1 3.4 ΙΙΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΡΜΜΥ ΡΘΩΝΙΥ ΡΜΥ ΤΕΤΡΩΝΥ ΤΡΠΕΖΙΥ ΙΣΣΚΕΛΥΣ ΤΡΠΕΖΙΥ ΘΕΩΡΙ 1. Ιδιότητες παραλληλογράµµου Το σηµείο τοµής των διαγωνίων του είναι κέντρο συµµετρίας (Το κέντρο συµµετρίας) ι διαγώνιες διχοτοµούνται, δηλαδή έχουν ίδιο µέσο ( = και = ) ι απέναντι πλευρές είναι ίσες ( = και = ) 2. Ιδιότητες ορθογωνίου ι µεσοκάθετες των πλευρών του είναι άξονες συµµετρίας ι διαγώνιες είναι ίσες και διχοτοµούνται 3. Ιδιότητες ρόµβου ι ευθείες των διαγωνίων του είναι άξονες συµµετρίας ι διαγώνιες είναι κάθετες και διχοτοµούνται ι διαγώνιες είναι κάθετες και διχοτοµούν τις γωνίες του 4. Ιδιότητες τετραγώνου ι ευθείες των διαγωνίων του και οι µεσοκάθετες των πλευρών του είναι άξονες συµµετρίας ι διαγώνιες είναι ίσες, είναι κάθετες και διχοτοµούνται ι διαγώνιες διχοτοµούν τις γωνίες του 5. Ιδιότητες ισοσκελούς τραπεζίου Η ευθεία που διέρχεται από τα µέσα των δύο βάσεων είναι άξονας συµµετρίας και µεσοκάθετος στις βάσεις ι προσκείµενες σε κάθε βάση γωνίες είναι ίσες
2 ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να σχεδιάσετε ένα ισοσκελές τραπέζιο µε µία γωνία του να είναι 72 ο. Να υπολογιστούν οι υπόλοιπες γωνίες του τραπεζίου Έστω το διπλανό ισοσκελές τραπέζιο µε = 72 ο τότε λόγω του ισοσκελούς τραπεζίου είναι ɵ = = 72 ο και = Όµως + = 180 ο ως εντός και επί τα αυτά. Συνεπώς = 180 ο 72 = 108 ο = 72 ο 2. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες α) Σε κάθε ρόµβο οι γωνίες του είναι ίσες Λ β) Ένα τετράγωνο είναι ρόµβος Σ γ) ι διαγώνιες του ρόµβου δεν είναι ίσες Σ δ) Κάθε τετράγωνο είναι ορθογώνιο Σ ε) Σε κάθε παραλληλόγραµµο οι διαγώνιες είναι ίσες Λ α) πό την θεωρία η πρόταση είναι λάθος β) Το τετράγωνο είναι παραλληλόγραµµο µε ίσες πλευρές οπότε είναι ρόµβος άρα η πρόταση είναι σωστή γ) πό την θεωρία η πρόταση είναι σωστή δ) Το τετράγωνο είναι παραλληλόγραµµο µε ορθές γωνίες οπότε είναι ορθογώνιο άρα η πρόταση είναι σωστή ε) πό την θεωρία η πρόταση είναι λάθος 3. Μία πλευρά ενός παραλληλογράµµου είναι 4cm. ν η περίµετρος του παραλληλογράµµου είναι 20cm, να υπολογίσετε τα µήκη των πλευρών του. Στο παραλληλόγραµµο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες ν λοιπόν = 4 cm και = x τότε 4cm = 4cm και = x Εποµένως 4 + x + 4 + x = 20 άρα 8 + 2x = 20 x 2x = 12 x = 6 cm άρα = = 6 cm
3 4. Μία πλευρά ενός ορθογωνίου είναι 12 cm και η περίµετρός του είναι ίση µε την περίµετρο ενός ρόµβου πλευράς 9 cm. Να υπολογίσετε τα µήκη των πλευρών του ορθογωνίου. ρόµβος έχει όλες τις πλευρές ίσες, εποµένως η περίµετρός του είναι 4 9 = 36 cm Άρα και το ορθογώνιο έχει περίµετρο 36. Στο ορθογώνιο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες 12cm ν λοιπόν στο διπλανό ορθογώνιο είναι = 12 cm και = x τότε = 12cm και = x x Εποµένως 12 + x + 12 + x = 36 άρα 24 + 2x = 36 2x = 12 x = 6 cm οπότε = = 6 cm 5. Με κέντρο το σηµείο τοµής των διαγωνίων ενός τετραγώνου και ακτίνα να σχεδιάσετε κύκλο. Να δικαιολογήσετε γιατί ο κύκλος αυτός θα περάσει από όλες τις κορυφές του τετραγώνου. Επίσης να δικαιολογήσετε γιατί τα τόξα,, και είναι ίσα. B Στο τετράγωνο οι διαγώνιες είναι ίσες κάθετες και διχοτοµούνται. Εποµένως = = = Άρα ο κύκλος µε κέντρο το και ακτίνα A θα περάσει από όλες τις κορυφές του τετραγώνου. Επειδή οι διαγώνιες είναι κάθετες οι επίκεντρες γωνίες,,, είναι ορθές, άρα ίσες. Συνεπώς τα αντίστοιχα τους τόξα θα είναι ίσα. 6. Σε ένα παραλληλόγραµµο µία γωνία του είναι διπλάσια µιας άλλης γωνίας να υπολογιστούν οι γωνίες του παραλληλογράµµου Έστω ότι = 2 Είναι + = 180 ο ως εντός και επί τα αυτά Άρα 2 + = 180 ο 3 = 180 ο = 60 ο Τότε = 120 ο = ɵ και = 60 ο δεδοµένου ότι οι απέναντι γωνίες στο παραλληλόγραµµο είναι ίσες.
4 7. Στο διπλανό σχήµα, το τραπέζιο είναι ισοσκελές. Να υπολογιστούν οι γωνίες,, θ ɵ Είναι ɵ = 75 ο ως παραπληρωµατική της γωνίας των 105 ο. = ɵ = 75 ο επειδή το τραπέζιο είναι ισοσκελές = 105 ο ως εντός εναλλάξ, οπότε θ ɵ = 75 ο ως παραπληρωµατική της Τέλος = = 105 ο επειδή το τραπέζιο είναι ισοσκελές θ 105 ο 8. Να σχεδιάσετε µε κανόνα και διαβήτη ένα ρόµβο του οποίου οι διαγώνιες είναι 3cm και 4cm.. Κατασκευάζουµε µε τον χάρακα ευθύγραµµο τµήµα = 3cm και µε τον διαβήτη φέρνουµε την µεσοκάθετο αυτού. Έστω το µέσο του. Εκατέρωθεν του και πάνω στην µεσοκάθετο παίρνουµε σηµεία και τέτοια ώστε = = 2 cm. Το τετράπλαυρο είναι ο ζητούµενος ρόµβος 9. Να σχεδιάσετε µε κανόνα και διαβήτη τετράγωνο µε διαγώνιο 4cm. Κατασκευάζουµε µε τον χάρακα ευθύγραµµο τµήµα = 4cm και µε τον διαβήτη φέρνουµε την µεσοκάθετο αυτού. Έστω το µέσο του. Εκατέρωθεν του και πάνω στην µεσοκάθετο παίρνουµε σηµεία και τέτοια ώστε = = 2 cm. Το τετράπλαυρο είναι το ζητούµενο τετράγωνο
5 10. Να σχεδιάσετε ένα τετράπλευρο µε κάθετες διαγώνιες και από τις κορυφές του να φέρετε παράλληλες προς τις διαγώνιες αυτού. ν ΚΛΜ Ρ είναι το τετράπλευρο που έχει κορυφές τα σηµεία τοµής των παραπάνω παραλλήλων, να καθορίσετε το είδος του και να δικαιολογήσετε γιατί ΚΜ = ΛΡ Είναι ΚΡ // // ΛΜ, άρα ΚΡ // ΛΜ µοίως ΚΛ // ΡΜ Συνεπώς το ΚΛΜΡ είναι παραλληλόγραµµο Παραλληλόγραµµα είναι και τα Λ, Μ, Ρ και Κ. πότε κάθε µία από τις γωνίες Κ, Λ, Μ, ɵ Ρ είναι ίση Κ Ρ 1 2 4 3 µε τις γωνίες 1, 2, 3, 4 που είναι ορθές. Συνεπώς και το παραλληλόγραµµο ΚΛΜΡ έχει ορθές γωνίες, άρα είναι ορθογώνιο. Στο ορθογώνιο οι διαγώνιες είναι ίσες άρα ΚΜ = ΛΡ Λ Μ