i) Nα δείξετε ότι η περιστροφή των κυλίνδρων δεν επηρεάζει την ισορ ροπία του δοκαριού.

Δύο ακριβώς όµοιοι κύλινδροι µπορούν να στρέ φονται περί τους γεωµετρικούς τους άξονες, οι οποίοι είναι σταθεροί, βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και απέχουν µεταξύ τους από σταση α. Ένα λεπτό ξύλινο δοκάρι σταθερής διατοµής σε όλο το µή κος του, τοποθετείται πάνω στους κυλίνδρους κάθετα στους άξονες περιστροφής τους, ώστε το κέντρο µάζας του να ισαπέχει από τις ευθείες επαφής του µε τις επιφάνειες των κυλίνδρων. Mε κατάλληλο µηχανισµό θέτουµε τους κυλίνδρους σε περιστροφική κίνηση µε αντίθετες φορές περιστροφής. i) Nα δείξετε ότι η περιστροφή των κυλίνδρων δεν επηρεάζει την ισορ ροπία του δοκαριού. ii) Eάν η φορά περιστροφής των κυλίνδρων είναι από έξω προς τα µέσα σχ. ) και το δοκάρι µετατοπιστεί οριζόντια κατά x από την θέση ισορροπίας του κατά την διεύθυνσή του και αφεθεί ελεύθερο, να µελετήσετε την κίνησή του. iii) Nα µελετηθεί η κίνηση του δοκαριού όταν οι κύλινδροι στρέφονται αντίθετα απ ότι προηγουµένως, δηλαδή µε φορά από τα τα µέσα προς τα έξω σχ. 3). iv) Τι είδους κίνηση θα εκτελέσει το δοκάρι αν οι δύο κύλινδροι στρέ φονται οµόρροπα κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού σχ. 4); Δίνονται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης n µεταξύ του δοκαριού και των κυλίνδρων, η επιτάχυσνη g της βαρύτητας και ότι η γωνιακη ταχύτητα των κυλίνδρων είναι σταθερή. ΛYΣH i) Oταν οι κύλινδροι δεν περιστρέφονται το δοκάρι ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους του w και των δυνάµεων επαφής N, N των κυλίν δρων, οι οποίες είναι κατακόρυφες και εξουδετερώνουν το βάρος w, δηλαδή ισχύει η σχέση: w = N + N ) Όταν οι κύλινδροι περιστρέφονται τροποποιούνται οι δυνάµεις επαφής που δέ χεται το δοκάρι. Συγκεκριµένα οι δύο δυνάµεις επαφής αναλύονται στις κατα κόρυφες συνιστώσες N και N και στις οριζόντιες συνιστώσες T και T, οι οποίες σύµφωνα µε το αξίωµα της ισότητας µεταξύ δράσης και αντίδρασης είναι αντίθετες των τριβών ολίσθησης που δέχονται οι περιστρεφόµενοι κύλινδροι

από το δοκάρι. Eπειδή οι τριβές ολίσθησης επί των κυλίνδρων είναι αντίρροπες προς τις ταχύτητες των σηµείων επαφής τους µε το δοκάρι, οι δυνάµεις T και T θα είναι οµόρροπες προς τις ταχύτητες αυτές, δηλαδή θα έχουν κατεύθυνση προς το κέντρο K του δοκαριού, όταν η φορά περιστροφής των κυλίνδρων είναι Σχήµα αυτή που φαίνεται στο σχήµα ). Eξάλλου για τα µέτρα των δυνάµεων T, ισχύουν οι σχέσεις: T = nn = nw/ " T = nn = nw/ T = T 3) H σχέση 3) δηλώνει ότι οι οριζόντιες δυνάµεις T, T αλληλοαναιρούνται, οπότε δεν διαταράσσεται η ισορροπία του δοκαριού από την περιστροφή των κυλίνδρων. ii) Aς εξετάσουµε το δοκάρι, όταν η οριζόντια αποµάκρυνσή του από την θέση ισορροπίας του θέση στην οποία το κέντρο του K ταυτίζεται µε το µέσον O της σταθερής ευθείας A A ) είναι x. Eπειδή η περιστροφή της ράβδου περί άξονα T Σχήµα διερχόµενο απο το κέντρο της K είναι απαγορευτική, θα ισχύει: " ) = N / + x) - N / - x) = 4) Όµως η ράβδος δεν µετατοπίζεται κατακόρυφα οπότε θα έχουµε N +N =w και η

4) γράφεται: N / + x) - w - N )/ - x) = N / + N x + N / - N x = w/ - x) N = w - x)/ N = w - x)/ 5) Συνδυάζοντας την N +N =w µε την 5) λαµβάνουµε τελικά για το µέτρο της N την σχέση: N = w + x)/ 6) Για τις δυνάµεις T και T έχουµε: T = nn 5) " T = nw - x)/ $ T = nn 6) T = nw + x)/ % $ 7) Ανάγοντας όλες τις δυνάµεις στο κέντρο µάζας Κ του δοκαριού προκύπτει για το κέντρο µάζας οριζόντια συνισταµένη δύναµη µε αλγεβρική* τιµή ΣF) που υπολογίζεται από την σχέση: F) = T - T 7 ) F) = nw - x)/ - nw + x)/ F) = nw - x - - x)/ = -nwx/ = -nmgx/ F) = -Dx µε D=nmg/α 8) Μολονότι η σχέση 8) παραπέµπει στον µονοδιάστατο αρµονικό ταλαντωτή η συνισταµένη δύναµη επί του κέντρου µάζας είναι µη συντηρητική δύναµη διότι οι τριβές T και T είναι µη συντηρητικές δυνάµεις, που σηµαίνει ότι το κέν τρο µάζας του δοκαριού δεν αποτελεί αρµονικό ταλαντωτή. Όµως η διαφορική εξίσωση της κίνησής του έχει την ίδια µορφή µε εκείνη του αρµονικού ταλαν τωτή και το γεγονός αυτό µας επιτρέπει αβίαστα να χρησιµοποιήσουµε για τις αλγεβρικές τιµές της αποµάκρυνσης x και της ταχύτητας v τις σχέσεις: x = x µ"t + ) " v = x "$%&"t + ) $ 9) Oι σχέσεις 9) εφαρµοζόµενες την χρονική στιγµή t= δίνουν: x = x µ" = x $%&" " $ = " -------------------------------------- * Ως θετική φορά πάνω στην διεύθυνση κίνησης του κέντρου µάζας του δοκα ριού ελήφθη η φορά της αποµάκρυνσης x.

Άρα η τελική µορφή της εξίσωσης κίνησης του δοκαριού είναι: x = x µ t +"/) = x "$t ) µε ω =D/m=nmg/mα=ng/α Aπό την παραπάνω ανάλυση προκύπτει ότι το κέντρο µάζας του δοκαριού εκτελεί οριζόντια περιοδική κίνηση µεταξύ των θέσεων +x και x, η οποία µπορεί να χαρακτηριστεί ως αρµονική ταλάντωση, λόγω της εµφάνισης του όρου συνωt. H περίοδος T της ταλάντωσης αυτής υπολογίζεται από την σχέση: T = m D = m" nmg = " ng ) δηλαδή η περίοδος της µεταφορικής κίνησης του δοκαριού είναι ανεξάρτητη της µάζας του. Παρατηρήσεις: Α) Στην διάρκεια της κίνησης του δοκαριού οι τριβές που δέχονται οι τροχοί και το δοκάρι παράγουν ανά περίοδο αρνητικό έργο, δηλαδή εξ αιτίας των τριβών αυτών το σύστηµα τροχοί-δοκάρι απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον ενέργεια που µετασχηµατίζεται σε θερµότητα. Με τον τρόπο αυτόν συντηρείται η κίνηση του δοκαριού και η περιστροφή των τροχών. Β) Η εξίσωση κίνησης του δοκαριού σχέση 9) προέκυψε µε την προυπόθεση ότι κατά την κίνηση του δοκαριού οι τριβές T και T πρέπει να διατηρούν την φορά που φαίνεται στο σχήµα ). Θεωρώντας το χρονικό διάστηµα που η ταχύτητα v του δοκαριού είναι από Α σε Α τότε η σχετική ταχύτητα των σηµείων Α του δοκαριού ως προς τον αντίστοιχο κύλινδρο θα είναι οµόρροπη της v και η φορά της T θα είναι η επιθυµητή, δηλαδή αντίρροπη της σχετικής ταχύτητας, Εξάλλου στα σηµεία Α πρέπει η σχετική τους ταχύτητα ως προς τον αντίστοιχο κύλινδρο να είναι αντίρροπη της v, ώστε η τριβή T να έχει την επιθυµητή φορά και αυτό θα συµβαίνει εφ όσον ισχύει ΩR v όπου Ω το σταθερό µέτρο της γωνιακής ταχύτητας των κυλίνδρων και R η ακτίνα τους, Στην ίδια δέσµευση θα καταλήξουµε εξετάζοντας το δοκάρι κατά το χρονικό διάστηµα που η ταχύτητά του έχει φορά από το Α στο Α. Η παραπάνω δεσµευτική σχέση ικανοποιείται κάθε στιγµή, αν λάβει την µορφή: R " v max R " x R " x ng " x R ng ) Γ) Το δοκάρι δεν πρέπει να χάνει την στηριξή του µε τους δύο κυλίνδρους, που σηµαίνει ότι πρέπει να ισχύει: N "$ N δηλαδή πρέπει

nw - x) x "t $ " x / 3) Οι ) και 3) αποτελούν δεσµευτικές σχέσεις για να είναι ασφαλής η αρµο νική ταλάντωση του δοκαριού. iii) Όταν αντιστραφεί η φορά περιστροφής των κυλίνδρων θα αλλάξει και η φορά των τριβών σχ. 3) T και T εφαρµόζοντας δε στην περίπτωση αυτή για το κέντρο µάζας Κ του δοκαριού, κατά την οριζόντια διεύθυνση, τον δεύτερο νόµο κινήσης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: w g d 7) x dt = T - T w g d x nw + x) = - dt nw - x) d x dt = ng 4x) d x dt - ng x = d x dt - x = 4) Η 4) είναι µια οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές της οποίας το χαρακτηριστικό πολυώνυµο έχει ρίζες ±ω, οπότε η λύση της είναι της µορφής: x = C e t + C e -t 5) Σχήµα 3 όπου C, C σταθερές ολοκληρώσεως που θα βρεθούν από τις αρχικές συνθήκες κινήσεωςς του δοκαριού. Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο t την 5) παίρ νουµε την αλγεβρική τιµή της ταχύτητας v του δοκαριού, δηλαδή θα έχουµε: v = dx dt = C et - C e -t 6) H 5) και 6) για t= δίνουν: x = C + C = C - C " $ C = C = x / οπότε οι τελικές µορφές των 5) και 6) είναι: x = x et + e ) -t 7)

και v = x et - e ) -t 8) Παρατηρήσεις: Α) Oι σχέσεις 7) και 8) προέκυψαν µε τις εξής δύο προυποθέσεις: Πρώτον, ότι κατά την κίνηση του δοκαριού οι τριβές T και T πρέπει να δια τηρούν την φορά που είχαν κατά το ξεκίνηµά του, που σηµαίνει ότι η σχετική ταχύτητα του σηµείου επαφής Α ως προς τον αντίστοιχο κύλινδρο πρέπει να έχει φορά αντίθετη της ταχύτητας v και η σχετική ταχύτητα του σηµείου επαφης Α ως προς τον αντίστοιχο κύλινδρο πρέπει να είναι οµόρροπή της v. Και τα δύο εξασφαλίζονται εφ όσον κατά την διάρκεια της κίνησης του δοκα ριού ισχύει ΩR v, δηλαδή πρέπει ο χρόνος κίνησης t του δοκαριού να δεσµεύε ται µε την σχέση: x et - e ) -t " R et - e -t " R x 9) Δεύτερον, ότι το δοκάρι δεν χάνει την στηριξή του µε τους δύο κυλίνδρους, που σηµαίνει ότι πρέπει να ισχύει: N nw - x) x) 7) x et + e ) -t " et + e -t " x ) Oι σχέσεις 9) και ) αποτελούν δεσµεύσεις για τον χρόνο κίνησης του δοκα ριού, ώστε αυτή να περιγράφεται από την σχέση 7). Β) Αν αναζητήσουµε τις αρχικές συνθήκες κινήσεως του δοκαριού, ώστε η στα θερά ολοκλήρωσής C να είναι µηδενική, θα έχουµε µε βάση τις 5) και 6) τις σχέσεις: x = C e -t " v = - C e -t $ t= x = C v = - C " $ v = -x δηλαδή την στιγµή t= πρέπει να δοθεί µε κατάλληλο τρόπο στο δοκάρι αρχική ταχύτητα v αντίρροπη του αρχικού διανύσµατος θέσεως x του κέντρου του ως προς το Ο και µέτρου ωx. Στην περίπτωση αυτή οι εξισώσεις κινήσεως και ταχύτητας θα έχουν την µορφή: x = x e -t " v = -x e -t $ από τις οποίες προκύπτει ότι σε άπειρο θεωρητικά χρόνο το κέντρο του δοκα ριού θα φθάσει στο Ο x=) µε µηδενική ταχύτητα.

iv) Όταν οι κύλινδροι στρέφονται κατα την φορά κινήσεως των δεικτών του ρο λογιού οι τριβές T και T σε πρώτο στάδιο θα έχουν την φορά που φαίνεται στο σχήµα 4) όταν το δοκάρι αφήνεται εκ της ηρεµίας σε µια θέση. Στην περί πτωση αυτήν ο δεύτερος νόµος κίνησης του Νεύτωνα δίνει: w g d 4) x dt = T + T w g d x nw + x) = + dt nw - x) d x dt = ng ) Η ) δηλώνει ότι το δοκάρι θα εκτελεί οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση µε επι τάχυνση µέτρου ng. Όταν οι αρχικές συνθήκες κινήσεώς του είναι x= και v=, τότε για την µετατόπισή του x και την ταχύτητά του v θα ισχύουν οι σχέσεις: x = µgt / " v = µgt ) Σχήµα 4 Στις σχέσεις ) ο χρόνος t πρέπει να δεσµεύεται, ώστε οι τριβές να έχουν στην διάρκεια της κινήσεως του δοκαριού την φορά που αντιστοιχεί στο ξεκί νηµα του και επί πλέον να µη χάνει την στήριξή του µε τους κυλίνδρους, δηλα δή πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: ngt "R ngt / / $ % & t "R / ng t / ng $ % & P.M. fysikos Στις άκρες λεπτής ράβδου µήκους L και αµελη τέας µάζας, έχουν στερεωθεί δύο µικρά σφαιρίδια της ίδιας µάζας m και το σύστηµα στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα, περί κατακόρυφο άξονα Οz που διέρχεται από το µέσο Ο της ράβδου και σχηµατίζει γωνία φ µε αυτήν. i) Να δείξετε ότι η στροφορµή L του συστήµατος περί το Ο και η γω

νιακή του ταχύτητα δεν είναι συγγραµµικά διανύσµατα και ότι ικανοποιούν την σχέση: L " ) = K όπου Κ η κινητική ενέργεια του συστήµατος. ii) Nα βρείτε τις οριζόντιες συνιστώσες των δυνάµεων που δέχεται ο άξονας περιστροφής από τα έδρανα στήριξής του. Δίνεται η απόστα ση α των εδράνων. ΛΥΣΗ: i) Kατά την κίνηση του συστύµατος τα σφαιρίδια διαγράφουν κυκ λικές τροχιές, των οποίων τα κέντρα βρίσκονται στον άξονα περιστροφής Οz τα δε επίπεδά τους είναι κάθετα στον άξονα αυτόν σχ. 5). Επειδή η ράβδος έχει αµελητέα µάζα η στροφορµή του συστήµατος περί το Ο είναι περίπου ίση µε την αντίστοιχη στροφορµή των δύο σφαιριδίων Σ και Σ, δηλαδή ισχύει η σχέση: L = L + L L = m r v ) + m r v ) ) Σχήµα 5 Σχήµα 6 όπου r, r τα διανύσµατα θέσεως των σφαιριδίων Σ και Σ αντιστοίχως και v, v οι ταχύτητές τους την στιγµή που εξετάζουµε το σύστηµα. Όµως κάθε στιγµή τα διανύσµατα r, r είναι αντίθετα µεταξύ τους το ίδιο δε συµβαινει και για τα v, v, οπότε η σχέση ) γράφεται: L = m r v ) + m - [ r ) - v )] = m r v ) ) Εάν x, y, z είναι οι συντεταγµένες του σφαιριδίου Σ ως προς το τρισορθο γώνιο σύστηµα αξόνων Οxyz, τότε το διάνυσµα r εκφράζεται µε την σχέση: r = x i + y j + z k 3) Όµως για τις συντεταγµένες x, y, z έχουµε:

x y z = O ' "$%t = O ' &µ%t = O )"$' * ) + * x y z = O )"µ $%&'t = O )"µ "µ't = O )$%& * ) * + x y z = Lµ"$%&t = Lµ"µ&t = L$%" ' ) ) * όπου ωt η γωνία που σχηµατίζει η προβολή O ' του διανύσµατος r στο επί πεδο Οxy µε τον άξονα Oy, την χρονική στιγµή t που εξετάζουµε το σύστηµα. Συνδυάζοντας τις 3) και 4) παίρνουµε την σχέση: ) 5) r = L µ"$%&t i +µ"µ&t j + $%" k Παραγωγίζοντας την 5) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την ταχύτητα v, δηλα δή θα έχουµε: 4) v = d r dt ) 6) = L -"µ"µt i +"µ$%&t j Με βάση τις σχέσεις 5) και 6) η ) γράφεται: L = ml i j k "µ$%&t "µ "µt $%& -"µ "µt "µ$%&t L = ml -"µ$%&$%&t i - "µ$%&"µt j + [ + µ "µ t + µ "$%& t) k ] L = ml -"µ "µt i - "µ$%&t j + "µ k Για το εξωτερικό γινόµενο L " ) = ml " [ ] 7) i L " ) έχουµε: j k -µ $µ"t -µ $%&'"t µ $ " ) ' = ml "µ -$%&t i +"µt j που σηµαίνει ότι τα διανύσµατα L και δεν είναι συγγραµµικά. Εξάλλου για το εσωτερικό γινόµενο L " ) έχουµε: =

L " ) = ml "-µ$µ"t - µ $%&'"t + µ $" ) L " ) = ml " µ $ 8) H κινητική ενέργεια Κ του συστήµατος είναι: K= mv + mv = mv = m v x K=mL ' -"µ"µt ) +v y ) ) + "µ$%&t) * +, =ml "µ η οποία συνδυαζόµενη µε την 8) δίνει την αποδεικτέα σχέση: L " ) = K ii) Επειδή το κέντρο µάζας Ο του συστήµατος είναι ακίνητο, σύµφωνα µε το θεώρηµα κίνησης του κέντρου µάζας οι οριζόντιες συνιστώσες των δυνάµεων που δέχεται ο άξονας περιστροφής από τα έδρανα στήριξής του Α και Β πρέπει να αποτελούν ζεύγος δυνάµεων F,- F ) του οποίου η ροπή είναι: = d L dt 7) ) 9) = ml " µ $ -%&'"t i +µ"t j όπου d L /dt ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής του συστήµατος. Εάν F x, F y είναι οι συνιστώσες της F, τότε η ροπή εκφράζεται και µε την σχέση: ) = = BA " F i j k F x F y = -F y i + F x 9) j F y = -ml " µ $%&'"t ) F x = ml " µ $ µ"t * F = - y ml /" )µ $%&'t * ) F x = ml /" )µ$ µt + * ) To µέτρο των δυνάµεων του ζεύγους είναι: F = F x + F y 9) F = ml "µ/$ ) %&' t + ml "µ /$ ) "µ t F = ml "µ /$ = σταθερό B Tρόπος: Θεωρούµε τρισορθογώνιο σύστηµα Οxyz κύριων αξόνων αδρά νειας του συστήµατος ράβδος-σφαιρίδια, ακλόνητα συνδεδεµένο µε αυτό, του

οποίου ο άξονας Οx συµπίπτει µε την ράβδο, ο άξονας Οy ανήκει στο επίπεδο που καθορίζει η ράβδος και ο άξονας περιστροφής, ενώ ο άξονας Οz είναι κάθετος στο επίπεδο αυτό σχ. 7). Οι προβολές ω x, ω y, ω z της γωνιακής ταχύτη τας στους άξονες αυτούς είναι: ω x =ωσυνφ, ω y =ωηµφ, ω z = ) Eάν e x, e y, e z είναι τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy, Oz αντι στοίχως, θα έχουµε: ) = x e x + y e y + z e z = "$% e x + &µ% e y ) Η στροφορµή L του συστήµατος περί το Ο, δίνεται από την σχέση: L = I x x e x + I y y e y + I z z e z L = I x "$% e x + I y &µ% e y 3) όπου Ι x, I y, I z οι ροπές αδράνειας του συστήµατος ως προς τους κύριους άξονες Οx, Oy, Oz αντιστοίχως, για τις οποίες ισχύει: Ι x =, I y = I z = ml Έτσι η σχέση 3) παίρνει την µορφή: L = ml "µ e y 4) Σχήµα 7 Aπό την 4) προκύπτει ότι η στροφορµή L δεν είναι συγγραµµική µε την γωνιακή ταχύτητα, αλλά σχηµατίζει µε αυτήν γωνία θ=π/-φ. Για το εσω τερικό γινόµενο L " ) έχουµε, σύµφωνα µε τις ) και 3) την σχέση: L " ) = ml "µ$ "µ$ = ml " µ $ 5) Eξάλλου η κινητική ενέργεια Κ του σύστήµατος είναι:

K = I x x + I y y + I z z ) K = I y y = ml "µ = ml "µ 6) Συνδυάζοντας τις σχέσεις 5) και 6) παίρνουµε την αποδεικτέα σχέση: L " ) = K 7) ii) Επειδή το κέντρο µάζας Ο του συστήµατος είναι ακίνητο, σύµφωνα µε το θεώρηµα κίνησης του κέντρου µάζας οι οριζόντιες συνιστώσες F, F των δυνάµεων που δέχεται ο άξονας περιστροφής από τα έδρανα στήριξής του πρέπει να αποτελούν ζεύγος δυνάµεων, του οποίου η ροπή είναι: = d L dt = d " L % $ dt ' & + ) * L ) 8) όπου d L /dt ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής θεωρούµενος σ ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς λογουχάρη στο σύστηµα αναφοράς του εδά φους) και d L /dt) ο αντίστοιχος ρυθµός µεταβολής της στροφορµής θεω ρούµενος στο στρεφόµενο µη αδρανεικό) σύστηµα αναφοράς Οxyz. Όµως σύµφωνα µε την σχέση 4) ο ρυθµός αυτός είναι µηδέν, οπότε η 8) γράφεται: = " L ),4) ) $ [ e ) ml "'µ& e y y )] = "$%& e x + "'µ& = ml " µ$%&'$ e x e y ) = ml " µ $ e z 9) Εάν F είναι το κοινό µέτρο των δυνάµεων F, F η 9) γράφεται: F e z = ml " µ $ e z F = ml "µ /$ P.M. fysikos Μικρό σώµα βάλλεται από σηµείο Ο του οριζόν τιου εδάφους υπό γω νία φ ως προς αυτό, µε αρχική ταχύτητα v. i) Να εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο t την στροφορµή του σώµατος περί το Ο, καθώς και την αντίστοιχη ροπή του βάρους του. ii) Να επαληθεύσετε ότι ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής του είναι κάθε στιγµή ίσος µε την ροπή του βάρους. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αµελητέα.

ΛΥΣΗ: i) Το σώµα κινείται στο κατακόρυφο επίπεδο Οxy που περιέχει το διάνυσµα v της αρχικής του ταχύτητας, οι δε συντεταγµένες του x, y κατά την τυχαία χρονική στιγµή t, δίνονται από τις σχέσεις: x = v t"$ y = v t%µ$ - gt / & ' Tο διάνυσµα θέσεως r του σώµατος µε αρχή το Ο κατά την στιγµή t είναι: ) r = x i + y ) j r =v t"$ i +v t%µ$ - gt /) j ) όπου i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy αντιστοίχως. Εξάλλου η ταχύτητα v του σώµατος κατά την στιγµή t είναι: v = v x i + vy j = v "$ i + v %µ$ - gt) j 3) H αντίστοιχη στροφορµή L του σώµατος περί το σηµείο Ο, δίνεται από την σχέση: L = m r v ) = m i j k x y z vx vy vz = m i j k x y vx vy Σχήµα 8 L = mxvy - yv x ) k = m[v t"$v %µ$ - gt) - - v tµ" - gt /)v $%"] k L =m[v t"$%µ$ - gv t "$ - v t"$%µ$ +gv t "$/)] k L = -mgv t "$/) k 4) όπου k το µοναδιαίο διάνυσµα του κάθετου στο επίπεδο Οxy άξονα Οz. Η ρο πή του βάρους w του σώµατος περί το Ο, υπολογίζεται µέσω της σχέσεως:

= r " m g ) = i j k x y -mg = -xmg k = -mgv t$%& k 5) ii) Ο ρύθµός µεταβολής της στροφορµής L θα προκύψει µε παραγώγιση της σχέσεως 4) ως προς τον χρόνο, οπότε θα έχουµε: d L dt = d dt % ' & -mgv t "$ d L dt = -mgt"$ k 5) * ) k = % ' & -mgv t"$ * ) k d L dt = 6) Η 6) αποτελεί την αποδεικτέα σχέση. P.M. fysikos Τροχός µάζας m και ακτίνας R, εφάπτεται ενός οριζόντιου δοκαριού µάζας Μ µε το οποίο παρουσιάζει αρκετά µεγάλο συντελεστή οριακής τριβής, ο οποίος επιτρέπει την κύλιση χωρίς ολίσθηση του τροχού πάνω στο δοκάρι. Το δοκάρι βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπε δο και συνδέεται µε το ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k του οποίου το άλλο άκρο στερεώνεται ώστε το ελατήριο να είναι οριζόντιο σχ. 9) Κάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή του χρόνου εξασκείται στο δοκάρι οριζόντια δύναµη F που µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: F = F "$t i όπου F, ω θετικές και σταθερές ποσότητες και i το µοναδιαίο διά νυσµα του οριζόντιου άξονα x x. Να µελετηθεί η κίνηση του δοκαριού και του τροχού στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου. Να δεχθείτε ότι την στιγµή t= το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος και ότι τόσο ο τροχός όσο και το δοκάρι είναι ακίνητα. Δίνεται ακόµη η ροπή αδράνειας Ι C =mr / του τροχού ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του και διερχόµενο από το κέντρο του C και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το σύστηµα κάποια στιγµή t που το ελατήριο είναι επι µηκυµένο κατά x από την φυσική του κατάσταση. O τροχός δέχεται το βάρος του w και την αντίδραση του δοκαριού, η οποία αναλύεται στην κάθετη αντί δραση N και στην τριβή T, που είναι στατική τριβή, αφού ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο δοκάρι. Εξάλλου τo δοκάρι κατά την διεύθυνση κί νησής του x x δέχεται την δύναµη F, την αντίδραση - T της τριβής T και την δύναµη F " από το παραµορφωµένο ελατήριο, συµφωνα δε µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα έχουµε την σχέση:

F "$t - T - F %& = Ma ' F "$t - T - kx = Ma % ) όπου a Δ η επιτάχυνση του δοκαριού αλγεβρική τιµή) στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου την στιγµή που εξετάζουµε το σύστηµα. Εφαρµόζοντας τον ίδιο νό µο για την κίνηση του κέντρου µάζας C του δίσκου παίρνουµε την σχέση: T = ma C ) Σχήµα 9 όπου a C η αντίστοιχη επιτάχυνση του κέντρου µάζας του δοκαριού αλγεβρική τιµή). Όµως η τριβή T παρουσιάζει ροπή περί το κέντρο µάζας C του τροχού, µε αποτέλεσµα να προκαλεί περιστροφή αυτού περι άξονα που διέρχεται από το C και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Η γωνιακή επιτάχυνση ' του τροχού έχει κάθε στιγµή αλγεβρική τιµή, που ικανοποιεί τον θεµελιώδη νόµο της στρο φικής κίνησης, δηλαδή την σχέση: TR = I C ' TR = mr mr ' T = ' 3) Σχήµα όπου Τ η αλγεβρική τιµή της τριβής T. Όµως η κυλιση χωρίς ολίσθηση του τροχού επιβάλλει να θεωρήσουµε κοινή την επιτάχυνση των σηµείων επαφής Α του τροχού µε το δοκάρι είτε αυτά είναι σηµεία του τροχού είτε σηµεία του δο καριού, oπότε θα ισχύει η σχέση: a C + 'R = a " 'R = a " - a C 4) η οποία συνδυαζόµενη µε την 3) δίνει: ) T = ma -a C )/ ma C = ma -a C )/ 3a C = a a C = a / 3 5)

και η ) παίρνει την µορφή: T = ma / 3 6) Λόγω της προηγούµενης σχέσεως η ) γράφεται: F "$t - ma % / 3 - kx = Ma % 3F "$t - 3kx = 3M + m)a % 3F "$t = 3M + m) d x dt + 3kx d x dt + 3kx 3M + m = 3F "$t 3M + m d x dt + x = F "$t 7) m µε = k/m και m = M + m/3. Για την λύση της διαφορικής εξίσωσης 7) ακολουθούµε την εξής διαδικασία. Δοκιµάζουµε ως µερική λύση της 7) την συ νάρτηση: x t) = Aµ"t + B$%"t 8) οπότε µε διπλή παραγώγιση αυτής θα έχουµε: dx t)/dt = A"$t - B%µt d x t)/dt = -A "µt - B $%t 9) Αντικαθιστώντας στην 7) την τιµή της δεύτερης παραγώγου από την 9) παίρ νουµε την σχέση: -A "µt - B $%t + A"µt + B$%t) = F $%t /m A - A)"µt + B - B - F /m )$%t = ) Επειδή η ) πρέπει να ισχύει για κάθε t>, αυτό εξασφαλίζεται από τις σχέ σεις: A - A = " B - B - F /m = $ A - ) = " B - ) = F /m $ A = " B=F /m - ) $ µε ω ω. Συνδυάζοντας τις πιο πάνω σχέσεις µε την 8) παίρνουµε:

F x t) = "$t m $ - $ ) ) Η λύση της αντίστοιχης οµογενούς της 7) έχει την µορφή: x t) = C µ" t + C $%" t ) όπου C, C σταθεροί συντελεστές, που θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του δοκαριού. Η γενική λύση xt) της 7) θα προκύψει ως άθροισµα των λύσεων x t) και x t), δηλάδη: ),) xt) = x t) + x t) xt) = Παραγωγίζοντας την 3) ως προς τον χρόνο έχουµε: F "$t m $ - $ ) + C %µ$ t + C "$ t 3) dxt) dt = - F "µt m - ) + C $% t - C "µ 4) Για t= οι σχέσεις 3) και 4) δίνουν: =F /m - )+C " =C $ C =- F /m - ) " C = $ Η τελική εποµένως µορφή της 8) είναι: xt) = F "$t m $ - $ ) - F "$ t m $ - $ ) xt) = F "$t- "$ t) m $ - $ ) Ι) Η Ι) αποτελεί την εξίσωση κίνησης του δοκαριού στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου και ισχύει εφ όσον ω ω. Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση xt) προκύπτει ως επαλ ληλια δύο συνηµιτονικών συναρτήσεων µε διαφορετικές κυκλικές συχνότητες ω κα ω και το ερώτηµα που εγείρεται είναι ποια είναι η φυσιογνωµία της κίνησης του δοκαριού. Μπορούµε να διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: i) Οι κυκλικές συχνότητες ω, ω έχουν τυχαίες τιµές. Στην περίπτωση αυτή η χρονική µεταβολή της µετατόπισης του δοκαριού είναι πολύπλοκη και δεν εκφράζει κάποιο συγκεκριµένο νόµο. ii) Οι κυκλικές συχνότητες ω, ω έχουν λόγο που είναι ρητός αριθ µός, δηλαδή ικανοποιούν µια σχέση της µορφής ω/ω =n /n όπου n, n θετικοί ακέραιοι πρώτοι µεταξύ τους.

Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση xt) είναι περιοδική µε περίοδο Τ που δίνεται από την σχέση: Τ=π/n ω= π/n ω δηλαδή στην περίπτωση αυτή η κίνηση του δοκαριού θα είναι περιοδική, αλλά όχι αρµονική. iii) Οι κυκλικές συχνότητες ω, ω διαφέρουν πολύ λίγο µεταξύ τους, δηλαδή ισχύει ω/ω. Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση xt) είναι περιοδική µε περίοδο: Τ π/ω π/ω και έχει την µορφή διακροτήµατος, δηλαδή η µετατόπιση του δοκαριού θα µεταβάλλεται αρµονικά µε τον χρόνο, αλλά το πλάτος της είναι διαµορφωµένο στον ρυθµό µιας χαµηλής κυκλικής συχνότητας ω -ω) /. Συγκεκριµένα στην περίπτωση αυτή η σχέση Ι) µπορεί να πάρει την µορφή: -F xt) = m - ) "µ - )t "µ + )t xt) -F m " - " ) µ " - ")t µ"t ΙΙ) Σχήµα H γραφική παράσταση της ΙΙ) είναι η καµπύλη του σχήµατος ) iv) H κυκλική συχνότητα ω της εξωτερικής δύναµης F τείνει προς την τιµη ω " ). Στην περίπτωση αυτή το δεύτερο µέλος της σχέσεως Ι) καθίσταται απροσδιό ριστο και για να αρθεί η απροσδιοριστία του εφαρµόζουµε τον κανόνα de L Ηοspital, οπότε θα έχουµε: & $%t - $% lim t) + = " ' - * lim d$%t - $% t)/d " lim d - )/ d " =

lim -tµt) " = lim -) " = tµ t Άρα η οριακή µορφή της xt) όταν ω ω, δηλαδή στην κατάσταση κάποιου είδους συντονισµού του συστήµατος είναι: xt) = F m tµ " t) " ΙΙΙ) Η σχέση ΙΙΙ) δεν εκφράζει ηµιτονική µεταβολή της µετατόπισης του δοκαριού, αλλα µια πολύπλοκη χρονική εξέλιξη αυτής κατά την οποία παίρνει τιµές που αυξάνονται χρονικά προς το άπειρο και αυτό οφείλεται στον όρο tηµω t). Για να γίνει αυτό αντιληπτό χρησιµοποιούµε την γνωστή σχέση: III) - "µ t) + - m " tf xt) + - F t " xt) " + F t m m ΙV) Σχήµα Από την IV) παρατηρούµε ότι οι ευθείες x * t)= ±F t/m ω αποτελούν την περι βάλουσα της συνάρτησης III), η οποία οριοθετεί τις τιµές της xt) και την κα τευθύνει προς το άπειρο σχ. ). Είναι προφανές ότι η περίπτωση αυτή έχει καθαρά θεωρητικό χαρακτήρα, διότι στην πράξη κανένα ελατήριο δεν αντέχει σε τέτοιες παραµορφώσεις. Αν στην συνέχεια εντοπίσουµε την προσοχή µας στην κίνηση του κέντρου µά ζας C του κυλιόµενου τροχού πρέπει να αξιοποιήσουµε την 5), η οποία γράφε ται: d x C = d 7) x dt 3 dt d x C dt = F "$t - $ I) 3m 3 xt)

d x C dt = F "$t - $ F "$t- "$ t) 3m 3m $ - $ ) d x C = F % "$ t - "$t dt 3m ' & - * ) Με ολοκλήρωση η πιο πάνω σχέση δίνει: dx C dt = F 3m - ) "µ t - "µt ) + K Όµως η σταθερά ολοκλήρωσης Κ είναι µηδενική, διότι την στιγµή t= η ταχύ τητα του κέντρου µάζας του τροχού είναι µηδενική, οπότε µε νέα ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσεως θα έχουµε: x C = F ) + K 3m - ) -"$ t+ "$t Eάν η αρχική απόσταση του κέντρου µάζας του τροχού από την αρχή Ο του άξονα x είναι x η σταθερά ολοκληρώσεως Κ είναι x και η πιο πάνω σχέση παίρνει την µορφή: x C = F "$t - "$ t ) 3m $ - $ ) + x V) H V) αποτελεί την εξίσωση κίνησης του κέντρου µάζας του τροχού και είναι της ίδιας µορφής µε την Ι), που σηµαίνει ότι µπορούµε να επαναλάβουµε τα ίδια σχόλια για την κίνηση του κέντρου µάζας του τροχού. Τέλος αν φ είναι η γωνιακή εκτροπή του τροχού σε χρόνο t λόγω της περιστροφής του, η κύλισή του επιβάλλει την σχέση: V) x C - x = Rt) t) = F "$%t - "$% t ) 3m R% - % ) κ.λ.π. P.M. fysikos