ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

Transcript

1 ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij, που λέγετι στοιχείο του πίνκ, βρίσκετι στην i - γρµµή κι στην j - στήλη Ένς πίνκς Α n µε n γρµµές κι µί στήλη ονοµάζετι πίνκς στήλη, δηλδή: Α n Ενώ ένς πίνκς Α, n µε µί γρµµή κι n στήλες ονοµάζετι πίνκς γρµµή, δηλδή: Α ( ) n Πρτήρηση Κάθε στοιχείο του χώρου σν πίνκς γρµµή n n R µπορεί ν θεωρηθεί σν πίνκς στήλη n ή Έν πίνκς Α n n όπου το πλήθος των γρµµών είνι ίσο µε το πλήθος των στηλών λέγετι τετργωνικός ηλδή: Α n n n n nn στοιχεί,,, nn του προηγούµενου τετργωνικού πίνκ Α ποτελούν την κύρι διγώνιό του Studies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 (ΠΟΛΥΕΧΝΕΙΟ) ΗΛ: 87 wwwarnοsgr ΦΡΟΝΙΣΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΑ ΦΟΙΗΩΝ ΑΕΙ ΑΕΙ ΕΑΠ - ΕΜΠ

2 Ένς τετργωνικός πίνκς Α n n θ λέγετι άνω τριγωνικός ότν τ στοιχεί κάτω της κύρις διγωνίου είνι µηδέν ηλδή ότν έχουµε γι i k i > k Όµοι θ λέγετι κάτω τριγωνικός ότν τ στοιχεί πάνω π' την κύρι διγώνιο είνι µηδέν ηλδή έχουµε, γι i < k i k Ότν ο τετργωνικός πίνκς Α είνι πάνω κι κάτω τριγωνικός θ λέγετι διγώνιος Πράδειγµ Γι τους τετργωνικούς πίνκες Α, Β, Γ έχουµε ότι ο Α είνι πάνω τριγωνικός, ο Β είνι διγώνιος κι ο Γ είνι κάτω τριγωνικός ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ) Πρόσθεση πινάκων Ας είνι οι n m πίνκες ( ), B (βi j) µε i,,, n κι j,,, m Ορίζουµε σν άθροισµ των πινάκων Α, Β τον n m πίνκ Α+Β µε στοιχεί τ + β ηλδή: Ιδιότητες Α + Β ( + β ) i n, j m Α + Β Β + Α, ( Α + Β) + Γ Α + ( Β + Γ) Α + Α, Α + ( Α) Με συµβολίζουµε τον πίνκ που έχει όλ τ στοιχεί του ίσ µε β) Βθµωτός πολλπλσισµός Ορίζουµε τον πολλπλσισµό πργµτικού ριθµού λ R µε τον πίνκ Α, σν τον πίνκ που προκύπτει πό τον πολλπλσισµό όλων των στοιχείων του Α µε το λ ηλδή: λ Α λ( i j) ( λi j), i,,,n, j,,,m πχ λ λ λ λ λ Studies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 (ΠΟΛΥΕΧΝΕΙΟ) ΗΛ: 87 wwwarnοsgr ΦΡΟΝΙΣΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΑ ΦΟΙΗΩΝ ΑΕΙ ΑΕΙ ΕΑΠ - ΕΜΠ

3 Ιδιότητες λ ( Α + Β) λα + λβ, ( λ + µ ) Α λα + µ Α Α Α, ( λµ ) Α λ( µ Α) γ) Πολλπλσισµός πινάκων Ας είνι οι πίνκες: Α n m µε ( ), i n, j m κι Β m k µε B ( β ), j m, k j Ορίζουµε το γινόµενο ΑΒ των πινάκων Α, Β τον n k πίνκ του οποίου τ στοιχεί προκύπτουν πό τ εσωτερικά γινόµεν των γρµµών του Α µε τις στήλες του Β ηλδή το γ i στοιχείο του ΑΒ προκύπτει ν πάρουµε το εσωτερικό γινόµενο της i-γρµµής του Α κι της στήλης του Β γ,,, ), ( β, β,, β ) i ( i i im m Συνεπώς i β + iβ + + imβ m i jβ m j j ΑΒ ( γ i ) µε i n, k κι γ i m j β j Γι ν γίνετι ο πολλπλσισµός πρέπει το πλήθος των στηλών του Α ν είνι ίσο µε το πλήθος των γρµµών του Β ιότι προφνώς, γι ν έχουµε το γ στοιχείο του ΑΒ το διάνυσµ γρµµή του Α κι το διάνυσµ στήλη του Β, είνι πρίτητο ν έχουν το ίδιο πλήθος συντετγµένων i ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ν βρεθεί το γινόµενο του πίνκ Α µε τον πίνκ Β, όπου: Α, Β 6 ΑΒ Studies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 (ΠΟΛΥΕΧΝΕΙΟ) ΗΛ: 87 wwwarnοsgr ΦΡΟΝΙΣΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΑ ΦΟΙΗΩΝ ΑΕΙ ΑΕΙ ΕΑΠ - ΕΜΠ

4 Άρ ΑΒ Πρτήρηση Μπορεί το γινόµενο δύο πινάκων ΑΒ ν ορίζετι κι ν µην ορίζετι το ΒΑ, πχ ν ο Α είνι κι ο Β είνι ο ΑΒ ορίζετι κι είνι πίνκς ενώ ο ΒΑ δεν ορίζετι Ιδιότητες ( ΑΒ ) Γ Α( ΒΓ) Α ( Β + Γ) ΑΒ + ΑΓ ή ( Α + Β) Γ ΑΓ + ΒΓ Α( λ Β) ( λα) Β λ( ΑΒ) Φυσικά θ πρέπει τ πρπάνω γινόµεν ν ορίζοντι Προσοχή: Αν ορίζοντι τ ΑΒ κι ΒΑ δεν ισχύει γενικά ότι ΑΒ ΒΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Γι τους πίνκες εξετάστε ν ΑΒ ΒΑ Α, Β Έχουµε: ΑΒ + + ΒΑ Προφνώς ΑΒ ΒΑ Studies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 (ΠΟΛΥΕΧΝΕΙΟ) ΗΛ: 87 wwwarnοsgr ΦΡΟΝΙΣΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΑ ΦΟΙΗΩΝ ΑΕΙ ΑΕΙ ΕΑΠ - ΕΜΠ

5 ΜΟΝΑ ΙΑΙΟΣ ΑΝΑΣΡΟΦΟΣ ΑΝΙΣΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Ο n n πίνκς µε, γι i j κι, γι i j λέγετι µονδιίος κι συµβολίζετι µε n I ή πλώς Ι Πρτηρούµε εύκολ ότι γι ένν n m πίνκ θ ισχύει: Ι m, I n Oρισµός Ας είνι ο n m πίνκς Α ) Λέµε νάστροφο του πίνκ Α, τον m n ( πίνκ Α ( βi j), όπου β ji µε i,,,m, j,,, n ηλδή ο Α έχει στήλες τις γρµµές του Α κι γρµµές τις στήλες του Α Πράδειγµ 7 7 Συνεπώς ν σ' έν πίνκ Α κάνουµε τις γρµµές στήλες πίρνουµε τον νάστροφό του Α Ιδιότητες του νάστροφου πίνκ ( Α ) Α ( Α + Β) Α + Β ( ΑΒ ) Β Α Ένς τετργωνικός n n πίνκς που έχει ίσ τ συµµετρικά στοιχεί ως προς την κύρι διγώνιο λέγετι συµµετρικός ηλδή ότν Α Α Πράδειγµ Ο πίνκς Α είνι συµµετρικός, φού Α Α Studies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 (ΠΟΛΥΕΧΝΕΙΟ) ΗΛ: 87 wwwarnοsgr ΦΡΟΝΙΣΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΑ ΦΟΙΗΩΝ ΑΕΙ ΑΕΙ ΕΑΠ - ΕΜΠ

6 6 Ένς τετργωνικός n n πίνκς Α κλείτι ντιστρέψιµος ή οµλός ότν υπάρχει n n πίνκς, που συµβολίζετι µε Α, τέτοιος ώστε: ΑΑ Α Α Ι n Ιδιότητες του ντίστροφου πίνκ : ( Α ) Α k k ( ) ( ) Α (B) B T ( ) ( ) T OΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Ένς n n πίνκς ( ), µε R, λέγετι ορθογώνιος, ότν το σύνολο των δινυσµάτων των στηλών του (, x,, ) x x n είνι ορθοκνονικό ηλδή το εσωτερικό γινόµενο των στηλών νά δύο είνι µηδέν γι i j (τ δινύσµτ νά δύο είνι κάθετ) κι έν γι i j (µονδιί) x x i j, ν i j, ν i j Πρότση Ένς n n πίνκς ( ), µε R, είνι ορθογώνιος, ότν κι µόνο ότν έχει ντίστροφο (είνι οµλός) που ισούτι µε τον νάστροφό του ηλδή: Α Α Πρότση Αν ο n n πίνκς ( ), µε R, είνι ορθογώνιος τότε έχει ορίζουσ ίση µε ± ηλδή: det ± Studies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 (ΠΟΛΥΕΧΝΕΙΟ) ΗΛ: 87 wwwarnοsgr ΦΡΟΝΙΣΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΑ ΦΟΙΗΩΝ ΑΕΙ ΑΕΙ ΕΑΠ - ΕΜΠ

7 7 Πράδειγµ ίνετι ο πίνκς Α Επειδή τ δινύσµτ : x (,, ), x,, κι x,, είνι µονδιί, δηλδή x x x κι κάθετ δηλδή x x, x x, x x ο πίνκς Α είνι ορθογώνιος Πρτηρούµε ότι Α Α διότι Α Α Ι Πράδειγµ Έστω ο πίνκς Α Επειδή τ δινύσµτ: x (,, ), ( ) T x,, x,, είνι µονδιί, δηλδή x x x κι κάθετ x x, x x, x x ο πίνκς Α είνι ορθογώνιος Επίσης πρτηρούµε ότι Α Α κι ( ) T διότι Α Α Ι Studies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 (ΠΟΛΥΕΧΝΕΙΟ) ΗΛ: 87 wwwarnοsgr ΦΡΟΝΙΣΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΑ ΦΟΙΗΩΝ ΑΕΙ ΑΕΙ ΕΑΠ - ΕΜΠ