Παράδειγμα Οι τμ μεταβητές X παραμέτρους X είναι ανεξάρτητες κατανέμονται σαν Posso με Να βρεθεί οι από κοινού κατανομή των X X Ποία η από κοινού των τμ Y Y εάν Y Y T X X X + X X Βρείτε τις περιθώριες κατανομές των Y Y 4 Να βρεθούν οι κατανομές των υπό συνθήκη τμ [ Y Y ] [ ] Επειδή οι τμ X Y Y + X είναι ανεξάρτητες θα έχουμε για ( x x ( x x ( + X X X X x! x! p x x p x p x Po x Po x : Y X + X T T : X Y Y Y X X Y Έτσι η μετασχηματισμένη από κοινού μάζα πιθανότητας των Y Y είναι ( { + } { } p P X X X P X X Y Y X X X X (!! ( + ( (!! p p p Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην οοκήρωση
+ Παρατηρούμε ότι x+ x x έτσι όταν έχουμε + { + } Ισοδύναμα όταν έχουμε { } Δηαδή έχουμε ότι η πιθανότητα ( όπου Y Y {( : + } ( : + { } Έτσι ( p Y Y p είναι μη μηδενική στο πέγμα (lattc ( + ( (!! lswhr Για τις περιθώριες της p έχουμε Y Y ( + Y Y Y!! ( + ( +!!!!!! ( + ( + Po!! p p + + Δηαδή Y X X ~ Po( + + p p + Y Y Y!! ( ( + +!!!! ( ( ( + ( + Po(!!!! Δηαδή όπως περιμέναμε Y X ~ Po( Τώρα είναι φανερό ότι ( + py Y py Y!! Πράγματι Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην οοκήρωση
+ p Po( + Y Y (!! + p Po( Y Y (!! 4 Για την υπό συνθήκη τμ [ ] ( Y Y pyy ( Y Y έχουμε: p! + py!! Po( { } (! + Δηαδή [ Y Y Y] ~ Po( εφόσον εάν py ( Po( Z T( Y Y έχουμε T ( Z Y Z + που δίνει p ( z p T ( Z Po z Z Y ~ Po( Z Y τότε για Για την υπό συνθήκη τμ [ Y Y ] έχουμε: ( + p Y Y! py Y( ( + p!! Y ( + + + + B + + + Y Y ~ B + Δηαδή [ ] { } Παρατηρήστε ότι το προηγούμενο αποτέεσμα ως προς τις μεταβητές X X είναι [ X X+ X ] ~ B ενώ όγω συμμετρίας έχουμε ότι + [ X X+ X ] ~ B + Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην οοκήρωση
Το προηγούμενο αποτέεσμα μπορεί να γενικευθεί για ανεξάρτητες Posso Δηαδή εάν X ~ Po( για X X j για j τότε θέτοντας S X που εμφανώς ακοουθεί S ~ Po έχουμε: ( Z Z [ X X S ] ~ ( p με!!! + για p p j j j ( p p p p + + όπου ( j Η προηγούμενη μη αρνητική συνάρτηση στο πέγμα συνάρτηση μάζας πιθανότητας εφόσον { } { } P Z+ + Z P X + + X S είναι μια ιδιάζουσα δηαδή Z + + Z με πιθανότητα Είναι όμως συνάρτηση μάζας πιθανότητας στο : + + Για να το δούμε αυτό θέτουμε με στήριγμα ( Z Z [ X X S ] ~ ( p { } ( p p ( ( ( ( p p p + + όπου ( + + ( + + p p p ενώ παρατηρούμε ότι η σταθερά κανονικοποίησης μπορεί να γραφτεί στη μορφή: ( ( ( ( (!!!! (!!!!!!!!!!!!!!! ( Ορισμός της πουωνυμικής κατανομής: Λέμε ότι το τυχαίο διάνυσμα Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην οοκήρωση 4
( ( Z Z ~ p p p< < p< ακοουθεί την διάστατη πουωνυμική κατανομή Θέτοντας Z + + Z + Z έχουμε την ιδιάζουσα αναπαράσταση ( ( Z Z Z ~ p p p p < p< Παράδειγμα Δείξτε ότι η ( Z Z4 ~ ( p p4 ( Z Z Z ~ ( p p ή ισοδύναμα η έχει συνάρτηση μάζας πιθανότητας: p p p p p p p 4 + + 4 όπου ( + + p ( p p Πράγματι 4 + + 4 ( ( ( p p 4 ( 4 ( p p p p ( ( p p + + ( ( ( ( p p ( p p ( ( + p p p p + p ( p p p ( p ( p ( ( p ( p Γίνεται οιπόν εμφανές (για την γενική απόδειξη θα χρησιμοποιούσαμε αθροίσματα ότι η συνάρτηση Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην οοκήρωση 5
( p p ( ( ( είναι συνάρτηση μάζας πιθανότητας στο ( p p p + + Άσκηση ( Z Z ~ ( p πιθανότητας : Δείξτε ότι έχει συνάρτηση μάζας ( p p ( ( ( p p p + + όπου p p p + + + + ( p p ( p p p ( p p + + ανακυκώνοντας την προηγούμενη σχέση παίρνουμε ( p p ( p ( p p ( p ( p p p ( ( + + p p p p p p Είναι εύκοο να δούμε ότι η πιθανότητα { } { } P Z Z P Z Z Z όπου Z Z Z + + είναι η πιθανότητα σε ανεξάρτητες πουωνυμικές δοκιμές Broull με διαφορετικά αποτεέσματα S S αντίστοιχες πιθανότητες p p Θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι το τάξης αποτέεσμα είναι η άρνηση των προηγουμένων Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην οοκήρωση 6
κατηγοριών δηαδή S S S falur o th frst catgors με πιθανότητα p ( p+ + p Στην ειδική περίπτωση έχουμε την διωνυμική κατανομή Z~ p p p p p< p< ( p p p ( p ( ( B ( p Δηαδή ( p ( p Bp ( Παράδειγμα με p+ p Έστω ότι ( Z Z ~ ( p ή ισοδύναμα ( Z Z Z ~ ( p p 4 4 με συνάρτηση μάζας πιθανότητας: p p p p p p 4 + + 4 όπου ( + + p ( p p 4 + + 4 Δείξτε ότι το περιθώριο τυχαίο διάνυσμα ( ( p p p ή ισοδύναμα ( Z Z ~ ( p πιθανότητας: Z Z Z έχει κατανομή p p p p p ( + όπου τώρα ( + p ( p Πράγματι + με συνάρτηση μάζας p p p p p p p 4 + + 4 ( ( ( p p + p p 4 4 Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην οοκήρωση 7
p p p p p p ( ( p p ( p p ( ( p p + + + + + d Άσκηση X Po( : Εάν για ~ ότι: [ X X S ] ~ ( p με p S X που ακοουθεί δείξτε j j Εμφανώς έχουμε ότι S ~ Po έτσι { } { } P{ X X S } P{ X X X+ + X } P{ S } P{ S } P{ X X X } P{ S } Po( Po( Po( Po( P X X S P X X S!!!!! (!!!! (! p p p Άσκηση ( Z Z5 ~ ( p p5 κατανομές [ Z Z ] [ Z Z Z Z Z ] : Δίνεται ότι Να βρεθούν οι υπό συνθήκη 4 5 Γνωρίζουμε ότι ( Z Z ~ ( p έτσι p ( Z Z p p p p pz Z p Z ( p ( p ( ( p p p p p p p p ( p p Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην οοκήρωση 8
p p p B p p p ( ( pz Z Z Z4 Z5 4 5 pz Z Z Z4 Z 5 4 5 pz4 Z5 4 5 4 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 p p p p p p p 4 4 5 45 p4 p5 p4 p5 4 5 ( 5 4 5 4 5 4 5 4 5 p p p p p 45 p p ( 5 45 45 4 5 p Θέτοντας 4 5 p έχουμε p4 p5 4 5 4 p Z Z Z Z Z 5 p p p p p p p p p Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην οοκήρωση 9