Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της ευθείας θα πρέπει να είναι σε θέση: Να βρίσκει τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας Να διατυπώνει τις συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών, και να προσδιορίζει τις διάφορες μορφές της εξίσωσης ευθείας Να μπορεί να γράφει το σύνολο των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Α(x, y ) και που αποτελείται από την κατακόρυφη ευθεία x=x και τις κατακόρυφες ευθείες ( ) y y = λ x x, λ R Την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία A( x,y ) και B( x,y ) x x, που δίνεται από τον τύπο y y = ( x x ) y y x x, με, ο οποίος προκύπτει από την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από ένα σημείο και έχει γνωστό συντελεστή διεύθυνσης Να αντιμετωπίζει το πρόβλημα της συγγραμμικότητας τριών σημείων διανυσματικά ή εξετάζοντας αν η εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από τα δύο σημεία επαληθεύεται και από τις συντεταγμένες του τρίτου σημείου Να προσδιορίζει τη γωνία δύο ευθειών με τον προσδιορισμό της γωνίας αντίστοιχων παράλληλων διανυσμάτων
44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: ( ) ε:y y =λ x x Α και έχει β Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από τα σημεία Α ( x,y) και Β( x,y) x με y y y y x είναι: ε: y y = ( x x), όπου = λε = λ x x x x ή x = x αν x = x γ Η εξίσωση της ευθείας (ε) που τέμνει τον άξονα y y στο σημείο (, β) είναι ε: y = λx + β, όπου λ ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε) δ Η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Ο(, ) και δεν είναι ο άξονας y y είναι: ε: y = λx ε Η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α ( x, ) και είναι παράλληλη στον άξονα x x είναι: ε :y= y ο y ο ΑΒ στ Η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α ( x, ) και είναι παράλληλη στον άξονα y y είναι: ε :x= x ο y ο Η ΕΞΙΣΩΣΗ Ax + By + Γ=, με Α η Β Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της μορφής: Ax + By +Γ=, µε Α ηβ () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της μορφής () παριστάνει ευθεία γραμμή Παρατηρήσεις: Αν Β τότε: Α α Η ευθεία με εξίσωση () έχει συντελεστή διεύθυνσης: λ = Β β Η ευθεία με εξίσωση () είναι παράλληλη στο μη μηδενικό διάνυσμα δ = ( Β, Α ) ή στο (, ) δ = Β Α = γ Η ευθεία με εξίσωση () είναι κάθετη στο μη μηδενικό διάνυσμα k ( A,B)
Τύποι - Βασικές έννοιες Ευθεία 45 Απόσταση σημείου απο ευθεία Η απόσταση d ενός σημείου Μ (x,y ) από μία ευθεία με εξίσωση: δίνεται από τον τύπο: Ax + By +Γ=, Α+Β Α x + By +Γ d = d(m, ε ) = Α +Β Εμβαδόν τριγώνου Αν είναι γνωστές οι κορυφές τριγώνου ΑΒΓ, το εμβαδόν του δίνεται από τον τύπο: (ABΓ) = det(αβ,αγ) όπου det( ΑΒ, ΑΓ ) είναι η ορίζουσα των συντεταγμένων των διανυσμάτων ΑΒ και ΑΓ Ισοδύναμα ισχύει: (AB Γ ) = det( ΒΑ, ΒΓ) = det( ΓΑ, ΓΒ )
46 Ευθεία Βήμα ο : µ µ, µ µ µ µ µ x x, µ : µ µ, y y x x = =+ : µ y y µ A( x, y) B ( x, y ), µ x x x x A x, y ) B x, y ) µ ( (
Βήμα ο Ευθεία 47 µ µ- y - y AB ( x - x, y - y), µ x - x 3 Oxy µ µ A( x, y ) µ - µ µ µ Oxy A x, y ) ( µ y µ µ - µ M ( x, y) A x, y ), µ, ( (x,y ) M(x,y) x µ AM, µ, - µ AM AM x x, y ), µ ( y y y AM x x µ, µ M ( x, y), µ, : y y x x y y x ) ( x µ A x, y ) - : y y ( x ) x (
48 Ευθεία Βήμα ο 4 Oxy µ µ A( x, y) B( x, y ) µ µ A x, y ) B x, y ) ( ( - µ A( x, y) B ( x, y ) x x, y y µ x x ( x x y y ) : y y y y ( x ) x x x y B(x,y ) (x,y ) x x x x, - µ A x, y ) µ, µ ( µµ x : x x 5 : µ Ax By µ A B (), µ () µµ µ µ yy µ (, ), y x, x( ) y µ Px (, y ), x x, µ :
Βήμα ο Ευθεία 49 xy( x ) µ,, µ y P(x,y ) Ax By µ A B, x Ax By µ A B A B, y B x, - B µ A B µ yy µ, B B,,, A x, A µ P, A xx - Ax By µ A B -
5 Ευθεία Βήμα ο Α Από το σχολικό βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 3 : Α Ομάδα: 3, 7 Β Ομάδα:, 3, 5 Α Ομάδα: 4, 5, 6 Β Ομάδα:,, 4, 6 3 Α Ομάδα: 6, 8, 9, Β Ομάδα:, 3, 4, 8, Γενικές ασκήσεις:,, 6 ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ
Βήμα 3 ο Ευθεία 5 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Η ορθόκεντρό του Αν είναι Α(, ), Β(3,4) και Η(,), να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ και τις συντεταγμένες της κορυφής Γ Λύση: 4+ λab = = 5 3, άρα η ΑΒ έχει εξίσωση: ( ) y 5 x 5x y + = = Επειδή xa = xh =, η ΑΔ έχει εξίσωση: x = Επειδή BΓ ΑΔ και η ΒΓ διέρχεται από το Β(3,4), η ΒΓ έχει εξίσωση: y= 4 4 λ = =, οπότε λ λ = λ =, άρα η ΑΓ έχει εξίσωση: 3 Είναι ΒΗ ΒΗ ΑΓ ΑΓ y+ = ( x ) y+ = x+ x+ y= Για να βρούμε τις συντεταγμένες του Γ λύνουμε το σύστημα: y= 4 y= 4 y= 4 x+ y= x = y x = 8 Άρα Γ( 8,4) Δίνεται η εξίσωση: ( λ ) x+ ( λ 3) y + 3λ + 6 = (), λ R i Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ η () παριστάνει ευθεία γραμμή ii Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την () διέρχονται από ένα σταθερό σημείο Λύση: i H () είναι εξίσωση της μορφής Αx + By + Γ = με Α=λ και Β=λ 3
5 Ευθεία Βήμα 3 ο Επειδή το σύστημα: λ = λ = λ 3= λ= 3 λ R ώστε να είναι συγχρόνως Α = και Β = Επομένως η () είναι εξίσωση ευθείας για κάθε λ R ii Για λ = η () γίνεται: + = ( ) x 3y 6 : ε = η () γίνεται: + = ( ) Για λ x y 9 : ε Βρίσκουμε το σημείο τομής των ε και ε : είναι αδύνατο άρα δεν υπάρχει x 3y+ 6= 5y+ 5= y= 3 y= 3,x = 3 x y+ 9= x y+ 9= x ( 3) + 9= Άρα οι ευθείες (ε ) και (ε ) τέμνονται στο σημείο Μ( 3,3) Το σημείο Μ( 3,3) επαληθεύει την () αφού: 3λ ( ) + 3( λ 3) + 3λ+ 6= 6λ+ 3+ 3λ 9+ 3λ+ 6= = Άρα όλες οι ευθείες της εξίσωσης () διέρχονται από το σταθερό σημείο Μ( 3,3) 3 Οι δύο πλευρές ορθογωνίου παρ/μου ΑΒΓΔ έχουν εξισώσεις: x+ y+ 3= και x y = και η μία κορυφή του Α(4,) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του ορθογωνίου καθώς και του σημείου τομής των διαγωνίων του Λύση: Το σημείο Α(4,) δεν επαληθεύει τις δοθείσες εξισώσεις άρα πρόκειται για τις εξισώσεις των πλευρών ΒΓ και ΓΔ Έστω ΓΔ : x + y + 3 = () και BΓ:x y = ( ) Οι συντεταγμένες του Γ είναι η λύση του συστήματος του () και () Έχουμε: ΓΔ : x + y + 3 = x = ΒΓ : x y = y = λ = = λ ( ΓΔ//ΑΒ) ΓΔ ΑΒ Άρα Γ(, ) Άρα η ΑΒ έχει εξίσωση: y = ( x 4) x+ y 6= Οι συντεταγμένες του Β δίνονται από τη λύση του συστήματος: x+ y 6= x y =
Βήμα 3 ο Ευθεία 53 Έχουμε: 7 x = x+ y 6= x y = 5 y = λ = = λ ( AΔ//ΒΓ) ΒΓ ΑΔ Άρα 7 5 B, Άρα η εξίσωση της ΑΔ είναι: ( ) y x 4 x y = = Οι συντεταγμένες του Δ δίνονται από την επίλυση του (Σ): x y = x+ y+ 3= x = x y = Έχουμε: Άρα x+ y+ 3= 5 y = 5 Δ, Το σημείο τομής των διαγωνίων του είναι το μέσο τους Το μέσο της ΒΔ είναι: 7 5 5 Κ, 3 ή Κ, 4 Δίνεται η εξίσωση: x y + 8x+ 6= i Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει δύο ευθείες (η) και (θ) ii Να αποδείξετε ότι οι ευθείες (η) και (θ) είναι κάθετες iii Να βρείτε σημείο Κ(α,β), α > και β > τέτοιο ώστε το διάνυσμα δ = ( 4,α) να είναι παράλληλο προς μία από τις δύο ευθείες (η) και (θ) και δ = 8,β να είναι παράλληλο προς την άλλη ευθεία Λύση: το διάνυσμα ( ) iv Να βρείτε την εξίσωση κύκλου που διέρχεται από το σημείο Κ και το κέντρο του βρίσκεται στην αρχή των αξόνων Ο(,) i ( ) ( ) x y + 8x + 6 = x + 8x + 6 y = x + 4 y = ( x+ 4 y)( x+ 4+ y) = x+ 4 y= ήx+ 4+ y= Άρα οι ευθείες είναι οι ( η:x ) y+ 4= και () θ :x+ y+ 4=
54 Ευθεία Βήμα 3 ο λη = = η θ = λθ = = α α δ = 4,α και λ = Έχουμε: δ δ//η λ = λ δ η = α= 4 4 4 ii λ λ ( η) () θ iii ( ) δ = 8,β ( ) και λ β β = = 8 4 δ β Έχουμε: δ //θ λ = λ δ θ = β= 4 4 iv Αν ρ είναι η ακτίνα του κύκλου, τότε: ρ= ΚΟ ή ρ= 4 + 4 ρ= 3 ρ= 4 Άρα Κ4,4 ( ) Άρα η εξίσωση του κύκλου θα είναι: ( ) x + y = 4 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ του οποίου γνωρίζουμε: την εξίσωση της διχοτόμου ΑΔ: 3x + y = την εξίσωση του ύψους ΒΕ: x y= 6 την εξίσωση της διάμεσου ΒΣ: 3x 3y = 8 Να βρείτε: α Τις συντεταγμένες της κορυφής Β β Το συμμετρικό του Β ως προς την ΑΔ έστω Μ γ Την εξίσωση της ΑΓ δ Τις συντεταγμένες των κορυφών Α και Γ Λύση: α Οι συντεταγμένες της κορυφής B δίνονται από την λύση του συστήματος: x y = 6 3x 3y = 8 x y = 6 Έχουμε: 3x 3y = 8 β Εύρεση της εξίσωσης της ΒΜ x = y = 7 Άρα B(, 7) BM AΔ λβμλαδ λβμ ( 3) = = λ ΒΜ = άρα η εξίσωση της ΒΜ εί- 3
Βήμα 3 ο Ευθεία 55 ναι y+ 7 = ( x+ ) 3y + = x + x + 3y + = 3 Για την εύρεση των συντεταγμένων του μέσου Ν του ΒΜ λύνουμε το σύστημα: x+ 3y = 3x + 9y = 6 y = 5 y = 5 3x + y = 3x + y = x = 3y +, άρα Ν(5,-5) x = 5 Εύρεση των συντεταγμενων του Μ α β 7 Αν Μ(α,β) τότε το μέσο του ΒΜ γράφεται και N,,όμως Ν(5,-5),οπό- τε α = 5 και β 7 = 5 α = και β = 3, άρα Μ(,-3) γ Επειδή ΑΔ διχοτόμος και Μ το συμμετρικό του Β ως προς την ΑΔ (γνωρίζουμε από τη Γεωμετρία) το Μ βρίσκεται πάνω στην ΑΓ Ισχύει ΒΕ ΑΓ άρα : λαγλβε = λαγ= λαγ = Η εξίσωση της ΑΓ είναι: y+ 3= ( x ) y= x+ 8 δ Οι συντεταγμένες του Α βρίσκονται από την επίλυση του συστήματος: 3x + y = 3x + y = x = x = x + y = 8 x y = 8 y = 8 x y = 7 άρα Α(,7) Το Γ ανήκει στην ΑΓ: y= x+8, άρα θα είναι της μορφής Γ(α,-α+8) οπότε το μέσο Σ της ΑΓ είναι το οπότε: Οπότε : α+ α+ 5 Σ, Το Σ ανήκει και στην ΒΣ :3x 3y 8 = α+ 5 α 3 3 = 8 3α+ 3 45+ 3α = 6 6α = 48 α = 3 Γ(3,5) 6 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Γ(,3), υ α :3x 5y + 6= και μ α :x y + = Βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του Λύση Για την εύρεση των συντεταγμένων του Α λύνουμε το σύστημα: 3x 5y = 6 3x 5y = 6 8y = y = x y = 3x + 33y = 6 x = + y x =, άρα Α(-,)
56 Ευθεία Βήμα 3 ο Εύρεση της εξίσωσης της ΑΓ Ισχύει λ ΑΓ 3 3 = = 4 ( ) Εύρεση της εξίσωσης της ΒΓ Ισχύει: 3 = + 4 άρα AΓ: y ( x ) 3 υ α ΒΓ λυ λ = α ΒΓ λβγ 5 = λ 5 ΒΓ 3 Εύρεση των συντεταγμένων του Β Το Β ανήκει στην ΒΓ άρα θα είναι της μορφής 5α+ 9 B α, οπότε το μέσο της ΒΓ θα είναι το 3 α+ 8 5α Μ, 6 μ α :x y + = οπότε: α+ 8 5α 6 το οποίο ανήκει στην + = ( ) ( ) 3 α + 8 5α + = 3α+ 6 38+ 55α+ = 58α = 9 α = 5 άρα Β(5,-) Εύρεση της εξίσωσης της ΑΒ Ισχύει λ ΑΒ = = 5 7 ( ) = + 7, άρα AB : y ( x ) 5 = 3 = άρα ΒΓ : y 3 ( x ) 7 Δίνονται οι ευθείες: ( ε ) :y = x 3 και ( ) ε :y + x+ 3= α Βρείτε την ευθεία (δ) που περνάει από το Μ(3, ) και τέμνει τις ε, ε στα Α, Β αντίστοιχα ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ β Αν Γ το κοινό σημείο των ε, ε βρείτε το εμβαδόν του ΑΒΓ Λύση: α Εύρεση της εξίσωσης ΑΒ Το Α ανήκει στην ε :y = x 3 άρα θα είναι την μορφής Α(α,α 3) Το Β ανήκει στην ε :y = x 3, άρα θα είναι την μορφής Β(β, β 3) οπότε το μέσο του
Βήμα 3 ο Ευθεία 57 α β α β 6 ΑΒ θα είναι το + Μ, όμως μας δίνεται ότι το Μ είναι Μ (3, ) άρα: α+ β = 3 α+ β = 6 3α = α = 4, οπότε: Α(4, 5), Β(, 5) α β 6 α β = 6 β = α 6 β = = ( ) 5 5 και λαβ = = = 5 4 β Για την εύρεση των συντεταγμένων του Γ λύνουμε το σύστημα: ε :y= x 3, που έχει λύση ε :y= x 3 Έυρεση του εμβαδού του τριγώνου ΑΒΓ AΓ = 4, 8 AB =, Ισχύουν ( ) και ( ), άρα η ΑΒ έχει εξίσωση: y= 5( x 3) y= 5x 5 x = y = 3, οπότε Γ(, -3) οπότε: 4 8 ABΓ = det AΓ,ΑΒ = = = 4 6 = τμ ( ) ( ) ( ) 8 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β(, -3) και Γ(4, ) ενω η κορυφή Α κινείται στην ευθεία ε:x y+ = και Μ το μέσο της διαμέσου ΑΔ α Δείξτε ότι το Μ κινείται σε ευθεία (δ) παράλληλη στην (ε) β Βρείτε την απόσταση του Μ από την (ε) γ Αν (ΑΒΓ) = τμ βρείτε το Μ Λύση α Το Α ανήκει στην ευθεία ε:y= x+ άρα θα είναι της μορφής Α(α, α+), α R + 4 3+ ενω το μέσο Δ της ΒΓ είναι το Δ = 3, = άρα το μέσο της ΑΔ α+ 3 α+ είναι το Μ, α+ 3 x = α x 3 Αν τώρα M(x, y) τότε = άρα το Μ κινείται στην ευθεία α+ α = y y = = = που βέβαια είναι παράλληλη με την (ε) ( λ = λ ) δ:x 3 y y x ε δ
58 Ευθεία Βήμα 3 ο β Ισχύει: d( M,ε) α+ 3 α+ + α+ 3 α + 4 3 = = = + ( ) γ Ισχύουν: BΓ = ( 4, ( 3) ) = (, 4) BA = ( α, α+ ( 3) ) = ( α, α+ 5) 4 det BΓ, BA = = α + 5 4 α = α + 8 α α+ 5 οπότε: ( ) ( ) ( ) όμως: ( ΑΒΓ) = α+ 8 = α 8 + = α+ 8= α = α = ή α+ 8= α = 38 α = 9 Άρα: Μ(,) ή Μ(,) 9 Δίνεται η εξίσωση (ε): ( λ ) x ( λ+ ) y + λ = i Δείξτε ότι για κάθε τιμή του λ R η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθείες που περνάνε από το ίδιο σημείο, το οποίο να βρείτε ii Βρείτε για ποια τιμή του λ η απόσταση του Α(, ) από την ευθεία (ε) είναι iii Βρείτε για ποιες τιμές του λ R η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον x x παράλληλη στον y y περνάει από το (, ) iv Αν λ, λ δύο τιμές του λ ώστε λ λ =, δείξτε ότι οι αντίστοιχες ευθείες ε, ε που προκύπτουν από την (ε) για τις τιμές λ, λ τέμνονται κάθετα Λύση: i Επειδή το σύστημα λ = λ = είναι αδύνατο, η εξίσωση (ε) παριστά- λ+ = λ = νει ευθεία για κάθε λ R ος τρόπος Για λ = παίρνουμε την ευθεία με εξίσωση ε: y = Για λ = παίρνουμε την ευθεία με εξίσωση δ: x = οι οποίες τέμνονται στο σημείο Κ(, ) Από το σημείο Κ διέρχονται και όλες οι 3 5
Βήμα 3 ο Ευθεία 59 άλλες ευθείες που παριστάνει η (ε), αφού οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν την (ε) διότι : ( λ ) ( λ+ )+ λ = λ = =, που ισχύει ος τρόπος Έστω Κ( x,y ) το κοινό σημείο όλων των ευθειών με την πιο πάνω εξίσωση τότε: Για κάθε λ R ισχύει: ( ) ( ) λ x λ y λ + + = ( ) λx x λy y + λ = x y = x y = x = x y λ x y + = x + y = 4x + y = 4 y = Άρα Κ(,) ii Ισχύει: d( A,ε) ( ) ( ) 3 λ λ+ + λ 3 = = ( λ ) + ( λ+ ) 5 5 53λ+ 4 = 3 5λ + 5 3λ+ 4 = 3 λ + ( ) 7 3λ + 4 = 9 λ + 9λ + 4λ + 6 = 9λ + 9 λ = 4 iii Η (ε) παριστάνει ευθεία: i παράλληλη στον x x,αν και μόνον αν: ii παράλληλη στον y y,αν και μόνον αν: λ = λ = λ = λ+ λ λ λ λ = λ+ = λ = iii που περνάει από το Ο(,) αν: ( λ ) ( λ+ ) + λ = λ = iv Η ε έχει εξίσωση: ( ) ( ) και το διάνυσμα: ( ) λ x λ+ y + λ = δ = λ +, λ είναι παράλληλο στην ε Η (ε ) έχει εξίσωση: ( ) ( ) λ x λ + y + λ = και ένα διάνυσμα παράλ- δ = λ +,λ = + + + = ληλο στην (ε ) είναι το ( ) Ισχύει: δ δ ( λ )( λ ) ( λ )( λ ) = 4λλ + λ+ λ + + λλ λ λ + 4 = = 5λ ( ) λ + 5= 5 + 5= Άρα δ δ οπότε και ε ε
6 Ευθεία Βήμα 3 ο Δίνονται οι εξισώσεις: i λx y λ+ x λ y + 4= + = ii ( ) ( ) α Δείξτε ότι και οι δύο εξισώσεις παριστάνουν ευθεία για κάθε τιμή του λ R β Βρείτε για ποιες τιμές των λ η ευθεία με εξίσωση την i είναι παράλληλη στην ευθεία: ζ :4x y + 3= γ Βρείτε για ποιες τιμές των λ η ευθεία με εξίσωση την ii είναι κάθετη στην ευθεία: ζ :x 3y + 4= δ Δείξτε ότι οι ευθείες που βρήκατε στα β και γ τέμνονται και βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν ε Δείξτε ότι όλες οι ευθείες με εξίσωση την ii διέρχονται από το ίδιο σημείο Λύση α Οι εξισώσεις i και ii παριστάνουν ευθείες για κάθε τιμή του λ R αφού τα συστήματα: λ = λ+ = και = λ = είναι αδύνατα 3 β Η i γράφεται y = λx + και η (ζ ) y= x+ άρα θα είναι παράλληλες όταν λ = γ Το δ= ( λ, λ+ ) είναι παράλληλο στην ευθεία με εξίσωση την ii ενω το σ = ( 3,) ζ και ισχύει: δ σ δ σ = 3( λ) + λ+ = 3 3λ+ λ+ = λ = δ Αν λ = η i δίνει την ευθεία ε :x y + = και το διάνυσμα v = (,) ε Αν λ = η ii δίνει την ευθεία ε :3x+ y + 4= και το διάνυσμα w = (,3) ε v w + 6 5 5 5 5 5 και βέβαια ισχύει: συν( v, w) = = = = = = = v w 5 5 5 Άρα η οξεία γωνία των ευθειών είναι 45 ε Αν Μ(x, y ) το κοινό σημείο των ευθειών με εξίσωση την ii ( ) ( ) λ x λ y 4 + + = ( ) λx + x y + λy + 4= x + y = x = x + y λ+ x y + 4= x y = 4 y = Άρα το κοινό σημείο όλων των ευθειών με εξίσωση την ii είναι το Μ(-, )
Βήμα 3 ο Ευθεία 6 Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις: + + =, ( Α ή Β ) ε : Αx Βy Γ ε : Αx Βy Γ, + + =, ( Α ή Β ) με AB AB και η εξίσωση ( ) ( ) ε : Α Α x + Β Β y + Γ Γ = Να αποδειχθεί ότι: α Οι ευθείες ε και ε τέμνονται σε σημείο Μ β Η εξίσωση ε παριστάνει ευθεία γ Οι ευθείες ε, ε και ε διέρχονται από το ίδιο σημείο δ Αν η ευθεία ε είναι παράλληλη προς τη διχοτόμο της γωνίας ˆ xoy των αξόνων τότε A + B = A + B ε Αν A + B = A + B τότε η ευθεία ε είναι μια από τις διχοτόμους των γωνιών ( ε,ε ) Λύση: α ος τρόπος Τα κοινά σημεία των ευθειών ε και ε προκύπτουν από τη λύση του συστήματος: Η ορίζουσα του συστήματος είναι Αx + Βy = Γ και Αx + Βy = Γ D AB AB A B = A B =,άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση, δηλαδή οι ευθείες ε και ε τέμνονται σε σημείο Μ ος τρόπος Τα διανύσματα δ = ( Β,Α ) και δ = ( Β,Α ) ευθείες ε και ε αντίστοιχα Επειδή ( ) Β Α det δ,δ = = ΑΒ + ΑΒ Β Α είναι παράλληλα προς τις τα δ,δ δεν είναι συγγραμμικά, επομένως οι ευθείες ε και ε δεν είναι παράλληλες,άρα τέμνονται σε σημείο έστω Μ β Για να αποδείξουμε ότι η εξίσωση ( ) ( ) ε: Α Α x+ Β Β y+ Γ Γ = παριστάνει ευθεία αρκεί να δείξουμε ότι δεν μηδενίζονται συγχρόνως οι συντελεστές A A και B B Πράγματι, αν A A = και B B = τότε A = A και B = B οπότε
6 Ευθεία Βήμα 3 ο και AB AB =, που είναι άτοπο Άρα A A ή B B και η εξίσωση ε παριστάνει ευθεία γ Έστω M( x,y ) το σημείο τομής των ε και ε Τότε θα είναι Ax + By + Γ = και Ax + By + Γ = Αφαιρώντας κατά μέλη τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει η εξίσωση ( ) ( ) Α Α x + B B y + Γ Γ = δηλαδή οι συντεταγμένες x, y επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας ε, που σημαίνει ότι η ευθεία ε διέρχεται από το κοινό σημείο Μ των ε και ε δ = (Β B ),Α A = B+ B,A A είναι παράλληλο δ =, είναι παράλληλο προς την διχοτόμο δ Το διάνυσμα ( ) ( ) προς την ευθεία ε και το διάνυσμα ( ) της πρώτης γωνίας των αξόνων,δηλαδή την ευθεία με εξίσωση: y= x x y= Η ευθεία ε είναι παράλληλη προς την διχοτόμο, άρα έχουμε: Β + B Α A δ δ' det( δ,δ' ) = = B + B A + Α = A + B = A + B ( ) ε Σημείο M(x,y) ανήκει σε μια από τις διχοτόμους των γωνιών ε,ε,αν και μόνον, αν ισχύει: Αx+ Βy + Γ Α x+ Β y + Γ d( Μ,ε) = d( Μ,ε) = Α + Β Α + Β και επειδή A + B = A + B, η (Ι) γίνεται : Οπότε: Αx Βy Γ Αx Βy Γ και τελικά: Αx + By + Γ = Αx + Βy + Γ + + = + + ή Αx+ Βy+ Γ= ( Αx+ Βy+ Γ) (Ι) ( Α Α ) x+ ( Β Β ) y+ Γ Γ = ή ( ) ( ) που είναι οι εξισώσεις των δύο διχοτόμων Επομένως η ευθεία ( ) ( ) διχοτόμους των γωνιών ε,ε Α + Α x+ Β + Β y+ Γ + Γ = ε: Α Α x+ Β Β y+ Γ Γ = είναι μια από τις ( )
Βήμα 4 ο Ευθεία 63 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία: i Διέρχεται από το σημείο Α(,) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 3 ii Διέρχεται από το σημείο Β(, ) και είναι παράλληλη στην ευθεία () δ : x+ y = iii Διέρχεται από το σημείο Γ(,4) και είναι κάθετη στην ευθεία () ε :x= Ευθεία (ε) σχηματίζει με τον θετικό ημιάξονα Οx γωνία 35 και τέμνει τον y y στο σημείο Α(,4) i Να βρείτε την εξίσωση της (ε) ii Να βρείτε την εξίσωση ευθείας (δ) που είναι κάθετη στην (ε) στο σημείο της Β(,6)
64 Ευθεία Βήμα 4 ο 3 Έστω τα σημεία Κ( 3,), Λ(5, ) και Μ( 7,) Να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά βρίσκονται στην ίδια ευθεία και στη συνέχεια να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζει η ευθεία αυτή με τους άξονες 4 Δίνεται η εξίσωση ( ) λ λ x ( λ 5λ 6) y λ () + + + + = i Για ποιες τιμές του λ R παριστάνει ευθεία γραμμή; ii Για ποιες τιμές του λ R η ευθεία είναι παράλληλη στον x x; iii Για ποιες τιμές του λ R η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο(,) 5 Δίνονται τα σημεία Α(, ), Β(,) και η ευθεία ε: x+ y = i Να βρείτε σημείο Μ της ευθείας (ε) ώστε το τρίγωνο ΑΒΜ να είναι ορθογώνιο στο Μ ii Να βρείτε την εξίσωση του περιγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΜ
Βήμα 4 ο Ευθεία 65 6 Το Πολεμικό μας Ναυτικό εκτελεί άσκηση με πραγματικά πυρά, σε θαλάσσια περιοχή στο Βόρειο Αιγαίο, η περίμετρος της οποίας περιγράφεται από την εξίσωση: x + y 4x + 8y 4 = Την ίδια χρονική στιγμή θαλαμηγός που βρίσκεται στη θέση Θ(, ) σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων αποφασίζει να κινηθεί για ανεφοδιασμό σε κάυσιμα με κατεύθυνση νησί που βρίσκεται στη θέση Ν(,4) Με δεδομένο ότι η θαλαμηγός κινείται σε ευθεία γραμμή πιστεύεται ότι οι επιβάτες της θα κινδυνεύσουν; (Αιτιολογήστε την απάντησή σας) Ας υποθέσουμε ότι στην θέση Μ(, 4) υπάρχει και άλλος ένας σταθμός ανεφοδιασμού Μετά τη λήξη της άσκησης, ο καπετάνιος της θαλαμηγού ποιον από τους δύο σταθμούς θα πρέπει να επιλέξει ώστε να διανύσει τη μικρότερη δυνατή απόσταση; (Θεωρήστε ότι η θαλαμηγός ξεκινάει από το σημείο Θ(, ) 7 Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις: ε :λx ( λ 3) y = λ και ε :( λ+ 3) x λy= λ i Να δείξετε ότι οι (ε ) και (ε ) τέμνονται για κάθε λ R ii Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων τομής τους ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ
66 Ευθεία Βήμα 4 ο 8 Έστω τα σημεία Α(κ+, λ ) και Β(λ,κ), κ,λ R i Να δείξετε ότι το μέσο Μ του ΑΒ κινείται σε ευθεία (ε) της οποίας να βρείτε την εξίσωση ii Δείξτε ότι η ευθεία (ε) είναι κάθετη στην ΑΒ iii Βρείτε την απόσταση του σημείου Δ( 3, 3) από την ευθεία (ε) 9 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(3,6) και η βάση του ΒΓ έχει εξίσωση: 4x 3y 9 = Αν το σημείο Μ(3,) είναι το μέσο της ΒΓ και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι 45 τμ : i να υπολογίσετε την d(a,βγ), ii να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΒΓ, iii να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ
Βήμα 4 ο Ευθεία 67 Οι συντεταγμένες ενός σημείου Μ(x,y) επαληθεύουν την εξίσωση: x 4y 3x 6y 4xy + + + = i Να αποδείξετε ότι το Μ κινείται σε δύο ευθείες ε, ε ii Να αποδείξετε ότι (ε )//(ε ) iii Να βρείτε την απόσταση των δύο ευθειών
68 Ευθεία Βήμα 5 ο Θέμα Α Να χαρακτηρίσετε τις επόμενες προτάσεις με την ένδειξη Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) Οι ευθείες λ x λ y= ( λ ) και x + λy = είναι κάθετες Η η από τις προηγούμενες είναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ= (, λ) 3 Η ευθεία που ορίζεται από τα σημεία (, 4), (4, 7): α Έχει συντελεστή διεύθυνσης β Είναι παράλληλη προς την ευθεία x +y = α γ Τέμνει τον άξονα x στο σημείο (, ) 4 Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία x + y - 4 = με τον άξονα xx είναι αμβλεία 5 Η ευθεία με εξίσωση x + y =, λ, µ τέμνει τους άξονες στα σημεία (, λ) και (μ, ) λ µ 6 Τα διανύσματα u = ( β, α) και v = ( β, α) είναι παράλληλα στην ευθεία: αx + βy + γ = 7 Το διάνυσμα u = ( β, α) είναι παράλληλο στην ευθεία: αx + βy + γ =, β 8 Το συμμετρικό του σημείου (, ) ως προς την ευθεία x + y = είναι το (, ) 9 Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο (4, ) και σχηματίζει γωνία 35 με τον θετικό ημιάξονα είναι x - y = Η ευθεία που σχηματίζει γωνία 45 με τον άξονα των x είναι x + y = 4 (Μονάδες ) B Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από την αρχή των αξόνων και απέχουν από το σημείο Α (,) απόσταση ίση με
Βήμα 5 ο Ευθεία 69 (Μονάδες 5) Θέμα A Δίνονται τα σημεία Α (, ) και Β (4, 6) Να βρείτε το σύνολο των σημείων Μ για τα οποία το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ είναι ίση με τμ B Θεωρούμε τα σημεία Α ( 4, ), Β (, ) και Γ (, 4) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (x, y) για τα οποία ισχύει: ( ) MBΓ = ( ΑΒΓ) (Μονάδες 5) Θέμα 3 Α Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής των ευθειών ( ) λx λ y λ + = και ( λ+ ) x+ λy = λ + για όλες τις τιμές του λ R Β Ορθή γωνία στρέφεται γύρω από το σημείο Α(,) και τέμνει τους θετικούς ημιάξονες στα σημεία Β, Γ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου του ΒΓ
7 Ευθεία Βήμα 5 ο (Μονάδες 5) Θέμα 4 Σε ένα χάρτη με καρτεσιανό σύστημα αξόνων Οxy ένα πλοίο ξεκινά από κάποιο λιμάνι Λ και κατευθύνεται προς το λιμάνι Ο Το ραντάρ θέσης του πλοίου δίνει για κάθε χρονική στιγμή συντεταγμένες Π (t - 3,t - 4), t α Πού βρίσκεται το λιμάνι Λ στον χάρτη; β Πόσο απέχει το λιμάνι Λ από το λιμάνι Ο; γ Βρίσκεται το πλοίο στη σωστή πορεία για το λιμάνι Ο; δ Αν η θέση ενός άλλου πλοίου προσδιορίζεται από το σημείο Π (t -,t + ), t υπάρχει περίπτωση τα πλοία να συναντηθούν; ε Ποια είναι η απόστασή τους τη χρονική στιγμή t = ; (Μονάδες 5) ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ