ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #10: Λύση Εξισώσεων Εσωτερικής Κατάστασης με Χρήση Μεθόδου Ιδιοτιμών Δημήτριος Δημογιαννόπουλος Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί Ενότητας Υπολογισμός εσωτερικών σημάτων συστήματος εκφρασμένου στο χώρο κατάστασης. Χρήση μεθόδου ιδιοτιμών για τον υπολογισμό των σημάτων απόκρισης του συστήματος. 4
Περιεχόμενα Ενότητας Υπολογισμός απόκρισης από τις εξισώσεις κατάστασης: Ιδιοτιμές του Α Υπολογισμός απόκρισης από τις εξισώσεις κατάστασης - Μεθοδολογία Παράδειγμα 5
Υπολογισμός Απόκρισης από τις Εξισώσεις Κατάστασης Ιδιοτιμές του Α 6
Υπολογισμός Απόκρισης από τις Εξισώσεις Κατάστασης - Ιδιοτιμές του Α - 1 Μητρώο A με ιδιοτιμές λ 1,...λ n πραγματικές και ξεχωριστές Έστω σύστημα στο χώρο κατάστασης: d dt xt () = A xt () + B ut () yt () = C xt () + D ut () Υπολογίζουμε την απόκριση κάνοντας χρήση των ιδιοτιμών του μητρώου A (οι οποίες αντιστοιχούν στους πόλους της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος!). Ιδιοτιμές λ 1,...λ n του μητρώου A : ( ) ( ) 1 A xt ( ) = λ xt ( ) λ I A xt ( ) = 0 xt ( ) 0 det λ I A = 0 λ,..., λn (1) (2) 7
Υπολογισμός Απόκρισης από τις Εξισώσεις Κατάστασης - Ιδιοτιμές του Α - 2 ( ) ( ) 1 A xt ( ) = λ xt ( ) λ I A xt ( ) = 0 xt ( ) 0 det λ I A = 0 λ,..., λn Σε κάθε ιδιοτιμή λ i αντιστοιχεί το ιδιοδιάνυσμα υ i που βρίσκεται ως: A υ = λυ i Ορίζουμε το μητρώο των ιδιοδιανυσμάτων Μ=[ υ 1, υ 2,..., υ n ] όπως και το διαγώνιο μητρώο Λ ως ακολούθως: λ1 0... 0 0 λ 0 0 0 0... λ n 2 Λ= i (2) (3) (4) 8
Υπολογισμός Απόκρισης από τις Εξισώσεις Κατάστασης - Ιδιοτιμές του Α - 3 Διαγωνοποίηση του μητρώου Α, ως εξής: Μ -1 Α Μ=Λ, ή Α= Μ Λ Μ -1 (5) 9
Υπολογισμός Απόκρισης από τις Εξισώσεις Κατάστασης - Ιδιοτιμές του Α - 4 Διαγωνοποίηση του μητρώου Α, ως εξής: Μ -1 Α Μ=Λ, ή Α= Μ Λ Μ -1 (5) Αν θεωρήσουμε το ομογενές μέρος της πρώτης εξίσωσης των (2) [δηλαδή αν u(t)=0], τότε μέσω της (5) θα είναι: d 1 dt xt () = A xt () =Μ Λ Μ xt () (6) 10
Υπολογισμός Απόκρισης από τις Εξισώσεις Κατάστασης - Ιδιοτιμές του Α - 5 Διαγωνοποίηση του μητρώου Α, ως εξής: Μ -1 Α Μ=Λ, ή Α= Μ Λ Μ -1 (5) Αν θεωρήσουμε το ομογενές μέρος της πρώτης εξίσωσης των (2) [δηλαδή αν u(t)=0], τότε μέσω της (5) θα είναι: 1 d dt xt () = A xt () =Μ Λ Μ xt () (6) Ορίζοντας τη βοηθητική διανυσματική μεταβλητή z(t)=μ - 1 x(t) και μέσω της (6) έχουμε ότι: d dt zt () =Λ zt () (7) 11
Υπολογισμός Απόκρισης από τις Εξισώσεις Κατάστασης - Ιδιοτιμές του Α - 6 Άρα και d dt zt () =Λ zt () λ1 e 0... 0 λ2 Λ 0 e 0 zt ( ) =Φ0( t) z(0) = e z(0) = z(0) λn 0 0... e (7) (8) οπότε μέσω του ορισμού z(t)=μ -1 x(t) προκύπτει: x() t =Μ Φ () t z(0) =Μ Φ () t Μ x(0) =Φ() t x(0) 0 0 0 1 Φ () t =Μ Φ () t Μ 1 (9) 12
Υπολογισμός Απόκρισης από τις Εξισώσεις Κατάστασης - Ιδιοτιμές του Α - 7 x() t =Μ Φ () t z(0) =Μ Φ () t Μ x(0) =Φ() t x(0) 0 0 0 1 Φ () t =Μ Φ () t Μ 1 (9) Υπολογισμός της απόκρισης (συνέλιξη!) t xt () =Φ() t x(0) + Φ( τ) B ut ( τ) dτ 0 t y() t = C Φ() t x(0) + { C Φ() t B+ D} u( t τ) dτ 0 13
Υπολογισμός Απόκρισης από τις Εξισώσεις Κατάστασης Μεθοδολογία 14
Υπολογισμός Απόκρισης από τις Εξισώσεις Κατάστασης / Μεθοδολογία - 1 Βήμα 1: Εύρεση ιδιοτιμών λ 1,...λ n του A, υπολογισμός Φ 0 (t) από σχέση λ1 e 0... 0 λ2 0 e 0 λn 0 0... e Φ 0() t = 15
Υπολογισμός Απόκρισης από τις Εξισώσεις Κατάστασης / Μεθοδολογία - 2 Βήμα 1: Εύρεση ιδιοτιμών λ 1,...λ n του A, υπολογισμός Φ 0 (t) από σχέση Βήμα 2: Εύρεση ιδιοδιανυσμάτων και σχηματισμός του Μ=[ υ 1, υ 2,..., υ n ] λ1 e 0... 0 λ2 0 e 0 λn 0 0... e Φ 0() t = t 16
Υπολογισμός Απόκρισης από τις Εξισώσεις Κατάστασης / Μεθοδολογία - 3 Βήμα 1: Εύρεση ιδιοτιμών λ 1,...λ n του A, υπολογισμός Φ 0 (t) από σχέση Βήμα 2: Εύρεση ιδιοδιανυσμάτων και σχηματισμός του Μ=[ υ 1, υ 2,..., υ n ] λ1 e 0... 0 λ2 0 e 0 λn 0 0... e Φ 0() t = t Βήμα 3: Υπολογισμός του Φ(t)= Μ Φ 0 (t) Μ -1 17
Υπολογισμός Απόκρισης από τις Εξισώσεις Κατάστασης / Μεθοδολογία - 4 Βήμα 1: Εύρεση ιδιοτιμών λ 1,...λ n του A, υπολογισμός Φ 0 (t) από σχέση λ1 e 0... 0 λ2 0 e 0 λn 0 0... e Φ 0() t = Βήμα 2: Εύρεση ιδιοδιανυσμάτων και σχηματισμός του Μ=[ υ 1, υ 2,..., υ n ] Βήμα 3: Υπολογισμός του Φ(t)= Μ Φ 0 (t) Μ -1 Βήμα 4: Υπολογισμός αποκρίσεων x(t), y(t) t xt () =Φ() t x(0) + Φ( τ) B ut ( τ) dτ 0 t y() t = C Φ() t x(0) + { C Φ() t B+ D} u( t τ) dτ 0 18
Παράδειγμα 19
Παράδειγμα (1) Θεωρούμε ξανά το κύκλωμα RL-RL και θα υπολογίσουμε την απόκριση με τη μέθοδο των ιδιοτιμών. Οι εξισώσεις, όπως σχηματίστηκαν στην προηγούμενη ενότητα: d dt x1() t 2 1 x1() t 2 d = ut () dt xt () A xt () B ut () x () t + = + 1 1 x () t 1 2 2 x1 () t yt () = ( 1 1) + ( 1 ) ut () yt () = C xt () + Dut () x2() t 20
Παράδειγμα (2) Οι εξισώσεις, όπως σχηματίστηκαν στην προηγούμενη ενότητα: x1() t 2 1 x1() t 2 d = ut () dt xt () A xt () B ut () x2() t + 1 1 x2() t = + 1 x1 () t yt () = ( 1 1) + ( 1 ) ut () yt () = C xt () + Dut () x2() t d dt Βήμα 1: Εύρεση ιδιοτιμών λ 1,...λ n του μητρώου A, υπολογισμός Φ 0 (t) 1 0 2 1 det ( λ I A) = 0 det λ = 0 0 1 1 1 λ + 2 1 λ1 = 0.382 det = 0 1 λ + 1 λ2 = 2.618 => 0.382 e 0 Φ 0() t = 2.618 0 e 21
Παράδειγμα (3) Βήμα 2: Εύρεση ιδιοδιανυσμάτων και σχηματισμός του μητρώου Μ=[ υ 1, υ 2 ]. Για το υ 1 : 1 0 2 1 υ A υ1 = λ1 υ1 ( λ1 I A) υ1 = = 11 0 0.382 0 0 1 1 1 υ21 1.618 1 υ11 1.618 υ11 + υ21 = 0 υ11 = 1 = 0 1 0.618 υ υ 21 υ11 + υ21 = υ21 = 0.618 0 11= 1 1.618 Για το υ 2 θα προκύψει με όμοιο τρόπο υ 12 =1 και υ 22 =0.618. Άρα το μητρώο Μ (και Μ -1 ): 1 1 1 1 0.618 1.618 0.276 0.447 Μ= Μ = = 1.618 0.618 det( Μ) 1 1 0.723 0.447 T 22
Παράδειγμα (4) Βήμα 3: Υπολογισμός του Φ(t)= Μ Φ 0 (t) Μ -1 0.382 1 1 1 e 0 0.276 0.447 Φ () t =Μ Φ0() t Μ = 2.618 1.618 0.618 0 e 0.723 0.447 0.276 e + 0.724 e 0.447 e + 0.447 e = 0. 0.447 382 2.618 0.382 2.618 e + 0.447 e 0.724 e + 0.276 e 0.382 2.618 0.382 2.618 Βήμα 4: Υπολογισμός της απόκρισης [ελεύθερη για x(0)=[1 1] T και εξαναγκασμένη για u(t)=1]: 0.382 2.618 0.382 2.618 0.276 e + 0.724 e 0.447 e + 0.447 e 1 xα () t =Φ() t x(0) = 0.382 2.618 0.382 2.618 0.447 e + 0.447 e 0.724 e + 0.276 e 1 0.171 e + 1.171 e = t 0.277 e + 0.723 e 0.382 2.618 0.382 2.618 23
Παράδειγμα (5) και t xε () t = Φ( τ) But ( τ) dτ 0 0.382 2.618 0.382 2.618 t 0.276 e + 0.724 e 0.447 e + 0.447 e 2 = 1 dτ 0 0.382 2.618 0.382 2.618 0.447 e + 0.447 e 0.724 e + 0.276 e 1 t 0.382 2.618 0.105 e + 1.895 e dτ 0.382 2.618 0 1 0.276 e 0.724 e = t 0.382 2.618 0.382 2.618 = 0.171 e + 1.171 e dτ 0.447 e 0.447 e 0 24
Τέλος Ενότητας