Κεφάλαιο 8 ο Συνεχίζουµε µε τις µεικτές στρατηγικές. Θα δούµε τώρα ένα παράδειγµα στο οποίο υπάρχουνε ισορροπίες κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές αλλά πέρα από αυτό υπάρχει και µια ισορροπία κατά Nash σε µεικτές στρατηγικές. Και αυτό το παίγνιο είναι το γνωστό η µάχη των φύλων Battle of the sexes: (Α) (Γ) Τ Χ Τ 3, -, - Χ -, -, 3 Έχουµε δει ότι σε αυτό το παίγνιο πράγµατι υπάρχουνε δύο ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές. Η καλύτερη απάντηση της γυναίκας στην Ταυροµαχία είναι Ταυροµαχία και στο Χορό είναι Χορό και το ίδιο συµβαίνει και για τον άντρα: αν η γυναίκα επιλέξει ταυροµαχίες η καλύτερη απάντηση είναι ταυροµαχία, αν επιλέξει χορό η καλύτερη απάντηση είναι χορός. Άρα βλέπουµε ότι σε αυτό το παίγνιο υπάρχουνε δύο ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές οι οποίες δεν µπορούν να ταξινοµηθούν από άποψη Pareto, γιατί και οι δύο δίνουνε συνολικά τα ίδια κέρδη στους δύο παίκτες (Τ, Τ) 3+=4, (X,X) 3 +=4 άρα καµία από τις δύο δεν είναι καλύτερη από την άλλη. Υπάρχουν συγκρουόµενα συµφέροντα (conflict) µεταξύ των παικτών. Όταν υπάρχουνε τέτοιου είδους ισορροπίες πάντοτε υπάρχει µια ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές η οποία θα είναι και η τρίτη ισορροπία αυτού του παιγνίου. Ένα πράγµα που πρέπει να παρατηρήσουµε από την αρχή είναι ότι όταν λύσουµε για τις µεικτές στρατηγικές θα δούµε ότι θα βγουν και οι ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές. ηλαδή µε τη λύση που θα κάνουµε θα βρούµε όχι µόνο ένα σηµείο τοµής των καµπυλών αντίδρασης, αλλά τρία σηµεία τοµής, που αντιστοιχούνε στις τρεις ισορροπίες. Άρα ακόµα και αν βρούµε στην αρχή ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές ακολουθώντας τη µεθοδολογία υπολογισµού των µεικτών στρατηγικών θα πετύχουµε όλες τις ισορροπίες. 03
Ας πάρουµε την µεθοδολογία που είπαµε. Ας υποθέσουµε ότι ο άντρας µε µια πιθανότητα p επιλέγει ταυροµαχίες και µε ( p) επιλέγει χορό και η γυναίκα αντίστοιχα επιλέγει µε πιθανότητες q και ( q). (Α) (Γ) Τ (q) Χ (-q) Τ (p) 3, -, - Χ (-p) -, -, 3 Το πρώτο που θα κάνουµε είναι να βρούµε την καµπύλη αντίδρασης του άντρα, οπότε θα υπολογίσουµε τα κέρδη του όταν ακολουθεί την στρατηγική Τ Π Α (Τ). Τα κέρδη αυτά είναι αναµενόµενα καθ όσον η γυναίκα θεωρείται ότι ακολουθεί την στρατηγική q και ( q). εδοµένου του q και ( q) βρίσκουµε ότι τα αναµενόµενα κέρδη του άντρα Π Α (Τ) είναι: Π Α (Τ)=3q+( )( q)=4q Tα κέρδη του άντρα στην περίπτωση που ακολουθεί την άλλη στρατηγική χορό είναι: Π(Χ)=( )q+( q)= 2q Άρα τώρα µπορούµε να κάνουµε την ανάλυσή µας και να πούµε: Αν Π A (T) > Π Α (Χ) 4q > 2q 6q > 2 q > 3 Αν q > 3 ο άντρας θα επιλέξει ταυροµαχία. [Τ, Χ;, 0] δηλαδή θα ακολουθήσει την αµιγή στρατηγική Τ η οποία είναι ισοδύναµη µε την µεικτή στρατηγική [Τ, Χ;, 0]. Αν Π Α (Τ) < Π Α (Χ ) 4q < 2q 6q < 2 q < 3 Αν q < 3 θα έχουµε ανάποδο αποτέλεσµα όπου ο άντρας επιλέγει χορό. [Τ, Χ; 0, ] έχουµε εκφράσει την αµιγή στρατηγική σε όρους µικτής στρατηγικής 04
οπότε βλέπουµε ότι η µεικτή στρατηγική περιλαµβάνει όλες τις στρατηγικές που βρίσκονται στο support της και τις αντίστοιχες πιθανότητες. Υπάρχει και η τρίτη περίπτωση όπου: Αν Π Α (Τ) = Π Α (Χ ) 4q = 2q 6q=2 q= 3 Σε αυτή την περίπτωση ο άντρας είναι αδιάφορος µεταξύ Χ και Τ και µπορούµε να δούµε ότι οποιαδήποτε µεικτή στρατηγική: [Τ, Χ; p, p] όπου 0 p είναι η καλύτερη απάντηση για τον άντρα. Για να βάλουµε αυτά σε ένα διάγραµµα. Ο κάθετος άξονας παριστάνει τις στρατηγικές της γυναίκας, οπότε η γυναίκα ουσιαστικά επιλέγει ένα νούµερο µεταξύ 0 και και µε αυτό τον τρόπο επιλέγει την αντίστοιχη µεικτή στρατηγική (Τ, Χ). Ο άντρας επιλέγοντας ένα νούµερο µεταξύ 0 και επιλέγει την αντίστοιχη µεικτή στρατηγική. Άρα στο κουτί βρίσκονται όλες οι στρατηγικές των δύο. Ποια είναι η συνάρτηση αντίδρασης ή βέλτιστης απάντησης του άντρα; Περιγράφεται από τα τρία κοµµάτια: q > [Τ, Χ;, 0] 3 q < 3 [Τ, Χ; 0, ] q= 3 [Τ, Χ; p, p] 0 p R A (q): συνάρτηση αντίδρασης του άντρα δεδοµένου του q. 05
Αν q > 3 το καλύτερο για τον άντρα είναι να θέσει όλη την πιθανότητα στο Τ p= Αν q < 3 η πιθανότητα στο Τ είναι µηδέν p=0 Ενώ αν q= 3 οποιαδήποτε απάντηση είναι βέλτιστη 0 p Τώρα θα φτιάξουµε και τη συνάρτηση αντίδρασης της γυναίκας. Στη συνέχεια θα τα βάλουµε πάνω στο ίδιο διάγραµµα και θα δούµε ποια είναι τα σηµεία τοµής. εδοµένου ότι ο άντρας επιλέγει p και ( p) η γυναίκα περιµένει τα εξής κέρδη: Π Γ (Τ) : p+( )( p)=2p Π Γ (Χ) : ( )p+3( p)=3 4p Αν Π Γ (Τ) > Π Γ (Χ) 2p > 3 4p 6p > 4 p > 2/3 [Τ, Χ;, 0], στρατηγική γυναίκας αν p > 2/3 Αν Π Γ (Τ) < Π Γ (Χ) 2p < 3 4p 6p < 4 p < 2/3 [Τ, Χ; 0, ], όλη η πιθανότητα για την γυναίκα πάει στο χορό. Αν Π Γ (Τ) < Π Γ (Χ) 2p =3 4p 6p=4 p= 3 2 [Τ, Χ; q, q] όπου 0 q 06
Αν p > 2/3 η καλύτερη απάντηση είναι για q=. Aν p < 2/3 η καλύτερη απάντηση είναι για q=0. Aν p=2/3 η καλύτερη απάντηση είναι για 0 q είναι βέλτιστη. Βάζοντας τις δύο καµπύλες βέλτιστης απάντησης στο ίδιο διάγραµµα παίρνουµε τα τρία σηµεία τοµής τους. Έχουµε τρία σηµεία τοµής. Τα δύο σηµεία είναι ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές γιατί αντιστοιχούν στα (q=0, p=0) και (q= και p=), µε αποτελέσµατα (, 3) και (3, ) που βρήκαµε προηγουµένως. 07
Τι σηµαίνει η ισορροπία στο σηµείο Α; Αυτή η ισορροπία είναι η εξής: Α: [(Τ, Χ; 0, ), (Τ, Χ; 0, )] (Χ, Χ)=(, 3) Από την άλλη µεριά Β: [(Τ, Χ; 0, ), (Τ, Χ; 0, )] (Τ,Τ)=(3, ) Η τρίτη ισορροπία είναι σε µεικτές στρατηγικές: 2 2 C: T, X ;,, T, X ;, 3 3 3 3 αυτή είναι η ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές µε τις αντίστοιχες πιθανότητες. Τι παρατηρούµε εδώ; Και ο άντρας και η γυναίκα θα πάνε µε περισσότερη πιθανότητα στην επιλογή που προτιµούν περισσότερο. Ο άντρας ταυροµαχία µε 2/3 και η γυναίκα χορό µε 2/3. ηλαδή καθένας πάει προς τη µεριά του λίγο-πολύ. Για να δούµε τι θα συµβεί από άποψη πραγµατοποίησης των διαφόρων ενδεχοµένων. Ποια είναι η πιθανότητα να βγει καθένα από αυτά τα τετραγωνάκια; (Γ) Τ (q) Χ (-q) (Α) p x q =2/3 x/3 = 2/9 p x (-q ) =2/3x/3 = 4/9 Τ (p) 3, -, - Χ (-p) /3 x /3 = /9 -, - /3x 2/3 =2/9, 3 2 4 2 + + + = 9 9 9 9 Βλέπουµε ότι δεν είναι καθόλου συµµετρικά τα πράγµατα. Υπάρχει αρκετά µεγάλη πιθανότητα να εκλέξει ο άντρας ταυροµαχίες και η γυναίκα χορό. Και αυτό γιατί; ιότι ο άντρας προτιµάει ταυροµαχίες και η γυναίκα χορό άρα θα θέσει ο καθένας ψηλή πιθανότητα σε αυτό που προτιµάει περισσότερο µε αποτέλεσµα ο συνδυασµός το ενδεχόµενο (Τ, Χ) να βγει µε πιθανότητα 4/9. Η οικονοµική διαίσθηση αυτού του παίγνιου είναι λογική. Άµα προτιµάει το άτοµο κάτι δίνει περισσότερη πιθανότητα σε αυτό που προτιµά. Ο άντρας βάζει περισσότερη πιθανότητα στην ταυροµαχία και η γυναίκα στο χορό. Οπότε βγαίνει περισσότερη πιθανότητα στο συνδυασµό (Τ, Χ). ηλαδή πάει καθένας σε αυτό που θέλει. Υποφέρουνε βέβαια και οι δύο αλλά είναι αυτό που προτιµούνε. 08
Η διαφορά του 4/9 από το /9 έγκειται στο ότι στο 4/9 ο καθένας πάει όπου θέλει ενώ στο /9 πάνε αντίστροφα από αυτό που θέλουνε που είναι λίγο απίθανο. Εδώ πέρα προφανώς όλα µπορούν να συµβούνε. Σηµασία έχει µε τι πιθανότητα συµβαίνει καθένα. Εδώ έχουµε τέσσερα ενδεχόµενα: (Χ, Χ), (Τ, Τ), (Τ, Χ), (Χ, Τ). Σε µια µεικτή στρατηγική όλα είναι πιθανά, αλλά όχι ισοπίθανα. Μεικτή στρατηγική σηµαίνει ότι µε κάποια πιθανότητα εκλέγεις κάτι. ηλαδή µε κάποια πιθανότητα µπορεί να γίνει ή το ένα ή το άλλο. Άµα είναι δύο παίχτες και εκλέγει κάθε ένας µε µια πιθανότητα κάτι, όλα µπορούν να συµβούν. Η ισορροπία είναι µία το C: 2 2 T, X;,, T, X; ; 3 3 3 3 Η πραγµατοποίηση είναι διαφορετική γιατί έχουµε τέσσερα ενδεχόµενα. Στις αµιγείς στρατηγικές υπάρχει ένα ενδεχόµενο γιατί όλη η πιθανότητα µπαίνει σε µια αµιγή στρατηγική. Στις µεικτές στρατηγικές όλα είναι πιθανά. Που σηµαίνει ότι στις µεικτές στρατηγικές ψάχνουµε να βρούµε την πιθανότητα µε την οποία θα εκλέξουµε µεταξύ δύο πραγµάτων. Σε αυτό το παίγνιο πως µπορούσε να δράσει για παράδειγµα ο άντρας µεταξύ ταυροµαχίες και χορού; Τι θα έκανε αν ήτανε να ρίξει ένα ζάρι; Τι θα µπορούσε να κάνει 2 για να προσδιορίσει αυτή την κατανοµή, ; Αν έφερνε π. χ, 2, 3, ή 4 θα πήγαινε 3 3 ταυροµαχία ενώ αν έφερνε 5 ή 6 θα πήγαινε χορό. Το ζάρι βοηθάει να πραγµατοποιηθεί αυτή η στρατηγική. Είναι η συσκευή της τύχης (randomization). Πετώντας ένα ζάρι κανείς, ανάλογα µε το τι θα βγει, αποφασίζει το ένα ή το άλλο. Ουσιαστικά λέει αν βγει κάποιος αριθµός από το 4 εκλέγει ταυροµαχία αν βγει 5 ή 6 εκλέγει χορό. Πετάει το ζάρι και ότι βγει. Ποια είναι τα αναµενόµενα κέρδη στη µεικτή στρατηγική και πως αυτά συγκρίνονται µε τα αναµενόµενα κέρδη των ισορροπιών σε αµιγείς στρατηγικές; Επαναλαµβάνουµε αυτό που είπαµε την προηγούµενη φορά. Τα αναµενόµενα κέρδη µπορούν να βρεθούν µε δύο τρόπους. Ο ένας τρόπος είναι απλός. Ξέρουµε την κατανοµή πιθανοτήτων όλων των ενδεχοµένων. Παίρνουµε για τον άντρα: 09
2 9 x3 + 4 9 6 4 9 9 9 x( ) + + 2 9 = 9 3 9 x( ) + = 9 2 () 9 = Αναµενόµενο Κέρδος Αυτό είναι το πιο απλό να το καταλάβει κανείς. Όµως εµείς είπαµε ότι όταν η γυναίκα ακολουθεί την στρατηγική /3 ό,τι και να κάνει ο άντρας πετυχαίνει τα ίδια κέρδη. Γιατί να δεν πετύχαινε τα ίδια κέρδη δεν θα ήτανε ο,τιδήποτε καλύτερη αντίδραση για 0 p. Tι σηµαίνει καλύτερη αντίδραση; Σηµαίνει ότι οποιαδήποτε πιθανότητα σε ταυροµαχία ή χορό του δίνει τα ίδια κέρδη. Άρα και η πιθανότητα p=0 του δίνει τα ίδια κέρδη και η πιθανότητα p=, του δίνει τα ίδια κέρδη. Αν η γυναίκα εκλέγει την πιθανότητα q= τότε ποιες είναι οι βέλτιστες αντιδράσεις 3 του άντρα; ΟΛΕΣ 0 p. Τι σηµαίνει όλες είναι βέλτιστες αποφάσεις; Σηµαίνει ότι δίνουν τα ίδια κέρδη. Άρα είτε εκλέγει πιθανότητα p=0 είτε εκλέξει πιθανότητα p= παίρνει τα ίδια κέρδη. Αν επιλέξει p=0 ο άντρας ουσιαστικά εκλέγει να πάει στο χορό. Όταν εκλέξει p= o άντρας ουσιαστικά εκλέγει να πάει στις ταυροµαχίες. Αν Άρα µπορούµε να υπολογίσουµε τα αναµενόµενα κέρδη του άντρα για κάποια τιµή του p όποια και να είναι αυτή (ας πούµε το p=). 0
Άρα ποια είναι τα αναµενόµενα κέρδη του άντρα; Είναι τα αναµενόµενα του κέρδη όταν εκλέξει p= (ή όταν εκλέξει ταυροµαχίες). Έτσι: Π Α (Τ)=3xq*+( )( q*) 2 =3 + ( ) = 3 3 3 Και µπορούµε να κάνουµε την ίδια πράξη µε το χορό, το ίδιο θα βρούµε: Π Α (Χ)=( )q*+( q*)=( ) 2 + () = 3 3 3 Π Α (T)= Π Α (Χ)= : αυτό σηµαίνει βέλτιστη αντίδραση. Όταν έχουµε πολλές βέλτιστες 3 αντιδράσεις το µέγιστο των κερδών σε όλες αυτές τις βέλτιστες αντιδράσεις είναι το ίδιο. ( εδοµένου ότι η γυναίκα επιλέγει q= είπαµε ότι ο άντρας είναι αδιάφορος µεταξύ όλων 3 των στρατηγικών. Άρα του δίνουνε όλες οι στρατηγικές τα ίδια κέρδη). Αυτή η αρχή καλείται Αρχή της εξίσωσης κερδών. Αυτή η µέθοδος χρησιµοποιείται για την επίλυση και πιο πολύπλοκων προβληµάτων. Τώρα στη πιο γενική της µορφή τι σηµαίνει η αρχή της εξίσωσης κερδών; Επαναλαµβάνουµε. Ορισµένες στρατηγικές οι κυριαρχούµενες ειδικά στρατηγικές δεν χρησιµοποιούνται σε µια ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές. ηλαδή η πιθανότητα που θέτει ένα άτοµο σε στρατηγικές κυριαρχούµενες είναι µηδέν. Αν µια στρατηγική εισέρχεται στην ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές µε πιθανότητα µηδέν δεν ανήκει σε αυτό που λέµε support της κατανοµής των πιθανοτήτων. Έστω ότι έχουµε τέσσερις στρατηγικές: S, S 2, S 3, S 4 και θέτουµε ανάλογες πιθανότητες: Ποιο είναι το support αυτής της κατανοµής των πιθανοτήτων;
Support: σηµαίνει όλες οι στρατηγικές που παίρνουµε θετική πιθανότητα. Το S 2 δεν είναι στο support αυτής της κατανοµής των πιθανοτήτων. Όλες οι άλλες στρατηγικές ανήκουν στο support. Ένα άλλο παράδειγµα. Ας υποθέσουµε ότι µας ενδιαφέρει η κατανοµή εισοδηµάτων σε µια χώρα. Υπάρχει ένα ελάχιστο εισόδηµα στην κατανοµή και υπάρχει και ένα µέγιστο. Η κατανοµή δίνεται από: Ποιο είναι το support της κατανοµής αυτής; Το (Α). Τα άκρα πέραν από το (Α) δεν ανήκουν στο support της κατανοµής γιατί εµφανίζονται µε µηδενική πιθανότητα. Βασικά είναι το πεδίο ορισµού στο οποίο όµως οι πιθανότητες είναι θετικές. Είναι το πεδίο ορισµού για τις τιµές εκείνες που η f(x) είναι θετική. Γιατί το πεδίο ορισµού που είναι κατανοµή πιθανότητας είναι όλος ο άξονας των x. Αλλά οι πιθανότητες σε κάποια σηµεία είναι µηδέν. (Για παράδειγµα στην κανονική κατανοµή το support είναι από -4 έως +4. Αλλά στη Γάµµα κατανοµή κάτω από µερικές τιµές το support είναι από το 0 έως το άπειρο. Σε αρνητικές τιµές δεν υπάρχει support). Στην ισορροπία που ορίσαµε γι αυτό το παίγνιο ποιο είναι το support για τον άντρα και ποιο για την γυναίκα; Α: [(Τ, Χ; 0, ), (Τ, Χ; 0, )] Β: [(Τ, Χ;, 0), (Τ, Χ;, 0)] 2 2 C: T, X,,, T, X;, 3 3 3 3 2
Για παράδειγµα για την C ποιο είναι το support; Το support έχει να κάνει µε τις στρατηγικές. Ποιες στρατηγικές ανήκουνε στο support; Και δύο. Και η Τ και η Χ, και για τον άντρα και για την γυναίκα διότι και το Τα και το Χ έχουνε υποθετικές πιθανότητες. Για να δούµε τώρα στο Β. Στο Β ποιο είναι το support; Το Τ για τον άντρα και το Τ για την γυναίκα. Όταν, λοιπόν, έχει µηδέν πιθανότητα µια στρατηγική δεν ανήκει στο support της κατανοµής πιθανότητας. Επιστρέφουµε στην αρχή της εξίσωσης κερδών. Και λέµε ότι: τα κέρδη όλων των αµιγών στρατηγικών που ανήκουνε στο support µιας κατανοµής της µεικτής ισορροπίας είναι τα ίδια. ηλαδή, όλες οι αµιγείς στρατηγικές που ανήκουνε στο support µιας µεικτής στρατηγικής στην ισορροπία, δίνουνε τα ίδια κέρδη στον παίκτη. ηλαδή Π Α (Χ)=Π Α (Τ) για ένα δεδοµένο q=/3. Τώρα τι σηµαίνει αυτό; Είναι δυνατόν η ταυροµαχία και ο χορός να δίνουνε τα ίδια κέρδη στον άντρα στο Β: [(Τ, Χ;, 0), (Τ, Χ ;, 0)]; Η ταυροµαχία δίνει περισσότερα κέρδη στον άντρα. Ο χορός δεν είναι στο support (για το Β). Αφού δεν είναι στο support θα δίνει λιγότερα κέρδη. Αν ήτανε στο support θα έδινε τα ίδια κέρδη. εν µπορεί να δώσει περισσότερα κέρδη γιατί τότε το άτοµο δεν θα διάλεγε ταυροµαχία, θα διάλεγε χορό. Άρα: Ό,τι δεν είναι στο support δίνει χαµηλότερα κέρδη. Όλα που είναι στο support δίνουνε τα ίδια κέρδη, όσα είναι απ έξω δίνουνε αυστηρά χαµηλότερα κέρδη. Άρα σε αυτό το παίγνιο χρησιµοποιήσαµε την αρχή της εξίσωσης των κερδών και είπαµε ότι δεν χρειάζεται να αναλύσουµε, να πάρουµε όλα τα ενδεχόµενα µε τις πιθανότητες του κλπ. Το µόνο που θα κάνουµε είναι να πάρουµε µια στρατηγική που ανήκει στο support για τον άντρα (το Τ) και να δούµε δεδοµένης της πιθανότητας που ακολουθεί η γυναίκα που είναι q=/3 τι αναµενόµενα κέρδη έχει ο άντρας. Και είναι: Π Α (Τ)=3 q*+( )( q*) =3 +( ) 2 = // 3 3 3 Τώρα πόσα είναι τα κέρδη για την γυναίκα; Θα κάνουµε το ίδιο πράγµα, όµως ξέρουµε ότι λόγω συµµετρίας θα βγει το ίδιο: Έστω ότι παίρνουµε την στρατηγική χορό για την γυναίκα η οποία θα της δώσει: 2 Π Γ (x)=( )p*+3( p*)=( ) +( 3/ ) = 3 /3 3 3
Άρα, για να δούµε τώρα τι γίνεται από άποψη κερδών. Τι κέρδη µας δίνει η στρατηγική που αντιστοιχεί στην ισορροπία Α; x x Α : (, 3) Το αναµενόµενο είναι το πραγµατοποιούµενο Τ Τ B : (3, ) C: (/3, /3) το αναµενόµενο κέρδος γιατί µπορεί να συµβεί οτιδήποτε. Τι περίεργο βλέπουµε; Το C είναι συµµετρικό λόγω του παιγνίου οπότε παίρνουν τα ίδια κέρδη. Όµως και οι δύο παίρνουνε πολύ λίγο. Κανονικά και στους δύο παίχτες συµφέρει να παίξουν είτε Α είτε Β γιατί κερδίζουν περισσότερα από το αναµενόµενο κέρδος του C. Όµως το ερώτηµα είναι πως θα συντονιστούν στο Α και στο Β; Μπορεί να τους προκύψει µια ισορροπία (Χ, Τ) ή (Τ, Χ) (-, -). εν µπορούν πάντα να συντονιστούν. Απορία: Που µας χρησιµεύουν οι ισορροπίες που βρίσκουµε; Όταν υπάρχει µια κατάσταση πρέπει να βρούµε µια λύση. Σε αυτό το παίγνιο βρήκαµε τρεις λύσεις: Α: [(Τ, Χ; 0, ), (Τ, Χ; 0, )] (Χ, Χ)=(, 3) Β: [(Τ, Χ;, 0), (Τ, Χ;, 0)] (Τ, Τ)=(3, ) 2 2 C: T, X ;,, T, X ;, 3 3 3 3 Τις συζητάµε και λέµε τι θα κάνουµε τώρα. Πάντοτε σε µεικτές στρατηγικές είναι χειρότερη η ισορροπία; Όχι πάντοτε, εξαρτάται από το παίγνιο. Αυτή δεν είναι γενική ιδιότητα, είναι ιδιότητα που έχει αυτό το παίγνιο. Τώρα, τι θα βρούµε σε αυτό το παίγνιο αν επαναλαµβάνεται µερικές περιόδους; Τι µπορεί να κάνουνε αν επαναλαµβάνεται µερικές περιόδους; Να συµφωνήσουν π.χ. τις µονές περιόδους να παίζουν το Α (Χ, Χ) και τις ζυγές το Β (Τ, Τ). ηλαδή να εναλλάσσουν. Αν εναλλάσσουν ποιο θα είναι το µέσο κέρδος του κάθε ενός (2, 2) + 3 3+, = 2,2 2 2 Οπότε η επανάληψη λίγο πολύ µπορεί να διορθώσει τα πράγµατα. Και βλέπουµε ότι στην ισορροπία εδώ τα κέρδη των ατόµων είναι πολύ περισσότερα. Όταν υπάρχουνε πολλαπλές ισορροπίες σε ένα παίγνιο, καµιά φορά υπάρχουνε κάποια επιχειρήµατα τα οποία λέγονται focal points. ηλαδή κάτι που βρίσκεται έξω από 4
το παίγνιο, µπορεί να καθορίσει / να συντονίσει τους παίχτες σε κάποιες ισορροπίες. Εδώ πέρα δεν υπάρχει κάτι που να είναι ξεκάθαρο. Και λέµε εδώ πέρα ότι ανάλογα µε το ποιος είναι κυρίαρχος στη σχέση, κάνει αυτό που θέλει. εν συµφέρει να παίξουνε µεικτές στρατηγικές το ξέρουνε και οι δύο, οπότε ο ένας θα υποκύψει και θα καθορίσει ο άλλος τι θα κάνουνε. Αυτό το παίγνιο είναι πολύ κλασσικό και έχουµε πολλές εφαρµογές στα οικονοµικά. Ας πούµε ότι οι επιχειρήσεις αποφασίζουνε σε πρώτη φάση ποιος θα γίνει ηγέτης και ποιος θα γίνει ακόλουθος. Στάδιο ένα, λοιπόν: ποιος θα γίνει ηγέτης και ποιος ακόλουθος. Και στάδιο δύο: ανταγωνίζονται σε ποσότητες. Τότε θα βγει κάτι παρόµοιο µε «τη µάχη των φύλλων». Πρώτα προσδιορίζεται ο ρόλος σε ένα πρώτο στάδιο και µετά όταν ήδη έχει καθοριστεί ο ρόλος παίζουνε το παιγνίδι. ηλαδή αποφασίζουν ποιος θα είναι ο ηγέτης και ποιος ο ακόλουθος και µετά παίζουνε το κλασσικό παιγνίδι του ηγέτη ακόλουθου που είδαµε στο Stackelberg. Μπορεί να είναι και οι δύο επιχειρήσεις ηγέτες; Τι σηµαίνει να είναι και οι δύο ηγέτες; Ότι παίρνουν τις αποφάσεις ταυτόχρονα. Απορία: Τι σχέση έχει το παίγνιο η µάχη των φύλλων µε τον ηγέτη ακόλουθο; Εδώ δεν έχουµε το χρόνο; Για να φανεί πιο ξεκάθαρο ας πάρουµε το παίγνιο µε τον ανταγωνισµό τιµών. Σε αυτή την περίπτωση αν είναι και οι δύο ηγέτες θα καταλήγουνε σε ένα χαµηλότερο κέρδος, αν είναι και οι δύο ακόλουθοι θα είναι το χαµηλότερο κέρδος και µάλιστα ακόλουθοι σηµαίνει ότι περιµένουνε και µια περίοδο ακόµα, οπότε υπάρχει προεξόφληση και χειροτερεύουν ακόµα περισσότερο τα κέρδη. Αν παίξει ο ένας ηγέτης και ο άλλος ακόλουθος θα καταλήξουν σε θετικά κέρδη. Το παιγνίδι η µάχη των φύλλων έχει εφαρµογές στα οικονοµικά. ηλαδή το: (Α) (Γ) Τ (q) Χ (-q) Τ (p) 3, -, - Χ (-p) -, -, 3 µπορεί να είναι το αποτέλεσµα ενός παιγνίου, το οποίο παίζεται ως εξής: οι επιχειρήσεις στο πρώτο στάδιο αποφασίζουνε τι ρόλο θα παίξουνε ταυτόχρονα. ηλαδή 5
ανακοινώνουνε ηγέτης ή ακόλουθος. Και στο δεύτερο στάδιο παίζουν το παιγνίδι του ηγέτη-ακολούθου αν έχουν εκλέξει ηγέτης-ακόλουθος ή παίζουνε και οι δύο ηγέτες ή και οι δύο ακόλουθοι. Τι σηµαίνει τώρα και οι δύο ακόλουθοι; Σηµαίνει ότι θα περιµένουνε µια περίοδο παραπάνω. Με άλλα λόγια: Υπάρχουνε δύο περίοδοι που µπορεί να θέσει κανείς την τιµή του: την περίοδο ή την περίοδο 2. 0,, 2 χρονικές περίοδοι. Στην περίοδο µηδέν, οι επιχειρήσεις εκλέγουνε µεταξύ και 2. ηλαδή οι στρατηγικές κάθε επιχείρησης είναι το σύνολο {, 2}. Αν και οι δύο επιλέξουνε δηλαδή σαν αν εκλέγουν και οι δύο ηγέτες, παίζουνε ταυτόχρονα. Όποια επιχείρηση επιλέξει την τιµή πριν από την άλλη είναι ηγέτης και η άλλη είναι ακόλουθος. Υπάρχουνε τρεις περίοδοι. Η περίοδος µηδέν είναι πριν από την και η περίοδος ένα είναι πριν από την δύο. Την περίοδο µηδέν οι επιχειρήσεις αποφασίζουν µεταξύ και 2. Αν αποφασίσουν ένα θέτουνε την τιµή την περίοδο, αν αποφασίσουν δύο, θέτουνε την τιµή την περίοδο 2. Αν και οι δύο αποφασίζουνε ένα παίζουνε την περίοδο, το παιχνίδι τιµών ταυτόχρονα και βγάζουνε ότι κέρδη βγάζουνε. Αν περιµένουµε την περίοδο δύο, χάνουνε µια περίοδο από την αγορά και βγάζουνε κάποια κέρδη αργότερα ακόµα και από το να παίξουνε την περίοδο ένα ταυτόχρονα. Αυτές είναι δυνατότητες που υπάρχουν. Οι στρατηγικές κάθε επιχείρησης είναι οι αριθµοί ή 2. Κάθε επιχείρηση την περίοδο µηδέν ανακοινώνει ένα νούµερο: το ή το 2. Τα νούµερα αυτά ανακοινώνονται ταυτόχρονα από τις δύο επιχειρήσεις. Το (, ) σηµαίνει ότι και οι επιχειρήσεις είναι ηγέτες. Το (2, ) σηµαίνει ακόλουθος-ηγέτης. Το ίδιο σηµαίνει ηγέτης-ακόλουθος και το 6
(2, 2) σηµαίνει ότι και οι δύο είναι ακόλουθοι που σηµαίνει ότι και οι δύο παράγουν µόνο την δεύτερη περίοδο. Τώρα, τι θέλουν να αποφύγουν αυτές οι δύο επιχειρήσεις; Θέλουν να αποφύγουν το ταυτόχρονο: (, ) ή (2, 2). Το (, ) θα τους δώσει λίγο µεγαλύτερα κέρδη από το (2, 2) γιατί στο (2, 2) είναι προεξοφληµένα. Θέλουνε, λοιπόν, να αποφύγουνε το ταυτόχρονο. Γιατί; Γιατί είπαµε ότι στο παίγνιο που οι εταιρείες αποφασίζουνε ταυτόχρονα, τα κέρδη του ταυτόχρονου είναι χαµηλότερα από τα κέρδη είτε του ηγέτη είτε του ακόλουθου. Άρα δεν θέλουνε να πάνε στο (, ) ή (2, 2) (2) 2 2 ηγέτης 2 ακόλουθος Άρα αντί να έχουµε ταυροµαχία ή χορό έχουµε ηγέτη ακόλουθο και το ερώτηµα είναι που θα πάνε στο (, 2) ή στο (2, ). Θα έχουµε, λοιπόν, τρεις ισορροπίες. ύο σε αµιγείς στρατηγικές που θα είναι (ηγέτης, ακόλουθος), (ακόλουθος, ηγέτης) και µια σε µεικτές στρατηγικές η οποία θα είναι µε πιθανότητα καθένας να εκλέξει ηγέτης ή ακόλουθος. ώσαµε το παίγνιο µε τη µάχη των φύλων για να δούµε ότι πίσω του κρύβονται πολλά παραδείγµατα - πολλές εφαρµογές οι οποίες µπορούν να εφαρµόσουν σε διάφορους τοµείς της οικονοµίας. Όταν µας δοθεί ένα οικονοµικό πρόβληµα, πρέπει να το µετασχηµατίζουµε σε ένα πρόβληµα γνωστό. Απορία: Όταν µας δοθεί ένα παίγνιο, κάνουµε όλη αυτή τη διαδικασία και βγάζουµε κάποιες-ισορροπίες; Πως αυτές οι ισορροπίες µας βοηθούν να βρούµε ποια στρατηγική θα ακολουθήσουµε; Βλέποντας τις ισορροπίες µπορούµε να αποφασίσουµε ποια στρατηγική θα ακολουθήσουµε; Όταν υπάρχουν πολλαπλές ισορροπίες δεν υπάρχει προτίµηση. Τώρα πως γίνεται επιλογή µεταξύ των ισορροπιών είναι κάτι που έχει σχέση µε τα ήθη και έθιµα µιας 7
κοινωνίας, µε την µυθολογία των παικτών κλπ., πράγµατα που δεν έχουµε µέσα στο παίγνιο. Μπορεί να συµβεί κάτι εκτός των ισορροπιών; Αν συµβεί κάτι διαφορετικό από τις ισορροπίες σηµαίνει ότι οι παίκτες δεν είναι ορθολογικοί. Άρα αν θέλουµε να κάνουµε ένα πείραµα και βγάλουµε στο πείραµα κάτι τελείως διαφορετικό από τις ισορροπίες, θα πούµε ότι τα άτοµα δεν είναι ορθολογικά. Άρα η υπόθεση του ορθολογισµού δεν ισχύει. Και όπως ξέρουµε όλα τα οικονοµικά στηρίζονται σε αυτή την υπόθεση. Και αν δεν ισχύει αυτή η υπόθεση όλα όσα έχουµε µάθει δεν ισχύουν. Όµως ένα άτοµο µη-ορθολογικό σε µακροχρόνια βάση θα εξαφανιστεί (θα πεθάνει). Ας δούµε τώρα ένα άλλο παίγνιο. Έχουµε δύο παίχτες µε τις εξής στρατηγικές: (Ι Ι) Α Ι Π, -2 0, 0 2, - (Ι) Κ, - 2, -2, Α αριστερά, Ι ίσια δεξιά Π πάνω, Κ κάτω Οι παίκτες (Ι) και (ΙΙ) αντιµετωπίζουν αυτό το παίγνιο. Αυτό το παίγνιο έχει καµιά ισορροπία σε αµιγείς στρατηγικές; Α Ι Π, -2 0, 0 2, - Κ, - 2, -2, Άρα δεν έχουµε ισορροπία σε αµιγείς στρατηγικές. Αυτό το παίγνιο, είναι 3 2. Άρα ήδη αρχίζει να γίνεται πιο µπλεγµένο γιατί θα χρειαστούµε τρεις πιθανότητες εκτός και αν µπορούµε να πετάξουµε κάτι έξω. Και όπως βλέπουµε η Α (αριστερά) είναι αυστηρά κυριαρχούµενη από την (δεξιά), οπότε ποτέ δεν θα εµφανιστεί µια αυστηρά κυριαρχούµενη στρατηγική σε καµία ισορροπία κατά Nash: σε καµία ούτε σε αµιγείς ούτε σε µεικτές στρατηγικές. 8
Άρα µια αυστηρά κυριαρχούµενη στρατηγική ποτέ δεν ανήκει στο support µιας ισορροπίας σε µεικτές στρατηγικές. Αυτό σηµαίνει ότι µια αυστηρά κυριαρχούµενη στρατηγική, δίνει πάντοτε λιγότερα αναµενόµενα κέρδη από µια κυρίαρχη στρατηγική (και αυτό είναι γενικό). Οπότε το Α (αριστερά) το πετάµε έξω. Πριν κάνουµε οτιδήποτε άλλο το πρώτο που ελέγχουµε είναι ποιες στρατηγικές είναι αυστηρά κυριαρχούµενες. Και αφού απαλείφουµε αυτές τις στρατηγικές µετά λύνουµε το παίγνιο, (µε τον κλασσικό τρόπο). (ΙΙ) (Ι) Α Ι Π, -2 0, 0 2, - Κ, - 2, -2, (ΙΙ) ( Ι) q Ι -q p Π 0, 0 2, - -ρ Κ 2, -2, Αυτό το παίγνιο µπορούµε να το λύσουµε είτε µε τον κλασσικό τρόπο βάζοντας πιθανότητες: p, ( p) και q, ( q) γιατί στο Α (αριστερά) η πιθανότητα είναι ήδη µηδέν. Έτσι µπορούµε να φτιάξουµε τις καµπύλες αντίδρασης να δούµε που τέµνονται και να βρούµε την ισορροπία. Μπορούµε όµως να χρησιµοποιήσουµε και την αρχή της εξίσωσης των κερδών. Πως χρησιµοποιείται αυτή η αρχή και πόσο γρήγορα µπορεί να µας βγάλει τη λύση; Αµέσως γιατί σε µια µεικτή ισορροπία ξέρουµε ότι τα κέρδη του παίκτη (Ι) όταν ακολουθεί το Π ή Κ είναι τα ίδια. Άρα εξισώνουµε αυτά τα δύο κέρδη και λύνουµε. Η παράµετρος που εισέρχεται στα κέρδη αυτά είναι το q. εν εισέρχεται η δικιά του παράµετρος (p), εισέρχεται η παράµετρος του αντιπάλου (q). Άρα: ΠΙ( Π) = 0xq + 2( q) = 2 q ΠΙ( Κ) = 2xq + ( q) = q + 3q= q*=/3 ΠI (Π) = Π Ι(Κ) 2-2q = q + 9
Π Ι (Π) τα κέρδη του παίχτη Ι όταν ακολουθεί την στρατηγική πάνω Π Ι (K) τα κέρδη του παίχτη Ι όταν ακολουθεί την στρατηγική κάτω. Κάνοντας την ίδια διαδικασία για τον άλλο παίκτη βρίσκουµε το p*. Π Π ΙΙ ΙΙ ( Ι) = 0 p + ( 2)( p) = 2 p ( ) = ( ) p + ( p) = 2 p 2p 2= 2p 4p=3 p*=3/4 2 Π ΙI (I) = Π ( ) Άρα βρίσκουµε αµέσως την ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές η οποία είναι: 3 2 Ισορροπία Π, Κ;, Α, Ι, ; 0,, 4 4 3 3 προσοχή! Για τον παίκτη (ΙΙ) υπάρχουνε τρεις στρατηγικές: Α, Ι, ΙΙ Μια στρατηγική είναι ένα πλήρες σχέδιο, το οποίο προσδιορίζει τις πιθανότητες σε όλα τα γεγονότα. 3 2 Η Π, Κ;, Α, Ι, ; 0,, επειδή δεν έχουµε ισορροπία σε αµιγείς στρατηγικές είναι 4 4 3 3 η µοναδική ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές. (*Αν έχουµε βρει τις ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές και βλέπουµε ότι χρειάζεται άλλη µια ισορροπία σε µεικτές εξισώνουµε τα κέρδη και την βρίσκουµε. εν είναι ανάγκη να βρούµε τις καµπύλες αντίδρασης εκτός και αν το ζητάει η άσκηση). Σε αυτό το παίγνιο επειδή έχουµε σύστηµα γραµµικών εξισώσεων οι ισορροπίες σε µεικτές στρατηγικές δεν µπορεί να είναι πάνω από µια. Έχουµε µοναδική λύση. Αν έχουµε µια ισορροπία σε αµιγείς στρατηγικές, κατά πάσα πιθανότητα δεν θα έχουµε ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές. (SOS: Αν στο midterm δούµε καµιά άσκηση 50 50 σίγουρα θα υπάρχουν αυστηρά κυριαρχούµενες στρατηγικές). 20