Lie άλγεβρες και Οµάδες

Κεφάλαιο 10 Lie άλγεβρες και Οµάδες Σύνοψη. Στο παρόν κεφάλαιο ορίζεται η Lie άλγεβρα. ίνεται η κατασκευή της ελεύθερης Lie άλγεβρας µε τη ϐοήθεια ή της ελεύθερης προσεταιριστικής άλγεβρας ή της ελεύθερης µη προσεταιριστικής και µη µεταθετικής άλγεβρας ή µε τη ϐοήθεια της ελεύθερης οµάδας. Για κάθε οµάδα, κατασκευάζεται ο συσχετιζόµενος Lie δακτύλιος µιας οµάδας. Προαπαιτούµενη γνώση. Σχέση ισοδυναµίας, διανυσµατικός χώρος, ελεύθερη οµάδα, µηδενοδύναµη οµάδα και κατώτερη κεντρική σειρά. 10.1 Προκαταρκτικές έννοιες Στο παρόν κεφάλαιο, ϑα εισάγουµε την έννοια της Lie άλγεβρας και ϑα δώσουµε µερικές από τις ϐασικές ιδιότητες των Lie αλγεβρών. Οι Lie άλγεβρες αποτελούν γενίκευση των διανυσµατικών χώρων, όταν δουλεύουµε πάνω από σώµα, και των αβελιανών οµάδων, όταν δουλεύουµε πάνω από τον δακτύλιο των ακέραιων αριθ- µών Z. Πολλές από τις ιδιότητες των Lie αλγεβρών είναι παρόµοιες µε αυτές των οµάδων. Οι αποδείξεις τους όµως διαφέρουν, αφού οι Lie άλγεβρες χαρακτηρίζονται από «γραµµικότητα». Στο τέλος του κεφαλαίου, ϑα συνδέσουµε τις οµάδες µε τις Lie άλγεβρες. Θα δούµε πως από µία οµάδα µπορούµε να κατασκευάσουµε την συνδεδεµένη µε αυτή Lie άλγεβρα. Επίσης, ϑα δούµε πως η σύνδεση αυτή µάς οδηγεί σε ένα τρόπο κατασκευής της ελεύθερης Lie άλγεβρας. Μία Lie άλγεβρα L πάνω από ένα σώµα K είναι ένας διανυσµατικός χώρος πάνω από το K εφοδιασµένος µε µια διγραµµική απεικόνιση [, ] : L L L, (x, y) [x, y] για όλα τα x, y L την οποία ονοµάζουµε Lie µεταθέτη (ή Lie γινόµενο) και ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες : 1. [x, x] = 0, για κάθε x L, 2. [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0, για όλα τα x, y, z L. Η ιδιότητα (2) ονοµάζεται ταυτότητα Jacobi. Από την ιδιότητα (1), εύκολα προκύπτει ότι ( ) [x, y] = [y, x], για όλα τα x, y L. 231

232 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. LIE ΑΛΓΕΒΡΕΣ ΚΑΙ ΟΜΑ ΕΣ Αν η χαρακτηριστική του σώµατος K είναι διαφορετική από το 2, η ιδιότητα (1) είναι ισοδύναµη µε την ( ). Να τονίσουµε εδώ ότι η Lie άλγεβρα είναι µη προσεταιριστικός δακτύλιος. Στην περίπτωση που η χαρακτηριστική του σώµατος είναι διαφορετική από το 2, η Lie άλγεβρα είναι και µη µεταθετικός δακτύλιος. Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος πάνω από το K. Ο E ονοµάζεται K-άλγεβρα αν έχει ορισθεί µία διγραµµική απεικόνιση για όλα τα x, y E τέτοια, ώστε για όλα τα x, y, z E και : E E E, (x, y) = x y (x + y) z = x z + y z x (y + z) = x y + x z (αx) y = x (αy) = α(x y) για όλα τα α K και x, y E. Αν, επιπλέον, ισχύει (x y) z = x (y z), για όλα τα x, y, z E, τότε λέµε ότι ο E είναι προσεταιριστική K-άλγεβρα. Παραδείγµατα 10.1 1. Κάθε διανυσµατικός χώρος V µπορεί να ϑεωρηθεί Lie άλγεβρα ορίζοντας [x, y] = 0 για όλα τα x, y V. 2. Ο πραγµατικός διανυσµατικός χώρος R 3 δοµείται σε Lie άλγεβρα µε τη ϐοήθεια του εξωτερικού γινοµένου. Στην περίπτωση αυτή, [(x 1, x 2, x 3 ), (y 1, y 2, y 3 )] = (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ) για όλα τα (x 1, x 2, x 3 ), (y 1, y 2, y 3 ) R 3. 3. Εστω M n n (K) ο διανυσµατικός χώρος των n n πινάκων µε στοιχεία από το K. Ορίζοντας τον Lie µεταθέτη ως [A, B] = AB BA για όλα τα A, B M n n (K), ο διανυσµατικός χώρος M n n (K) γίνεται Lie άλγεβρα. 4. Το παράδειγµα (3) µπορεί να γενικευθεί στις προσεταιριστικές K-άλγεβρες. Εστω A µία προσεταιριστική K-άλγεβρα. Η A δοµείται σε Lie άλγεβρα, και συµβολίζεται µε A L, ορίζοντας [u, v] = uv vu για όλα τα u, v A. Από έδω και στο εξής, µε τον όρο «Lie άλγεβρα» ϑα εννοούµε Lie άλγεβρα πάνω από σώµα K χαρακτηριστικής 0. Επίσης, µε τον όρο «Lie δακτύλιο» ϑα εννοού- µε Lie άλγεβρα πάνω από τον δακτύλιο Z των ακέραιων αριθµών. ηλαδή, ο ϐαθµωτός πολλαπλασιασµός ϑα προέρχεται από το Z. Σηµειώνουµε ότι οι περισσότεροι ορισµοί και κατασκευές ισχύουν πάνω από τυχαίο µεταθετικό δακτύλιο

10.1. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 233 (µε µονάδα). Εστω L µία Lie άλγεβρα και c ϕυσικός αριθµός. Για x 1,..., x c L, ορίζουµε τους αριστερούς γενικευµένους Lie µεταθέτες µήκους c επαγωγικά ως εξής : [x 1 ] = x 1, [x 1,..., x c 1, x c ] = [[x 1,..., x c 1 ], x c ], c 2. Μία Lie υποάλγεβρα B µιας Lie άλγεβρας L είναι ένας διανυσµατικός υποχώρος B της L για τον οποίο ισχύει [x, y] B για όλα τα x, y B. Εστω X ένα µη κενό υποσύνολο της L. Θα γράφουµε µε X L την µικρότερη υποάλγεβρα της L που περιέχει το X. ηλαδή, την υποάλγεβρα που δηµιουργείται από την κλειστότητα των πράξεων της L. Ετσι, η X L είναι ο διανυσµατικός υποχώρος της L που παράγεται από το σύνολο {[x i1,..., x im ] : x i1,..., x im X, m 1}. Στην περίπτωση που L = X L λέµε ότι η L παράγεται από το X. Αν το X είναι πεπερασµένο λέµε ότι η L είναι πεπερασµένα παραγόµενη. Ιδεώδες I της Lie άλγεβρας L είναι µία υποάλγεβρα της L µε την ιδιότητα [x, y] I για κάθε x L και για κάθε y I. Λόγω της ιδιότητας (1) του ορισµού της Lie άλγεβρας (ή καλύτερα λόγω της ( )) δεν έχουν νόηµα οι έννοιες αριστερό και δεξιό ιδεώδες. Εστω I ένα ιδεώδες της Lie άλγεβρας L. Ορίζουµε µία σχέση στο L ως εξής : Για x, y L x y αν και µόνο αν x y I. Επειδή το I είναι διανυσµατικός (υπο)χώρος είναι εύκολο να δειχθεί ότι η είναι σχέση ισοδυναµίας. Η κλάση ισοδυναµίας του x είναι [x] = {y L : y x I} = {x + z : z I} = x + I. Θυµίζουµε ότι [x] = [y] αν και µόνο αν [x] [y]. Σχηµατίζουµε το σύνολο πηλίκο L/I = {x + I : x L}. Το σύνολο L/I δοµείται σε Lie άλγεβρα ως εξής : Πρώτα, δοµείται σε διανυσµατικό χώρο µε πρόσθεση (x + I) + (y + I) = (x + y) + I για όλα τα x, y L και µε ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό λ(x + I) = (λx) + I για όλα τα λ K και x L. Ο Lie µεταθέτης ορίζεται ως εξής : [x + I, y + I] = [x, y] + I για όλα τα x, y L. Επειδή το I είναι ιδεώδες, είναι εύκολο να δειχθεί ότι όλες οι παραπάνω πράξεις είναι καλά ορισµένες. Το σύνολο πηλίκο L/I εφοδιασµένο µε τις παραπάνω πράξεις ονοµάζεται Lie άλγεβρα πηλίκο. Εστω L µια Lie άλγεβρα και I, J ιδεώδη της. Το άθροισµά τους I + J ορίζεται ως I + J = {x + y : x I, y J}. Με [I, J] συµβολίζουµε το διανυσµατικό χώρο που παράγεται από όλους τους Lie µεταθέτες της µορφής [x, y], όπου x I και y J. Από τον ορισµό του ιδεώδους, εύκολα προκύπτει ότι τα I + J και [I, J] είναι ιδεώδη της L. Επιπλέον,

234 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. LIE ΑΛΓΕΒΡΕΣ ΚΑΙ ΟΜΑ ΕΣ αν I 1,..., I κ είναι ιδεώδη της L, τότε το [I 1,..., I κ ] ορίζεται να είναι ο διανυσµατικός χώρος που παράγεται από τα [x 1,..., x κ ], όπου x i I i, i = 1,..., κ. Χρησιµοποιώντας την ταυτότητα Jacobi και επειδή τα I 1,..., I κ είναι ιδεώδη, το [I 1,..., I κ ] αποδεικνύεται ότι είναι ιδεώδες της L. Εστω L µία Lie άλγεβρα. Οπως στις οµάδες έτσι και εδώ, ορίζουµε δύο σηµαντικές ϕθίνουσες σειρές. Θέτουµε L = γ 1 (L) και ορίζουµε επαγωγικά για ακέραιο c 1 γ c+1 (L) = [γ c (L), L]. Ετσι, σχηµατίζουµε µία ϕθίνουσα ακολουθία ιδεωδών της L L = γ 1 (L) γ 2 (L)... γ c+1 (L).... Η ακολουθία (γ c (L)) c N ονοµάζεται κατώτερη κεντρική σειρά της L. Ο δεύτερος όρος της σειράς συµβολίζεται µε L και ονοµάζεται η παράγουσα άλγεβρα της L. Αν υπάρχει c N τέτοιο, ώστε γ c+1 (L) = {0}, τότε λέµε ότι η L είναι µηδενοδύναµη µε κλάση το πολύ c και αν το c είναι ο µικρότερος ακέραιος για τον οποίο ισχύει η προαναφερθείσα ιδιότητα, τότε λέµε ότι η L έχει κλάση (µηδενοδυναµίας) c. Αν c = 1, τότε η L ονοµάζεται αβελιανή Lie άλγεβρα. ηλαδή, η L είναι διανυσµατικός χώρος. Αν L είναι µία Lie άλγεβρα, τότε από τον ορισµό της L προκύπτει ότι η L/L είναι αβελιανή. Θεώρηµα 10.1 Εστω L µία πεπερασµένα παραγόµενη µηδενοδύναµη Lie άλγε- ϐρα L και έστω dim K (L/L ) = n. Τότε, η L παράγεται από n στοιχεία. Απόδειξη. Εστω {y 1,..., y m }, m N, ένα σύνολο γεννητόρων της L. Υποθέτουµε ότι ο m είναι ο µικρότερος ακέραιος αριθµός γεννητόρων της L. Ισχυριζόµαστε ότι m = n. Πράγµατι, αφού το {y 1 + L,..., y m + L } παράγει τον L/L, έχουµε ότι n m. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, υποθέτουµε ότι {y 1 + L,..., y n + L } είναι µία ϐάση του διανυσµατικού χώρου L/L. Τότε, για j = n + 1,..., m, y j + L = 1 i n α ij (y i + L ), όπου α ij K. Συνεπώς, y j = 1 i n α ij y i + v j, όπου v j L, j = n + 1,..., m. Αφού το σύνολο {y 1,..., y m } παράγει την L, κάθε στοιχείο της L είναι ένας γραµµικός συνδυασµός από Lie µεταθέτες της µορφής [y i1,..., y iκ ], όπου y i1,..., y iκ {y 1,..., y m }. Αντικαθιστούµε τα y j, j = n + 1,..., m, στους Lie µεταθέτες [y i1,..., y iκ ]. Επειδή η L είναι µηδενοδύναµη, κάθε µεταθέτης [y i1,..., y iκ ] εκφράζεται ως γραµµικός συνδυασµός Lie µεταθετών της µορφής [y i1,..., y iµ ], όπου y i1,..., y iµ {y 1,..., y n }. Εποµένως, το σύνολο {y 1,..., y n } παράγει την L και οπότε, λόγω της επιλογής του m, έχουµε ότι m n. Άρα, n = m και η L παράγεται από n στοιχεία.

10.1. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 235 Πόρισµα 10.1 Εστω L µία πεπερασµένης διάστασης µηδενοδύναµη Lie άλγεβρα και έστω dim K (L/L ) = n. Τότε, η L παράγεται από n στοιχεία. Συγκεκριµένα, αν g 1,..., g n L τέτοια, ώστε {g 1 + L,..., g n + L } είναι ϐάση του διανυσµατικού χώρου L/L, τότε η L παράγεται από το σύνολο {g 1,..., g n }. Απόδειξη. Αφού η L είναι πεπερασµένης διάστασης µηδενοδύναµη Lie άλγεβρα, έχουµε ότι η L είναι πεπερασµένα παραγόµενη Lie άλγεβρα. Από την απόδειξη του Θεωρήµατος 10.1 έπεται ότι, εφόσον το σύνολο {g 1 +L,..., g n +L } αποτελεί ϐάση του L/L, το σύνολο {g 1,..., g n } είναι ένα σύνολο γεννητόρων της L. Η παράγουσα σειρά της L ορίζεται ως εξής : Θέτουµε L = δ 0 (L) και για κάθε ϑετικό ακέραιο c, ορίζουµε δ c (L) = [δ c 1 (L), δ c 1 (L)]. Ετσι, έχουµε µία ϕθίνουσα ακολουθία ιδεωδών της L L = δ 0 (L) δ 1 (L)... δ c (L).... Παρατηρούµε ότι L = γ 2 (L) = δ 1 (L). Η παράγουσα σειρά της L µάς οδηγεί στην έννοια της επιλύσιµης Lie άλγεβρας. Αν υπάρχει c N τέτοιος, ώστε δ c (L) = {0}, τότε λέµε ότι η Lie άλγεβρα είναι επιλύσιµη µε µήκος επιλυσιµότητας το πολύ c. Αν c = 2, τότε λέµε ότι η Lie άλγεβρα είναι µεταβελιανή. Οι έννοιες «µηδενοδύναµη» και «µεταβελιανή» παίζουν σηµαντικό ϱόλο στη µελέτη µιας Lie άλγεβρας, και ιδιατέρως, στη µελέτη της ελεύθερης Lie άλγεβρας. Εστω L 1, L 2 δύο Lie άλγεβρες πάνω από το K. Τότε, µία γραµµική απεικόνιση φ : L 1 L 2 ονοµάζεται οµοµορφισµός Lie αλγεβρών αν φ([x, y]) = [φ(x), φ(y)] για όλα τα x, y L 1. Σε κάθε οµοµορφισµό φ ορίζονται δύο σύνολα, ο πυρήνας και η εικόνα. Ο πυρήνας της φ ορίζεται και η εικόνα της φ Kerφ = {x L 1 : φ(x) = 0} Imφ = {φ(x) L 2 : x L 1 }. Ως µία απλή άσκηση µπορεί να δειχθεί ότι ο Kerφ είναι ιδεώδες της L 1 και η Imφ είναι υποάλγεβρα της L 2. Η σχέση µεταξύ του πυρήνα και της εικόνας περιγράφεται στο επόµενο αποτέλεσµα. Η απόδειξή του είναι παρόµοια µε τις οµάδες και αφήνεται ως άσκηση για τον αναγνώστη. Θεώρηµα 10.2 Εστω L 1, L 2 Lie άλγεβρες πάνω από το K και έστω φ : L 1 L 2 οµοµορφισµός. Τότε, L 1 /Kerφ = Imφ. Ως συνέπεια του Θεωρήµατος 10.2 είναι το επόµενο αποτέλεσµα. Πόρισµα 10.2 Αν I και J είναι ιδεώδη της Lie άλγεβρας L, τότε (I + J)/I = J/(I J) ως Lie άλγεβρες. Απόδειξη. Θεωρούµε την απεικόνιση φ : J (I + J)/I µε φ(x) = x + I για όλα τα x J. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η φ είναι επιµορφισµός και ότι Kerφ = I J. Από το Θεώρηµα 10.2, έχουµε το Ϲητούµενο αποτέλεσµα.

236 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. LIE ΑΛΓΕΒΡΕΣ ΚΑΙ ΟΜΑ ΕΣ 10.2 Κατασκευή ελεύθερης Lie άλγεβρας Η Lie άλγεβρα είναι το κλασικό παράδειγµα µη προσεταιριστικής, µη µεταθετικής K-άλγεβρας, αν η χαρακτηριστική του K είναι διαφορετική από το 2. Λέµε ότι η Lie άλγεβρα L(X ) παράγεται ελεύθερα από ένα υποσύνολό της X αν για κάθε Lie άλγεβρα L και για κάθε απεικόνιση χ : X L, υπάρχει µοναδικός οµοµορφισµός χ : L(X ) L τέτοιος, ώστε χ(x) = χ(x) για όλα τα x X. Οπως στην περίπτωση της ελεύθερης οµάδας, αν η L(X ) παράγεται ελεύθερα από το σύνολο X, τότε η L(X ) παράγεται από το X. Πράγµατι, έστω L η Lie άλγεβρα που παράγεται από το X. Η απεικόνιση θ από το X στην L, που στέλνει το x στον εαυτόν του για κάθε x X, επεκτείνεται µοναδικά σε οµοµορφισµό θ : L(X ) L. Θεωρούµε τον οµοµορφισµό i : L L(X ) µε i(u) = u για όλα τα u L. Τότε, η iθ είναι οµοµορφισµός από την L(X ) στην L(X ), που επεκτείνει την iθ = Id X. Επειδή η Id L(X ) επεκτείνει την iθ, έχουµε, λόγω µοναδικότητας, ότι iθ = Id L(X ). Οπότε, L(X ) = Im(Id L(X ) ) = Im(iθ ) = Im(θ ) L. Με άλλα λόγια, η L(X ) παράγεται από το X. Ανάλογες ιδιότητες µε την ελεύθερη οµάδα ισχύουν και για τις Lie άλγεβρες. Παραδείγµατος χάρη, αν η L(X i ) πα- ϱάγεται ελεύθερα από το X i, i = 1, 2, και X 1 = X 2, τότε L(X 1 ) = L(X 2 ) ως Lie άλγεβρες. Επιπλέον, αν η L(X i ) παράγεται ελεύθερα από το πεπερασµένο σύνολο X i, i = 1, 2, και L(X 1 ) = L(X 2 ), τότε X 1 = X 2. Ο πληθικός αριθµός X του X ονοµάζεται ϐαθµίδα της L(X ). Στην περίπτωση που ο X είναι πεπερασµένος αριθµός n, γράφουµε L n αντί του L(X ). Στην παρούσα ενότητα, ϑα δώσουµε την κατασκευή της ελεύθερης Lie άλγε- ϐρας πάνω από ένα (πεπερασµένο) σύνολο X µε δύο τρόπους: 1. Με τη ϐοήθεια της ελεύθερης προσεταιριστικής K-άλγεβρας και 2. Με τη ϐοήθεια του ελεύθερου µάγµατος. 10.2.1 Ελεύθερη προσεταιριστική άλγεβρα Στην παρούσα ενότητα, ϑα δώσουµε µία κατασκευή της ελεύθερης Lie άλγεβρας που επιτυχάνεται µε την ϐοήθεια της ελεύθερης προσεταιριστικής K-άλγεβρας. Για περισσότερες λεπτοµέρειες, παραπέµπουµε τον αναγνώστη στο [4]. Σχετικά µε τις λέξεις και Lie άλγεβρες, παραπέµπουµε στο [5]. Εστω X = {y 1,..., y n }, µε n 2, ένα αλφάβητο, δηλαδή, ένα σύνολο διαφο- ϱετικών συµβόλων. Για κάθε ϕυσικό αριθµό m, ορίζουµε X m = } X. {{.. X } = {(x 1,..., x m ) : x 1,..., x m X }. m παράγοντες Εστω X = m 0 X m

10.2. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ LIE ΑΛΓΕΒΡΑΣ 237 µε X 0 = {e}. Τα στοιχεία του X m έχουν µήκους m και το e έχει µήκος 0. Γράφοντας X m (x 1,..., x m ) = x 1... x m, δύο στοιχεία u = x i1... x iκ και v = x j1... x jµ είναι ίσα αν και µόνο αν κ = µ και i ν = j ν, ν = 1,..., κ. Συνεπώς, X = {e} {x 1... x m : x 1,..., x m X, m 1}. Τα στοιχεία του X ονοµάζονται λέξεις και το e συµβολίζει την κενή λέξη. Το X εφοδιάζεται µε την παράθεση. ηλαδή, αν u = x i1... x iκ και v = x j1... x jµ, τότε ορίζουµε uv = x i1... x iκ x j1... x jµ. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η πράξη της παράθεσης ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα και ότι το e είναι το ουδέτερο στοιχείο. Με άλλα λόγια, το X δοµείται σε µονοειδές. Το µονοειδές X έχει την παρακάτω καθολική ιδιότητα, που το καθιστά ελεύθερο : για κάθε µονοειδές M και για κάθε απεικόνιση φ : X M υπάρχει οµοµορφισµός µονοειδών φ : X M που επεκτείνει την φ. ηλαδή, φ (x) = φ(x) για κάθε x X. Γράφουµε µε KX τον διανυσµατικό χώρο µε ϐάση το X πάνω από το K. Ενα τυπικό στοιχείο του γράφεται µοναδικά n w w, w X όπου n w K και µόνο πεπερασµένου πλήθους από τους συντελεστές είναι δια- ϕορετικοί από το µηδέν. Εστω u = n g g, v = m h h KX. g X h X Χρησιµοποιώντας την παράθεση των λέξεων και την µεταθετικότητα των στοιχείων του K µε τις λέξεις, ορίζουµε το γινόµενο uv = w X ρ w w, όπου ρ w = g,h X n gm h και gh = w. Ετσι, για παράδειγµα, (2x 2 + xyx)(y + xy) = 2x 2 y + 2x 3 y + (xy) 2 + xyx 2 y για X = {x, y}. Αποδεικνύεται ότι το KX είναι προσεταιριστική K-άλγεβρα και, µάλιστα, είναι η ελεύθερη προσεταριστική K-άλγεβρα πάνω στο X. Την δοµή αυτή την συµβολίζουµε µε K X. Ετσι, τα στοιχεία της K X είναι «πολυώνυµα» µε µη µεταθετικές µεταβλητές. Εφοδιάζοντας την K X µε την πράξη [u, v] = uv vu για όλα τα u, v K X, η K X γίνεται Lie άλγεβρα. Ο Witt απέδειξε ότι η Lie υποάλγεβρα που παράγεται από το X είναι ελεύθερη και συµβολίζεται µε L(X ) ή L n. Συγκεκριµένα, αποδεικνύεται το παρακάτω Θεώρηµα. Για την απόδειξή του, παραπέµπουµε στο [4].

238 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. LIE ΑΛΓΕΒΡΕΣ ΚΑΙ ΟΜΑ ΕΣ Θεώρηµα 10.3 Εστω X ένα πεπερασµένο µη κενό σύνολο. Θεωρούµε την ελεύθερη προσεταιριστική K-άλγεβρα K X πάνω από το X ως Lie άλγεβρα µε πράξη [u, v] = uv vu για όλα τα u, v K X. Τότε, η Lie υποάλγεβρα L(X ) της K X που παράγεται από το X είναι ελεύθερη πάνω στο X. Το σύνολο X ονοµάζεται ϐάση της L n και το πλήθος των στοιχείων του καλείται ϐαθµίδα (rank) της L n και συµβολίζεται µε rank(l n ). Από εδώ και στο εξής, µε τον όρο ελεύθερη Lie άλγεβρα ϐαθµίδας n ϑα εννοούµε την L n. Για κάθε µη αρνητικό ακέραιο m, γράφουµε K m X τον διανυσµατικό υποχώρο της K X που παράγεται από όλες τις λέξεις µήκους m. Παρατηρούµε ότι K 0 X = K και K X = m 0 K m X. Γράφοντας L m n = K m X L n, για m 1, έχουµε ότι L n = m 1 L m n. Ετσι, το L m n είναι ο διανυσµατικός υποχώρος της L n που παράγεται από όλους τους Lie µεταθέτες [y i1,..., y im ], i 1,..., i m {1,..., n}. Ο διανυσµατικός υποχώρος L m n ονοµάζεται m-οστή οµογενής συνιστώσα της L n και η διάσταση του 1 είναι m d m µ(d)nm/d. Ενα ιδεώδες I της L n ονοµάζεται πλήρως αναλλοίωτο αν για κάθε ενδοµορφισµό φ της L n, έχουµε ότι φ(i) I. Πρόταση 10.1 Εστω I ένα γνήσιο πλήρως αναλλοίωτο ιδεώδες της L n, µε n 2. Τότε, I L n. Απόδειξη. Εστω {x 1,..., x n } ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της L n. ϑέτουµε ότι I L n. Τότε, υπάρχει Υπο- w = α 1 x 1 +... + α n x n + d I \ L n, όπου α i K, i = 1,..., n, d L n. Επειδή το I είναι ένα πλήρως αναλλοίωτο ιδεώδες και επειδή κάθε στοιχείο g GL n (K) µπορεί να ϑεωρηθεί ως αυτοµορφισµός της L n, µπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι όλα τα α i είναι διαφορετικά από το 0. Πράγµατι, έστω ότι w = αx 1 + d I µε α 0 και d L n. Για κάθε j {2,..., n}, ϑεωρούµε τον ενδοµορφισµό g j της L n τέτοιο, ώστε g j (x 1 ) = x 1 + x j και g j (x i ) = x i για i 2. Θεωρούµε τον ενδοµορφισµό g j της L n τέτοιο, ώστε g j (x 1) = x 1 x j και g (x i ) = x i για i 2. Λόγω του ότι η L n είναι ελεύθερη πάνω στο σύνολο {x 1,..., x n }, εύκολα προκύπτει ότι g j = g 1 j για j = 2,..., n. Θέτουµε h = g n g n 1... g 2. Τότε, h(w) = αx 1 + αx 2 +... + αx n + d I \ L n, όπου d L n. Για κάθε i {1,..., n}, έστω ψ i ο ενδοµορφισµός της L n τέτοιος, ώστε ψ i (x j ) = x i αν i = j και ψ i (x j ) = 0 αν i j. Αφού I είναι πλήρως αναλλοίωτο, ψ i (w) L n. Αλλά, ψ i (w) = ψ i (α 1 x 1 +... + α n x n + d) = α 1 ψ i (x 1 ) +... + α n ψ i (x n ) + ψ i (d) = α i x i + ψ i (d).

10.2. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ LIE ΑΛΓΕΒΡΑΣ 239 Συνεπώς, α i x i + ψ i (d) I. Αφού d είναι γραµµικός συνδυασµός Lie µεταθετών µε µήκος τουλάχιστον 2, έχουµε ότι ψ i (d) = 0. Εποµένως, I = L n, που είναι άτοπο. Οπως στις οµάδες, αν I είναι ένα πλήρως αναλλοίωτο ιδεώδες της L n, τότε η Lie άλγεβρα πηλίκο L n /I ονοµάζεται σχετικά ελεύθερη Lie άλγεβρα. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά µε πλήρως αναλλοίωτα ιδεώδη, ϱηµατικά ιδεώδη, πολλαπλότητες Lie αλγεβρών και σχετικά ελεύθερες Lie άλγεβρες, παραπέµπουµε τον αναγνώστη στα [1, 2]. 10.2.2 Ελεύθερο µάγµα Μάγµα ονοµάζεται η αλγεβρική δοµή αποτελούµενη από ένα µη κενό σύνολο και µία διµελής πράξη. Για το ελεύθερο µάγµα και για περαιτέρω µελέτη των Lie αλγεβρών, παραπέµπουµε τον αναγνώστη στο [7]. Εστω X ένα αλφάβητο (όχι απαραίτητα πεπερασµένο). Το ελεύθερο µάγµα M(X ) πάνω από το X αποτελείται από καλώς ορισµένες εκφράσεις του X που κατασκευάζονται επαγωγικά ως εξής : κάθε στοιχείο του X είναι καλά ορισµένη έκφραση. Αν t, t είναι καλά ορισµένες εκφράσεις, τότε η t = (t, t ) είναι µια καλά ορισµένη έκφραση. Ορίζουµε ϐαθµό του t να είναι t = (t, t ) = t + t. Αν t X, τότε t = 1. Στο σύνολο M(X ) ορίζουµε τη διµελή πράξη µε (t, t ) ((t, t )). M(X ) M(X ) M(X ) Παράδειγµα 10.1 Εστω X = {a, b}. Μερικά στοιχεία του M(X ) είναι: (a, a), (a, (a, b)), ((a, a), (b, a)). Οι ϐαθµοί των (a, a), (a, (a, b)), ((a, a), (b, a)) είναι 2, 3, 4, αντίστοιχα. Εστω E µία K-άλγεβρα (όχι απαραίτητα προσεταιριστική). Ενα µη κενό υποσύνολο I της K-άλγεβρας E ονοµάζεται ιδεώδες αν I είναι υποχώρος του E και x r, r x I για κάθε x I και r E. Με τη ϐοήθεια του ιδεώδους I, µπορούµε να ορίσουµε µία σχέση R I πάνω στο E x y (mod R I ) x y I όπου x, y E. Επειδή το I είναι ιδεώδες, η σχέση R I είναι σχέση ισοδυναµίας συµβιβαστή µε τις πράξεις της E. Αν x E, τότε η κλάση ισοδυναµίας [x] RI του x ισούται µε x + I. Επειδή η R I είναι συµβιβαστή, το σύνολο πηλίκο E/R I δοµείται µε ϕυσικό τρόπο σε K-άλγεβρα. Εστω D(X ) η ελεύθερη, µη προσεταιριστική, µη µεταθετική, χωρίς µοναδιαίο στοιχείο, K-άλγεβρα πάνω από το X. Μπορούµε να δούµε την D(X ), ως διανυσµατικό χώρο πάνω από το K µε ϐάση τα στοιχεία του ελεύθερου µάγµατος

240 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. LIE ΑΛΓΕΒΡΕΣ ΚΑΙ ΟΜΑ ΕΣ M(X ). Η διµελής πράξη στο M(X ) επεκτείνεται γραµµικά στο D(X ). Εστω I το ιδεώδες της D(X ) που παράγεται από τα στοιχεία xx, (xy)z + (yz)x + (zx)y για όλα τα x, y, z D(X ). Ορίζουµε L(X ) = D(X )/I. Οι πράξεις της D(X ) κληρονοµούνται στο L(X ). ηλαδή, (x + I) + (y + I) = (x + y) + I, λ(x + I) = λx + I και (x + I)(y + I) = xy + I για όλα τα λ K και x, y D(X ). Με τις παραπάνω πράξεις, το L(X ) δοµείται σε Lie άλγεβρα. Να σηµειώσουµε ότι ο Lie µεταθέτης στην L(X ) είναι : [x + I, y + I] = (x + I)(y + I) για όλα τα x, y D(X ). Για να δείξουµε ότι η L(X ) είναι ελεύθερη, αρκεί να δείξουµε ότι η L(X ) ικανοποιεί την καθολική ιδιότητα για Lie άλγεβρες και έτσι, η L(X ) είναι ελεύθερη πάνω στο X. Πράγµατι, έστω φ : X M µία απεικόνιση από το X σε µία Lie άλγεβρα M. Επειδή η D(X ) είναι ελεύθερη K-άλγεβρα πάνω από το X, η φ επεκτείνεται σε οµοµορφισµό φ (K-)αλγεβρών. Να παρατηρήσουµε ότι φ (uv) = [φ (u), φ (v)] για όλα τα u, v D(X ). Αλλά, φ (I) = {0 M } και έτσι, η φ επεκτείνεται σε οµοµορφισµό φ Lie αλγεβρών. Ουσιαστικά, φ(u + I) = φ (u) για όλα τα u D(X ). Τότε, φ([u + I, v + I]) = φ((u + I)(v + I)) = φ(uv + I) = φ (uv) = [φ (u), φ (v)] = [ φ(u + I), φ(v + I)] για όλα τα u, v D(X ). Για µη αρνητικό ακέραιο n, έστω D n (X ) ο διανυσµατικός υποχώρος του D(X ) που παράγεται από όλα τα t M(X ) µε t = n. Συµβολίζοντας µε D 0 (X ) = K, έχουµε ότι D(X ) = n 0 D n (X ). Οπότε, ο D 1 (X ) είναι ένας διανυσµατικός χώρος (πάνω από το K) µε ϐάση τα στοιχεία του X. Τα στοιχεία του D n (X ) ονοµάζονται οµογενή ϐαθµού n. Λόγω της διγραµµικότητας της πράξης της D(X ), το I παράγεται από οµογενή στοιχεία µε ϐαθµό 2. Επειδή ο «πολλαπλασιασµός» στο M(X ) αυξάνει τον ϐαθµό, έχουµε ότι I = n 1(D n (X ) I)

10.3. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ LIE ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΑΠΟ ΟΜΑ Α 241 και έτσι, L(X ) = n 1 L n (X ), όπου L 1 (X ) = D 1 (X ) και L n (X ) = (D n (X ) + I)/I για n 2. Παρατήρηση 10.1 Για την παραπάνω διάσπαση της L(X ), ϑα µπορούσε να γίνει χρήση και της κατασκευής της ελεύθερης Lie άλγεβρας L 1 (X ), µε την ϐοήθεια της ελεύθερης προσεταιριστικής K-άλγβερας. Να παρατηρήσουµε εδώ ότι η κατασκευή της L 1 (X ) πάνω στο X είναι ανεξάρτητη του πληθικού αριθµού του µη κενού συνόλου X. Ετσι, µε την ϐοήθεια του ελεύθερου µάγµατος, έχουµε ότι L 1 (X ) = L(X ) ως Lie άλγεβρες. Από εδώ, εύκολα προκύπτει η διάσπαση της L(X ) στις οµογενείς συνιστώσεις της. Οι παραπάνω κατασκευές των ελεύθερων Lie αλγεβρών L 1 (X ) και L(X ) στη- ϱίζονται στο ελεύθερο µονοειδές X και στο ελεύθερο µάγµα M(X ), αντίστοιχα. Η σχέση που συνδέει τις παραπάνω ελεύθερες αλγεβρικές δοµές είναι η εξής : Υπάρχει κανονική απεικόνιση f : M(X ) X µε f(x) = x για κάθε x X και f(t) = f(t )f(t ), όπου t = (t, t ) µε t 2. Παρατηρούµε ότι t = f(t). Το στοιχείο f(t) X ονοµάζεται ϕύλλωµα του t. 10.3 Κατασκευή Lie άλγεβρας από οµάδα Εστω G µία οµάδα. Σχηµατίζουµε το πηλίκο γ i (G)/γ i+1 (G) για κάθε i 1 και ορίζουµε ως L(G) = γ i (G)/γ i+1 (G) i 1 το (περιορισµένο) ευθύ άθροισµα των αβελιανών οµάδων γ i (G)/γ i+1 (G). Η L(G) έχει δοµή Lie δακτυλίου. Ο Lie µεταθέτης ορίζεται ως εξής : [aγ i+1 (G), bγ j+1 (G)] = (a, b)γ i+j+1 (G), όπου aγ i+1 (G) και bγ j+1 (G) είναι οι εικόνες των στοιχείων a γ i (G) και b γ j (G) στις οµάδες πηλίκο γ i (G)/γ i+1 (G) και γ j (G)/γ j+1 (G), αντίστοιχα, και (a, b)γ i+j+1 (G) είναι η εικόνα του µεταθέτη (a, b) στην οµάδα πηλίκο γ i+j (G)/γ i+j+1 (G). Ο «πολλαπλασιασµός» επεκτείνεται στον L(G) µε γραµµικό τρόπο. Ο L(G) καλείται ο συσχετιζόµενος Lie δακτύλιος της G ή ο Lie δακτύλιος που αντιστοιχεί στην G. Παρατήρηση 10.2 Με τη ϐοήθεια της ελεύθερης οµάδας F n και της παραπάνω κατασκευής ϑα δώσουµε έναν τρίτο τρόπο κατασκευής της ελεύθερης Lie άλγεβ- ϱας. Εστω H µία ελεύθερη αβελιανή οµάδα ϐαθµίδας n, n 2. ηλαδή, H = F n /F n = Z... Z }{{} n παράγοντες

242 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. LIE ΑΛΓΕΒΡΕΣ ΚΑΙ ΟΜΑ ΕΣ και X µία «ϐάση» της H. Εστω V X ο διανυσµατικός χώρος µε ϐάση το X πάνω από το K. Επειδή η H είναι ελεύθερη στρέψης, µπορούµε να ϑεωρήσουµε την H σαν υποσύνολο του V X. Κάνοντας χρήση της έννοιας του τανυστικού γινο- µένου, γράφουµε V X = K Z H. Για περισσότερες λεπτοµέρειες για το τανυστικό γινόµενο παραπέµπουµε τον αναγνώστη στο [3]. Εστω G = F n µία ελεύθερη οµάδα πεπερασµένης ϐαθµίδας n 2. Αποδεικνύεται ότι το πηλίκο γ i (F n )/γ i+1 (F n ) είναι ελεύθερη αβελιανή οµάδα µε ϐαθµίδα ίση µε την dim L i n (δες, για παράδειγµα, [6]). Σχηµατίζουµε την L(F n ) = m 1 γ m (F n )/γ m+1 (F n ) και L K (F n ) = m 1(K Z γ m (F n )/γ m+1 (F n )). Η L K (F n ) έχει τη δοµή Lie άλγεβρας πάνω από το K ορίζοντας λ(λ a) = λλ a και [λ a, λ a ] = λλ [a, a ], για κάθε λ, λ K και a, a L(F n ). Αποδεικνύεται ότι η L K (F n ) είναι ελεύθερη Lie άλγεβρα και µάλιστα, L K (F n ) = L n (ϐλ. [6]). Παράδειγµα 10.2 Εστω G η οµάδα Heisenberg. Η παράσταση της G είναι G = a, b (a, b, a) = (a, b, b) = 1 G. Εύκολα προκύπτει ότι η G = F 2 /γ 3 (F 2 ). ηλαδή, η G είναι ελεύθερη µηδενοδύναµη ϐαθµίδας 2 και κλάσης 3. Επίσης, κάθε στοιχείο της G γράφεται µοναδικά a κ b λ (a, b) m, κ, λ, m Z. Η G/G είναι ελεύθερη αβελιανή ϐαθµίδας 2, που παράγεται από το {ag, bg } και η G είναι άπειρη κυκλική οµάδα µε γεννήτορα το (ag, bg ). Θέτοντας x = ag, y = bg, έχουµε ότι L(G) = x, y [x, y]. Κάθε στοιχείο της L(G) γράφεται µοναδικά αx + βy + γ[x, y] µε α, β, γ Z. Από το τρόπο κατασκευής του Lie δακτυλίου προκύπτει ότι ο L(G) είναι µηδενοδύναµος κλάσης 3 και ότι παράγεται από το {x, y}. Ουσιαστικά, ο L(G) είναι ελεύθερη µηδενοδύναµη ϐαθµίδας 2 και κλάσης 3.

10.4. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 243 10.4 Ασκήσεις 1. Εστω L µία Lie άλγεβρα πάνω από σώµα K χαρακτηριστικής διαφορετική από το 2. Να δείξετε ότι [x, x] = 0 για κάθε x L αν και µόνο αν [x, y] = [y, x] για όλα τα x, y L. 2. Εστω L µία Lie άλγεβρα πάνω από σώµα K χαρακτηριστικής 2. Να δείξετε ότι η L είναι µη προσεταιριστικός, µεταθετικός δακτύλιος. 3. Εστω L µία Lie άλγεβρα πάνω από σώµα K και I ένα ιδεώδες της. (αʹ) Ορίζουµε πάνω στο L µία σχέση ως εξής : Για x, y L, x y αν και µόνο αν x y I. Να δειχθεί ότι η είναι σχέση ισοδυναµίας επί του L. Επιπλέον, δείξτε ότι [x] = x + I για κάθε x L. (ϐʹ) Στο σύνολο πηλίκο L/I ορίζουµε τις πράξεις (x + I) + (y + I) = (x + y) + I για κάθε x, y L, λ(x + I) = (λx) + I για κάθε λ K, x L και [x + I, y + I] = [x, y] + I για κάθε x, y L. είξτε ότι το L/I είναι Lie άλγεβρα. 4. Εστω L µία Lie άλγεβρα και I 1,..., I κ, κ 2, ιδεώδη της L. είξτε ότι τα I 1 +... + I κ και [I 1,..., I κ ] είναι ιδεώδη της L. 5. Εστω L 1, L 2 Lie άλγεβρες πάνω από το σώµα K και φ : L 1 L 2 ένας οµοµορφισµός Lie αλγεβρών. Να δείξετε ότι ο πυρήνας Kerφ είναι ιδεώδες της L 1 και η εικόνα Imφ είναι υποάλγεβρα της L 2. 6. Αποδείξτε το Θεώρηµα 10.2. 7. (αʹ) Εστω ότι η L(X i ) παράγεται ελεύθερα από το X i, i = 1, 2, και X 1 = X 2. είξτε ότι L(X 1 ) = L(X 2 ) ως Lie άλγεβρες. (ϐʹ) Εστω ότι η L(X i ) παράγεται ελεύθερα από το πεπερασµένο σύνολο X i, i = 1, 2, και L(X 1 ) = L(X 2 ). είξτε ότι X 1 = X 2. 8. Εστω G µία οµάδα και L(G) ο συσχετιζόµενος Lie δακτύλιος της G. Να επαληθεύσετε ότι στο L(G) ισχύει η ταυτότητα Jacobi. 9. Εστω G µία οµάδα και L(G) ο συσχετιζόµενος Lie δακτύλιος της G. Να δείξετε ότι γ κ (L(G)) = κ 1 γ κ(g)/γ κ+1 (G). 10. Εστω F n,c = F n /γ c+1 (F n ), µε n 2. είξτε ότι ο L(F n,c ) είναι ελεύθερος µηδενοδύναµος Lie δακτύλιος. 11. Εστω L µία Lie άλγεβρα πάνω από το σώµα K. (αʹ) Για ϕυσικό αριθµό n 2, έστω Sn το σύνολο των µεταθέσεων π του συνόλου {1,..., n} για τις οποίες υπάρχει κ, 0 κ n 1, έτσι, ώστε π(1) >... > π(κ) > π(κ + 1) < π(κ + 2) <... < π(n). Θέτουµε s(π) = ( 1) κ. Να δείξετε ότι, αν b, y 1,..., y n L, τότε [b, [y 1,..., y n ]] = s(π)[b, y π(1),..., y π(n) ]. π S n

244 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. LIE ΑΛΓΕΒΡΕΣ ΚΑΙ ΟΜΑ ΕΣ (ϐʹ) Εστω X ένα υποσύνολο της L. Να δείξετε ότι η Lie υποάλγεβρα της L που παράγεται από το X είναι ο διανυσµατικός υποχώρος της L που παράγεται από όλους τους Lie µεταθέτες [y 1,..., y n ], µε n > 0, και y 1,..., y n X. (γʹ) Εστω ότι η L παράγεται από το σύνολο Y και έστω X ένα υποσύνολο της L. Να δείξετε ότι το ιδεώδες της L που παράγεται από το X είναι ο διανυσµατικός υποχώρος της L που παράγεται από όλους τους Lie µεταθέτες [b, y 1,..., y n ], µε n 0, b X, y 1,..., y n Y. 12. (αʹ) Εστω G µία οµάδα. Μία σειρά υποοµάδων της G G = G 1 G 2 G 3... ονοµάζεται ισχυρή κεντρική σειρά της G, αν (G i, G j ) G i+j για όλα τα i, j. είξτε ότι για τους όρους µιας ισχυρής κεντρικής σειράς ισχύει ότι G i G και G i /G i+1 Z(G/G i+1 ) για όλα τα i. (ϐʹ) Εστω G = G 1 G 2 G 3... µία ισχυρή κεντρική σειρά της οµάδας G. είξτε ότι υπάρχει Lie δακτύλιος L, µοναδικός µέχρι ισοµορφίας, που έχει τις παρακάτω ιδιότητες : i. Για κάθε ϑετικό ακέραιο i, υπάρχει µονοµορφισµός αβελιανών οµάδων σ i : G i /G i+1 L και αν L i = Imσ i, τότε L = i 1 L i. ii. Αν x G i και y G j, τότε [σ i (xg i+1 ), σ j (yg j+1 )] = σ i+j ((x, y)g i+j+1 ). iii. Υποθέτουµε ότι ο M είναι ένας Lie δακτύλιος και για κάθε i 1, υπάρχει ένας οµοµορφισµός ρ i από την G i /G i+1 στον M τέτοιος, ώστε αν x G i και y G j, τότε [ρ i (xg i+1 ), ρ j (yg j+1 )] = ρ i+j ((x, y)g i+j+1 ). είξτε ότι υπάρχει ένας οµοµορφισµός Lie αλγεβρών θ έτσι, ώστε θσ i = ρ i για κάθε i 1. Επιπλέον, δείξτε ότι αν κάθε ρ i είναι µονοµορφισµός και το άθροισµα των Imρ i είναι ευθύ, τότε ο θ είναι µονοµορφισµός. 10.5 Οδηγός για περαιτέρω µελέτη Amayo, R.K. & Stewart, I. (1974). Infinite-dimensional Lie algebras, Noordhoff International Publishing, Leyden, The Netherlands. Bahturin, Y. (1987). Identical relations in Lie algebras, VNU Science Press, Utrecht.

10.5. Ο ΗΓΟΣ ΓΙΑ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΜΕΛΕΤΗ 245 Bourbaki, N. (1987). Lie Groups and Lie algebras, Hermann, Paris. Curtis, C.W. & Reiner, I. (1962). Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras. Wiley, New York. Erdman, K. & Wildon, M.J. (2006). Introduction to Lie algebras, Springer- Verlag London Ltd. Huppert, B. & Blackburn, N. (1982). Berlin-Heidelberg-New York. Finite Group II, Springer-Verlag, Jacobson, N. (1962). Lie algebras, Dover Publications, Inc. New York. Khukhro, E.I. (1993). Nilpotent Groups and their automorphisms. De Gruyter Expositions in Maths. 8, Walter de Gruyter, New York. Lothaire, M. (1997). Combinatorics on words, Encyclopedia of Mathematics and Applications v. 17, Cambridge University Press. Lyndon, R.C. & Schupp, P.E. (1977). Combinatorial Group Theory, Springer, Berlin-Heidelberg-New York. Magnus, W., Karrass, A. & Solitar, D. (1966). Combinatorial Group Theory, Wiley, New York. Reutenauer, C. (1993). Free Lie algebras, Oxford University Press Inc., Oxford.

246 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. LIE ΑΛΓΕΒΡΕΣ ΚΑΙ ΟΜΑ ΕΣ

Βιβλιογραφία [1] Amayo, R.K. & Stewart, I. (1974). Infinite-dimensional Lie algebras, Noordhoff International Publishing, Leyden, The Netherlands. [2] Bahturin, Y. (1987). Identical relations in Lie algebras, VNU Science Press, Utrecht. [3] Curtis, C.W. & Reiner, I. (1962). Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras. Wiley, New York. [4] Jacobson, N. (1962). Lie algebras, Dover Publications Inc., New York. [5] Lothaire, M. (1997). Combinatorics on words, Encyclopedia of Mathematics and Applications v. 17, Cambridge University Press, Cambridge. [6] Magnus, W., Karrass, A. & Solitar, D. (1966). Combinatorial Group Theory, Wiley, New York. [7] Reutenauer, C. (1993). Free Lie algebras, Oxford University Press Inc., Oxford. 247