15/1/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 10 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil kastoria.teikoz.gr/elearn ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 1 Συνεχής τυχαίες μεταβλητές Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Ονομάζεται κάθε πραγματική συνάρτηση f η οποία έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: 1. f(x) 0, για κάθε x R. f(x)dx =1 + 3. P(α X β) = β α f(x)dx ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 1
15/1/009 Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας ή αθροιστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (α.σ.κ.π.) οομάζεαη ονομάζεται συνάρτηση F(x) = P(X x) = x - f(x)dx ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3 Περιγραφικά μέτρα τυχαίων μεταβλητών Αναμενόμενη ή μέση τιμή μιας τ.μ. Αν f είναι η συνάρτηση πιθανότητας της τ.μ. Χ τότε η Ε[Χ] ορίζεται ως εξής: + E[X] = xf(x)dx Παράδειγμα: Να βρεθεί η μέση τιμή της τ.μ. Χ, η οποία έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την x f( x) =, x [ 0,] ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 4
15/1/009 Διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής Χ σ = Var[X] = Ε[ Χ Ε( Χ)] = E[X ]- ( E[X] ) όπου E[X ] = + x f(x)dx Τυπική απόκλιση σ = Var[X] ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5 Παραδείγματα 1) Η τ.μ. Χ έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: ( + 5)/5, 5 0 f() x = { x x ( x+ 5)/5, 0< x 5 i. Να βρεθούν οι: α) P(X>), b) P(X<-1), c) P(-<X<3) ii. Να βρεθούν η μέση τιμή και η διασπορά ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 3
15/1/009 ) Η τ.μ. έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: f ( x ) = { 0., 0, θ x θ αλλου i. Να βρεθεί η σταθερά θ. ii. Να βρεθεί η P(-1<X<) και η P(X>1,5). iii.να βρεθεί η σταθερά c: P(X>c)=0.8 ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 7 Κανονική κατανομή Μία τυχαία μεταβλητή Χ θα λέμε ότι ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ και τυπική απόκλιση σ, αν η συνάρτηση πιθανότητας της έχει τη μορφή: με f(x) = σ 1 π e (x μ) σ < x <, < μ <, σ > 0. Συμβολίζουμε X ~ N( μ, σ ) ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 8 4
15/1/009 Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής F(x), δηλαδή δή η πιθανότητα η τ.μ. Χ να παίρνει τιμές μικρότερες ή ίσες της τιμής x, δίνεται από τη σχέση: x (x μ) σ 1 F(x) = P(X x) = f(x)dx = e dx σ π x ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 9 Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Συνάρτηση αθροιστικής κατανομής ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 10 5
15/1/009 Τυπική κανονική κατανομή Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η τυπική κανονική κατανομή που είναι η πιο απλή μορφή της κανονικής κατανομής, δηλαδή για μ=0 και σ=1. Για να ξεχωρίζουμε την τ.μ. που ακολουθεί τυπική κανονική κατανομή συμβολίζουμε με Ζ και είναι Ζ~Ν(0,1). Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι 1 f(z) = e, < z < + π z ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 11 Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της τυπικής κανονικής κατανομής συμβολίζεται Φ(z) και είναι Φ(z) = P(Z z) = Ιδιότητες: z f(z)dz= z 1 π e z dz, < z < 1. P(Z z) = Φ(z). Φ(-z) = P(Z -z) = P(Z > z) = 1 P(Z z) = 1 Φ(z) 3. P(z1 Z z) = Φ(z) - Φ(z1) ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 1 6
15/1/009 Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας τυπικής κανονικής κατανομής ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 13 Κάθε τ.μ. Χ που ακολουθεί την κανονική κατανομή μπορεί να μετασχηματιστεί στη Ζ με τον απλό μετασχηματισμό X μ X N Z N σ ~ ( μσ, ) = ~ (0,1). ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 14 7
15/1/009 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Έστω ότι η τ.μ. Χ ~ Ν(5,16). Να υπολογιστούν οι παρακάτω πιθανότητες α) P(X>6) b) P(3<X<6) c) Να βρεθεί η σταθερά c έτσι ώστε P( X-5 < c ) = 0.95 (Φ(0.5)=0.5987, Φ(0.5)=0.6915, Φ(1.96)=0.975) ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ) Η κατανομή της τ.μ. Χ είναι κανονική με μ = 50 και σ =5. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες: a) P(X>6) b) P(X = 60) c) P( X-60 <8 ) ( Φ(.4) = 0.9918, Φ(0.4) = 0.6554, Φ(3.6) = 1 ) ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 16 8
15/1/009 3) Το βάρος σε kg των φοιτητών ακολουθεί κανονική κατανομή Ν(68,100). α) ) Τι ποσοστό των φοιτητών έχει βάρος μεγαλύτερο από 75 κιλά? β) Παίρνουμε τυχαία 5 φοιτητές. Ποια η πιθανότητα ένας να έχει βάρος μεγαλύτερο από 75 κιλά και οι 4 το πολύ 75 κιλά ο καθένας? ( Φ(0.7) = 0.7580 ) ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 17 Προσέγγιση διωνυμικής κατανομής από κανονική κατανομή Αποδεικνύεται το ακόλουθο θεώρημα: Αν η τ.μ. Χ παριστάνει τον αριθμό τον επιτυχιών σε ν ανεξάρτητες δοκιμές ενός πειράματος στο οποίο p είναι η πιθανότητα επιτυχίας σε μία δοκιμή, τότε η τυχαία μεταβλητή X vp vp (1 p ) ακολουθεί μία κατανομή η οποία προσεγγίζει την τυπική κανονική κατανομή Ν(0,1) καθώς ο αριθμός των δοκιμών αυξάνεται απεριόριστα. ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 18 9
15/1/009 Παράδειγματα: 1)Ρίχνουμε ζάρια 10 φορές και καταγράφουμε το άθροισμα των εδρών σε κάθε ρίψη. Να βρεθούν οι πιθανότητες το άθροισμα 7 να εμφανιστεί: α) τουλάχιστον 15 φορές β) από 0 μέχρι και 30 φορές (Φ(1.) = 0.8888, Φ(.44) = 0.995, Φ(0) = 0.5) ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 19 ) Σε μία πόλη θέλουμε να εκτιμήσουμε το ποσοστό των ψηφοφόρων που είναι υπέρ της κατασκευής ενός έργου και γι αυτό επιλέξαμε ένα αντιπροσωπευτικό δείγμα 00 ψηφοφόρων. Ποια είναι η πιθανότητα η πλειοψηφία των ατόμων του δείγματος να είναι εναντίον του έργου, όταν στην πραγματικότητα μόνο το 45% των ψηφοφόρων είναι εναντίον; ( Φ(1.56) = 0.9406 ) ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 0 10