ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΙ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΙ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Κ. ΜΠΕΚΙΑΡΗΣ ΛΥΜΠΕΡΗΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΛΕΓΚΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 7

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΛΕΓΚΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕΡΟΣ Α: ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ BACKSTEPPNG ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥΡΜΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ (TURBOGENERATOR) ΜΕΡΟΣ Β: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΒΑΘΜΟΝΟΜΗΣΗΣ P ΚΑΙ P ΕΛΕΓΚΤΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΠΕΡΙΘΩΡΙΩΝ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΣΕ ΑΣΤΑΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΧΡΟΝΟΥ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Επιβλέπων : Παρασκευάς Παρασκευόπουλος Καηγηής ΕΜΠ Εγκρίηκε από ην ριµελή εξεασική επιροπή ην Οκωβρίου 7......... Παρασκευάς Παρασκευόπουλος Τρύφων Κουσιουρής Νικόλαος Μαράος Καηγηής ΕΜΠ Καηγηής ΕΜΠ Καηγηής ΕΜΠ... Νικόλαος Μπεκιάρης Λυµπέρης ιπλωµαούχος Ηλεκρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός Υπολογισών Ε.Μ.Π. Αήνα, Οκώβριος 7

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα εργασία αποελείαι από δύο ανεξάρηα όσο αναφορά ο ανικείµενο που πραγµαεύοναι µέρη. Σο πρώο µέρος ης διπλωµαικής εργασίας εφαρµόζεαι η µέοδος ου µη γραµµικού προσαρµοσικού ελέγχου backstepping για ον έλεγχο ου αµοσροβίλου ενός συσήµαος ουρµπογεννήριας. Σο πρώο κεφάλαιο παρουσιάζεαι συνοπικά η µέοδος ου backstepping ελεγκή. Σο δεύερο κεφάλαιο εφαρµόζεαι η µέοδος αυή σο σύσηµα ης ουρµπογεννήριας, όσο για ην περίπωση ρύµισης ου σηµείου λειουργίας όσο και για ην περίπωση παρακολούησης ροχιάς. Σο ρίο κεφάλαιο παρουσιάζοναι αριµηικές εφαρµογές ης µεόδου για ο σύσηµα ης ουρµπογεννήριας και για ις περιπώσεις ου ελέγχου παρακολούησης ροχιάς και ρύµισης ου σηµείου λειουργίας. Σο έαρο και ελευαίο κεφάλαιο εξάγοναι συµπεράσµαα για ις επιδόσεις ου ελεγκή σο σύσηµα ης ουρµπογεννήριας. Το δεύερο µέρος ης εργασίας αποελεί συνέχιση ης δουλειάς ου διδάκορα ου Ε.Μ.Π. Γιώργου Πασγιάνου και σε αυό παρουσιάζοναι µέοδοι βαµονόµησης P και P ελεγκών που σηρίζοναι σην επίευξη ου µέγισου περιωρίου φάσης για συσήµαα πρώης άξης µε καυσέρηση χρόνου και γίνεαι ανάλυση ων περιωρίων ευσάειας που επιυγχάνοναι, για κάε µια µέοδο. Σο πέµπο κεφάλαιο παρουσιάζοναι ρεις εναλλακικές µορφές για ον P έλεγχο ασαών συσηµάων πρώης άξης. Σο έκο κεφάλαιο γίνεαι ανάλυση ων ιδιοήων ων ασαών συσηµάων πρώης άξης µε καυσέρηση χρόνου σο πεδίο ης συχνόηας, όαν αυά ελέγχοναι από P και P ελεγκή. Σο έβδοµο και όγδοο κεφάλαιο παρουσιάζοναι ρεις διαφορεικοί µέοδοι βαµονόµησης για P και P ελεγκές ανίσοιχα. Επίσης, αναλύεαι ο µέγισο περιώριο φάσης που επιυγχάνεαι µε ην κάε µια προεινόµενη µέοδο. Σο έναο κεφάλαιο παρουσιάζοναι αριµηικά αποελέσµαα ων µεόδων βαµονόµησης που παρουσιάσηκαν όσο για P όσο και για P έλεγχο. Ακόµα, οι προεινόµενες µέοδοι εφαρµόζοναι για ον έλεγχο ενός συσήµαος ασαούς βιολογικού ανιδρασήρα. Σο δέκαο και ελευαίο κεφάλαιο εξάγοναι συµπεράσµαα όσο αναφορά ις επιδόσεις ων παρουσιαζόµενων µεόδων. Ευχαρισώ ερµά ον επιβλέπονα καηγηή κύριο Παρασκευά Παρασκευόπουλο ου οποίου ο συµβουλευικός ρόλος υπήρξε καορισικός για ην εκπόνηση ης εργασίας αυής. Επίσης, α ήελα να ευχαρισήσω ον διδάκορα ου Ε.Μ.Π. Γιώργο Πασγιάνο για ην καοδήγηση και ην αµέριση συµπαράσαση ην οποία µου παρείχε καά ην εκπόνηση ης παρούσας εργασίας.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α: ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ BACKSTEPPNG ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥΡΜΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ (TURBOGENERATOR). Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ BACKSTEPPNG. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ BACKSTEPPNG. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΤΟΥ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ BACKSTEPPNG ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΤΟΥΡΜΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ. ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΤΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΜΕΘΌ ΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΟΥΡΜΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ 6. ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΤΟΥΡΜΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ 7.3 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ BACKSTEPPNG ΣΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥΡΜΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ 8.3. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΡΥΘΜΙΣΗΣ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ 8.3.. ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΤΟΥ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 5.3.. ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΤΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΑΓΝΩΣΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ 7.3..3 ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΧΩΡΙΣ ΤΟΝ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟ ΝΟΜΟ 8.3. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ.3.. ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΤΟΥ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ.3.. ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΤΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΑΓΝΩΣΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ.3..3 ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΤΟΥ ΚΛΕΙΣΤΟΥ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΟΥ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΥ BACKSTEPPNG 7 ΕΛΕΓΚΤΗ ΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΥΡΜΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 3. ΡΥΘΜΙΣΗ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ 7 3. ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗ ΤΡΟΧΙΑΣ 3 4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 4

ΜΕΡΟΣ Β: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΒΑΘΜΟΝΟΜΗΣΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΕΡΙΘΩΡΙΟΥ ΦΑΣΗΣ P ΚΑΙ P ΕΛΕΓΚΤΩΝ ΣΕ ΑΣΤΑΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΧΡΟΝΟΥ 5. ΕΛΕΓΚΤΗΣ 3 ΟΡΩΝ ΓΙΑ ΑΣΤΑΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ 43 ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΧΡΟΝΟΥ 6. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΑΣΤΑΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΧΡΟΝΟΥ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΒΡΟΧΟΥ 6. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ P ΕΛΕΓΚΤΗ 44 6. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ P ΕΛΕΓΚΤΗ 47 7. ΜΕΘΟ ΟΙ ΒΑΘΜΟΝΟΜΗΣΗΣ P ΕΛΕΓΚΤΗ ΓΙΑ ΑΣΤΑΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗΣ 45 ΤΑΞΗΣ ΜΕΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΧΡΟΝΟΥ 7. ΠΡΩΤΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΒΑΘΜΟΝΟΜΗΣΗΣ ΓΙΑ P ΕΛΕΓΚΤΗ 5 7. ΕΥΤΕΡΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΒΑΘΜΟΝΟΜΗΣΗΣ ΓΙΑ P ΕΛΕΓΚΤΗ 5 7.3 ΤΡΙΤΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΒΑΘΜΟΝΟΜΗΣΗΣ ΓΙΑ P ΕΛΕΓΚΤΗ 59 8. ΜΕΘΟ ΟΙ ΒΑΘΜΟΝΟΜΗΣΗΣ P ΕΛΕΓΚΤΗ ΓΙΑ ΑΣΤΑΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗΣ 6 ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΧΡΟΝΟΥ 8. ΠΡΩΤΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΒΑΘΜΟΝΟΜΗΣΗΣ ΓΙΑ P ΕΛΕΓΚΤΗ 6 8. ΕΥΤΕΡΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΒΑΘΜΟΝΟΜΗΣΗΣ ΓΙΑ P ΕΛΕΓΚΤΗ 6 8.3 ΤΡΙΤΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΒΑΘΜΟΝΟΜΗΣΗΣ ΓΙΑ P ΕΛΕΓΚΤΗ 7 9. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 9.. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΒΑΘΜΟΝΟΜΗΣΗΣ ΓΙΑ P ΕΛΕΓΚΤΗ 77 9.. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΒΑΘΜΟΝΟΜΗΣΗΣ ΓΙΑ P ΕΛΕΓΚΤΗ 8 9.3. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΒΑΘΜΟΝΟΜΗΣΗΣ ΣΕ ΜΟΝΤΕΛΟ ΑΣΤΑΘΟΥΣ 84 ΒΙΟΛΟΓΙΚΟΥ ΑΝΤΙ ΡΑΣΤΗΡΑ. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 86 ΑΝΑΦΟΡΕΣ 87

. ΕΙΣΑΓΩΓΗ.Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ BACKSTEPPNG. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ανάγκη για άµεση εφαρµογή ελεγκών σε µη γραµµικά συσήµαα έχει οδηγήσει σην ανάπυξη πολλών µεόδων για ην σχεδίαση µη γραµµικών ελεγκών. Η δυσκολία σην µέρηση φυσικών µεγεών και διεργασιών, η µη γνώση ορισµένων παραµέρων, ή ακόµα και η αχύαη µεαβολή ορισµένων µεγεών, έχει οδηγήσει σην ανάγκη για ην ανάπυξη εργαλείων αναγνώρισης ων αγνώσων αυών σοιχείων, αλλά και εργαλείων για ην προσαρµογή σις µεαβολές ων διαφόρων µεγεών. Η µέοδος σχεδίασης µη γραµµικών προσαρµοσικών ελεγκών µε ην µέοδο ου backstepping αποελεί ένα έοιο εργαλείο, ο οποίο δίνει έναν αλγοριµικό ρόπο σχεδίασης έοιου είδους ελεγκών. Εκός ων πλεονεκηµάων που έχουν όλοι οι µη γραµµικοί προσαρµοσικοί ελεγκές, όπως η άµεση εφαρµογή ους σε µη γραµµικά συσήµαα, η ακρίβεια ων ελεγκών αυών, αλλά και η προσαρµογή ους σε αλλαγές διαφόρων φυσικών µεγεών, προσφέρει λόγω ης αλγοριµικής δοµής ου, ην δυναόηα ης σχεδίασης βήµα προς βήµα και κα επέκαση ην δυναόηα εύκολου ελέγχου ων αποελεσµάων και ων επιδόσεων ης συγκεκριµένης µεόδου. Τέλος, σε ανίεση µε άλλες ήδη υπάρχουσες µεόδους, χρησιµοποιεί ις διάφορες µη γραµµικόηες που εµφανίζοναι για ην βελίωση ων επιδόσεων ου ελέγχου.. Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ BACKSTEPPNG Ένα σύσηµα λέγεαι όι είναι σε αυσηρά παραµερική µορφή αναροφοδόησης, όαν ο µονέλο καάσασής ου είναι ης µορφής x = x +ϕ ( x ) T x = x +ϕ ( x, x ) T 3 n n n n x = x + ϕ ( x, x,..., x ) T (.) όπου x = ϕ ( ) ( ) ( x + β x u+ ϕ x )T p R είναι ένα διάνυσµα αγνώσων παραµέρων και n F ϕ ϕ ϕ n n = [,,..., ] (.) n p είναι οµαλές συναρήσεις R R, ϕ ( x) n n n R R, β ( x), x R και u R η µεαβληή ελέγχου. Σκοπός ου backstepping αλγορίµου είναι να ρυµίσουµε ο x σε ένα επιυµηό σηµείο λειουργίας y s.

. Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ BACKSTEEPPNG Τα σηµεία ισορροπίας ( x = ) ου παραπάνω συσήµαος είναι (για ις n πρώες εξισώσεις καάσασης) x T = ϕ ( x ) e e T x = ϕ ( x, x ) e e e 3 e e e e n n n T x = ϕ ( x, x,..., x ) Από ην ελευαία σχέση ης (.) και για x =, µπορούµε να λύσουµε ως προς u για να πεύχουµε n e x = y s. Αυό που µένει εποµένως, είναι να ευσαοποιήσουµε αυό ο σηµείο ισορροπίας για ις άγνωσες παραµέρους ου συσήµαος και αυόχρονα να πεύχουµε κάε αρχική συνήκη x () (global asymptotic stability). x (.3) e x καώς t για Η σχεδίαση ου backstepping ελεγκή ολοκληρώνεαι σε n βήµαα. Σε κάε βήµα, έσω i, ευσαοποιούναι οι πρώες i µεαβληές καάσασης, µε ην βοήεια µιας συνάρησης Lyapunov Vi. Σο ελευαίο βήµα ης σχεδίασης (n ) διαλέγουµε ον έλεγχο u καώς και ον προσαρµοσικό νόµο για ην εκίµηση ου διανύσµαος ων αγνώσων παραµέρων. Το i συνοπικά είναι (λεποµέρειες []) βήµα ου αλγορίµου i = z = x ys (.4) i n zi = xi ai (.5) a a a a x x x = z c z w + x + Γ + Γwz i i ˆ T ˆ i i k i(,,..., i, ) i i i i k+ i ˆ i k (.6) ˆ k= xk k= Ενώ, ο νόµος ελέγχου δίνεαι από ην σχέση ( x, x,..., x, ˆ ) = + w z (.7) i i i i i w ( x, x,..., x, ˆ ) = ϕ i i i a i i ϕk (.8) k = xk u = a (, ˆ n x ) ϕ ( x) β ( x) (.9) και η εκίµηση ου διανύσµαος ων αγνώσων παραµέρων δίνεαι από ˆ =Γ ( x, ˆ n ) =Γ Wz (.) όπου Γ είναι ένας σαερός εικά ορισµένος p pπίνακας και W( z, ˆ ) = [ w, w,..., w n ], ενώ η i συνάρηση Lyapunov είναι Vi = + Γ i zk T (.) k = Με ην εφαρµογή ου ελέγχου (.9) ο κλεισό σύσηµα που προκύπει είναι z = A (, z ˆ ) z + W(, z ˆ ) T (.) z ˆ =ΓW(, z ˆ) z (.3)

. Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ BACKSTEEPPNG 3 όπου = ˆ, είναι ο σφάλµα ης εκίµησης ου διανύσµαος ων αγνώσων παραµέρων ˆ και ο πίνακας όπου σ Az (, z ˆ ) δίνεαι από ην σχέση a ˆ i ik = Γwk. c c + σ σ A (, z ˆ ) σ z 3 n = 3 + σ n, n σ σ n n, n c n (.4) Επιλέγονας σαν συνάρηση Lyapunov για ο σύσηµα που αποελείαι από ις εξισώσεις (.) και (.3) ην V n = + Γ n zk T προκύπει k = n n = ckzk k = V (.5) Από ο εώρηµα ου αναλλοίωου συνόλου ου LaSalle ([]), προκύπει όι η καάσαση ( zt ( ), ( t)) ου συσήµαος ων εξισώσεων (.) και (.3) συγκλίνει σο µεγαλύερο αναλλοίωο σύνολο M που περιέχεαι σο σύνολο {(, ) n + p E = z z = } δηλαδή σο σύνολο όπου V =. Σο σύνολο αυό είναι z = και z = και από ις εξισώσεις (.) και (.3) προκύπει όι Από ις σχέσεις (.8) και W( z, ˆ ) = [ w, w,..., w n ] προκύπει όι Λόγω ου όι ο πίνακας ˆ T W(, z )( ˆ ) =, ( z, ˆ ) M (.6) a ˆ x T T W(, z ) F() x N(, z ˆ T = = ) F() x (.7) an a n x xn N(, z ˆ ) είναι ανισρέψιµος (κάω ριγωνικός) για (, z ˆ ) M, η σχέση n (.6) συνεπάγεαι όι T F( x) ( ˆ ) =, σο M (.8) Για να αποδείξουµε ην ασυµπωική ευσάεια ου σηµείου (.3) δεν µένει παρά να δείξουµε όι x e = x σο M. Αφού z x ys e = όε σο M είναι x = x = y s. Από ην (.8) προκύπει ( ˆ T ) ϕ ( x ) =, σο M (.9) e Από ην (.6) προκύπει όι a = c ˆT z ϕ. Έσι σο M λόγω και ης (.9) είναι ˆT T a ϕ x = = ϕ. Λόγω ου όι z = = x a και ης σχέσης (.3), προκύπει όι σο M είναι = x. Χρησιµοποιώνας ην σχέση (.8) παίρνουµε e

. Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ BACKSTEEPPNG 4 ( ˆ ) ϕ ( x, x ) =, σο M (.) T e e Συνεχίζονας µε ον ίδιο ρόπο, αποδυκνείεαι όι M όπου i. Εποµένως, ο µεγαλύερο αναλλοίωο σύνολο M σο E είναι Fe ank { F e } x e = x, ˆ x ( ˆ) (,,..., ) = σο e T e e e i = xi και ϕi x x xi {(, n p T n p e T ), } {(, ), ˆ T e e } + + M = z z = F = = x x= x F = F e (.) e = F( x ). Μια επιπλέον ιδιόηα ου συνόλου M είναι η διάσασή ου, p ank { F e }. Όαν = p, όε η διάσαση ου συνόλου M είναι και ο M γίνεαι ο σηµείο ισορροπίας =. Αυό σηµαίνει όι η εκίµηση ˆ συγκλίνει σην πραγµαική ιµή ου διανύσµαος ων αγνώσων παραµέρων. Ο παραπάνω αλγόριµος µπορεί να επεκαεί και σην περίπωση όπου έλουµε ο x να ακολουεί οποιαδήποε είσοδο αναφοράς y () t ης οποίας οι πρώες n παράγωγοι είναι γνωσοί, φραγµένοι και µηµαικά συνεχείς. Ο backstepping αλγόριµος σε αυήν ην περίπωση ροποποιείαι ως εξής i = z = x y (.) i n z = x a y (.3) ( i ) i i i i i ˆ () i Tˆ ai a ( k) i ai ak axx i(,,..., xi,, y, y,..., y ) = zi cz i i wi + xk + + y ( k ) i wz i k kw + Γ + i ˆ Γ ˆ k= x k y k= ενώ ο πίνακας () i i i i i i i (.4) ( x, x,..., x, ˆ, y, y,..., y ) = + w z (.5) a w x x x y y y ϕ (.6) i ˆ () i i i(,,..., i,,,,..., ) = ϕi k = xk ˆ () i u = an( x,, y, y,..., y ) ϕ ( x) β ( x) (.7) ˆ =Γ x ˆ y y y =ΓWz (.8) () i n(,,,,..., ) Az ου κλεισού συσήµαος είναι σε αυήν ην περίπωση k c k w c k w + A (, ˆ z z ) = σ 3 + σ σ σ3 σn n, n n σn, n cn kn wn (.9) από όπου και παραηρούµε όι υπάρχουν οι επιπλέον όροι i i k w, οι οποίοι είναι οι όροι ης µη γραµµικής απόσβεσης (nonlinea amping) και µπορούν να εγγυηούν ευσάεια ακόµα και χωρίς ην χρήση ου προσαρµοσικού νόµου (.8) ([]). Αποδυκνείαι ([]), όι όαν σην σχέση (.8) είναι Γ= και έσι η εκίµηση ˆ είναι σαερή, είναι

. Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ BACKSTEEPPNG 5 όπου k n =. i= ki zt () z() e ct + (.3) Χρησιµοποιώνας ην ίδια συνάρηση Lyapunov µε α προηγούµενα για ο σύσηµα που αποελείαι από ις σχέσεις (.8) και (.) µε ον πίνακα όπου c ck A z να δίνεαι από ην σχέση (.9), προκύπει n n n = k k i i i z k= i= V c z k w z c (.3) = min i n c i. Εποµένως ο σηµείο ισορροπίας (, z ) = είναι ευσαές. Επίσης από ο εώρηµα ων LaSalle-Yoshizawa ([]), προκύπει όι z καώς t. Άρα α έχουµε και [ ] lim x ( t) y ( t) =. t Η µέοδος ου baxkstepping µας δίνει επίσης ην ευκαιρία για βελίωση ης µεαβαικής απόκρισης, όπως αυή εκφράζεαι από ένα φράγµα για ο zt (). Αποδυκνείεαι ([]), όι ( ) γ ct zt ( ) () + z() + z() e (.3) ck Έσι µπορούµε να µικρύνουµε ο φράγµα αυό για ο zt () αυξάνονας ον όρο ck. Όµως, όπως αποδυκνείεαι ([]) αυό µπορεί να συµβεί για αυαίρεη αύξηση ου όρου ck όαν z () =. Από ην σχέση (.3) παραηρούµε όι για να έχουµε z () = πρέπει y () = x () y () = x () a ( x (), ˆ (), y ()) ( ˆ n ) y () = x () a x (), x (),..., x (), (), y (), y (),..., y () ( n ) ( ) n n n (.33) Λόγω ου όι α y y y ( n ) (), (),..., () είναι προκαορισµένα και έσι δεν µπορούµε να α διαλέξουµε όπως εµείς έλουµε ώσε να πεύχουµε α επειδή η παρακολούηση ου y που έλουµε να παρακολουήσουµε y () για i n ης σχέσης (.33) και i () t επιυγχάνεαι ασυµπωικά, ροποποιούµε ο σήµα αναφοράς y () t έσι ώσε να παρακολουούµε ο y() t = y () t + δ () t, όπου ο δ () t είναι ένα σήµα ης επιλογής µας που είνει ασυµπωικά σο µηδέν και έσι καώς t α έχουµε x() t y () t + δ () t y () t. Εποµένως, για να πεύχουµε z () = πρέπει να διαλέξουµε ο δ () t έσι ώσε δ () = y () y () δ () = y () y () ( ) ( ) ( ) δ n n n = y y () () () (.34)

. ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΤΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΟΥΡΜΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ 6.ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΤΟΥ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ BACKSTEPPNG ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΤΟΥΡΜΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ. ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΤΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΟΥΡΜΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ Ο έλεγχος συσηµάων ηλεκρικής ενέργειας, αποελεί ένα πολύ µεγάλο πεδίο εφαρµογής ης εωρίας ελέγχου. Τα συσήµαα αυά υπόκειναι σε διαφόρων ειδών διααραχές, περιλαµβάνουν άγνωσες παραµέρους, εµπεριέχουν συνήως µη γραµµικόηες και εποµένως είναι δύσκολο να ελεγχούν. Λόγω ης ανάγκης ευσαοποίησης έοιων συσηµάων, έχουν αναπυχεί διάφοροι µέοδοι ελέγχου. Τα προηγούµενα χρόνια υπήρξε πολύ µεγάλη ανάπυξη έοιων µεόδων, που όµως συνήως σηρίζοναν σε γραµµικούς ελεγκές. Συσήµαα όµως, όπως αυά ης ηλεκρικής ενέργειας, είναι από ην φύση ους µη γραµµικά και έσι έοιοι ελεγκές δεν είναι πάνα αξιόπισοι. Τα ελευαία χρόνια έχουν εφαρµοσεί σε έοιου είδους συσήµαα µέοδοι µη γραµµικού καώς και προσαρµοσικού ελέγχου, για ον καλύερο έλεγχο αυών ων συσηµάων. Σην βιβλιογραφία συνανάει κανείς παραδείγµαα ελέγχου µιας µηχανής µε έλεγχο ου συσήµαος διέγερσης εφαρµόζονας εχνικές ακριβούς γραµµικοποίησης ([]), µη γραµµικού προσαρµοσικού ελέγχου ([3]), ασαφούς ελέγχου ([4]) και µεόδους νευρωνικών δικύων ([5]). Πολλές επίσης, είναι οι εφαρµογές µεόδων ελέγχου για ον έλεγχο ου αµοσροβίλου µιας γεννήριας. Υπάρχουν εφαρµογές σχεδίασης εύρωσων ([6]) καώς και µη γραµµικών προσαρµοσικών ελεγκών ([7],[8]). Ακόµα, µπορεί να συνανήσει κανείς µεόδους αυόχρονου ελέγχου ου συσήµαος διέγερσης και ου αµοσροβίλου µιας γεννήριας ([9]) αλλά και µορφές ελεγκών που εφαρµόζοναι σε συσήµαα πολλών εξαρηµένων µεαξύ ους µηχανών, όπως για παράδειγµα σις ([],[],[]). Σκοπός ης παρούσας εργασίας είναι η εφαρµογή ης µεόδου ου µη γραµµικού προσαρµοσικού ελέγχου backstepping, για ον έλεγχο ου αµοσρόβιλου σε ένα σύσηµα µιας µηχανής συνδεδεµένης σε ένα άπειρο δίκυο µεαφοράς (steam-valve contol of a single machine infinite-bus). Το σύσηµα αυό είναι µη γραµµικό και εµπεριέχει άγνωσες παραµέρους. Επίσης υπόκειαι σε µεγάλου και µικρού µεγέους διααραχές, οι οποίες δεν επηρεάζουν µόνο ην είσοδο σο προς έλεγχο σύσηµα αλλά αλλάζουν και ις ιµές ων παραµέρων ου συσήµαος. Θα εφαρµόσουµε εποµένως σε αυό ο σύσηµα ην παραπάνω µέοδο, όσο για ην περίπωση ρύµισης ου σηµείου λειουργίας όσο και για ην περίπωση παρακολούησης ροχιάς. Επίσης, εξάγοναι οι ικανές συνήκες για ην σύγκλιση ης εκίµησης ων αγνώσων παραµέρων ου συσήµαος µέσω ου προσαρµοσικού νόµου σις πραγµαικές ους ιµές και µέσω προσοµοίωσης ελέγχεαι η συµπεριφορά ου συσήµαος όαν υπόκειαι σε διαφόρων ειδών διααραχές. Τέλος, παρουσιάζοναι πολλά αριµηικά παραδείγµαα για ον έλεγχο ης εγκυρόηας και ων επιδόσεων ου ελεγκή για διάφορες πιανές καασάσεις σις οποίες µπορεί να βρεεί ο σύσηµα και γίνοναι συγκρίσεις µε άλλες εχνικές ελέγχου.

. ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥΡΜΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ 7. ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥΡΜΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ (TURBOGENERATOR) Το µονέλο ης ουρµπογεννήριας φαίνεαι σο σχήµα Contolle δω,, PP, Geneato Tansfome Line Tubine Steam Valve Excite Σχήµα. Σύσηµα ουρµπογεννήριας (tubogeneato) Το µαηµαικό µονέλο για ην ουρµπογεννηρία περιγράφεαι από ένα µονέλο 4ης άξης σε αυσηρά παραµερική µορφή αναροφοδόησης (σχέση (.3), []) και δίνεαι ([6]) (.) y = y y = y y K y + (.) ( s ( sin( δ ) sinδ )) 3 Tj (.3) y3 = y 4 [ ] y 4 = u y y3 ay4 a σ T T όπου y = y y y3 y4 = δ δ ω P P P και ([]) δ δ y = + είναι η γωνία ροπής ου ρόορα και ω = y είναι γωνιακή αχύηα ου ρόορα δ η ονοµασική ης ιµή (.4) P= P + y 3 είναι η µηχανική δύναµη ου ρόορα T T m j = είναι η σαερά χρόνου αδράνειας ης ουρµπογεννήριας ω είναι ο συνελεσής απόσβεσης ης δύναµης απόσβεσης ης ουρµπογεννήριας a = TEHTT, a = TEH + TT όπου T EH είναι η σαερά χρόνου ου συσήµαος ελέγχου ου αµοσρόβιλου και T η σαερά χρόνου ης ουρµπογεννήριας T σ είναι ο κέρδος ου κλασικού ελεγκή ης αχύηας ου αµοσρόβιλου K s είναι παράµερος που εξαράαι από ην γεννήρια και ην γραµµή µεαφοράς u είναι η µεαβληή ελέγχου ου συσήµαος

. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ BACKSTEPPNG ΣΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥΡΜΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ 8 Σηµειώνουµε εδώ όι ο συνελεσής απόσβεσης και η παράµερος Ks αποελούν ις άγνωσες παραµέρους ου συσήµαος και επίσης όι η µεαβολή ων ιµών αυών ων παραµέρων αποελούν µια από ις αιίες διααραχής ου συσήµαος. Χρησιµοποιώνας ον γραµµικό µεασχηµαισµό x = Ty (.5) όπου ο σύσηµα (.)-(.4) γίνεαι Tj Tj T = (.6) a a x = x (.7) T όπου οι άγνωσες παράµεροι είναι [ ] x σχέση ϕ( x ) = sin + δ sin( δ ) Tj x = gx x ϕ( x ) = gx + ϕ ( x, x ) T (.8) 3 3, x = x (.9) 3 4 x = u bx gx ax (.) 4 3 4 T = = K s Tj a a =, a b = και σt j T, η συνάρηση ϕ( x ) δίνεαι από ην g =. a Το µονέλο (.7)-(.) είναι και ο µονέλο σο οποίο α εφαρµόσουµε ην µέοδο ου µη γραµµικού προσαρµοσικού ελέγχου backstepping..3 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ BACKSTEPPNG ΣΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥΡΜΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ.3. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΡΥΘΜΙΣΗΣ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ Σην περίπωση αυή έλουµε ο x να ακολουεί ένα επιυµηό σαερό σηµείο λειουργίας e y δηλαδή έλουµε σην καάσαση ισορροπίας ου συσήµαος να είναι x = y s. Από s e ις σχέσεις (.7)-(.9) παραηρούµε όι ο σηµείο ισορροπίας ου συσήµαος για x = y s είναι x (.) e = x = x = gx x ϕ( x ) = (.) e e e 3 x (.3) 3 = x4 = e x y ( ) = sin + sin = sin + sin = ϕ( ys ) και g, T j T j Παραηρώνας όι ϕ e s x δ ( δ ) δ ( δ ) προκύπει όι

.3. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΡΥΘΜΙΣΗΣ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ 9 x e y e s x e x ϕ( ys ) e x 3 g e x 4 = = (.4) Το σηµείο ισορροπίας (.4) είναι και ο σηµείο ο οποίο έλουµε να ευσαοποιήσουµε µε ην µέοδο ου backstepping διαλέγονας καάλληλα ην µεαβληή ελέγχου u. Παραήρηση Όαν έλουµε ο επιυµηό σηµείο λειουργίας να είναι y s = και παραηρώνας όι e σε αυήν ην περίπωση είναι ϕ( x ) = ϕ( y s ) = ϕ() =, ο σηµείο ισορροπίας ου συσήµαος (.5) [ ] γίνεαι ο σηµείο [ e T x ] = T. Βήµα : Θέουµε ην πρώη µεαβληή σφάλµαος ως z Θεωρώνας σαν εικονική µεαβληή ελέγχου ην καάσαση x έουµε Προκύπει εποµένως σο επίπεδο z z = x ys (.5) z = x a ( x ) (.6) z = x y (.7) s Από ις σχέσεις (.7), (.6) και αφού ο ys είναι σαερό η (.7) γίνεαι (.8) z = z + a Θέλουµε εποµένως σε αυό ο βήµα να ευσαοποιήσουµε ην (.8) σο σηµείο λόγω αυό διαλέγουµε ην υποψήφια συνάρηση Lyapunov V διαλέγονας η σχέση (.9) γίνεαι V = z z = z z + z a = z. Είναι e z =. Για ο (.9) a ( x ) = c z (.) V = z z c z (.) Από ην σχέση (.) παραηρούµε όι αν η µεαβληή καάσασης x ήαν η πραγµαική µεαβληή ελέγχου και διαλέγονας x = a( z), δηλαδή z =, α είχαµε V = cz που καισά ο ευσαές. Τέλος, µε αυήν ην επιλογή για ο a η σχέση (.8) δίνει z Βήµα : Από ο βήµα και ις (.7), (.8) προκύπει (.) z = cz + z a a z = x a ( x ) = gx x ϕ( x ) x = gx x ϕ( x ) x (.3) 3 3 x x Θεωρώνας σαν εικονική µεαβληή ελέγχου ην µεαβληή x 3, έουµε z3 = gx3 a (.4)

.3. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΡΥΘΜΙΣΗΣ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ και η (.3) γίνεαι a (.5) z = z3 + a x ϕ( x) x x Για να ευσαοποιήσουµε ο σύσηµα ων εξισώσεων (.) και (.5) και αφού σην σχέση (.3) υπάρχουν άγνωσες παράµεροι, διαλέγουµε σαν υποψήφια συνάρηση Lyapunov ην = και όπου ˆ V = V + z + + γ γ (.6) = ˆ είναι α σφάλµαα ων εκιµήσεων ˆ, ˆ ων αγνώσων παραµέρων, ανίσοιχα. Από ην σχέση (.6) παίρνουµε V = V + z z + + (.7) γ γ Θεωρώνας όι οι άγνωσες παράµεροι και είναι σαερές ή ουλάχισον αργά µεαβαλλόµενες, δηλαδή = = και κάνονας χρήση ων σχέσεων (.) και (.5), η (.7) γίνεαι a ( x ) ˆ V = c z + z z + z + a x ϕ( x ) x ˆ = 3 x γ γ ˆ ˆ a ( x ) ˆ = cz + z z + z + a x ϕ( x) x ˆ z x zϕ( x) = 3 x γ γ = cz + z ˆ ˆ z+ z3+ a x ϕ a( x) ( x) x ˆ ˆ zx z ( ) x + + ϕ x γ γ ιαλέγονας ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ a( x),,, = + + ϕ( ) + ( ) ϕ a x x c z z x x x K z x K z x x η (.8) γίνεαι (.8) (.9) 3 ( ) ˆ V = c z c z + z z K ˆ z x K z ϕ x + + (.3) γ γ όπου Από ις σχέσεις z = gx a 3 3 (, ) x x = z x (.3) ( x, x ) z ( x ) = ϕ (.3) και (.3) βλέπουµε όι αν η πραγµαική µεαβληή ελέγχου ήαν η µεαβληή x 3, όε διαλέγονας ην ως x3 = a α είχαµε z 3 = και έσι έονας ις εκιµήσεις g ων παραµέρων ˆ = γ και ˆ = γ α είχαµε από ην (.3) όι ( ) V c z c z z z K z x K z x. = + 3 ϕ

.3. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΡΥΘΜΙΣΗΣ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ Παραήρηση Οι όροι K z x και K z ϕ ( x) αποελούν ους όρους για ην µη γραµµική απόσβεση, η οποία µας εγγυάαι ευσάεια ακόµα και χωρίς ην εφαρµογή ου προσαρµοσικού νόµου σις άγνωσες παραµέρους ([]). Παραήρηση 3 Ο προσαρµοσικός νόµος για ις εκιµήσεις ων αγνώσων παραµέρων και α επιλεγεί σο έαρο και ελευαίο βήµα ου αλγορίµου, έσι ώσε να µην υπάρχει πλεονάζονας αριµός εκιµώµενων παραµέρων, κάι που α αύξανε ην άξη ου κλεισού συσήµαος ([]). Βήµα 3: Από ο βήµα και ις (.7), (.8), (.9) προκύπει a a a ˆ a z = gx a = gx x x ˆ = 3 3 4 x x ˆ ˆ a a a ˆ a = gx x gx x ϕ x ˆ ( ( )) 4 3 x x ˆ ˆ (.33) Θεωρώνας σαν εικονική µεαβληή ην µεαβληή x4 και έονας η (.33) γίνεαι z4 = gx4 a 3 (.34) a a a ˆ a z = z + a x gx x ϕ x ˆ ( ( )) 3 4 3 3 x x ˆ ˆ (.35) Για να ευσαοποιήσουµε ο σύσηµα ων εξισώσεων (.), (.5) και (.35) διαλέγουµε σαν υποψήφια συνάρηση Lyapunov ην V3 = V + z3 (.36) Καά α γνωσά, παραγωγίζονας ην V 3 ως προς ον χρόνο παίρνουµε 3 = + 3 3 V V z z Μέσω ων σχέσεων (.3) και (.35) προκύπει από ην (.37) όι ( ) V = cz c z K z x K z ϕ x + 3 a a a 3 4 3 ( 3 ( ) ) ˆ a ˆ z z + z + a x gx x ϕ x ˆ ˆ x x ˆ ˆ + + = cz cz K z ( ) x K z ϕ x + γ γ a a z3 z + z ( ˆ ˆ a 4 3 3 ( ) ) ˆ a ˆ ˆ ˆ + a x gx x ϕ x ˆ ˆ + + + x x γ γ a a + z3 x+ z3 ϕ( x) = cz cz K z ( ) x K z ϕ x + x x a a ( ˆ ˆ a ( )) ˆ a gx x ϕ x ˆ ˆ + + ˆ z3 z + z4 + a3 x 3 x ˆ ˆ x γ γ όπου ( ˆ ˆ a,,,, ) = (, ) + x x x x x z x 3 3 x (.37) (.38) (.39)

.3. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΡΥΘΜΙΣΗΣ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ( ˆ ˆ a x, x, x,, ) = ( x, x ) + z ( x ) ϕ 3 3 x (.4) Επιλέγονας ο ως a 3 ( ˆ ˆ a a ) ( ˆ ˆ a a a a,,,, = + + ϕ( )) + γ ( ) + γ Λ Λ ϕ a x x x cz z x gx x x z x z x ˆ ˆ (.4) 3 3 3 3 3 3 3 x x x x η V 3 γίνεαι a ( ) z ( ) a ˆ ˆ ˆ + z γ + γ + + ˆ 3 3 ˆ ˆ γ γ a a V 3 = cz cz c3z3 K z ( ) ( ) x K z ϕ x Λ z 3 x Λ z 3 ϕ x + z z x x 3 4 (.4) Αν η µεαβληή x4 ήαν η πραγµαική µεαβληή ελέγχου όε διαλέγονας x4 = a 3 α είχαµε g z 4 =. Οπόε διαλέγονας ις εκιµήσεις ων αγνώσων παραµέρων σύµφωνα µε ον προσαρµοσικό νόµο ˆ = γ και ˆ = γ α είχαµε από ην (.4) όι a a V 3= cz cz cz 3 3 Kz ( ) ( ) x K z ϕ x Λz 3 x Λ z 3 ϕ x. x x Βήµα 4: Από ο βήµα 3 και ις (.7), (.8), (.9),(.) προκύπει a a a a ˆ a z = gx a = gu gbx g x agx x x x ˆ = 3 3 3 3 3 4 4 3 3 4 3 x x ˆ ˆ x3 a a a a ˆ a gu gbx g x agx x gx x ϕ x x ˆ = ( ( )) 3 3 3 3 3 3 4 3 4 x x ˆ ˆ x3 (.43) Σο έαρο και ελευαίο βήµα α διαλέξουµε ον έλεγχο εκιµήσεις ων αγνώσων παραµέρων u και ον προσαρµοσικό νόµο για ις ˆ και ˆ που καισούν ο διάνυσµα ευσαές σο σηµείο. ιαλέγονας σαν υποψήφια συνάρηση Lyapunov ην παίρνουµε V V z = 3 + 4 V = V + z z 3 4 Μέσω ων σχέσεων (.4) και (.43) προκύπει από ην (.45) όι 4 z ασυµπωικά (.44) (.45)

.3. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΡΥΘΜΙΣΗΣ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ 3 a ( ) z ( ) a ˆ ˆ ˆ + z γ + γ + + ˆ + 3 3 ˆ ˆ γ γ a a V = cz cz c3z3 K z ( ) ( ) x K z ϕ x Λ z 3 x Λ z 3 ϕ x x x z4 z3 + gu gbx g x3 agx a a a a ( ( )) ˆ a x gx x ϕ x x ˆ 3 3 3 3 3 4 3 4 x x ˆ ˆ x3 (.46) Όπου λόγω ου όι = ˆ και = ˆ, η (.46) γίνεαι a ( ) z ( ) a ˆ ˆ ˆ + z γ + γ + + ˆ + 3 3 ˆ ˆ γ γ a a V = cz cz c3z3 K z ( ) ( ) x K z ϕ x Λ z 3 x Λ z 3 ϕ x x x z4 z3 + gu gbx g x3 agx a3 a3 + z 4 x + z 4 ϕ( x) x x Θέονας a a ( ˆ ˆ a a ( )) ˆ a x gx x ϕ x x ˆ 3 3 3 3 3 4 3 4 x x ˆ ˆ x3 ( ˆ ˆ 3 ) ( ˆ ˆ a,,,,, =,,,, ) + x x x x x x x z x 3 3 4 3 4 x (.47) (.48) η (.47) γίνεαι ( ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ a3 x, x, x, x,, = x, x, x,, ) + z ( x ) ϕ 3 3 4 3 4 x (.49) a ( ) z ( ) a ˆ ˆ ˆ + z γ + γ + + ˆ + 3 3 3 3 ˆ ˆ γ γ a a V = cz cz c3z3 K z ( ) ( ) x K z ϕ x Λ z 3 x Λ z 3 ϕ x x x z4 z3 + gu gbx g x3 agx a a ( ˆ ˆ a a ( )) ˆ a x gx x ϕ x x ˆ 3 3 3 3 3 4 3 4 x x ˆ ˆ x3 (.5) Επιλέγονας ον έλεγχο (,,,, ˆ, ˆ ) u σύµφωνα µε ην σχέση a a c z z + gbx + g x + agx + x + gx x x a a a u x x x x = + x + γ + γ 3 3 3 3 4 4 3 3 g x ˆ ˆ 3 ( ˆ ˆ ϕ( )) 3 3 4 4 3 3 4 3 x x a3 a3 M z ( ) 4 x M z 4 ϕ x + v x x (.5)

.3. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΡΥΘΜΙΣΗΣ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ 4 η V γίνεαι a a a a M z x M z ϕ x + z γ + z γ ( ) ˆ ˆ ( ) ( ) 3 3 3 3 4 4 4 3 4 3 x ˆ ˆ x + 3 γ ˆ ˆ a ˆ a + ˆ 3 + z3 γ + z3 γ + z4v γ ˆ ˆ a a V = cz cz c3z3 c4z4 K z ( ) ( ) x K z ϕ x Λ z 3 x Λ z 3 ϕ x x x ( ) ( ) (.5) Για να κάνουµε ην V αρνηική δεν µένει παρά µόνο να διαλέξουµε ον προσαρµοσικό νόµο για α ˆ και ˆ καώς και ο v. ιαλέγονας η V γίνεαι ( x x x x ˆ ˆ ) ˆ = γ,,,,, 3 3 4 ( x x x x ˆ ˆ ) ˆ = γ,,,,, 3 3 4 ( ) ( ) ( ) a a V = cz cz c3z3 c4z4 K z ( ) ( ) x K z ϕ x Λ z 3 x Λ z 3 ϕ x x x a a a a M z x M z ϕ x + z γ + z γ + z v 3 3 4 4 3 3 3 3 4 x ˆ ˆ x (.53) (.54) Από ις σχέσεις (.48) και (.49) προκύπει ( ) ( ) a a V = cz cz c3z3 c4z4 K z ( ) ( ) x K z ϕ x Λ z 3 x Λ z 3 ϕ x x x a a a a a a M z x M z ϕ x z z γ x z z γ ϕ x + z v= 3 3 3 3 4 4 3 4 3 4 4 x ˆ ˆ x x x a a = cz cz c3z3 c4z4 K z ( ) ( ) x K z ϕ x Λ z 3 x Λ z 3 ϕ x x x a3 a3 a3 a a M z ( ) ( ) 4 x M z 4 ϕ x + z4 v z3 γ x + γϕ x x ˆ ˆ x x ιαλέγονας (.55) η V ελικά προκύπει v x x x z x x x ˆ ˆ ( ˆ ˆ a3 a a,, 3,, ) = 3 γ ( ) + γ ϕ (.56)

.3. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΡΥΘΜΙΣΗΣ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ 5 a3 a3 M z ( ) 4 x M z 4 ϕ x x x a a V = cz cz c3z3 c4z4 K z ( ) ( ) x K z ϕ x Λ z 3 x Λ z 3 ϕ x x x (.57).3.. ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΤΟΥ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Σύµφωνα µε ην ανάλυση που προηγήηκε και µε βάση ις σχέσεις (.8)-(.), (.5)- (.9), (.35)-(.4), (.43)-(.5)-(.56),(.53),(.54), ο σύσηµα σφάλµαος και ο προσαρµοσικός νόµος (.) και (.3) ανίσοιχα, γίνοναι σε αυήν ην περίπωση z = A (, z ˆ ) z + W(, z ˆ ) T (.58) z ˆ =ΓW(, z ˆ) z (.59) µε c c K x ( ) Kϕ x a a a 3 a a A (, ˆ) 3 ( ) ( ) z z = c Λ x Λ ϕ x γ x + γϕ x x ˆ ˆ (.6) x x a 3 a a a3 a3 + γ x ( ) + γϕ x c4 M x M ϕ x ˆ ˆ ( x ) x x W(, z ˆ ) T x ϕ ( x ) a a = x ϕ ( x ) x x a3 a 3 x ϕ ( x) x x (.6) γ Γ= (.6) γ ιαλέγονας σαν υποψήφια συνάρηση Lyapunov για ο σύσηµα (.58) έως (.6) ην V = z + z + z + z + + (.63) 3 4 γ γ { } η οποία είναι εικά ορισµένη για ˆ n+ p (, z ) R { } και συνεχώς παραγωγίσιµη, παίρνουµε όι η παράγωγός ης ως προς ον χρόνο καά µήκος ων ροχιών ου παραπάνω συσήµαος δίνεαι από ην σχέση (.57), ην οποία ξαναγράφουµε ως

.3.. ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΤΟΥ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 6 a a V = cz z c+ K x ( ) ( ) + Kϕ x z3 c3+λ x +Λ x ϕ x x a3 a3 z4 c4 + M x ( ) + M ϕ x x x (.64) Από ο εώρηµα ου αναλλοίωου συνόλου (LaSalle []) προκύπει όι ο διάνυσµα (, z ˆ ) συγκλίνει για t σο µεγαλύερο αναλλοίωο σύνολο M που περιέχεαι σο σύνολο { (, ˆ ) n+ p R }, δηλαδή σο σύνολο { ˆ n+ p E = (, z ) R z = } E = z V =, αφού επιλέγουµε ις παραµέρους ου ελεγκή c, c, c3, c4, K, K,,,, M M Λ Λ εικές. Λόγω ου όι ο σύνολο M είναι αναλλοίωο, προκύπει όι σο M α είναι z = αλλά και z =. Λόγω αυού, προκύπει από ην (.58) όι σο M α είναι Επίσης, η W(, z ˆ ) T µπορεί να γραφεί ( ) ˆ T (, ) (, ˆ T W z = W z ) ˆ = (.65) Αφού ο πίνακας (, ˆ) a x x ϕ ( x ) a a x x ( ˆ ) (, ˆ T W z ) = = N z, F() x a3 a3 a3 x x x 3 N z είναι ανισρέψιµος, συµπεραίνουµε όι σο M α είναι T (.66) και Η (.68) απλά µπορεί να γραφεί z = (.67) ( ˆ) T F( x) = (.68) ( ) ˆ ( ) x + ϕ x = x + ϕ x ˆ (.69) e Επίσης, από ην σχέση (.5) προκύπει όι σο M α είναι x = ys = x. Για z = οι σχέσεις (.), (.9) και (.4) δίνουν ανίσοιχα a( x ) = (.7) ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ a x,,, ϕ( ) ( ) a x x = x + x + x (.7) x (,,, ˆ, ˆ ) ( ˆ ˆ ( )) a a a a a x x x = x + gx x ϕ x + γ + γ (.7) 3 3 3 x ˆ ˆ x

.3.. ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΤΟΥ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 7,,, ˆ, ˆ a x x x = z x + z x Επειδή, ( ) 3 3 x M είναι µηδέν α είναι και Από ον ορισµό ου διανύσµαος a και ( x, x, x, ˆ, ˆ ) = z ϕ( x ) + z ϕ( x ) 3 3 x (,,, ˆ, ˆ ) a a = + ( ˆ ˆ ( ) a x x x x gx x ϕ x ) 3 3 3 x x z προκύπει όι σο z = M α είναι x y s x a = gx3 a gx4 a3 Μέσω ων σχέσεων (.7),(.7) και (.73) παίρνουµε όι σο M α είναι σο (.73) (.74) Τέλος, κάνονας χρήση ης (.73) προκύπει y s x x = ˆ x + ˆ ϕ( x) gx 3 a gx 4 ( gx ˆ ˆ 3 x ϕ( x) ) x (.75) y x s x = x ϕ 3 ( x) g x 4 Από όπου και παραηρούµε λόγω ης (.4), όι ελικά σο M α είναι ys x x = ϕ( ys ) = x x 3 g x 4 Πεύχαµε ελικά ην ασυµπωική ευσάεια ου συσήµαος µας σο σηµείο ισορροπίας ου. e (.75) (.76).3.. ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΤΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΑΓΝΩΣΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Όσο αναφορά ο σύνολο σο οποίο συγκλίνουν οι εκιµήσεις ων αγνώσων παραµέρων ˆ και ˆ, ο µόνο που µπορούµε να συµπεράνουµε (σχέση (.69)) είναι όι σο M α ισχύει ( ) ˆ ( ) x + ϕ x = x + ϕ x ˆ (.78) e e e e ηλαδή, αφού e e x = και x = y s ( ) ( ) ϕ = ϕ ˆ (.79) ys ys

.3.. ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΤΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΑΓΝΩΣΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ 8 Από ην (.79) παραηρούµε όι η εκίµηση ης παραµέρου α συγκλίνει σε µια ιµή, αφού σο M είναι ˆ = και ο σύσηµά µας είναι ευσαές (ενόηα.3..), αλλά δεν µπορούµε να συµπεράνουµε ίποα για αυήν ην ιµή σύγκλισης ης y s ϕ( ys ) = sin + δ sin T j ( δ ) ˆ. Επίσης, λόγω ου όι, βλέπουµε όι αν ο ysείναι έοιο ώσε ϕ ( y s ) = (π.χ. y s = ) δεν µπορούµε να συµπεράνουµε ίποα και όσο αναφορά ην ιµή σύγκλισης ης εκίµησης ης παραµέρου. Όµως, αν διαλέξουµε ο σηµείο αναφοράς ο οποίο έλουµε να ακολουεί ασυµπωικά η µεαβληή x, έσι ώσε ϕ( ), βλέπουµε από ην (.79) όι η εκίµηση ης y s παραµέρου α συγκλίνει σην πραγµαική ιµή ης παραµέρου αυής. Συνοψίζονας, έχουµε σο M και T ˆT = ˆ ˆ R, αν ϕ ( y s ) = (.8) ˆT = ˆ ˆ ˆ = T T, όπου ˆ R, αν ϕ( ) (.8) y s.3..3 ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΧΩΡΙΣ ΤΟΝ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟ ΝΟΜΟ Όπως έχουµε ήδη αναφέρει, σον έλεγχο µας προσέουµε κάποιους επιπλέον όρους που χρησιµοποιούνα για ην µη γραµµική απόσβεση η οποία µας εγγυάαι ευσάεια ή ακόµα και σε ορισµένες περιπώσεις ασυµπωική ευσάεια ([]) ακόµα και χωρίς ον προσαρµοσικό νόµο. Θα δείξουµε εδώ πως επιυγχάνεαι αυό σο σύσηµα ης ουρµπογεννήριας. Χωρίς ον προσαρµοσικό νόµο, δηλαδή έονας γ = γ =, οι εκιµήσεις ων αγνώσων παραµέρων, T = ˆT ˆ ˆ, α είναι σαερές και ίσες µε µία αρχική εκίµηση, έσω ˆ T () = ˆ () ˆ () T R. Έσι, ο σφάλµα σην εκίµηση ων αγνώσων παραµέρων α είναι και αυό σαερό (υποέονας σαερές άγνωσες παραµέρους) και ίσο µε T = ˆ () ˆ () T. Θεωρώνας ην συνάρηση V = z + z + z3 + z4 (.8) παίρνουµε όι η παράγωγός ης καά µήκος ων ροχιών ου συσήµαος (.58) για γ = γ = είναι

.3..3 ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΧΩΡΙΣ ΤΟΝ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟ ΝΟΜΟ 9 ( ) ( ) ( ) ϕ( ) V = cz c z c z c z K z x z x K z ϕ x z x 3 3 4 4 a a a a Λ z x + z x Λ z ϕ x + z ϕ x 3 3 3 3 x x x x a3 a3 a3 M z ( ) 4 x + z4 x M z 4 ϕ x + z x x x a ϕ ( x ) 3 4 x (.83) Κάνονας χρήση ης ανισόηας ου Young, η οποία εκφράζεαι σην περίπωση µας ως xy kx y 4k ( xy, ) R, η (.83) προκύπει όι ικανοποιεί V cz c z c z c z + + + + + + 3 3 4 4 4K 4K 4Λ 4 4M 4M Λ c z + + 4K 4K (.84) όπου c { c } = min i i και 4 = + + K K Λ M i i i i για i. Θέονας K = max { K, K }, η (.84) γίνεαι Από ην (.85) βλέπουµε όι για V + c z 4K (.85) z ck είναι V και επειδή V = z συµπεραίνουµε όι ο z α φίνει όαν z ck. Έσι, µπορούµε να συµπεράνουµε όι ο διάνυσµα z παραµένει ευσαές µιας και ικανοποιεί zt () max, z() ck, t (.86) Θα ήαν χρήσιµο επίσης, να δούµε σην περίπωση που δεν έχουµε προσαρµοσικό έλεγχο που συγκλίνει η λύση ου συσήµαος (.58). Από ην (.85) παίρνουµε όι z () t c z t 4 + K z () t ct ct ct e c z e e t 4K + z () t ct ct ct e c z e e t 4K + () ct ct e z t e t 4K

.3..3 ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΧΩΡΙΣ ΤΟΝ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟ ΝΟΜΟ t ct ct ct zt () e z() + e t= z() + ( e ) 4K 8c K ct ct ct zt () z() e + ( e ) z() e + (.87) 4cK 4cK Επειδή ab, R είναι a + b a + b η (.87) γίνεαι zt () z() e ck ct + (.88) Έσι, όαν t, ο zt () A, όπου ο σύνολο A είναι ο σύνολο n A= z R : z ck.3. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗ ΤΡΟΧΙΑΣ Σην περίπωση αυή έλουµε η µεαβληή x να ακολουεί µια οποιαδήποε είσοδο αναφοράς y () t η οποία είναι φραγµένη, µηµαικά συνεχής και οι πρώες ης 4 παράγωγοι είναι γνωσοί. Συνήως, αυή η είσοδος αναφοράς προκύπει από ην έξοδο ενός ευσαούς γραµµικού συσήµαος, ο οποίο µπορεί να περιγραφεί σο πεδίο ης συχνόηας από ην συνάρηση µεαφοράς Y () s G () s = = 4 3 R () s s + βs + βs + βs+ β K (.89) Ενώ µια πραγµαοποίηση ου παραπάνω συσήµαος σο πεδίο ου χρόνου είναι µε µεαβληές καάσασης σην κανονική µορφή φάσης, δηλαδή x = x + β β β β3 K y = x (.9) Πρέπει να σηµειωεί εδώ όι µε ην πραγµαοποίηση (.9) α y () i, i 3 είναι διαέσιµα από ις καασάσεις ου συσήµαος, δηλαδή () i y, 3 = xi+ i. Ο αλγόριµος ου backstepping εφαρµόζεαι και εδώ µε µόνη ροποποίηση από ον αλγόριµο ης ενόηας.3. σον ορισµό ου διανύσµαος σφάλµαος Ο ορισµός ου διανύσµαος a,, i 3να εξαρώναι από α i i i z = x y z = x y a z = g x y a 3 3 z = g x y a 4 4 3 z. Ορίζουµε εδώ (.9) z σύµφωνα µε ην σχέση (.9) έχει σαν αποέλεσµα α y () i, i. Τα a, i 3 ροποποιούναι εδώ ως εξής i

.. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ a ( x, y ) = c z ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ a,,,,, ϕ( ) ( ) ϕ a a x x y y = c z z + x + x + x K z x K z x + y x y (,,, ˆ, ˆ,,, ) ( ˆ ˆ ( )) a a a a x x x y y y = c z z + x + gx x ϕ x + γ 3 3 3 3 3 x ˆ x a a a a a z x Λ z ϕ x + y + y ( ) + γ Λ 3 ˆ 3 x x y y (.9) Έσι ο έλεγχος που προκύπει εξαράαι και αυός από α y () i, i αλλά και λόγω ου όι εµπεριέχει ο εξαράαι και από α z 4 y () i,3 i 4. Προκύπει όι η µεαβληή ελέγχου είναι a3 a 3 c 4z4 z3+ gbx + g x3+ agx 4+ x+ ( gx3 ˆ x ˆ ϕ ( x) ) + x x (4) 3 3 3 3 ( ˆ ˆ a a a a u x, x, x3, x4,,, y, y, y, y, y ) = x4+ γ 3+ γ 3 Mz 4 x g x ˆ ˆ 3 x a3 a3 a3 a 3 (4) Mz ( ) 4 ϕ x + v+ y + y + y + y x y y y (.93) Πρέπει να σηµειωεί εδώ, όι οι ορισµοί για α i, i i 3και για ο v, παραµένουν ίδιοι µε πριν εκός ου όι εµπεριέχουν α καινούργια a, z i i και εποµένως εξαρώναι από α y () i, i 3..3.. ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΤΟΥ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Η µορφή ου κλεισού συσήµαος σην περίπωση ης παρακολούησης ροχιάς είναι η ίδια µε ην περίπωση ρύµισης ου σηµείου λειουργιάς, δηλαδή όπου ο διάνυσµα z = A (, z ˆ,) t z + W(, z ˆ,) t T (.94) z ˆ =ΓW(, z ˆ,) t z z δίνεαι ώρα από ην σχέση (.9), ενώ οι πίνακες (.95) A (, z ˆ,) t και W(, z ˆ,) t έχουν ις µορφές ων ανίσοιχων πινάκων για ην περίπωση ρύµισης ου σηµείου λειουργίας, µε ην µόνη διαφορά όι εµπεριέχουν α a i ης σχέσης (.9) και ις ανίσοιχες µερικές παραγώγους ους. Η εξάρηση αυών ων πινάκων από ον χρόνο t προκύπει λόγω ης παρουσίας ων όρων ων µερικών παραγώγων ων a i z () i y µέσω. ιαλέγονας έσι σαν υποψήφια συνάρηση Lyapunov ην συνάρηση V = z + z + z + z + +, προκύπει όι η παράγωγός ης ως 3 4 γ γ προς ον χρόνο, καά µήκος ων ροχιών ου συσήµαος (.94),(.95) δίνεαι από ην σχέση

.3.. ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΤΟΥ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ a a V = cz z c+ K x ( ) ( ) + Kϕ x z3 c3+λ x +Λ x ϕ x x a3 a3 z4 c4 + M x ( ) + M ϕ x x x (.96) Καά α γνωσά, προκύπει όι οι ροχιές ου συσήµαος είναι ευσαείς και επίσης καώς έχουµε z, δηλαδή, πεύχαµε ην ασυµπωική παρακολούησης ης εισόδου y () t από ην µεαβληή x () t. t Τέλος, πρέπει να σηµειώσουµε όι και σην περίπωση ου συσήµαος (.94),(.95) ισχύει η ίδια ανάλυση για ην µελέη ης ευσάειας ου συσήµαος χωρίς ον προσαρµοσικό νόµο, µιας και όλες οι σχέσεις ης ενόηας.3..3 ισχύουν και εδώ για α ανίσοιχα από ις σχέσεις (.9), (.95) και (.9) ανίσοιχα. a, ˆ, z που ώρα δίνοναι i i i.3.. ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΤΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΑΓΝΩΣΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Σην ενόηα.3..3 παρουσιάσηκαν οι περιοχές σύγκλισης ων εκιµήσεων ων αγνώσων παραµέρων. Σην περίπωση ρύµισης ου σηµείου λειουργίας η περιοχή σύγκλισης ων εκιµήσεων εξαρούναν από ο αν η συνάρηση ϕ ( y s ) ήαν ή όχι µηδέν, δηλαδή από ο αν ο σηµείο λειουργίας ο οποίο έλαµε να ευσαοποιήσουµε ήαν έοιο ώσε να προέκυπε ϕ ( y s ) = ή ( y s ) ϕ. Σην περίπωση όµως όπου δεν έλουµε µόνο να ευσαοποιήσουµε ο σύσηµά µας σε ένα σαερό σηµείο αλλά έλουµε να παρακολουεί µια είσοδο αναφοράς, η εξέαση ης περιοχής σύγκλισης ων εκιµήσεων γίνεαι πιο πολύπλοκη καώς η είσοδος αναφοράς είναι ένα µεαβαλλόµενο σήµα. Σην περίπωση παρακολούησης ροχιάς, για ην εξέαση ης σύγκλισης ων εκιµήσεων σις πραγµαικές ιµές ων αγνώσων παραµέρων πρέπει να εξεάσουµε πόσο «πλούσιο» είναι ο σήµα ης εισόδου αναφοράς. Λέγονας «πλούσιο» εννοούµε ο αν ο σήµα αναφοράς εµπεριέχει ικανό αριµό αρµονικών συχνοήων ώσε να οδηγήσουν σην σύγκλιση ων εκιµήσεων σις πραγµαικές ιµές ους. Σην ([3]), η εξέαση ου αν ένα σήµα αναφοράς είναι «πλούσιο» ανάγεαι σην εξέαση ου αν ένας πίνακας είναι συνεχώς διεγερµένος (pesistent excite) ο οποίο ελικά ελέγχεαι απλά από ο εάν ένας συγκεκριµένος πίνακας είναι πλήρους άξης ως προς ις γραµµές ους. Πιο συγκεκριµένα, ο πίνακας ο οποίος έλουµε να είναι συνεχώς διεγερµένος είναι ο πίνακας F ης σχέσης (.66), δηλαδή Μόνο που ανικαισούµε όπου x ο δίνεαι από ην σχέση x F = ϕ ( x ) y () t και όπου x ο y () t και έσι προκύπει ο πίνακας (.97) F που

.3.. ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΤΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΑΓΝΩΣΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ 3 y ( t) F = ϕ ( y ( t) ) (.98) Έσι ελέγχεαι αν είναι συνεχώς διεγερµένος ένας πίνακας που περιέχει µόνο εξωγενή σήµαα και όχι σήµαα κλεισού βρόχου. Για να ελέγξουµε αν ο πίνακας αυός είναι συνεχώς διεγερµένος πρέπει πρώα να αναπυχούν οι συναρήσεις y () t και ϕ ( y () t ) Fouie ων y () t και ϕ ( y () t ) δίνοναι από ην σχέση ( ) cos( ωt) cos( ωt) y () t µ, µ, µ, ν µ, ν+ µ, ν+ µ, ν+ κ cos( ων t) = ϕ y () t µ µ µ µ µ µ sin( ω t),,, ν, ν+, ν+, ν+ κ ν + Θέονας M σε σειρές Fouie. Έσω όι οι σειρές sin( ων + t) sin( ων+ κt) µ, µ, µ, ν µ, ν+ µ, ν+ µ, ν+ κ = µ, µ, µ, ν µ, ν+ µ, ν+ µ, ν+ κ (.99) (.) αποδυκνείεαι ([3]) όι οι εκιµήσεις ων παραµέρων συγκλίνουν σις πραγµαικές ους ιµές αν ο πίνακας M είναι πλήρους βαµού γραµµών. Παραήρηση 4 Αν οι συναρήσεις y () t και ϕ ( y () t ) έχουν ανάπυγµα Fouie µε άπειρους όρους, όε κραάµε ους ν + κ όρους οι οποίοι είναι ικανοί ώσε να προκύψει ο πίνακας M πλήρους βαµού γραµµών ([3]).. εν µένει ώρα παρά να βρούµε ένα καάλληλο σήµα βαµού γραµµών. Για y () t = Asin( ωt) προκύπει όι Επίσης, η ϕ( Asin( ω t) ) είναι ( A t ) γραφεί y () t ώσε να είναι ο M πλήρους y () t = Aω cos( ω t) (.) Asin( ω t) ϕ sin( ω ) = sin + δ + sin( δ ). Η οποία µπορεί να T j Asin( ωt) Asin( ωt) ϕ ( Asin( ωt) ) = sin cos( δ) cos sin( δ) + sin( δ ) (.) T j T j Από α γνωσά αναπύγµαα σε πολυώνυµο Maclauin ου ηµιόνου και ου συνηµιόνου προκύπει ( ) k+ k k k ( ) Asin( ωt) ( ) Asin( ωt) k= (k )! Tj k= ( k)! Tj δ (.3) ϕ Asin( ω t) = cos( δ ) sin( δ ) + sin( ) + ( Asin( ω t) ) Λόγω ων ριγωνοµερικών ιδιοήων, παραηρούµε από ην (.3) όι η συνάρηση ϕ περιέχει άπειρες συχνόηες σην σειρά Fouie και έσι λόγω ης παραήρησης 4

.3.. ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΤΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΑΓΝΩΣΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ 4 κραάµε µόνο όσους όρους είναι ικανοί να κάνουν ον πίνακα M πλήρους βαµού γραµµών. Πιο συγκεκριµένα, κραώνας ους δύο πρώους όρους κάε αναπύγµαος προκύπει 3 3 Asin( ωt) A sin ( ωt) A sin ( ωt) ϕ ( Asin( ωt) ) cos( δ) sin( 3 δ) sin( ) + δ Tj 6Tj Tj 3 3 Επειδή sin ( ω t) = sin( t) sin(3 ) 4 ω 4 ω t και sin ( ωt) = cos( ωt), η (.4) γίνεαι (.4) 3 A A A 3A A ϕ ( Asin( ωt) ) sin( δ ) sin( δ )cos( ωt) + cos( δ) sin( ωt) cos( δ 3 )sin(3 ω t) (.5) 4Tj 4Tj Tj 4Tj 4Tj Από ις (.) και (.5) η σχέση (.99) γίνεαι cos( t) Aω cos( ωt) y () t 3 A A A 3A A cos( ωt) ϕ( y () t = (.6) ) sin( δ ) sin( δ ) cos( δ) cos( δ 3 ) 4T 4 j 4 4 sin( t) j Tj T Tj T ω j sin(3 ωt) Έσι ο M είναι Aω M A A A A A 3 = 3 sin( δ ) sin( δ ) cos( δ) cos( ) δ 3 4Tj 4Tj Tj 4Tj 4T j (.7) Από ην (.7) παραηρούµε όι ο πίνακας M έχει πάνα δύο γραµµικώς ανεξάρηες γραµµές καώς δεν µπορεί να είναι αυόχρονα sin( δ) = cos( δ) =. Έσι, προκύπει ([3]) όι µια είσοδο αναφοράς y () t = Asin( ωt) είναι ικανή (αρκεά «πλούσια») ώσε οι εκιµήσεις ων αγνώσων παραµέρων να συγκλίνουν σις πραγµαικές ιµές ων παραµέρων αυών..3..3 ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΤΟΥ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Ένα χρήσιµο σοιχείο σην µελέη ης συµπεριφοράς ου ελεγκή α ήαν να βρούµε ο µέγισο σφάλµα που προκύπει καά ην διάρκεια ης µεαβαικής απόκρισης ου συσήµαος. Ισοδύναµα, α ήαν πολύ χρήσιµο να βρούµε µια µέγιση ιµή που λαµβάνει ο zt () καά ην διάρκεια ης µεαβαικής απόκρισης ου κλεισού συσήµαος µε ον προσαρµοσικό νόµο, όπως ακριβώς βρέηκε µια µέγιση ιµή σην περίπωση που δεν έχουµε προσαρµογή σις άγνωσες παραµέρους ου συσήµαος (ενόηα.3..3). Σύµφωνα µε ην ανάλυση ης ενόηας (.3..3) και επειδή όπως προαναφέραµε και σην περίπωση παρακολούησης ροχιάς για ο κλεισό σύσηµα που προκύπει ισχύουν ανίσοιχες σχέσεις, προκύπει και εδώ όι z c z + t 4K (.8)

.3..3 ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΤΟΥ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 5 και t ct c( t ) + t K zt () z() e sup e ( ) (.9) µόνο που ώρα ο είναι συνάρηση ου χρόνου και δεν µπορούµε να ο βγάλουµε απευείας από ο ολοκλήρωµα ης σχέσης (.98). Αφού όµως όπως αποδείξαµε ο σύσηµα (.94), (.95) είναι ευσαές, α είναι και ο = ˆ ευσαές και έσι ο sup ( ) t α είναι φραγµένο. Αποδυκνείεαι όµως ([]) όι όαν υπάρχει ο t h() για κάποια συνάρηση ht () η οποία είναι µηδέν για t < και ο sup g( ) για κάποια συνάρηση g() t, ισχύει t t sup t ht ( ) g( ) h( ) sup g( ) t t (.) ct Παίρνονας ht () e =, g() t = () t έχουµε από ις (.98) και (.99) όι t ct c + t K zt () z() e sup ( ) e ct ct zt () z() e + ( e ) 4cK ct zt () z() e + 4cK (.) όπου = sup t ( ). Από ην σχέση V = z + + παίρνουµε όι γ γ () t + () t V() t. Από ην σχέση γ γ (.96) όµως, προκύπει όι αφού V όε α είναι Vt () V (). Προκύπει εποµένως όι ισχύει () () () () (), t (.) γ γ γ γ t + t z + + Θέονας γ = max { γ, γ } και γ min { γ, γ } max =, προκύπει min γ γ max () t z() + (), t max γ min γ γ (.3) max z() + () max γmin Συνδυάζονας ις (.) και (.) παίρνουµε ένα φράγµα για ο µέρο ου διανύσµαος σφάλµαος z, ο οποίο είναι γ ct max zt () z() e + γ z() + () max 4cK γmin γ zt z e + z + (.4) ct max ( ) () γ () () max ck γ min

.3..3 ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΤΟΥ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 6 είε µειώνονας ο Από ην (.4) µπορούµε να παραηρήσουµε όι µπορούµε να µειώσουµε αυό ο φράγµα γ max είε αυξάνονας ο γ min. Επίσης, εκ πρώης όψεως φαίνεαι όι µπορούµε να µειώσουµε αυό ο φράγµα αυξάνονας α c, K. Όµως για παράδειγµα, από ις σχέσεις (.9) και (.9) βλέπουµε όι επειδή z () = x () y + c z () αυξάνονας ο c α έχει σαν αποέλεσµα ην αύξηση ου z () άρα και ου z (), µε ην προϋπόεση όι ο z () δεν είναι µηδέν. Ακόµα, µια αύξηση σο z () α έχει σαν αποέλεσµα αύξηση ου z () 3 και κ.ο.κ.. Μπορούµε όµως να εξασφαλίσουµε µείωση ου φράγµαος (.4) αυξάνονας ο c αυαίρεα, αν έσουµε z () =. Όπως αναφέρηκε και σην ενόηα, µπορούµε να πεύχουµε (.33). Επειδή όµως α y z () = αν ισχύει η σχέση () i (), i 3είναι προκαορισµένα, πρέπει να σχεδιάσουµε ον ελεγκή µας έσι ώσε αν έλουµε ο x να ακολουεί µια είσοδο αναφοράς, να ακολουεί ένα σήµα y y () t = y () t + δ () t, όπου ο δ () t είνει σο µηδέν καώς t και ικανοποιεί ην σχέση (.34). Ένα έοιο σήµα δ () t µπορεί να προκύψει αν ο επιλέξουµε σαν ην πρώη µεαβληή καάσασης ενός γραµµικού ευσαούς συσήµαος σην κανονική µορφή φάσης, δηλαδή µπορούµε να επιλέξουµε δ = δ (.5) δ δ δ δ3 T όπου δ () t = δ () () () () T t δ t δ t δ t και αρχικές συνήκες που δίνοναι από ην σχέση (.34). Σην περίπωση ης ουρµπογεννήριας, η σχέση (.34) µέσω ης (.33) γίνεαι Μεά από πράξεις προκύπει όι δ() = x() y() δ () = x () y () δ() = x() y() δ () = x () y () a ( x (), y ()) y () δ () = gx () a ( x (), x (), ˆ (), ˆ (), y (), y ()) y () 3 δ () = gx () a ( x (), x (), x (), ˆ (), ˆ (), y (), y (), y ()) () 4 3 3 ( ) δ () = gx () ˆ () x () ˆ () ϕ x () y () 3 ( ) ( x ()) () () ˆ() () ˆ() () ˆ () () ˆ ϕ δ = gx gx x ϕ x () x () y () 4 3 x () y (.6) (.7)

3.ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΟΥ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΥ BAKSTEPPNG ΕΛΕΓΚΤΗ ΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΥΡΜΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 7 3. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΟΥ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΥ BACKSTEPPNG ΕΛΕΓΚΤΗ ΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΥΡΜΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Για ην επιβεβαίωση ης εγκυρόηας και αποελεσµαικόηας ης µεόδου backstepping για ον έλεγχο ης ουρµπογεννήριας α εωρηικά αποελέσµαα ελέγχοναι µε ην χρήση προσοµοίωσης. Για ην πειραµαική εφαρµογή ης µεόδου backstepping σο σύσηµα ης ουρµπογεννήριας χρησιµοποιήηκε ο Simulink ου πακέου λογισµικού Matlab. Το συνολικό σύσηµα που προκύπει από ην εφαρµογή ης µεόδου backstepping σο σύσηµα ης ουρµπογεννήριας φαίνεαι παρακάω. Επίσης, καά ην προσοµοίωση χρησιµοποιήηκαν δύο διαφορεικά αριµηικά µονέλα ου συσήµαος ης ουρµπογεννήριας για ην καλύερη σύγκριση ων αποελεσµάων και ης εγκυρόηας ης µεόδου. Τα προγράµµαα ου πακέου λογισµικού Matlab που χρησιµοποιήηκαν περιέχοναι σο συνοδευικό C. Μονέλο Simulink ου κλεισού συσήµαος 3. ΡΥΘΜΙΣΗ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ Σαν πρώο παράδειγµα ης εφαρµογής ου backstepping ελεγκή σην ουρµπογεννήρια, παρουσιάζουµε ην απόκριση ου συσήµαος ης ουρµπογεννήριας σην περίπωση ρύµισης ου σηµείου λειουργιάς. Σο συγκεκριµένο παράδειγµα ([6]) έλουµε να ευσαοποιήσουµε ο σηµείο e T ισορροπίας x = όαν x() = [ x () ] T και έσι διαλέγουµε ο επιυµηό σηµείο λειουργίας ου συσήµαος y =. Σον πίνακα φαίνοναι οι παράµεροι ([6]) ου συσήµαος ης ουρµπογεννήριας για ο συγκεκριµένο παράδειγµα. s

3. ΡΥΘΜΙΣΗ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ 8 g.4 T j.58 b.8 a.8 δ.7673.39.9 x ().58 Πίνακας. Παράµεροι ου µονέλου ουρµπογεννήριας Σο σχήµα βλέπουµε ην µεαβληή x, ο σφάλµα e = ys x και ον έλεγχο u σην ιδανική περίπωση όπου δεν έχουµε σφάλµα σην εκίµηση ων αγνώσων παραµέρων. Οι παράµεροι ου ελεγκή ης σχέσης (.5) επιλέγοναι ως ci = 6, i 4, ενώ µιας και δεν έχουµε σφάλµα σην εκίµηση ων αγνώσων παραµέρων, οι όροι ης µη γραµµικής απόσβεσης και α κέρδη ων προσαρµοσικών νόµων είναι µηδέν, δηλαδή K = K =Λ =Λ = M = M = γ = γ =. Ανίεα µε ο σχήµα όπου έχουµε ην ιδανική περίπωση σην οποία δεν έχουµε σφάλµα σην εκίµηση ων αγνώσων παραµέρων, σο σχήµα 3 και για ίδιες ιµές ων παραµέρων ου ελεγκή, παρουσιάζοναι όπως και πριν α x, e = ys x και u για ην περίπωση όπου έχουµε σφάλµα σις εκιµήσεις ων αγνώσων παραµέρων. Πιο συγκεκριµένα εωρούµε ˆ ˆ = () = και ˆ ˆ () = =. Από ο σχήµα 3 παραηρούµε όι η έξοδος ου συσήµαος (η µεαβληή x ) όχι µόνο δεν είνει σο µηδέν αλλά ο σύσηµα εκελεί µόνιµες αλανώσεις.. Εποµένως, πρέπει να προσέσουµε ους όρους ης µη γραµµικής απόσβεσης ώσε να ευσαοποιήσουµε ο σύσηµά µας χωρίς ον προσαρµοσικό νόµο (ενόηα.3..3).

3. ΡΥΘΜΙΣΗ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ 9 Σχήµα. x, e = ys x και u µε µηδενικό σφάλµα σην εκίµηση ων αγνώσων παραµέρων. ˆ ˆ () ˆ ˆ () Σχήµα 3. x, e = ys x και u όαν = = και = =.

3. ΡΥΘΜΙΣΗ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ 3 Σο σχήµα 4 µπορούµε να δούµε ο σφάλµα e = ys x, ην µεαβληή x, ο z και ον έλεγχο u για ρεις διαφορεικές ιµές ων παραµέρων ου ελεγκή K = K =Λ =Λ = M = M =.,.5,. (α ci παραµένουν ίδια). Από ο σχήµα αυό παραηρούµε όι πλέον ο σύσηµα µας δεν εκελεί αλανώσεις και αυξάνονας ις ιµές ων κερδών ων όρων ης µη γραµµικής απόσβεσης ο µόνιµο σφάλµα µειώνεαι. Τέλος, µπορούµε να δούµε όι ο z συγκλίνει σην περιοχή ης σχέσης (.86). Σχήµα 4. x, e ys x, = 6, i 4 και ci = z και u όαν ˆ ˆ = () = και ˆ ˆ = () =, K = K =Λ =Λ = M = M =.,.5,.. Επόµενο βήµα είναι να εφαρµόσουµε και ον προσαρµοσικό νόµο για ις εκιµήσεις ων αγνώσων παραµέρων. Εφαρµόζονας ον προσαρµοσικό νόµο που υποδυκνείεαι από ις σχέσεις (.53) και (.54) µε κέρδη γ = γ =.5 και παραµέρους ου ελεγκή c = 6, i 4 και i K = K =Λ =Λ = M = M =. παίρνουµε ο σχήµα 5 όπου φαίνοναι για ην περίπωση ου προσαρµοσικού ελεγκή α e = ys x, η µεαβληή x, ο z ο έλεγχος u, ενώ ώρα φαίνοναι και οι εκιµήσεις ων αγνώσων παραµέρων. Από ο σχήµα αυό βλέπουµε όι ο x είνει σο µηδέν

3. ΡΥΘΜΙΣΗ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ 3 ενώ οι εκιµήσεις ˆ και ˆ συγκλίνουν σε κάποιες ιµές, οι οποίες όµως δεν είναι οι πραγµαικές ιµές ων αγνώσων παραµέρων και (βλ. ενόηα.3..). Σχήµα 5. x, e ys x, = 6, i 4, ci = z και u όαν ˆ ˆ = () = και ˆ ˆ = () =, K = K =Λ =Λ = M = M =. και γ = γ =.5.

3. ΡΥΘΜΙΣΗ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ 3 Τελευαία εφαρµογή για ο µονέλο ης ουρµπογεννήριας µε ις παραµέρους ου πίνακα είναι η σύγκριση µε ον εύρωσο ελεγκή σην ([6]). Θεωρώνας ως αρχικές εκιµήσεις για ις άγνωσες παραµέρους ˆ ˆ () = = και ˆ = ˆ () = και υποέονας ώρα όι οι πραγµαικές 3 ιµές ων, είναι =, = (έχουµε δηλαδή αβεβαιόηα σις άγνωσες παραµέρους ± 5% ), παίρνουµε σο σχήµα 6 ο x, επιλέγονας για ις παραµέρους ου ελεγκή c = 6, i 4, i K = K =Λ =Λ = M = M =. και γ = γ =.5. Σο ίδιο σχήµα βλέπουµε ο ανίσοιχο x που προκύπει µε ην µέοδο που προείνεαι σην ([6]) και για αβεβαιόηες σα και % και +% ανίσοιχα. Παραηρούµε όι ο backstepping ελεγκής δίνει καλύερη απόκριση όσο ως προς ην υπερύψωση όσο και ως προς ον χρόνο αποκαάσασης και για αβεβαιόηες σα και ± 5%. Επίσης ο σύσηµα φάνει σο σηµείο ισορροπίας ου σχεδόν χωρίς καόλου αλανώσεις. Σχήµα 6. Σύγκριση ου x µε ον εύρωσο ελεγκή σην [6]. 3. ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗ ΤΡΟΧΙΑΣ Το δεύερο παράδειγµα που α παρουσιασεί εδώ αφορά ην παρακολούηση µιας επιυµηής εισόδου αναφοράς από ην µεαβληή x. Οι παράµεροι ης ουρµπογεννήριας για αυό ο παράδειγµα φαίνοναι σον πίνακα.

3. ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ 33 g T j.7 b. a 8 δ.784.58.7 Πίνακας. Παράµεροι ου µονέλου ουρµπογεννήριας Η είσοδος αναφοράς που έλουµε να παρακολουήσουµε προκύπει από ην έξοδο ενός συσήµαος αναφοράς µε συνάρηση µεαφοράς ης µορφής (.89). Για ην συγκεκριµένη εφαρµογή έουµε β = 65, β = 5, β = 5, β 3 = και K = 65. Επίσης, ης παραγώγους µέχρι ρίης άξης που χρειάζοναι για ην εφαρµογή ου backstepping ελεγκή, ις παίρνουµε από ο διάνυσµα ης σχέσης (.9). Όπως αναφέρηκε και σην ενόηα...3, όαν έλουµε να ακολουήσουµε µια είσοδο αναφοράς έσω y () t σχεδιάζουµε ον ελεγκή µας να ακολουεί ο σήµα (που εδώ προκύπει από ο σύσηµα αναφοράς που προαναφέρηκε) y () t + δ () t, όπου ο δ () t είναι η πρώη µεαβληή καάσασης ου συσήµαος ης σχέσης (.5) µε αρχικές καασάσεις που δίνοναι σην σχέση (.7). Σο παράδειγµά µας εωρούµε δ = 65, δ = 5, δ = 5 και δ 3 = ενώ οι i αρχικές συνήκες y (), 3 i εωρούναι µηδέν. Θεωρώνας µηδενικό σφάλµα σην εκίµηση ων αγνώσων παραµέρων και για παραµέρους ου ελεγκή c = 6, i 4 και K = K =Λ =Λ = M = M = γ = γ = (δηλαδή δεν έχουµε ούε προσαρµογή σις άγνωσες παραµέρους αλλά ούε και όρους µη γραµµικής απόόσβεσης µιας και δεν έχουµε σφάλµα σην εκίµηση ων αγνώσων παραµέρων) προσοµοιώνουµε ο σύσηµά µας για µοναδιαία βηµαική είσοδο σο προαναφερέν σύσηµα αναφοράς. Σο σχήµα 7 µπορούµε να δούµε ο σφάλµα e = y x, ην µεαβληή x (υποιέµενη έξοδος ου συσήµαος), ο z και ον έλεγχο ο y () t i u όαν προκύπει από ην έξοδο ου συσήµαος αναφοράς και οι αρχικές συνήκες ου συσήµαος ης ουρµπογεννήριας xi (), i 4 είναι µηδέν. Παραηρούµε όι σην ιδανική αυή περίπωση έχουµε µηδενικό σφάλµα παρακολούησης σην µόνιµη καάσαση και µηδενική υπερύψωση.

3. ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ 34 Σχήµα 7. x, e y x =, z και u µε µηδενικό σφάλµα σην εκίµηση ων αγνώσων παραµέρων. Σην συνέχεια παρουσιάζεαι η απόκριση ου συσήµαος για ις ίδιες ιµές ων παραµέρων ου ελεγκή αλλά ην χρονική σιγµή t = 5sοι άγνωσες παράµεροι µεαβάλλοναι έσι ώσε να έχουµε σφάλµα σην εκίµησή ους. Υποέουµε όι η γίνεαι.7 και η γίνεαι -.. Σο σχήµα 8 βλέπουµε όι ώρα έχουµε µια αλανωική απόκριση και µόνιµο σφάλµα, ενώ ο σύσηµα παραµένει ευσαές λόγω ου όι ο σφάλµα ων εκιµήσεων ων και δεν είναι ικανό για ις ιµές ων ci = 6, i 4 να οδηγήσει ο σύσηµα σε ασάεια κάι που είδαµε σο προηγούµενο παράδειγµα (για µεγαλύερες µεαβολές ων αγνώσων παραµέρων ο σύσηµα γίνεαι ασαές αλλά σκοπός σο παρών παράδειγµα είναι να ελέγξουµε και να βελιώσουµε ην συµπεριφορά ου συσήµαος όαν υπόκειαι σε διάφορες διααραχές).

3. ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ 35 Σχήµα 8. x, e = y x, z και u όαν ην t = 5s αλλάζουν οι ιµές ων αγνώσων παραµέρων. Όπως αναφέραµε σην εισαγωγή, ο σύσηµα ης ουρµπογεννήριας υπόκειαι σε διάφορες διααραχές. Εκός από ην απόοµη αλλαγή ων αγνώσων παραµέρων, µια άλλη πολύ συχνά εµφανιζόµενη σε έοια συσήµαα διααραχή, είναι ο ριφασικό σφάλµα σε µία από ις γραµµές µεαφοράς και κονά σην γεννήρια (3-phase fault [4]). Καά ην διάρκεια αυού ου σφάλµαος η ηλεκρική ενέργεια είναι µηδέν, ενώ µεά ην εκκαάριση ου σφάλµαος, η µέγιση ηλεκρική ενέργεια έχει αλλάξει ιµή ([4). Η ηλεκρική ενέργεια ου συσήµαος εκφράζεαι από ους όρους P όρο e,max x P = x + sin( +δ ) ης σχέσης (.8), ενώ η µέγιση ηλεκρική ενέργεια από ον e Tj =. Σο σχήµα 9 φαίνεαι η απόκριση ου συσήµαος όαν ένα έοιο σφάλµα εµφανίζεαι ην χρονική σιγµή t = 5sκαι αποµακρύνεαι µεά από.3ms, ενώ µεά ην εκκαάριση ου σφάλµαος η P αλλάζει ιµή ξανά (η πρώη φορά ήαν ην t = 5s)και γίνεαι e,max 4.. Επίσης, ην χρονική σιγµή t =sεµφανίζεαι βηµαική διααραχή φορίου σην είσοδο ου συσήµαος µε µέρο (περίπου % πάνω από ην ιµή ισορροπίας ου ελέγχου u που είναι -).

3. ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ 36 Σχήµα 9. x, e y x =, z και u για µεαβολή ων αγνώσων παραµέρων ην t = 5s, διααραχή φορίου ην t = s και 3-phase fault ([4]) ην t = 5s Από ο σχήµα 9 βλέπουµε όι η απόκριση έχει αρκεά µεγάλο µόνιµο σφάλµα και αρκεές αλανώσεις, ιδιαίερα σην περίπωση ου ριφασικού σφάλµαος. Για να βελιώσουµε ην συµπεριφορά ου συσήµαος προσέουµε σον ελεγκή µας ους όρους ης µη γραµµικής απόσβεσης. Σο σχήµα βλέπουµε ην απόκριση ου συσήµαος για ρεις διαφορεικές ιµές ων παραµέρων ου ελεγκή K = K =Λ =Λ = M = M =.,.,.5. Από αυό ο σχήµα µπορούµε να δούµε όι όσο αυξάνοναι οι ιµές ων παραµέρων ου ελεγκή που είναι υπεύυνες για ην µη γραµµική απόσβεση, µειώνεαι ο µόνιµο σφάλµα που οφείλεαι σο σφάλµα σην εκίµηση ων αγνώσων παραµέρων και επιπλέον η απόκριση είναι λιγόερο αλανωική. Επίσης, παραηρούµε όι ο σφάλµα λόγω ης διααραχής φορίου είναι σχεδόν µηδέν, ενώ µειώνεαι επίσης ο σφάλµα που οφείλεαι σο ριφασικό σφάλµα σην γραµµή µεαφοράς και η απόκριση σην διααραχή αυή δεν έχει σχεδόν καόλου αλανώσεις.

3. ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ 37 Σχήµα. x, e y x, = z και u για µεαβολή ων αγνώσων παραµέρων ην t = 5s, διααραχή φορίου ην t = s και 3-phase fault ([4]) ην t = 5s όαν K = K =Λ =Λ = M = M =.,.,.5 Για να εξαλείψουµε ελείως ο µόνιµο σφάλµα και για να κάνουµε οµαλόερη ην απόκριση ου συσήµαος υπό ην επίδραση ων διααραχών, προσέουµε σον ελεγκή µας και ον προσαρµοσικό νόµο. Επιλέγουµε για ον προσαρµοσικό ελεγκή K = K =Λ =Λ = M = M = γ = γ =.. Σο σχήµα βλέπουµε όι δεν έχουµε µόνιµο σφάλµα ούε καά ην αλλαγή ων ιµών ων αγνώσων παραµέρων ούε καά ην εµφάνιση ου ριφασικού σφάλµαος (ο µόνο σφάλµα οφείλεαι σην διααραχή φορίου και είναι σχεδόν µηδενικό). Επίσης η απόκριση ου συσήµαος είναι οµαλόερη κάω από ην επίδραση ων διααραχών. Τέλος, όπως αναµέναµε (ενόηα...) µπορούµε να δούµε από ο σχήµα όι σην προηγούµενη περίπωση η εκίµηση ης άγνωσης παραµέρου συγκλίνει σην κάε φορά πραγµαική ιµή ης, ενώ η εκίµηση ης συγκλίνει µεν σε µία ιµή η οποία όµως δεν είναι η πραγµαική ης.

3. ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ 38 Σηµείωση Σην συγκεκριµένη εφαρµογή οι διααραχές εµφανίζοναι ις χρονικές σιγµές t = 7,4,sώσε ο σύσηµα να έχει επανέλει σην καάσαση ισορροπίας ου. Σχήµα. x, e y x =, z και u για µεαβολή ων αγνώσων παραµέρων ην t = 7s, διααραχή φορίου ην t = 4s και 3-phase fault ([4]) ην t = sόαν K = K =Λ M M =Λ = = = γ = γ =.

3. ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ 39 Σχήµα. ˆ και ˆ για µεαβολή ων αγνώσων παραµέρων ην t 7s =, διααραχή φορίου ην t = 4s και 3-phase fault t = s όαν K = K =Λ =Λ = M = M = γ = γ =. Σα προηγούµενα παραδείγµαα εωρήσαµε αρχικές συνήκες για ο διάνυσµα x µηδέν και αρχικό σφάλµα σην εκίµηση ων αγνώσων παραµέρων επίσης µηδέν. Σο σχήµα 3 βλέπουµε ην απόκριση ου συσήµαος για ίδιες ιµές ων παραµέρων ου ελεγκή µε ην προηγούµενη T εφαρµογή και αρχικές συνήκες x() = [ x () x () x () x ()] T = [....] 3 4 ˆ () =.8, ˆ () =., ενώ σο σχήµα 4 βλέπουµε ις εκιµήσεις ων αγνώσων παραµέρων. T και Σηµείωση Σην συγκεκριµένη εφαρµογή (όπως και πριν) οι διααραχές εµφανίζοναι ις χρονικές σιγµές t = 7,4,sώσε ο σύσηµα να έχει επανέλει σην καάσαση ισορροπίας ου

3. ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ 4 Σχήµα 3. x, e y x =, z και u για µεαβολή ων αγνώσων παραµέρων ην t = 7s, διααραχή φορίου ην t = 4s και 3-phase fault ην t = sόαν ˆ () =.8, ˆ () =. και αρχικές συνήκες T [ ] [ ] T x() = x () x () x () x () =.... 3 4 T Σχήµα 4. ˆ και ˆ για µη µηδενικές αρχικές συνήκες.

4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 4 Όπως αναφέρηκε σην ενόηα (...), αν επιλέξουµε για είσοδο αναφοράς ένα ηµίονο ης µορφής Asin( ωt) οι εκιµήσεις ων αγνώσων παραµέρων συγκλίνουν σις πραγµαικές ους ιµές. Σο σχήµα 5 βλέπουµε ις εκιµήσεις ων αγνώσων παραµέρων για είσοδο αναφοράς.sin(. t) και παραµέρους για ον ελεγκή K = K =Λ =Λ = M = M =. και γ = γ =.8, ενώ c = 6, i 4. Υποέουµε επίσης όι οι αρχικές εκιµήσεις ων αγνώσων i παραµέρων είναι ˆ () =.8 και ˆ () =., δηλαδή περίπου ριπλάσιες ων πραγµαικών ιµών και ανίσοιχα και όι ην χρονική σιγµή t = 8s α και αλλάζουν ιµή και γίνοναι.7 και -.4. Όπως αναµενόαν οι εκιµήσεις ων αγνώσων παραµέρων συγκλίνουν σις πραγµαικές ους ιµές. Παραήρηση 5 Η ανάλυση ης παραγράφου (...) έγινε όαν σχεδιάζουµε ον ελεγκή µας να ακολουεί µια ηµιονική είσοδο ακολουεί ο σήµα y () t. Σο παράδειγµά µας όµως ο ελεγκής σχεδιάσηκε ώσε να y () t + δ () t όπου ο y t είναι η έξοδος ου συσήµαος αναφοράς για είσοδο () Asin( ω t) και ο δ () t είναι ένα σήµα που είνει σο µηδέν ασυµπωικά. Επειδή όµως ο y t σην µόνιµη καάσαση α είναι και αυό ηµίονο αλλά µε άλλο µέρο και φάση, η ανάλυση ης ενόηας... ισχύει και σε αυήν ην περίπωση. () Σχήµα 5. ˆ και ˆ όαν y () t =.sin(.) t 4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Σην παρούσα ενόηα εφαρµόσαµε ην µέοδο ου προσαρµοσικού ελέγχου backstepping για ον έλεγχο ου αµοσροβίλου σο σύσηµα ης ουρµπογεννήριας. Η µέοδος αυή εφαρµόσηκε σε ένα έαρης άξης µη γραµµικό µονέλο. Η µέοδος δίνει εξαιρεικά αποελέσµαα σην περίπωση ρύµισης ου σηµείου λειουργιάς, παρά ην παρουσία ων άγνωσων παραµέρων, ο σφάλµα σην εκίµηση ων οποίων µπορεί να οδηγήσει ο σύσηµα ακόµα και σε ασάεια. Επίσης, σην περίπωση παρακολούησης ροχιάς ο ελεγκής δίνει γρήγορη και οµαλή

4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 4 απόκριση, και αχύαη εξουδεέρωση µεγάλων διααραχών και ακραίων µεαβολών σις ιµές ων αγνώσων παραµέρων. Τέλος µελεήηκε η δυναόηα σύγκλισης ων αγνώσων παραµέρων σις πραγµαικές ους ιµές µε ον προσαρµοσικό νόµο ου ελεγκή.

5. ΕΛΕΓΚΤΗΣ 3 ΟΡΩΝ ΓΙΑ ΑΣΤΑΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΧΡΟΝΟΥ 43 5. ΕΛΕΓΚΤΗΣ 3 ΟΡΩΝ ΓΙΑ ΑΣΤΑΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΧΡΟΝΟΥ Σην βιβλιογραφία α ποιο ευρέως χρησιµοποιούµενα σχήµαα ελέγχου είναι εναλλακικές µορφές ου κλασικού P ελεγκή. Σο Σχήµα 6, παρουσιάζοναι ρία εναλλακικά σχήµαα ελέγχου που έχουν χρησιµοποιηεί για ον έλεγχο ασαών συσηµάων πρώης άξης µε καυσέρηση χρόνου. Οι ρεις αυοί ελεγκές είναι ο P, P-P και ο PF µε α ανίσοιχα προφίλρα G F, P, GF, P P, G, F PF. Τα ρία αυά σχήµαα ελέγχου είναι ισοδύναµα όαν + + k K + k K K = K = ( + k ) k = K, = + = =, = = = c c C C c c, i i kc K + kc K G PP, () s = ( s + )( s +) και GPP, P() s = s + s + i i (5.) (5.) όπου K C, και είναι οι παράµεροι ου κλασικού P ελεγκή σην παράλληλη µορφή ου. Η συνάρηση µεαφοράς ου συσήµαος κλεισού βρόχου που φαίνεαι σο Σχήµα 6, όαν χρησιµοποιηούν α προ-φίλρα που προείνοναι από ην σχέση (5.) είναι G CL Y() s KCGP() s () s = = R() s s + ( s+ )( s + ) K G () s C P Από ην σχέση (5.3) γίνεαι φανερό όι ο προεινόµενο σχήµα ελέγχου δεν συνεισφέρει σα µηδενικά ου συσήµαος κλεισού βρόχου και έσι αναµένεαι όι δεν α χειροερέψει ο ποσοσό υπερύψωσης ης βηµαικής απόκρισης ου κλεισού συσήµαος. (5.3) Σχήµα 6. Τρεις εναλλακικές µορφές P ελεγκών Όπως είναι γνωσό, οι ιδιόηες που αφορούν ην ευρωσία ου κλεισού συσήµαος δεν εξαρώναι από ην επιλογή ου προ-φίλρου (αν βέβαια ο προ-φίλρο είναι ευσαές). Από ο σχήµα 6, είναι επίσης φανερό όι σην περίπωση ρυµισικού ελέγχου (egulatoy contol) οι ρεις ελεγκές είναι αυόσηµοι αν οι παράµεροί ους επιλεγούν όπως προείνεαι από ην (5.)

5. ΕΛΕΓΚΤΗΣ 3 ΟΡΩΝ ΓΙΑ ΑΣΤΑΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΧΡΟΝΟΥ 44 ανεξαρήως αν χρησιµοποιηεί προ-φίλρο ή όχι. Για ο λόγω αυό, σην ανάλυση που ακολουεί, η παρουσία ου προ-φίλρου δεν λαµβάνεαι υπόψη και α αποελέσµαα που παρουσιάζοναι γενικεύοναι για όλους ους ύπους P ελεγκή που παρουσιάσηκαν παραπάνω. Σην συνέχεια α αναλύσουµε ην συµπεριφορά ων P και P ελεγκών σην περίπωση όπου ο σύσηµα υπό έλεγχο είναι ασαές σύσηµα πρώης άξης µε καυσέρηση χρόνου. Σην περίπωση αυή, ο υπό έλεγχο σύσηµα περιγράφεαι από ην συνάρηση µεαφοράς Kexp( s) GP () s = (5.4) Ts όπου K,T,και είναι ο κέρδος, η ασαής σαερά χρόνου και η καυσέρηση χρόνου ου ασαούς συσήµαος ανίσοιχα. Για να διευκολυνεί η ανάλυση που ακολουεί αλλά και για να υπάρχει δυναόηα συγκρίσεων, όλες οι παράµεροι ου συσήµαος και ου ελεγκή σην συνέχεια α παρουσιάζοναι κανονικοποιηµένες ως προς ην ασαή σαερά χρόνου ου συσήµαος T και ως προς ο κέρδος ου συσήµαος K. Οι κανονικοποιηµένες παράµεροι φαίνοναι σον πίνακα 3. Αρχικές Παράµεροι Κανονικοποιηµένες Παράµεροι T T (=) = / T = / T = / ω T ω = ωt K C KC = KKC K K (=) K K = KK K K = K KT Πίνακας 3. Κανονικοποιηµένες παράµεροι. Η συνάρηση µεαφοράς βρόχου ενός ασαούς συσήµαος πρώης άξης µε καυσέρηση χρόνου ελεγχόµενου από P/P ελεγκή είναι KC( s+ ) KC( s+ )( s+ ) GLP, ( s) = exp( s) και GLP, () s = exp( s) ss ( ) ss ( ) Οι παραπάνω συναρήσεις µεαφοράς α αποελέσουν ην βάση για ον καορισµό ων µεόδων βαµονόµησης που α παρουσιασούν σην συνέχεια. (5.5) 6. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΑΣΤΑΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΧΡΟΝΟΥ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΒΡΟΧΟΥ 6. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ P ΕΛΕΓΚΤΗ

6. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ P ΕΛΕΓΚΤΗ 45 Σχήµα 7. ιάγραµα Nyquist ης GLP, () s για διάφορες ιµές ης παραµέρου. Βασιζόµενοι σην ης σχέσης (5.5), η φάση και ο µέρο ης συνάρησης µεαφοράς βρόχου ενός ασαούς συσήµαος πρώης άξης ελεγχόµενου από P ελεγκή δίνοναι από ις σχέσεις G LP, 3 ( ) π φl ω = ω + tan ( ω) + tan ( ) ω (6.) A ( ω) = G ( jω) = K L L, P C + ω + ω ω ανίσοιχα. Σο σχήµα 7, απεικονίζοναι α διαγράµµαα Nyquist ης GLP, () s (6.) για διάφορες ιµές ης παραµέρου ου. Από ο σχήµα αυό γίνεαι φανερό όι για συγκεκριµένη ιµή ου και για ιµές µεγαλύερες από µια κρίσιµη ιµή,min (η οποία α καορισεί σην συνέχεια), υπάρχουν δύο σηµεία οµής (cossove points) ου διαγράµµαος Nyquist µε ον αρνηικό πραγµαικό άξονα. Από ο σχήµα 7 είναι προφανές όι µόνο όαν υπάρχουν δύο έοια σηµεία οµής µε ον πραγµαικό άξονα είναι δυναόν να βρεεί η ιµή ης ενίσχυσης που α οποεήσει α δύο σηµεία εκαέρωεν ου σηµείου (-,). Από ο κριήριο ου Nyquist προκύπει όι αυή είναι και η προϋπόεση για να είναι ο κλεισό σύσηµα ευσαές. Έσω όι ω min η µικρόερη και ω max η µεγαλύερη συχνόηα που ανισοιχεί σα δύο σηµεία οµής (όαν αυά υπάρχουν, δηλαδή όαν >,min K C ). Οι δύο αυές συχνόηες αποκαλούναι κρίσιµες συχνόηες ου συσήµαος. Από ην σχέση (6.), οι κρίσιµες συχνόηες ω min και ω max καορίζουν α πλάη A και ης συνάρησης µεαφοράς βρόχου σα ανίσοιχα σηµεία L,min A L,max οµής. Με βάση α παραπάνω είναι φανερό όι υπάρχουν δύο κρίσιµα κέρδη K min = A min και K max = A που καορίζουν ο µέγεος ης αβεβαιόηας ου κέρδους K max ου συσήµαος για ο οποίο ο κλεισό σύσηµα παραµένει ευσαές. Προφανώς όσο µεγαλύερη είναι η περιοχή ( K, K ) όσο πιο εύρωσο είναι ο κλεισό σύσηµα όσο αναφορά ην αβεβαιόηα σο κέρδος. min max

6. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ P ΕΛΕΓΚΤΗ 46 Από ην µορφή ου διαγράµµαος Nyquist όαν µεαβάλλεαι ο, παραηρούµε όι καώς µειώνεαι ο η περιοχή ευσάειας µικραίνει, αρχίζονας από ην µέγιση περιοχή που επιυγχάνεαι καώς, (που ανισοιχεί σε P ελεγκή) και κααλήγονας σε ένα µοναδικό σηµείο όαν =. Είναι επίσης γνωσό όι η περιοχή ευσάειας µειώνεαι µε ην αύξηση ης,min καυσέρησης. Όπως έχει αποδειχεί σην [5] για > ο σύσηµα δεν είναι δυναόν να ευσαοποιηεί µε P ελεγκή. Μια πολύ χρήσιµη ιδιόηα που παρουσιάζουν α ασαή συσήµαα πρώης άξης µε καυσέρηση χρόνου είναι όι για δεδοµένες ιµές ων και υπάρχει ένα σηµείο ου διαγράµµαος Nyquist ανισοιχεί σο σηµείο µέγισης φάσης φ (, ),max. Αν φ (, ),max > π, L L όε είναι πάνοε δυναόν να βρεεί καάλληλη ιµή ου κέρδους K C που καισά ο κλεισό σύσηµα ευσαές. Η συχνόηα ω για ην οποία η φάση φ ( ω ) µεγισοποιείαι, δίνεαι από ην p L µοναδική εική και πραγµαική ρίζα ης εξίσωσης προκύπει φl ( ω) = η οποία µεά από υπολογισµούς ω ω = p ( ) + + ( ) + + 4 ( + ) (6.3) ανικαισώνας ω = ω σην σχέση (6.) µπορούµε να υπολογίσουµε ην µέγιση φάση p φ ( ) ( ),max ω = φ ω. L L p Λαµβάνονας υπόψη ον ορισµό ου περιωρίου φάσης PM = φl( ωg) + π, όπου ω G είναι η συχνόηα για ην οποία ισχύει G, ( ω ) =, µπορούµε εύκολα να συµπεράνουµε όι ο µέγισο LP G περιώριο φάσης για δεδοµένες ιµές ων παραµέρων κέρδος ου ελεγκή έσι ώσε ω = ω, δηλαδή KC G p και, επιυγχάνεαι αν διαλέξουµε ο K = ω C p + ω p + ω p (6.4) όπου η συχνόηα ω p δίνεαι από ην σχέση (6.3). Με αυήν ην επιλογή για ο κέρδος ου ελεγκή K C ο µέγισο περιώριο φάσης που επιυγχάνεαι είναι π PM (, ) = ωp + tan ( ωp) + tan ( ω p) (6.5) ο µεγαλύερο περιώριο φάσης επιυγχάνεαι µε P ελεγκή. Από ις σχέσεις (6.3) και (6.5) για, προκύπει PM max max ( ) tan ( ) PM = + (6.6)

6. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ P ΕΛΕΓΚΤΗ 47 6. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ P ΕΛΕΓΚΤΗ Σχήµα 8. ιάγραµα Nyquist ης GLP, () s για διάφορες ιµές ης παραµέρου. Σο σχήµα 8 φαίνεαι ο διάγραµµα Nyquist ης συνάρησης µεαφοράς βρόχου GLP, () s για διάφορες ιµές ης παραµέρου. Από α σχήµαα, είναι φανερό όι η περιοχή ευσάειας µεγαλώνει µε ην αύξηση ης παραµέρου για µικρές ιµές ου, για µεγάλα όµως, η περιοχή αυή µικραίνει και κααλήγει σε ένα µοναδικό σηµείο όαν ο είναι ίσο µε µια ιµή έσω,max. Σην πράξη αυή η ιµή ης παραµέρου δεν παρουσιάζει µεγάλο ενδιαφέρον, αφού µεγάλες ιµές ου δεν έχουν εικά αποελέσµαα σον έλεγχο ασαών συσηµάων πρώης άξης µε καυσέρηση χρόνου, εκός ου όι αυξάνουν ο περιώριο φάσης. Μεγάλο ενδιαφέρον όµως παρουσιάζει η ιµή ης παραµέρου, έσω,max P, για ην οποία α περιώρια φάσης και κέρδους που επιυγχάνοναι µε χρήση P ελεγκή είναι µεγαλύερα από α ανίσοιχα περιώρια φάσης και κέρδους που επιυγχάνοναι µε χρήση P ελεγκή. Όπως προαναφέρηκε, α ασαή συσήµαα πρώης άξης µε καυσέρηση χρόνου παρουσιάζουν δύο κρίσιµα κέρδη K και K και ο κλεισό σύσηµα είναι ευσαές για κέρδη ου ελεγκή σην περιοχή ( K, K ). Ορίζοναι εποµένως, για αυά α συσήµαα δύο περιώρια κέρδους, ένα που δείχνει ην µέγιση αύξουσα και ένα που δείχνει ην µέγιση φίνουσα αβεβαιόηα ου κέρδους K που µπορεί να υποσεί ο κλεισό σύσηµα. Ορίζουµε εποµένως, δύο περιώρια κέρδους, ο αυξηικό περιώριο κέρδους και ο µειωικό περιώριο κέρδους, ανίσοιχα, α οποία δίνοναι από ις σχέσεις min max min GM max K max inc = και KC GM K GM inc και GM ec C ec = (6.7) Kmin Με ην προϋπόεση όι δεν υπάρχει αβεβαιόηα σην φάση, είναι προφανές όι ο κλεισό σύσηµα παραµένει ευσαές όαν K GMinc GM < < (6.8) ec

6. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ P ΕΛΕΓΚΤΗ 48 Ορίζεαι επίσης ο γινόµενο ων περιωρίων κέρδους GM GM GM max po = inc ec = ο οποίο είναι Kmin K ένα µέρο ης περιοχής ευσάειας και µάλισα ανεξάρηο από ο κέρδος ου ελεγκή K C. Από ο σχήµα 7, είναι φανερό όι όλα α περιώρια φάσης και κέρδους αυξάνουν µε ην αύξηση ης παραµέρου και λαµβάνουν ην µέγιση ιµή ους όαν. Για προκύπει εύκολα (λεποµέρειες ση αναφορά [5]) όι K min =. Έσι, για δεδοµένη ιµή ου κέρδους ου ελεγκή K C, για ον υπολογισµό όλων ων περιωρίων κέρδους χρειάζεαι να υπολογίσουµε µόνο ο K ο οποίο για K min = είναι ίσο µε ο γινόµενο ων περιωρίων κέρδους max GM po. Σο σχήµα 9 φαίνεαι η συνάρηση po, P po, P GM (, )/ GM (,) για. Από ο σχήµα 9 παραηρούµε όι για δεδοµένη ιµή ης καυσέρησης χρόνου υπάρχει µια µέγιση ιµή για ου για ην οποία η συνάρηση αυή είναι µεγαλύερη ης µονάδας για όλα α που είναι µικρόερα από αυή ην ιµή. Λαµβάνονας η µοναδιαία σαµική επιφάνεια ης συνάρησης GM (, )/ GM (,) προκύπει η συνάρηση ( ) για ην οποία α περιώρια po, P po, P κέρδους που επιυγχάνοναι µε P ελεγκή είναι πάνοε µεγαλύερα από αυά που επιυγχάνοναι µε P ελεγκή. εδοµένου ου όι ο περιώριο φάσης που επιυγχάνεαι µε P ελεγκή είναι πάνοε µεγαλύερο από αυό που επιυγχάνεαι µε P ελεγκή η συνάρηση ( ) που περιγράφκε παραπάνω είναι ίση µε,max P( ). Η συνάρηση αυή φαίνεαι σο σχήµα. Επίσης, για να είναι δυναή η πραγµαοποίηση συγκρίσεων, σο σχήµα έχει σχεδιασεί η συνάρηση GM (,, = ) GM (,,), από όπου και παραηρούµε όι πράγµαι η po, P,max P po, P συνάρηση αυή είναι πάνοε εική. Τέλος, χρησιµοποιώνας εργαλεία βελισοποίησης ου λογισµικού Matlab µε σκοπό ην ελαχισοποίηση ου µέγισου σχεικού σφάλµαος, η συνάρηση,max P( ) µπορεί να προσεγγισεί από ης απλής µορφής συνάρηση ˆ,max ( ) (.5.779.7 ) P = + + (6.9)

6. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ P ΕΛΕΓΚΤΗ 49 GM (, )/ GM (,) Σχήµα 9.,, για po P po P.4..8 tmax.6.4....3.4.5.6.7.8.9 Σχήµα.,max P( )