ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα # 2: Συναρτήσεις Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Ορισμοί και παραδείγματα στα ακόλουθα: Ορισμός συνάρτησης πεδίο ορισμού Κανόνες εύρεσης Πεδίου Ορισμού Συμμετρίες Συναρτήσεων Ισότητα Συναρτήσεων Πράξεις Συναρτήσεων Σύνθεση Συναρτήσεων 4
ΘΕΩΡΙΑ 5
ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και τιμές στο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση του Α στο Β. Επεξήγηση του ορισμού: Σε κάθε x A Αντιστοιχεί ένα μόνο και συμβολίζουμε f : A B y B
ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ (1) Οι τιμές που ανήκουν στο σύνολο Α αποτελούν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης που το συμβολίζουμε με D f Το σύνολο που έχει στοιχεία του τις τιμές της f για όλα τα λέγεται σύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με f(a) Ισχύει ότι x A f ( A) B Το x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το y=f(x) είναι η εξαρτημένη (από τη x) μεταβλητή. Θεωρούμε ότι η συνάρτηση είναι πλήρως ορισμένη όταν μας δίνεται ο τύπος της f(x) και το πεδίο ορισμού της.
ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ (2) Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α έχει μόνο μια τιμή f(x) για κάθε x A Επομένως αν θεωρήσουμε ότι έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f για να αποτελεί συνάρτηση θα πρέπει κάθε κάθετη στον άξονα xx γραμμή να τέμνει τη γραφική παράσταση μόνο σε ένα σημείο.
ΚΑΝΟΝΕΣ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ (1) Θεωρούμε ότι η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού όλο το R (πραγματικοί αριθμοί) με τους ακόλουθους περιορισμούς: 1. Όταν ο τύπος της συνάρτησης έχει κλάσμα θα πρέπει ο παρονομαστής του κλάσματος να είναι διάφορος του μηδενός. 2.Όταν ο τύπος της f έχει ρίζα θα πρέπει η υπόρριζη ποσότητα να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν.
ΚΑΝΟΝΕΣ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ (2) 3. Όταν ο τύπος της f έχει λογάριθμο, θα πρέπει η ποσότητα που λογαριθμείται να είναι μεγαλύτερη του μηδενός. 4. Όταν όταν ο τύπος της f έχει εφαπτομένη κάποιας παράστασης, θα πρέπει αυτή να είναι διάφορη του κπ+π/2 5. Όταν όταν ο τύπος της f έχει συνεφαπτομένη κάποιας παράστασης, θα πρέπει αυτή να είναι διάφορη του κπ,
ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1) Αν για μια συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι για κάθε x και A x (δηλ. Aτο πεδίο είναι συμμετρικό) και ισχύει επιπλέον ότι f(-x)=f(x), τότε η συνάρτηση είναι άρτια. Οι άρτιες συναρτήσεις έχουν άξονα συμμετρίας τον yy άξονα.
ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (2) Αν για μια συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι για κάθε x A x A και (δηλ. το πεδίο είναι συμμετρικό) και ισχύει επιπλέον ότι f(-x)=-f(x), τότε η συνάρτηση είναι περιττή. Οι περιττές συναρτήσεις έχουν κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο.
ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Δύο συναρτήσεις f 1 και f 2 είναι ίσες όταν: Έχουν ίδιο πεδίο ορισμού Για κάθε x A f 1 (x)=f 2 (x)
ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αν f και g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα με Γ= {}, τότε μπορούμε να ορίσουμε τις ακόλουθες συναρτήσεις: (f+g)(x)=f(x)+g(x) με πεδίο ορισμού το Γ. (f-g)(x)=f(x)-g(x) με πεδίο ορισμού το Γ. (f. g)(x)=f(x). g(x) με πεδίο ορισμού το Γ. (f/g)(x)=f(x)/g(x) με πεδίο ορισμού το Γ, εκτός των τιμών του που μηδενίζουν την g(x).
ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αν f, g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα, τότε ορίζουμε ως σύνθεση της f με την g την συνάρτηση με τύπο: ( g f )( x) g( f ( x)) Για το πεδίο ορισμού πρέπει x D, f ( x) D f g
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1 (1) 1. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i) f ( x) x 2 2 x 5 ii) f x 3 ( x) x 2 9
ΑΣΚΗΣΗ 1 (2) iii) f ( x) 2 x x 4 f ( x) iv) x 2 3x 2 2 2
v) f ΑΣΚΗΣΗ 1 (3) x 1 ( x) e e 2 vi) vii) 1 f ( x) 1 e e f ( x) ln( 4x x x 2 x )
ΑΣΚΗΣΗ 1 (4) viii) f ( x) x 1 2 x ix) f ( x) ln( x 1 ) 2 x
ΑΣΚΗΣΗ 2 2. Να ελεγχθούν αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις i) f ( x) x 3 x 3 3 ii) iii) f ( x) ( x f ( x) 3 x 4 5 x x 2 x)
ΤΕΛΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ