Ε. 5. Γεωμετρική Πρόοδος Απρίτητες γώσεις Θεωρίς Γεωμετρική πρόοδος Γεωμετρική Πρόοδο (Γ.Π.) οομάζουμε μι κολουθί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεό του με πολλπλσισμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό ριθμό. Το ριθμό υτό το συμβολίζουμε συήθως με λ κι το οομάζουμε λόγο της προόδου. Σε μι γεωμετρική πρόοδο υποθέτουμε πάτ ότι 0 οπότε φού είι κι λ 0 ισχύει 0, γι κάθε Ν*. Επομέως μι κολουθί είι γεωμετρική πρόοδος κι μόο ισχύει, δηλδή το πηλίκο δύο διδοχικώ όρω είι στθερό. λ λ Ιδιότητες της Γεωμετρικής Προόδου. Ο ιοστός όρος μις γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο κι λόγο λ δίετι πό το τύπο: λ β. Γεωμετρικός μέσος τω, γ 0 λέγετι ο θετικός ριθμός β, κι μόο, β γ γ. Οι, β, γ είι διδοχικοί όροι μις Γ.Π., κι μόο, β γ δ. Το άθροισμ τω πρώτω όρω Γ.Π. με διφορά λ το συμβολίζουμε S... κι δίετι πό το τύπο γι λ =. λ S λ γι λ κι S
76. Γεωμετρική πρόοδος Πρτηρήσεις. Α,,..., είι όροι μις Γ.Π. με λόγο λ τότε οι όροι,,..., είι Γ.Π. με λόγο λ... λ λ, 5 λ κι γεικά λ κ, κ 4. κ. Μι Γ.Π. κθορίζετι πλήρως γωρίζουμε το πρώτο όρο της κι το λόγο λ. 4. Οι δύο τύποι λ κι λ S λ περιέχου πέτε γώστους τους:,, λ,, S. Α λοιπό μς δοθού οι τιμές τω τριώ εξ υτώ τότε οι δύο πρπάω τύποι ποτελού σύστημ δύο εξισώσεω με δύο γώστους. Λύοτς το σύστημ βρίσκουμε τους δύο άλλους γώστους. Ερωτήσεις κτόησης - Λυμέ Πρδείγμτ Τεχικές στη λύση σκήσεω στις προόδους. Σε ορισμέες σκήσεις δίετι το άθροισμ κι το γιόμεο τριώ ή τεσσάρω ή πέτε ή κλπ... διδοχικώ όρω μις γεωμετρικής προόδου κι ζητείτι βρεθού οι ριθμοί υτοί. Η λύση τέτοιου είδους σκήσεω πιτεί ορισθού οι διδοχικοί όροι με έ συγκεκριμέο τρόπο.. Ότ δίετι περιττό πλήθος διδοχικώ όρω (,5,...) υπάρχει πάτ ές μεσίος όρος. Α έχουμε π.χ. 5 όρους τους συμβολίζουμε ως εξής: Γ.Π. λ λ λ λ όπου λ είι ο λόγος της γεωμετρικής προόδου β. Ότ μς δίετι άρτιο πλήθος διδοχικώ όρω (4,6,...) υπάρχου δύο μεσίοι όροι. Α έχουμε π.χ. 4 όρους τους συμβολίζουμε ως εξής:
Γεωμετρική πρόοδος 77. Γ.Π.. Ότ δίετι ο γεικός (ιοστός) όρος μις κολουθίς κι ζητείτι ποδειχθεί ότι είι γεωμετρική πρόοδος, πρέπει δείξουμε ότι: + π.χ. Ο ος όρος μις κολουθίς είι πρόοδος. Έχουμε. λ λ λ =στθερό λ λ όπου λ ο λόγος της γεωμετρικής προόδου λ, δείξετε ότι είι γεωμετρική Άρ κι η είι Γ.Π. με λόγο κι πρώτο όρο. 9. Ότ δίετι το άθροισμ S τω πρώτω όρω Ν * ζητείτι ποδειχθεί ότι είι γεωμετρική πρόοδος γράφουμε τ θροίσμτ: μις κολουθίς S... () κι S... () Αφιρούμε πό τη () τη () κτά μέλη κι έχουμε S S άρ έχουμε έτσι το ιοστό όρο της κολουθίς. Κτόπι, εργζόμστε όπως στη προηγούμεη περίπτωση () γι δείξουμε ότι είι γεωμετρική πρόοδος. κι
78. Γεωμετρική πρόοδος * π.χ. Α γι κάθε Ν S το άθροισμ τω πρώτω όρω μις κολουθίς, δείξετε ότι είι γεωμετρική πρόοδος. Έχουμε ότι: S S είι είι ο ος όρος της κολουθίς Έχουμε: v. Άρ έχουμε Γ.Π. με λ = κι Πράδειγμ Ν βρεθεί ο ιοστός όρος της Γ.Π.,,,... 4 8 6. Αφού μς δίετι ότι είι γεωμετρική πρόοδος βρίσκουμε το κι λ. Είι κι 4 8 4 λ άρ πό το τύπο λ έχουμε: 8 4 4 Πράδειγμ Ν βρεθεί ο 8 της γεωμετρικής προόδου 9,,,.... 4 Έχουμε Γ.Π. με κι λ. Εφρμόζουμε το τύπο λ γι 8. Έχουμε 8 8 8 8 8 656 56 60 605 8. 8 56 56 8
Γεωμετρική πρόοδος 79. Πράδειγμ Ν βρεθεί ο λόγος κι ο πρώτος όρος μις γεωμετρικής προόδου της οποίς ο ος 8 όρος είι κι ο 5ος είι 64 8. Γι προσδιορίσουμε τους ριθμούς, λ πρέπει έχουμε δύο εξισώσεις ώστε λύσουμε σύστημ. Αυτές θ προκύψου πό τη εφρμογή του τύπου λ Από τ δεδομέ της άσκησης έχουμε: 8 λ 64 4 λ 8 Με διίρεση κτά μέλη πίρουμε Οπότε λ 8.8 7 8 λ λ λ 4 λ.64 λ 8 7 8 8 λ 4. Πράδειγμ 4 Έστω η γεωμετρική πρόοδος, 6,,.... Ν βρεθεί το πλήθος τω όρω της μέχρι κι το όρο που ισούτι με 768. 6 Έχουμε Γ.Π. με κι λ. Ζητάμε βρούμε το πλήθος όρω δηλδή το έτσι ώστε 768 768 λ 768 768 768 56 8 8 9 Άρ το πλήθος τω όρω είι 9. Πράδειγμ 5 Ν βρεθεί ο πρώτος όρος της γεωμετρικής προόδου 8,64,,... που είι μικρότερος του 0,5.
80. Γεωμετρική πρόοδος 64 Η Γ.Π. έχει 8 κι λ 8 Ζητάμε το μικρότερο έτσι ώστε 0,5. Έχουμε 5 7 λ 0,5 8 00 4 7 8 8 > 0 άρ είι ο ος όρος Πράδειγμ 6 Ν βρεθεί ο x ώστε οι ριθμοί x 4, x, x 9 είι διδοχικοί όροι γεωμετρικής περιόδου. Γι είι οι ριθμοί x 4, x, x 9 διδοχικοί όροι Γ.Π. ρκεί: x x 4x 9 x x x 9x 4x 76 x x 76 5x 75 x Πράδειγμ 7 Ν υπολογισθεί το άθροισμ: 4... 56 Ελέγχουμε οι όροι του θροίσμτος είι Γ.Π. Έχουμε 4,. Επομέως είι Γ.Π. με κι λ. Κτόπι πρέπει βρούμε το πλήθος τω προσθετέω μέχρι κι το ριθμό 56, δηλδή το ώστε 56 έχουμε: 8 8 56 λ 56 8 9 Ζητάμε λοιπό το 9 5 5 S 7. 9
Γεωμετρική πρόοδος 8. Πράδειγμ 8. Α οι, β, γ είι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, δειχθεί ότι: β γ β γ β γ β. Α οι, β, γ, δ είι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, δειχθεί ότι : γ β γ β δ δ. Αφού, β, γ διδοχικοί όροι Γ.Π. ισχύει β γ () Έχουμε τώρ: β γ β γ β γ β γ γ β γ β β γ γ β β γ γ γ β β γ β γ που ισχύει λόγω της () β. Αφού, β, γ, δ είι διδοχικοί όροι Γ.Π. ισχύου: β γ (), γ Έχουμε τώρ: β δ (), β δ βγ δ () γ γ β γ β δ γ γ β γ βγ β δ βδ γ β β γ βγ β δ γ δ βγ, δ δ δ Πράδειγμ 9. Ν βρεθεί το άθροισμ.... β. Ν υπολογισθεί το γιόμεο.... γ. Ν δειχθεί ότι x x x x..... Ελέγχουμε οι όροι του θροίσμτος ποτελού Γ.Π. Έχουμε Άρ είι Γ.Π. με, λ κι το πλήθος τω όρω είι., Έτσι... S β. Έχουμε λόγω του ()
8. Γεωμετρική πρόοδος... γ. Δηλδή... ή... ή... άρ κι x x x x... x Πράδειγμ 0 Α το άθροισμ τριώ διδοχικώ όρω μις γεωμετρικής προόδου είι - κι το γιόμεό τους είι 7 βρεθού οι όροι υτοί. Α λ είι ο λόγος της προόδου κι ο μεσίος όρος τότε οι όροι μπορού γρφού λ,, λ. Έχουμε ότι λ 7 7 λ Γι οι όροι γράφοτι,, λ λ Έχουμε τώρ: λ λ λ λ λ λ λ 0 λ 0λ 0 Έχουμε: Δ 00 6 64 Άρ λ, 0 8 λ = ή 6 λ Γι λ έχουμε τους όρους 9,,. Γι λ = έχουμε τους όρους,, 9. Πράδειγμ Ν υπολογισθεί το γιόμεο τω πρώτω όρω της γεωμετρικής προόδου, 4, 8,.... Η Γ. πρόοδος, 4, 8,... έχει = κι λ = άρ ο ιοστός όρος της είι: λ
Γεωμετρική πρόοδος 8. Έτσι έχουμε το γιόμεο:... Γ... Ο εκθέτης τώρ είι το άθροισμ τω πρώτω όρω Α.Π. με κι ω =. Έτσι S άρ. Γ Πράδειγμ Μι κοιωί βκτηρίω διπλσιάζετι σε ριθμό κάθε μι ώρ. Α ρχικά υπάρχoυ βκτήρι, πόσ βκτήρι θ υπάρχου ύστερ πό ώρες; Αρχικά έχουμε στο τέλος της ης ώρς βκτήρι βκτήρι στο τέλος της ης ώρς βκτήρι Πρτηρούμε ότι:. Ο ριθμός τω βκτηρίω στο τέλος κάθε ώρς είι οι όροι Γ.Π. με κι λ =.. Ο ριθμός που δείχει τη τάξη του όρου είι κτά μί μοάδ μεγλύτερος πό τη τίστοιχη ώρ. π.χ. στο τέλος της ης το πλήθος είι. Έτσι ο ριθμός τω βκτηρίω στο τέλος της ης ώρς το δείχει ο όρος της Γ.Π. Έχουμε λοιπό λ 4096.88 βκτήρι Πράδειγμ Ν υπολογίσετε το άθροισμ: 9... 79 Πρτηρούμε ότι οι ριθμοί 9,,,... ποτελού διδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο 9 κι λ. λ Θ βρούμε λοιπό το άθροισμ 9... με τη βοήθει του τύπου: S () 79 λ Γι υτό πρέπει προηγούμε βρούμε το πλήθος τω προσθετέω.
84. Γεωμετρική πρόοδος Έχουμε: λ 9 6 9 6 6 79 Το ζητούμεο άθροισμ βρίσκετι πό τη () ότι είι: 9 9 9 968 968 9 984 S9 9... 79 968 79 984 Άρ S9. 79 Πράδειγμ 4 Ν βερθεί ο x R ώστε οι ριθμοί 9 5x, 9 x, x με τη σειρά υτή, είι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Περιορισμοί: πρέπει 9 5x 0 κι 9 x 0 κι x 0 x 5 9 κι x 9 κι x. Άρ πρέπει x 5 9. Πρέπει ισχύει: 9 x 9 5x x 9 x 9 5x x 9 x 9 5x x 88x x 7 9x 5x 5x 4x 6x 54 0 x x 7 0 Δηλδή, δεκτή φού τη επληθεύει x 9. Άρ x., πορρίπτετι εξιτίς τω περιορισμώ
Γεωμετρική πρόοδος 85. Ερωτήσεις κτόησης - Ασκήσεις γι λύση. Σε γεωμετρική πρόοδο έχουμε ότι = 48 κι = 84 Ν βρεθεί η τάξη του 5 8 όρου που είι ίσος με 07.. Ποιο ριθμό πρέπει προσθέσουμε στους ριθμούς, 6, 58 γι γίου τρεις διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.. Το άθροισμ του 4 ου κι 5 ου όρου Γ.Π. είι 08 κι η διφορά του 5 ου πό το 4 ο είι 54. Ν βρεθεί η πρόοδος. 4.. Ποιο είι το άθροισμ τω έξι πρώτω όρω της προόδου:,, 4, 8,... β. Πόσους διδοχικούς πρώτους όρους πρέπει προσθέσουμε, γι πάρουμε άθροισμ 85. 5. Δίετι η Γ.Π.:,, 9, 7, 8,.... Ν ποδείξετε ότι οι διφορές τω διδοχικώ όρω της σχημτίζου μι έ γεωμετρική πρόοδο. Μήπως η ιδιότητ υτή ισχύει γεικά γι κάθε γεωμετρική πρόοδο; 6. Ν προσδιοριστεί ο πργμτικός ριθμός x ώστε οι ριθμοί: + x, β + x, γ + x είι διδοχικοί όροι Γ.Π. Τι συμβίει οι, β, γ είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου; 7. Α οι ριθμοί, β, γ είι διδοχικοί όροι Γ.Π. ποδειχθεί ότι: β γ + + = + β + γ β γ 8. Α οι, β, γ, δ είι διδοχικοί όροι Γ.Π. ποδειχθεί ότι: + δβ + γ - + γβ + δ = β - γ 9. Α οι ριθμοί + γ + γ β + γ,, - γ γ - είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου δειχθεί ότι οι ριθμοί, β, γ είι διδοχικοί όροι Γ.Π..
86. Γεωμετρική πρόοδος 0. Α, β, γ είι συγχρόως διδοχικοί όροι Α.Π. κι Γ.Π. δειχθεί ότι = β = γ.. Α, β, γ είι διδοχικοί όροι Γ.Π. δειχθεί ότι το ίδιο συμβίει κι με - β + γ, + β + γ, + β + γ. τους όρους. Ν βρείτε το πρώτο όρο κι το λόγο μις Γ.Π. είι γωστό ότι: το άθροισμ τω τεσσάρω πρώτω όρω της είι 40, εώ το άθροισμ τω 8 πρώτω όρω της είι 80.. Τρεις ριθμοί χ, ψ, ω έχου άθροισμ 47. Α οι χ, ψ, ω είι διδοχικοί όροι Α.Π. κι οι χ, ω, ψ Γ.Π. βρεθού οι ριθμοί υτοί. 4. Το άθροισμ τριώ διδοχικώ όρω Γ.Π. είι κι το γιόμεό τους 6. Ν βρεθού οι όροι υτοί. 5. Ν βρεθού τέσσερις διδοχικοί όροι Γ.Π. το γιόμεό τους είι 65 κι το τετράγωο του τρίτου είι τετρπλάσιο του γιομέου τω δύο άκρω όρω. 6. Α, β, γ, δ είι διδοχικοί όροι Γ.Π. δειχθεί ότι : β + δ γ δ + δ = γ 7. Ν λυθού οι εξισώσεις: 7 x x x i. + +... + = 0 ii. + + 7 +... + = 0 x x x x - x - x - iii. + x + x +... + x 99 = 0 iv. + + +... + x = 046 v. + + +... + x = 0 vi. + x + x + x +... + x 9 = 0 9 8 7 vii. x + x + x +... + x + = 0 viii. + x + x + x +... + x 4 = 0 8.. Ν συγκρίετε το ριθμητικό κι το γεωμετρικό μέσο τω ριθμώ:, 8 β. Ν δειχθεί ότι η σχέση που θ βρείτε ισχύει γεικά γι κάθε ζεύγος θετικώ x, y. 9. Α, β, γ ποτελού διδοχικούς όρους Γ.Π. δειχθεί ότι οι ποτελού διδοχικούς όρους Α.Π.,, - β - γ + β 0. Ν βρεθού τρεις κέριοι ριθμοί γι τους οποίους ισχύου τ εξής:
Γεωμετρική πρόοδος 87.. Είι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου β. Α υξηθεί ο δεύτερος κτά 8 η πρόοδος γίετι ριθμητική γ. Α υξηθεί ο τρίτος κτά 64, γίετι πάλι γεωμετρική. Ν βρεθού τρεις ριθμοί γι τους οποίους ισχύου τ εξής:. Είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου β. Έχου άθροισμ 5 γ. Α σε υτούς προσθέσουμε τους ριθμούς,4,9 τίστοιχ θ γίου διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.. Ν βρεθεί το άθροισμ τω 9 πρώτω όρω Γ.Π. στη οποί είι + = 56 4 κι + = 504. 6. Ν βρεθού 6 ριθμοί οι οποίοι ποτελού Γ.Π. ότ το άθροισμ τω τριώ πρώτω όρω είι κι το άθροισμ τω τριώ επόμεω είι 68. 4. Σε γεωμετρική πρόοδο με 000 όρους, το άθροισμ τω όρω άρτις θέσης είι επτπλάσιο πό το άθροισμ τω όρω περιττής θέσης. Ν βρεθεί ο λόγος της προόδου. 5. Ν βρεθεί γεωμετρική πρόοδος πό 0 όρους ότ το άθροισμ τω όρω περιττής θέσης είι 0 κι το άθροισμ τω όρω άρτις θέσης 046. 6. Δίετι η κολουθί με S = -.. Ν βρεθεί το S- β. Ν βρεθεί ο γ. Ν βρεθεί ο + δ. Ν δειχθεί ότι η είι γεωμετρική πρόοδος κι βρεθεί ο λ κι ο. ε. Πόσους όρους πρέπει πάρουμε γι έχουμε άθροισμ 484; 7. Α έ άτομο που γωρίζει έ μυστικό το πει σε φίλους του τη πρώτη ημέρ οι οποίοι στη συέχει το που σε φίλους τους ο κθές τη επόμεη μέρ κ.ο.κ., πόσοι θ μάθου το μυστικό μετά πό 0 ημέρες; 8. Ές πππούς ποτμιεύει το ο χρόο γέησης του εγγοού του, το ο, 9 το ο, 7 το 4 ο κ.ο.κ. Α συεχίσει με το ίδιο ρυθμό βρεθού:. Πόσ θ ποτμιεύσει το 8 ο χρόο. β. Πόσά συολικά θ έχει ποτμιεύσει μέχρι κι το 8 ο χρόο.
88. Γεωμετρική πρόοδος 9. Γίετι έεση εός μολυσμέου κυττάρου σε έ υγιές ποτίκι, το οποίο χωρίζετι σε δύο έ κύττρ σε μισή ήμέρ. Στο τέλος της ημέρς τ δύο κύττρ θ δισπσθού ξά. Αυτή η διδικσί συεχίζετι κάθε μισή ημέρ μέχρι σχημτισθού 048574 κύττρ οπότε το ποτίκι, πεθίει. Ποι ημέρ πό τη ρχή του πειράμτος συμβίει υτό; 0. Ο Αλέξδρος γιορτάζοτς τ γεέθλιά του, ζήτησε πό τους γοείς του γι δώρο 44 κι κάθε επόμε γεέθλι του υξάου το ποσό κτά 8,8 μέχρι γιορτάσει τ χρόι του. Ο πτέρς του τιπρότειε τ εξής: "Θ σου δώσω,5 κι κάθε επόμε γεέθλι θ διπλσιάζω το προηγούμεο ποσό". Ο Αλέξδρος σκέφθηκε λίγο κι πέρριψε τη πρότση του πτέρ του πιστεύοτς ότι ότ θ γιορτάσει τ 8 γεέθλιά του με τη δική του πρότση θ πάρει περισσότερ χρήμτ.. Δικιολογήστε γιτί συμφωείτε ή διφωείτε με τη πρότση του Αλέξδρου. β. Πόσ χρήμτ θ πάρει με τη δική του πρότση στ γεέθλιά του κι πόσο θ έπιρε με τη πρότση του πτέρ του.. Ν πλοποιηθεί η πράστση. x + x + x +... + x Α = + +... + x x x. Έστω η κολουθί β. Ν λυθεί η εξίσωση - Α = 9x + 4 με = κι = γι κάθε Ν. Ν + 5 δειχθεί ότι η κολουθί (β ) με γεικό όρο: β = - είι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ = 5. Ύστερ βρεθού οι ιοστοί όροι κι τιστοίχως συρτήσει του. β κι τω κολουθιώ. Ν βρεθεί ο ιοστός όρος κι το άθροισμ τω πρώτω όρω της κολουθίς,, 5, 9, 7,... 4. Ο ιοστός όρος κολουθίς ( ) είι:. Ν δειχθεί ότι η κολουθί υτή είι γεωμετρική πρόοδος κι βρεθού τ κι λ. είι: S 8 v v Ν δειχθεί ότι η κολουθί ( ) είι γεωμετρική πρόοδος κι βρεθού τ κι λ. 5. Το άθροισμ τω πρώτω όρω κολουθίς ( ), * Ν
Γεωμετρική πρόοδος 89. 6. Σε γεωμετρική πρόοδο ( ) δίοτι: =, λ = - κι S =. Ν βρεθεί ο όρος 7. Σε γεωμετρική πρόοδο ( ) δίοτι: =, = 8 κι S = 86. Ν βρεθεί το πλήθος. 8. Ν βρεθεί η γεωμετρική πρόοδος της οποις ο 7 ος όρος υπερβίει το 5 ο όρο κτά 80 κι τo 6 ο όρο κτά 486. 9. Μετξύ τω ριθμώ κι 9 βρεθού 5 κόμη κέριοι ώστε όλοι μζί ποτελού διδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. 40. Ν υπολογίσετε το γιόμεο: P 4 8... v 4. Ν βρείτε το άθροισμ τω 9 πρώτω όρω γεωμετρικής προόδου ισχύου: + 5 = 68 κι + 6 = 504