, τότε τ P( 0 ) είι ίσ µε Α 4 Β Γ 0 Ε 4 4 Α P( x ) πλυώυµ κι ισχύει στθερός όρς τυ πλυωύµυ P( x ) είι ίσς µε Α Β Γ Ε 5 Ο µέγιστς βθµός τυ πλυωύµυ Α 6 Β 9 Γ 0 Ε 6 Α 4 4 P x x x 4 P x+ + P x = 4x 8 γι κάθε x, τότε P x κ+ x κ 5x 8 = +, κ είι: =, τότε βθµός τυ πλυωύµυ Α Β 6 Γ 8 4 Ε P x είι: 7 Τ πλυώυµ 5κ+ 7 P x κ x κ x 7 = + +, κ είι βθµύ Α 6 Β Γ 4 5 Ε 8 8
4 8 ίετι τ πλυώυµ P( x) ( x x x 5) ( x x 4x ) = + + + Α 4 συτελεστής τυ x είι µηδέ, τότε είι ίσς µε Α Β Γ 0 Ε 9 Α τ πλυώυµ P( x) x x 7x β 4 είι ίσ, τότε τ άθρισµ + β είι ίσ µε Α 4 Β 5 Γ 6 7 Ε 0 = + κι 0 Α P( x ) πλυώυµ κι ισχύει ( ) + P( x+ ) είι ίσ µε Q x = x x + x 4 P x P x+ = 6x 4, τότε τ πλυώυµ Α x 4 Β x 5 Γ x+ 5 x Ε x+ Α P( x ) = 4x 8x+, τότε τ πλυώυµ P( x ) είι: Α x + x Β x x+ Γ x + x+ x x+ Ε Α P( x) = x + x+ β κι άθρισµ + β+ γ είι ίσ µε Α Β Γ 5 Ε 7 P x = γ x + x, τότε τ Α ( x+ ) P( x ) = x x, τότε τ πλυώυµ P( x ) είι: Α x + x Β x x Γ x x 4 Α P( x ) πλυώυµ κι ισχύει P( ) είι ίσ µε Α 5 Β 5 Α P( x) ( x x) 4 Γ Ε 4 x + x+ Ε x + 0x+ x + x P x P x = x γι κάθε x, τότε τ 6 5 4 = +, Q( x) = x + x + βx + 8x κι P( x) Q( x) άθρισµ + β είι ίσ µε Α Β 4 Γ 5 6 Ε 7 =, τότε τ 6 Α τ υπόλιπ της διίρεσης τυ πλυωύµυ P( x) = x + x β+ µε τ x + είι 4x, τότε τ άθρισµ + β είι ίσ µε Α 4 Β 6 Γ 8 0 Ε 7 ίετι τ πλυώυµ P( x ) γι τ πί ισχύει P( x ) = x x+ 5, γι κάθε x Α τ πλυώυµ P( x+ 7) διιρείτι µε τ x, τότε τ είι ίσ µε Α 4 Β 0 Γ 7 0 Ε 5 9
4 8 Α τ πλυώυµ P( x) = x + x µx x+ διιρείτι µε τ πλυώυµ x + x, τότε η διφρά µ είι ίση µε Α Β 0 Γ 8 6 Ε 5 6 9 Α τ πλυώυµ P( x) = x 4x + 6έχει πράγτ τ είι ίσ µε Α 9 Β 0 Γ Ε 4 x +, τότε τ 0 Α τ υπόλιπ της διίρεσης τυ πλυωύµυ P( x ) µε τ πλυώυµ είι x+ 4, τότε τ υπόλιπ της διίρεσης τυ πλυωύµυ x είι ίσ µε Α 6 Β 7 Γ 8 9 Ε 0 x 9 P x µε τ διώυµ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ν βρείτε τ υπόλιπ της διίρεσης τυ πλυωύµυ f x = x + x x µε τ διώυµ x+ 4 κι γράψετε τη τυτότητ της διίρεσης Χρησιµπιώτς τη συθετική διίρεση βρείτε τ πηλίκ κι τ υπόλιπ της διίρεσης x 5x : x x + x x+ : x (i) ( + ) ( ) (ii) 4 (iii) ( x x x ) :( x ) + + Χρησιµπιώτς τη συθετική διίρεση βρείτε τ πηλίκ κι τ υπόλιπ της διίρεσης 4 x x x : x 5 x x 4 : 4 x (i) ( + ) ( + ) (ii) (iii) ( x 5x 0x ) :( x ) + 4 Ν βρείτε τις τιµές τω, β ώστε τ πλυώυµ f( x) = 6x + 7x + x+ β διιρείτι συγχρόως πό τ διώυµ x κι x+ 5 Τ πλυώυµ f( x) = x + x x+ β έχει πράγτ τ x+ κι διιρύµε µε τ x φήει υπόλιπ 4 Ν βρείτε τυς, β 6 ίετε ότι τ x κι x είι πράγτες τυ πλυωύµυ f x = 6x + x 7x + βx 4, βρείτε τυς, β κι κάθε άλλ πράγτ 4 τυ πλυωύµυ f( x ) 0
7 Ν βρείτε έ πλυώυµ τρίτυ βθµύ διιρύµε µε τ x + x φήει υπόλιπ 5x+ 4 κι x τίστιχ x x+ κι 8 Ν πδείξετε ότι τ πλυώυµ f x = x+ x x διιρείτι µε τ x + x + x 9 Ν πρσδιρίσετε τυς πργµτικύς ριθµύς κι β ώστε τ πλυώυµ f x x x x β x x+ = + + διιρείτε µε τ γιόµε 0 Ν πρσδιρίσετε τυς πργµτικύς ριθµύς, β κι βρείτε τις ρίζες ρ, ρ, ρ τυ πλυωύµυ f( x) = x 8x 8x+ β, γωρίζετε ότι ρ = ρ = ρ 8 Ν πρσδιρίσετε τυς πργµτικύς ριθµύς κι β ώστε τ πλυώυµ + = + + διιρείτε µε τ ( x ) f x x x β κι βρείτε τ πηλίκ Τ κέρι πλυώυµ f( x ) διιρύµε µε τ x δίει υπόλιπ κι διιρύµε µε τ x δίει υπόλιπ 7 Ν βρείτε τ υπόλιπ της διίρεσης τυ x x f( x ) µε τ γιόµε Α τ κέρι πλυώυµ f( x ) διιρείτε µε τ x, δείξετε ότι τ πλυώυµ g( x) = f( 4x 5) διιρείτε µε τ x 4 Α τ υπόλιπ της διίρεσης τυ πλυωύµυ f( x) = x + βx 8x + 5x 5 µε τ φ( x) = x x+ είι υ( x) = 4x 7, βρείτε τυς,β 4 4 Γι πιες τιµές τω κι β τ πλυώυµ f( x) = x x + 5x 9x+ β διιρείτι µε τ x 5 Α 4κι 64 είι τ υπόλιπ της διίρεσης τυ πλυωύµυ τίστιχ βρείτε τ υπόλιπ της διίρεσης τυ Α τ πλυώυµ x+ κι x x x είι η άλλη ρίζ τυ; f x µε τ f x µε τ f x είι τετάρτυ βθµύ µε ρίζες 0,,, πι 6 Τ κέρι πλυώυµ f (x) διιρύµε µε τ x+ δίει υπόλιπ, διιρύµε µε τ x δίει υπόλιπ κι διιρύµε µε τ x+ δίει f x µε τ γιόµε υπόλιπ 6 Ν βρείτε τ υπόλιπ της διίρεσης τυ ( x+ )( x )( x+ ) 7 Ν βρείτε τυς πργµτικύς ριθµύς, β ώστε τ πλυώυµ f x = x + x 4x + βx διιρείτε µε τ x x 4
8 Α τ x x 6 είι πράγτς τυ πλυωύµυ f x = x x 9x + βx 6, βρείτε τις τιµές τω,β κι γράψετε τ 4 πλυώυµ f( x ) σ γιόµε πργότω 9 Γι πιες τιµές τυ c τ x c είι πράγτς τυ πλυωύµυ f x = x + c+ x 4c + c 7 x 4 ; 40 Α τ ( x ) είι πράγτς τυ πλυωύµυ ότι 4p + 7q = 0 f x = x + px+ q, δείξετε 4 Α τ x + x είι πράγτς τυ πλυωύµυ f x = x + x + x + 5x + βx 4x+, βρείτε τις τιµές τω,β κι 6 5 4 γράψετε τ πλυώυµ f( x ) σ γιόµε πργότω 4 Ν πδείξετε ότι β, τότε τ υπόλιπ της διίρεσης τυ πλυωύµυ f( x ) µε τ γιόµε ( x )( x β) είι: f( ) f( β) βf( ) f( β) υ( x) = x+ β 4 Εφρµγή: ( x x x 9x 9 ) :( x )( x ) 4 Α διιρείτι µε τ + + β * κ+ λ+ µ κ, λ, µ, δείξετε ότι τ πλυώυµ x + x+ f x = x + x + x 44 Ν πργτπιήσετε τ πλυώυµ f( x) = x + 9x + x+ 4 45 Ν πργτπιήσετε τ πλυώυµ f( x) = x 4x x 0 4 46 Ν πργτπιήσετε τ πλυώυµ f( x) = 6x x + x + 5x 4 47 Ν πργτπιήσετε τ πλυώυµ f( x) = x+ x x 9x 48 Ν λύσετε τις εξισώσεις: (i) x x + 6x 5= 0 (ii) 4 (iii) x x x + 7x+ 6= 0 4x 4x x+ 6= 0