ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις διαφορών (α,5 4, με. Ποιο είναι lim ; (β, με (γ 3, με [Θέστε y l( ] (δ, με [Θέστε y / ]. Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και χρησιμοποιείστε το κριτήριο της τοπικής ευστάθειας για να χαρακτηρίσετε την ευστάθεια τους, για τις παρακάτω εξισώσεις διαφορών (α 3 3 (β, 3. (α Χρησιμοποιείστε το κριτήριο της τοπικής ευστάθειας για να χαρακτηρίσετε την ευστάθεια των σημείων ισορροπίας της 3 (β Χρησιμοποιείστε τη μέθοδο του ιστού της αράχνης για να βρείτε σε ποια τιμή συγκλίνει η για, όταν (i, και (ii,5. 4. Από μια καλλιέργεια βακτηρίων αφαιρούμε h βακτήρια κάθε ώρα. Η κατά κεφαλή αναπαραγωγή των βακτηρίων είναι r. Η συνάρτηση μετασχηματισμού είναι N rn h 6 Έστω r, 5 και h,. (α Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης μετασχηματισμού και να σχεδιάσετε τον ιστό της 6 6 αράχνης αρχίζοντας από 3, και, βακτήρια. (β Να βρείτε το σημείο ισορροπίας. Είναι ευσταθές ή ασταθές; 5. Θεωρείστε δύο κοντινά νησιά όπου ζουν πεταλούδες. Έστω ο πληθυσμός στο πρώτο νησί και y ο πληθυσμός στο δεύτερο νησί. Κάθε χρόνο, % των πεταλούδων από το πρώτο νησί μεταναστεύει στο δεύτερο και 3% των πεταλούδων από το δεύτερο νησί μεταναστεύει στο πρώτο. Θέλουμε να βρούμε μια συνάρτηση μετασχηματισμού για το ποσοστό των πεταλούδων στο πρώτο νησί. Υποθέτουμε εδώ ότι οι πεταλούδες δεν αναπαράγουν και δεν πεθαίνουν. (α Έστω ότι αρχικά υπάρχουν πεταλούδες σε κάθε νησί. Πόσες πεταλούδες υπάρχουν σε κάθε νησί μετά από και χρόνια; (β Να βρείτε μια εξίσωση για το σαν συνάρτηση του και y. (γ Να βρείτε μια εξίσωση για το y σαν συνάρτηση του και y. (δ Διαιρέστε και τα δύο μέλη της συνάρτησης μετασχηματισμού του πληθυσμού στο πρώτο νησί με y για να βρείτε μια συνάρτηση μετασχηματισμού για το ποσοστό p στο πρώτο νησί. (ε Αρχίζοντας με p, 5 να βρείτε τα p και p. Συγκρίνετε τα αποτελέσματα με αυτά του μέρους (α.

2 (ζ Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης μετασχηματισμού και να σχεδιάσετε τον ιστό της αράχνης αρχίζοντας με p,. (η Να βρείτε το σημείο ισορροπίας (γραφικά και αλγεβρικά. Έχει νόημα η τιμή που βρήκατε; 6. Θεωρείστε το πρόβλημα της άσκησης 5, αλλά υποθέστε ότι οι πεταλούδες που δεν μεταναστεύουν αναπαράγουν (μία πεταλούδα η καθεμιά και αυτές που μεταναστεύουν δεν αναπαράγουν. Επαναλάβετε τα βήματα (α-(η της άσκησης Θεωρείστε το τροποποιημένο λογιστικό μοντέλο r ( α Να βρεθούν τα σημεία ισορροπίας. β Για ποιες τιμές του r τα σημεία ισορροπίας είναι ευσταθή; γ Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης μετασχηματισμού και να σχεδιάσετε τον ιστό της αράχνης για ορισμένες τιμές του r (π.χ. r,5, r,, r,9 και r. 8. Το λογιστικό μοντέλο ποσοτικοποιεί μια ανταγωνιστική αλληλεπίδραση μέσα στον πληθυσμό, η κατά κεφαλή αναπαραγωγή είναι μια φθίνουσα συνάρτηση του μεγέθους του πληθυσμού. Σε μερικές περιπτώσεις, η κατά κεφαλή αναπαραγωγή μπορεί να αυξάνει με το μέγεθος του πληθυσμού. Σε ένα απλό μοντέλο, η κατά κεφαλή αύξηση αυξάνει γραμμικά σαν συνάρτηση του μεγέθους του πληθυσμού. Θεωρείστε την περίπτωση κατά κεφαλή αναπαραγωγή,5,5 Ν όπου Ν το μέγεθος του πληθυσμού (σε εκατομμύρια τη χρονική στιγμή. α Να γράψετε τον κανόνα μετασχηματισμού. β Να βρείτε τα σημεία ισορροπίας και να εξετάσετε αν είναι ευσταθή. γ Να κάνετε η γραφική παράσταση της συνάρτησης μετασχηματισμού και να κατασκευάσετε τον ιστό της αράχνης. δ Εξηγήστε την συμπεριφορά αυτού του μοντέλου. 9. Να βρεθεί η μέγιστη συγκομιδή για έναν πληθυσμό ψαριών που περιγράφεται από την εξίσωση N N ( N Ο όρος hn είναι η συγκομιδή και h η αλιευτική προσπάθεια. Η μακροπρόθεσμη συμπεριφορά του πληθυσμού περιγράφεται από ένα ευσταθές σημείο ισορροπίας. Μας ενδιαφέρει να βρούμε την αλιευτική προσπάθεια που μεγιστοποιεί τη συγκομιδή μακροπρόθεσμα. α Να βρεθεί το σημείο ισορροπίας σαν συνάρτηση του h. Για ποιες τιμές του h το σημείο ισορροπίας είναι θετικό; Πότε το θετικό σημείο ισορροπίας είναι ευσταθές; β Έστω ότι ο πληθυσμός έφτασε το θετικό σημείο ισορροπίας Ν. Η μακροπρόθεσμη συγκομιδή, P(h, hn είναι το γινόμενο της αλιευτικής προσπάθειας και του πληθυσμού Ν. Να βρεθεί το P(h. γ Να βρεθεί η αλιευτική προσπάθεια που μεγιστοποιεί τη συγκομιδή. δ Να βρεθεί η μέγιστη συγκομιδή.

3 Απαντήσεις. (α (,5 8. lim 8 (β,! 3 K! (γ y l 3 y, με y. y (l 3( 3 (δ y y με y /. y /. (α / είναι τοπικά ευσταθές και - είναι ασταθές. (β είναι ασταθές και,9 είναι τοπικά ευσταθές. 3. (α είναι τοπικά ευσταθές, είναι ασταθές και είναι τοπικά ευσταθές. (β είναι ασταθές και,9 είναι τοπικά ευσταθές. 4. (α 6 (β Σημείο ισορροπίας : N (σχήμα: το σημείο τομής των δύο ευθειών. Το σημείο ισορροπίας είναι ασταθές (γιατί f(n rn - h, f (N r και f (N r,5>. Ο ιστός της αράχνης απομακρύνεται από το σημείο ισορροπίας. 5. (α 3 (β (γ (δ y και y 85,,3y,8, 3y y y,3y,,7 y, y y. Διαιρώντας βρίσκουμε,8,3 y p,8 p,3( p y y 3

4 (ε p,8,5,3,5, 55 (συμφωνεί με το, 55 p,8,55,3,45,575 (συμφωνεί με το 5, 575 (ζ (η p, 6. Το σημείο ισορροπίας είναι μεγαλύτερο από,5 γιατί ένα μεγαλύτερο ποσοστό από το δεύτερο νησί μεταναστεύει στο πρώτο. 6. (α Στο πρώτο νησί μετά την μετανάστευση υπάρχουν 8 πεταλούδες που αρχικά ήταν στο πρώτο νησί και 3 που ήρθαν από το δεύτερο νησί. Οι 8 πεταλούδες αναπαράγουν μία πεταλούδα η κάθε μια. Συνολικά ( 3 9. Παρόμοια βρίσκουμε ότι στο δεύτερο νησί υπάρχουν από το πρώτο και 7 από το δεύτερο μετά την μετανάστευση. Συνολικά y ( 3 6. Παρόμοια, 35 και y 6. (β (γ (δ (,,3y,6, 3y y ( y,3y,,4 y, y,8, 7y. Διαιρώντας βρίσκουμε,6,3y,6,3 y y y p y,8,7 y,8,7 y y y,6 p,3( p,8 p,7( p 9 35 p,573 (συμφωνεί με το 35, (ε p, 543 (συμφωνεί με το, 543 4

5 (ζ (η Η εξίσωση που πρέπει να λύσουμε είναι,6 p,3( p,3,3 p p,8 p,7( p,7, p,( p,4 p,3. Η θετική ρίζα είναι p, 646. ή 7. Η συνάρτηση μετασχηματισμού είναι f(r(-. f (r(-3. f ( -6r. α Τα σημεία ισορροπίας είναι λύσεις της εξίσωσης r (-(. Επομένως, σημεία ισορροπίας είναι στο και, ( r. r β f (r και f ( 3-r. Το μηδέν είναι ευσταθές σημείο ισορροπίας για r<. Το θετικό σημείο ισορροπίας είναι ευσταθές για <r<. Η λύση πλησιάζει το σημείο ισορροπίας μονοτονικά για <r<,5 και με ταλαντώσεις για,5<r<. γ Στα παρακάτω σχήματα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης μετασχηματισμού και η λύση για r,5, r,, r,9 και r. 5

6 6

7 8. α N (,5,5N N,5( N N. β Τα σημεία ισορροπίας είναι Ν και Ν. Η συνάρτηση μετασχηματισμού είναι f(ν,5(νν και f (Ν,5(Ν. f (,5< και f (,5>. Επομένως, το Ν είναι (τοπικά ευσταθές και Ν ασταθές (βλέπε σχήμα. γ δ Αν ο πληθυσμός αρχικά είναι κάτω από, τελικά εξαφανίζεται, ενώ αν είναι αρχικά πάνω από αυξάνει απεριόριστα. 9. α Σημεία ισορροπίας: N N ( N N [ ( N hn h] h N η N Το πρώτο σημείο ισορροπίας αντιστοιχεί στην εξαφάνιση του πληθυσμού. Το δεύτερο σημείο ισορροπίας είναι θετικό για <h<. Η συνάρτηση μετασχηματισμού είναι f(νν(-ν-hn και η παράγωγός της είναι f (Ν-4N-h. Η παράγωγος στο θετικό σημείο ισορροπίας Ν είναι f (Ν h. Επομένως το θετικό σημείο ισορροπίας είναι ευσταθές για <h<. h β P( h hn h. γ P ( h h. Στο h/ η συνάρτηση P(h έχει μέγιστο (P (h -. δ P(//8. 7