ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης Χειμερινό 2016 2017 Διδάσκων: Καθηγητής Παντελής Ν. Μπότσαρης Εργαστήρια/Ασκήσεις: Δρ. Πέτρος Πιστοφίδης
Εισαγωγή αντικατάσταση (replacement) Η ερμηνεία του όρου αντικατάσταση που δίνεται εδώ, ισχύει για την ανάλυση όλων των χαρακτηριστικών αξιοπιστίας. "τόσο καλό όσο το καινούργιο" ("AGAN", as good as new). Αυτή η υπόθεση του "τόσο καλό όσο το καινούργιο" είναι πολύ σημαντική κατά την διάρκεια της ανάλυσης της αξιοπιστίας ενός εξαρτήματος, διότι η βάση αυτής της ανάλυσης είναι ότι όλες οι παρατηρήσεις αφορούν εξαρτήματα με ζωές που εκφράζονται με τυχαίες μεταβλητές που είναι ανεξάρτητες και έχουν την ίδια κατανομή, δηλαδή την ίδια μέση τιμή και διακύμανση μεταβλητές ανεξάρτητες και ισόνομα κατανεμημένες, (ιndependent and identically distributed, ή απλά IID)
Διάρκεια Ζωής Εξαρτημάτων Κανονικό χρονικό διάστημα ή απλώς χρονικό διάστημα. Χρόνο λειτουργίας (για την περίπτωση εκείνη κατά την οποία όταν ένα εξάρτημα δεν βρίσκεται σε λειτουργία δεν παρουσιάζει και πιθανότητα βλάβης). Χρόνος λειτουργίας συν χρόνος αναμονής. Καλυπτόμενο διάστημα (στις περιπτώσεις οχημάτων, οι περισσότερες βλάβες εξαρτώνται από τα χιλιόμετρα που διανύει το αυτοκίνητο και όχι από τον χρόνο λειτουργίας του). Αριθμός αποστολών (για παράδειγμα στα αεροπλάνα ο αριθμός πτήσεων). Όγκος μεταφερόμενου υλικού (ο όγκος των χημικών ή των αερίων που μεταφέρονται). Αριθμός των on/off λειτουργιών.
Κατανομή Πιθανότητας Διάρκειας Ζωής
Κατανομή Πιθανότητας Διάρκειας Ζωής Θυμίζουμε ότι το εμβαδόν της περιοχής κάτω από την καμπύλη της f(t) ισούται με την μονάδα. Δηλαδή ισχύει: Επιπλέον στην f(x) αντιστοιχεί η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας ή συνάρτηση κατανομής F, έτσι ώστε για κάθε τιμή t της τυχαίας μεταβλητής Τ η πιθανότητα ένα εξάρτημα να έχει αποτύχει στο χρόνο t ισούται προς το εμβαδόν της περιοχής κάτω από την καμπύλη της f(x) και αριστερά της t. Ισχύει δηλαδή = πιθανότητα το εξάρτημα να έχει αποτύχει στον χρόνο t (3.1) Μία τυπική αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας παρουσιάζεται στο σχήμα 3.2.
Συνάρτηση Αθροιστικής Πιθανότητας
Πιθανότητα επιβίωσης (survival probability) Με βάση την F(t) ως συνάρτηση αξιοπιστίας ορίζεται η πιθανότητα επιβίωσης (survival probability) ενός εξαρτήματος μέχρι το χρόνο t και είναι απλά το συμπλήρωμα της αθροιστικής συνάρτησης πιθανότητας. Είναι δηλαδή:
Η συνάρτηση ρυθμού αποτυχιών (βλαβών) (failure rate) h(t) Η συνάρτηση ρυθμού αποτυχιών (βλαβών) (failure rate) h(t) εκφράζει την συμπεριφορά της αξιοπιστίας ενός εξαρτήματος, ορίζεται σαν ρυθμός, δηλαδή πιθανότητα ανά μονάδα χρόνου και είναι εξ αυτού ιδιαίτερα χρήσιμη. Η δεσμευμένη πιθανότητα στον προηγούμενο λόγο ισούται, με τον λόγο του γραμμοσκιασμένου εμβαδού στο Σχήμα 3.3 δια του εμβαδού κάτω από την καμπύλη της f(t) δεξιά του t (το τελευταίο εμβαδόν δηλώνει την αξιοπιστία στο t).
Η συνάρτηση ρυθμού αποτυχιών Έτσι έχουμε: (βλαβών) (failure rate) h(t) (3.3) Όπου η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του χρόνου ζωής.
Τυπικές μορφές καμπυλών της συνάρτησης ρυθμού αποτυχιών (βλαβών)
Συναρτήσεις σταθερού, αυξανόμενου και μειούμενου ρυθμού αποτυχιών (βλαβών) Σταθερός ρυθμός αποτυχιών (βλαβών). h(t) = 0 Αυξανόμενος ρυθμός αποτυχιών (βλαβών). h(t) > 0 Μειούμενος ρυθμός αποτυχιών (βλαβών). h(t) < 0
Αθροιστική Συνάρτηση Ρυθμού Αποτυχιών (Βλαβών)
Αθροιστική Συνάρτηση Ρυθμού Αποτυχιών (Βλαβών) η αθροιστική συνάρτηση του ρυθμού αποτυχιών (βλαβών) H(t) είναι το εμβαδόν της περιοχής κάτω από την καμπύλη της συνάρτησης ρυθμού αποτυχιών (βλαβών) h(t) (Σχήμα 3.4). Δηλαδή για μία τιμή t της τυχαίας μεταβλητής Τ έχουμε: Η H(t) συσχετίζεται επίσης με τη συνάρτηση της αθροιστικής συνάρτησης πιθανότητας F(t) σύμφωνα με τις σχέσεις: (3.4) και: (3.5)
Μέσος Χρόνος Λειτουργίας Χωρίς Βλάβη Ο μέσος χρόνος μέχρι την πρώτη αποτυχία (mean time to failure - MTTF) είναι η μέση τιμή του χρόνου ζωής χωρίς αποτυχία. Από το κεφάλαιο περί πιθανοτήτων όπου η μέση τιμή μ Τ μιας τυχαίας μεταβλητής Τ, που αναφέρεται και ως αναμενόμενη τιμή Ε(Τ) παίρνουμε:
Διασπορά του Χρόνου Ζωής Χωρίς Αποτυχία Μια χρήσιμη παράμετρος που μετρά την μεταβλητότητα μιας κατανομής δίδεται από την διασπορά του χρόνου ζωής χωρίς αποτυχία. Από το κεφάλαιο περί πιθανοτήτων γνωρίζουμε ότι η διασπορά δίνεται από τον τύπο:
Διαθεσιμότητα (availability) H διαθεσιμότητα (availability), που θα συμβολίζουμε με Α είναι μια χρήσιμη παράμετρος που περιγράφει το ποσοστό του διαθέσιμου χρόνου ενός εξαρτήματος ή συστήματος. Η παράμετρος αυτή καθορίζεται τόσο από την αξιοπιστία όσο και από την συντηρησιμότητα του εξαρτήματος.
Επιλογή Κατάλληλης Παραμέτρου Προσδιορισμού Χαρακτηριστικών Αξιοπιστίας Ρυθμός Αποτυχιών MTTF Συντηρησιμότητα Μέσος Χρόνος Επιδιόρθωσης Μέσος Νεκρός Χρόνος Μέσος Χρόνος Ζωής
Διαγράμματα Αλληλοεπικαλύψεως Η σχέση μεταξύ φόρτισης και αντοχής είναι αρκετά σημαντική στη μελέτη της αξιοπιστίας ενός εξαρτήματος ή συστήματος. Γενικά αναμένουμε ότι θα προκύψει αποτυχία όταν η φόρτιση γίνει μεγαλύτερη της αντοχής. Οι όροι φόρτιση (loading) και αντοχή (strength) χρησιμοποιούνται βεβαίως με την ευρεία έννοια
Διαγράμματα Αλληλοεπικαλύψεως
Διαγράμματα Αλληλοεπικαλύψεως Στο σχήμα αυτό η αντοχή και η φόρτιση μετρώνται σε ίδιες μονάδες και μ S :Μέση τιμή αντοχής του εξαρτήματος. μ L :Μέση τιμή φόρτισης επί του εξαρτήματος. σ s :Τυπική απόκλιση της αντοχής του εξαρτήματος. σ L :Τυπική απόκλιση της φόρτισης επί του εξαρτήματος
Διαγράμματα Αλληλοεπικαλύψεως
Περιθώρια Ασφαλείας - ΠΑ (Safety Margins - SM) Εάν λοιπόν σχεδιάσουμε τα συστήματα έτσι, ώστε η αντοχή να είναι "στατιστικά" μεγαλύτερη της φόρτισης, θα πρέπει να μην έχουμε αποτυχίες. Μία τεχνική που χρησιμοποιείται στον σχεδιασμό εξαρτημάτων είναι η χρησιμοποίηση των περιθωρίων ασφαλείας - ΠΑ (safety margins - SM) που ορίζεται από την σχέση: (3.12)
Περιθώρια Ασφαλείας - ΠΑ (Safety Margins - SM) Η αξιοπιστία μπορεί επομένως να προσδιορισθεί από την τιμή της ανηγμένης μεταβλητής της κανονικής κατανομής από τους σχετικούς πίνακες της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής, και εκφράζεται ως: (3.20)