ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Θεωρία Ι 2016-17 Λύσεις Πρώτου Πακέτου Ασκήσεων Άσκηση 1 1. α) Αν βάλουµε την ποσότητα του αγαθού X στον οριζόντιο και την ποσότητα του Υ στον κάθετο άξονα, η εισοδηµατική γραµµή θα είναι η ευθεία που τέµνει τον κάθετο άξονα στο 60 και τον οριζόντιο άξονα στο a>0.β) Επειδή 60=Μ/pΥ, αν pυ=10 θα έχουµε ότι Μ=600. γ) Επειδή α=μ/pχ=40, τότε για M=600 που βρήκαµε στο (β), θα έχουµε pχ=15.δ) Αν δε γνωρίζουµε τιµές και εισόδηµα, οι µόνες πληροφορίες που έχουµε είναι Μ/pΥ=60 και Μ/pΧ=40. Καθώς έχουµε 2 εξισώσεις και 3 αγνώστους, δεν µπορούµε να βρούµε τις τιµές παρά µόνο συναρτήσει του Μ, αφού κάθε διαφορετικό επίπεδο εισοδήµατος αντιστοιχεί και σε διαφορετικές τιµές των αγαθών. Αυτό που µπορούµε να υπολογίσουµε είναι ο λόγος των τιµών pχ/pυ, ο οποίος ισούται µε 3/2.ε) Η ευθεία που αντιστοιχεί στα σηµεία (0,60) και (a,0) είναι 60x+ay=60a. στ) Από το (γ), έχουµε M=600 και pχ=15. Η εισοδηµατική γραµµή είναι η ευθεία που τέµνει τον κάθετο άξονα στο 60 και τον οριζόντιο άξονα στο 40. Αν pχ=30, τότε η νέα εισοδηµατική γραµµή θα είναι η ευθεία που τέµνει τον κάθετο άξονα στο 60 και τον οριζόντιο άξονα στο 20 (=600/30). Η ωφέλεια του ατόµου θα επηρεαστεί, διότι κανένα από τα καλάθια πάνω στην προηγούµενη εισοδηµατική γραµµή (εκτός από το (0,60)) δεν είναι διαθέσιµο τώρα. Συνεπώς, µε την αλλαγή της τιµής, το άτοµο θα επιλέξει ένα καλάθι που θα του δίνει µικρότερη ωφέλεια. Άσκηση 2 Η ερώτηση ίσως δέχεται διαφορετικές ερµηνείες για το τί ακριβώς εννοούµε µε το σχήµα U και. Μια χαλαρή ερµηνεία φαίνεται στο πρώτο σχήµα. Στα παρακάτω διαγράµµατα θεωρούµε πως η χρησιµότητα ανεβαίνει από 1 έως 3. (α) διάγραµµα οι οµελέτες μας αρέσουν αλλά τα δηµητριακά όχι. Είναι κυρτές καθώς το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ είναι σε σηµεία που προτιµάµε από τα δύο άκρα που βρίσκονται στην ίδια καµπύλη αδιαφορίας. Στο (β) είναι και τα δύο κακά αλλά κυρτές, κ.λ.π.
Μια πιο αυστηρή ερµηνεία για το σχήµα U και φαίνεται στο παρακάτω διάγραµµα. Αυτή η περίπτωση είναι πιο σύνθετη καθώς παίζει και µε την έννοια του κορεσµού. Σε όλα τα διαγράµµατα υπάρχει κάποιο είδος κορεσµού για το αγαθό x. Στο διάγραµµα (α) το y είναι καλό και το x είναι καλό στην αρχή αλλά µετά από ένα σηµείο έρχεται κορεσµός και γίνεται κακό. Στο διάγραµµα (β) το y είναι κακό και το x παραµένει όπως και στο (α). Και στις δύο περιπτώσεις ένας κυρτός συνδυασµός πάντα προτιµάται. Οποιοδήποτε ευθύγραµµο τµήµα βρίσκεται σε προτιµόµενους συνδυασµούς από δύο άκρα που βίσκονται στην ίδια καµπύλη αδιαφορίας. Στο διάγραµµα (γ) το y είναι κακό αλλά το x ξεκινάει κακό και µετά από ένα σηµείο γίνεται καλό (ένα είδος αντι-κορεσµού!). Δεν είναι εύκολο να σκεφθούµε παραδείγµατα. Μια περίπτωση θα ήταν να µην σου αρέσει να φοράς µέχρι 3 βραχιόλια (να προτιµάς 0 από 1, 1 από 2, και 2 από 3) αλλά µετά να θέλεις όλο και περισσότερα. Άλλο παράδειγµα θα ήταν να τρως κάτι πολύ καυτερό που στην αρχή δεν το αντέχεις και µετά από ένα σηµείο να το απολαµβάνεις. Στο διάγραµµα (δ) το y είναι καλό και το x είναι όπως στο (γ). Και στις δύο περιπτώσεις (γ) και (δ) οι προτιµήσεις είναι µη κυρτές καθώς οποιαδήποτε σηµεία σε ευθύγραµµο τµήµα προτιµάται λιγότερο από τα δύο άκρα που βρίσκονται στην ίδια καµπύλη αδιαφορίας. Οι καµπύλες αδιαφορίας απεικονίζονται παρακάτω. Υπάρχουν και άλλα εξίσου σωστά παραδείγµατα προτιµήσεων. Σηµειώστε ότι οι καµπύλες αδιαφορίας µπορεί να είναι κυρτές και να έχουν σχήµα.
Άσκηση 3
Άσκηση 4 Ένα παράδειγμα συνάρτησης ωφέλειας με σημείο κορεσμού το (6,7) είναι η U=-(x-6)^2 (y-7)^2 όπου η U έχει μέγιστο 0 στο σημείο κορεσμού.
Άσκηση 5 Αν x είναι η ποσότητα των µπουκαλιών του 1 λίτρου και y είναι η ποσότητα των µπουκαλιών του µισού λίτρου, τότε η συνάρτηση ωφέλειας είναι u(x,y)=2x+y, και οι καµπύλες αδιαφορίας θα είναι ευθείες µε κλίση 2. Αν τώρα PΧ<2PY, τότε PΧ/PY<2 ή PΧ/PY> 2, και άρα ο εισοδηµατικός περιορισµός θα έχει µεγαλύτερη κλίση (κατά απόλυτη τιµή) από την καµπύλη αδιαφορίας, και συνεπώς, το άτοµο θα καταναλώνει µόνο µπουκάλια του 1 λίτρου (δες και άσκηση 2). Άρα, x=m/pχ και y=0. Άσκηση 6 Η συνάρτηση ωφέλειας της Κατερίνας είναι u(x Κ,x Ζ )=min{x Κ,x Ζ }, όπου x Κ η ποσότητα καφέ και x Ζ η ποσότητα ζάχαρης. Αν x Κ =x Ζ =50, τότε η ωφέλεια είναι ίση µε 50, και επιπλέον κατανάλωση από οποιοδήποτε αγαθό χωρίς να αυξηθεί και το άλλο, δε θα προκαλέσει καµιά αλλαγή στην ωφέλεια. (Για παράδειγµα, αν x Κ =51, x Ζ =50, τότε επειδή min{51,50}=50, η ωφέλεια θα παραµείνει 50). Συνεπώς, η οριακή ωφέλεια από κάθε αγαθό είναι µηδενική. Αν τώρα x Κ =40, x Ζ =50, τότε µία παραπάνω µονάδα καφέ οδηγεί σε αύξηση της ωφέλειας κατά µία µονάδα, και άρα MU Κ =1. Μια παραπάνω µονάδα ζάχαρης δεν οδηγεί σε αύξηση της ωφέλειας, και άρα MU Ζ =0. (Παρατήρηση: Θα µπορούσε κανείς να πάρει τη συνάρτηση ωφέλειας u(x Κ,x Ζ )=min{αx Κ,αx Ζ } για οποιοδήποτε a>0. Στην περίπτωση αυτή, αν x Κ =40 και x Ζ =50, MU Κ =α. Πρόκειται για τη γενικότερη περίπτωση της λύσης που αναφέρεται πιο πάνω, και για την οποία, a=1). Άσκηση 7
Άσκηση 8