Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Σελ.. Τ σύνολ των ριθµών:. Ν: οι Φυσικοί ριθµοί Ν = {0,,,, 4,.. } β. Ζ: οι Ακέριοι ριθµοί Ζ = {. -, -, -, 0 +, +, +,. } γ. Q: οι Ρητοί ριθµοί Q = / Ζ κι β Ζ µε β 0 β δ. Q : οι Άρρητοι ριθµοί οι ριθµοί που δεν είνι ρητοί. ε. R: οι Πργµτικοί ριθµοί Ένωση ρητών κι ρρήτων ριθµών.. Η Απόλυτη τιµή ενός πργµτικού ριθµού είνι ίση µε την µε την πόστσή του πό το µηδέν Αν > 0 0 Αν = 0 Ορισµός: = { - Αν < 0 π.χ.: =, - = -(-), 0 = 0. i) Οι ριθµοί που έχουν το ίδιο πρόσηµο λέγοντι οµόσηµοι, πχ οι +4 κι 4. ii) Οι ριθµοί που έχουν διφορετικό πρόσηµο λέγοντι ετερόσηµοι πχ οι 4 κι +5. iii) Οι ριθµοί + κι διφέρουν στο πρόσηµο, λέγοντι ντίθετοι. 4. Πράξεις µε πργµτικούς ριθµούς. Πρόσθεση Οµοσήµων: το κοινό πρόσηµο κι προσθέτω τιµές φίρεση. Ετεροσήµων: το πρόσηµο του µεγλύτερου σε τιµή κι φιρώ τιµές. Π.χ. i) (+5) + (+) = 8 ή πλά 5 + = 8 ii) ( 5) + ( ) = 8 ή πλά 5 = 8 5 0 iii) ( )+( ) = + = 6 6 6 ή πλά 5 0 = = 6 6 6 Μπορούµε ν πρλείψουµε το σύµβολο + της πρόσθεσης. Ότν οι ρητοί ντιπροσωπεύοντι πό ετερώνυµ κλάσµτ, τ τρέπουµε σε οµώνυµ.
Οµοσήµων: πάντ + κι πολλπλσιάζω τιµές. Πολλπλσισµός Ετεροσήµων: πάντ - κι πολλπλσιάζω τιµές. Π.χ. i) ( 6) ( ) = iii) (+6 ) (+ ) = οµόσηµ Σελ. ii) ( 6) (+) = iv) (+ ) ( 5 ) = 0. ετερόσηµ Πολλπλσισµός πολλών πργόντων Π.χ. (-5) (+) (-) (-) = - 60 (-5) (+) (-) (+) = + 60 = 60. µετράω το πλήθος Αν είνι ζυγό βάζω πάντ + των πλην ( - ) Αν είνι µονό βάζω πάντ -. κι πολλπλσιάζω τιµές. τρί µείον δύο µείον Π.χ. Τη µεττρέπω σε πρόσθεση. Αφίρεση Προσθέτω στον µειωτέο ( ο ) τον ντίθετο του φιρετέου ( ο ) πχ. β = + (-β) (+0) ( 4) = (+0) + (+4) = 4 ή πλά (+0) ( 4) = 0 + 4 = 4 Κνόνες γι ν εξλείψουµε πρενθέσεις: Ότν µπροστά πό την πρένθεση υπάρχει το + γράφουµε τους όρους που είνι µέσ στην πρένθεση µε το πρόσηµο που έχουν. Ότν µπροστά πό την πρένθεση υπάρχει το, γράφουµε τους όρους που είνι µέσ στην πρένθεση µε το ντίθετο πρόσηµο. Αλγεβρικό άθροισµ πολλών προσθετέων (όρων) Π.χ. ( ) + ( ) (+5) ( 8) + (+6), (σειρά πό προσθέσεις ή φιρέσεις). Προκειµένου ν κάνουµε τις πράξεις σε υτό, έχουµε: ( ) + ( ) (+5) ( 8) + (+6) = = ( ) + ( ) + ( 5) + (+8) + (+6) = Τρέπουµε τις φιρέσεις σε προσθέσεις των ντίθετων. Βρίσκουµε το άθροισµ των οµοσήµων: όλ τ + µζί όλ τ - µζί. = ( 0) + (+4) = Βρίσκουµε το τελικό πότέλεσµ. = 4 ή πλά ( ) + ( ) (+5) ( 8) + (+6) = 5 + 8 + 6 = 0 + 4 = 4 κι ιίρεση Τη µεττρέπω σε πολλπλσισµό. Πολλπλσιάζω τον ιιρετέο ( ο ) µε τον ντίστροφο του διιρέτη ( ο ). Πχ. : β = β όπου β 0
Π.χ. 5 :(+5) = - 5 5 = Σελ. ισχύει :β = β, β 0 το πηλίκο µπορούµε ν το γράψουµε µε µορφή κλάσµτος, δηλδή: (-):(+5) = = + 5 5 + + + = =. + 5 5 κι ( ) : ( 5) 5. Ιδιότητες των πράξεων: πρόσθεσης πολλπλσισµού Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ β +β β+ β β β 8 5 8+5 = 5 8 = 8 5 8 5 = 5 ( 8 )= 40 Αντιµετθετική + β = β +. β = β. β γ β+γ +β +(β+γ) (+β)+γ 8 5 4 5 4 = 8+5 = 8+ = 7 4 = 7 +(β+γ) = (+β)+γ. Προσετιριστική στην πρόσθεση β γ β γ β (β γ) ( β) γ 8 5 4 5 ( 4) = 0 8 5 = 40 8 ( 0) = 60 40 ( 4) = 60 (β γ) = ( β) γ Προσετιριστική στον πολλπλσισµό β γ β+γ (β+γ) β γ β+ γ 8 5 4 5 4 = 8 () = 8 8 5 = 40 8 ( 4) = 40+ = 8 Επιµεριστική (β+γ) = β + γ Πρόσθεση: το 0, 0 = 0 = 0 Ουδέτερο Πολλπλσισµός: το, = = Αντίθετο στην Πρόσθεση: + (-) = (-) + = 0 Πρτήρηση: Αντίστροφο στον Πολλπλσισµό: = µε 0 0 = 0 = 0 β = 0 β 0 x + x = 0 x x = Απορροφητικό στον πολλπλσισµό. = 0 ή β = 0 δηλ., τουλάχιστον έν πό τ δύο είνι µηδέν. 0 κι β 0 δηλ., κι τ δύο είνι µη µηδενικά. Τ x κι x είνι ντίθετ άρ κι ετερόσηµ. Τ µη µηδενικά x κι x είνι ντίστροφ άρ κι οµόσηµ.
Υ Ν Α Μ Ε Ι Σ Σελ. 4 Ορισµός: Αν R Πργµτικός ριθµός κι ν N Φυσικός ριθµός, ισχύει: ν ν = ν =... ν ν-φορές ν ν > ν ν = 0 κι 0 ειδικά ν ν φυσικός, δηλδή -ν ρνητικός κέριος ισχύει: ν = ν ή β ν β = ν κι 0 κι β 0 (όχι µηδέν) το ν λέγετι δύνµη µε βάση κι εκθέτη ν (ή ν-οστή δύνµη του ). 4 = = 6-4 = 4 = ύνµη θετικού ριθµού είνι πάντ θετικός ριθµός. 6 ( ) 4 = ( ) ( ) ( ) ( ) = 6 ( ) 4 = ( ) 4 = 6 ύνµη ρνητικού ριθµού µε ζυγό εκθέτη είνι πάντ θετικός ριθµός. ( ) = ( ) ( ) ( ) = 8 ( ) = = = ( ) 8 8 ύνµη ρνητικού ριθµού µε µονό εκθέτη είνι πάντ ρνητικός ριθµός. Πρτήρηση: ( 5) = 5 το πρόσηµο είνι µέσ στη βάση της δύνµης. ενώ 5 = 5 το πρόσηµο είνι έξω πό τη βάση της δύνµης. Ιδιότητες: Όπου ν, µ κέριοι ριθµοί κι, β 0 πργµτικοί ριθµοί. ν µ = ν+µ 4 = +4 = 6-4 = +( 4) = Πολλπλσισµός δυνάµεων που έχουν ίδι βάση. Αφήνουµε την ίδι βάση κι προσθέτουµε τους εκθέτες.. ( ν / µ ) ν : µ = ν-µ : 4 = -4 = - : -4 = -(-4) = 6 ιίρεση δυνάµεων που έχουν ίδι βάση. Αφήνουµε την ίδι βάση κι φιρούµε τον εκθέτη του προνοµστή πό τον εκθέτη του ριθµητή.. ( β) ν = ν β ν ( 5) = 5 = 9 5 Ύψωση γινοµένου σε δύνµη. Υψώνουµε κάθε πράγοντ του γινοµένου στη δύνµη.
( 5) = 5 Σελ. 5 4. ν ν ν, β β = ή ν :β ν = (:β) ν, β 0 = = 9 4 4 6 Ύψωση κλάσµτος σε δύνµη. Υψώνουµε τους όρους του κλάσµτος στη δύνµη. 5. ( ν ) µ = ν µ ( ) = = 6 ( ) = ( ) = 6 Ύψωση δύνµης σε δύνµη. Αφήνουµε βάση την ίδι κι πολλπλσιάζουµε τους εκθέτες. Πρτήρηση: 6 Στην ισότητ = ν 6 =, µε ν Z δηλ. µπορούµε ν υψώσουµε τ µέλη στη ν. ΠΡΟΣΟΧΗ! Το ντίστροφο δεν ισχύει. Π.χ 4 = 4 ή ( ) =, όπου ν Μπορούµε ν υψώσουµε τ µέλη µις ισότητς στον ίδιο εκθέτη. Γενικά ν = β τότε ν = β ν Ορισµός: Τετργωνική ρίζ στο R. Τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθµού x (συµβολίζετι που, ότν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει τον ριθµό x, ( x ), είνι ένς θετικός ριθµός ριζικό κι ότι είνι κάτω πό το ριζικό λέγετι υπόρριζο). Με σύµβολ x, 0 x =, τότε = x κι ντιστρόφως, ορίζουµε κόµ 0 = 0 Πρτήρηση: µι τετργωνική ρίζ θ είνι ρητός ριθµός, ν το υπόρριζο είνι τετράγωνος ριθµός, διφορετικά θ είνι άρρητος ριθµός. Π.χ. 6 =4, Ιδιότητες τετργωνικών ριζών =, 5 =,60679. Γι τους πργµτικούς ριθµούς,β 0 ισχύει, β = β Το γινόµενο δύο τετργωνικών ριζών, ισούτι µε την τετργωνική ρίζ του γινοµένου των υπορρίζων. εν ισχύει: + β = + β π.χ. 5 + 8. Γι τους ριθµούς 0 κι β>0 ισχύει, = β β. Αν 0 κι ν φυσικός τότε ισχύει, ( ) ν = ν. Το πηλίκο δύο τετργωνικών ριζών ισούτι µε την
4. β = β γι κάθε R κι β 0 (β R + ) Σελ. 6 Πως µεττρέπω κλάσµ µε άρρητο πρνοµστή σε ρητό. Πολλπλσιάζω κι τους δύο όρους (ριθµητή κι πρνοµστή) µε τον άρρητο πρνοµστή. Π.χ. = = = 4 (το ηµ45 0 ) Πρέπει ν γνωρίζω σχετικά µε την προτεριότητ των πράξεων: Σε µί ριθµητική πράστση εκτελώ πράξεις µε την πρκάτω σειρά: υνάµεις Πολλπλσισµός ή διίρεση Πρόσθεση ή φίρεση Ι] Εάν υπάρχουν κι πρενθέσεις εκτελώ τις πράξει µέσ στις πρενθέσεις µε την πρπάνω σειρά µέχρι η πρένθεση ν µεττρπεί σε έν ριθµό κι µετά συνεχίζω τις πράξεις εκτός πρένθεσης. ΙΙ] Εάν έχω κι άλλες εσωτερικές πρενθέσεις ή γκύλες ή άγκιστρ ρχίζω την πλοιφή πό µέσ προς τ έξω, εφρµόζοντς την (Ι).. Ν υπολογίσετε τ εξγόµεν: i) 4 ( ) + ( ) 4 ( ) 0 ( ) ii) [( 0,) ] 0, ( 0,) iii) iv) ( ) + ( ) : ( )
ι ά τ ξ η κ ι π ρ ά ξ ε ι ς Σελ. 7 Ορισµοί: Έστω, β R. Λέµε ο µεγλύτερος του β κι συµβολίζουµε > β, ότν η διφορά β > 0 δηλδή είνι θετικός ριθµός. Όµοι λέµε < β ότν -β < 0 κι = β ότν -β = 0 Από τ πρπάνω προκύπτει: κάθε θετικός είνι µεγλύτερος του µηδενός. κάθε ρνητικός µικρότερος του µηδενός. Αν τ κι β είνι οµόσηµ µπορεί ν γίνει σύγκριση του πηλίκου τους µε την µονάδ δηλδή: Ι] >, τότε >β, β ΙΙ] <, τότε <β, β ΙΙΙ] =, τότε =β, β Πρτηρήσεις: > β - β > 0. Τ > κι < λέγοντι σύµβολ της νισότητς.. Η σχέση <β λέγετι νισότητ. Tο λέγετι ο µέλος της νισότητς κι το β λέγετι ο µέλος.. ύο νισότητες µε το ίδιο σύµβολο π.χ. <β κι γ<δ λέγοντι οµοιόστροφες ενώ µε διφορετικό ετερόστροφες. 4. Γι πργµτικούς κι β που ισχύει: >β ή =β συµβολίζω β. Ιδιότητες νισοτήτων Α] Αν >β +γ>β+γ γι κάθε, β, γ πργµτικούς. Σηµείωση. Η φράση περνάω στο άλλο µέλος κάποιο ριθµό κι λλάζει πρόσηµο είνι πρκτική έκφρση που γνωστή πό τις εξισώσεις της β γυµνσίου. Β] Αν >β κι β>γ τότε >γ µετβτική ιδιότητ Γ] Αν >β κι γ>δ τότε +γ>β+δ πρόσθεση νισοτήτων κτά µέλη ] Αν γ>0 τότε >β γ>βγ πολ/µός των µελών µε θετικό ριθµό δεν λλάζει τη φορά Ε] Αν γ<0 τότε >β γ<βγ πολ/µός των µελών µε ρνητικό ριθµό λλάζει η φορά. ΣΤ] >β κι γ>δ τότε γ>βδ νισοτήτων κτά µέλη. Μόνο γι,β,γ,δ θετικούς πργµτικούς ισχύει ο πολλπλσισµός Σηµείωση: Πρέπει ν ξέρω κόµη γι, β πργµτικούς ριθµούς:. Αν >0 κι β>0 τότε +β>0 β. Αν <0 κι β<0 τότε +β<0 γ. Αν, β οµόσηµοι τότε β>0 κι :β=/β>0 όπου β 0 δ. Αν, β ετερόσηµοι τότε β<0 κι :β=/β<0 κι β 0 ε. Γι κάθε 0 ισχύει >0
Ασκήσεις Οι πργµτικοί ριθµοί Πράξεις Οµάδ Ι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (βάλε σε κύκλο το κεφλίο γράµµ µε την σωστή πάντηση) Σελ. 8. Αν γι τους πργµτικούς ριθµούς x κι y ισxύει x.y<0 τότε: Α. x>0 & y>0 Β. x<0 & y<0 Γ. x>0&y<0. x=0 & y>0 Ε. x>0 ή y=0. Αν γι τους πργµτικούς ριθµούς x κι y ισxύει x+y>0 κι x.y<0 κι y < x τότε: Α. x>0>y Β. x<0<y Γ. x>y>0. 0<x<y Ε. x= 0 κι y>0. Αν γι τους πργµτικούς ριθµούς x κι y ισxύει x+y=0 κι 0<y τότε: Α. x<y<0 Β. y<x<0 Γ. x<0<y. x = y = 0 Ε. x> 0> y 4. Αν γι τους πργµτικούς, β ισxύει.β = 0 τότε: Α. =β & β 0 Β. =0 ή β=0 Γ..β - =0. = & β=4 E., β ντίστροφοι 5. Αν γι τους πργµτικούς ριθµούς, β, γ ισxύει.β.γ=0 κι β 0 τότε: Α. όλοι είνι µηδέν Β. κι γ ντίθετοι Γ. κάποιος των, γ είνι µηδέν. =0 κι β, γ διάφοροι του µηδενός Ε. κι γ ετερόσηµοι 6. Αν γι τους πργµτικούς ριθµούς κι β 0 ισxύει = κι +β=8 τότε β Α.= κι β=6 Β. =β=4 Γ. =0 κι β=-. =0 κι β=8 Ε. = κι β=7 7. Αν = 0 κι β 0 τότε ισxύει: β Α. = 0 & =β Β. =0 ή β=0 Γ. =0 & β 0. = & β 0 Ε. =β= 8. Αν β = 4 τότε ισxύει: Α. = & β=4 Β. =4 & β= Γ..β=..β = 4. Ε. = & β=8 9. Γι πργµτικούς, β, x, y ισxύει = β κι x = y τότε: Α..x = β+y Β. = y Γ..x = β.y. -β = x+y Ε. = β.x.y 0. Γι πργµτικούς, β, x, y ισxύει = β κι y = x τότε: Α..x = β+y Β. = y Γ. = β.x.y. -β = x+y Ε. +x = β+y. Αν γι τους πργµτικούς ριθµούς κι β ισxύει > β τότε: Α. +β>0 Β. +β<0 Γ. δεν βγίνει πάντηση. κι τ δύο ρνητικά Ε. ετερόσηµοι. Αν γι τους πργµτικούς ριθµούς x κι y ισxύει x.y= (ντίστροφοι) τότε: Α. x = y Β. ετερόσηµοι Γ. οµόσηµοι. x = y Ε. x < y. Γι πργµτικούς, β, x όπου = β κι x 0 ισxύει Α. x =.β Β..x = β.x Γ..β = x. = x+β Ε. +β+x = 0 4. Γι πργµτικούς, β, x όπου = β κι x 0 ισxύει Α. β+x = x+ Β. β = x+β Γ. =β=x=0. x =.β Ε. -x-β = 0
Οµάδ ΙΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Σελ. 9 (βάλε σε κύκλο το Σ ν η πρότση είνι σωστή διφορετικά σε κύκλο το Λ) ύο πργµτικοί ριθµοί µε άθροισµ µηδέν είνι ντίστροφοι Σ Λ Αν ο είνι ο ντίθετος του β τότε = β Σ Λ Αν, β πργµτικοί όπου +β=0 τότε έxουν ίσες πόλυτες τιµές Σ Λ 4 Αν, β πργµτικοί τότε.β = β. ντιµετθετική στον πολ/µό Σ Λ 5 Αν, β πργµτικοί που ισxύει.β= τότε = β Σ Λ 6 Γι πργµτικό. = + γιτί ουδέτερο στον πολ/µό Σ Λ 7 Αν, β 0 πργµτικοί µε /β=0 τότε = β Σ Λ 8 Αν, β πργµτικοί µε γινόµενο µηδέν τότε =0 ή β=0 Σ Λ 9 ύο ριθµοί που έxουν γινόµενο ρνητικό θ έxουν πηλίκο θετικό. Σ Λ 0 Αν, β, γ πργµτικοί µε.β.γ= τότε 0 κι β 0 κι γ 0 Σ Λ Αν = 0 β τότε = β = 0 Ο ντίστροφος του είνι το Σ Λ Αν,β 0 πργµτικοί ώστε β = τότε =8κ κι β=4κ Σ Λ 4 Αν γι τους ρνητικούς ριθµούς,β ισxύει + β = 7 τότε = β = -,5 Σ Λ 5 Αν, β, γ διδοxικοί κέριοι το άθροισµ + β + γ διιρείτι µε το Σ Λ 6 Αν άρτιος κέριος τότε το. + άρτιος Σ Λ 7 Αν περιττός κέριος τότε το. + περιττός Σ Λ Σ Λ
Σελ. 0 Οµάδ ΙΙΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙXΗΣ (ντιστοίxισε µε βέλη ώστε το Α = Β, Α= στήλη η κι Β = στήλη η) Στήλη Α Στήλη Β (+β)-γ 0 +{-[-(-)]} (γ-β) (-β)+ (β-5γ) -γ β+ β (β+γ)-β 0,5 β β (-γ) (-γ)+β β -5γ-β
Ασκήσεις υνάµεις Σελ. Οµάδ Ι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (βάλε σε κύκλο το κεφλίο γράµµ µε την σωστή πάντηση). Η δύνµη ( ) 5 ισούτι µε: Α. -8 Β. Γ. -5.. Η δύνµη ( ) 0 ισούτι µε: 5 Ε. 5 Α. -0 Β. - Γ.. Ε.. Αν µ,ν φυσικοί ριθµοί κι ν-µ = τότε: Α. <0 & ν =µ+ Β. ν= & µ<0 Γ.=0 & ν =µ. 0 & ν =µ Ε. =0 & ν µ 4. Αν >0 κι ν άρτιος (ζυγός) τότε: Α. -=(-) ν Β.(-) ν+ = Γ.(-) ν+ =- ν+.(-) ν+.=(-) ν+ Ε. (-) ν+.=(-) ν 5. Αν κέριος ριθµός µη µηδενικός τότε κι η δύνµη ( ) ισούτι µε: Α. + Β. + Γ.. Ε. ( ) 6. Αν ισxύει η ισότητ ν.β µ =(.β) νµ όπου,β πργµτικοί κι µ, ν κέριοι τότε: Α. =β Β. =ν= Γ. β=µ=0. µ=ν+ Ε. ν άρτιος &µ περιττός 7. Γι την πράστση Α=(-) ν+ το πρόσηµό της είνι: Α. Θετικό Β. Αρνητικό Γ. xωρίς πρόσηµο (µηδέν). Α>0 ν ν άρτιος Ε. Α>0 ν ν περιττός 8. Η πράστση Α = 8 β ισούτι µε: 4β 4 Α. Β. Γ. 7 β β. 7 β - Ε. 4β 9. Η πράστση (+β) ισούτι µε: Α. (+β) Β. (+β)(β+) Γ. (+β)β. (+β)(-β) Ε. (+β) 0
Σελ. Οµάδ ΙΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ _ ΛΑΘΟΥΣ (βάλε σε κύκλο το Σ ν η πρότση είνι σωστή διφορετικά σε κύκλο το Λ) ν : ν = ν- Σ Λ (.β) -ν = β ν. -ν Σ Λ 5 +5 4 = 5 +4 = 5 7 Σ Λ 4 (x-5) 0 = γι όλ τ x Σ Λ 5 ν : ν = ν Σ Λ 6 β ν + ν = (+β) ν ν =β=ν= Σ Λ 7 Αν <0 τότε κι ( -5 ) - <0, πργµτικός ριθµός Σ Λ 8 Αν ν > 0 τότε κι -ν < 0 Σ Λ 9 Γι πργµτικούς, β µε = β ισxύει ν = β ν όπου ν κέριος Σ Λ 0 Ισxύει (-) 0 = - γι κάθε 0 πργµτικό ριθµό Σ Λ Αν ν, µ διδοxικοί φυσικοί (-) ν = -(-) µ (π.x. ν= κι µ=4) Σ Λ Αν ν άρτιος φυσικός Α=(-) ν- +(-) ν- +(-) ν+ +(-) ν+ =0 Σ Λ Οµάδ ΙΙΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙXΗΣ. (ντιστοίxισε µε βέλη Α Β, Α: πράστση κι Β: τιµή που ληθεύει την Α) Στήλη Α - ισότητ Στήλη Β τιµή του x ( - ) x+ = 8 - β 0, (/β) 7+x = -5 0 [(.β) x ] - = (β.) 5-6 5. ( x- ) - = +6 +7 ( x- ) - = -7
Σελ.
. (ντιστοίxισε µε βέλη Α Β, ώστε Α = Β) Σελ. 4 Στήλη Α Στήλη Β µ. ν (β) µ µ.β µ µ : ν / µ ν : β ν / ο - -µ ν+µ µ-ν ( : β) ν
Ασκήσεις - Ρίζες Οµάδ Ι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (βάλε σε κύκλο το κεφλίο γράµµ µε την σωστή πάντηση) Σελ. 5. Γι ν ισxύει η σxέση = πρέπει: Α. 0 Β. <0 Γ. πργµτικός. άρτιος Ε. 0. Η ρίζ του έν ( ) ισούτι µε : Α. Β. Γ. 0. - Ε.. Γι κάθε πργµτικό ριθµό, ισούτι µε: Α. 0, µηδέν Β. ν 0 Γ. ν 0. - Ε. δεν ορίζετι 4. Αν πργµτικός, κ κέριος η ρίζ έxει νόηµ πργµτικού ριθµού (ορίζετι στο R) ν: Α. κ φυσικός Β. κ+ θετικός Γ. κ περιττός. 0 Ε. κ άρτιος κ 5. Όµοι η ρίζ, κ 0 έxει νόηµ πργµτικού ριθµού (ορίζετι στο R) ν: Α. κ φυσικός Β. πάντ Γ. κ περιττός. ποτέ Ε. κ άρτιος 6. Όµοι η ισότητ ( ) κ + = ( κ + ) ισxύει κι ορίζετι ν: Α. θετικός Β. πάντ Γ. κ περιττός. ποτέ Ε. κ άρτιος 7. Όµοι η ισότητ ( κ ) κ = ( ) ισxύει κι ορίζετι ν: Α. ρνητικός Β. πάντ Γ. κ περιττός. ποτέ Ε. κ άρτιος 8. Αν, β πργµτικοί η ισότητ β = βισxύει κι ορίζετι ν: Α.=0 Β. θετικός Γ. πάντ. ρνητικός Ε. β θετικός 9. Αν, β 0 πργµτικοί, κ κέριος η ισότητ κ κ β = βισxύει κι ορίζετι ν: Α. 0 Β. θετικός Γ. πάντ. ρνητικός Ε. ρνητικός & κ µονός 0. Αν, β πργµτικός, κ κέριος η ρίζ ( 5 β) κ ν: + έxει νόηµ πργµτικού ριθµού (ορίζετι) Α., β θετικοί Β., β ρνητικοί Γ. β 5. β 5 Ε. κ άρτιος. Η πράστση Α=4 ισούτι µε: Α. 4 Β. 4 Γ.. 6 Ε.. Η πράστση Α = 7 ισούτι µε: Α. 6 Β. 7: Γ. 7. 4 Ε. 4. Η πράστση Α = 7 - ισούτι µε:
Α. 5 6 Β. 5 Γ. 0.5 0 Ε. 4. Η πράστση ισούτι µε: Α. 0,5 Β. Γ. 0. Ε. 6 Σελ. 6 5. Γι κάθε >0 η πράστση ( ) - ισούτι µε: Α. Β. + Γ. 0, µηδέν. Ε. 6. Γι, β πργµτικούς θετικούς ριθµούς η πράστση ( β )( + β ) ισούτι µε: Α. +β Β. -β Γ. 0, µηδέν. β Ε. Οµάδ ΙΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ _ ΛΑΘΟΥΣ (βάλε σε κύκλο το Σ ν η πρότση είνι σωστή, διφορετικά σε κύκλο το Λ) β = β Σ Λ 8 + 50 = 8 Σ Λ β = β κι β 0 Σ Λ 4 = - ν 0 Σ Λ 5 ( 5) = ± 5 Σ Λ 6 5 = 5 Σ Λ 7 - ( 5) = 5 Σ Λ 8 β = β = 9 κι β 0 Σ Λ Σ Λ 0 = Σ Λ ( ) = γι κάθε πργµτικό Σ Λ ( 5) = 5 Σ Λ = ν 0 Σ Λ
Σελ. 7 Οµάδ ΙΙΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙXΗΣ (ντιστοίxισε µε βέλη Α Β, Α: πράστση κι Β: τιµή που ληθεύει την Α) Στήλη Α Στήλη Β 800 : 5 ( ) ( 8 6) 6 : 8
Ασκήσεις 4 - ιάτξη κι πράξεις Σελ. 8 Οµάδ Ι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (βάλε σε κύκλο το κεφλίο γράµµ µε την σωστή πάντηση). Αν, β πργµτικοί ριθµοί κι ισxύει >β, πολ/ζω κι τ δύο µέλη µε - τότε: Α. -<-β Β. ->-β Γ.-= -β.- -β Ε.- -β. Αν, β πργµτικοί ριθµοί κι ισxύει <β, πολ/ζω κι τ δύο µέλη µε µηδέν τότε: Α. 0 <0 β Β. 0 >0 β Γ.0 =0 β.0 0 β Ε.0 0 β. Αν >β κι πολ/σω τ δύο µέλη µε το x όπου x πργµτικός 0 τότε: Α. x <βx Β. x βx Γ.x =βx. βx < x Ε.x βx 4. Αν β κι πολ/σω τ δύο µέλη µε το x - όπου x πργµτικός 0 τότε: Α. x - < β x - Β. x - β x - Γ. x - = β x -. x - < β x - Ε. x - β x - 5. Αν β θετικοί πργµτικοί ριθµοί µε >β τότε ισxύει: Α. >0 & β>0 Β. -β< 0 Γ. /β=. /β> Ε. /β< 6. Αν >β κι β>γ όπου,β,γ πργµτικοί ριθµοί ισxύει: Α. <γ Β. +β>+γ Γ. > γ. β < γ Ε. β> +γ 7. Αν >β κι γ>δ ισxύει κι γ>βδ µε την προϋπόθεση: Α. >δ Β.,β θετικά γ,δ ρνητικά Γ.,β,γ,δ πργµτικούς. ποτέ Ε. βγδ>0 8. Η νίσωση x+β>0 όπου <0 έxει λύση την: Α. x>0 Β. x> Γ. x < /β. x<-β: Ε. x>β Οµάδ ΙΙ - (Σύντοµης πάντησης ). Αν << κι <β<5 τότε µετξύ ποίων τιµών περιέxοντι οι τιµές των πρστάσεων: +β -β β -β : +β-. Ν λυθούν πό κοινού οι νισώσεις (x-5) < 7 κι,5x+ χ <5,5 Οµάδ ΙΙΙ- ( ιάτξης σε σειρά πό µικρότερο προς µεγλύτερο). Αν, β θετικοί πργµτικοί κι >β ν γίνει διάτξη στ πρκάτω:, β, β β,, β + β
. Αν γι πργµτικό ισxύει 0<< ν γίνει διάτξη στ:. Όµοι ν > στ 0,,,, 4. Όµοι ν >β θετικοί πργµτικοί κι x>0 στ:, +, β β + β + χ +, β χ + β +,, 0,,, Σελ. 9 Οµάδ ΙV - (συµπλήρωσε τις γι µί σωστή πάντηση). Αν, β πργµτικοί µε β 0 τότε. κι... Αν +β = 0 τότε ο πργµτικός είνι ο.. του β.. Γι, β πργµτικούς µε β 0 τότε πό την ισότητ = β...... προκύπτει η = ισότητ. 4. Γι κάθε, β, γ πργµτικό ριθµό ισxύει η ιδιότητ, (β+γ) = β+γ. 5. Αν ο κέριος είνι περιττός τότε ο + είνι. ενώ είνι.. κι ο 5+7 είνι. 6.. Αν x < 4 τότε χ - 7.. Αν -x > -6 τότε χ. 8.. Αν < -β τότε -.. + β 6 9..+. -ν = (στις πρκάτω δυνάµεις οι εκθέτες είνι κέριοι ριθµοί) 0. ν : ν-µ =. -6 = ( ).... =, 0. -κ =, 0 4. (x.ψ.ω) ------- = -
Ασκήσεις νάπτυξης Σελ. 0. Αν 0<<β<γ, όπου, β, γ πργµτικοί ριθµοί ν ποδείξετε την νισότητ: ] < β + β + γ β] < β γ] < < γ. Αν, β πργµτικοί όπου > κι β> ν ποδείξετε: +β < + β. Αν,β,γ πργµτικοί όπου 0<β< κι γ>0 ν ποδείξετε + γ < β + γ β 4. Γι τους πργµτικούς ριθµούς, β ισxύει > κι β> ν ποδείξετε.β>6 5. Όµοι > κι β<- τότε.β - < (β-). 6. Γι πργµτικούς >0, β>0 κι >0 ν ποδείξετε ότι - <β - 7. Ν λυθούν οι νισώσεις: Α. ( ) 6 4 4 x x + > Β. x > + ( 8x 7) 8 Γ. 7(4x-) > +(8x-7). 5x x + < x + 5 6 Ε. x + 5x + x > 0 ΣΤ. x x x x + < 6 4 β : 4 β = όπου 0 κι β 0 πργµτικοί. β 9. Ν υπολογιστούν κι πλοποιηθούν οι πρστάσεις: 8. Ν ποδείξεις ότι ( ) 4 β 9β ] 6 4 0. Αν >0, β>0 κι β ν ποδείξετε : β β] δ γ βδ γ ] β β β β = β β] β : = β β β 4 + β 4 β γ] = β β : 5 δ] ( ) κι 0,5. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ] x+ = 9 β] 0 x+. 00 = γ] (-) 5x = 64 δ] ( ) x = ( 5 ) x ε] 4 5χ. 4 = 9 6