ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ"

Transcript

1 «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ λέγετι τυτότητ. Ν γνωρίζουν τις σικές τυτότητες κι ν µπορούν ν τις ποδεικνύουν κι ν τις εφρµόζουν. Ν µπορούν ν τις διτυπώνουν (µετφράζουν) τις λγερικές ισότητες στην κθοµιλουµένη γλώσσ κι ντίστροφ. Ν εξσκηθούν στην ποδεικτική διδικσί. 1 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ [ΜΙΑ (1) Ι ΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ] ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 η : Ν συµπληρώσετε την ισότητ (+) =... Τους φήνουµε λεπτά κι είνι σχεδόν έιο ότι πολλοί µθητές θ την συµπληρώσουν σωστά (ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ) κθώς επίσης ότι πολλοί µθητές θ την συµπληρώσουν ως εξής: (+) = + κι ότι πολλοί µθητές δεν θ την συµπληρώσουν. εν σχολιάζουµε τις πντήσεις λλά προχωράµε σε ριθµητικά πρδείγµτ δηλδή ζητάµε πό τους µθητές ν υπολογίσουν τ πρκάτω: Ν γίνουν οι πράξεις: (+3) =(..) =.. +3 =..+..=.. Η ισότητ (+3) = +3 είνι ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ (κυκλώστε) κι άρ γενικά η ισότητ (+) = + είνι ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ (κυκλώστε)!!! ΑΡΑ ΜΕ ΤΙ ΙΣΟΥΤΑΙ ΤΟ (+) =.; Χωρίς ν δώσουµε πάντηση προχωράµε στην γεωµετρική πόδειξη ως εξής : 1

2 ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ η : Γεωµετρική πόδειξη - Ορισµός τυτότητς Tο εµδό του ορθογωνίου του διπλνού σχήµτος που έχει πλευρές, είνι Ε=. Tο εµδό του τετργώνου του διπλνού σχήµτος που έχει πλευρά είνι Ε= =... = Tο εµδό του µεγάλου τετργώνου που ρίσκετι ριστερά της ισότητς κι που έχει πλευρά +, είνι: Ε=(+) (+) =(+) (1) Όµως το εµδό του τετργώνου που έχει πλευρά +, ισούτι κι µε το άθροισµ των εµδών των σχηµάτων που ρίσκοντι δεξιά της ισότητς κι που είνι το τετράγωνο µε πλευρά µε εµδό, δυο ίσ ορθογώνι µε πλευρές, που έχουν εµδό κι τ δυο µζί += κι του τετργώνου µε πλευρά µε εµδό. ηλδή είνι: Ε= +..+ () Από τις σχέσεις (1), () προκύπτει ότι: (+) = (3) Αν τώρ ντικτστήσουµε στην (3) το µε το δηλδή γι = κι το µε το 3 δηλδή γι =3 τότε: (+) = (+3) =. =. κι ++ = = =. Ν άλετε στην θέση των µετλητών, δυο οποιoσδήποτε δικούς σς ριθµούς (κλύτερ µικρούς κι θετικούς) δηλδή: γι =.. κι = τότε: (+) = (.+. ) =. =. κι ++ = = =.

3 Υποθέτουµε οτι η ισότητ (+) = ++ τιµές των µετλητών,. θ πρέπει µάλλον ν ισχύει γι όλες τις Θυµηθείτε ότι η εξίσωση 0 x = 0 που έχει λύσεις όλες τις τιµές του x λέγετι., άρ κι µι ισότητ σν την (+) = ++ που θ ισχύει γι όλες τις τιµές των µετλητών, θ λέγετι κι υτή...!!! ΟΡΙΣΜΟΣ: Τυτότητ λέγετι κάθε ισότητ που περιέχει κι ληθεύει γι τις τιµές των µετλητών της. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3 η : Αλγερική πόδειξη της τυτότητς (+) = ++ Πρτηρήστε ότι η πόδειξη που κάνµε µε τ εµδά είνι χρονοόρ κι σε µερικές τυτότητες είνι πολύ δύσκολ τ σχήµτ κι ότι προφνώς δεν µπορούµε ν δοκιµάζουµε συνεχώς την λήθει της τυτότητς µε τυχίους ριθµούς, οπότε θ την ποδείξουµε κι µε ένν άλλο τρόπο πιο γενικό κι πιο σύντοµο. Πρώτ όµως θ θυµηθούµε την επιµεριστική ιδιότητ κι κάποιες πράξεις µε µονώνυµ. (προπιτούµεν) Ν συµπληρώσετε τις πρκάτω ισότητες της επιµεριστικής ιδιότητς: (+γ)=, (+) (γ+δ)=.. Ν συµπληρώσετε τις πρκάτω ισότητες: + =., =., ++ =., =., +=.., + =.. Στη συνέχει προχωράµε σε λγερική πόδειξη ως εξής: Ν ποδείξετε ότι: (+) = ++. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αφού =, Τότε (+) =(+) (+) ( Ξεκινάµε πό το πρώτο µέλος κι επιµεριστική ιδιότητ) = +++ (νγωγές οµοίων όρων) = ++. Κάνοντς την πόδειξη λγερικά (δηλδή µε πράξεις) κτλήγουµε στο ίδιο συµπέρσµ που είχµε κτλήξει κάνοντς την πόδειξη γεωµετρικά (µε σχήµτ). Όµως η λγερική πόδειξη είνι προτιµότερη σν πιο σύντοµη κι πιο γενική κι έτσι στη συνέχει θ κάνουµε τις ποδείξεις γι τις άλλες τυτότητες µόνο µε την λγερική πόδειξη. 3

4 ΤΙ ΕΝΝΟΟΥΜΕ ΟΜΩΣ ΓΕΝΙΚΑ ΟΤΑΝ ΛΕΜΕ ΟΤΙ ΚΑΝΟΥΜΕ ΑΠΟ ΕΙΞΗ Η έννοι της «πόδειξης» Όπως είδµε προηγουµένως γι ν ποδείξουµε µι τυτότητ π.χ την (+) = ++ που είνι της µορφής Α=Β, όπου Α=(+) κι Β= ++ εργζόµστε ως εξής: Ξεκινάµε πό το 1ο µέλος της ισότητς που ρίσκετι ριστερά της, δηλδή το Α κι κάνοντς πράξεις κτλήγουµε στο ο µέλος της ισότητς που ρίσκετι δεξιά της δηλδή το Β. ή Ξεκινάµε πό το ο µέλος της ισότητς κι κτλήγουµε στο 1ο µέλος. ( Συνήθως ξεκινάµε πό το πιο πολύπλοκο µέλος) Η διδικσί υτή λέγετι: «ευθεί πόδειξη» Πράδειγµ: Ν ποδείξετε ότι: (++γ) = + +γ ++γ+γ ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αφού =, Τότε (++γ) =(++γ) (++γ) (Ξεκινάµε πό το πρώτο µέλος κι επιµεριστική ιδιότητ) = ++γ ++ + γ +γ + γ +γ o o (νγωγές οµοίων όρων) = + +γ ++γ+γ. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4 η : ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ (+) = ++. Προπιτούµεν: υνάµεις- πράξεις µε µονώνυµ 1) Ν συµπληρώσετε τ πρκάτω: () = =., (3 ) =.., (5x y) (3xy 3 ) =.., ( ) 3 =. ΟΡΙΣΜΟΣ: Το ++ λέγετι νάπτυγµ του (+) ) Ν υπολογιστεί το νάπτυγµ του (3x+4y). ( 3x+4y) = ( 3x) + 3x 4y+ ( 4y) ( + ) = + + =

5 3) Ν υπολογιστεί το νάπτυγµ του ( +3). ( +3) =( ) +..+(..) =.+.+. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΕΛΙ Α 47 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. i), ii) ΣΕΛΙ Α 49 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. ), γ), θ), ι). 4. ) 5

6 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ [ΜΙΑ (1) Ι ΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ] ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5 η : Απόδειξη της τυτότητς (-) = Έχουµε ποδείξει ότι (+) = +..+, µπορείτε ν µντέψετε το νάπτυγµ της τυτότητς (-) = ; Προπιτούµεν: Κνόνες πρoσήµων στον πολλπλσισµό κι επιµεριστική ιδιότητ Ν συµπληρώσετε τ πρκάτω: (+)(+) =.., (-)(-) =.., (+)(-) =.., (-)(+) =.. (-γ) =.., (-) (γ-δ) =.. Ν υπολογιστεί το νάπτυγµ του (-) Αφού =, Τότε (-) =(-) (-) (Ξεκινάµε πό το πρώτο µέλος κι επιµεριστική ιδιότητ) = -- (νγωγές οµοίων όρων) = - +. Άρ τελικά (-) = -+ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 6 η : ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ (-) = -+. Το -+ λέγετι. του (-) 1) Ν υπολογιστεί το νάπτυγµ του (κ-3λ). ( κ 3λ) = ( κ) κ 3λ+ ( 3λ) ( ) = + =

7 ) Ν υπολογιστεί το νάπτυγµ του ( 3-3 ). ( 3-3 ) =( 3 ) - +(..) =.-..+ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 7 η : Απόδειξη της τυτότητς (+) 3 = Ν ποδείξετε ότι: (+) 3 = ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αφού 3 =, Τότε (+) 3 =(+) (+) ( Ξεκινάµε πό το πρώτο µέλος) =( +..+ ) (+) [ νάπτυγµ του (+) κι επιµεριστική ιδιότητ ] = (νγωγές οµοίων όρων) = Το λέγετι νάπτυγµ του (+) 3 1) Ν υπολογιστεί το νάπτυγµ του (x+3y) 3 ( x+3y) = ( x) +3 ( x) y+3 ( x) ( 3y) + ( 3y) ( + ) = = = ) Ν υπολογιστεί το νάπτυγµ του ( +) 3. ( +) 3 =( ) (..) ( ) + (..) 3 =. = 7

8 ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 8 η : Απόδειξη της τυτότητς (-) 3 = Ν ποδείξετε ότι: (-) 3 = ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αφού 3 =, Τότε (-) 3 =(-) (-) =( -.+ )(-) ( Ξεκινάµε πό το πρώτο µέλος) [ νάπτυγµ του (-) κι επιµεριστική ιδιότητ] = (νγωγές οµοίων όρων) = Το λέγετι νάπτυγµ του (-) 3 Ν υπολογιστεί το νάπτυγµ του (x -3y) x 3y = x 3 x 3y+3 3 ( x) ( 3y) ( 3y) ( ) = = = ) Ν υπολογιστεί το νάπτυγµ του ( -3 ) 3. ( -3 ) 3 =( ) 3-3 (..) ( ) - (..) 3 =. =. 8

9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ 1) ΣΕΛΙ Α 47 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. iii) ) ΣΕΛΙ Α 48 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 4. i), ii) 3) ΣΕΛΙ Α 49 ΑΣΚΗΣΗ 5. στ), ι) 4) ΣΕΛΙ Α 50 ΑΣΚΗΣΗ 11. ε) 9

10 3 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ [ΜΙΑ (1) Ι ΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ] ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 9 η : Απόδειξη της τυτότητς (-) (+)= -. ΑΠΟ ΕΙΞΗ (-) (+) = ( Ξεκινάµε πό το πρώτο µέλος, κάνουµε την = - επιµεριστική ιδιότητ κι νγωγές οµοίων όρων) ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 10 η : ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ (-)(+)= -. 1) Ν υπολογιστεί το γινόµενο (3x+4y)(3x-4y) Μπορούµε ν κάνουµε τις πράξεις (επιµεριστική ιδιότητ) λλά µπορούµε ν εφρµόσουµε κι την τυτότητ (-) (+)= - ως εξής: ( 3x+ 4y) ( 3x 4y) = ( 3x) ( 4y) ( + ) ( - ) = = ) Ν υπολογιστεί το γινόµενο (x 3-5 ) (x 3 +5 ) (x 3-5 ) (x 3 +5 ) = ( ) - ( ) = - 3) Ν γίνει γινόµενο η πράστση x - 9 Την τυτότητ (-) (+)= -, µπορούµε ν την δούµε κι ως εξής: - =(-) (+) x 9= x 3 = = ( x+ 3) ( x 3) ( + ) ( ) 4) Ν γίνει γινόµενο η πράστση - 4y -4y =(.) -(.) =(.+.) (.+.) 10

11 ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 11 η : Απόδειξη της τυτότητς (-) ( ++ )= 3-3 ΑΠΟ ΕΙΞΗ (-) ( ++ ) = ( Ξεκινάµε πό το πρώτο µέλος, κάνουµε την = επιµεριστική ιδιότητ κι νγωγές οµοίων όρων) ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 η :ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ (-) ( ++ )= 3-3 1) Ν υπολογιστεί το γινόµενο (x-3)(x +3x+9) Μπορούµε ν κάνουµε τις πράξεις (επιµεριστική ιδιότητ) λλά µπορούµε ν εφρµόσουµε κι την τυτότητ (-)( ++ )= 3-3 ως εξής: ( x 3) x +3x+9 = ( x 3) ( ) x +3x = 3 3 ) Ν γίνει γινόµενο η πράστση x 3-8 x3 3 3 = =... Την τυτότητ (-) ( ++ ) = 3-3, µπορούµε ν την δούµε κι ως εξής: 3-3 =(-)( ++ ) x 3 8= x 3 3 = 3 3 = ( ) x x + x + = (...) (...) ( ) + 3) Ν γίνει γινόµενο η πράστση =(.) 3 -(.) 3 =( -...)[(..) ] =( -...)( ) 11

12 ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 13 η : Απόδειξη της τυτότητς (+) ( -+ )= ΑΠΟ ΕΙΞΗ (+) ( -+ ) = ( Ξεκινάµε πό το πρώτο µέλος, κάνουµε την = επιµεριστική ιδιότητ κι νγωγές οµοίων όρων) ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 14 η :ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ (+) ( -+ )= ) Ν υπολογιστεί το γινόµενο (x+1) (4x -x+1) Μπορούµε ν κάνουµε τις πράξεις (επιµεριστική ιδιότητ) λλά µπορούµε ν εφρµόσουµε κι την τυτότητ (+)( -+ )= ως εξής: ( x+ 1) 4x x+ 1 = ( x+ 1) ( x) ( x) 1+ 1 = ( x) + = ( + ) ) Ν γίνει γινόµενο η πράστση y = Την τυτότητ (+)( -+ )= 3 + 3, µπορούµε ν την δούµε κι ως εξής: =(+)( -+ ) y3 +1= y3 +1 3= = ( y+1) y y 1+1 = (...)(...) ( + ) + 1

13 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ 1) ΣΕΛΙ Α 48 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 6. i), ii), iii), iv), v) ) ΣΕΛΙ Α 49 ΑΣΚΗΣΗ 6. η), θ) 3) ΣΕΛΙ Α 49 ΑΣΚΗΣΗ 9. ), γ) 3) ΣΕΛΙ Α 50 ΑΣΚΗΣΗ 11. στ) 13

14 4 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ [ΜΙΑ (1) Ι ΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ] ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 15 η : Η ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΓΕΝΙΚΑ ΘΑ ΑΠΟ ΕΙΞΟΥΜΕ ΤΗΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 ε) ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΕΛΙ Α 50 Μάθµε ότι στην «ευθεί πόδειξη» γι ν ποδείξουµε µι ισότητ Α=Β, µπορούµε ν εργστούµε ως εξής: Ξεκινάµε πό το 1ο µέλος της ισότητς κι κτλήγουµε στο ο µέλος ή Ξεκινάµε πό το ο µέλος της ισότητς κι κτλήγουµε στο 1ο µέλος. ( Συνήθως ξεκινάµε πό το πιο πολύπλοκο ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Ξεκινάµε πό το 1ο µέλος της ισότητς το οποίο γράφετι: (-4) + (-3) = () = = -0+ Πρτηρούµε ότι δεν κτλήξµε στο ο µέλος της ισότητς. Ξεκινάµε πό το ο µέλος της τυτότητς το οποίο γράφετι: + (-5) = +() = = Πρτηρούµε ότι δεν κτλήξµε στο 1ο µέλος της ισότητς. Όµως πρτηρούµε ότι πό όποιο µέλος κι ν ξεκινήσουµε κτλήγουµε στο ίδιο ποτέλεσµ Η έννοι της «έµµεσης πόδειξης» Γι ν ποδείξουµε µι ισότητ Α=Β, µπορούµε ν εργστούµε κι ως εξής: Ξεκινάµε πό το 1ο µέλος της ισότητς κι κτλήγουµε σε µι ισότητ Α=Γ. Ξεκινάµε πό το ο µέλος της ισότητς κι κτλήγουµε σε µι ισότητ Β=Γ. Αφού Α=Γ κι Β=Γ συµπερίνουµε ότι Α=Β Η διδικσί υτή λέγετι: «έµµεση πόδειξη» Στην προκειµένη περίπτωση συµπερίνουµε ότι: (-4) + (-3) = + (-5) 14

15 ) Στο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλνού σχήµτος είνι: ΑΒ = 4x, AΓ = 4x 1, BΓ = 4x + 1 Ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο είνι ορθογώνιο. (ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΠ/ΚΟΥ ΣΕΛΙ Α 30) ΑΠΟ ΕΙΞΗ B 4x 4x +1 A 4x -1 Γ Γι ν ποδείξουµε ότι το τρίγωνο είνι ορθογώνιο ρκεί ν δείξουµε ότι ισχύει το ντίστροφο του Πυθγορείου θεωρήµτος δηλδή ότι: ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ ΒΓ =(4x +1) =.. ΑΒ + ΑΓ =(4x) +(4x -1) =.. 3) Ν ποδείξετε ότι (x + y) (y x)(y + x) + (x y) = 9x + 4y (ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΠ/ΚΟΥ ΣΕΛΙ Α 30) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Ξεκινάµε πό το 1ο µέλος (πολύπλοκο) το οποίο γράφετι: (x + y) (y x)(y + x) + (x y) = =... 15

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ 1) ΣΕΛΙ Α 49 ΑΣΚΗΣΗ 7 ) ΣΕΛΙ Α 50 ΑΣΚΗΣΗ 1. στ) 3) ΣΕΛΙ Α 50 ΑΣΚΗΣΗ 15 16

17 5 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ [ΜΙΑ (1) Ι ΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ] Τ µθηµτικά µπορούµε ν τ δούµε κι σν την εκµάθηση µις γλώσσς, δηλδή πρέπει ν κάνουµε µετάφρση πό την κθοµιλουµένη γλώσσ στην γλώσσ των µθηµτικών που έχει µθηµτικά σύµολ κι ντίστροφ ν µετφράζουµε τ µθηµτικά σύµολ στην κθοµιλουµένη γλώσσ Λεκτική διτύπωση των τυτοτήτων - επνάληψη ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 16 η : ΛΕΚΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΤΑΥΤΟΤΗΤΩΝ Γι δυο οποιοσδήποτε ριθµούς, ν επιλέξετε σύµολ γι τις πρκάτω φράσεις: 1.Το άθροισµ τους είνι: Α. +. Β. -. Γ... :. Η διφορά τους είνι: Α. +. Β. -. Γ Το διπλάσιο γινόµενο τους είνι: Α. (). Β. (-). Γ... : 4. Το άθροισµ των τετργώνων τους είνι: Α.. Β. +. Γ. (+ ) Το τετράγωνο του θροίσµτος τους είνι: Α. +. Β. (). Γ. (+ ) Το άθροισµ των κύων τους είνι: Α. +. Β. () 3 Γ. (+ ) Ο κύος του θροίσµτος τους είνι: Α Β. (-) 3 Γ. (+ ) Η διφορά των κύων τους είνι: Α Β. (-) 3 Γ. (+ ) Ο κύος της διφοράς τους είνι: Α Β. (-) 3 Γ. (+ ) Η τυτότητ (+) = ++ µπορεί ν διτυπωθεί λεκτικά ως εξής: Το τετράγωνο του. δυο ριθµών ισούτι µε το άθροισµ των. των δυο ριθµών συν το γινόµενο τους. Tην τυτότητ (+) = ++ την ονοµάζουµε: τετράγωνο του θροίσµτος 11. Η τυτότητ (-) = -+ µπορεί ν διτυπωθεί λεκτικά ως εξής: Το τετράγωνο της. δυο ριθµών ισούτι µε το άθροισµ των.. των δυο ριθµών µείον το.. γινόµενο τους. Tην τυτότητ (-) = -+ την ονοµάζουµε: τετράγωνο της διφοράς 17

18 1. Η τυτότητ (-)(+) = - µπορεί ν διτυπωθεί λεκτικά ως εξής: Το γινόµενο του. δυο ριθµών επί τη τους ισούτι µε το τετράγωνο του µειωτέου µείον το.του φιρετέου. Tην τυτότητ (-) (+)= - την ονοµάζουµε: γινόµενο θροίσµτος επί διφορά 13. Η τυτότητ (+) 3 = µπορεί ν διτυπωθεί λεκτικά ως εξής: O Κύος του.. δυο ριθµών ισούτι µε το άθροισµ των.. των δυο ριθµών συν το τριπλάσιο γινόµενο του κθενός πό υτούς µε το τετράγωνο του άλλου. Tην τυτότητ (+) 3 = την ονοµάζουµε: κύος του θροίσµτος 14. Η τυτότητ (-) 3 = µπορεί ν διτυπωθεί λεκτικά ως εξής: O Κύος της. δυο ριθµών ισούτι µε την διφορά των.. των δυο ριθµών µείον το τριπλάσιο γινόµενο του τετργώνου του πρώτου µε τον δεύτερο συν το τριπλάσιο γινόµενο του πρώτου µε το τετράγωνο του δεύτερου. Tην τυτότητ (-) 3 = την ονοµάζουµε: κύος της διφοράς 15. Η τυτότητ (-)( ++ )= 3-3 µπορεί ν διτυπωθεί λεκτικά ως εξής: Το γινόµενο της. δυο ριθµών επί το άθροισµ των τετργώνων τους συν το διπλάσιο.. τους ισούτι µε την των κύων τους. Tην τυτότητ (-) ( ++ )= 3-3 την ονοµάζουµε: διφορά κύων 16. Η τυτότητ (+)( -+ )= µπορεί ν διτυπωθεί λεκτικά ως εξής: Το γινόµενο του. δυο ριθµών επί το άθροισµ των τετργώνων τους µείον το διπλάσιο.. τους ισούτι µε το των κύων τους. Tην τυτότητ (+) ( -+ )= την ονοµάζουµε: άθροισµ κύων ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΕΛΙ Α 50 ΑΣΚΗΣΗ 16 18

19 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΕΛΙ Α 50 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 13, 14, 17 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Οι ισότητες που περιέχουν µετλητές κι οι οποίες ληθεύουν γι όλες τις τιµές των µετλητών τους ονοµάζοντι. ΟΙ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΕΙΝΑΙ: τετράγωνο θροίσµτος: τετράγωνο διφοράς : κύος του θροίσµτος: κύος της διφοράς: (+) =. (-) =.. (+) 3 =. (-) 3 =.. γινόµενο θροίσµτος επί διφορά: (-) (+)=. άθροισµ κύων: διφορά κύων: (+) ( -+ )= (-) ( ++ )=.. «Όσοι το χάλκεον χέρι ρύ του φόου ισθάνοντι ζυγό δουλείς ς έχωσι, θέλει ρετή κι τόλµη η ελευθερί» (Α. Κάλος) 19

20 ΣΧΕ ΙΟ ΚΡΙΤΗΡΙOY ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΟ 1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ:. Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ (νκεφλιωτικό) ιάρκει: 1 διδκτική ώρ Θέµτ: 5 ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ 1 µονάδ 1 µονάδ 1 µονάδ 1 µονάδ 1 µονάδ ΘΕΜΑΤΑ 1 ο. Ν συµπληρώσετε τις πρκάτω ισότητες ώστε ν προκύψουν τυτότητες: ) (+) =.. ) (+) 3 =.. γ) (+) ( -+ )= ο. ) Τυτότητ λέγετι κάθε ισότητ που περιέχει µετλητές κι ληθεύει µόνο γι κάποιες πό τις τιµές των µετλητών της. Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) ) Tην τυτότητ: (-) 3 = την ονοµάζουµε: διφορά κύων Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) 5 µονάδες 3 ο. Ν ποδείξετε την τυτότητ: (-) 3 = µονάδες 4 ο. (πό το σχολικό ιλίο άσκηση 11 η) σελίδ 50) Ν κάνετε τις πράξεις : (4-1) 3 -(8+1)(8-1) 5 µονάδες 5 ο. Ν ποδείξετε ότι έν τρίγωνο ΑΒΓ που έχει πλευρές = µ +ν, =µ -ν, γ=µν (µ,ν θετικοί κέριοι ριθµοί µε µ>ν) είνι ορθογώνιο µε υποτείνουσ την. 0

21 ΓΕΝΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ: ΕΠΕΙ Η ΤΩΡΑ ΠΛΕΟΝ ΤΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΕΙΝΑΙ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ 5ΜΕΛΗ, ΚΑΛΟ ΕΙΝΑΙ ΝΑ ΧΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΤΑΞΗ ΣΕ ΟΜΑ ΕΣ ΤΩΝ 3 Ή 4 ΑΤΟΜΩΝ ΟΙ ΟΠΟΙΕΣ ΘΑ ΟΥΛΕΥΟΥΝ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ, ΤΑ ΤΕΛΙΚΑ ΟΜΩΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΑΝΑΚΟΙΝΩΝΟΝΤΑΙ ΣΕ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΟΜΑ ΕΣ ΚΑΙ ΝΑ ΓΙΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΕΚΤΑ ΑΠΟ ΟΛΟΥΣ. ΓΙΑ ΜΗΝ ΧΑΝΟΥΜΕ ΧΡΟΝΟ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΑΛΛΕΙΜΑ ΜΑΖΙ ΜΕ ΤΟΥΣ ΕΠΙΜΕΛΗΤΕΣ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ ΕΤΟΙΜΑΣΕΙ ΤΑ ΘΡΑΝΙΑ ΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΑ ΑΝΑ ΥΟ ΜΑΖΙ (ΚΟΛΛΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΡΙΣΤΑ) ΚΑΙ ΤΙΣ ΚΑΡΕΚΛΕΣ ΓΥΡΩ-ΓΥΡΩ. ΕΠΙΣΗΣ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ ΕΤΟΙΜΑ ΤΑ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΤΑ ΟΠΟΙΑ ΘΑ ΤΑ ΜΟΙΡΑΖΟΥΜΕ ΑΜΕΣΩΣ ΣΤΙΣ ΟΜΑ ΕΣ H ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΩΝ ΟΠΟΙΩΝ ΘΑ ΕΙΝΑΙ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗ ΓΙΑ ΤΗΝ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ ΠΟΥ ΘΑ ΑΚΟΛΟΥΘΗΣΕΙ, ΕΤΣΙ ΘΑ ΕΧΟΥΜΕ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ ΝΑ ΑΣΧΟΛΟΥΜΑΣΤΕ ΜΕ ΤΗΝ ΚΑΘΕ ΟΜΑ Α ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ 5 ΛΕΠΤΑ ΤΗΣ ΩΡΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΟΜΕΝΟΙ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΤΙΣ ΟΜΑ ΕΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΟΝΤΑΣ ΚΑΙ ΥΠΟΒΟΗΘΩΝΤΑΣ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥΣ. ΚΑΛΟ ΕΙΝΑΙ ΣΤΗΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΗΣ ΟΜΑ ΑΣ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΕΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΤΩΝ ΜΕΛΩΝ ΤΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑ ΚΑΙΡΟΥΣ ΝΑ ΑΛΛΑΖΕΙ Η ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΩΝ ΟΜΑ ΩΝ ΕΙ ΙΚΑ ΑΝ ΒΛΕΠΟΥΜΕ ΟΤΙ ΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΜΕΛΩΝ ΤΗΣ. ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΑΚΟΜΗ ΝΑ ΖΗΤΗΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΑΙΘΟΥΣΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΟΠΟΙΑ ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΥΣ ΟΠΟΙΟΥΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΜΕ ΕΝΑ ΦΛΑΣΑΚΙ ΝΑ ΜΕΤΑΦΕΡΟΥΜΕ ΤΑ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑ 3 Ή 4 ΜΑΘΗΤΕΣ ΝΑ ΟΥΛΕΥΟΥΝ ΣΕ ΕΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΕΝΩ ΕΜΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑ ΒΙΝΤΕΟΠΡΟΒΟΛΕΑ (ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΤΑ ΣΧΟΛΕΙΑ) ΠΟΥ ΘΑ ΠΡΟΒΑΛΕΙ ΣΤΟ ΠΙΝΑΚΑ ΤΑ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΙΚΟ ΜΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΝΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΝΑ ΕΙΧΝΟΥΜΕ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΑΥΤΑ ΠΟΥ ΘΕΛΟΥΜΕ ΜΕ ΕΝΑ ΑΠΛΟ ΛΕΙΖΕΡ. 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μονώ νυμ - Πολυώ νυμ Λέμε λγερική πράστση κάθε πράστση που περιέχει μετλητές. π.χ., +, 5, ( + ), +. Λέμε ριθμητική τιμή ( ή πλά τιμή )

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Κεφάλιο o : Πργµτικοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 6 Υποενότητ.1: Τετργωνική Ρίζ Θετικού Αριθµού Θεµτικές Ενότητες: 1. Τετργωνική ρίζ θετικού ριθµού.. Ιδιότητες της τετργωνικής ρίζς. Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ 78 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 1. Τι ονοµάζετε δύνµη ν ; Ονοµάζετι δύνµη ν µε άση τον ριθµό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινό- µενο πό ν πράγοντες ίσους µε. Ορίζουµε κόµ ότι: 1 0 1 µε 0 - ν. Ποιες

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Σελ.. Τ σύνολ των ριθµών:. Ν: οι Φυσικοί ριθµοί Ν = {0,,,, 4,.. } β. Ζ: οι Ακέριοι ριθµοί Ζ = {. -, -, -, 0 +, +, +,. } γ. Q: οι Ρητοί ριθµοί Q = / Ζ κι β Ζ µε β 0 β δ. Q : οι Άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ 13 Κεφάλιο o : Αλγερικές Πρστάσεις Υποενότητ.: Εξισώσεις ου Βθµού ( γ, ). Θεµτικές Ενότητες: 1. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει της πργοντοποίησης.. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει τύπου.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) =

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε

Διαβάστε περισσότερα

i) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 ii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2Α 2 iii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΒΓ Μ iν) ΑΒ 2 ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 = 2ΑΜ 2 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2

i) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 ii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2Α 2 iii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΒΓ Μ iν) ΑΒ 2 ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 = 2ΑΜ 2 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 1 9.5 9.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 198 199 Ερωτήσεις κτνόησης 1. Στο πρκάτω σχήµ η Μ είνι διάµεσος κι ύψος. Ποι πό τις πρκάτω σχέσεις είνι σωστή. ιτιολογήστε την πάντηση σς. A i) Μ Μ ii) Μ iii)

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β)

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β) Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ν 0 ν = 1 = β β ν 1= ν µ = ν + µ ν ν µ 1 µ = ν = ν ( ν ) µ ν ν = ν µ β = β ( β) ν = ν βν ν > 0 τότε 2 = β = β β = β Ιδιότητες υνάµεων ν > β τότε + γ > β+ γ. ν > β κι γ > δ τότε + γ > β+ δ.

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι συνεχς σε έν διάστηµ Ν ποδείξετε ότι: Αν >0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είνι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

1 και β = 0,001 να υπολογίσετε την παράσταση: 2 3(2α 3β) 4[ 3α + 2(α + 2β 1)]

1 και β = 0,001 να υπολογίσετε την παράσταση: 2 3(2α 3β) 4[ 3α + 2(α + 2β 1)] Γι ποιες τιμές του ορίζοντι οι πρστάσεις ; δ 9 7 ε Ν υπολογιστούν οι πρκάτω πρστάσεις : Α = 7 Ν γίνουν οι πράξεις: Β = 7 γ στ [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] Αν = 9 0 8 κι = 0,00 ν υπολογίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕ ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 015 Θέμ 1 ο Α) Ν διτυπώσετε τ κριτήρι γι ν είνι δύο τρίγων όμοι Β) Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το ο θεώρημ διμέσων Γ) Ν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ν κάνετε ένν άξον Ο κι ν τοποθετήσετε πάνω σ υτόν τους ριθμούς: 0,, -, π, -π,,, Ν υπολογίσετε τις πόλυτες τιμές των πρπάνω ριθμών γ Ν υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης 4. -4.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 8 83 ρωτήσεις Κτνόησης. i) Πώς ονοµάζοντι οι γωνίες κι β του πρκάτω σχήµτος κι τι σχέση έχουν µετξύ τους; ii) Tι ισχύει γι τις γωνίες γ κι δ ; ε δ ε ε ε γ β ε πάντηση

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα.

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα. 1 9.1 9. Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο ΘΕΩΡΙ 1. προβολή του στην ε προβολή του στην ε προβολή του στην ε ε. Τρίγωνο ορθογώνιο στο κι ύψος. Τότε = = = = β + γ κι ντίστροφ = 1 υ = 1 β + 1 γ ν δίνοντι

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α &

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ν. ΗΜΑΘΙΑΣ. Α Γυµνασίου

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ν. ΗΜΑΘΙΑΣ. Α Γυµνασίου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ν. ΗΜΑΘΙΑΣ ος Ηµθιώτικος Μθητικός ιγωνισµός στ Μθηµτικά «Η ΥΠΑΤΙΑ» Θέµ 1ο Σάτο 1 Νοεµρίου 009 Α Γυµνσίου Ο ρίσκετι σε έν κινηµτογράφο όπου όλες οι σειρές έχουν κριώς

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την

Διαβάστε περισσότερα

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ β Έστω πίνκς Α Χ = γ δ Σε κάθε τετργωνικό πίνκα ντιστοιχίζοµε ένν πργµτικό ριθµό τον οποίο ονοµάζοµε ορίζουσ του πίνκ κι ορίζετι ως β Α = = δ β γ Η έννοι της ορίζουσς είνι νγκί προκειµένου ν

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδ θεµάτων επνάληψης 1. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν κάθε τριγώνου δίνετι πό τον τύπο Ε τρ, όπου τ η ηµιπερίµετρος του τριγώνου κι ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ . ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Η γενική µορφή της β βάθµις εξίσωσης + β + γ 0, 0. Οι λύσεις της β βάθµις εξίσωσης β 4γ Η εξίσωση + β + γ 0, 0 Ότν > 0 Έχει δύο ρίζες άνισες, τις, Ότν 0 Έχει µί διπλή ρίζ,

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες;

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες; ΛΟΓΙΣΜΟΣ ) Ποι είνι η ρχική ή πράγουσ; Τι σχέση έχει µε την f. Έστω f µι συνάρτηση ορισµένη σ έν διάστηµ. Αρχική ή πράγουσ της f στο θ ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει F ()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Γι μθητές Β & Γ Λυκείου ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Πολλές συνρτήσεις μπορούν ν πρστθούν γρφικά, χωρίς τη

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 6 Ακολουθίες Ορισµός Ακολουθί λέγετι κάθε συάρτηση, η οποί έχει πεδίο ορισµού το σύολο τω φυσικώ ριθµώ N *. Μί κολουθί συµβολίζετι συήθως µε το γράµµ όπου κάτω δεξιά βάζουµε το δείκτη,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ENA ΣΧΗΜΑ ΜΕ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ. Κόσυβας Γιώργος. 1ο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών

ENA ΣΧΗΜΑ ΜΕ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ. Κόσυβας Γιώργος. 1ο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών Σ ENA ΣΧΗΜ ΜΕ ΕΝΙΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΣΕΙΣ Κόσυβς ιώργος ο Πειρμτικό υμνάσιο θηνών ε υτή την εργσί προυσιάζοντι ορισμένες ξιοσημείωτες πρτηρήσεις πάνω σε έν πλούσιο σχήμ, το οποίο επιτρέπει ποικίλες προσεγγίσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Κεφάλιο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f: [, ] πό το έως κι το κι πώς συμολίζετι ; Αν F είνι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν τρπεζίου ισούτι µε το γινόµενο του ηµιθροίσµτος των βάσεών του επί το ύψος του. Μονάδες 10 Α. Ν χρκτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµτ Μθηµτικών Θετικής Κτεύθυνσης Β Λυκείου 999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ ο Α. Έστω a, ) κι, ) δύο δινύσµτ του κρτεσινού επιπέδου Ο. ) Ν εκφράσετε χωρίς πόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων a κι συνρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ακτίνα του τέλους του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. 19. Ποια ανισοτική σχέση ισχύει για το µέτρο του αθροίσµατος δυο διανυσµάτων;

ακτίνα του τέλους του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. 19. Ποια ανισοτική σχέση ισχύει για το µέτρο του αθροίσµατος δυο διανυσµάτων; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ (Α) Ν πντήσετε στις πρκάτω ερωτήσεις 1. Τι ονοµάζετι διάνυσµ κι πώς συµβολίζετι;. Ποιο διάνυσµ ονοµάζετι µηδενικό; 3. Τι ονοµάζετι µέτρο ενός δινύσµτος κι πώς συµβολίζετι; 4. Ποιο διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ε ω μ ε τ ρ ί AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ=Α) προεκτείνουμε τη βάση Β κτά ίσ τμήμτ Β=Ε. Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕ είνι ισοσκελές. 2. Ν κτσκευάσετε σε ισοσκελές τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Δ/ση Β /θµις Εκπ/σης Φλώρις Κέτρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Τυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Τυτότητ ποκλείτι η ισότητ άµεσ σε δύο λγερικές πρστάσεις, η οποί ληθεύει γι όλες τις τιµές τω µετλητώ πό τις οποίες ε- ξρτώτι οι λγερικές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αργύρης Φελλούρης Απληρωτής Κθηγητής ΕΜΠ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Στο Κεφάλιο υτό θεωρούμε γωστές τις σικές

Διαβάστε περισσότερα

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη 255 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣΣ Α! ΤΑΞΗΣΣ Ο Ρωµίος που µχίρωσσε ε τον Αρχιµήδη Μ' έν κλά µελετηµένο κτύπηµ, σκότωσε τον κύκλο, την εφπτόµενη κι το σηµείο τοµής στο άπειρο. "'Επί ποινή" διµελισµού εξόρισε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 76 Κεφάλιο 3ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Απντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό - Λάθος. Σ 0. Σ 39. Λ 58. Σ. Σ. Λ 40. Σ 59. Σ 3. Σ. Σ 4. Σ 60. Λ 4. Λ 3. Λ 4. Σ 6. Λ 5. Σ 4.

Διαβάστε περισσότερα

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες Εξίσωση ο υ βθµού Σελ. 8 Ορισµοί - πρτηρήσεις. Κάθε πολυώνυµο που µετά πό νγωγή οµοίων όρων κι διάτξη κτά τις φθίνουσες δυνάµεις του έχει πάρει την µορφή βγ όπου,β,γ πργµτικοί ριθµοί κι λέγετι τριώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. * Αν η γρφική πράστση µις συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήµ, τότε λάθος είνι Α. lim f () = 4 B. lim f () = 1 1 1 Γ. lim f () =. f ( 1) = 1 4 0 1 1 1 E. f (1) = 4.

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση ρητών παραστάσεων

Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση ρητών παραστάσεων ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ. 0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Πολλπλσισμός-Διίρεση ρητών πρστάσεν Πολλπλσισμός Γι ν πολλπλσιάσουμε ένν κέριο ριθμό με έν κλάσμ ή ι ν πολλπλσιάσουμε δύο κλάσμτ, χρησιμοποιούμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000 Ζήτηµ 1ο Θέµτ Γεωµετρίς Γενικής Πιδείς Β Λυκείου 000 Α.1. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ µε διάµεσο ΑΜ ν ποδείξετε ότι το άθροισµ των τετργώνων δύο πλευρών του ισούτι µε το διπλάσιο του τετργώνου της διµέσου που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α.. Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου Α.. ) Βλέπε τον ορισµό στη σελίδ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000 Θέµτ Γεωµετρίς Γενικής Πιδείς Β Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ 1ο Α.1. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ µε διάµεσο ΑΜ ν ποδείξετε ότι το άθροισµ των τετργώνων δύο πλευρών του ισούτι µε το διπλάσιο του τετργώνου της διµέσου

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης Τάξη Β Θετική κι Τεχνολογική Κτεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίς κι πντήσεις πό το σχολικό ιλίο Κθηγητής: ΝΣ Μυρογιάννης Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι Γ λέγοντι πράλληλ ή συγγρµµικά; Απάντηση: Ότν έχουν τον

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Πόσα είδη ορίων υπάρχουν; Τι είναι το +, - ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά ή περιοχή του x o ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά του +, - ;

ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Πόσα είδη ορίων υπάρχουν; Τι είναι το +, - ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά ή περιοχή του x o ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά του +, - ; ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Πόσ είδη ορίω υπάρχου; Υπάρχει όριο στο κι είι πργµτικός ριθµός (πεπερσµέο) Υπάρχει όριο στο κι είι, - (µη πεπερσµέο) Υπάρχει όριο στο ή - κι είι πργµτικός ριθµός. Υπάρχει όριο στο ή -

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

1.6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ

1.6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ 1 1.6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πργοντοποίηση : Είνι η διδικσί µε την οποί µί πράστση που είνι άθροισµ µεττρέπετι σε γινόµενο πργόντων 2. Χρησιµότητ : Απλοποιήσεις Εύρεση Ε.Κ.Π κι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

Σελ. 1. Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Μαθηµατικά Γ Γυµνασίου ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Σελ. 1. Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Μαθηµατικά Γ Γυµνασίου ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φυσικοί ριθµοί (Ν :,,,,... Ακέριοι ριθµοί (Ζ :...,,,,,... Ρητοί (Q λέγοντι οι ριθµοί που µπορούν ν γρφούν µε τη µορφή κλάσµτος δηλδή, στη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Εμδό προλικού χωρίου Έστω ότι θέλουμε ρούμε

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f( x ), ( ) σύνολο Α ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ g x είνι δύο πρστάσεις µις µετλητής x πού πίρνει τιµές στο Ανίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε σχέση της µορφής f( x) g( x) f( x) g( x)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Παρατήρηση Ισχύουν οι επόµενες ισότητες: Προσέχουµε: Αν α 0και ν θετικός ακέραιος τότε η µη αρνητική ρίζα της εξίσωσης.

Παρατηρήσεις. Παρατήρηση Ισχύουν οι επόµενες ισότητες: Προσέχουµε: Αν α 0και ν θετικός ακέραιος τότε η µη αρνητική ρίζα της εξίσωσης. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Α κι θετικός κέριος τότε η µη ρητική ρίζ της εξίσωσης λέγετι ιοστή ρίζ του κι συµολίζετι. ηλδή = Γράφουµε: = = ( ) = κι = Πρτηρήσεις. Ο συµολισµός έχει όηµ µόο ότ. Στη πράστση

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 0 Υπερολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Oρισµός Υπερολή ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων η διφορά των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερή κι µικρότερη πο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΜΑ Α A ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΜΑ Α Β ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ τοποθετημένους σε μ γραμμές και v στήλες. Το σύμβολο. λέγεται πίνακας διάστασης μ x ν. α α

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ τοποθετημένους σε μ γραμμές και v στήλες. Το σύμβολο. λέγεται πίνακας διάστασης μ x ν. α α ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Θεωρούμε μ ριθμούς ij, i,,, μ κι j,,, τοποθετημέους σε μ γρμμές κι v στήλες Το σύμολο μ μ λέγετι πίκς διάστσης μ Οι ριθμοί ij λέγοτι στοιχεί του πίκ Α Ο πίκς Α μπορεί συμολιστεί ως Α[ [

Διαβάστε περισσότερα

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0.

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0. Ερωτήσεις νάπτυξης 1. ** Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-,

Διαβάστε περισσότερα

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου και λόγος εµβαδών

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου και λόγος εµβαδών 0. 0.5 Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου κι λόγος εµβδών ΘΕΩΡΙ. Ε= τ( τ )( τ β)( τ γ ) Ε = τ ρ Ε = β γ R Ε = β γ ηµ = γ ηµ = β ηµ ηµ = β ηµ = γ ηµ = R. ν δύο τρίγων έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 A ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Σάββατο 7 Ιανουαρίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 A ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Σάββατο 7 Ιανουαρίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 07 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνί: Σάββτο 7 Ινουρίου 07 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Ν συµπληρώσετε τους τύπους: i. ii....,... =...,... β

Διαβάστε περισσότερα

ύο θεµελιώδεις ισοδυναµίες. 2. Ιδιότητες αναλογιών. 3. Πρόβληµα Σηµείο Μ διαιρεί εσωτερικά τµήµα ΑΒ = α σε λόγο λ. Να υπολογιστούν τα

ύο θεµελιώδεις ισοδυναµίες. 2. Ιδιότητες αναλογιών. 3. Πρόβληµα Σηµείο Μ διαιρεί εσωτερικά τµήµα ΑΒ = α σε λόγο λ. Να υπολογιστούν τα 1 7.1 7.7 ΘΩΡΙ 1. ύο θεµελιώδεις ισοδυνµίες ν, β 0 ευθ.τµήµτ κι x > 0 τότε = β x β = x = xβ = xβ 2. Ιδιότητες νλογιών β = γ δ δ = βγ (γινόµενο άκρων = γινόµενο µέσων) β = γ δ γ = β δ (ενλλγή των µέσων)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 6 διδακτικές ώρες

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 6 διδακτικές ώρες ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 6 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : 1 Η Διδακτική ώρα : Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου για το σχ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου για το σχ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδς Προσντολισμού Θετικών Σπουδών κι Σπουδών Οικονομίς & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου γι το σχ έτος 7-8 Αγπητέ Μθητή, Αγπητή Μθήτρι Στις φετινές οδηγίες διδσκλίς κι διχείρισης της

Διαβάστε περισσότερα

1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x

1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ Στο σχήμ 4 έχουμε τη γρφιή πράστση μις συάρτησης οτά στο Πρτηρούμε ότι, θώς το ιούμεο με οποιοδήποτε τρόπο πάω στο άξο πλησιάζει το πργμτιό ριθμό, οι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Παρουσίασα τις αποδείξεις κάπως αναλυτικά ώστε να γίνουν πιο κατανοητές.εσείς μπορείτε να τις παρουσιάσετε πιο λιτά.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Παρουσίασα τις αποδείξεις κάπως αναλυτικά ώστε να γίνουν πιο κατανοητές.εσείς μπορείτε να τις παρουσιάσετε πιο λιτά. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Προυσίσ τις ποδείξεις κάπως νλυτικά ώστε ν γίνουν πιο κτνοητές.εσείς μπορείτε ν τις προυσιάσετε πιο λιτά. Δίνετι τυχόν ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( ˆΑ=1 =1 ορθή) κι Δ η προβολή της κορυφής Α στην υποτείνουσ.ν

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό.

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό. Ε. 5. Γεωμετρική Πρόοδος Απρίτητες γώσεις Θεωρίς Γεωμετρική πρόοδος Γεωμετρική Πρόοδο (Γ.Π.) οομάζουμε μι κολουθί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεό του με πολλπλσισμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό

Διαβάστε περισσότερα

10.4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης

10.4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης 0.4 σκήσεις σχολικού ιλίου σελίδς 0 Ερωτήσεις κτνόησης. Με την οήθει του τύπου Ε = ηµ, ν ποδείξετε ότι Ε Ε = ηµ = Η ισότητ ισχύει ότν ηµ =, δηλδή ˆ = 90 ο, δηλδή σε ορθοώνιο τρίωνο. Σε τρίωνο είνι () =

Διαβάστε περισσότερα