4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα, γνωστά και ως συστήματα διαφορικών εξισώσεων, περιγράφουν φαινόμενα που μεταβάλλονται συνεχώς στο χρόνο. Η μαθηματική περιγραφή τέτοιων συστημάτων γίνεται με διαφορικές εξισώσεις οι οποίες περιγράφουν το ρυθμό μεταβολής των μεταβλητών κατάστασης. Αν, για παράδειγμα, το μέγεθος ενός πληθυσμού τη χρονική στιγμή είναι Ν(, και ο ρυθμός που μεταβάλλονται οι τιμές του με τη πάροδο του χρόνου είναι ίσος με το διπλάσιο της τρέχουσας τιμής του Ν, τότε γράφουμε dn N (4.) Στην περίπτωση που γνωρίζουμε ότι η ταχύτητα ενός αντικειμένου είναι μια συνάρτηση του χρόνου, ν(, τότε η θέση του αντικειμένου, p(, θα πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση dp v( (4.) Στις εξισώσεις (4.) και (4.), οι ποσότητες Ν και p είναι άγνωστες και είναι οι εξαρτημένες μεταβλητές ενώ ο χρόνος είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή. Οι εξισώσεις αυτές διαφέρουν από τις συνηθισμένες αλγεβρικές εξισώσεις επειδή περιλαμβάνουν ως όρο την παράγωγο της εξαρτημένης μεταβλητής. Κάθε εξίσωση που περιέχει μια άγνωστη συνάρτηση, κάποιες από τις παραγώγους της και την ανεξάρτητη μεταβλητή ονομάζεται διαφορική εξίσωση. Παραδείγματα διαφορικών εξισώσεων: y (a) y 3y y (b) a by (c) ay by (d) y y 3y 4 0 (e) ( y) y 0 (f ) (4.3) Τάξη μιας διαφορικής εξίσωσης είναι η μεγαλύτερη από τις τάξεις των παραγώγων της άγνωστης συνάρτησης που εμφανίζονται στην εξίσωση. Οι εξισώσεις (4.), (4.), (4.3a), (4.3c), (4.3d) και (4.3f) είναι πρώτης τάξης. Οι διαφορικές εξισώσεις (4.3b) και (4.3e) είναι δεύτερης τάξης. Μια διαφορική εξίσωση ονομάζεται γραμμική αν περιλαμβάνει μόνο πρωτοβάθμιους όρους της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της (π.χ. οι εξισώσεις (4.), (4.), (4.3b) και (4.3c)). Μια διαφορική εξίσωση που περιλαμβάνει την ανεξάρτητη μεταβλητή ως όρο ονομάζεται μη αυτόνομη διαφορική εξίσωση (π.χ οι εξισώσεις (4.), (4.3a), (4.3b), (4.3e) και (4.3f)). Οι αυτόνομες διαφορικές εξισώσεις δεν περιλαμβάνουν στη διατύπωσή τους άμεσα την ανεξάρτητη μεταβλητή αλλά μόνο έμμεσα (ως ) (π.χ. οι εξισώσεις (4.), (4.3c) και (4.3d)). Στα πλαίσια αυτών των σημειώσεων θα ασχοληθούμε μόνο με διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Γενικά, αν η κατάσταση του συστήματος τη χρονική στιγμή περιγράφεται από μία μεταβλητή 4-

y ( και ο ρυθμός μεταβολής της είναι μια (γνωστή) συνάρτηση, f ( y,, του y και του, τότε έχουμε τη διαφορική εξίσωση f ( y, (4.4) Το πρόβλημα που θα μας απασχολήσει είναι να βρούμε όλες τις συναρτήσεις οι οποίες ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση (4.4). Θα λέμε ότι η οικογένεια των συναρτήσεων y (, c), c (4.5) είναι η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (4.4) όταν για κάθε c η (4.5) επαληθεύει τη διαφορική εξίσωση. Η λύση που παίρνουμε για κάποια συγκεκριμένη τιμή της c, ονομάζεται μερική λύση. Αν επιπλέον ζητάμε τη μερική λύση που περνά από κάποιο συγκεκριμένο σημείο ( 0, y 0 ) τότε έχουμε να λύσουμε το πρόβλημα αρχικών τιμών f ( y, ) y ( y 0 ) 0 (4.6) Η σταθερά c προσδιορίζεται από την αρχική συνθήκη. Για να λύσουμε μια διαφορική εξίσωση ακολουθούμε μια διαδικασία απαλοιφής των παραγώγων. Η διαδικασία αυτή είναι η ολοκλήρωση. Δυστυχώς, δεν υπάρχει μια γενική μέθοδος που να μας δίνει λύσεις της εξίσωσης (4.4). Υπάρχουν όμως αρκετές μέθοδοι, που η κάθε μια μπορεί να εφαρμοστεί σε ορισμένες κλάσεις διαφορικών εξισώσεων. Στις σημειώσεις αυτές θα ασχοληθούμε μόνο με τη λύση ορισμένων μορφών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. 4. Καθαρά μη αυτόνομες διαφορικές εξισώσεις Σε πολλές εφαρμογές ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ο χρόνος. Αν ο ρυθμός μεταβολής μιας συνάρτησης εξαρτάται μόνο από το χρόνο, ονομάζουμε αυτή την διαφορική εξίσωση καθαρά μη αυτόνομη διαφορική εξίσωση. Μια τέτοια διαφορική εξίσωση έχει τη μορφή f ( (4.7) Η συνάρτηση f είναι μια γνωστή συνάρτηση και εξαρτάται μόνο από την ανεξάρτητη μεταβλητή. Αυτού του τύπου οι διαφορικές εξισώσεις είναι σχετικά εύκολο να λυθούν βρίσκοντας την αντιπαράγωγο (το αόριστο ολοκλήρωμα) της f. Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (4.7) είναι y ( f ( c, c R (4.8) Αν επιπλέον ζητάμε η λύση να ικανοποιεί την αρχική συνθήκη y( 0) y0 θα πρέπει να προσδιορίσουμε την αυθαίρετη σταθερά c. 4-

Ένας άλλος τρόπος υπολογισμού της λύσης του προβλήματος αρχικών τιμών είναι y( y( 0 ) f ( s) ds (4.9) 0 Παράδειγμα Έστω ότι η θέση p μιας πέτρας που πέφτει ακολουθεί τη διαφορική εξίσωση dp 9,8 5 p(0) 00. Η λύση στο πρόβλημα αρχικών τιμών προκύπτει από την εξίσωση (4.8): p( ( 9,8 5) c 4,9 5 c, c R. Η σταθερά c προσδιορίζεται από την αρχική θέση p(0)=00=c. Ή αλλιώς από την εξίσωση (4.9) s p( p(0) ( 9,8s 5) ds 00 ( 9,8 0 5s) 0 4,9 5 00. 4. Διαφορικές εξισώσεις χωριζόμενων μεταβλητών Πολλές διαφορικές εξισώσεις της μορφής (4.4) μπορεί να γραφτούν στη μορφή h( y) g( (4.0) δηλαδή, η συνάρτηση f μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο δύο συναρτήσεων, από τις οποίες η μία να είναι συνάρτηση μόνο του y και η άλλη συνάρτηση μόνο του. Αυτές οι εξισώσεις ονομάζονται διαφορικές εξισώσεις χωριζόμενων μεταβλητών. Έστω H μια αντιπαράγωγος της h (δηλαδή H ( y) h( y) ) και G μια αντιπαράγωγος της g (δηλαδή G ( g( ). Από τον κανόνα της αλυσίδας έχουμε dh dh h( y) Επομένως, η διαφορική εξίσωση (4.0) γράφεται d d H ( y( ) G( 4-3

Με άλλα λόγια H ( y( ) και G ( είναι δύο συναρτήσεις που έχουν την ίδια παράγωγο, επομένως θα πρέπει να διαφέρουν κατά μια σταθερά H( y( ) G( c (4.) Η εξίσωση (4.) είναι η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (4.0). Αν λύσουμε την (4.) ως προς y, παίρνουμε την y ως συνάρτηση του και της σταθεράς c. Στην πράξη, για να λύσουμε τη διαφορική εξίσωση (4.0) τη γράφουμε στη μορφή h(y)=g( και στη συνέχεια ολοκληρώνουμε και τα δύο μέρη. Από τη διαδικασία αυτή προκύπτει η εξίσωση (4.). Παραδείγματα. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση, y 0 y (4.) Η διαφορική εξίσωση είναι χωριζόμενων μεταβλητών. Ακολουθώντας την παραπάνω διαδικασία, χωρίζουμε μεταβλητές και γράφουμε την εξίσωση στη μορφή: y. Ολοκληρώνοντας και τα δύο μέρη προκύπτει: ή y 3 y 3 c Λύνοντας ως προς y, βρίσκουμε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (4.) όπου c=3c σταθερά. y 3 3 ( c. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση με τη μέθοδο των χωριζόμενων μεταβλητών ky, k σταθερά (4.3) Για y διαφορετικό του μηδενός, χωρίζουμε τις μεταβλητές και ολοκληρώνουμε. Προκύπτει ότι 4-4

Επομένως, y k ln y k c Λύνοντας ως προς y, παίρνουμε y e c e k ή k y ce c με c e, c \{0}. Στο πρώτο βήμα, για να διαιρέσουμε με το y υποθέσαμε ότι y 0. Σημειώστε όμως ότι y=0 είναι επίσης λύση (ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση (4.3)). Επομένως η γενική k λύση της (4.3) είναι y ce, όπου c οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. 3. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση με τη μέθοδο των χωριζόμενων μεταβλητών όπου k, α, και b είναι σταθερές. dx k( y a)( y b) (4.4) Η διαφορική εξίσωση είναι χωριζόμενων μεταβλητών. Υποθέτουμε ότι 0 y b χωρίζοντας μεταβλητές και ολοκληρώνοντας και τα δύο μέρη προκύπτει: k. Για y a και Όταν αυτή, βρίσκουμε ότι ( y a)( y b) kdx a b, πρέπει να βρούμε μια αντιπαράγωγο της ( ya), που είναι ya (4.5). Στην περίπτωση y a kx c ή y a kx c Η σταθερά c μπορεί να υπολογιστεί από την αρχική συνθήκη (όταν μας δίνεται). Όταν /dx=0 και επομένως y = σταθερά, δηλαδή y a είναι λύση της εξίσωσης (4.4). y a, τότε 4-5

Για να βρούμε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης (4.4) για a b, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της ανάλυσης σε μερικά κλάσματα για να υπολογίσουμε το αριστερό ολοκλήρωμα της (4.5). Γράφουμε ( y a)( y b) A y a B y b όπου Α και Β σταθερές που πρέπει να υπολογιστούν. Με απαλοιφή των παρανομαστών προκύπτει η ταυτότητα A( y b) B( y a) από όπου προκύπτει ότι γράφεται A ab και ab B. Επομένως, το αριστερό ολοκλήρωμα της (4.5) ( y a)( y b) a b y a y b a b ln y a ln y b c Στη συνέχεια ολοκληρώνουμε και το δεξιό μέρος της (4.5) και αφού συμπτύξουμε τις σταθερές ολοκλήρωσης σε μια νέα σταθερά c, βρίσκουμε ή Απολογαριθμοποιούμε a b ln y a ln y b kx c y a ln k( a b) x c ( a b) y b y a c ( ab) k ( a b) x e y b e ή y a c ( ab) k ( ab) x e y b e Αν λύσουμε ως προς y, βρίσουμε ότι η λύση της (4.4) για a b είναι k ( ab) x a bce (4.6) ce y k ( ab) x c ( ab) όπου c e. Η σταθερά c μπορεί να υπολογιστεί από την αρχική συνθήκη. Όταν y a ή b, τότε /dx=0 και επομένως y= σταθερά, δηλαδή y a ή y b είναι λύσεις της εξίσωσης (4.4). 4-6

4.3 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Μια γραμμική πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση έχει τη μορφή p( y g( (4.7) όπου p και g είναι δοσμένες συνεχείς συναρτήσεις σε κάποιο διάστημα α<<β. Για να βρούμε μεθόδους επίλυσης της παραπάνω εξίσωσης, ας ξεκινήσουμε με τις πιο απλές a περιπτώσεις. Η λύση της εξίσωσης y ' ay 0, όπου α πραγματικός αριθμός είναι y ce, c (βλέπε παράδειγμα της ενότητας 4.). Θεωρούμε τώρα την εξίσωση ay g( (4.8) Αν α=0, τότε στο αριστερό μέλος της (4.8) είναι μόνο η παράγωγος της y, και η λύση δίνεται από την εξίσωση (4.8) ή (4.9), όπου η f αντικαθίσταται από την g. Αν a 0, τότε το αριστερό μέλος της (4.8) είναι συνδυασμός όρων που περιέχουν τα y και y. Εξετάζουμε αν αυτοί οι όροι είναι η παράγωγος κάποιας συνάρτησης. Δηλαδή, εξετάζουμε αν μπορούμε να γράψουμε ay όπου? είναι η συνάρτηση που ζητάμε. Αν αυτό μπορεί να γίνει, τότε η εξίσωση (4.8) έχει τη μορφή d d (?) g( και μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας μεθόδους της ενότητας 4.. Παρατηρούμε ότι αν γράψουμε την ye a c και παραγωγίσουμε και τα δύο μέλη, έχουμε y (?) a ce (λύση της εξίσωσης y ' ay 0 ) στη μορφή ή d a ( ye ) 0 e a ae a y e a ay Επομένως, αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης (4.8) με γράψουμε το αριστερό μέλος ως την παράγωγο της συνάρτησης 0 a ye. Πράγματι, a e, τότε μπορούμε να 4-7

e a ae a y e d e a y a g( (4.9) Ολοκληρώνοντας την εξίσωση (4.9), παίρνουμε e a a y e g( c όπου c είναι αυθαίρετη σταθερά. Επομένως, η γενική λύση της εξίσωσης (4.8) είναι a a a y e e g( ce (4.0) Με ανάλογη διαδικασία βρίσκουμε και τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (4.7). Ψάχνουμε a μια συνάρτηση μ (ανάλογή της e ) τέτοια ώστε αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης (4.7) με μ(, τότε το αριστερό μέλος της να μπορεί να γραφτεί ως την παράγωγο της συνάρτησης μ(y. Θέλουμε να διαλέξουμε τη συνάρτηση μ, αν είναι δυνατόν, τέτοια ώστε d ( ) p( y ( y d Όμως, ( y ( ' ( y. Επομένως η μ πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση ( ) p( y '( y Αν υποθέσουμε ότι μ( >0, και επειδή y 0 (η y 0 δεν είναι λύση της (4.7)) παίρνουμε ότι ( / ( p( Επειδή ( / ( είναι η παράγωγος του ln (, έχουμε ότι p( ) ( e (4.) Παρατηρούμε ότι μ(, όπως ορίζεται από την εξίσωση (4.), είναι πράγματι θετική. Η συνάρτηση μ ονομάζεται ολοκληρωτικός παράγοντας. Πολλαπλασιάζοντας τώρα την (4.7) με μ(, παίρνουμε Επομένως, ή d ( y ( g( ( y ( g( c 4-8

y ( g( c ( (4.) Από τα παραπάνω προκύπτει το θεώρημα. Θεώρημα Ύπαρξη και μοναδικότητα Αν οι συναρτήσεις p και g είναι συνεχείς στο ανοιχτό διάστημα α<<β που περιλαμβάνει το σημείο = 0, τότε υπάρχει μια μοναδική συνάρτηση y=φ( η οποία ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση (4.7) για α<<β και την αρχική συνθήκη y( 0 )=y 0, όπου y 0 είναι μια αυθαίρετα δοσμένη αρχική τιμή. Η γενική λύση της γραμμικής εξίσωσης (4.7) δίνεται από τον τύπο p( y ( g( c με ( e ( Η αρχική συνθήκη μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό της αυθαίρετης σταθεράς c. Παραδείγματα. Να λυθεί η γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης με σταθερούς συντελεστές y ' y με y(0)=. Αρχικά γράφουμε την εξίσωση στη μορφή y ' y και πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με e. Προκύπτει ή e y' e y e d e y Ολοκληρώνοντας την τελευταία εξίσωση, παίρνουμε e e y e c e c ή y ce όπου c είναι αυθαίρετη σταθερά. Από την αρχική συνθήκη y(0)= παίρνουμε c=. Άρα ή λύση του προβλήματος αρχικών τιμών είναι y e. 4-9

. Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών y' y με y(0)=0. Ο ολοκληρωτικός παράγοντας είναι e, παίρνουμε [ e y] e. Επομένως, e ( e y e. Πολλαπλασιάζοντας τώρα την εξίσωση με c ή y ce Για να ικανοποιείται η αρχική συνθήκη y(0)=0, πρέπει τιμών είναι y ( e ). c. Άρα ή λύση του προβλήματος αρχικών Αντίθετα με τις γραμμικές εξισώσεις για τις οποίες ισχύει το θεώρημα ύπαρξης μοναδικής λύσης και για τις οποίες υπάρχουν μέθοδοι επίλυσης, οι μη γραμμικές εξισώσεις λύνονται δύσκολα ή ακόμα είναι αδύνατον να λυθούν αναλυτικά. Σε αυτές τις περιπτώσεις κάνουμε ποιοτική ανάλυση της διαφορικής εξίσωσης. Η μέθοδος που ακολουθεί είναι κατάλληλη μόνο για αυτόνομες διαφορικές εξισώσεις. 4.4 Ανάλυση αυτόνομων διαφορικών εξισώσεων Έστω ότι η συμπεριφορά ενός φυσικού συστήματος περιγράφεται από την αυτόνομη διαφορική εξίσωση f (y) (4.3) όπου y η μεταβλητή κατάστασης του συστήματος. Ένας τρόπος για να εξάγουμε χρήσιμα συμπεράσματα για τη συμπεριφορά του συστήματος, χωρίς να λύσουμε τη διαφορική εξίσωση, είναι η ποιοτική ανάλυση της αυτόνομης διαφορικής εξίσωσης. Για να πάρουμε σημαντικές ποιοτικές πληροφορίες για τη λύση της διαφορικής εξίσωσης κατασκευάζουμε το διάγραμμα φάσης. Στις αυτόνομες διαφορικές εξισώσεις, αν και ο ρυθμός μεταβολής δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο, η λύση εξαρτάται. Η ιδέα είναι να βρούμε που η μεταβλητή κατάστασης αυξάνεται, μειώνεται ή δεν μεταβάλλεται. Η μεταβλητή κατάστασης αυξάνεται όταν ο ρυθμός μεταβολής είναι θετικός, μειώνεται όταν ο ρυθμός μεταβολής είναι αρνητικός και δεν μεταβάλλεται όταν ο ρυθμός μεταβολής είναι μηδέν. Η συνάρτηση f (y) περιγράφει τον ρυθμό μεταβολής της μεταβλητής y. Κατασκευάζουμε ένα διάγραμμα με τις τιμές του y στον οριζόντιο άξονα και τις αντίστοιχες τιμές της y f (y) στον κατακόρυφο άξονα. Το σχήμα 4. δείχνει ένα υποθετικό διάγραμμα φάσης. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον οριζόντιο άξονα στα σημεία y και y. 4-0

ασταθές y ευσταθές y y Σχήμα 4.: Γραφική μελέτη μιας αυτόνομης διαφορικής εξίσωσης Τα συμπεράσματα που προκύπτουν από το διάγραμμα είναι τα εξής: Αν y y ή y y ο ρυθμός μεταβολής του y είναι μηδέν, δηλαδή το y δεν μεταβάλλεται. Αν y y ο ρυθμός μεταβολής του y είναι αρνητικός και το y μειώνεται συνεχώς. Αν y y ο ρυθμός μεταβολής του y είναι αρνητικός και το y μειώνεται συνεχώς έως ότου φτάσει στο y. Αν y y y ο ρυθμός μεταβολής του y είναι θετικός και το y αυξάνει συνεχώς έως ότου φτάσει στο y. Τα παραπάνω συμπεράσματα παριστάνονται γραφικά με βέλη που η φορά τους καθορίζεται από το πρόσημο της f. Στα σημεία που η f είναι θετική τα βέλη έχουν φορά προς τα δεξιά και στα σημεία που η f είναι αρνητική τα βέλη έχουν φορά προς τα αριστερά. Οι λύσεις ακολουθούν τα βέλη. Αρχίζοντας κάτω από το y τα βέλη σπρώχνουν το y προς τα κάτω. Αρχίζοντας μεταξύ y και y τα βέλη σπρώχνουν το y προς τα πάνω προς το σημείο y. Ανάλογα, αρχίζοντας πάνω από το y τα βέλη σπρώχνουν το y προς τα κάτω προς το σημείο y. Επιπλέον, επειδή ο ρυθμός μεταβολής του y δεν είναι σταθερός, περισσότερες πληροφορίες θα πάρουμε για τη λύση αν το μέγεθος που έχουν τα βέλη αντιστοιχεί στο μέγεθος του ρυθμού μεταβολής. Στο σχήμα 4. βλέπουμε ότι μακριά από τα σημεία y και y τα βέλη έχουν μεγαλύτερο μέγεθος. Αυτό σημαίνει ότι για αυτές τις τιμές του y ο ρυθμός που το y αυξάνεται ή μειώνεται είναι μεγάλος. Τα σημεία y y ή y y είναι σημεία ισορροπίας του συστήματος. Ένα σύστημα λέμε ότι ισορροπεί σε ένα σημείο όταν η τιμή της μεταβλητής κατάστασης δε μεταβάλλεται με το χρόνο. Με άλλα λόγια, ο ρυθμός μεταβολής της μεταβλητής κατάστασης είναι μηδέν. Τα σημεία ισορροπίας είναι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης. 4-

Ορισμός Η τιμή y της μεταβλητής κατάστασης που ικανοποιεί την εξίσωση f ( y ) ονομάζεται σημείο ισορροπίας (equilibrium) της αυτόνομης διαφορικής εξίσωσης (4.3) 0 Για κάθε σημείο ισορροπίας μας ενδιαφέρει η ευστάθειά του. Ένα σημείο ισορροπίας λέμε ότι είναι τοπικά ευσταθές αν οι λύσεις που ξεκινάνε αρκετά κοντά στο σημείο ισορροπίας τελικά το πλησιάζουν. Ένα σημείο ισορροπίας λέμε ότι είναι ασταθές αν οι λύσεις που ξεκινάνε αρκετά κοντά στο σημείο ισορροπίας απομακρύνονται από αυτό. Στο σχήμα 4. το y είναι ασταθές και το y είναι ευσταθές. 4.4. Τοπική ανάλυση ισορροπίας Έστω ότι ένα δυναμικό σύστημα που περιγράφεται από την αυτόνομη διαφορική εξίσωση (4.3) έχει ένα σημείο ισορροπίας y. Θέλουμε να εξετάσουμε τη συμπεριφορά της λύσης κοντά στο σημείο ισορροπίας. Αν η λύση y( σε κάποια χρονική στιγμή είναι κοντά στο y, εξετάζουμε αν με το χρόνο η λύση y ( πλησιάζει ή απομακρύνεται από το y. Γράφουμε, y( y x( ή x( y( y, όπου x ( μια μικρή διαταραχή από το σημείο ισορροπίας. Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε αν η διαταραχή x ( μικραίνει ή μεγαλώνει με το χρόνο. Για τη διαταραχή ισχύει ότι dx f ( y) f ( y x) (4.4) Επειδή στις περισσότερες περιπτώσεις η f είναι μη γραμμική συνάρτηση, και επειδή x( είναι μια μικρή διαταραχή το μη γραμμικό όρο στην εξίσωση (4.4) μπορούμε να τον προσεγγίσουμε από μια γραμμική συνάρτηση του x ( : Επομένως, αντικαθιστώντας την εξίσωση (4.5) στην (4.4) έχουμε f ( y x) f ( y ) f ( y ) x (4.5) dx f ( y ) f ( y ) x ή, επειδή f ( y ) 0, dx x (4.6) όπου f ( y ). Η λύση της εξίσωσης (4.6) είναι x( ce, και επομένως η διαταραχή x( συμπεριφέρεται ως εξής: Αν 0, η λύση της εξίσωσης (4.6) πάει στο 0, δηλαδή η διαταραχή μειώνεται και εξαφανίζεται. Επομένως, η λύση y ( πλησιάζει ασυμπτωτικά το y. 4-

Αν 0, η λύση της εξίσωσης (4.6) πάει στο άπειρο, δηλαδή η διαταραχή μεγαλώνει. Επομένως, η λύση y ( απομακρύνεται από το y. Κριτήριο ευστάθειας Θεωρείστε την αυτόνομη διαφορική εξίσωση f (y) όπου f (y) είναι μια διαφορίσιμη συνάρτηση. Αν y είναι ένα σημείο ισορροπίας, δηλαδή f ( y ) 0, τότε το σημείο ισορροπίας y είναι τοπικά ευσταθές αν f (y )<0 και ασταθές αν f (y )>0. 4.5 Εφαρμογές 4.5. Εκθετική αύξηση πληθυσμών Θεωρούμε έναν απομονωμένο πληθυσμό (χωρίς μεταναστεύσεις από και προς τον πληθυσμό). Οι μεταβολές του μεγέθους του πληθυσμού με το χρόνο οφείλονται στις γεννήσεις νέων ατόμων από τα ήδη υπάρχοντα άτομα και στους θανάτους κάποιων ατόμων. Επίσης θεωρούμε ότι δεν υπάρχουν περιορισμοί στην αύξηση του πληθυσμού. Έστω ότι τη χρονική στιγμή υπάρχουν Ν( άτομα στον πληθυσμό. Για να διατυπώσουμε τον κανόνα μετασχηματισμού, δηλαδή το ρυθμό μεταβολής της μεταβλητής κατάστασης Ν, πρέπει να βρούμε μια σχέση που να συνδέει το ρυθμό που συμβαίνουν οι γεννήσεις και οι θάνατοι με τον αριθμό των ατόμων τη χρονική στιγμή. Έστω ότι το κάθε άτομο παράγει ένα σταθερό αριθμό απογόνων b στο χρονικό διάστημα από μέχρι +. Ο συνολικός αριθμός ατόμων που προστίθενται στον πληθυσμό σε αυτό το χρονικό διάστημα είναι bn. Ανάλογα, αν η πιθανότητα να πεθάνει ένα άτομο στο χρονικό αυτό διάστημα είναι d, τότε ο συνολικός αριθμός θανάτων στο διάστημα αυτό είναι dn. Η μεταβολή του πληθυσμού θα είναι η διαφορά μεταξύ των συνολικών γεννήσεων και θανάτων. Επομένως, ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού είναι Η εξίσωση (4.7) διατυπώνεται και ως dn bn dn (4.7) dn rn (4.8) όπου r=b-d (σταθερά). Η εξίσωση (4.8) είναι γραμμική, αυτόνομη διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης. 4-3

Αν Ν είναι διαφορετικό του μηδενός και διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης (4.8) με Ν προκύπτει η εξίσωση N dn r (4.9) Το αριστερό μέλος της εξίσωσης (4.9) περιγράφει τη μεταβολή του πληθυσμού ανά άτομο (κατά κεφαλή ρυθμός μεταβολής) και ισούται με r. Σημειώστε ότι το r είναι μια σταθερά ανεξάρτητη από το μέγεθος του πληθυσμού. Λέμε ότι η αύξηση του πληθυσμού σε αυτή την περίπτωση είναι πυκνοανεξάρτητη. Εξ ορισμού το σύστημα ισορροπεί όταν dn/=0 ή rn=0 που ισχύει όταν r=0 ή Ν=0. Αν r=0 τότε Ν(=Ν 0, δηλαδή το μέγεθος του πληθυσμού είναι αμετάβλητο και ίσο με το αρχικό (Ν(0)= Ν 0 ). Αυτό συμβαίνει όταν b=d, δηλαδή όταν ο ρυθμός γεννήσεων ισούται με το ρυθμό θανάτων. Αν r είναι διαφορετικό του μηδενός το σημείο ισορροπίας N =0 δηλώνει εξαφάνιση του πληθυσμού. Η παράγωγος του ρυθμού μεταβολής f(n)=rn είναι f (N)=r. Σύμφωνα με το κριτήριο ευστάθειας (ενότητα 4.4.), το σημείο ισορροπίας είναι ευσταθές για r<0 και ασταθές για r>0. Η αναλυτική λύση της εξίσωσης (4.8) έχει δοθεί στο παράδειγμα της ενότητας 4.. Η λύση είναι η εκθετική συνάρτηση Ν(=N 0 e r και η γραφική παράστασή της φαίνεται στο σχήμα 4.. Σχήμα 4.α: Εκθετική αύξηση Σχήμα 4.β: Εκθετική μείωση 4.5. Εξίσωση μεταφοράς θερμότητας Ο ρυθμός μεταβολής της θερμοκρασίας ενός σώματος, λόγω ανταλλαγής θερμότητας με το περιβάλλον του, είναι ανάλογος της διαφοράς της θερμοκρασίας του περιβάλλοντος και της θερμοκρασίας του σώματος. Αν με Α συμβολίσουμε τη θερμοκρασία του περιβάλλοντος, που υποθέτουμε ότι παραμένει σταθερή, και με Η( τη θερμοκρασία του σώματος τη χρονική στιγμή, τότε ο ρυθμός μεταβολής της θερμοκρασίας του περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση 4-4

dh a( A H ) (4.30) όπου α θετική σταθερά που εξαρτάται από το υλικό και την επιφάνεια του σώματος και από το περιβάλλον του. Η (4.30) είναι μια πρώτης τάξεως, αυτόνομη γραμμική διαφορική εξίσωση. Αν και η διαφορική εξίσωση (4.30) μπορεί να λυθεί με μεθόδους που αναφέρθηκαν παραπάνω, πρώτα θα κάνουμε μια ποιοτική ανάλυση της εξίσωσης. Από τον ορισμό το σύστημα ισορροπεί όταν dh/=0 ή α(α-h)=0, που ισχύει όταν α=0 ή Η=Α. Αυτό σημαίνει ότι ανταλλαγή θερμότητας με το εξωτερικό περιβάλλον δεν υπάρχει είτε όταν το σώμα είναι μονωμένο (α=0) είτε όταν η θερμοκρασία του σώματος είναι ίση με αυτή του περιβάλλοντος Η=Α. Στο σχήμα 4.3 φαίνεται το διάγραμμα φάσης. Παρατηρούμε ότι για Η<Α ο ρυθμός μεταβολής του Η είναι θετικός και η θερμοκρασία του σώματος αυξάνεται συνεχώς καθώς πλησιάσει ασυμπτωτικά τη θερμοκρασία του περιβάλλοντος Α. Όταν Η είναι πολύ μικρό ο ρυθμός αύξησης της θερμοκρασίας είναι μεγάλος. Καθώς το Η πλησιάζει το Α ο ρυθμός μειώνεται στο μηδέν. Για Η=Α, ο ρυθμός μεταβολής του Η είναι μηδέν και η θερμοκρασία του σώματος μένει αμετάβλητη. Για Η>Α ο ρυθμός μεταβολής του Η είναι αρνητικός και η θερμοκρασία του σώματος μειώνεται συνεχώς καθώς πλησιάσει ασυμπτωτικά τη θερμοκρασία του περιβάλλοντος Α. Όταν η θερμοκρασία του σώματος είναι αρκετά μεγαλύτερη από αυτή του περιβάλλοντος ο ρυθμός μείωσης της είναι μεγάλος. Καθώς το Η πλησιάζει το Α ο ρυθμός μειώνεται στο μηδέν. Από το σχήμα 4.3 φαίνεται ότι το μοναδικό σημείο ισορροπίας Η =Α είναι ευσταθές. Πράγματι, αν f (Η)=α(Α-Η), τότε f (H)=-α<0. Από το κριτήριο ευστάθειας προκύπτει ότι το Η =Α είναι τοπικά ευσταθές, δηλαδή οι λύσεις που ξεκινάνε αρκετά κοντά στο σημείο ισορροπίας τελικά το πλησιάζουν. Σχήμα 4.3: Διάγραμμα φάσης της διαφορικής εξίσωσης (4.30) Η διαφορική εξίσωση (4.30) είναι χωριζόμενων μεταβλητών και μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο της ενότητας (4.). Για Η διαφορετικό του Α χωρίζουμε μεταβλητές και ολοκληρώνουμε. Προκύπτει dh H A a 4-5

ή ln H A a c Λύνοντας ως προς Η, βρίσκουμε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (4.30) A Ke H ( A Ke a a,, H H A A όπου K e c 0.Επίσης Η=Α είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης (4.30). Στο σχήμα 4.4 φαίνονται οι λύσεις της εξίσωσης (4.30) για διαφορετικές αρχικές τιμές H 0. Βλέπουμε ότι η συμπεριφορά της συμφωνεί με την ποιοτική ανάλυση που κάναμε. Το Η πλησιάζει το σημείο ισορροπίας Α καθώς το πλησιάζει το άπειρο. Παρατηρείστε ότι η διαφορική εξίσωση (4.30) είναι γραμμική και, επομένως, μπορεί να λυθεί και με τη μέθοδο της ενότητας (4.3). Υπάρχουν δύο σημαντικές διαφορές μεταξύ της εύρεσης της λύσης αναλυτικά και της τοπικής ανάλυσης ισορροπίας. Αν θέλουμε να δούμε τι γίνεται κοντά στο σημείο ισορροπίας βρίσκοντας τη λύση χρειάζεται πιο πολύ δουλειά. Βρίσκουμε τη λύση και υπολογίζουμε το όριο της καθώς το πλησιάζει το άπειρο. Η τοπική ανάλυση ισορροπίας μας δίνει έναν εύκολο και γρήγορο τρόπο να βρούμε τα σημεία ισορροπίας αλλά μας δίνει πληροφορίες για τη συμπεριφορά της λύσης μόνο κοντά στα σημεία ισορροπίας. Βέβαια όταν είναι δύσκολο ή αδύνατον να βρούμε την αναλυτική λύση η τοπική πληροφορία για τη λύση κοντά στο σημείο ισορροπίας είναι ότι μπορούμε να έχουμε. Σχήμα 4.4: Λύσεις της διαφορικής εξίσωσης (4.30). 4-6

4.5.3 Λογιστική αύξηση πληθυσμών Στην ενότητα 4.5. θεωρήσαμε έναν πληθυσμό στον οποίο δεν υπάρχουν περιορισμοί στην αύξηση του (εξίσωση 4.8). Αυτή η υπόθεση απαιτεί το περιβάλλον να είναι σταθερό και οι πόροι ανεξάντλητοι. Στους φυσικούς πληθυσμούς, καθώς το μέγεθος του πληθυσμού αυξάνει ο ανταγωνισμός μεταξύ των ατόμων του για διαθέσιμους πόρους αυξάνει επίσης. Για να περιγράψουμε τις μεταβολές του πληθυσμού σε συνθήκες ενδοπληθυσμιακού ανταγωνισμού υποθέτουμε ότι ο κατά κεφαλή ρυθμός μεταβολής μειώνεται γραμμικά με το μέγεθος του πληθυσμού σύμφωνα με την εξίσωση N dn N r( ) (4.3) K όπου r και Κ θετικές σταθερές. Με άλλα λόγια η αύξηση του πληθυσμού είναι πυκνοεξαρτώμενη. Το Κ ονομάζεται φέρουσα ικανότητα. Από την εξίσωση (4.3) προκύπτει η λογιστική εξίσωση dn N rn( ) (4.3) K Ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού περιγράφεται από τη δευτεροβάθμια εξίσωση f ( N) rn( N / K) και η γραφική παράστασή της φαίνεται στο σχήμα 4.5. Η καμπύλη τέμνει τον οριζόντιο άξονα στα σημεία 0 και Κ (ρίζες του τριωνύμου), και παίρνει μέγιστο στο σημείο Ν=Κ/. Σχήμα 4.5: Διάγραμμα φάσης της λογιστικής εξίσωσης Σχήμα 4.6: Λύσεις της λογιστικής εξίσωσης Από το διάγραμμα φάσης του σχήματος 4.5 προκύπτουν τα εξής συμπεράσματα (παρατηρήστε το διαφορετικό μέγεθος που έχουν τα βέλη): Αν 0<Ν<Κ ο ρυθμός μεταβολής του Ν είναι θετικός και το Ν αυξάνεται συνεχώς έως ότου πλησιάσει το Κ. Όταν το Ν είναι μικρό τότε και ο ρυθμός αύξησης του είναι μικρός. Καθώς το Ν αυξάνεται πλησιάζοντας το Κ/, αυξάνει και ο ρυθμός αύξησης. Στο Κ/ ο ρυθμός αύξησης είναι 4-7

μέγιστος. Για Ν>Κ/ ο ρυθμός αύξησης μειώνεται και το Ν αυξάνει όλο και με μικρότερο ρυθμό μέχρι να πλησιάσει (ασυμπτωτικά) το Κ. Αν Ν>Κ ο ρυθμός μεταβολής του Ν είναι αρνητικός και το Ν μειώνεται συνεχώς έως ότου πλησιάσει το Κ. Αν Ν=0 ή Ν=Κ ο ρυθμός μεταβολής του Ν είναι μηδέν, δηλαδή το Ν δεν μεταβάλλεται. Τα σημεία Ν =0 ή Ν =Κ είναι τα σημεία ισορροπίας της (4.3). Η παράγωγος του ρυθμού μεταβολής είναι f ( N) r rn / K. Από το κριτήριο ευστάθειας (ενότητα 4.4.) προκύπτει ότι το σημείο ισορροπίας Ν =0 είναι ασταθές επειδή f(0) r 0 και το σημείο ισορροπίας Ν =Κ είναι τοπικά ευσταθές επειδή f ( K) r 0. Με βάση τα παραπάνω μπορούμε να σχεδιάσουμε σε αδρές γραμμές τις καμπύλες που περιγράφουν τις μεταβολές του Ν με το χρόνο. Επιπλέον, παρατηρούμε ότι για Κ/<Ν<Κ, η f(ν) είναι θετική και φθίνουσα (δηλαδή f ( N) 0). Αυτό σημαίνει ότι η N( είναι αύξουσα και κοίλη ( d f ( N) f ( N) N ). Για 0<Ν<Κ/, η f(ν) είναι θετική και αύξουσα (δηλαδή f ( N) 0). Επομένως η N( είναι αύξουσα και κυρτή. Για Ν>Κ, η f(ν) είναι αρνητική και φθίνουσα. Επομένως η N( είναι φθίνουσα και κυρτή. Στο σχήμα 4.6 φαίνονται τέτοιες καμπύλες για διάφορες αρχικές συνθήκες (Ν 0 >Κ, Κ/<Ν 0 <Κ, 0<Ν 0 <Κ/). Βλέπουμε ότι αν 0<Ν 0 <Κ/, τότε η καμπύλη έχει σχήμα S. Αυτό είναι χαρακτηριστικό των πληθυσμών που παρουσιάζουν αυτού του τύπου αύξησης με πυκνοεξάρτηση. Όταν το μέγεθος του πληθυσμού είναι μικρό, τότε η αύξηση μοιάζει με την απεριόριστη αύξηση. Για μεγαλύτερο μέγεθος, η αύξηση περιορίζεται και η καμπύλη λυγίζει μέχρι που φτάνει σε πλατό, που είναι η φέρουσα ικανότητα του περιβάλλοντος. Αν αρχικά ο πληθυσμός είναι μεγαλύτερος από την φέρουσα ικανότητα, το μέγεθος του πληθυσμό μειώνεται και ασυμπτωτικά (όταν ) γίνεται ίσος με τη φέρουσα ικανότητα Κ. Η εξίσωση (4.3) είναι μια μη γραμμική αυτόνομη διαφορική εξίσωση και είναι από τις λίγες μη γραμμικές εξισώσεις που μπορεί να λυθεί αναλυτικά. Παρακάτω δίνουμε τη λύση της, η οποία επιβεβαιώνει τα παραπάνω συμπεράσματα. Γράφουμε το δεξιό μέλος της εξίσωσης (4.3) ως r f ( N) ( N 0)( N K) K Αν συγκρίνουμε την f(n) με το δεξιό μέλος της (4.4), παρατηρούμε ότι k Επομένως, η λύση της (4.3) δίνεται από την (4.6) r K a 0 b K N 0 Kce ce ( r / K )(0K ) ( ( r / K )(0K ) Kce ce r r Kc c e r 4-8

Αν Ν(0)=Ν 0, τότε c N0 N K και η λύση της (4.3) μετά από πράξεις γράφεται 0 N( K N 0 K e r (4.33) Έπεται από την (4.33) ότι lim N( K ανεξάρτητα από την αρχική συνθήκη. Σημειώστε ότι το Κ είναι το τοπικά ευσταθές σημείο ισορροπίας της εξίσωσης (4.3). Στην περίπτωση αυτή το σημείο ισορροπίας είναι και ολικά ευσταθές 4.5.4 Περιορισμένη αύξηση: Εξίσωση von Beralanffy Αυτό το παράδειγμα περιγράφει την απλούστερη μορφή περιορισμένης αύξησης, και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει την αύξηση ψαριών. Συμβολίζουμε με L( το μήκος ενός ψαριού ηλικίας και υποθέτουμε ότι L(0)=L 0. Τότε dl k( A L) (4.34) όπου Α είναι μια θετική σταθερά που θα ερμηνεύσουμε αργότερα. Υποθέτουμε ότι L 0 <A και θα εξηγήσουμε αργότερα αυτόν τον περιορισμό. Η σταθερά k είναι επίσης θετική και αναφέρεται ως σταθερά αναλογίας επειδή η εξίσωση (4.34) δείχνει ότι ο ρυθμός αύξησης dl/ είναι ανάλογος της διαφοράς Α-L. Βλέπουμε ότι ο ρυθμός αύξησης dl/ είναι θετικός και μειώνεται γραμμικά όταν L<A, και ότι η αύξηση σταματάει (δηλαδή, dl/ =0 ) όταν L=A. Η εξίσωση (4.34) είναι μια αυτόνομη, γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης. Η λύση της μπορεί να υπολογιστεί είτε με την μέθοδο των χωριζόμενων μεταβλητών (ενότητα 4.) είτε με τη μέθοδο που αναπτύχθηκε για τις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις (ενότητα 4.3) (βλέπε λύση της εξίσωσης k (4.30)). Η γενική λύση της εξίσωσης (4.34) είναι L( A ce.επειδή L(0)=L 0, έχουμε c=a-l 0. Επομένως, η λύση της εξίσωσης (4.34) είναι L k ( A ( A L0 ) e (4.35) η οποία είναι γνωστή ως von Beralanffy εξίσωση. Η μορφή της λύσης (4.35) φαίνεται στο σχήμα (4.7). Επειδή lim L( A, η παράμετρος Α παριστάνει το ασυμπτωτικό μέγεθος του ψαριού. Θεωρητικά, δεν υπάρχει περιορισμός στο L 0. Για να έχει βιολογικό νόημα, όμως, θα πρέπει 0< L 0 <Α, γιατί διαφορετικά θα είχαμε αρνητικό ρυθμό αύξησης, που σημαίνει ότι το μήκος του ψαριού μειώνεται. Παρατηρείστε ότι το ασυμπτωτικό μέγεθος Α ποτέ δεν το παίρνει το ψάρι, επειδή δεν υπάρχει πεπερασμένη ηλικία Τ τέτοια ώστε L(T)=A αν L(0)<A. 4-9

Σχήμα 4.7: Η γραφική παράσταση της εξίσωσης von Beralanffy. Μετά την παραπάνω ανάλυση, μπορούμε να ερμηνεύσουμε τη διαφορική εξίσωση (4.34). Ο ρυθμός αύξησης είναι ανάλογος της διαφοράς μεταξύ του ασυμπτωτικού μήκους και του τρέχοντος μήκους. Επειδή η διαφορά αυτή μειώνεται με το χρόνο, και ο ρυθμός αύξησης μειώνεται με το χρόνο, που σημαίνει ότι τα νεαρά άτομα αυξάνουν γρηγορότερα από τα ενήλικα άτομα. Επιπλέον, ο ρυθμός αύξησης του μήκους είναι πάντα θετικός. Αυτό σημαίνει ότι τα ψάρια αυξάνουν σε μήκος σε όλη τη ζωή τους, το οποίο συμβαίνει. 4-0