Ενότητα 3 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής Ρ x x ν α. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού. Τις ιδιότητες των ριζών θετικού πραγματικού αριθμού. Να αναγνωρίζουμε και να υπολογίζουμε δυνάμεις με ρητό εκθέτη. ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Ρίζες πραγματικών αριθμών 53
54 ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Ρίζες πραγματικών αριθμών
Ρίζες Πραγματικών Αριθμών Διερεύνηση (1) Γιατί οι αριθμοί ανήκουν στο σύνολο των τετράγωνων αριθμών; Ποια σχέση έχουν με το τετράγωνο; Χωρίς να χρησιμοποιήσετε υπολογιστική μηχανή να υπολογίσετε την πλευρά ενός τετραγώνου του οποίου το εμβαδόν είναι. Γιατί οι αριθμοί ανήκουν στο σύνολο των τέλειων κύβων; Ποια σχέση έχουν με τον κύβο; Χωρίς να χρησιμοποιήσετε υπολογιστική μηχανή να υπολογίσετε την πλευρά ενός κύβου του οποίου ο όγκος είναι. Διερεύνηση (2) Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα, όπως στα παραδείγματα: Τι παρατηρείτε; ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Ρίζες πραγματικών αριθμών 55
Διερεύνηση (3) Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα, σύμφωνα με το παράδειγμα: Πολυώνυμο σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Πολυώνυμο Εξίσωση Λύση εξίσωσης Τι παρατηρείτε; 56 ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Ρίζες πραγματικών αριθμών
Μαθαίνω Λύση ή ρίζα πολυωνύμου είναι κάθε αριθμός, τέτοιος ώστε η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου για να είναι ίση με, δηλαδή. Για να υπολογίσουμε κατά πόσο υπάρχουν ρίζες ενός πολυωνύμου της μορφής, μελετούμε αν υπάρχουν λύσεις της εξίσωσης, με βάση τα πιο κάτω: Αν ο είναι άρτιος φυσικός αριθμός, τότε έχει: i. ακριβώς δύο ρίζες (λύσεις), μια θετική και την αντίθετη αρνητική, αν ii. ακριβώς μια ρίζα (λύση), το, αν iii. καμία ρίζα (λύση), αν Αν ο είναι περιττός φυσικός αριθμός, τότε έχει: i. ακριβώς μια ρίζα (λύση), θετική, αν ii. ακριβώς μια ρίζα (λύση), το, αν iii. ακριβώς μια ρίζα (λύση), αρνητική, αν Η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού συμβολίζεται με όπου θετικός ακέραιος και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί σε δύναμη με εκθέτη, δίνει τον. Δηλαδή, αν. και, τότε η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης Δείκτης Ριζικού Σύμβολο Ριζικού ν α νοστή ρίζα του α Υπόριζος Ποσότητα Παράδειγμα: (το είναι η θετική λύση της εξίσωσης ) Από τα πιο πάνω προκύπτει ότι: (α) (β) (γ) ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Ρίζες πραγματικών αριθμών 57
Ιδιότητες ριζών θετικού πραγματικού αριθμού (α) ( ), για κάθε και θετικός ακέραιος. Δηλαδή: Αφού τότε ( ) (β) για κάθε και θετικός ακέραιος. Απόδειξη: Η παράσταση είναι θετική, γιατί και. Ισχύει: ( ) ( ) ( ). Αφού, προκύπτει ότι. Από την ιδιότητα για κάθε και θετικός ακέραιος προκύπτει ότι: για κάθε ( ), για κάθε θετικό ακέραιο ( ) (γ), για κάθε και και θετικός ακέραιος. Απόδειξη: Η παράσταση είναι θετική, γιατί και.. Ισχύει: ( ) ( ) ( ). Αφού προκύπτει ότι. (δ), για κάθε και θετικοί ακέραιοι. Απόδειξη: Η παράσταση είναι θετική, γιατί. Ισχύει: ( ) [( ) ] ( ). Αφού προκύπτει ότι. 58 ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Ρίζες πραγματικών αριθμών
(ε) γι κ ι θετικοί ακέραιοι. Απόδειξη: ( ) ( ) [( ) ] ή με βάση την ιδιότητ ε έχουμε Αν και θετικός ακέραιος, τότε ισχύει η ισοδυναμία Αν, ( θετικοί ακέραιοι) Αν, ( θετικοί ακέραιοι) Διερεύνηση της εξίσωσης ( θετικός ακέραιος) Αν είναι περιττός, τότε Αν είναι άρτιος, τότε ή Αν είναι περιττός, τότε Αν είναι άρτιος, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Ρίζες πραγματικών αριθμών 59
Παραδείγματα 1. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: (α) (β) (γ) (δ) (ε) (α) (β) (γ) (δ) (ε) 2. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις (άρρητες): (α) (β) (γ) (δ) (α) (β) (γ) (δ) 3. Να κάνετε τις πράξεις: (α) ( )( ) (β) ( ) (γ) ( )( ) (δ) ( ) (α) ( )( ) (β) ( ) ( ) (γ) ( )( ) ( ) (δ) ( ) ( ) 60 ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Ρίζες πραγματικών αριθμών
4. Να μετατρέψετε τις πιο κάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή. (α) (β) (γ) (α) ( ) (β) (γ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) (β) (γ) (α) ( και περιττός, τότε ) (β) ( και περιττός, τότε ) (γ) ή } ή } ή ( και άρτιος, τότε ή ) 6. Να λύσετε την εξίσωση. Για να έχει πραγματική λύση η εξίσωση, πρέπει, δηλαδή. ( ) (, δεκτή) ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Ρίζες πραγματικών αριθμών 61
Δραστηριότητες 1. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) 2. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τους πιο κάτω ισχυρισμούς, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) φυσικός ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (β) φυσικός ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (γ) φυσικός ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (δ) Για κάθε πραγματικό αριθμό ισχύει ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (ε) Αν, τότε ( ) ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (στ) Αν, τότε ισχύει ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ 3. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) ( ) 4. Να κάνετε τις πράξεις: (α) ( )( ) (β) ( ) (γ) (δ) 62 ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Ρίζες πραγματικών αριθμών
5. Να μετατρέψετε τις πιο κάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή. (α) (β) (γ) και (δ) (ε) (ζ) 6. Να υπολογίσετε το, αν. 7. Αν και, να δείξετε ότι οι παραστάσεις και είναι ίσες. 8. Αν και, να αποδείξετε ότι. 9. Να αποδείξετε ότι. 10. Να αποδείξετε ότι ο ( ) είναι ρητός, αν ο είναι θετικός ρητός. 11. Αν, και τότε: Α.. Β. Γ. Δ. Ε. 12. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) (β) (γ) 13. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) (β) (γ) (δ) ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Ρίζες πραγματικών αριθμών 63
Δυνάμεις με ρητό εκθέτη Διερεύνηση Να συμπληρώσετε τον πίνακα: Δύναμη - Ρίζα Ισοδύναμη πράξη Χ4 ( ) ( ) ( ) ( ) Τι παρατηρείτε για τη σχέση μεταξύ ρίζας και δύναμης ενός θετικού πραγματικού αριθμού; 64 ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Ρίζες πραγματικών αριθμών
Μαθαίνω Μια παράσταση της μορφής, όπου, ακέραιος και θετικός ακέραιος, ονομάζεται δύναμη με ρητό εκθέτη. Ορίζουμε ότι: Αν θετικοί ακέραιοι, τότε ορίζουμε. Επίσης, για κάθε φυσικό και ισχύει: Αποδεικνύεται ότι όλες οι ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη ισχύουν και για δυνάμεις με ρητό εκθέτη, δηλαδή: ( ) Ειδικότερα, όταν, ορίζουμε: ( ) Παρατήρηση: Αν άρτιος και περιττός ισχύει μόνο όταν. Αν η δεν ορίζεται γιατί (διότι περιττός). Για να συγκρίνουμε παραστάσεις με ρίζες, χρησιμοποιούμε μια από τις πιο κάτω ιδιότητες: ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Ρίζες πραγματικών αριθμών 65
Παραδείγματα 1. Να υπολογίσετε τις πιο κάτω παραστάσεις: (α) (β) (γ) (α) ή (β) ( ) (γ) ( ) 2. Να υπολογίσετε τις πιο κάτω παραστάσεις χωρίς τη χρήση υπολογιστικής μηχανής: (α) (β) (α) ( ) ( ) (β) 3. Να λύσετε την εξίσωση. Υψώνουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης στην ώστε ο εκθέτης του να γίνει : ( ) 66 ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Ρίζες πραγματικών αριθμών
4. Να γράψετε τη ρίζα σε μορφή δύναμης με ρητό εκθέτη, όταν ο α είναι πραγματικός αριθμός. Είναι γνωστό ότι η δύναμη με ρητό εκθέτη ορίζεται, όταν η βάση είναι μη αρνητικός αριθμός. Έτσι, λοιπόν, όταν ο α είναι πραγματικός αριθμός, διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν, τότε Αν, τότε και, έχουμε: Επομένως, είναι: { ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Ρίζες πραγματικών αριθμών 67
Δραστηριότητες 1. Να υπολογίσετε με ακρίβεια τις πιο κάτω παραστάσεις: (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) ( ) (ζ) ( ) (η) (θ) 2. Να συμπληρώσετε με το κατάλληλο σύμβολο, ώστε οι σχέσεις που θα προκύψουν να είναι αληθείς και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας: (α) (β) (γ) (δ) (ε) ( ) ( ) 3. Να λύσετε τις εξισώσεις για πραγματικές τιμές του : (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) 4. Να εκτελέσετε τις πράξεις και να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: (α) (β) (γ) 5. Η απόσταση (σε ) ενός επιταχυνόμενου αυτοκινήτου δίνεται από τη σχέση, όπου είναι ο χρόνος σε. Να βρείτε τον χρόνο που κινήθηκε το αυτοκίνητο αν η απόσταση που κάλυψε είναι. 6. Να αποδείξετε ότι ( ),. 7. Να μετατρέψετε τις παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρανομαστή. 68 ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Ρίζες πραγματικών αριθμών
Δραστηριότητες Ενότητας 1. Να συγκρίνετε τους αριθμούς: (α), (β), (γ), 2. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) (β) (γ) 3. Αν και, να αποδείξετε ότι: (α) (β) (γ) 4. Με την προϋπόθεση ότι ορίζονται οι παραστάσεις, να υπολογίσετε τις τιμές των όταν:. ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Ρίζες πραγματικών αριθμών 69
Δραστηριότητες Εμπλουτισμού 1. Αν, και, να αποδείξετε ότι. 2. Aν και να δείξετε ότι. 3. Να λύσετε τις εξισώσεις:. (α) (β) (γ) 4. Αν να απλοποιήσετε την παράσταση: 5. Να λύσετε τις εξισώσεις για πραγματικές τιμές του : (α) (β) (γ) 6. Αν, να διατάξετε από τη μικρότερη προς τη μεγαλύτερη τις αριθμητικές τιμές των πιο κάτω παραστάσεων:. 7. Να αποδείξετε ότι. 8. Αν ο είναι φυσικός αριθμός, να αποδείξετε ότι. Με τη βοήθεια του πιο πάνω ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο να δείξετε ότι: 70 ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Ρίζες πραγματικών αριθμών