ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 17 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Ααντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α1. Αόδειξη σχολικού βιβλίου σελ 135 Α. α. Ψευδής (ορθή εκφώνηση σελ 99) β. Αντιαράδειγμα σχολικού βιβλίου σελ 99 Α3 Σελίδα 73 Α α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β Β1. Για τη σύνθεση της g με την f βρίσκουμε το εδίο ορισμού της Δηλαδή : 1 και A A και g A f g g f 1 1 Εομένως ορίζεται η συνάρτηση f g με εδίο ορισμού A,1 f g f g ln 1 f g και τύο 1
Β. Για τη συνάρτηση ln ln 1 ln 1 με A,1 έχουμε A,1 η οοία είναι αραγωγίσιμη στο με αράγωγο 1 1 για κάθε εομένως η είναι γνησίως αύξουσα 1 άρα και 1-1 εομένως αντιστρέφεται. Το εδίο ορισμού της είναι το σύνολο τιμών της. 1,1 Η συνεχής και γνησίως αύξουσα στο της είναι : A,1 A lim, lim, διότι : 1 εομένως το σύνολο τιμών και lim lim ln ln 1 lim lim ln ln 1 1 1 Άρα το εδίο ορισμού της 1 είναι A 1, και ο τύος της : y y y y ln y 1 1 y y y y 1, y, y 1 1 Εομένως,, 1 y Β3. Η φ αραγωγίσιμη στο σύνολο των ραγματικών αριθμών με 1 1 1 1 1 φ για κάθε, εομένως η φ γνησίως αύξουσα στο εδίο ορισμού της και δεν αρουσιάζει ακρότατα. Για τα διαστήματα κυρτότητας θα βρούμε τη δεύτερη αράγωγο της φ
1 1 1 1 1 φ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 Για τις ρίζες και το ρόσημο της φ έχουμε τα αρακάτω : Στο διάστημα κοίλη. Το σημείο, η φ,φ φ 1 φ 1 φ 1 είναι κυρτή ενώ στο διάστημα δηλαδή το Β. Για τις οριζόντιες ασύμτωτες της φ 1 1 lim φ lim της C φ στο 1,, είναι το σημείο καμής. έχουμε : η φ είναι άρα η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμτωτη lim φ lim lim 1 άρα η ευθεία y 1 1 ασύμτωτη της C στο φ H γραφική αράσταση φαίνεται αρακάτω: είναι οριζόντια 3
ΘΕΜΑ Γ Γ1. Έστω είναι Μ,f σημείο της C f η εξίσωση της εφατομένης της στο Μ y f f Για να υάρχουν δύο ακριβώς εφατόμενες ου άγονται αό το Α θα ρέει το σημείο Α να ανήκει στην (ε) άρα: ημ συν και η τελευταία εξίσωση να έχει δύο ακριβώς ρίζες. Θεωρούμε τη συνάρτηση Η g αραγωγίσιμη στο g ημ συν με g ημ,, με g ημ διότι ημ για κάθε, g ημ διότι ημ για κάθε, g g - + ' " Στο, η g είναι γνησίως φθίνουσα ενώ στο, είναι γνησίως αύξουσα Δηλαδή η εξίσωση g έχει δύο ακριβώς ρίζες στο οι όοιές εμφανίζονται στα άκρα του εδίου ορισμού., τις και Οι εφατόμενες της f στα σημεία,f και,f είναι αντίστοιχα ε : y f f y 1 ε : y f f y
Γ. Βρίσκουμε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ oου O, A, και Β,. Ε ΟΑΒ Ε f d ημd συν συν συν Ε1 ΕΟΑΒ Ε Ε1 Ε1 Άρα 1 Ε 8 Γ3. Για το ζητούμενο όριο έχουμε : f f 1 lim lim lim f f f f Η συνάρτηση f ημ είναι κυρτή στο, άρα η εξίσωση εφατομένης της βρίσκεται κάτω αό αυτήν με εξαίρεση το σημείο εαφής Δηλαδή ισχύει : 5
f f και το ίσον ισχύει μόνο για Άρα για ισχύει f και lim f άρα : lim 1 f Γ. Αό το Γ3 έχουμε : f για κάθε 1, άρα : f f f 1 d 1 d d ln 1 f d 1 1 1 1 1 ΘΕΜΑ Δ Δ1. Η f είναι συνεχής στο 1, ως ρίζα συνεχούς. Η f είναι συνεχής στο Για την συνέχεια στο έχουμε:, ως γινόμενο συνεχών. lim f lim, lim f Άρα η f είναι συνεχής στο εδίο ορισμού της. 1 1 3 Για 1, έχουμε : f 3 3 3 Για, f 3 f 1 3 άρα το σημείο είναι κρίσιμο. Για το σημείο έχουμε 3 3 f f lim lim lim 6
f f lim lim 1 άρα η f δεν είναι αραγωγίσιμη στο οότε το είναι κρίσιμο σημείο της f. Δ. Για, : f 3 3 f 1 άρα η μονοτονία της f είναι: f γνησίως φθίνουσα στο 1, η f είναι γνησίως αύξουσα στο η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, 3, και αρουσιάζει τοικά ακρότατα τα, 3, 3 3 f 1 1, f, f, f και το σύνολο τιμών της είναι f, 3 ροφανώς είναι 3 1 Δ3. Βρίσκουμε τα κοινά τους σημεία λύνοντας την εξίσωση 5 f g η οοία ροφανώς είναι αδύνατη γιατί >. Διότι : κάθε 1 και για κάθε 1 ημ 1 Το εμβαδόν του χωρίου είναι ρόσημο της ημ 5 d τώρα βρίσκουμε το το οοίο είναι ροφανώς αρνητικό για κάθε I1 d d d d 7
1 άρα 1 1 1 άρα 5 5 1 5 d 5 5 5 1 1 E I1 I 5 Δ. Η εξίσωση γίνεται 3 3 3 3 3 16f 16 8 f 3 3 f f αό το ολικό μέγιστο της f το ρώτο μέλος είναι μικρότερο ίσο αό το μηδέν ενώ το δεύτερο μέλος μεγαλύτερο ίσο αό το μηδέν κατά συνέεια η εξίσωση έχει μόνο μία ρίζα το 3 8