ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Χαρά Χαραλάµπους

ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Σηµειώσεις (σε εξέλιξη) Χαρά Χαραλάµπους Τµήµα Μαθηµατικών, ΑΠΘ

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα

ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Σηµειώσεις (σε εξέλιξη) Χαρά Χαραλαµπους Τµήµα Μαθηµατικών, ΑΠΘ 14 Φεβρουαρίου 2017

Περιεχόµενα Πρόλογος 3 Κεφάλαιο 1: Ιστορική Αναδροµή 7 1.1 Το Ξεκίνηµα................................. 7 1.1.1 Θεωρία Αριθµών............................ 7 1.1.2 Αλγεβρική Γεωµετρία......................... 9 1.1.3 Θεωρία Αναλλοιώτων......................... 12 1.2 Ασκήσεις................................... 13 1.2.1 Βιβλιογραφία............................. 14 Κεφάλαιο 2: Βασικές Εννοιες 15 2.1 Πρώτα ιδεώδη................................. 15 2.2 Τοπικοποίηση ακτυλίων........................... 21 2.3 Ασκήσεις................................... 27 2.4 Βιβλιογραφία................................. 28 Κεφάλαιο 3: ακτύλιοι της Noether 29 3.1 ακτύλιοι της Noether............................ 29 3.2 Θεώρηµα Βάσης του Hilbert......................... 33 3.3 Πρωταρχική ανάλυση ιδεωδών σε δακτυλίους της Noether......... 36 3.4 Ασκήσεις................................... 42 3.5 Βιβλιογραφία................................. 44 Κεφάλαιο 4: R-Modules 45 4.1 R-Modules.................................. 45 4.2 Το Λήµµα του Nakayama.......................... 50 4.3 Ασκήσεις................................... 52 4.4 Βιβλιογραφία................................. 53 Κεφάλαιο 5: Μία Εισαγωγή στην Οµολογική Αλγεβρα 55 5.1 Τανυστικό Γινόµενο.............................. 55 5.2 Οι συναρτητές Hom R (M, _) και Hom R (_, M)................ 62 5.3 Τοπικοποίηση και R-modules....................... 65 5.4 Ασκήσεις................................... 70 5.5 Βιβλιογραφία................................. 72 Κεφάλαιο 6: Modules της Noether και του Artin 75 6.1 R-modules της Noether........................... 75 6.2 R-modules του Artin............................. 81 6.3 Το Λήµµα των Artin-Rees και το Θεώρηµα τοµής του Krull........ 82 6.4 Ασκήσεις................................... 83 6.5 Βιβλιογραφία................................. 85 Κεφάλαιο 7: Ακέραια και Αλγεβρικά Στοιχεία 87 7.1 Ακέραια στοιχεία............................... 87 7.2 Τα Θεωρήµατα των µηδενικών του Hilbert (Hilbert s Nullstellensatz)... 91 1

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 2 7.3 Επικάθηση, Ανάβαση και µη Συγκρισιµότητα................ 93 7.4 Το Θεώρηµα Κατάβασης........................... 95 7.5 Ασκήσεις................................... 96 7.6 Βιβλιογραφία................................. 97 Κεφάλαιο 8: Θεωρία ιάστασης 99 8.1 ιάσταση του Krull.............................. 99 8.2 ιάσταση και αριθµός γεννητόρων...................... 103 8.3 Βαθµωτοί δακτύλιοι και η συνάρτηση του Hilbert.............. 109 8.4 ιάσταση και το πολυώνυµο του Hilbert................... 113 8.5 Παράρτηµα Α................................. 117 8.6 Ασκήσεις................................... 119 8.7 Βιβλιογραφία................................. 120 Κεφάλαιο 9: ακτύλιοι Εκτίµησης 121 9.1 ακτύλιοι Εκτίµησης............................. 121 9.2 ακτύλιοι ιακριτής Εκτίµησης....................... 122 9.3 ακτύλιοι του Dedekind........................... 124 9.3.1 Κλασµατικά Ιδεώδη.......................... 124 9.4 Ασκήσεις................................... 126 9.5 Βιβλιογραφία................................. 127 Κεφάλαιο 10: Πλήρωση 129 10.1Αντίστροφο όριο................................ 129 10.1.1p-αδικοί ακέραιοι............................ 130 10.1.2Ο δακτύλιος των δυναµοσειρών.................... 130 10.1.3Φιλτράρισµα και πλήρωση...................... 131 10.1.4Ακριβείς ακολουθίες και πλήρωση.................. 132 10.2Τοπολογικές οµάδες............................. 133 10.2.1Τοπολογία, ϕιλτράρισµα και αντίστροφο όριο............ 134 10.2.2I-αδική τοπολογία.......................... 134 10.3Το Λήµµα του Hensel............................ 135 10.4 ιάσταση και πλήρωση............................ 135 10.5Ασκήσεις................................... 136 10.6Βιβλιογραφία................................. 137 Υποδείξεις και Λύσεις Ασκήσεων 137 10.6.1Ενότητα 2............................... 141 2

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 4 4

Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές υπερκαλύπτουν την ύλη του εξαµηνιαίου µεταπτυχιακού µαθήµατος στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα του Τµήµατος Μαθηµατικών του Α.Π.Θ. Θεωρούνται δεδο- µένες ϐασικές γνώσεις της Θεωρίας Οµάδων και Θεωρίας ακτυλίων. Οι σηµειώσεις είναι έργο σε εξέλιξη, όπως ϑα γίνει ϕανερό από την ανάγνωσή τους. 5

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 6 6

Κεφάλαιο 1 Ιστορική Αναδροµή 1.1 Το Ξεκίνηµα Τρεις κλάδοι των Μαθηµατικών συνέβαλλαν στη γέννηση της Αντιµεταθετικής Άλγεβρας. 1.1.1 Θεωρία Αριθµών Η εύρεση απόδειξης του Τελευταίου Θεωρήµατος του Fermat (1637) υπήρξε µία από τις µεγάλες προκλήσεις των Μαθηµατικών. Μετά από πολλές (λανθασµένες) απόπειρες η απόδειξη δόθηκε τρεισήµισι αιώνες αργότερα το 1995 µε τη δουλειά του Wiles. Αναφερό- µαστε σε αυτό το εδάφιο στην απόπειρα του Lamé (1847) και την επίδρασή της. Θεώρηµα 1.1.1 (Τελευταίο Θεώρηµα του Fermat). Η εξίσωση x n + y n = z n δεν µπορεί να λυθεί στους ακεραίους όταν n > 2. Ο Gauss το 1832 στην εργασία Theoria residuorum biquadraticorum εισήγαγε το σύνολο Z[i] := {a + bi : a, b Z, i 2 = 1 }. Ο δακτύλιος αυτός είναι γνωστός σήµερα ως δακτύλιος των ακεραίων του Gauss. Ο Gauss απέδειξε (ανάµεσα σε πολλά άλλα) ότι τα στοιχεία του Z[i] έχουν την ιδιότητα της µονοσήµαντης ανάλυσης. Μία ακεραία περιοχή είναι περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης (unique factorization domain UFD) και συµβολίζεται µε ΠΜΑ αν κάθε x D µπορεί να γραφτεί µε µοναδικό τρόπο ως γινόµενο x = u s i=1 p n i i (1.1.1) όπου το u είναι αντιστρέψιµο, το p i είναι ανάγωγο, για i [s], και p i, p j δεν είναι συναφή όταν i j. ( Ενα µη αντιστρέψιµο στοιχείο q της D λέγεται ανάγωγο αν κάθε ϕορά που q = ab, τότε ένα από τα a ή b είναι αντιστρέψιµα στη D. ύο ανάγωγα στοιχεία q 1, q 2 της D είναι συναφή ακριβώς όταν q 1 = aq 2, όπου a κάποιο αντιστρέψιµο στοιχείο της D). Με µοναδικό τρόπο σηµαίνει ότι αν το x γράφεται µε διαφορετικό τρόπο ως τέτοιο γινόµενο, δηλ. αν x = u t i=1 7 q m i i

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 8 είναι µία άλλη έκφραση της µορφής που περιγράψαµε προηγουµένως, τότε t = s και κάθε p i είναι συναφές µε κάποιο q j. Είναι τα p i της έκφρασης 1.1.1 πρώτα στοιχεία της D για i [s]; Θυµίζουµε ότι το µη αντιστρέψιµο στοιχείο p D είναι πρώτο (prime), αν p ab σηµαίνει ότι p a ή p b. Είναι εύκολο να δείξει κανείς ότι ένα πρώτο στοιχείο είναι και ανάγωγο. Ισχύει το αντίστροφο ; Οπως µπορεί να ϐεβαιωθεί στις ασκήσεις, η απάντηση δεν είναι πάντα ϑετική. Τι σχέση όµως έχουν τα παραπάνω µε το Τελευταίο Θεώρηµα του Fermat; Ας δούµε αναλυτικά τι γίνεται στην περίπτωση της δευτεροβάθµιας ιοφαντικής εξίσωσης x 2 + y 2 = z 2. Αντί να περιοριστούµε σε λύσεις στον δακτύλιο Z, ϑα µελετήσουµε την x 2 + y 2 = z 2 στον δακτύλιο Z[i]. Παρατηρούµε, λοιπόν, καταρχήν ότι x 2 + y 2 = (x + iy)(x iy). Εποµένως, αν (a, b, c) Z 3 ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση, τότε το c 2, έχει µία µη τετριµµένη παραγοντοποίηση στον δακτύλιο Z[i]. Για παράδειγµα, όταν c = 5 έχουµε ότι : 5 2 = (3 + i 4)(3 i 4) = 3 2 + 4 2 και η παραγοντοποίηση του 5 2 στον Z[i], οδηγεί στη λύση (3, 4, 5) της x 2 + y 2 = z 2. (Παρεµπιπτόντως, είναι το 5 πρώτο στον Z[i] και ποια είναι η ανάλυση του 5 2 σε ανάγωγους παράγοντες στον Z[i];) Βέβαια, για το Τελευταίο Θεώρηµα του Fermat µας ενδιαφέρουν οι λύσεις της εξίσωσης x n + y n = z n, για n > 2. Τι κάνουµε, λοιπόν, σε αυτήν την περίπτωση ; Ας δούµε λίγο πιο αναλυτικά την περίπτωση που n = 3. Εστω ζ = e 2πi/3. Αφού ( ζ) 3 = 1 και οι τρεις ϱίζες του πολυωνύµου x 3 + 1 είναι οι 1, ζ, ζ 2, συµπεραίνουµε ότι και συνεπώς x 3 + 1 = (x + 1)(x + ζ)(x + ζ 2 ) x 3 + y 3 = (x + y)(x + ζy)(x + ζ 2 y). Γενικότερα λοιπόν, αν n είναι περιττός πρώτος και (a, b, c) είναι λύση της x n + y n = z n, τότε για το κατάλληλο ζ (ποιο άραγε ;) ισχύει ότι a n + b n = (a + b)(a + ζb) (a + ζ n 1 b) = c n. Η ϐασική ιδέα του Lamé το 1847, υποθέτοντας ότι ο Z[ζ] έχει την ιδιότητα της µονοσή- µαντης ανάλυσης, ήταν να δείξει ότι όταν οι παράγοντες σε αυτό το γινόµενο είναι πρώτοι µεταξύ τους (στον δακτύλιο Z[ζ]), τότε κάθε ένας από τους παράγοντες του γινοµένου είναι ίσος µε µία n-στη δύναµη. Επαναλαµβάνοντας αυτή τη διαδικασία ο Lamé έδειξε ότι οδηγούµαστε σε άτοπο. Οµως η απόδειξη αυτή είναι τελικά έωλη γιατί όπως έδειξε ο Kummer λίγο αργότερα, την ίδια χρονιά, ο δακτύλιος Z[ζ] µε ζ n-στη πρωταρχική ϱίζα δεν είναι πάντα ΠΜΑ, π.χ. για n = 23. Αυτή λοιπόν η απόπειρα απόδειξης του Τελευταίου Θεωρήµατος του Fermat ανέδειξε τη σηµασία της ιδιότητας της µονοσήµαντης ανάλυσης. Οι Dedekind και Lasker στα τέλη του 19ου αιώνα µε την έρευνά τους εισήγαγαν την έννοια των ιδεωδών σε κάποιες ειδικές περιπτώσεις. Με αυτόν τον τρόπο ανακτάται η ιδιότητα της µονοσήµαντης ανάλυσης, περνώντας από την ανάλυση των στοιχείων του δακτυλίου στην πρωταρχική ανάλυση των ιδεωδών του δακτυλίου σε ανάγωγα ιδεώδη. Στη ϑέση των πρώτων στοιχείων µελετούµε πρώτα ιδεώδη. Στη ϑέση των αναγώγων µελετούµε 8

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 9 ανάγωγα ιδεώδη και αντί για γινόµενα αναγώγων στοιχείων µελετούµε την τοµή αναγώγων ιδεωδών. Θυµίζουµε ότι ένα γνήσιο ιδεώδες P του δακτυλίου R λέγεται πρώτο, αν κάθε ϕορά που fg P για f, g R, τότε f ή g P, δηλαδή ακριβώς όταν R/P είναι ακεραία περιοχή. Ενα γνήσιο ιδεώδες Q του δακτυλίου R λέγεται ανάγωγο, αν δεν µπορεί να γραφεί ως τοµή δύο γνήσιων ιδεωδών. Κάθε µέγιστο ιδεώδες είναι προφανώς ανάγωγο. εν είναι δύσκολο να δει κανείς ότι όλα τα πρώτα ιδεώδη είναι και αυτά ανάγωγα. Υπάρχουν όµως ανάγωγα ιδεώδη που δεν είναι πρώτα, όπως σας Ϲητείται να δείξετε στις ασκήσεις. Στο επόµενο παράδειγµα, ϑα δείξουµε την ανάλυση του κύριου ιδεώδους 6 στον δακτύλιο Z[ 5]. Θυµίζουµε ότι στον Z[ 5], το 6 έχει δύο αναλύσεις σε γινόµενο αναγώγων στοιχείων, ϐλ. Άσκηση 1.1.9.4. Παράδειγµα 1.1.2. Στον δακτύλιο Z[ 5] ϑεωρούµε τα ιδεώδη P = 2, 1 + i 5, Q = 3, 1 + i 5, R = 3, 1 i 5. Τα ιδεώδη P, Q, R είναι µέγιστα ιδεώδη, ϐλ. Άσκηση 1.2.1.6. Παρατηρούµε επίσης ότι P 2 = 2. Πράγµατι : P 2 = 2 2, 2(1 + i 5), (1 + i 5) 2 = 4, 2(1 + i 5), 4 + 2i 5 = 4, 2 + 2i 5, 2i 5 = 4, 2, 2i 5 = 2. Οµοίως, µπορεί να δείξει κανείς ότι QR = 3. Αφού λοιπόν 6 = 2 3, χρησιµοποιώντας την Άσκηση 1.2.1.4, προκύπτει ότι 6 = 2 3 = P 2 (QR) = P 2 (Q R). (1.1.2) Τα ιδεώδη P 2, Q, R είναι ανάγωγα (αποδείξτε το) και λέµε ότι η ανάλυση 1.1.2 είναι η πρωταρχική ανάλυση του 6 στον Z[i 5]. Αφήνουµε στον αναγνώστη να ελέγξει αν η ανάλυση 6 = (1 + 5)(1 5) οδηγεί στα ίδια ανάγωγα ιδεώδη. Η E. Noether µία από τους µεγαλύτερους µαθηµατικούς του 20ου αιώνα ενοποίησε τις έννοιες των ιδεωδών των Dedekind και Lasker και έθεσε τις αξιωµατικές ϐάσεις της Αντιµεταθετικής Άλγεβρας. Θα εξετάσουµε την πρωταρχική ανάλυση των ιδεωδών σε επόµενη ενότητα. 1.1.2 Αλγεβρική Γεωµετρία Η ανάπτυξη της Αντιµεταθετικής Άλγεβρας ήταν αναγκαία για πρόοδο σε ϐασικά προβλή- µατα της Αλγεβρικής Γεωµετρίας για τα κοινά µηδενικά ενός συνόλου πολυωνύµων. Η πιο απλή περίπτωση αφορά ένα πολυώνυµο σε µία µεταβλητή και αντιµετωπίζεται πλήρως µε το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Άλγεβρας. Σύµφωνα µε αυτό ένα µη µηδενικό πολυώνυµο f(x) µε µιγαδικούς συντελεστές έχει ακριβώς deg(f) ϱίζες στο σώµα των µιγαδικών αριθµών. 1 Είναι ϕυσικό λοιπόν να αναζητήσουµε τη γενίκευση αυτού του ϑεωρήµατος για πολυώνυµα πολλών µεταβλητών. Εστω ότι S είναι ένα σύνολο πολυωνύµων στον δακτύλιο C[x 1,..., x n ]. Τι µπορούµε να πούµε για τα κοινά µηδενικά αυτών των πολυωνύµων ; Ορίζουµε το σύνολο των µηδενικών του S, Z(S), ως εξής : Z(S) = {(a 1,..., a n ) C n : g(a 1,..., a n ) = 0, g S} C n 1 Θυµίζουµε ότι η πρώτη ολοκληρωµένη απόδειξη του Θεµελιώδους Θεωρήµατος της Άλγεβρας αποδίδεται στον Gauss το 1803. 9

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 10 και λέµε ότι το Z(S) είναι µία πολλαπλότητα (variety). Πότε είναι το σύνολο Z(S) διάφορο του κενού ; εν είναι δύσκολο να δει κανείς ότι το σύνολο S και το ιδεώδες που παράγεται από το S, δηλ. το σύνολο S = {r 1 f 1 + + r n f n : f 1,..., f n S, r 1,..., r n C[x 1,..., x n ], n N} ορίζουν την ίδια πολλαπλότητα. Με άλλα λόγια : Z(S) = Z ( S ). Εύκολα επίσης µπορεί να δει κανείς ότι αν S 1 S 2, τότε Z(S 1 ) Z(S 2 ). Είναι µήπως το ιδεώδες S το µεγαλύτερο (ως προς τη σχέση εγκλεισµού) υποσύνολο του C[x 1,..., x n ] που τα στοιχεία του µηδενίζονται ακριβώς στο Z(S) και ποιες είναι οι ιδιότητες του ιδεώδους S που καθορίζουν τα µηδενικά του S; Αντίστροφα, έστω X ένα υποσύνολο του C n. Πως µπορούµε να καταλάβουµε πότε X ισούται µε κάποιο Z(S) και ότι το X είναι πολλαπλότητα ; Παράδειγµα 1.1.3. 1. Εστω X = N C. Κάθε µη µηδενικό πολυώνυµο f(x) C[x] έχει πεπερασµένο αριθµό ϱιζών. Εποµένως δεν υπάρχει S C[x 1,..., x n ] έτσι ώστε X = Z(S). 2. Εστω X = {1, 2} C. Αν το f(x) µηδενίζεται στο X, τότε (x 1)(x 2) διαιρεί το f(x). Εστω I = (x 1)(x 2). εν είναι δύσκολο να δει κανείς ότι Z(I) = X. 3. Εστω S = {c} ένα σταθερό µη µηδενικό πολυώνυµο. Τότε Z(S) =. Εποµένως Z(C[x 1,..., x n ]) =. 4. Εστω S = {0}. Τότε Z(S) = C n. Εστω, λοιπόν, X C n µία πολλαπλότητα. σύνολο : Ορίζουµε I(X) να είναι το παρακάτω I(X) = {f(x 1,..., x n ) C[x 1,..., x n ] : f(a 1,..., a n ) = 0, (a 1,..., a n ) X}. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι I(X) είναι ιδεώδες του C[x 1,..., x n ]. Ποια είναι η σχέση του X και του Z(I(X)); Αντίστροφα, (µε X = Z(S)) ποια είναι η σχέση του I(Z (S)) και του S; Παράδειγµα 1.1.4. 1. Εστω S = {x 2 4, x 2 5x + 6}. Τότε Z(S) = Z(x 2 4) Z(x 2 5x + 6) = {±2} {2, 3} = {2}. Εστω f(x) C[x] και f(2) = 0. Τότε f(x) = (x 2)g(x), όπου g(x) C[x] και άρα I({2}) = x 2. ιαφέρουν τα ιδεώδη I(Z (S)) και S ; Το ιδεώδες S έχει δύο γεννήτορες. Οµως ο C[x] είναι δακτύλιος κυρίων ιδεωδών και το S αναγκαστικά κύριο. Βρίσκουµε τον µέγιστο κοινό διαιρέτη των x 2 4 και x 2 5x+6 χρησιµοποιώντας τον Ευκλείδειο αλγόριθµο. Πράγµατι και εποµένως x 2 = 1 5 ( (x 2 4) (x 2 5x + 6) ) S = {f(x)(x 2 4) + g(x)(x 2 5x + 6) : f(x), g(x) C[x]} = x 2 = I(Z(S)). 10

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 11 2. Εστω S = {x 2, y 2 }. Τότε Z(S) = {(0, a) : a C} {(b, 0) : b C} = {(0, 0)}. Θα δείξουµε ότι I(Z(S)) = x, y S. Πράγµατι, για την ισότητα, ο ένας εγκλεισµός είναι άµεσος : x, y I(Z(S)). Αντίστροφα, αν f(x, y) = a i,j x i y j I(Z(S)) τότε a 0,0 = f(0, 0) = 0 και άρα f(x, y) = x( i 1 a i,j x i 1 y j ) + y( j 1 a 0,j x i y j 1 ) x, y. 3. Εστω X = C n. Τότε I(X) = C[x 1,..., x n ]. 4. Εστω X = C n. Τότε I(X) = 0. Είναι ϕανερό ότι αν g I(X) και f t = g, για t N, τότε f I(X). Οδηγούµαστε, λοιπόν, στη µελέτη του ϱιζικού ενός ιδεώδους I. Ορίζουµε στη γενική περίπτωση το ϱιζικό (radical) του ιδεώδους I στον δακτύλιο R είναι το σύνολο rad(i) = {f R : f m I, για κάποιο m N}. εν είναι δύσκολο να αποδείξει κανείς ότι rad(i) είναι ιδεώδες του R. Ειδικότερα rad ( 0 ) = {f R : f m = 0, για κάποιο m N} αποτελείται από όλα τα µηδενοδύναµα στοιχεία του R. Παράδειγµα 1.1.5. 1. Στον C[x, y], rad(x 2, y 2 ) = x, y. 2. rad(c[x 1,..., x n ]) = C[x 1,..., x n ]. 3. Στον Z, rad ( 20 ) = 10. Ο Hilbert το 1893 2 απέδειξε το επόµενο εντυπωσιακό ϑεώρηµα. Θεώρηµα 1.1.6 (Θεώρηµα των Μηδενικών του Hilbert (Hilbert s Nullstellensatz)). αʹ) Αν I C[x 1,..., x n ] είναι ιδεώδες, τότε I(Z(I)) = rad(i) ϐʹ) Εστω S = {f 1,..., f m } C[x 1,..., x n ]. g 1,..., g m C[x 1,..., x n ] τέτοια ώστε Το Z(S) = αν και µόνο αν υπάρχουν 1 = g 1 f 1 + + g m f m. ηλαδή Z(f 1,..., f m ) f 1,..., f m C[x 1,..., x n ]. 2 Hilbert, D. (1893). Über die vollen Invariantensysteme. Math. Ann. 42, 313;373. 11

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 12 Είναι ϕανερό ότι αν Z(f 1,..., f m ), τότε f 1,..., f m = C[x 1,..., x n ]. Παρακάτω, δείχνουµε ότι το ϐ) προκύπτει εύκολα από το α) του Θεωρήµατος των Μηδενικών του Hilbert. Στην ενότητα 7.2, ϑα δούµε την ολοκληρωµένη απόδειξη του ϑεωρήµατος που είναι και ϐασικός στόχος του µαθήµατος.. Πρόταση 1.1.7. Αν f 1,..., f m C[x 1,..., x n ], τότε Z ( f 1,..., f m ). Απόδειξη. Θέτουµε I = f 1,..., f m. Εστω ότι Z(I) =. Αφού I( ) = C[x 1,..., x n ] και I(Z(I)) = rad(i), συµπεραίνουµε ότι C[x 1,..., x n ] = rad(i). Κάθε στοιχείο του C[x 1,..., x n ] ανήκει στο rad(i), άρα 1 rad(i). Εποµένως υπάρχει t N, τέτοιο ώστε 1 t I, δηλ. 1 I και κατά συνέπεια I = C[x 1,..., x n ]. Καταλήξαµε σε άτοπο γιατί υποθέσαµε ότι Z(I) =. Εποµένως Z(I). Σηµειώνουµε ότι το Θεώρηµα των Μηδενικών του Hilbert δεν είναι αληθές, όταν στη ϑέση του C έχουµε τον R, όπως δείχνει το επόµενο παράδειγµα. Παράδειγµα 1.1.8. Εστω S = {x 2 + 1} R[x]. rad( x 2 + 1 ) = x 2 + 1 R[x]. Τότε Z(S) =, I( ) = R[x] και 1.1.3 Θεωρία Αναλλοιώτων Η ανάπτυξη της Αντιµεταθετικής Άλγεβρας σηµατοδοτήθηκε από τη σύνδεσή της µε τη Θεωρία των Αναλλοιώτων (Invariant Theory). Στα παραδείγµατα που ακολουθούν, G είναι µία (πολλαπλασιαστική) οµάδα µε δύο στοιχεία, G = {e G, g} που δρα στον δακτύλιο C[x, y]. Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει µία απεικόνιση G C[x, y] C[x, y] όπου και (e G, f(x, y)) e G f(x, y) = f(x, y) (g, f(x, y)) g f(x, y) όπου g (g f(x, y)) = (g 2 ) f(x, y) = f(x, y). Παράδειγµα 1.1.9. 1. Εστω ότι g x = x, g y = y και g f(x, y) = f( x, y). Ποια είναι, λοιπόν, τα πολυώνυµα που παραµένουν αναλλοίωτα και δεν επηρεάζονται από τη δράση της G; Με άλλα λόγια τι µπορούµε να πούµε για τα σύνολο C[x, y] G, όπου C[x, y] G = {f(x, y) C[x, y] : f(x, y) = f( x, y)}. Μπορεί να αποδειχθεί ότι C[x, y] G = C[x 2, y 2, xy] (αποδείξτε το) και άρα ο υποδακτύλιος των αναλλοιώτων είναι πεπερασµένα παραγόµενος. 2. Εστω ότι g x = y, g y = x και g f(x, y)) = f(y, x). Μπορεί να αποδειχθεί ότι αναλλοίωτα από τη δράση της G είναι ακριβώς εκείνα τα πολυώνυµα που ανήκουν στον υποδακτύλιο C[x + y, xy] (αποδείξτε το), ο οποίος είναι επίσης πεπερασµένα παραγόµενος. Ενα από τα µεγάλα προβλήµατα που απασχολούσε τους µαθηµατικούς στο τέλος του 19ου αιώνα και αρχές του 20ου είναι η περιγραφή των αναλλοιώτων (14ο πρόβληµα του Hilbert). Ο Hilbert το 1888 για µία ευρεία τάξη περιπτώσεων έδειξε ότι η υποάλγεβρα των αναλλοιώτων είναι πεπερασµένα παραγόµενη. Στηρίχτηκε σε αυτό που σήµερα είναι γνωστό ως το Θεώρηµα Βάσης του Hilbert, δηλαδή ότι κάθε ιδεώδες στον C[x 1,..., x n ] είναι πεπερασµένα παραγόµενο. Το ϑεώρηµα αυτό γενίκευσε µετέπειτα η Noether για τους δακτυλίους που είναι γνωστοί µε το όνοµά της και έτσι η Noether ανέπτυξε αξιωµατικά την Αντιµεταθετική Άλγεβρα. 12

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 13 1.2 Ασκήσεις Ασκήσεις για την Ενότητα 1.1.1. Ασκήσεις 1.2.1. 1. Να αποδείξετε ότι σε µία περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης, κάθε ανάγωγο στοιχείο είναι πρώτο. 2. Να αποδείξετε ότι Z[i] είναι ΠΜΑ. είξτε πρώτα ότι ο Z[i] είναι Ευκλείδια περιοχή χρησιµοποιώντας πολλαπλασιαστικές ιδιότητες της νόρµας, N(a + bi) = a 2 + b 2. 3. Σχολιάστε τη σχέση 2 = (1 + i)(1 i) στον Z[i]. Είναι τα 1 ± i πρώτα (ανάγωγα) στοιχεία του Z[i]; Είναι το 2 πρώτο στον Z[i]; 4. Θεωρήστε τώρα την ακεραία περιοχή Z[ 5] = {a + b 5 : a, b Z} και την νόρµα N(a + b 5) = a 2 + 5b 2. Παρατηρείστε ότι 6 = 2 3 = (1 + 5)(1 5). Είναι τα στοιχεία 3, 2 ± 5 πρώτα, ανάγωγα ; Είναι η ακεραία περιοχή Z[ 5] ΠΜΑ ; 5. Να αποδείξετε ότι το κύριο ιδεώδες 2 = {2r : r Z[ 5]} δεν είναι πρώτο ιδεώδες του Z[ 5]. 6. Να αποδείξετε ότι 2, 1 + i 5 = {2r + (1 + i 5)s : r, s Z[ 5]} είναι µέγιστο και άρα πρώτο και ανάγωγο ιδεώδες του Z[ 5]. Υπόδειξη : Χρησιµοποιείστε το Τρίτο Θεώρηµα Ισοµορφίας ακτυλίων για να δείξετε ότι Z[ 5]/P = Z 2. 7. Να αποδείξετε ότι αν I, J είναι δύο ιδεώδη και I + J = 1, τότε IJ = I J. Να συµπεράνετε ότι αν I J είναι δύο µέγιστα ιδεώδη, τότε IJ = I J. 8. Να αποδείξετε ότι 4 είναι ανάγωγο ιδεώδες του Z. 9. Εστω P πρώτο ιδεώδες του R. Να αποδείξετε ότι P είναι ανάγωγο. 10. Εστω I = x 2, xy, y 2 k[x, y]. Να γράψετε το I ως τοµή αναγώγων ιδεωδών. Ασκήσεις για την Ενότητα 1.1.2. Ασκήσεις 1.2.2. 1. Να αποδείξετε ότι τα σύνολα I(X) και rad(i) είναι ιδεώδη. 2. Στον Z, να αποδείξετε ότι rad ( 20 ) = 10. 3. Στον C[x, y], να αποδείξετε ότι rad(x 2, y 2 ) = x, y. 4. Εστω P πρώτο ιδεώδες στον δακτύλιο R. Να αποδείξετε ότι rad(p n ) = P, για n N. 13

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 14 5. Εστω f(x) = x 4 + 2x 2 + 1 και I = f(x). Να υπολογίσετε rad(i), Z(I) και I(Z(I)) στους Z 5 [x], R[x], C[x]. 6. Εστω X = {(a, a) : a C, a 2} C 2. Να εξετάσετε αν το X είναι ποικιλότητα. 7. Εστω k ένα άπειρο σώµα και f = f(x 1,..., x n ) = Σa i1,...,i n x i 1 1 x in n k[x 1,..., x n ] ένα µη µηδενικό πολυώνυµο. Να αποδείξετε ότι Z({f}) k n. Αν το f είναι οµογενές πολυώνυµο (δηλ. υπάρχει m N 0, τέτοιο ώστε i 1 + + i n = m, για a i1,...,i n 0), τότε υπάρχουν λ 1,..., λ n 1 k, έτσι ώστε (λ 1,..., λ n 1, 1) / Z({f}). Ασκήσεις για την Ενότητα 1.1.3. Ασκήσεις 1.2.3. 1. Να αποδείξετε ότι για την οµάδα G του Παραδείγµατος 1.1.9.1 ισχύει C[x, y] G = C[x 2, y 2, xy]. 2. Να αποδείξετε ότι για την οµάδα G του Παραδείγµατος 1.1.9.2 ισχύει C[x, y] G = C[x + y, xy]. 3. Εστω G = {e g, g 1, g 2, g 3 } η οµάδα του Klein, όπου g 2 1 = g 2 2 = g 2 3 = e g. Θεωρούµε τη δράση G C[x, y], µε g 1 f(x, y) = f( x, y), g 2 f(x, y) = f(x, y), g 1 f(x, y) = f( x, y). Να ϐρείτε τον υποδακτύλιο C[x, y] G. 1.2.1 Βιβλιογραφία 1. M. Atiyah, I. G. McDonald, Introduction To Commutative Algebra (Addison-Wesley Series in Mathematics), Addison-Wesley, 1969. 2. D. Cox, J. Little, D. O Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer-Verlag, 2007. 3. D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1995. 4. Μ. Μαλιάκας, Εισαγωγή στη Μεταθετική Άλγεβρα, Εκδόσεις Σοφία, 2005, σε µορφή pdf, εδώ. 14

Κεφάλαιο 2 Βασικές Εννοιες Σε ό,τι ακολουθεί ο R είναι αντιµεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα. 2.1 Πρώτα ιδεώδη Γράφουµε Spec(R) για το σύνολο των πρώτων ιδεωδών του R και maxspec(r) για το σύνολο των µεγίστων ιδεωδών του R. Είναι ϕανερό ότι maxspec(r) Spec(R). Στην Πρόταση 2.1.4 αποδεικνύουµε ότι τα σύνολα αυτά είναι µη κενά. Ενας ακόµη χρήσιµος χαρακτηρισµός των πρώτων ιδεωδών προκύπτει από το επόµενο συµπέρασµα. Πρόταση 2.1.1. Εστω P ιδεώδες του R. P Spec(R) αν και µόνο αν όποτε AB P για ιδεώδη A, B του R τότε A P ή B P. Απόδειξη. Εστω ότι P Spec(R), A, B δύο ιδεώδη τέτοια ώστε AB P και A, B P. Θα καταλήξουµε σε άτοπο. Από την υπόθεση f A \ P και g B \ P. Αφού fg AB P, συµπεραίνουµε ότι f g P άτοπο. Για την αντίστροφη κατεύθυνση, έστω ότι P ικανοποιεί την ιδιότητα της εκφώνησης και έστω ότι fg P. Τότε f g P, εποµένως f P ή g P. Αν f P τότε f P και οµοίως αν g P τότε g P. Παραδείγµατα 2.1.2. 1. Εστω R = Z[x]. Τότε P = x 2 + 1 Spec(R) αφού x 2 + 1 είναι πρωταρχικό πωλυώνυµο (ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των συντελεστών είναι 1) και δεν έχει ϱίζες στο Q (ή στον Z). Θα δείξουµε αναλυτικά ότι Πράγµατι έστω Z[x]/ x 2 + 1 = Z[i]. Φ : Z[x] Z[i] x i, f(x) f(i). Η συνάρτηση Φ είναι ο οµοµορφισµός εκτίµησης στο i και είναι επιµορφισµός δακτυλίων, δηλαδή Im Φ = Z[i]. Παρατηρούµε επίσης ότι x 2 + 1 ker Φ, άρα x 2 + 1 ker Φ. Θα δείξουµε ότι ker Φ = x 2 + 1. Πράγµατι έστω g(x) ker Φ. Θα δείξουµε ότι g(x) = q(x)(x 2 + 1). Αφού g(x), x 2 + 1 Q[x], σύµφωνα µε τον Ευκλείδειο αλγόριθµο στον Q[x], προκύπτει ότι g(x) = q(x)(x 2 + 1) + r(x), όπου q(x), r(x) Q[x] και r(x) = 0 ή deg(r(x)) < 2. Οµως ο µεγιστοβάθµιος συντελεστής του x 2 + 1 είναι 1 και από τον Ευκλείδειο αλγόριθµο προκύπτει ότι q(x), r(x) Z[x]. Εποµένως r(x) = ax + b, όπου a, b Z. 15

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 16 Αφού Φ(g(x)) = 0 έπεται ότι Φ(q(x)) 0 + Φ(r(x)) = 0 και εποµένως Φ(r(x)) = 0. Οµως αν a, b 0 τότε ai + b 0. Άρα a, b = 0 και r(x) = 0. Συνεπώς g(x) = q(x)(x 2 + 1), ker Φ x 2 + 1 και τελικά ker Φ = x 2 + 1. Από το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφίας ακτυλίων, προκύπτει ο Ϲητούµενος ισοµορφισµός και f(x) + x 2 + 1 f(i). Ο δακτύλιος Z[i] C είναι ακεραία περιοχή, όµως δεν είναι σώµα, άρα το x 2 + 1 δεν είναι µέγιστο ιδεώδες του Z[x]. 2. Θα δείξουµε ότι J = x 2 +1, 5 / Spec(Z[x]). Πράγµατι (x 2 +1) 5 = (x 2)(x+2) J. Οµως x 2 / J (γιατί ;) και οµοίως x 2 / J. Εποµένως το J δεν είναι πρώτο ιδεώδες του Z[x]. Θα καταλήξουµε στο ίδιο συµπέρασµα µελετώντας τον δακτύλιο Z[x]/J. Σύµφωνα µε το Τρίτο Θεώρηµα Ισοµορφίας ακτυλίων έχουµε ότι Προηγουµένως είδαµε ότι Z[x]/J = Z[x]/ x 2 + 1 / x 2 + 1, 5 / x 2 + 1. ψ : Z[x]/ x 2 + 1 = Z[i], όπου f(x) + x 2 + 1 f(i). Παρατηρούµε ότι Άρα ψ( x 2 + 1, 5 / x 2 + 1 ) = 5. Z[x]/J = Z[i]/ 5. Αφού 5 = (2 i)(2 + i), έπεται ότι ο δακτύλιος Z[i]/ 5 δεν είναι ακεραία περιοχή. 3. Το ιδεώδες I = x 2 +1, 3 είναι µέγιστο στον δακτύλιο Z[x]. Πράγµατι, παρατηρούµε ότι Z[x]/I = Z[x]/ x 2 + 1 / x 2 + 1, 3 / x 2 + 1 = Z[i]/ 3. Το 3 είναι ανάγωγο στο Z[i] και µπορεί να αποδείξει κανείς ότι Z[i]/ 3 είναι σώµα. 4. Το ιδεώδες P = x 2 + 1, p maxspec(z[x]) αν και µόνο αν το πολυώνυµο x 2 + 1 δεν έχει ϱίζα στο Z p [q] (Άσκηση 2.3.1.1 ή επόµενο παράδειγµα). 5. Εστω S ακεραία περιοχή. Τότε ο δακτύλιος R = S[x 1,..., x n ] είναι επίσης ακεραία περιοχή και x 1 είναι πρώτο ιδεώδες του R, αφού S[x 1,..., x n ]/ x 1 = S[x 2,..., x n ]. Το ιδεώδες x 1,..., x n είναι µέγιστο ιδεώδες στον R αν και µόνο αν το S είναι σώµα, αφού S[x 1,..., x n ]/ x 1,..., x n = S. Αν φ : R S είναι οµοµορφισµός δακτυλίων, τότε είναι ιδιαίτερα επιθυµητό γνώση για το Spec(R) να µεταφέρεται σε γνώση για το Spec(S) και αντίστροφα. Αν I είναι ιδεώδες του R. τότε το σύνολο φ(i) δεν είναι κατ ανάγκη ιδεώδες του S. Για παράδειγµα, έστω φ η εµφύτευση του Z στον Q και I = 2Z. Τότε φ(i) = 2Z δεν είναι ιδεώδες του Q. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι το µικρότερο ιδεώδες του S που περιέχει το φ(i) είναι το σύνολο 16

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 17 φ(i)is. Το φ(i)is συµβολίζεται ενίοτε ως IS ή I e, και ονοµάζεται προέκταση (extension) του I στον S, Με άλλα λόγια, { n } I e = φ(i)s = φ(i) = s i φ(a i ) : a i I, s i S, n N. Πηγαίνοντας από τον S πίσω στον R, δεν είναι δύσκολο να δεί κανείς ότι i=1 J c := φ 1 (J) = {a R : φ(a) J} είναι ιδεώδες του R. Ενίοτε, χρησιµοποιούµε τον συµβολισµό J R για το ιδεώδες J c και το αποκαλούµε συστολή (contraction) του J στον R. Παραδείγµατα 2.1.3. 1. Εστω φ : R S επιµορφισµός δακτυλίων και I ιδεώδες του R. Ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει ότι I e = φ(i)s = φ(i) (Άσκηση 2.3.1.3). 2. Εστω I = 2Z και φ : Z Q, I e = 2Q = Q. Παρατηρούµε ότι το I e δεν είναι πρώτο ιδεώδες του Q, ενώ, ϐέβαια, το I Spec(Z). 3. Εστω Z Z[i], η κανονική εµφύτευση και έστω ότι, όπως προηγουµένως, I = 2Z. Τότε I e = 2Z[i] δεν είναι πρώτο ιδεώδες. Πράγµατι, (1 + i)(1 i) I e και ο αναγνώστης καλείται να δείξει ότι 1 ± i / I e. 4. Εστω φ : R S οµοµορφισµός δακτυλίων και έστω J ιδεώδες του R. Ο αναγνώστης καλείται να δείξει ότι αν Q Spec S, τότε Q c = Q R Spec(R) (ϐλ. Άσκηση 2.3.1.7). 5. Εστω φ : Z Q[x, y], η κανονική εµφύτευση και έστω J = x, y. Παρατηρούµε ότι J maxspec Q[x, y] και ότι J c = 0, άρα J c είναι πρώτο, µη µέγιστο ιδεώδες του Z και (J c ) e J. 6. Εστω φ : R S οµοµορφισµός δακτυλίων. Εστω I ιδεώδες του R. Είναι εύκολο να αποδείξει κανείς ότι I (I e ) c. Αντίστοιχα, αν J είναι ιδεώδες του S, τότε (J c ) e J. Στη γενική περίπτωση, οι παραπάνω εγκλεισµοί ενδέχεται να είναι γνήσιοι. 7. Εστω R = Z[x]. Τότε 0 x 2 + 1 x 2 + 1, 3, είναι ακολουθία πρώτων ιδεωδών µήκους 2. Οπως προκύπτει από την ανάλυση του Spec(Z[x]) παρακάτω, δεν υπάρχει ακολουθία πρώτων ιδεωδών στον Z[x] που να έχει µήκος µεγαλύτερο του 2 (Άσκηση 2.3.1.5). Λέµε ότι η διάσταση του Krull του Z[x] είναι 2 και γράφουµε dimz[x] = 2. 8. Εστω I γνήσιο ιδεώδες του R και ϑεωρούµε τον δακτύλιο πηλίκο R/I, µε τον κανονικό επιµορφισµό π : R R/I. Αν J είναι ιδεώδες του R και I J, χρησιµοποιούµε τον συµβολισµό J/I για να δηλώσουµε το σύνολο J/I := {a + I : a J}. Το σύνολο J/I είναι ιδεώδες του R/I. Αντίστροφα, αν J είναι ιδεώδες του R/I, τότε J = J/I όπου J = {b : b+i J }. Εστω ότι I P. Είναι εύκολο να δει κανείς (για 17

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 18 παράδειγµα από το Τρίτο Θεώρηµα Ισοµορφίας ακτυλίων) ότι P/I Spec(R/I) αν και µόνο αν P Spec(R). Παρατηρούµε ότι αν L είναι ιδεώδες του R, τότε L e = π(l) = (L + I)/I. Σηµειώνουµε, επίσης, ότι αν I J, τότε (J e ) c = J και αντίστροφα ((J/I) c ) e = J/I. 9. Εστω P Spec(Z[x]), τέτοιο ώστε P Z 0. Αν p P Z είναι πρώτος, έστω φ ο επιµορφισµός δακτυλίων φ : Z[x] Z p [x], Σa i x i Σa i x i. Σηµειώνουµε ότι Ker φ = p = pz[x]. και ότι φ(p ) = P e Spec(Z p [x]). Θα αποδείξουµε ότι είτε P = p, είτε P = p, f(x), όπου φ(p ) = φ(f(x)). Απόδειξη. Αν P p, τότε φ(p ) 0. Εστω f(x) P, τέτοιο ώστε φ(f(x)) = φ(p ). Θα δείξουµε ότι P = p, f(x). Ο ένας εγκλεισµός είναι προφανής. Για τον δεύτερο, παρατηρούµε ότι αν h(x) P, τότε φ(h(x)) = φ(f(x))a(x), όπου a(x) Z p [x]. Εστω ότι b(x) Z[x], τέτοιο ώστε φ(b(x)) = a(x). Τότε φ(h(x) f(x)b(x)) = 0 h(x) f(x)b(x) Ker φ h(x) P. Εποµένως P p, f(x) και κατά συνέπεια P = p, f(x). 10. Εστω φ : Z[x] Q[x] η κανονική εµφύτευση. Αν το P είναι πρώτο ιδεώδες του Z[x] και P Z = 0, τότε P e = P Q[x] είναι πρώτο ιδεώδες του Q[x]. Απόδειξη. Πρώτα, παρατηρούµε ότι αν h(x) Q[x], τότε h(x) = rf(x), όπου f(x) Z[x] και r Q. Αντίστοιχα, ο αναγνώστης καλείται να δείξει ότι αν h(x) P Q[x], τότε h(x) = rf(x), όπου f(x) P και r Q. Εστω, λοιπόν, ότι (r 1 f 1 (x))(r 2 f 2 (x)) P Q[x], όπου f i (x) Z[x] και r i Z, για i = 1, 2. Σύµφωνα µε την προηγούµενη παρατήρηση, υπάρχει f(x) P, r Q, τέτοιο ώστε r 1 r 2 f 1 (x)f 2 (x) = rf(x). Κατά συνέπεια (διώχνοντας τους παρανοµαστές των r 1, r 2, r), υπάρχει ακέραιος m 0, τέτοιος ώστε mf 1 (x)f 2 (x)) P. Αφού το P είναι πρώτο ιδεώδες του Z[x] και από την υπόθεση m / P, προκύπτει ότι είτε f 1 (x) είτε f 2 (x) P και άρα r 1 f 1 (x) ή r 2 f 2 (x) P Q[x]. Σηµειώνουµε, ότι αν το P είναι πρώτο ιδεώδες του Z[x] και P Z = 0, τότε υπάρχει ανάγωγο (µη σταθερό) πολυώνυµο f(x) Z[x], τέτοιο ώστε P Q[x] = f(x)q[x] και P = f(x)z[x] = f(x) (ϐλ. Άσκηση 2.3.1.4). Είναι καιρός να αποδείξουµε ότι για κάθε αντιµεταθετικό δακτύλιο R, το σύνολο Spec(R) είναι µη κενό. Για την απόδειξη, ϑα χρησιµοποιήσουµε το Λήµµα του Zorn. Λήµµα του Zorn Εστω A ένα µη κενό µερικά διατεταγµένο σύνολο µε την ιδιότητα κάθε αλυσίδα στοχείων του Α έχει άνω ϕράγµα στο Α. Τότε το A έχει ένα µεγιστικό στοιχείο. Το Λήµµα του Zorn είναι ισοδύναµο µε το Αξίωµα της Επιλογής. Λήµµατος του Zorn προκύπτει το επόµενο συµπέρασµα. Θεώρηµα 2.1.4. Κάθε δακτύλιος R έχει ένα τουλάχιστον µέγιστο ιδεώδες. Ως εφαρµογή του 18

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 19 Απόδειξη. Εστω S το σύνολο των γνήσιων ιδεωδών του R. Το σύνολο S είναι µη κενό αφού περιέχει το µηδενικό ιδεώδες. Ορίζουµε µία σχέση µερικής διάταξης στο S: Εστω L µία αλυσίδα στο S: I J I J. L : I i I i+1. Το σύνολο J L J είναι γνήσιο ιδεώδες του R και άρα ανήκει στο S. Είναι επίσης άνω ϕράγµα του L. Σύµφωνα µε το Λήµµα του Zorn το S έχει ένα µεγιστικό στοιχείο. Το µεγιστικό αυτό στοιχείο είναι µέγιστο ιδεώδες του R. Θα εφαρµόσουµε το παραπάνω στον δακτύλιο πηλίκο. Πόρισµα 2.1.5. Εστω I γνήσιο ιδεώδες του R. Υπάρχει τουλάχιστον ένα µέγιστο ιδεώδες του R που περιέχει το I. Απόδειξη. Ο δακτύλιος R/I έχει ένα τουλάχιστον µέγιστο ιδεώδες, έστω το m/i. Το ιδεώδες m είναι µέγιστο στο R. Εστω P Spec(R) και U = R \ P. Τότε το U είναι πολλαπλασιαστικά κλειστό σύνολο και P είναι το µέγιστο (ως προς τη σχέση εγκλεισµού) ιδεώδες I, τέτοιο ώστε U I =. Η επόµενη πρόταση γενικεύει αυτήν την παρατήρηση. Πρόταση 2.1.6. Εστω U πολλαπλασιαστικό κλειστό υποσύνολο του R, U. Εστω T το σύνολο των ιδεωδών του R που δεν έχουν τίποτα κοινό µε το U και Q µεγιστικό στοιχείο του T. Τότε Q Spec(R). Απόδειξη. Αφού U συµπεραίνουµε ότι T περιέχει µόνον γνήσια ιδεώδη του R. Εστω fg Q. Εστω ότι f, g / Q. Τότε Q f + Q και Q g + Q. Αφού Q µέγιστο στο T, έπεται ότι τα ιδεώδη f + Q, g + Q δεν ανήκουν στο T. Εποµένως, η τοµή τους µε το Uείναι διάφορη του κενού. Άρα υπάρχουν a, b R, q 1, q 2 Q έτσι ώστε af + q 1 U, bg + q 2 U. Συνεπώς h = (af + q 1 )(bg + q 2 ) U Q, που όµως είναι άτοπο. Άρα ένα από τα f, g Q και Q Spec(R). Εστω I ιδεώδες του R. Θα χρησιµοποιήσουµε την παραπάνω πρόταση για να περιγράψουµε τα µηδενοδύναµα στοιχεία του R, δηλαδή τα στοιχεία του rad ( 0 ). Πόρισµα 2.1.7. rad ( 0 ) = P P Spec(R) Απόδειξη. Εστω J η τοµή όλων των πρώτων ιδεωδών του R. Θα δείξουµε ότι rad ( 0 ) = J. Εστω f rad ( 0 ). Υπάρχει m N, έτσι ώστε f m = 0. Εποµένως f m P για κάθε P Spec(R). Άρα f P και f J. Αντίστροφα, έστω f J και έστω ότι f δεν είναι µηδενοδύναµο. Θα καταλήξουµε σε άτοπο. Το σύνολο U = {f m : m N} είναι πολλαπλασιαστικά κλειστό και δεν περιέχει το 0. Το σύνολο των ιδεωδών του R που δεν έχουν τίποτα κοινό µε το U είναι διάφορο του κενού αφού περιέχει το µηδενικό ιδεώδες. Επίσης µε την ίδια σχέση διάταξης όπως στο Πόρισµα 2.1.4, κάθε αλυσίδα έχει άνω ϕράγµα. Σύµφωνα µε το Λήµµα του Zorn, το σύνολο των ιδεωδών του R που δεν έχουν τίποτα κοινό µε το U έχει µεγιστικό στοιχείο, έστω Q. Σύµφωνα µε την Πρόταση 2.1.6, το ιδεώδες Q είναι πρώτο. Εποµένως J Q και άρα f Q, άτοπο. Οδηγηθήκαµε σε άτοπο γιατί υποθέσαµε ότι υπάρχει f J που δεν είναι µηδενοδύναµο. Εποµένως J = rad ( 0 ). 19

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 20 Εφαρµόζοντας το Πόρισµα 2.1.7 στον δακτύλιο πηλίκο R/I προκύπτει το επόµενο συµπέρασµα : Πόρισµα 2.1.8. Εστω I ιδεώδες του R. Τότε rad(i) = P Spec(R) I P Απόδειξη. Εστω f rad(i). Τότε f m I για κάποιο m N και άρα κάθε στοιχείο του συνόλου f + I = {f + g : g I} ανήκει στο rad(i) (αποδείξτε το). Στον δακτύλιο R/I, τα µηδενοδύναµα στοιχεία είναι της µορφής f + I, όπου f m I για κάποιο m N. Αφού τα πρώτα ιδεώδη του R/I είναι της µορφής P/I, όπου P είναι πρώτο ιδεώδες του R που περιέχει το I, από το προηγούµενο ϑεώρηµα έπεται ότι f rad(i) αν και µόνο αν f P, για κάθε πρώτο ιδεώδες P του R που περιέχει το I. Είδαµε ότι η τοµή όλων των πρώτων ιδεωδών του R είναι τα µηδενοδύναµα στοιχεία του R. Τι µπορούµε να πούµε για την τοµή των µέγιστων ιδεωδών του R; Η τοµή αυτών των ιδεωδών λέγεται ϱιζικό του Jacobson και συµβολίζεται µε J(R): J(R) = P maxspec(r) Πρόταση 2.1.9. Το x J(R) αν και µόνο αν 1 xy είναι αντιστρέψιµο για κάθε y R. Απόδειξη. Εστω ότι x J(R) και έστω ότι για y R, 1 xy δεν είναι αντιστρέψιµο. Τότε 1 xy περιέχεται σε κάποιο µέγιστο ιδεώδες P του R, Πόρισµα 2.1.5. Εποµένως 1 xy P. Αφού x P συµπεραίνουµε ότι 1 P και οδηγούµαστε σε άτοπο. Εστω τώρα ότι 1 xy είναι αντιστρέψιµο για κάθε y R. Αν υπάρχει ένα µέγιστο ιδεώδες P του R έτσι ώστε x / P τότε το ιδεώδες P + x = R. Συνεπώς υπάρχουν r P, x R, έτσι ώστε 1 = r + xy. Οµως, σύµφωνα µε την υπόθεση, r = 1 xy είναι αντιστρέψιµο, άτοπο αφού r P. Μία εξαιρετικά χρήσιµη ιδιότητα περιγράφεται στο παρακάτω Θεώρηµα. Θεώρηµα 2.1.10. (Θεώρηµα Αποφυγής Πρώτων Ιδεωδών) Εστω A = {P 1,..., P n }, µε P i Spec(R), για i [n]. Αν το I είναι ιδεώδες του R και I P A P, τότε I P για κάποιο P A. Απόδειξη. Η απόδειξη ϑα γίνει µε επαγωγή στον n. Η πρόταση είναι προφανώς αληθής για n = 1. Υποθέτουµε ότι η πρόταση ισχύει όταν A = n 1. Εστω λοιπόν ότι P. I P AP και I P, για P A. P Θεωρούµε τα παρακάτω n σύνολα : J 1 = P 2 P 3... P n, J 2 = P 1 P 3... P n,. 20

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 21 J n = P 1... P n 1. Εστω ότι I J i για κάποιο i [n]. Τότε σύµφωνα µε την υπόθεση της επαγωγής I P j (όπου j i). Υποθέσαµε όµως ότι I P, για P A. Άρα I J i, για i [n]. Εποµένως, για κάθε i [n], µπορούµε να ϐρούµε ένα στοιχείο f i που να ανήκει στο I και να µην ανήκει στο J i. Αφού όµως I J i P i (για i [n]), αυτό σηµαίνει ότι το f i ανήκει στο P i. ηλαδή : f 1 I P 1 και f 1 / P 2,..., P n, f 2 I P 2 και f 2 / P 1, P 3,..., P n,. f n I P n και f n / P 1,..., P n 1. Εστω τώρα g = (f 2 f n ) + (f 1 f 3 f n ) + + (f 1 f n 1 ) = n f 1 f i f n I P. P A i=1 Σηµειώνουµε ότι f 2 f n / P 1, ενώ f 2 f n P 2,..., P n, f 1 f 3 f n / P 2, ενώ f 1 f 3 f n P 1, P 3,..., P n,. f 1 f n 1 / P n, ενώ f 1 f n 1 P 1,..., P n 1. Οµως g I και άρα g P t, για κάποιο t [n]. Εποµένως, f 1 f t f n = g j t f 1 f j f n P t Αφού P t Spec(R) αυτό σηµαίνει ότι κάποιος από τους παράγοντες του γινοµένου f 1 f t f n ανήκει στο P t, το οποίο είναι άτοπο. Καταλήξαµε σε άτοπο, γιατί υπο- ϑέσαµε ότι I P, για P A. Εποµένως, υπάρχει P A, τέτοιο ώστε I P. Παρατήρηση 2.1.11. Στο Θεώρηµα Αποφυγής Πρώτων Ιδεωδών, δεν είναι αναγκαίο τα ιδεώδη του A να είναι όλα πρώτα. Κοιτάζοντας προσεκτικά την απόδειξη, µπορεί να δει κανείς το συµπέρασµα του ϑεωρήµατος ισχύει µε την ασθενέστερη υπόθεση ότι δύο από τα n ιδεώδη του A δεν είναι πρώτα. 2.2 Τοπικοποίηση ακτυλίων Ορισµός 2.2.1. Ο δακτύλιος R λέγεται τοπικός ( local) δακτύλιος όταν ο R έχει ακριβώς ένα µέγιστο ιδεώδες m. Γράφουµε (R, m, k) για να δηλώσουµε ότι το µοναδικό µέγιστο ιδεώδες του R είναι m και ότι k είναι το αντίστοιχο σώµα πηλίκων, δηλ. R/m = k. Ο δακτύλιος R λέγεται ηµιτοπικός ( semilocal) δακτύλιος όταν ο R έχει πεπερασµένο αριθµό µέγιστων ιδεωδών. 21

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 22 Παράδειγµα 2.2.2. 1. Το σώµα K είναι τοπικός δακτύλιος µε µέγιστο ιδεώδες 0 και σώµα πηλίκων K. 2. Ο δακτύλιος Z δεν είναι ηµιτοπικός. 3. Εστω K σώµα. Ο δακτύλιος K[x] δεν είναι ηµιτοπικός. 4. Ο δακτύλιος Z 4 = { 0, 1, 2, 3} είναι τοπικός δακτύλιος µε µοναδικό µέγιστο ιδεώδες το 2. Το σώµα πηλίκων Z 4 / 2 είναι ισόµορφο µε το Z 2. 5. Ο Z 6 είναι ηµιτοπικός. Τα µέγιστα ιδεώδη του είναι τα 2, 3. 6. Εστω Z 2 := { a b : a, b Z, b περιττός }. Είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι Z 2 είναι υποδακτύλιος του Q. Τα στοιχεία της µορφής 2k + 1 2l + 1, k, l Z είναι αντιστρέψιµα στον Z 2. Θα δείξουµε ότι Z 2 είναι τοπικός δακτύλιος µε µέγιστο ιδεώδες το 2l 2 = 2Z 2 = 2k + 1 : k, l Z. Πράγµατι, έστω ότι I είναι ιδεώδες του Z 2 και ας υποθέσουµε ότι 2 I I. Αφού Z 2 \ 2 αποτελείται από αντιστρέψιµα στοιχεία συµπεραίνουµε ότι I = Z 2 και άρα το ιδεώδες 2Z 2 είναι το µέγιστο ιδεώδες στον Z 2. Στις ασκήσεις, ϑα σας Ϲητηθεί να δείξετε ότι Z 2 / 2 = Z 2. 7. Θα γενικεύσουµε την προηγούµενη κατασκευή όταν R είναι ακεραία περιοχή και P Spec(R). Το σύνολο S = R \ P είναι πολλαπλασιαστικά κλειστό, δεν περιέχει το µηδέν ενώ περιέχει τη µονάδα του R. Στο καρτεσιανό γινόµενο R S ορίζουµε την παρακάτω σχέση ισοδυναµίας : (r 1, s 1 ) (r 2, s 2 ) r 1 s 2 r 2 s 1 = 0. Συµβολίζουµε τις κλάσεις ισοδυναµίας του (r, s) µε το κλάσµα r s, δηλ. Εστω r s = {(r, s ) : r s = rs, r R, s S}. S 1 R := { r s : r R, s S} µε πράξεις r 1 s 1 + r 2 s 2 = r 1s 2 + r 2 s 1 s 1 s 2, και r 1 s 1 r 2 s 2 = r 1r 2 s 1 s 2. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι οι πράξεις αυτές είναι καλά ορισµένες (αποδείξτε το) και ότι το σύνολο (S 1 R, +, ) είναι αντιµεταθετικός δακτύλιος µε µηδενικό στοιχείο και µονάδα τα κλάσµατα 0 1 = 0 s, 1 1 = s s 22

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 23 αντίστοιχα. Η συνάρτηση φ : R S 1 R, r r 1 είναι οµοµορφισµός δακτυλίων. Αν I είναι ιδεώδες του R τότε I e = IS 1 R = { n i=1 είναι ιδεώδες του S 1 R. Παρατηρούµε ότι f i s i : f i I, r i R, s i S} s I S τότε s 1 IS 1 R και άρα 1 1 = s 1 s IS 1 R. Κατά συνέπεια, αν I S τότε IS 1 R = S 1 R. Ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει ότι όλα τα στοιχεία του S 1 R που δεν ανήκουν στο ιδεώδες P S 1 R είναι αντιστρέψιµα. Εποµένως, το µοναδικό µέγιστο ιδεώδες του S 1 R είναι το P S 1 R και S 1 R είναι τοπικός δακτύλιος. Ο δακτύλιος S 1 R λέγεται η τοπικοποίηση του R στο ιδεώδες P και συµβολίζετα ως R P. Θα γενικεύσουµε την τοπικοποίηση του τελευταίου παραδείγµατος, για ένα οποιαδήποτε πολλαπλασιαστικά κλειστό σύνολο S που περιέχει τη µονάδα. Ορισµός 2.2.3. Εστω R αντιµεταθετικός δακτύλιος, S πολλαπλασιαστικά κλειστό σύνολο του R. Στο καρτεσιανό γινόµενο R S ορίζουµε τη σχέση ισοδυναµίας : (r 1, s 1 ) (r 2, s 2 ) t(r 1 s 2 r 2 s 1 ) = 0, για t S. Συµβολίζουµε τις κλάσεις ισοδυναµίας του (r, s) µε r. Το σύνολο s S 1 R := { r s : r R, s S}, µε πράξεις r 1 s 1 + r 2 s 2 = r 1s 2 + r 2 s 1 s 1 s 2, r 1 s 1 r 2 s 2 = r 1r 2 s 1 s 2 είναι αντιµεταθετικός δακτύλιος και λέγεται τοπικοποίηση του R στο S. Ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει ότι η σχέση είναι σχέση ισοδυναµίας και ότι οι πράξεις του S 1 R είναι πράγµατι καλά ορισµένες Παράδειγµα 2.2.4. 1. Εστω R ακεραία περιοχή και S = R \ {0}. Τότε ο S 1 R είναι το σώµα κλασµάτων της R, το µικρότερο σώµα που περιέχει την R. 2. Θα τοπικοποιήσουµε τον Z 10 = {0, 1,..., 9} στο πολλαπλασιαστικά κλειστό σύνολο S = {1, 5} Z 10. Τα κλάσµατα του S 1 Z 10 είναι : Οµως 0 1, 1 1, 2 1,..., 9 1, 0 5, 1 5,..., 9 5. 23

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 24 (0, 1) (a, t) αν και µόνο αν υπάρχει l S έτσι ώστε la = 0 ενώ ο παρανοµαστής t είναι οποιοδήποτε στοιχείο του S. Για l = 1, αυτό σηµαίνει ότι a = 0. Για l = 5, αυτό σηµαίνει ότι a = 2r. Άρα 0 1 = 0 5 = 2 1 = 2 5 = 4 1 = 4 5 = 6 1 = 6 5 = 8 1 = 8 5. Αντίστοιχα, (1, 1) (a, t) αν και µόνο αν a t = 2r, όπου t S. Εποµένως 1 1 = 3 1 = 5 1 = 7 1 = 9 1 = 1 5 = 3 5 = 5 5 = 7 5 = 9 5. Εποµένως S 1 Z 10 έχει ακριβώς δύο στοιχεία. 3. Εστω R = Z[x] και S = Z. Το S είναι πολλαπλασιαστικά κλειστό στον Z και στον R. Το σώµα κλασµάτων του Z, δηλ. το Q, είναι η τοπικοποιήση S 1 Z. Ο αναγνώστης καλείται να δείξει ότι S 1 Z[x] = Q[x] (ϐλ. Πρόταση 2.2.6). Εστω S πολλαπλασιαστικά κλειστό σύνολο του δακτυλίου R µε 1 S. Είναι εύκολο να επιβεβαιωθεί ότι η συνάρτηση φ : R S 1 R, r r 1 είναι οµοµορφισµός δακτυλίων. Ο φ δεν είναι πάντα εµφύτευση. Για παράδειγµα έστω ότι s S είναι διαιρέτης του µηδενός στον R και ότι sa = 0 για a 0. Τότε a a 1 = 0, αφού s(a 1 0 1) = 0. 1 Παρατηρούµε επίσης ότι το φ(s) είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του S 1 R, για κάθε s S. Μπορεί, λοιπόν, να δείξει κανείς ότι ο δακτύλιος S 1 R µαζί µε τον φ : R S 1 R, r r, ικανοποιούν τη καθολική ιδιότητα απεικόνισης για την τοπικοποίηση. 1 Πρόταση 2.2.5 (Καθολική ιδιότητα απεικόνισης για την τοπικοποίηση). Εστω ψ : R T οµοµορφισµός δακτυλίων όπου κάθε στοιχείο του S απεικονίζεται σε αντιστρέψιµο στοιχείο του T. Τότε υπάρχει µοναδικός οµοµορφισµός δακτυλίων Φ : S 1 R T, τέτοιος ώστε Φφ = ψ. Σχηµατικά R T ψ φ S 1 R! Φ (2.2.1) Απόδειξη. Ορίζουµε τη συνάρτηση Φ : S 1 R T r s ψ 1 (s)ψ(r). Η συνάρτηση Φ είναι καλά ορισµένη. Πράγµατι, έστω ότι (r, s) (r, s ). Τότε υπάρχει t S έτσι ώστε t(rs sr ) = 0. Εποµένως, ψ(t)ψ(rs sr ) = 0. Οµως ψ(t) είναι αντιστρέψιµο στοιχείο, άρα ψ(rs sr ) = 0 και ψ(r)ψ(s ) = ψ(s)ψ(r ). Εποµένως, ψ(r)ψ(s) 1 = ψ(r )ψ(s ) 1 και η Φ είναι καλά ορισµένη. 24

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 25 Για την αντιµεταθετικότητα του διαγράµµατος 2.2.1, παρατηρούµε ότι r ψ(r) r 1 Τέλος, είναι ϱουτίνα ο έλεγχος ότι Φ είναι οµοµορφισµός δακτυλίων και αφήνεται για τον αναγνώστη. Η Πρόταση 2.2.6 χαρακτηρίζει τον δακτύλιο S 1 R µε προσέγγιση ισοµορφίας. Πρόταση 2.2.6. Εστω θ : R A οµοµορφισµός δακτυλίων µε θ(s) αντιστρέψιµο για s S. Αν για κάθε ψ : R T οµοµορφισµό δακτυλίων, µε ψ(s) αντιστρέψιµο στοιχείο του T για s S, υπάρχει µοναδικός οµοµορφισµός Ψ : A T, Ψθ = ψ, τότε A = S 1 R. Απόδειξη. Πράγµατι, έστω Φ και Ψ οι οµοµορφισµοί των παρακάτω αντιµεταθετικών διαγραµµάτων : R φ S 1 R R θ A. (2.2.2) θ A Φ φ S 1 R Ψ Θα δείξουµε ότι Ψ είναι ισοµορφισµός δακτυλίων, αποδεικνύοντας ότι ΨΦ = id S 1 R και ΦΨ = id A. Παρατηρούµε ότι το διάγραµµα R φ S 1 R (2.2.3) φ S 1 R id S 1 R είναι αντιµεταθετικό. Οµως, σύµφωνα µε το δεύτερο διάγραµµα της 2.2.2, φ = Ψθ : R S 1 R. Επίσης, αφού (ΨΦ)φ = Ψ(Φφ) = Ψθ, το διάγραµµα R φ S 1 R (2.2.4) Ψθ S 1 R ΨΦ είναι αντιµεταθετικό. Υπάρχουν λοιπόν δύο οµοµορφισµοί από τον S 1 R S 1 R που κάνουν το διάγραµµα 2.2.4 αντιµεταθετικό : ο ταυτοτικός id S 1 R και ο ΨΦ. Εξαιτίας της συνθήκης της µοναδικότητας στη καθολική ιδιότητα της τοπικοποίησης µας συµπεραίνουµε ότι ΨΦ = id S 1 R. Με τον ίδιο τρόπο, προκύπτει ότι ΦΨ = id A και άρα οι Ψ, Φ είναι ισοµορφισµοί, αντίστροφοι µεταξύ τους. Η Καθολική Ιδιότητα της Τοπικοποίησης µπορεί, λοιπόν, να χρησιµοποιηθεί για να δείξει κανείς ότι ένας δακτύλιος είναι η Ϲητούµενη τοπικοποίηση, όπως δείχνουµε στο επόµενο παράδειγµα. 25

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 26 Παράδειγµα 2.2.7. Εστω R = Z 10, S = {1, 5} όπως στο Παράδειγµα 2.2.4.2. Θα δείξου- µε ότι S 1 R = Z 2 χωρίς να κάνουµε τους αναλυτικούς υπολογισµούς του παραδείγµατος. Η συνάρτηση θ : R Z 2, 2k 0, 2k + 1 1, για 0 k 4 είναι οµοµορφισµός δακτυλίων και οι εικόνες των στοιχείων του S είναι το αντιστρέψιµο στοιχείο του Z 2. Εστω T και ψ : R T µε αυτήν την ιδιότητα. Παρατηρούµε ότι αφού 0 = ψ(2k 5) = ψ(2k)ψ(5) και ψ(5) αντιστρέψιµο, ϑα πρέπει ψ(2k) = 0, για 0 k 4. Άρα 2ψ(1) = 0 και η χαρακτηριστική του T είναι 2. Εποµένως υπάρχει µοναδικός οµοµορφισµός Ψ : Z 2 T, έτσι ώστε R θ S 1 R T ψ! Φ Τα ιδεώδη του S 1 R είναι άρρηκτα δεµένα µε τα ιδεώδη του R. Πρώτα παρατηρούµε ότι αν s I S, όπου I είναι ιδεώδες του R, τότε 1 = s s Ie και άρα I e = S 1 R. Η επόµενη πρόταση περιγράφει τα ιδεώδη του S 1 R. Πρόταση 2.2.8. Εστω S ένα πολλαπλασιαστικά κλειστό υποσύνολο του R µε 1 S και έστω I το σύνολο των ιδεωδών του R που η τοµή τους µε το S είναι το κενό σύνολο, ενώ J είναι το σύνολο των ιδεωδών του S 1 R. Τότε η συνάρτηση J I : J J c είναι αµφιµονότιµη και (J c )S 1 R = J. Ειδικότερα, αν P Spec(R) και P S =, τότε P S 1 R Spec(S 1 R). Απόδειξη. Άσκηση 2.3.2.2. Σηµειώνουµε ότι η αντιστοιχία της Πρότασης 2.2.8 δεν είναι επί : υπάρχουν ιδεώδη στο I που δεν είναι συστολές ιδεωδών του J. Ετσι, ακόµα και αν I S =, είναι πιθανόν ϐλ. Άσκηση 2.3.2.11. IS 1 R R I, Παράδειγµα 2.2.9. Αφού Q[x] = S 1 Z[x], όπου S = Z, σύµφωνα µε την Πρόταση 2.2.8, τα πρώτα ιδεώδη του Spec Q[x], περιγράφουν πλήρως κάποια από τα πρώτα ιδεώδη του Z. Εστω, λοιπόν, P Spec(Z[x]), τέτοιο ώστε P Z = 0. Τότε P Z = και P Q[x] Spec Q[x]. Αφού Q[x] είναι Π.Κ.Ι., το ιδεώδες P Q[x] είναι κύριο και άρα P Q[x] = f(x), για f(x) P, s (Άσκηση 2.3.2.2). Αφού το 1/s είναι αντιστρέψιµο στον Q[x], παρατηρούµε ότι P Q[x] = f(x)q[x] και αφού P Q[x] Spec Q[x], το f(x) είναι ανάγωγο στον Q[x]. Μπορούµε να γράψουµε f(x) = cg(x), όπου c Z και g(x) Z[x] πρωταρχικό (δηλ. ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των συντελεστών του να είναι το 1). Αφού το c είναι αντιστρέψιµο στον Q[x], προκύπτει ότι P Q[x] = g(x)q[x] και άρα g(x) είναι και αυτό ανάγωγο στον Q[x]. Αφού το g(x) είναι πρωταρχικό στον Z[x] και ανάγωγο στον Q[x], προκύπτει ότι το g(x) είναι ανάγωγο στον Z[x], σύµφωνα µε το Λήµµα του Gauss. Από την Άσκηση 2.3.1.4, προκύπτει ότι P = g(x)z[x]. 26

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 27 2.3 Ασκήσεις Ασκήσεις για την Ενότητα 2.1. Ασκήσεις 2.3.1. 1. Να αποδείξετε ότι αν P Q και P, Q maxspec(r), τότε P Q / Spec(R). 2. Να αποδείξετε ότι το ιδεώδες P = x 2 + 1, p είναι µέγιστο ιδεώδες (και άρα πρώτο) στον Z[x] αν και µόνο αν το πολυώνυµο x 2 + 1 δεν έχει ϱίζα στο Z p [x]. 3. Εστω φ : R S επιµορφισµός δακτυλίων και I ιδεώδες του R. Να αποδείξετε ότι I e = φ(i)s = φ(i). 4. Να περιγράψετε το σύνολο Spec(Z[x]). 5. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ακολουθία πρώτων ιδεωδών στον Z[x] που να έχει µήκος µεγαλύτερο του 2. 6. Εστω k ένα σώµα και R = k[x, y]. Μέσω των εµφυτεύσεων k[x] R και k[y] R, ταυτίζουµε τα στοιχεία του k[x] και k[y] µε τις εικόνες τους στον R. Να περιγράψετε το Spec(R) ακολουθώντας τα παρακάτω ϐήµατα. Εστω P Spec(R) και A = k(x)[y]. Αν P k[x] = 0, τότε να δείξετε ότι P A Spec(A). Αν P A = h(y) (όπου h(y) A), τότε να δείξετε ότι υπάρχει f(x, y) (στοιχείο του R) πρώτο, τέτοιο ώστε P A = f(x, y). Να συµπεράνετε ότι P = f(x, y). Αν p = P k[x] = f(x)k[x] και p 0, τότε ϑεωρείστε το ιδεώδες Q = f(x)r και δείξτε ότι Q Spec(R). Παρατηρείστε ότι T = k[x]/p είναι σώµα και δείξτε ότι υπάρχει επιµορφισµός δακτυλίων φ : R/Q T [y], άρα φ(p/q) Spec(T [y]). Αν φ(p/q) είναι το µηδενικό ιδεώδες, να συµπεράνετε ότι P = Q = f(x). Αν φ(p/q) = g(x, y), να αποδείξετε ότι P = f(x), g(x, y). Να περιγράψετε το Spec(R). 7. Να αποδείξετε ότι ανφ : R S είναι οµοµορφισµός δακτυλίων και Q Spec(S) τότε Q c Spec(R). 8. Να αποδείξετε ότι το ιδεώδες x 1, y είναι µέγιστο στο δακτύλιο R[x, y]. 9. Να δείξετε ότι αν k είναι σώµα, a 1,..., a n k τότε k[x 1,..., x n ]/ x 1 a 1,..., x n a n = k. 10. Να ϐρείτε το rad( 0 ) στον δακτύλιο R = C[x, y, z]/(x 2, xy 3, y 2 z 4 ). 11. Να ϐρείτε το rad( 0 ) και το ϱιζικό του Jacobson του δακτυλίου Z 100. 12. Εστω k σώµα και R = k[x 1,..., x n ]. Να αποδείξετε ότι J(R) = 0. 13. Να ϐρείτε το ϱιζικό του Jacobson του δακτυλίου R[[x, y]]. 27

Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα 28 14. Εστω k σώµα και R = k[x, y], P = x, y. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν P i P Spec(R), i N, έτσι ώστε P P i. 15. Να αποδείξετε την Παρατήρηση 2.1.11. Ασκήσεις για την Ενότητα 2.2. Ασκήσεις 2.3.2. 1. Να αποδείξετε ότι Z 2 / 2 = Z 2. 2. Εστω R αντιµεταθετικός δακτύλιος, S ένα πολλαπλασιαστικό υποσύνολο του R µε 1 S. (αʹ) Να δείξετε ότι αν I είναι ιδεώδες του R, τότε τα στοιχεία του ιδεώδους IS 1 R είναι της µορφής r όπου ur I για κάποιο u S. s (ϐʹ) Να δείξετε ότι αν J είναι ιδεώδες του S 1 R τότε J = IS 1 R, όπου I = J c = J R = {r R : r 1 J}. (γʹ) Εστω P Spec(R). Να αποδείξετε ότι P S 1 R = { r : r P, s S}. s (δʹ) Εστω P Spec(R). Να αποδείξετε ότι υπάρχει µία προς µία αντιστοιχία ανάµεσα στα πρώτα ιδεώδη του R P και στα πρώτα ιδεώδη του R που περιέχονται στο P. 3. Εστω S = {2 n : n Z 0 }. Να περιγράψετε τον δακτύλιο S 1 Z 10. 4. Εστω R = k[x] όπου k σώµα, S = {x n : n Z 0 }. Χρησιµοποιώντας την καθολική ιδιότητα της τοπικοποίησης, να δείξετε ότι S 1 R = k[x, x 1 ]. 5. Εστω f R, S = {f n : n Z 0 }. Να αποδείξετε ότι R f = R[y]/ 1 yf. 6. Εστω R δακτύλιος µε rad( 0 ) = 0 και P Spec R ελάχιστο πάνω απ το 0. Να αποδείξετε ότι R P είναι σώµα. Να κατασκευάσετε ένα τέτοιο παράδειγµα. 7. Εστω ότι R είναι ακεραία περιοχή µε σώµα κλασµάτων K. Αν για κάθε 0 x K ισχύει ότι x R ή x 1 R, τότε να αποδείξετε ότι R είναι τοπικός δακτύλιος. 8. Εστω ότι P Spec(R). Να εξετάσετε αν το σώµα R P /P R P είναι ισόµορφο µε Q(R/P ), το σώµα κλασµάτων της ακεραίας περιοχής R/P. 9. Εστω ότι R είναι ένας µειωµένος (reduced) δακτύλιος, δηλ. rad(r) = 0. Αν P Spec(R) είναι ελαχιστοτικό πρώτο ιδεώδες ( δηλ. δεν υπάρχει Q Spec(R) µε Q P ), τότε να αποδείξετε ότι ο R P είναι σώµα. 2.4 Βιβλιογραφία 1. M. Atiyah, I. G. McDonald, Introduction To Commutative Algebra (Addison-Wesley Series in Mathematics), Addison-Wesley, 1969. 2. D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1995. 3. Μ. Μαλιάκας, Εισαγωγή στη Μεταθετική Άλγεβρα, Εκδόσεις Σοφία, 2005, σε µορφή pdf, εδώ. 28

Κεφάλαιο 3 ακτύλιοι της Noether 3.1 ακτύλιοι της Noether Εστω R αντιµεταθετικός δακτύλιος. Εστω I 1 I 2... µία αύξουσα ακολουθία ιδεωδών του R. Λέµε ότι η ακολουθία αυτή γίνεται στατική αν για κάποιο N N ισχύει ότι I N+j = I N, για j N. Θεώρηµα 3.1.1. Οι παρακάτω συνθήκες είναι ισοδύναµες : 1. Κάθε ιδεώδες I του R είναι πεπερασµένα παραγόµενο. 2. Κάθε αύξουσα ακολουθία ιδεωδών του R γίνεται στατική. 3. Κάθε µη κενό σύνολο ιδεωδών του R έχει µεγιστικό στοιχείο, ως προς τον εγκλεισµό ιδεωδών. Απόδειξη. 1 2 Εστω I 1 I 2... µία αύξουσα ακολουθία ιδεωδών του R. Τότε I = I j είναι ιδεώδες του R. Σύµφωνα µε την υπόθεση, το I είναι πεπερασµένα παραγόµενο. Εστω ότι I = r 1,..., r t και ότι r i I f(i), για i [t]. Αν N = max{f(1),..., f(t)}. Τότε, r i I N. Εποµένως, I N I I N και άρα I N = I. Κατά συνέπεια, αν l N, έχουµε I = I N I l I και άρα I l = I N. 2 3 Εστω ότι S είναι ένα σύνολο ιδεωδών του R χωρίς µεγιστικό στοιχείο. Εστω ότι I 1 S. Αφού το I 1 δεν είναι µεγιστικό στο S, υπάρχει I 2 S, τέτοιο ώστε I 1 I 2. Οµοίως, υπάρχει I 3 S, τέτοιο ώστε I 2 I 3. Συνεχίζοντας αυτήν τη διαδικασία κατασκευάζουµε µία αύξουσα ακολουθία ιδεωδών, η οποία δε γίνεται στατική, καταλήγοντας σε άτοπο. 3 1 Εστω I ένα ιδεώδες του R. Θα δείξουµε ότι το I είναι πεπερασµένα παραγόµενα. Εστω S το σύνολο µε στοιχεία τα ιδεώδη του R που είναι υποσύνολα του I και που ταυτόχρονα είναι πεπερασµένα παραγόµενα. Το 0 ανήκει στο S, άρα S. Σύµφωνα µε την υπόθεση, το σύνολο S έχει ένα µεγιστικό στοιχείο, το ιδεώδες J. Παρατηρούµε ότι J I και ότι J = r 1,..., r l, όπου για i [l], r i I. Εστω ότι J I. Τότε, υπάρχει f I \ J και J = J + f = r 1,..., r s, f είναι πεπερασµένα παραγόµενο, ενώ J I. Άρα J S και αφού J J καταλήγουµε σε άτοπο. Εποµένως J = I και I S, άρα I είναι πεπερασµένα παραγόµενο ιδεώδες. Ορισµός 3.1.2. Ενας δακτύλιος R καλείται δακτύλιος της Noether αν κάθε ιδεώδες I του R είναι πεπερασµένα παραγόµενο. 29