ΤΟ ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΚΑΙ Η ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΟΥ ΣΗΜΑΣΙΑ Γεώργιος Δαμαλάς Μαθηματικός. Καλαμωτή - Κώμη, Χίος Από τη εισήγηση στο 5 υ Παελλήιο Συέδριο της Ε.Μ.Ε. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το ατιπαράδειγμα γειέται από πρόβλημα και δίει απάτηση σε πρόβλημα. Δείχει τη "ικαή" συθήκη μιας ιδιότητας τη οποία θέλω α εξασφαλίσω, διότι τη θεωρώ χρήσιμη. Η διδακτική του σημασία έγκειται στο ότι αποτελεί πρόκληση για αποδόμηση τω ήδη καθιερωμέω δομώ στο μυαλό τω μαθητώ. Σήμερα που το παιδί ζει και ααπτύσσεται στο σύγχροο πληροφοριακό και τεχολογικό περιβάλλο, σχηματίζει ιδιαίτερους επικοιωιακούς και πολιτιστικούς κώδικες. Ο Δάσκαλος συατά δυσκολία, διότι το παιδί σήμερα, περισσότερο από άλλοτε, προβάλλει ατίσταση στο καιούργιο. Έας τρόπος για α κάμψει τη ατίσταση και α παρακάμψει τα εμπόδια είαι: Να εκχωρήσει το "καλό πρόβλημα" στο παιδί. ΚΥΡΙΩΣ ΚΕΙΜΕΝΟ Ότα το 980 μιλούσαμε για διδακτική τω Μαθηματικώ, μας ατιμετώπιζα με αποστροφή. Έκτοτε δημιουργήθηκα σχετικά τμήματα στα Παεπιστήμια και πολλοί επιστήμοες Μαθηματικοί ευαισθητοποιήθηκα. Ήτα απαίτηση τω καιρώ. Στη εποχή της βέλτιστης απόδοσης και της μέγιστης αποτελεσματικότητας οι κοιωίες παίρου θέση. Δε πρόκειται βεβαίως για τα Μαθηματικά, αλλά για τη μετάδοσή τους. Αυτό εξάλλου εδιαφέρει και τη κοιωία. Η ατίληψη "εγώ είμαι Μαθηματικός, με Διδακτική θα ασχολούμαι τώρα;" έχει παραμερισθεί. Τη κοιωία δε τη εδιαφέρει τι είσαι, αλλά πόσο χρήσιμος είσαι. Άσε που και το Μαθηματικός είαι μεγάλη κουβέτα. Οι ότως Μαθηματικοί αήκου στη "ελίτ" και όχι μόο αυτό, θα πρέπει α είαι και δάσκαλοι. Όσο για το πολύ κόσμο, ας αφήσει το "Μαθηματικός" και ας κρατήσει το "Δάσκαλος". Η κοιωία πρέπει α σε αταμείψει γι' αυτό. Η παγιωμέη ατίληψη. Η ευθύη για τη απλούστευση και τη μετάδοση τω μαθηματικώ γώσεω βαρύει τους μαθηματικούς. Είαι αλήθεια ότι υπήρξε μια περίοδος που ο φορμαλισμός μαζί με τη συτομογραφική του στεογραφία μας λοξοδρόμησα. Ομιλούμε για το ευαίσθητο χώρο της Μ.Ε. Η ατίληψη όμως αυτή ξεκιούσε από τους Παεπιστημιακούς χώρους και είχε σα αποτέλεσμα τα Μαθηματικά α εμφαίζοται σα τέρας καθαρολογίας. Θυμόμαστε ακόμη εκεία τα "Θεωρούμε τη σχέση η οποία ισοδυάμως γράφεται", "Ας υποθέσωμε", "Το ατίστροφο του θεωρήματος δε ισχύει", "Α εκλέξωμε", "Θα γράφομε", "Θα οομάζομε". Ήτα επιστημοικά αέτιμο! Αυτός έκαε αάλυση, εσέα σου παρουσίαζε τη σύθεση. Αυτός ξεκιούσε από τη εποπτεία και τη γραφική παράσταση, εσέα σου το έκρυβε. Αυτός ξεκιούσε από συγκεκριμέο παράδειγμα, σου παρουσίαζε τη κατασκευασμέη Θεωρία της οποίας αφετηρία ήτα το παράδειγμα. Και έπαιρε εκείο το ύφος το αυτάρεσκο, το βαρύγδουπο, το απωθητικό, που έφθαε τα όρια του κωμικού. Εδώ θα έπρεπε α του απευθύει κάποιος το ερώτημα: Για ποιο πράγμα ομιλείς Κύριε; Ποιό είαι το πρόβλημα; Που το πάς; Σε τι μας χρησιμεύει; Σ' αυτό που κάει Μαθηματικά υπεισέρχεται η εόραση, η εμπειρική δοκιμή, η εποπτεία, η δοκιμή - πλάη, η ψηλάφιση, η εικοτολογία, η ααλογία. Το ομολογεί ο μεγάλος Gauss: «Έχω το αποτέλεσμά μου, αλλά δε ξέρω ακόμη πως α το αποδείξω». Και ο Gauss ήτα τουλάχιστο ειλικριής. Εμείς βιαζόμαστε α το αποδείξουμε σε αθρώπους που συήθως δε ξέρου και παίρουμε και ύφος 'βαρύδουπο, εώ χρέος μας θα ήτα α ωθήσουμε τα παιδιά στη Αρχή, στη Πηγή και στη Ιστορία της γώσης.
Η εκχώρηση του "καλού προβλήματος" Το ατιπαράδειγμα είαι η κοίτη μέσα στη οποία οηματοδοτείται η τηρούμεη επιστημοική παράδοση. Είαι φλέβα ερού που ζωταεύει τη παραγωγή της γώσης. Η διδακτική του σημασία φαίεται πιο καθαρά στο feed-back της Διδασκαλίας, ότα πάρεις το σήμα "τι δε κατεόησα" ή «που υστέρησα». Το πρόβλημα που ααφύεται εδώ είαι διδακτικό. Η ατιμετώπιση του γίεται με το α επιλέξει ο Δάσκαλος «το καλό πρόβλημα». Χαρακτηριστικό γώρισμα του επιστήμοα και του Δασκάλου- Μαθηματικού είαι η ευκολία και η ταχύτητα με τη οποία επικαλείται το ατιπαράδειγμα. Το ατιπαράδειγμα γειέται από πρόβλημα και δίει απάτηση σε πρόβλημα. Δείχει στη «ικαή» συθήκη μιας ιδιότητας. Η ιδιότητα βέβαια είαι το χρήσιμο που θέλω α το εξασφαλίσω, για α πληροφορηθώ π.χ. τη μορφολογία της καμπύλης, για α έχω στα χέρια μου μια συάρτηση που απεικοίζει διάστημα σε διάστημα, για α μπορώ α λύω μια εξίσωση, για α έχω έα κριτήριο σύγκλισης, έα κριτήριο ολοκληρωσιμότητας κ.τ.λ. Θέλω λοιπό α εξασφαλίσω τη ιδιότητα, ώστε α ισχύου επαρκείς προϋποθέσεις. ΟΧΙ υπεραπλούστευση του τύπου «δε ισχύει το ατίστροφο». Ποιο ατίστροφο; Εκεί που εμφαίζεται το πρόβλημα είαι στο «επαρκείς». Διατύπωσε το ατίστροφο λοιπό α δούμε α ισχύει ή δε ισχύει. Και ύστερα α δούμε και αυτό ά είαι χρήσιμο. Άλλως έτσι παίζοτας η σωρευτική λογική αάπτυξη διογκώεται δημιουργώτας άχρηστα Μαθηματικά. ) Το ατιπαράδειγμα γίεται αφετηρία για κατασκευή Θεωρίας. Δε έχετε παρά α ρωτήσετε αυτούς που κάου έρευα α σας που πως ξεκίησα. Ψάχεις α βρεις έα πίακα στο Π που δε έχει ατίστροφο. Βρήκες! Καταρρίπτεις το ισχυρισμό «όλοι οι πίακες έχου ατίστροφο» - εικασία και στη συέχεια θέτεις το πρόβλημα. «Υπό ποίες προϋποθέσεις έας πίακας στο Π έχει ατίστροφο» -Κατασκευάζεις Θεωρία. ) Ατιπαράδειγμα για α δείξουμε τους λόγους που υπαγόρευσα α ορίσουμε έτσι τη πράξη Το ερώτημα πάτοτε τίθεται γιατί α ορίσω έτσι τη έοια, τη πράξη κ.τ.λ. Έας π.χ. πολλαπλασιασμός πιάκω χωρίς τη προσεταιριστική ιδιότητα θα περιόριζε πολύ τη εότητα πίακες σ' έα φτωχό πραξιακό σύστημα. Η προσεταιριστικότητα είαι μια από τις αιτίες του Γραμμή x Στήλη! Το παράδειγμα και η ύξη αυτή έχει διδακτική σημασία και βεβαίως θα δοκιμάσεις το Γραμμή x Γραμμή, Στήλη x Στήλη, Στήλη x Γραμμή. 0 Θα δοκιμάσου με τους πίακες A 0, B, Γ 0. A B Γ A B Γ Γραμμή x Γραμμή Στήλη x Στήλη A B Γ A B Γ Στήλη x Γραμμή A B Γ A B Γ Γραμμή x Στήλη A B Γ A B Γ Εδώ έχει η δοκιμή μεγάλη διδακτική αξία. ) Προφύλαξη από το λάθος. Λάθη που γίοται στο τυπικό τω καόω, οδεύοτας μέσα από μοοδρομικές προσθετικές εέργειες. α). Ετέθη το πρόβλημα "α βρεθεί το σύολο τιμώ της συάρτησης f (x) ημx συx, x. Το ατιμετώπισα με δυο τρόπους
ομάδα Α ημx, άρα ημx συx συx Άρα έδειξα ότι f (A) [, ] ομάδα Β π f (x) συ x 4 y, άρα f (x) Άρα έδειξα ότι f (A), Έχει το παράδειγμα διδάκτική σημασία, διότι σπάει το σχήμα «έχω το δικαίωμα» που τους παρασύρει α εεργήσου μοοδρομικά β). Ισχύει η συεπαγωγή A B 0 A 0 B 0 ; 0 0 0 0 ΟΧΙ, γιατί α A και B 0 0 0 0 και όμως A B 0 4) Ατιπαράδειγμα για α διαφαεί η ααγκαιότητα τω περιορισμώ log x x log x. Ετέθη α επιλύσου τη εξίσωση σα εφαρμογή: Το ατιμετώπισα ομάδα Α log x log x log log x log x log x= ομάδα Β log x x log x x x x x= ή x= Στο ΤΕΣΤ θα πρέπει α αξιολογηθού το ίδιο βαθμολογικά. Ας έχου απατήσει οι Α σωστά. Θα μάθου ότι για α διαγράψεις έα πραγματικό αριθμό πρέπει α έχει υπόσταση. Ξεκίησε σα παράδειγμα και κατέληξε σε ατιπαράδειγμα με διδακτική σημασία. 5) Πολλά παραδείγματα θα μπορούσε α ααφέρει καείς που το ατιπαράδειγμα έχει θέση απόδειξης. Γεικά, ότα θέλουμε α αποδείξουμε ότι η «x : p(x)» είαι ψευδής, πρέπει και αρκεί η x : p(x) α είαι αληθής, α βρούμε δηλαδή έα x 0 του σχετικού συόλου ααφοράς, ώστε η p(x 0) α είαι ψευδής. Το p(x 0) λέγεται ατιπαράδειγμα για τη x : p(x) είαι ψευδής. ( x) p(x) ( x) p(x) Γεικά ισχύου οι ισοδυαμίες ( x) p(x) ( x) p(x) Το ατιπαράδειγμα βρίσκεται στο πυρήα της διαψευσεοκρατίας. Ισχύει το κλασικό «επιστημοικό» το «διαψεύσιμο». Το σχήμα αυτό το χρησιμοποιού τα παιδιά ήδη στο προγωσιακό στάδιο πρι εισαχθού στη θεωρητική απόδειξη. α). Διάψευση του ισχυρισμού ότι η ατιμεταθετικότητα ισχύει στο πολλαπλασιασμό 0 0 τω πιάκω. A και B 0 0. Έχουμε A B A και B A B A B B A.
β). Διάψευση του ισχυρισμού ότι ισχύει Ότα x, τότε 4 x x, x y x x γ). Διάψευση του ισχυρισμού : Εά 0 α β, και β συγκλίει, τότε και η α συγκλίει. Παράδειγμα : α ( ) και β. Διαφαίεται η αάγκη η β α συγκλίει, αλλά με όριο το 0, ώστε α συμπαρασύρει και τη α, έτσι διαισθητικά. 6) Ατιπαράδειγμα για είσχυση διδακτικού στόχου. Ετέθη α βρού το lim x x x x και απάτησα πήρα το f (). Ούτε κα σχημάτισα το A {} {, ). limf (x) 0. Προφαώς x 7) Για είσχυση μοτέλου. Το μοτέλο που λέγεται δευτεροβάθμια εξίσωση εισχύεται και εδραιώεται με το α επιλύσω τη εξίσωση x (α )x α α 0 x α ή x α και ως προς α : α ( x)α x x 0 α x ή α x. Οι υπάκουοι έλυσα τις εξισώσεις καοικά. Ο αιρετικός, ο αυπάκουος κατέστρεψε το μοτέλο και προχώρησε με παραγοτοποίηση (x α) (x α) 0 (x α)(x α ) 0, οπότε : ι) και η μαθηματική οτότητα εισχύθηκε (απλή γραμμική μορφή) ιι) και η παραγοτοποίηση σα μέθοδος επίλυσης ααδείχθηκε. 8) Ατιπαράδειγμα για κατασκευή μοτέλου εοιώ, διαδικασιώ, καταστάσεω Έχει τη έοια του υποδείγματος, που είαι έα σύστημα μαθηματικώ σχέσεω που περιγράφου συμβολικά τις υπό μελέτη διαδικασίες. 9) Ατιπαράδειγμα για α αγκιστρωθεί ο ορισμός Αυτό το «ορίζομε», «θα οομάζομε», ή του λες α δικαιολογήσει και απατά. Είαι θέμα ορισμού. Μια ατίληψη α εξυψώουμε τα απλά, τα άμεσα επιβάλοτας βαρύγδουπη ορολογία και ετυπωσιακούς συμβολισμούς. Χρόια τώρα η τυπολατρία και ο φορμαλισμός κατέτρωγα τη ζωτικότητα και το χυμό τω Μαθηματικώ. Με ατιπαραδείγματα δείχουμε τη πληρότητά του και τη ορθότητά του από το α μη δημιουργεί ατιφατικές καταστάσεις στα ήδη καθιερωμέα. Θυμόμαστε τη εξίσωση x 8. Εα έγραφα οι μαθητές x 8, ζητούσαμε τη κεφαλή τους επί πίακι. Τι α αξιολογήσεις εδώ εκτός ίσως από τη πληροφορία ότι α ορίζεται ότα α 0. Στη ώρα του όμως τοίζεις ότι τη ορίζεις έτσι τη δύαμη για α μη χαλάσει όλη αυτή η ιστορία με α α και α τηρηθού τα καθιερωμέα: 4
6 6 6 6 8 ( 8) ( 8) ( 8) 64 64. 0) Μεγάλη διδακτική σημασία έχει το παράδειγμα του βιβλίου Μαθηματικά Γ Λυκείου σελίς 4 «Να προσδιοριστού οι πραγματικοί α, β, έτσι ώστε η συάρτηση x, α x f (x) α είαι παρα5tγωγίσιμη στο σημείο x0». αx β, α x Σ' άλλο σημείο βέβαια φέρει ατιπαράδειγμα συεχούς και μη παραγωγίσιμης. Εδώ χρησιμοποιεί το «πρέπει». Πρόκειται για καθαρό πρόβλημα ευρέσεως. Στη ουσία ψάχω α βρω ποιες από τις συεχείς συαρτήσεις (που πρέπει και αυτές α τις καλέσω για α εεργήσω επάω τους) παραγωγίζοται. Ψάχω για το Καρδαμυλίτη μέσα στη Αθήα. Λογικό είαι α καλέσω τους Χιώτες τω Αθηώ. Τελικώς ψάχω μέσα στη μοοπαραμετρική οικογέεια τω συεχώ συαρτήσεω που διέρχοται από τι Α(,) ποιές σχηματίζου γωιώδες σημείο. Το πρόβλημα ααφέρεται σα εφαρμογή, σα παράδειγμα. Γίεται όμως ατιπαράδειγμα ότα του προσδίδω διδακτική σημασία. ) Ατιπαράδειγμα για το "επαρκές" τω προϋποθέσεω προκειμέου α εξασφαλίσω το συμπέρασμα μου, αφού του έχω προσδώσει το χαρακτήρα του «χρήσιμου». Για τη πρόταση σελίδα 8 Μαθηματικά Γ' Λυκείου: "Για κάθε συάρτηση f, συεχή στο διάστημα [α,β] ισχύει: Α f (x) 0 x (α,β), τότε η f είαι γησίως αύξουσα στο [α,β]. Α όμως η f είαι ορισμέη και συεχής σ' έα διάστημα A (α,β) (γ,δ) με f (x) 0, x A, αυτό δε εξασφαλίζει το «γησίως αύξουσα τη f στο Α». Τέτοια ατιπαραδείγματα μπορεί α επιοήσει καείς πολλά, ξεκιώτας από τη γραφική παράσταση. α β γ δ Το ατιπαράδειγμα θεσμοθετεί, καθιερώει τη εσωτερική του γλώσσα, οι όροι και οι έοιες που χρησιμοποιούται σημασιολογούται. Η ίδια έοια σε διαφορετικά πράγματα έχει διαφορετικές σημασίες. Έχει το χαρακτήρα του αυτοόητου, του άμεσου και για το οποίο δε επερωτούμε. Ισχυροποιεί, πείθει, εισχύει, αφοπλίζει. Δίει σάρκα και οστά σ' αυτό που λέμε σύδεση μεταξύ θεωρίας και πράξης. Γίοται τότε τα μαθηματικά μια συαρπαστική δραστηριότητα. Επιοούται έες θεωρίες. Τα μαθηματικά επεκτείοται, μεταπλάθοται και ζωταεύου. Ο επιστήμοας ελευθερώεται και σταματά α αακαλεί κάθε φορά μια πολύπλευρη Θεωρητική κατασκευή, καθώς και α αασυθέτει ορθολογικά το κάθε βήμα. Ο επιστήμοας Μαθηματικός είαι αυτός που με ευκολία απατά, ερμηεύει, πείθει και εξηγεί με τη συεχή επίκληση ατιπαραδειγμάτω. Εύκολα το διαπιστώει καείς σε μια ομάδα εργασίας. Θέτει ερωτήματα, απατά και έχει το τελευταίο λόγο. Συήθως εκεί δε αποδεικύου. Αυτό ίσως χρειάζεται στη διατύπωση του μαθηματικού κειμέου. Είαι υποχρέωση του μαθηματικού, του επιστήμοα και του Δασκάλου α εκχωρήσει «το καλό πρόβλημα στους σπουδαστές» Άλλο το ατιπαράδειγμα με επιστημοική σημασία και 5
άλλο το ατιπαράδειγμα που τίθεται για είσχυση και καταόηση της εότητας μέσα στη τάξη μετά το σήμα που παίρει ο δάσκαλος στο feed back της διδασκαλίας και του οποίου η διδακτική σημασία είαι ααμφισβήτητη. Η επιμέρους εότητα ριζώει σα απάτηση σ' έα πρόβλημα. Το πρόβλημα το ίδιο αποδομεί το ήδη υπάρχο μέσα στο μυαλό του παιδιού, η κατάσταση αυτή στη φάση αυτή παίρει τη μορφή του εμποδίου. Προβάλλει ατίσταση με το πρόβλημα. Το καιούργιο γυρεύει α αγκιστρωθεί μέσα στο ήδη υπάρχο. Γίεται ααδόμηση, η εότητα ζωταεύει και εμπλουτίζει τη υπάρχουσα οητική δομή έτοιμη πλέο για καιούργιες προβληματικές καταστάσεις. Όσο αφορά τη θεμελίωση και τη ορθολογικότητα, τη απάτηση έδωσε ο ίδιος ο Kline "Τα μαθηματικά μεγαλώου σα το δέτρο. Οσο ααπτύσσεται ο κορμός, τα κλαδιά και τα φύλλα, τόσο πιο βαθιά εισχωρού και οι ρίζες στο έδαφος". ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Το ατιπαράδειγμα είαι εργαλείο σε ετοιμότητα που έχει ο επιστήμοας Μαθηματικός αλλά και ο καταξιωμέος δάσκαλος στη φαρέτρα του. Δε είαι ο ρόλος του δασκάλου α εμφαίζει τη αλήθεια σα μια δυατότητα και α αρκείται σε μια απλή μετάδοση πληροφοριώ. Δημιουργεί τη κατάλληλη ατμόσφαιρα ώστε α διευκολυθεί η γωσιακή ααδόμηση από το ίδιο το μαθητή. Το κατάλληλο παράδειγμα που θα αασύρει ο δάσκαλος τω Μαθηματικώ τη ώρα της ατίστασης στο καιούργιο φέρει είσχυση, συμπλήρωση και ισορροπία. Εδώ έγκειται η μεγάλη διδακτική του σημασία, ότι συτελεί στη αφομοίωση της εοαποκτηθείσας γώσης. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θέλω α ευχαριστήσω το παλιό μου μαθητή και Σχολικό Σύμβουλο τω Μαθηματικώ Γιάη Ράλλη για τις παρατηρήσεις του και τη συμβολή του στη προβολή αυτού του ποήματος 6