ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 2.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Οριο και συνέχεια πραγµατικών συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ο υπολογισµός ορίου σε σηµείο Ρ συναρτήσεων πολλών µεταβλητών είναι πιο δύσκολος σε σχέση µε τον υπολογισµό ορίου συναρτήσεων µιας µεταβλητής Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι στο χώρο υπάρχουν «άπειροι τρόποι» µετάβασης στο σηµείο Ρ, ενώ στην πραγµατική ευθεία υπάρχουν ακριβώς δύο: είτε εκ δεξιών του Ρ, είτε εξ αριστερών του Ρ Για να υπάρχει το όριο συνάρτησης πολλών µεταβλητών f σε σηµείο συσσώρευσης Ρ, θα πρέπει οι τιµές της f να τείνουν πάντα στον ίδιο αριθµό λ για όλους τους (άπειρους) τρόπους µετάβασης στο Ρ και ακριβώς αυτή η «απειρία των τρόπων µετάβασης» δυσκολεύει τη διαδικασία Ορισµός Εστω f : E και P είναι σηµείο συσσώρευσης του πεδίου ορισµού Ε Λέµε ότι η συνάρτηση f έχει όριο στο σηµείο P lim f P = λ, εάν τον πραγµατικό αριθµό λ, συµβολικά P P ε > δ = δ( ε, P) > : P E: < PP < δ f( P) λ < ε Η µη ύπαρξη ορίου είναι πιο απλή διαδικασία Πράγµατι, αν βρούµε δυο καµπύλες του πεδίου ορισµού της f που διέρχονται απ το σηµείο P =, σε παραµετρική µορφή r=r () t και r =r () t µε ( ) r ( t ) = r ( t ) = (, ), αλλά lim r = και lim ( ) f t λ t t λ λ, τότε το όριο της f στο P δεν υπάρχει 8 ( ) r = µε f t λ t t Κατά τα λοιπά ισχύουν όλες οι βασικές ιδιότητες και τα γνωστά θεωρήµατα του ορίου Προσοχή όµως: εν είναι σωστό να χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό του ορίου µιας συνάρτησης πχ δύο µεταβλητών η σχέση

(, ) (, ) ( ) lim f, = lim lim f, = lim lim f,, δηλαδή ο υπολογισµός του λεγόµενου διπλού ή επαναληπτικού ορίου της f στο σηµείο P = (, ), διότι µπορεί να οδηγήσει σε λανθασµένα συµπεράσµατα Aν όµως και τα δύο διπλά όρια υπάρχουν και είναι lim lim f, lim lim f,, τότε δεν διαφορετικά, δηλαδή αν υπάρχει το όριο lim f (, ),, Αυτό γενικεύεται και για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Οσον αφορά τη συνέχεια έχουµε: Ορισµός Εστω f : E και P είναι σηµείο του πεδίου ορισµού Ε Η f είναι συνεχής στο P, αν ε > δ = δ( ε, P) > : P E: PP < δ f( P) f P < ε Τότε γράφουµε lim f ( P) f ( P ) P P = και στο εξής θεωρούµε ότι οι πολυωνυµικές, ρητές, τριγωνοµετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις είναι συνεχείς στο πεδίο ορισµού τους Επίσης, άθροισµα, διαφορά, γινόµενο, πηλίκο (µε παρανοµαστή διάφορο του µηδενός) και σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση Σηµείωση Ενα σύνολο E καλείται ανοικτό αν δεν περιέχει κανένα σηµείο του συνόρου του, αλλιώς καλείται κλειστό Ενα ανοικτό σύνολο Ε καλείται συνεκτικό αν για κάθε ζεύγος σηµείων, του Ε υπάρχει συνεχής καµπύλη που συνδέει τα και παραµένοντας εξ ολοκλήρου µέσα στο E Θεώρηµα (Bolzao) Έστω P και P είναι δύο σηµεία ενός ανοικτού και συνεκτικού συνόλου E και έστω f : E είναι συνεχής στο Ε µε f ( P ) f ( P) * f P = < Τότε υπάρχει σηµείο * P E τέτοιο ώστε Θεώρηµα (ενδιαµέσων τιµών) Έστω P και P είναι δύο σηµεία ενός ανοικτού και συνεκτικού συνόλου E και έστω f : E f P f P Τότε για κάθε πραγµατικό αριθµό είναι συνεχής στο Ε µε ( ) λ µεταξύ των τιµών f ( P ) και f ( P ) υπάρχει E: f ξ ξ = λ f + Παράδειγµα Aν (, ) =, υπολογίστε το lim f (, ),, 9

Λύση Έστω P (, ) P (,) = = Τότε εµφανίζεται η απροσδιόριστη µορφή / και εργαζόµαστε ως εξής: f (, ) = + Ισχύουν οι χρήσιµες ανισότητες: + και +, oπότε µε χρήση αυτών η f (, ) γίνεται: f (, ) + + = + (, ), + άρα f ( ) lim, = λόγω θεωρήµατος παρεµβολής,, Παράδειγµα Αν f (, ) = 4 ( + ), υπολογίστε το lim f (, ),, Λύση Εµφανίζεται η απροσδιόριστη µορφή / Βαδίζοντας στο P = (,) κατά µήκος της ευθείας = λ, δηλαδή σε σηµεία της µορφής P (, λ) P, για, συνεπώς: =, έχουµε 4λ lim f P = lim f, = lim = ( λ ) ( + λ ) P, Παρατηρούµε όµως ότι βαδίζοντας στο P = (,) κατά µήκος της καµπύλης =, > δηλαδή σε σηµεία P= (, ), τότε 4 lim f P = lim f, = lim = + + P, Αρα δεν υπάρχει το όριο της f (, ) στο (, ) Παράδειγµα Αν f (, ) ( ) ηµ + = + ( + ), υπολογίστε το lim f (, ),,

Λύση Εµφανίζεται η απροσδιόριστη µορφή / Επειδή η f είναι της µορφής f ( ) z = +, οπότε + είναι λογικό να θεωρήσουµε αλλαγή µεταβλητής lim f P ηµ ρ lim P P ρ ρ = =, άρα f ( ) lim, =,, Παράδειγµα Να µελετηθεί το όριο και τα διπλά όρια στο σηµείο Ρ =(,) της συνάρτησης f(, ) = ηµ Λύση Εστω P (, ) (,) = Τότε και, άρα: f(, ) = ηµ, ( ), και lim f(, ) = (, ), Από τον ορισµό του διπλού ορίου lim( lim f (, )) έχουµε: ( f ) ϕ ( ) lim lim (, ) = lim Αλλά lim f (, ) = limηµ Είναι γνωστό ότι το limηµ ( / ) δεν υπάρχει Αρα η συνάρτηση ϕ ( ) δεν ορίζεται και συνεπώς το lim lim ηµ δεν υπάρχει Από τον ορισµό του διπλού ορίου lim( lim f (, )) Αλλά ( f ) φ lim lim (, ) = lim έχουµε: lim f (, ) = ηµ lim ηµ = = Αρα η συνάρτηση limφ lim = = και συνεπώς ( f ) lim lim (, ) =

Παράγωγος κατά κατεύθυνση-μερική παράγωγος-ολική παράγωγος πραγµατικών συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ορισµός Έστω a είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα µοναδιαίο διάνυσµα του χώρου ), E είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, f : E και P E Αν υπάρχει το όριο lim t f P t a f P ( + ) t και ισούται µε ένα αριθµό λ, τότε λέµε ότι υπάρχει η παράγωγος της f στο Ρ κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος a, συµβολικά: Παρατηρήσεις: λ a = ( P ) ή λ = ή a f P λ = D f P a H κατευθυνόµενη παράγωγος f a ( P ) (όταν αυτή υπάρχει) ισούται µε την κλίση της εφαπτόµενης ευθείας της καµπύλης του + χώρου µε παραµετρική εξίσωση στο σηµείο της P, f ( P ) c: r( t) = P + t a+ f( P + ta) e + ( ), η οποία καµπύλη προκύπτει ως τοµή της γραφικής παράστασης της f µε το επίπεδο Π που διέρχεται από το P και είναι παράλληλο προς τα διανύσµατα a = ( a,, a,) και e + = (,,,) ηλαδή = a f P εφφ, όπου φ είναι η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων a = ( a,, a,) και του εφαπτόµενου διανύσµατος (,,, ( )) + c στο σηµείο P, f ( P ) του χώρου t f P ta ( ) a a ϕ της καµπύλης, όπου ( ) ϕ = + Σηµειώνουµε ότι η φ µετράται επί του επιπέδου Π Αν ( P ) > a (ή ( P ) < a ) τότε οι τιµές f P αυξάνουν (ή µειώνονται) όσο κινούµαστε από το P κατά την κατεύθυνση του a

Προφανώς (θέτουµε στον ορισµό = t) ( P ) = P a a Iσχύουν οι γνωστοί κανόνες παραγώγισης, πχ ( λ f ± µ g) g ( P) = λ ( P) ± µ ( P), λ, µ a a a ( fg) g ( P) = ( P) g( P) + f ( P) ( P), κλπ a a a a Αν υπάρχει η κατευθυνόµενη παράγωγος ( P ), τότε η f είναι συνεχής πάνω στην ευθεία ε που διέρχεται από το a παράλληλη στο διάνυσµα a (άµεση συνέπεια του ορισµού) P και είναι Εστω Ε είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του Καλούµε µερικές παραγώγους µιας συνάρτησης f : E να είναι όλες οι παράγωγοι της f πάνω στις κατευθύνσεις των µοναδιαίων διανυσµάτων της,, e e του συνήθους κανονικής βάσης { } Στο εξής θα εργασθούµε για ευκολία µε την περίπτωση συναρτήσεων δύο µεταβλητών f : E Τα αποτελέσµατα γενικεύονται και για συναρτήσεις περισσοτέρων των δύο µεταβλητών Ορισµός 4 Εστω Ε είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, f : E και P = (, ) E Καλούµε µερική παράγωγο της f ως προς τη µεταβλητή στο σηµείο P, το όριο (εάν υπάρχει) lim h ( +, ) (, ) f h f h = λ, συµβολικά ( P) = (, ), ή πιο απλά f ( P ) Οµοίως, καλούµε µερική παράγωγο της f ως προς τη µεταβλητή στο σηµείο P, το όριο (αν υπάρχει) f (, + h) f (, ) (, ) = lim, h h

συµβολικά ( P) = (, ), ή πιο απλά f ( ) επεκτείνονται και στην περίπτωση που f ( P ) = ± (ή P Οι ορισµοί f P =± ) Παρατηρήσεις: Ο ορισµός 4 προκύπτει άµεσα από τον ορισµό της κατευθυνόµενης παραγώγου Πράγµατι: και P = P, e = (,), e P = P, e = (,) e Πρακτικά για να υπολογίσουµε τις µερικές παραγώγους της f κρατάµε κάθε φορά σταθερές όλες τις ανεξάρτητες µεταβλητές εκτός από µία και παραγωγίζουµε την f ως προς αυτή τη µεταβλητή Αν όµως η συνάρτηση αλλάζει τύπο εκατέρωθεν του Ρ τότε αναγκαστικά υπολογίζουµε τις µερικές παραγώγους στο Ρ (αν υπάρχουν) µέσω του ορισµού Παράδειγµα Υπολογίστε τις µερικές παραγώγους των συναρτήσεων: f (, ) = +, g= e ( + + ) (, ), h(,, z) =, ( > ) ηµ z Λύση (α) f =, f = (β) g e ( ) e + +, g = = + + + e + + (γ) ηµ z ηµ z h ηµ z =, = ηµ, ηµ z ηµ z h z z ηµ z l( ) ηµ z h = e = συν z z Παράδειγµα Υπολογίστε τις µερικές παραγώγους της συνάρτησης:, (, ) (,) f(, ) = + (, ) = (,) Λύση Αν (, ) (,), τότε υπολογίζουµε τις µερικές παραγώγους της f µε χρήση των γνωστών κανόνων παραγώγισης και παίρνουµε: 4

f ( + ) ( ) + ( + ) ( + ) = = f ( + ) ( + ) + = = Αν (, ) = (,) υπολογίζουµε τις µερικές παραγώγους µε χρήση του ορισµού ( + h) f ( + h,) f (,) ( + h) + f (,) = lim = lim = lim =+ h h h h h h f ( + h) f (, + h) f (,) + ( + h), = lim = lim = lim = h h h h h h Θεώρηµα Εστω Ε είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, f : E και P Ε Αν σε κάποιο δίσκο κέντρου P και ακτίνας ε εντός του Ε υπάρχουν όλες οι µερικές παράγωγοι της συνάρτησης f και είναι φραγµένες, τότε η f είναι συνεχής στο P Απόδειξη Για ευκολία θα δείξουµε το Θεώρηµα για = Έστω (, ) ανήκει σε κάποιο δίσκο κέντρου P και ακτίνας ε εντός του Ε, όπου P =, Τότε: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) f f f f + f f Εφαρµόζουµε το θεώρηµα µέσης τιµής για συναρτήσεις µιας µεταβλητής δηλαδή θεωρούµε = σταθερά f (, ) f(, ) = f ( *, ) ( ) = σταθερά f (, ) f (, ) = f (, * ) ( ) για κάποιο * (, ) ή στο (, ) και * (, ) ή στο (, ) (, ) (, ) ( *, ) (, *) f f f + f 5 οπότε: M + M, (, ) (, )

άρα η f είναι συνεχής στο P Παρατήρηση Εάν απλά υπάρχουν οι µερικές παράγωγοι της f σε κάποιο δίσκο κέντρου P και ακτίνας ε εντός του Ε χωρίς να είναι φραγµένες στο δίσκο αυτό, τότε το παραπάνω συµπέρασµα δεν ισχύει πάντα Για παράδειγµα η συνάρτηση f (, ),,, = +, =, ( ) ( ) έχει µη φραγµένες µερικές παραγώγους σε κάποιο δίσκο κέντρου P = (,) και δεν είναι συνεχής στο P Ορισµός 5 Aν υπάρχουν όλες οι µερικές παράγωγοι της f σε σηµείο Ρ, τότε λέµε ότι η f είναι µερικώς παραγωγίσιµη στο Ρ Ορισµός 6 Αν η f είναι µερικώς παραγωγίσιµη στο Ρ, τότε ορίζουµε το διάνυσµα κλίσης της f στο Ρ, συµβολικά f ( P ) (ή grad f ( P )) ως εξής:,, f P = grad f P = f P f P Ορισµός 7 Eστω E είναι ανοικτό υποσύνολο του, f : E και P E Θα λέµε ότι η f είναι (ολικώς) παραγωγίσιµη (ή διαφορίσιµη) στο P, αν υπάρχει ένας πίνακας γραµµή διάστασης τον οποίο καλούµε ολική παράγωγο της συνάρτησης f στο P, συµβολικά f ( P ) (ή D f ( P )), έτσι ώστε: ( ) f P f P f P P P lim = P P PP εννοούµε γινόµενο πινάκων, οπότε το P P θεωρείται ως πίνακας στήλη Σηµειώνουµε ότι µε την πράξη f ( P ) ( P P ) Θεώρηµα 4 Eστω E είναι ανοικτό υποσύνολο του, f : E και P E Εάν η f είναι διαφορίσιµη στο σηµείο P, τότε: 6

(α) H f είναι παραγωγίσιµη προς κάθε κατεύθυνση ( P) = f ( P) a a a a = και a (β) Ο πίνακας γραµµή f ( P ) είναι µοναδικός και ισούται µε f ( P) = Df ( P) = ( P) ( P) (γ) Για κάθε κατεύθυνση a ισχύει ( P ) f ( P ) a Απόδειξη (α) Εστω ότι η f είναι διαφορίσιµη στο P Εκλέγουµε µία a τυχαία κατεύθυνση a = και θέτουµε P= P + ta Τότε από τον a ορισµό έχουµε: f ( P + ta) f ( P) f ( P) ta lim = t t a και επειδή a = (αφού το a είναι κατεύθυνση) παίρνουµε: ή ισοδύναµα f ( P + ta) f ( P) lim f ( P ) a =, t t ( P) f ( P) a =, a δηλαδή P = f ( P) a a = Υπενθυµίζουµε ότι (β) Εστω f P [ b b ] ( ) 7

a P = f ( P) a όπως δείξαµε παραπάνω Αν πάρουµε a = e i για κάθε i=,, τότε η παραπάνω ισότητα γίνεται ( P ) = bi e, δηλαδή i f ( P) = [ b b ] = ( P) ( P) Αν υπήρχε πίνακας [ ] C = c c f ( P) ώστε να ισχύει f P f P C ( P P) lim = P P PP τότε εργαζόµενοι όπως παραπάνω θα παίρναµε ( P ) a = e i e θα είχαµε ( P ) i = c i a, άτοπο διότι υποθέσαµε ότι = C a, οπότε για (c) Eχουµε: [ ] C = c,, c f ( P ) ( P ) = f ( P ) a f ( P ) a = f ( P ) a Cauch Schwarz Παρατηρήσεις: (α) Εστω ότι η f είναι διαφορίσιµη σε σηµείο P Αφού σε κάθε πίνακα γραµµή [ a a ] αντιστοιχεί µοναδικό διάνυσµα a= ( a,, a ), στο εξής χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούµε την παράγωγο f ( P ) είτε ως πίνακας-γραµµή f ( P) f ( P ) f ( P ) = είτε ως διάνυσµα f ( P) f ( P ),, f ( P ) 8, = Με αυτή τη γραφή στην ουσία ταυτίζουµε την παράγωγο της f στο P µε το διάνυσµα κλίσης της f στο P (βλέπε ορισµό 4), δηλαδή f P = f( P)

πάντα όµως υπό την προϋπόθεση διαφορισιµότητας για την f (β) Αν η f είναι διαφορίσιµη σε σηµείο P, τότε υπάρχει µοναδικό εφαπτόµενο υπερεπίπεδο στη γραφική παράσταση της f στο σηµείο ( P, f( P )) που προσεγγίζει τις τιµές της f «κοντά» στο P Με άλλα λόγια, υπάρχουν οι εφαπτόµενες ευθείες στη γραφική παράσταση της f στο ( P, f( P )) ως προς κάθε κατεύθυνση και ανήκουν στο ίδιο επίπεδο, το οποίο καλούµε εφαπτόµενο υπερεπίπεδο της f στο ( P, f( P )) Αν P = ( ρ,, ρ ) και (,, P= ) είναι τυχαίο σηµείο του, τότε κάθε σηµείο (,,, z ) του εφαπτόµενου υπερεπιπέδου στο σηµείο ( P, f( P )) ικανοποιεί την εξίσωση z = f P + f ( P) ( P P) ( ρ ) ( ρ ) = f( P) + f P + + f P (γ) Το Θεώρηµα 4(γ) υπονοεί ότι η κλίση της εφαπτόµενης ευθείας της γραφικής παράστασης της f στο ( P, f( P )) κατά την κατεύθυνση a παίρνει τη µέγιστη τιµή της πάνω στην κατεύθυνση του f ( P ) και την ελάχιστη τιµή της πάνω στην κατεύθυνση του f ( P ) (δ) Σηµειώνουµε ότι αν µια συνάρτηση f είναι διαφορίσιµη σε κάθε σηµείο ανοικτού συνόλου Ε, τότε θα λέµε ότι η f είναι διαφορίσιµη στο Ε (ε) Αν f, g: E είναι διαφορίσιµες στο Ε, τότε ισχύουν οι γνωστοί κανόνες παραγώγισης: ( af ± bg )( P) = a f ( P) ± b g ( P), P E, a, b ( fg)( P) = f( P) g( P) + f( P) g( P) f f( P) g( P) f( P) g( P), g( P) g = g ( P) P Είδαµε παραπάνω ότι η ύπαρξη µόνον των µερικών παραγώγων µιας συνάρτησης f σ ένα σηµείο P δεν εγγυάται τη συνέχεια της f στο P (βλέπε Θεώρηµα ) Η διαφορισιµότητα όµως της f σε σηµείο P διασφαλίζει τη συνέχεια της f στο P 9

Θεώρηµα 5 Αν f είναι διαφορίσιµη στο P, τότε η f είναι συνεχής στο P Απόδειξη Αφού η f είναι διαφορίσιµη στο P υπάρχει δίσκος κέντρου P και ακτίνας δ, έστω Dδ ( P ), όπου η συνάρτηση f ( P) f ( P) f ( P) ( P P) είναι φραγµένη από κάποιο θετικό PP αριθµό L, δηλαδή: Aρα: f P f P f P ( P P) < L P Dδ ( P ) PP f P f P f P ( P P) < L PP L PP + f P ( P P ) < f P f P < L PP + f P ( P P ) Aπό την ανισότητα Cauch-Schwartz έχουµε οπότε παίρνουµε f P P P f P PP, f P f P < L PP + f P PP και επειδή PP όταν P P παίρνουµε το ζητούµενο Το αντίστροφο Θεωρήµατος 5 δεν ισχύει Ισχύει όµως το ακόλουθο πολύ χρήσιµο και πρακτικό: Θεώρηµα 6 Αν υπάρχουν όλες οι µερικές παράγωγοι της f και είναι συνεχείς σε κάποιο δίσκο κέντρου P και ακτίνας ε, τότε η f είναι διαφορίσιµη στο P Θεώρηµα 7 (Μέσης τιµής) Αν η f : E είναι διαφορίσιµη επί κυρτού τόπου Ε (δηλ για κάθε A, B E το ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα τα A και B ανήκει στο Ε), τότε για οποιαδήποτε σηµεία P, P E, * υπάρχει σηµείο P πάνω στο ευθύγραµµο τµήµα που ορίζουν τα P, P έτσι ώστε 4

f ( P) f( P) = f ( P ) ( P P) * Ορισµός 8 Έστω E ανοικτό υποσύνολο του P E Αν υπάρχει η µερική παράγωγος, : f E και ( P), k,, km k m k, k τότε αυτή καλείται µερική παράγωγος m-τάξεως της f στο P και συµβολίζεται µε m f ( P ) ή f k P k m k k k m m f Η γραφή ( P ) k k k m υπονοεί ότι η παραγώγιση γίνεται πρώτα ως προς k, µετά ως προς k και τέλος ως προς k m Οµοίως η γραφή f k P k m υπονοεί ότι η παραγώγιση γίνεται πρώτα ως προς k, µετά ως προς k και τέλος ως προς k Αν k = k = = k λ γράφουµε λ k αντί να γράφουµε k k k Παράδειγµα Eστω m f (,, z) z z 4 = + Υπολογίστε τη µερική παράγωγο ης τάξης f και τη µερική παράγωγο ης τάξης f = f = z + z = z 4 Λύση z f = = ( + z ) = ( ) = z z Προσοχή: Eάν αλλάξουµε τη σειρά της παραγώγισης τότε µπορεί να αλλάξει το αποτέλεσµα Για παράδειγµα δεν ισχύει πάντα f = f Ισχύει όµως το ακόλουθο βασικό: f 4

Θεώρηµα 9 Aν f : E έχει συνεχείς µερικές παραγώγους µέχρι k-τάξης ( k ) σε ανοικτό σύνολο E, τότε οποιαδήποτε αλλαγή στη σειρά της παραγώγισης (µέχρι k-τάξης) δεν αλλάζει το αποτέλεσµα Παρατήρηση: Μία συνάρτηση f : E που έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης σε ανοικτό σύνολο Ε και ικανοποιεί την εξίσωση f f ( P) + + ( P) =, P E καλείται αρµονική συνάρτηση Οι αρµονικές συναρτήσεις έχουν πολύ σηµαντικές ιδιότητες, πχ είναι αναλυτικές, παίρνουν µέγιστο και ελάχιστο πάνω στο σύνορο του Ε κλπ Στο εξής χρησιµοποιούµε τους συµβολισµούς = + + ή = + + για τον γραµµικό τελεστή του Laplace ή αλλιώς Λαπλασιανή Ετσι η παραπάνω ισότητα γράφεται ως f = ή f = Ορισµός 9 Εστω P = ( ρ ρ ), P ( ) =,, και f είναι διαφορί-,, σιµη στο P Η ποσότητα 4 ρ dfp ( P) = f ( P ) dp = f ( P) ( P P) = f P f P ρ ρ df P = f P ( ) + + f P ( ρ ) P καλείται διαφορικό ης τάξης της f στο σηµείο P Γεωµετρική ερµηνεία του διαφορικού: Είπαµε παραπάνω ότι η εξίσωση + του εφαπτόµενου υπερεπιπέδου στο σηµείο ( P, f( P ) ) του χώρου δίνεται από τη σχέση Αν ( P, f( P) ) P z = f P = f P + f P P P = f P + df ( P) είναι οποιοδήποτε σηµείο πάνω στο εφαπτόµενο υπερεπίπεδο της f στο ( P, f( P )) έχουµε, τότε από την παραπάνω ισότητα

df ( P) = f ( P) f ( P ) P Εφόσον f ( P) f( P ) όταν P P και χρησιµοποιώντας το f P = f P f P έχουµε συµβολισµό P P f P df P για P «κοντά» στο dfp P µετρά το σφάλµα που προκύπτει αν προσεγγίσουµε το γράφηµα της f σε µία περιοχή του P, f( P ) Με P, δηλαδή η ποσότητα σηµείου Ρ από το εφαπτόµενο επίπεδό της f στο σηµείο ( ) άλλα λόγια η ποσότητα df f σε µια περιοχή του Ρ P 4 P P είναι ένα µέτρο της γραµµικότητας της Ας υποθέσουµε τώρα ότι το dp παραµένει σταθερό για κάθε ζεύγος σηµείων Τότε η έκφραση df ( P) = f ( P) dp είναι µια συνάρτηση πολλών µεταβλητών Eστω ότι η f έχει συνεχείς µερικές παραγώγους µέχρι k-τάξης στο πεδίο ορισµού της Tότε µπορούµε να ορίσουµε το διαφορικό ης τάξης της συνάρτησης df ( P ) ως d f P = d df P και το διαφορικό αυτό καλούµε διαφορικό ης τάξης της f στο P Για ευκολία θα εργασθούµε για συναρτήσεις f δύο µεταβλητών Τα αποτελέσµατα γενικεύονται και για συναρτήσεις περισσοτέρων µεταβλητών Εφόσον dp = d, d = σταθερό, προφανώς οι ποσότητες d και d είναι σταθερές, οπότε = = ( ) = d( fd+ fd) d f( P) d df ( P) d f ( P) dp = ( f d + f d) d + ( fd + f d) d = f d + f dd + f dd + f d = f d + f dd + f d

Η τελευταία ισότητα θυµίζει ανάπτυγµα τέλειου τετραγώνου και γι αυτό γράφουµε «συµβατικά» () d f( P) f ( P) d f ( P) d = + Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι το διαφορικό k-τάξης της f δίνεται από τη σχέση Παρατηρήσεις: ( k ) k d f( P) = f( Pd ) + f( Pd ) () Υπενθυµίζουµε τον τύπο του διωνυµικού αναπτύγµατος Newto a+ b = a b k= k k k βάσει του οποίου αναπτύσσεται η () µε τη σύµβαση ότι αντί για δύναµη θα εννοούµε παραγώγιση ηλαδή ( f ( Pd ) f( Pd ) ) f k k P d d Αν dp ( d, d) k k k + = k= k = δεν είναι σταθερό, τότε f d f d d f d f d d d f( P ) = ( + ) + ( + ) = f d + f d + f dd + f dd + f d + f d () = f d+ fd + fd+ fd Ας θεωρήσουµε τώρα µια συνάρτηση δυο µεταβλητών της µορφής Pd (, ) + Qd (, ) () Ένα βασικό ερώτηµα είναι, πότε η () είναι διαφορικό ης τάξης (ή ολικό διαφορικό) κάποιας συνάρτησης f : E Ισχύει το 44

Θεώρηµα Εστω Ε είναι ανοικτό κυρτό σύνολο του και οι συναρτήσεις PQ, : E έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους στο Ε Τότε η συνάρτηση Pd (, ) + Qd (, ) είναι διαφορικό µιας συνάρτησης f : E αν και µόνον αν για κάθε σηµείο του Ε ισχύει P, = Q P E Τότε: f = Pt (, ) dt + Qtdt (,) όπου (, ) Ε και (, ), είναι οποιοδήποτε πλην όµως σταθεροποιηµένο σηµείο του είναι τυχαίο σηµείο του Ε Η f καλείται βαθµωτό δυναµικό του πεδίου( PQ, ) Aπόδειξη Εστω ότι η f = Pd (, ) + Qd (, ) είναι διαφορίσιµη συνάρτηση Τότε f = fd + fd, συνεπώς f = P f = P P = Q f f f = Q f = Q = Αντίστροφα έστω ότι ισχύει η ισότητα P = Q, όπου οι PQ, : E έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης στο Ε Αφού ο τόπος είναι κυρτός, µπορούµε να υποθέσουµε ότι (, ) (,), f = Pt dt + Qtdt όπου (, ) είναι σταθεροποιηµένο Τότε: f Q(, ) t = Επίσης: f = P, + Q (,) t dt = P, + P (,) t dt = P, + P, P, = P, Aρα υπάρχει f = Pd + Qd = fd + f d η οποία είναι και διαφορίσιµη εφόσον έχει συνεχείς µερικές παραγώγους στο Ε Το Θεώρηµα µπορεί να επεκταθεί και σε συναρτήσεις τριών µεταβλητών ως εξής: 45

Θεώρηµα Εστω ότι οι συναρτήσεις PQR,, : E έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους σε ανοικτό και κυρτό σύνολο Ε Τότε η συνάρτηση Pzd (,, ) + Qzd (,, ) + Rzdz (,, ) είναι διαφορικό µιας συνάρτησης f : E αν και µόνον αν για κάθε σηµείο του Ε ισχύει P = Q και Pz = R και Qz = R Τότε: z f = P( t,, z ) dt + Q(, t, z ) dt + R(,, t) dt όπου (,, ) του Ε και (,, ), z z είναι οποιοδήποτε πλην όµως σταθεροποιηµένο σηµείο z είναι τυχαίο σηµείο του Ε Tόσο το θεώρηµα όσο και το θεώρηµα µπορούν να γενικευθούν και σε απλά συνεκτικούς τόπους Τα θεωρήµατα αυτά όµως δεν ισχύουν γενικά για µη απλά συνεκτικούς τόπους Υπενθυµίζουµε εδώ ότι ένα σύνολο Ε καλείται απλά συνεκτικό, αν κάθε κλειστή καµπύλη του Ε µπορεί µε συνεχή τρόπο να συσταλεί σε σηµείο του Ε παραµένοντας πάντοτε µέσα στο Ε ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων πολλών µεταβλητών m Ορισµός Έστω Ε είναι ανοικτό σύνολο, F: Ε είναι µια διανυσµατική συνάρτηση πολλών µεταβλητών και P είναι ένα m σηµείο συσσώρευσης του Ε Θα λέµε ότι το διάνυσµα λ είναι όριο της διανυσµατικής συνάρτησης F στο P αν ισχύει ε > δ > : P E: < PP < δ F P - λ < ε m Θεώρηµα Έστω Ε, : E : F P = f,, P fm P είναι µια διανυσµατική συνάρτηση πολλών µεταβλητών και P είναι λ = λ,, λ τότε ισχύει σηµείο συσσώρευσης του Ε Αν F m lim F P = λ lim f P = λ i=,, m P P P P i i 46

m Θεώρηµα Έστω Ε είναι ανοικτό σύνολο, F : E : F ( P) = ( f,, P fm P ) είναι µια διανυσµατική συνάρτηση πολλών µεταβλητών και P είναι σηµείο του Ε Τότε F συνεχής στο P fi : E συνεχείς στο P i=,, m H παραπάνω είναι ισοδύναµη µε την lim F P = F P lim f P = f P i=,, m i i P P P P Τα Θεωρήµατα και είναι σηµαντικά διότι ανάγουν την ύπαρξη ορίου και τη µελέτη συνέχειας µιας διανυσµατικής συνάρτησης σε κάποιο σηµείο P στην ύπαρξη ορίου και στη µελέτη συνέχειας των αντιστοίχων συνιστωσών συναρτήσεων f i στο σηµείο P Ορισµός Εστω E είναι ανοικτό σύνολο, m F: E : F( P) = ( f( P),, fm( P) ) είναι µια διανυσµατική συνάρτηση και P E Εστω ότι υπάρχουν όλες οι µερικές i ( P ) παράγωγοι, i =,,m, j =,, Θα λέµε ότι η F είναι ολικά j παραγωγίσιµη (ή διαφορίσιµη) στο σηµείο P εάν ισχύει F F 47 ( P ) P P P P i j m lim =, P P PP και ο m πίνακας ( P) ( P) i ( P ) = j m m( P) m( P) m καλείται παράγωγος της F στο F P ή Ιακωβιανός πίνακας της F στο P, συµβολικά JF ( P ) Στην περίπτωση όπου m = (δηλαδή ο Ιακωβιανός πίνακας είναι τετραγωνικός) ορίζεται η ορίζουσα του πίνακα JF ( P), η οποία καλείται Ιακωβιανή ορίζουσα και συµβολίζεται ως P, συµβολικά

J F ( P), ή D ( f,, fm)( P) D(,, ) m Ορισµός Καλούµε διαφορικό µιας διανυσµατικής συνάρτησης F στο σηµείο P, συµβολικά df ( P), τον m πίνακα Αν F ( P) = f ( P) f ( P) P P df P = F P P P = F P dp (,, m ) όπου, τότε είναι εύκολο να δούµε ότι (,,, ) = df P df P df P, P P m,p df, P P,, df m,p P είναι τα γνωστά διαφορικά συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Σηµείωση Γεωµετρικά το διαφορικό d ( P) F µιας διανυσµατικής συνάρτησης στο P είναι ένα µέτρο της γραµµικότητας της διανυσµατικής συνάρτησης σε µια περιοχή του σηµείου P P Θεώρηµα 4 Εάν µια διανυσµατική συνάρτηση διαφορίσιµη σε σηµείο P τότε η F είναι συνεχής στο P F είναι Αποδεικνύεται ότι: m Θεώρηµα 5 Έστω Ε είναι ανοικτό σύνολο, F : E : F ( P) = ( f,, P fm P ) είναι µια διανυσµατική συνάρτηση και P είναι σηµείο του Ε Τότε F διαφορίσιµη στο P fi : E διαφορίσιµες στο P i=,, m Το Θεώρηµα αυτό ανάγει τη διαφορισιµότητα των διανυσµατικών συναρτήσεων στη διαφορισιµότητα κάθε συνιστώσας συνάρτησης η οποία είναι συνάρτηση πολλών µεταβλητών Ετσι προκύπτει άµεσα το ακόλουθο πολύ χρήσιµο Θεώρηµα 6 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο, m F: E : F( P) = ( f( P),, fm( P) ) είναι µια διανυσµατική συνάρτηση και P E Αν υπάρχουν όλες οι µερικές παράγωγοι 48

i P, i =,,m, j =,, και είναι συνεχείς σε µια περιοχή του j σηµείου P τότε η F είναι διαφορίσιµη στο P m Παρατηρήσεις (α) Εστω F: E : F( P) = ( f ( P),, f ( P) ) είναι µια διαφορίσιµη διανυσµατική συνάρτηση σε ανοικτό σύνολο Ε Τότε ο πίνακας γραµµή m m ( P) f ( P) f ( P) f ( P) F m = i i i i καλείται µερική παράγωγος της F ως προς τη µεταβλητή i F P Είναι εύκολο να (i=,,) στο P και συµβολίζεται και ως i δούµε ότι η µερική παράγωγος ( P) i του Ιακωβιανού πίνακα J ( P) F F ταυτίζεται µε την i στήλη (β) Η παράγωγος µιας διανυσµατικής συνάρτησης m F: E : F( P) = ( f( P),, fm( P) ) ως προς κατεύθυνση a (a µοναδιαίο διάνυσµα) ορίζεται ως το διάνυσµα F F = = a ( m ) ( P ) ( P ) f ( P ) f ( P ) a a a Αν η F είναι διαφορίσιµη στο P τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι F a ( P ) J ( P ) = a F (γ) Αν µια διανυσµατική συνάρτηση F είναι διαφορίσιµη σε σηµείο P τότε F P F P + J P P P για P κοντά στο P Το γράφηµα της F ( P) = ( P ) + J ( P ) ( P P ) G F F καλείται εφαπτοµενικός χώρος του γραφήµατος της διανυσµατικής P, F P ( ) συνάρτησης F σε µια περιοχή του σηµείου 49

ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΛΥΣΙ ΑΣ m Θεώρηµα 7 Εστω E, U είναι ανοικτά σύνολα και k F: E U : F ( P) = ( f ( P),, fm ( P) ), G: U : G( Q) = ( g ( Q),, gk ( Q) ) είναι δύο διανυσµατικές συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Αν οι F, G είναι διαφορίσιµες στα σηµεία P και Q= F( P) αντιστοίχως, τότε η σύνθετη συνάρτηση ( ) k H= GF: E : GF( P) = G F P είναι επίσης διαφορίσιµη στο P και ισχύει G F ( P) = G F P F ( P) () Aν P= ( ) και Q ( ),, =,, m, τότε λαµβάνοντας υπόψην ότι και j( P) F ( P) = i m gl ( Q) G ( Q) = j k m (j=,,m, i=,,) (l=,,k, j=,,m), από τη σχέση () µε χρήση του γινοµένου πινάκων προκύπτει ότι ( Q) m h g f j ( P) l P l =, i j= j i (,, k ) όπου H( P) G F( P) h ( P) h ( P) = = ΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ: KΛΙΣΗ ΑΠΟΚΛΙ- ΣΗ-ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ Εστω V f : E και E είναι ο χώρος όλων των αριθµητικών/βαθµωτών πεδίων V m, είναι ο χώρος όλων των διαφορίσιµων διανυσµατικών συναρτήσεων F : E m Αν = m θα E E V E γράφουµε V (αντί V ) και θα µιλάµε για το χώρο, των διαφορίσιµων διανυσµατικών πεδίων Ορίζουµε το γραµµικό τελεστή κλίσης 5

=,, που δρα πάνω είτε σε βαθµωτά είτε σε διανυσµατικά πεδία ως εξής: ή :V ( E) V ( E): F( P) = f P = f P,, f P, : V ( E ) V ( E ): F P = F P,, F P, Στο εξής για απλότητα εργαζόµαστε στο χώρο Ορισµός 4 Εστω F: E : F( z,, ) = ( Pz (,, ), Qz (,, ), Rz (,, )) είναι ένα διαφορίσιµο πεδίο Ορίζουµε ως απόκλιση του πεδίου F στο σηµείο P,, z divf P να είναι ο αριθµός =, συµβολικά (,, ) (,, ) (,, ) P z Q z R z divf (,, z) = + + z Παρατηρήσεις: (α) Χρησιµοποιώντας τον τελεστή κλίσης η απόκλιση ορίζεται φορµαλιστικά ως εξής: P Q R if =,, ( PQR,, ) = + + z i z Συνεπώς η απόκλιση µπορεί να θεωρηθεί ως ένας γραµµικός διαφορικός τελεστής που απεικονίζει διανυσµατικά πεδία σε βαθµωτά/αριθµητικά πεδία ηλαδή: Ισχύει δε i : V E V E : f = if ( af+ bg) a F+ b G, ( a, b ) i = i i Επίσης αν f : E είναι ένα διαφορίσιµο βαθµωτό πεδίο αποδεικνύεται ο χρήσιµος τύπος ( f F) f F+ f ( F) i = i i (Α) 5

(β) Η απόκλιση ενός πεδίου F: A : F= ( PQ, ) (, ) ορίζεται ως P(, ) Q(, ) i F(, ) = + στο σηµείο (γ) Αν f : E είναι ένα βαθµωτό πεδίο µε µερικές παραγώγους ης τάξης είναι εύκολο να δούµε ότι f f f i f = + + = f = f z ηλαδή η Λαπλασιανή της f είναι η απόκλιση του διανύσµατος κλίσης της f (δ) Η απόκλιση διανυσµατικού πεδίου F ισούται µε το ίχνος του Ιακωβιανού πίνακα J F Ερµηνεία της απόκλισης: Μία ερµηνεία της απόκλισης αντλούµε από τη ροή ρευστού (ή φορτίου) ως εξής: Εστω v είναι πεδίο ταχυτήτων ρευστού (ή φορτίου) µε πυκνότητα µάζας (φορτίου) ρ : E και B = (,, z) είναι τυχαίο σηµείο στο πεδίο ορισµού του πεδίου v Τότε το πεδίο (, z, ) ρ ( z,, ) ( z,, ) P( z,, ), Q( z,, ), R( z,, ) F = v = ορίζεται ως πυκνότητα ροής του ρευστού (φορτίου) κατά τη κατεύθυνση της ταχύτητας Θεωρούµε στοιχειώδες ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο µε πλευρές,, z ώστε µια ακµή του παραλληλεπιπέδου να διέρχεται από το σηµείο B και υποθέτουµε ότι διαµέσου του παραλληλεπιπέδου ρέει ρευστό µε πυκνότητα ροής F Εστω { i,, j k } είναι η κανονική βάση του Τότε τη χρονική στιγµή t ο αριθµός ( F i ) = (,, ) B z P z z δηλώνει τη συνολική µάζα (φορτίο) που εισρέει στο παραλληλεπίπεδο στο σηµείο B (αν F( B ) i > ), ή εκρέει απ το παραλληλεπίπεδο (αν F( B ) i< ) κατά την κατεύθυνση i στη µονάδα του χρόνου, ενώ η ποσότητα 5

( F(,, ) i ) = (,, ) + z z P+ z z δηλώνει τη συνολική µάζα (φορτίο) που εκρέει απ το παραλληλεπίπεδο την ίδια χρονική στιγµή t στο σηµείο,, z F +,, z i > ), ή εισρέει στο ( + ) (αν ( ) παραλληλεπίπεδο στο σηµείο (,, z) ( +,, z ) + (αν F i< ) κατά την κατεύθυνση i Αρα η διαφορά ( (,, ) (,, ) ) P + z P z z ισούται µε τη συνολική µεταβολή της µάζας (φορτίου) που διέρχεται από το στοιχειώδες παραλληλεπίπεδο στη µονάδα του χρόνου κατά την κατεύθυνση i Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία για τις δύο άλλες κατευθύνσεις j και k προκύπτει ότι η συνολική µεταβολή µάζας (φορτίου) διαµέσου του στοιχειώδους παραλληλεπιπέδου ανά µονάδα όγκου και χρόνου είναι ( (,, ) (,, ) ) P + z P z z z + ( (,, ) (,, ) ) Q + z Q z z + + z + ( (,, ) (,, ) ) R z + z R z z Αφήνοντας,, z παίρνουµε ότι η συνολική στιγµιαία µεταβολή µάζας (φορτίου) ανά µονάδα όγκου και χρόνου στο σηµείο B είναι ίση µε lim ( +,, ) (,, ) P z P z (, +, ) (,, ) Q z Q z + lim + (,, + ) (,, ) R z z R z + lim z z + 5

(,, ) (,, ) (,, ) P z Q z R z = + + = Αν F z (,, z ) i F i P > τότε λέµε ότι το σηµείο B είναι µια πηγή µάζας (φορτίου) και το πεδίο τείνει να «απλωθεί» στο χώρο Αν i F( P ) < τότε λέµε ότι το σηµείο P είναι µια απαγωγή µάζας (φορτίου) ιαισθητικά, αν ρίξουµε λίγο πριονίδι σ ένα σηµείο πάνω στην επιφάνεια µιας ήρεµης λίµνης και δούµε ότι αυτό αρχίζει να απλώνεται προς τα «έξω» τότε η απόκλιση στο σηµείο αυτό είναι θετική, αλλιώς είναι αρνητική Στο τελευταίο Κεφάλαιο θα δώσουµε µια πιο κοµψή ερµηνεία της απόκλισης µέσω επιφανειακού ολοκληρώµατος Ορισµός 5 Ένα διανυσµατικό πεδίο F καλείται ασυµπίεστο ή σωληνοειδές αν και µόνον αν η απόκλισή σε κάθε σηµείο του είναι µηδενική Ορισµός 6 Εστω F: E : F( P) = ( P, Q, R) είναι ένα διαφορίσιµο διανυσµατικό πεδίο Τότε καλούµε περιστροφή ή, z, το διάνυσµα στροβιλισµό του πεδίου στο σηµείο i j k rot F(,,z) = curl F (,,z) = z P,,z Q,,z R,,z Παρατηρήσεις: (α) Χρησιµοποιώντας τον τελεστή κλίσης η περιστροφή ορίζεται φορµαλιστικά µε χρήση του εξωτερικού γινοµένου rot F= F Συνεπώς η περιστροφή µπορεί να θεωρηθεί ως ένας (γραµµικός) τελεστής που απεικονίζει διανυσµατικά πεδία σε διανυσµατικά πεδία Ετσι ισχύει και : V E V E : f = F ( a b ) a b, ( a, b ) F+ G = F+ G Επίσης αν f : E είναι ένα διαφορίσιµο βαθµωτό πεδίο αποδεικνύεται ο χρήσιµος τύπος 54

( f ) ( f ) f F = F+ F (Β) (β) Μπορούµε να ορίσουµε περιστροφή και για ένα πεδίο F: : F(, ) = ( P, Q) επεκτείνοντας το πεδίο F στο χώρο µέσω της σχέσης G: : G( P) = P, Q, Τότε ισχύει Q P G = k Σ αυτή την περίπτωση ορίζουµε Q P F =, δηλαδή στην περίπτωση αυτή η περιστροφή είναι αριθµός και όχι διάνυσµα Ερµηνεία περιστροφής: Για να δώσουµε µια φυσική ερµηνεία της περιστροφής θα χρησιµοποιήσουµε για ευκολία το προηγούµενο παράδειγµα ως ένα τυπικό παράδειγµα πεδίου δυνάµεων στον της µορφής F: : F(, ) = P,, Q, 55 ( ) Εστω (, ) είναι τυχαίο σηµείο µε (, ) = ( P(, ), Q(, )) F Θεωρούµε ένα στοιχειώδες ορθογώνιο µε πλευρές, µια κορυφή του οποίου ταυτίζεται µε το σηµείο (, ) και ορίζουµε F = ( P,) i F =, Q j να είναι να είναι η οριζόντια συνιστώσα της δύναµης F και P(, ) η κάθετη συνιστώσα της δύναµης F Aν > τότε θα ισχύει P(, + ) > P(, ) «κοντά» στο P και εποµένως αν φανταστούµε την πλευρά = του ορθογωνίου τότε οι κάθετες στην πλευρά αυτή συνιστώσες στα άκρα τείνουν να στρέψουν το ορθογώνιο Q(, ) δεξιόστροφα Με την ίδια λογική αν > τότε Q( +, ) > Q(, ) «κοντά» στο P κι έτσι αν φανταστούµε την πλευρά = του ορθογωνίου τότε οι κάθετες στην πλευρά αυτή συνιστώσες F = ( f ( P),) i στα άκρα της πλευράς αυτής τείνουν να στρέψουν το ορθογώνιο αριστερόστροφα Εποµένως η συνολική Q(, ) P(, ) διαφορά F (, ) = µας δίνει τη στιγµιαία

γωνιακή ταχύτητα περιστροφής στο σηµείο Ρ µε το πρόσηµο να δηλώνει F, > ), ή δεξιόστροφη κίνηση αριστερόστροφη κίνηση (αν ( ) (αν F (, ) < ) Αν ( ) = F, σηµαίνει ότι οι δυνάµεις που προκαλούν δεξιόστροφη και αριστερόστροφη κίνηση εξισορροπούνται και συνεπώς δεν έχουµε καθόλου περιστροφή Στην περίπτωση που µελετήσαµε (δηλαδή πεδίο στον ) προφανώς ο άξονας περιστροφής είναι ο ίδιος για κάθε σηµείο Γι αυτό το λόγο η περιστροφή όπως την ορίσαµε για πεδία στο είναι αριθµός Τα παραπάνω γενικεύονται και σε πεδία στον µε την επισήµανση ότι σ αυτή την περίπτωση η περιστροφή είναι διάνυσµα το οποίο είναι ένα µέτρο της στιγµιαίας τάσης περιστροφής του πεδίου σ ένα σηµείο P γύρω από κάποιον άξονα (που φυσικά µπορεί να µην είναι κοινός για κάθε σηµείο του χώρου) H κατεύθυνση του άξονα περιστροφής F ενώ το καθορίζεται από την κατεύθυνση του διανύσµατος ( P ) µέτρο F ( P ) µετρά τη στιγµιαία γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του πεδίου στο σηµείο P ιαισθητικά αν ρίξουµε µια σαµπρέλα µε κέντρο ένα σηµείο P πάνω στην επιφάνεια µιας ήρεµης λίµνης και δούµε ότι η σαµπρέλα αρχίζει να περιστρέφεται τότε η περιστροφή του πεδίου στο P είναι µη µηδενική Ορισµός 7 Ένα διαφορίσιµο διανυσµατικό πεδίο F καλείται αστρόβιλο αν και µόνον αν η περιστροφή σε κάθε σηµείο του πεδίου ισούται µε το µηδενικό διάνυσµα Χρήσιµα παραδείγµατα αστρόβιλων πεδίων Παράδειγµα (Πεδίο κλίσεων) Έστω f: είναι µια διαφορίσιµη συνάρτηση στο και P= (,,, ) Τότε η κλίση ορίζει ένα διανυσµατικό πεδίο P f P f ( P ) =,, 56 ( P) f ( P) F: : F = το οποίο καλείται διανυσµατικό πεδίο κλίσεων της f Tα πεδία κλίσεων (µε την f : E να έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης) είναι αστρόβιλα ηλαδή ( f ) =

Η ιδιότητα αυτή είναι χρήσιµη για να δείξουµε ότι ένα πεδίο δεν είναι πεδίο κλίσεων Παράδειγµα (Κεντρικά πεδία) Τα κεντρικά πεδία δυνάµεων r Fr = f ( r), r = r είναι αστρόβιλα στον { (,,) } r Πράγµατι: r f ( r) f ( r) F= f ( r) = r+ r r r r Αλλά r= και f ( r) f ( r) r f() r r= r r= r r Αρα F= Τέλος, αναφέρουµε ότι διανυσµατικά πεδία µε συµµετρικό Ιακωβιανό πίνακα είναι αστρόβιλα Αποδεικνύεται εύκολα ότι: Θεώρηµα 8 Η απόκλιση της περιστροφής ενός διανυσµατικού πεδίου F= ( PQR,, ) του οποίου οι συνιστώσες συναρτήσεις έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης είναι µηδενική Με άλλα λόγια ισχύει Επίσης αποδεικνύεται ότι i ( F ) = Θεώρηµα 9 Αν F είναι ένα ασυµπίεστο πεδίο µε συνεχείς µερικές παραγώγους επί κυρτού τόπου E του, τότε υπάρχει ένα επίσης διανυσµατικό πεδίο G µε συνεχείς µερικές παραγώγους επί του E τέτοιο ώστε F= G Το πεδίο G καλείται διανυσµατικό δυναµικό του πεδίου F Αποδεικνύεται ότι το πεδίο 57 G = r t F t r dt είναι διανυσµατικό δυναµικό του F, δεν είναι όµως o τύπος αυτός ο µοναδικός Πράγµατι αν f : E είναι µια βαθµωτή

συνάρτηση επί κυρτού τόπου E µε συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης τότε και το πεδίο G+ f είναι επίσης διανυσµατικό δυναµικό του πεδίου F διότι ( f ) G+ = G+ f = G+= G=F Ισχύει και το αντίστροφο Πράγµατι αν G είναι ένα άλλο διανυσµατικό δυναµικό του πεδίου F, τότε F= G F= G G G = και επειδή το Ε είναι κυρτό το πεδίο G G είναι πεδίο κλίσεων, δηλαδή ισχύει G G = f για κάποιο βαθµωτό πεδίο Θεώρηµα Αν F είναι ένα διανυσµατικό πεδίο µε συνεχείς µερικές παραγώγους επί κυρτού τόπου E του, τότε υπάρχει ένα διαυσµατικό πεδίο G µε συνεχείς µερικές παραγώγους επί του E και µια βαθµωτή συνάρτηση f : E µε συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης στο E έτσι ώστε F= G+ f Με άλλα λόγια κάθε συνεχώς διαφορίσιµο πεδίο επί κυρτού τόπου αναλύεται σε άθροισµα ενός ασυµπίεστου πεδίου (του G ) και ενός αστρόβιλου πεδίου (του f ) 5 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ίνεται η συνάρτηση f :, όπου f (, ),, = +, =, ( ) ( ) Να εξετασθεί εάν υπάρχουν οι µερικές παράγωγοι f(,), f (,) Είναι η f συνεχής στο, ; Λύση Εστω (, ) = (,) Τότε: ; Είναι η f διαφορίσιµη στο 58

Οµοια: f ( +,) (,) f h f f (,) = lim h h ( ) ( + ) hh = lim = h hh f, + h f, h (,) = lim = lim = h h h h( + h ) { } ως πηλίκο συνεχών (πολυωνυµι- Η f είναι συνεχής στο (,) κών) συναρτήσεων Αν (, ) (,), τότε f (, ) = = = f(,), + άρα η f είναι συνεχής στο Για να είναι η f διαφορίσιµη στο σηµείο Ρ =(,) θα πρέπει να ισχύει βάσει του ορισµού f P f P f ( P) ( P P) lim = P P PP Αν η f είναι διαφορίσιµη στο Ρ =(,) θα πρέπει Εχουµε: ( ) f ( P) = f( P) = f (,), f (,) = (,) f P f P f ( P) ( P P) PP = (, ) (, ) ( (,), (,)) (, ) f f f f (, ) (,) = (, ) (, ) (,) (, ) (, ) (,) f f, = (, ) ( ) ( ) f +, 59

f, = = + + Μελετούµε το lim ( + ) (, ) (,) + P=,, (βαδίζουµε στο (,) κατά µήκος της ηµιευθείας = για > ) Τότε: Έστω Έστω = = = lim f P lim f, lim (, + + ) P + P=,, (βαδίζουµε στο (,) κατά µήκος της ευθείας = ) Τότε: / lim f P = lim f, = lim = lim = ( + ) ( + ) P, / / + + + Αρα το όριο lim ( + ) (, ) (,) διαφορίσιµη στο σηµείο (, ) δεν υπάρχει και συνεπώς η f δεν είναι Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f (, ) = ( e + e) κάτωθι ισότητες: ικανοποιεί τις + = και f f f = e e Λύση Εχουµε =, = e + e e + e, άρα: Eπίσης: f e + e + = = e + e ( + ) + + f e e e e e e + e e e = = = + + + e e e e e e 6,

και ( + ) + e f e e e e e = = + + e e e e Απ την άλλη πλευρά έχουµε: ( + ) f e e e e = = = + + + 4 e e e e e e Τελικά: + + f f f e e = = 4 4 e + e e + e Να υπολογισθεί η εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου της επιφάνειας = + στο σηµείο P, f ( P ) = (,, 5) f (, ) ( ) Λύση Η συνάρτηση f είναι πολυωνυµική, άρα διαφορίσιµη στο σηµείο P = (, ) ( έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης σε µία περιοχή του σηµείου Ρ ), συνεπώς έχει µοναδικό εφαπτόµενο επίπεδο στο σηµείο P, f( P ) =,, 5 µε εξίσωση: Αλλά f 4( ) z = f P + f P + f P = +, συνεπώς και f 4( ) = +, συνεπώς f ( P ) = 4( ) ( ) + = f ( P ) = 4 ( ) + = 4 Τελικά: z = 5 + + + 4 = + 4 75, δηλαδή 4+ z+ 75 = 6

4 Υπολογίστε την παράγωγο της συνάρτησης f (, ) = + + στο σηµείο P = (,) κατά την a = 6,5 κατεύθυνση του διανύσµατος Λύση Η κατεύθυνση του a είναι a ( 6,5) 6 5 a = = =, a 6 + 5 6 6, = + + είναι: Η κλίση της συνάρτησης f ( ) (, ) ( 6, 6 ) f = f f = + +, άρα: f ( P ) = ( 9 6 +, 9 + 6 ) = (, 9) Τελικά µε χρήση του Θεωρήµατος (α) και λαµβάνοντας υπόψη ότι η f είναι διαφορίσιµη ως πολυωνυµική παίρνουµε: 6 5 7 45 7 ( P) = f( P) a = (, 9 ), = = a 6 6 6 6 6 5 (α) Υπολογίστε την κλίση της εφαπτόµενης ευθείας του ίχνους της καµπύλης που ορίζεται ως τοµή της επιφάνειας z = / µε το επίπεδο που διέρχεται από το σηµείο P =(,,) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο Οz (β) Υπολογίστε τo ρυθµό µεταβολής της h= + z στο σηµείο P =(,,- ) κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος a = (,, ) Ποια είναι η κατεύθυνση πάνω στην οποία παρατηρείται η ελάχιστη τιµή της κλίσης της εφαπτόµενης ευθείας στη γραφική παράσταση της h στο σηµείο (,,,); Ποια είναι η τιµή αυτή; Λύση (α) Η ζητούµενη κλίση είναι η (, ) (β) O ζητούµενος ρυθµός µεταβολής είναι Μετά από πράξεις βρίσκουµε (,, ) 6 z = h = a h(,, ) a = h(,, ) a a

Η ελάχιστη τιµή της κλίσης παρατηρείται πάνω στην κατεύθυνση του διανύσµατος grad h(,,) = h(,,) =,, H ελάχιστη τιµή της κλίσης είναι h(,,) = + + = 6 6 Αν : : = ( + + ) f f δείξτε ότι f = Λύση Εστω i=,, Tότε: και = i + + i ( ) f ( ) i ( ) = 4 + + + + + i Αθροίζοντας παίρνουµε f f ( ) + + = + + + ( + + ) ( + + ) = 4 7 Προσεγγίστε την ποσότητα σηµείου + 885 + σε περιοχή κατάλληλου + Λύση Ορίζουµε τη συνάρτηση f(, ) =,, > + + 9 4 Παρατηρούµε ότι f (9,) = =, οπότε επιλέγουµε το σηµείο + P = ( 9,) Σε δίσκο Dε ( P ) που περιέχει το σηµείο ( 885, ) (πχ θεωρούµε 5 < ε < ) είναι εύκολο να δούµε ότι η f έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης διότι οι µερικές παράγωγοι 6

f = ( + ) και f = + ( + ) είναι συνεχείς στο δίσκο Dε ( P ) ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων Αρα η f είναι διαφορίσιµη στο δίσκο Dε ( P ) και συνεπώς υπάρχει µοναδικό εφαπτόµενο επίπεδο στο σηµείο ( P, f( P ) ) το οποίο προσεγγίζει τις τιµές f(p) κοντά στο P Αρα λοιπόν µπορούµε να πούµε (µε κάποιο σφάλµα που µπορεί να ελεγχθεί) ότι f ( P) df ( P) P P Αρα (, ) ( 9, ) (9,) ( 9 ) (9,) ( ) f f f + f ( 885,) ( 9, ) + (9,) ( 885 9 ) + (9,) ( ) f f f f 4 4 46 + ( 5) = 8 9 6 8 Nα εξετασθεί αν η ( ) e d+ e + d είναι διαφορικό συνάρτησης f Aν ναι, υπολογίστε όλες τις συναρτήσεις δυναµικού f Λύση Εστω P (, ) = e και Q (, ) = e + Επειδή P Q = e =, P, υπάρχει τέτοια συνάρτηση f Mπορούµε να χρησιµοποιήσουµε απευθείας,, πχ τον τύπο του αντίστοιχου θεωρήµατος (για φιξαρισµένο ( ) (, ) = (,) ) διότι το πεδίο ορισµού είναι το να εργασθούµε ως εξής: Αφού η ( ) ισχύει 64 που είναι κυρτό, είτε ed+ e + d είναι διαφορικό της f θα πρέπει να f = e και f e = + (4) Ολοκληρώνοντας ως προς (και θεωρώντας σταθερό) παίρνουµε f = e f(, ) = e d+ g = e + g,

όπου g : αυθαίρετη πλην όµως συνεχώς παραγωγίσιµη συνάρτηση που θα προσδιορίσουµε Από την παραπάνω ισότητα έχουµε f (, ) = e + g f = e + g Συνδυάζοντας µε την (4) προκύπτει ότι συνεπώς f = e +, e + g = e + g = g d= ( ) d+ c g = + c 9 Εξετάστε αν η συνάρτηση {(,)} f (, ) = + είναι αρµονική στο f f,,,, έχουµε { } Λύση Υπενθυµίζουµε ότι αν + = ( ) η f είναι αρµονική Για κάθε, τότε και f f =, f f + = = + = f = =, f = = f ( + ) f ( + ) / / / / Αρα f f + = f και συνεπώς η f δεν είναι αρµονική Να βρεθεί το διαφορικό ης και ης τάξης της συνάρτησης f (, ) = e cos( ) Λύση Προφανώς η f έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης στο Εχουµε 65

( ηµ ) ( ηµ ) df = f d + f d = e + d + e + d Συνεχίζοντας παίρνουµε: () d f = f d + f d = f ( d) + f dd + f ( d) (βλέπε ()) Επειδή f = cos( ), f = f = e + ηµ ( ) = e + cos( ) + si( ), f = e + cos µε αντικατάσταση στην παραπάνω ισότητα παίρνουµε το ζητούµενο ίνεται η επιφάνεια µε εξίσωση f(, ) = + 4 Να βρεθεί η εξίσωση του εφαπτοµένου επιπέδου της επιφάνειας που είναι παράλληλο προς το επίπεδο + z = 4 καθώς επίσης και το σηµείο επαφής Λύση Προφανώς η f είναι διαφορίσιµη σε κάθε σηµείο Ρ (έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης), άρα υπάρχει µοναδικό εφαπτόµενο επίπεδο στη γραφική παράσταση της επιφάνειας της f στο σηµείο P, f( P ) µε εξίσωση όπου P (, ) z = f P + f P + f P = Εφόσον όµως το παραπάνω επίπεδο είναι παράλληλο µε το επίπεδο + z = 4 θα πρέπει να ισχύει Από την (5) έχουµε f( P) f P = = = λ (5) Αρα f ( ) ( P) f P 8 = = = = (, ) =, 8 z 5 = f, = f, =, συνεπώς το σηµείο επαφής είναι το 8 6 5 P, f( P) =,, z =,, και η εξίσωση του εφαπτόµενου 8 6 66

επιπέδου της f στο σηµείο αυτό είναι z = f P + f P + f P 5 z = + ( ) + 6 8 είξτε ότι κάθε παραγωγίσιµη συνάρτηση f : : w= f ( s) όπου s = + a είναι λύση της µερικής διαφορικής εξίσωσης: Λύση Eχουµε: w a w = ( a σταθερά) ( ) ( ) ( ), dw = f s ds = f s s d + s d = f s s d + f s s d, οπότε w = f s s = f s a= af s w = f s s = f s = f s συνεπώς w aw af ( s) af ( s) = = Yπολογίστε τις µερικές παραγώγους της σύνθετης συνάρτησης f (, ) = e, όπου Λύση Eχουµε = u + v και = uv df = f d + f d = f du + dv + f du + dv u v u v ( u u) ( v v) df = f + f du + f + f dv + e u e v fu = fu + fu = f v = fv + fv e + v e u 67

( u v ) + ue + uv vu = + ve uv uv u + v u + v u + v uv uv e u + v u + v u + v u v u uv uv + e 4 Aν u = f(, z, z ), δείξτε ότι u + u + u = z Λύση Eστω u =, v= z, w= z Τότε έχoυµε: άρα: du = fudu + fvdv + fwdw, u = fuu + fvv + fww u = fu + fv + fw u = fuu + fvv + fww u = fu ( ) + fv + fw uz fuuz fvvz fww = + + z uz = fu + fv ( ) + fw Αρα u + u + u = z 5 ίνεται το πεδίο F: : F ( P) = (,,) Ποια µια γεωµετρική ερµηνεία του; είξτε ότι είναι διαφορίσιµο και υπολογίστε την παράγωγο σε κάθε σηµείο του Υπολογίστε την παράγωγο του a=,, πεδίου κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος Λύση Για κάθε σηµείο P= (,, z) η τιµή ( P) (,,) F = είναι η ορθογώνια προβολή του Ρ στο επίπεδο O Επειδή οι συνιστώσες συναρτήσεις του πεδίου f ( z,, ) = f ( z,, ) = f (,, z) = έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους σε µια περιοχή κάθε σηµείου P το πεδίο είναι διαφορίσιµο Επιπρόσθετα, η παράγωγος του πεδίου στο P είναι ο Ιακωβιανός πίνακας 68

J P P P ( P) ( P) ( P) ( P) ( P) ( P) z z z ( P) = = F, δηλαδή η παράγωγος είναι σταθερή σε κάθε σηµείο Τέλος εφόσον το πεδίο είναι διαφορίσιµο ισχύει 6 Εστω / 4 / 4 ( P ) = = / 4 = / 4 a a / 4 F a J ( P F ) m D είναι τόπος και F: : F( P) = ( f,, f m ) F = είναι µια διαφορίσιµη διανυσµατική συνάρτηση έτσι ώστε ( P) για κάθε P είξτε ότι F( P ) = σταθερό) διάνυσµα του m b όπου b είναι τυχαίο (αλλά fi Λύση Από την υπόθεση έχουµε = i =,, m, j =,, Αρα j ισχύει dfi = i =,, m, όπου df i είναι το διαφορικό των βαθµωτών συναρτήσεων fi : Εφόσον το πεδίο ορισµού είναι τόπος (δηλαδή ανοικτό και συνεκτικό σύνολο) έχουµε df = f = b =σταθερα i i i Αρα ( P) = ( f,, f ) = ( b,, b ) F m m 7 Εστω D είναι τόπος και διανυσµατική συνάρτηση έτσι ώστε F : D είναι διαφορίσιµη Αν (,) = (,,) F βρείτε την F F ( P) = 69

( ) Λύση Εστω F ( P) = f (, ), f (, ), f (, ) Τότε Συνεπώς P f P ( P) ( P) F ( P) = = ( P) ( P) ( P) = f, = + g για κάποια παραγωγίσιµη πραγµατική συνάρτηση g Αλλά: ( P) + g = = g = g = + c Aρα f, = + c και εφόσον (,) = (,, ) = f(, ), f(, ), f(,) ισχύει, F θα πρέπει να f, = = + c c = Τελικά f (, ) υπόλοιπες συνιστώσες συναρτήσεις f (, ) και f (, ) f ( ) = + και f ( ) = +, = + Eργαζόµαστε αναλόγως για τις, και έχουµε 8 Εστω πεδίο F= a r, όπου a είναι σταθερό διάνυσµα Υπολογίστε την απόκλιση και περιστροφή του πεδίου F i j k a r= = i+ j + k z Λύση a a a ( a z a ) ( a a z) ( a a ) Αρα i( a r) ( az a) ( a az) ( a a) z = + + = 7

i j k ( a r) = = ( a) i+ ( a) j + ( a) k z az a a az a a = a 9 Aν = r Fr r όπου r= i+ j+ z k, r = r να υπολογισθεί η απόκλιση και η περιστροφή του πεδίου F Λύση Εχουµε r r r i r = ir+ i r (βλέπε σχέση (Α) του Κεφαλαίου)Αρα r i( r r ) = r ir+ r = 4 ( ri r) + = r + = 4 r r r r r r Απ την άλλη µεριά έχουµε r r r = r r+ r r= r r= r r= r r 4 (βλέπε σχέση (Β) του Κεφαλαίου) Αν F= ( f, f, f ) και ( g, g, g ) διανυσµατικά πεδία στον πεδίο στον δείξτε ότι (α) ( Fi )h= Fi h (β) ( G ) F= ( G f, G f, G f ) i i i i Λύση (α) Εχουµε G= είναι δυο διαφορίσιµα και h είναι ένα διαφορίσιµο βαθµωτό h h h i f = f + f + f h f f f h z = + + = Fi z ( F ) (β) Επίσης: 7

z z ( G i ) F= g + g + g F= g + g + g ( f, f, f ) = f f f g g g + + g + g + g z z i+ j + g + g + g ( f, f, f) z k = G G G Εστω (,, z) (,z, z ) F = είναι πεδίο στον 7 είξτε ότι προέρχεται από διανυσµατικό δυναµικό G και στη συνέχεια υπολογίστε το δυναµικό G Είναι το G µοναδικό; Λύση Το πεδίο F είναι διαφορίσιµο επί κυρτού τόπου (του ) άρα για να προέρχεται από διανυσµατικό δυναµικό G αρκεί να δείξουµε ότι είναι ασυµπίεστο Πράγµατι ( ) ( z ) ( z ) i F= + + = z Ενας τύπος για το διανυσµατικό δυναµικό έχει δοθεί παραπάνω Συγκεκριµένα G = r t F t r dt (,, ) (,, ) (,, ) 4 4 = r tf t t tz dt = r t F z dt = r F z t dt = ( r F) = ( F r ) = ( z z, z z, 4 z) 5 5 5 Ο τύπος του πεδίου G δεν είναι µοναδικός Όπως είδαµε παραπάνω το πεδίο G+ f είναι επίσης διανυσµατικό δυναµικό του πεδίου F για κάθε διαφορίσιµη βαθµωτή συνάρτηση f : Εστω F είναι ένα ασυµπίεστο πεδίο επί κυρτού τόπου E µε συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης είξτε ότι υπάρχει µια συνάρτηση f : E η Λαπλασιανή της οποίας είναι µηδέν σε κάθε σηµείο του E Λύση Το πεδίο F µπορεί να γραφεί ως

F= G+ f για κάποιο πεδίο G επί του E και για κάποια βαθµωτή συνάρτηση f : E Επειδή divf= έχουµε = if= i G+ f = i G + i f = + f 5 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να µελετηθούν τα όρια: ( a) lim (, ) (,) + + ( b) lim (, ) (,) συν ( + ) + () c lim (, ) (,) Απάντ (α) εν υπάρχει + εφ + εφ + 5 5 + εφ( ) εφ( ) 5 5 ( ) ( ) ( ) (b) ½, χρησιµοποιείστε την ταυτότητα συνέχεια πολικές συντ/νες συν ηµ = και στη (c), Χρησιµοποιείστε ιδιότητες ορίων όσον αφορά τις πράξεις Στη συνέχεια δηµιουργείστε και χρησιµοποιείστε κατάλληλα την εφ lim = Να µελετηθεί το όριο και τα διπλά όρια στο σηµείο Ρ =(,) της συνάρτησης f(, ) = + ηµ + Απάντ lim f (, ) δεν υπάρχει Επίσης: (, ), ( f ) f ( ) lim lim (, ) = lim lim, = Yπολογίστε τις µερικές παραγώγους των συναρτήσεων: + + z f(, ) = l εφ, g (, ) =, hz (,, ) = τοξεφ 7

Απάντηση: f =, f = ηµ ηµ + + g = +, g = ( + z ), + z, h = h = h = ( ) + ( + + z) ( ) + ( + + z) ( ) + ( + + z) z 4 ίνεται η συνάρτηση, (, ) (,) f :, f(, ) = + (, ) = (,) Υπολογίστε τις µερικές παραγώγους f(,), f (,) Eίναι η f συνεχής στο ; Eίναι η f διαφορίσιµη στο σηµείο (,); Απάντ f (,) = f (,) = Η f είναι συνεχής στο διαφορίσιµη στο (,) εν είναι 5 (α) Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f (, ) = + στο σηµείο P = (,) κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος PP, όπου P = (,4) (β) Να βρεθεί η κλίση (στο σηµείο (,, 6) ) της εφαπτόµενης ευθείας της καµπύλης που ορίζεται ως τοµή της επιφάνειας g(, ) = + + µε το επίπεδο που διέρχεται από το σηµείο (,-,) και είναι παράλληλο στο διάνυσµα e = (,,) και στην εφαπτόµενη ευθεία της παραβολής = στο σηµείο (,) Απάντ (α) f (, ) PP = (β) Ψάχνουµε την παράγωγο της f στο σηµείο (, ) κατεύθυνση του διανύσµατος a = (, 4) (γιατί αυτό;) κατά την (, ) = 6 f a 7 6 Αν f ( z,, ) = ( + + z), δείξτε ότι fz = fz = z f 74

Yπόδειξη Υπολογίστε τις µερικές παραγώγους ανώτερης τάξης 4 z 4 4, z f = f =, f = ( + + z ) ( + + z ) ( + + z ) z z 7 Προσεγγίστε την ποσότητα 5 + e 98 + 795 + e Απάντ Θεωρήστε συνάρτηση f(,, z) = και το σηµείο + z 4787 Ρ =(4,,8) Τότε f (98,5,795) 48 8 Υπολογίστε το διαφορικό ης και ης τάξης της συνάρτησης Απάντ z = + f ( z,, ) ( ) ( ( ) ) ( ( )( ) ) z z z df = + d + z + d + + + dz z z z ( ) ( 4 ( ) ) ( ) z ( + ) z ( ( ) ) d f = + d + z + dd + + + ddz + + z ( + ) + ddz + ( z + + 4 z( z ) + )( d) + + ( + ) + ( dz) z z z 9 Εστω f έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης στο είναι αρµονική στο, δείξτε ότι η f είναι αρµονική στο Αν f είξτε ότι η παράσταση ( + z) d + ( + z) d + ( + ) dz είναι διαφορικό µιας συνάρτησης f ( z,, ) Στη συνέχεια προσδιορίστε όλες αυτές τις συναρτήσεις f Aπάντ f ( z,, ) = + z+ z+ c είξτε ότι αν f : E έχει συνεχείς µερικές παραγώγους σε τόπο Ε και αν f ( P) = = f P P E =, τότε f ( P) = c για κάποια σταθερά c είξτε µε αντιπαράδειγµα ότι η πρόταση παύει να ισχύει αν το Ε είναι µόνον ανοικτό σύνολο 75

Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε το θεώρηµα µέσης τιµής του Λογισµού Ι για καθεµιά από τις µερικές παραγώγους λαµβάνοντας υπόψην ότι σε κάθε τόπο Ε πάντα υπάρχει πολυγωνική γραµµή που ενώνει οποιαδήποτε δύο σηµεία του Ε και κείται εντός του Ε Αν : : f f P = OP δείξτε ότι OP OP ( P ), ( f ( P )), P (,,) f = = f ( P) f ( P) Yπόδειξη: Χρησιµοποιείστε τον ορισµό του µέτρου διανύσµατος και τον ορισµό της διανύσµατος κλίσης και επαληθεύστε Εάν z f ( ) =, όπου η f είναι παραγωγίσιµη συνάρτηση, z δείξτε ότι z + z = Yπόδειξη: Xρησιµοποιείστε τον κανόνα αλυσίδας και επαληθεύστε 4 Αν f είναι παραγωγίσιµη συνάρτηση και αν z = f ( ), δείξτε ότι z = z Yπόδειξη: Xρησιµοποιείστε τον κανόνα αλυσίδας και επαληθεύστε 5 είξτε ότι η συνάρτηση z e e = + επαληθεύει τη σχέση: z + z = z + z 6 Υπολογίστε τη Λαπλασιανή µιας συνάρτησης f (, ) µε συνεχείς παραγώγους ης τάξης σε πολικές συντ/νες ηλαδή υπολογίστε την f = f + f, όπου = ρσυνθ, = ρηµθ, k 7 είξτε ότι Απάντ f = f f f ρ + + ρ ρ ρρ θθ f ( t, t) = t f (, ) k f + f = kf (, ) Τέτοιες συναρτήσεις καλούνται οµογενείς βαθµού k 76

Yπόδειξη: " " Χρησιµοποιείστε κατάλληλα τον κανόνα αλυσίδας θεωρώντας ότι t ( u, v) : u= t, v= t και παραγωγίστε τη συνάρτηση k f ( t, t) = t f (, ) ως προς t " " Θεωρήστε ότι Φ () t = f( t, t) και παραγωγίστε και τα δύο µέλη 8 ίνεται το πεδίο F: : F ( P) = (,, z) Ποια η γεωµετρική ερµηνεία του; είξτε ότι είναι διαφορίσιµο πεδίο και υπολογίστε την παράγωγο σε κάθε σηµείο του Υπολογίστε την παράγωγο του πεδίου κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος a=,, Απάντ Είναι η ορθογώνια προβολή σηµείου P (,, z) επίπεδο Oz ( P) 9 ίνεται το πεδίο F = F,, =,, a ( P) ηµ ( ) συν ( z) ch( z) = στο F: : F = +, +, + Βρείτε τη βέλτιστη γραµµική προσέγγιση του πεδίου σε µια περιοχή π του σηµείου P =,, Ποια είναι η απόκλιση και ποια η 4 περιστροφή του F ; Εστω Απάντ ( P) 4+ 4+ 4 π 4z 4+ π + G =,, 4 4 ( + ) ( + ) + ( + ) divf= συν ηµ z sh z ( ηµ ( + ), ( + ), συν ( + )) rotf= z sh z D είναι τόπος και έστω, : FG F P = G m είναι δυο διαφορίσιµες διανυσµατικές συναρτήσεις έτσι ώστε ( P) για κάθε P Αν F( P) = G ( P) για κάποιο σηµείο P δείξτε ότι F( P) = G ( P) για κάθε P 77