Tο κέντρο µάζας ενός επιβατηγού αυτοκινήτου απέχει από το οριζόντιο έδαφος απόσταση h. Δίνεται η µάζα Μ του αυτοκινήτου η µάζα m και η ακτίνα R κάθε τροχού, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και οι αποστάσεις b, b των οπισθίων και εµπροσθίων τροχών αντιστοίχως, από την κατακόρυφη διεύθυνση που διέρχεται από το κέντρο µάζας του αυτοκινήτου. i) Mε την προϋπόθεση ότι η κίνηση του αυτοκινήτου είναι στους πίσω τροχούς του, µε αποτέλεσµα να εξασκείται σταθερή στρεπτική ροπή περί τον άξονα τους µέτρου τ κ και ότι οι τροχοί κυλίωνται χωρίς ολίσθηση, να βρεθεί η επιτάχυνση εκκίνησης του αυτοκινήτου. ii) Να υπολογίσετε τις κάθετες αντιδράσεις επί των τροχών του αυτο κινήτου και να βρείτε την συνθήκη ώστε να µην ανασηκώνεται το µπροστινό του µέρος κατά την εκκίνησή του, µε την προϋπόθεση ότι ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ του εδάφους και των τροχών είναι αρκετά µεγάλος, ώστε να αποφεύγεται η ολίσθησή τους. iii) Eάν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ των τροχών και του οδοστρώµατος είναι n, να βρεθεί η µέγιστη τιµή της επιτάχυνσης εκ κίνησής του, ώστε οι τροχοί του να µη ολισθαίνουν, υπό την προϋπό θεση ότι οι µπροστινοί τροχοί του δεν ανασηκώνονται. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mR / κάθε τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του. ΛYΣH: i) Το αυτοκίνητο κατά την εκκίνησή του δέχεται το βάρος του W και τις αντιδράσεις του οδοστρώµατος στους τέσσερις τροχούς του, οι οποίες αναλύονται στην στατική τριβή και την κάθετη αντίδραση. Επειδή η µηχανή του αυτοκινήτου δίνει περιστροφική κίνηση στους πίσω τροχούς του, οι τριβές T που δέχονται οι τροχοί αυτοί αποτελούν κινητήριες δυνάµεις για το αυτοκί νητο, δηλαδή είναι δυνάµεις οµόρροπες προς την κίνησή του, ένω οι τριβές T στους µπροστινούς τροχούς είναι δυνάµεις αντίρροπες προς την κίνησή του (σχήµα ). Eφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση του κέντρου µάζας C του αυτοκι νήτου το δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, παίρνουµε τη σχέση: T - T = Μa C ()
όπου a C η επιτάχυνση του κέντρου µάζας. Εξάλλου κάθε οπίσθιος τροχός του αυτοκινήτου δέχεται περί τον άξονά του την στρεπτική ροπή ", η οποία οφείλεται στην σύζευξη του άξονα µε τον κινητήρα του αυτοκινήτου και την Σχήµα ροπή της τριβής T, η οποία αντιτίθεται στην περιστροφή του. Σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της περιστροφικής κίνησης για κάθε οπίσθιο τροχό θα ισχύει: " - T R = I#' " - T R = mr #'/ T R = " - mr(r#')/ T = " / R- ma C / () όπου η ' γωνιακή επιτάχυνση του τροχού, της οποίας το µέτρο είναι ίσο µε a C /R, αφου ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση. Εφαρµόζοντας τον ίδιο νόµο για κάθε µπροστινό τροχό παίρνουµε την σχέση: T R = I' T R = mr '/ T = ma C / (3) H () λόγω των () και (3) δίνει: " / R - ma C - ma C = Ma C " / R = (M + m)a C a C = " R(M + m) (4) ii) Eίναι γνωστό ότι η στροφορµή ενός συστήµατος σωµάτων περί ένα σηµείο είναι το διανυσµατικό άθροισµα των αντίστοιχων στροφορών των σωµάτων που το αποτελούν. Στην περίπτωση του αυτοκινήτου η στροφορµή του περί το κέντρο µάζας του C θα είναι το διανυσµατικό άθροισµα των αντίστοιχων στρο φορµών των τεσσάρων τροχών του, της στροφορµής της στροφορµής = * του υπόλοιπου µέρους του, δηλαδή θα ισχύει: L () C + L () C + L (3) C + L (4) ( C + L ) C + * Όµως η στροφορµή του τροχού () περί το C είναι: () = L O + ( r m v ) = mr " + ( r m 0 ) = mr ( ) του κινητήρα του και (5) " (6)
όπου m, R η µάζα και η ακτίνα αντιστοίχως του τροχού, r το διάνυσµα θέσεως του κέντρου Ο του τροχού ως προς το C, η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τροχού περί το Ο και v η ταχύτητα του Ο στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας C, η οποία είναι µηδενική διότι οι ταχύτητες των C και Ο είναι ίδιες στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Όµοια εργαζόµενοι για τους άλλους τρεις τροχούς βρίσκουµε ότι: () = (3) = (4) = mr / (7) Εξάλλου εύκολα προκύπτει ότι L * C = 0, διότι δεν υπάρχει περιστροφή του υπό λοιπου µέρους του οχήµατος περί το δικό του κέντρο µάζας, ενώ για την στροφορµή του κινητήρα περί το C ισχύει: ( ) = I " (8) όπου Ι κ η ροπή αδράνειας του κινητήρα περί τον άξονα περιστροφής του και " η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του περί τον άξονα αυτόν. Με βάση τα παρα πάνω η σχέση (5) γράφεται: = 4mR / + I " " = mr + I " " (9) Παραγωγίζοντας την (9) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την σχέση: d = mr d + I " d " d " d = mr '+I " (0) Αν δεχθούµε ότι ο κινητήρας του αυτοκινήτου στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα, θα ισχύει d " /= 0 και η (6) παίρνει την µορφή: d = mr ' () Όµως στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους ισχύει η σχέση: d = (" (7) C ) ( " C ) = mr # ' () όπου ( " C ) η συνισταµένη εξωτερική ροπή περί το C που δέχεται το όχηµα, δηλαδή στο άθροισµα αυτό δεν υπεισέρχεται η κινητήρια ροπή στους τροχούς διότι αυτή αποτελεί εσωτερική ροπή για το αυτοκίνητο. Παρατήρηση: Πρέπει να τονίσουµε ότι η σχέση: dl / = (" )
ισχύει και στην περίπτωση που η στροφορµή και η συνισταµένη ροπή θεωρούν ται περί ένα σηµείο που είναι ακίνητο ή κινείται µε την ταχύτητα του κέντρου µάζας C, λογουχάρη για τα σηµεία του άξονα περιστροφής κάθε τροχού. Η διανυσµατική σχέση () µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών αν λάβου µε αυθαίρετα ως θετική φορά, την φορά που προχωρεί δεξιόστροφος κοχλίας στρεφόµενος όπως οι τροχοί, οπότε θα έχουµε την σχέση: N b - T h + T h - N b = mr ' () N b - N b - h(t - T ) = mra C N b - N b - hma C / = mra C N b - N b = ( mr + Mh/)a C (3) Eξάλλου το αυτοκίνητο δεν έχει κίνηση κατά την κατακόρυφη διεύθυνση, οπό τε ισχύει η σχέση: N + N = Mg/ (4) Oι σχέσεις (3) και (4) αποτελούν ένα σύστηµα πρώτου βαθµού ως προς Ν και Ν, η λύση του οποίου δίνει: και N = N = Mgb mr + Mh + (b + b ) (b + b ) a C (5) Mgb mr + Mh - (b + b ) (b + b ) a C (6) Από την (5) προκύπτει ότι κατα την εκκίνηση του αυτοκινήτου ισχύει Ν >0 που σηµαίνει ότι οι πίσω τροχοί του δεν ανασηκώνονται. Για να µην ανασηκώ νονται και οι µπροστινοί τροχοί πρέπει να ισχύει Ν 0, η οποία µε βάση την (6) δίνει: (4) Mgb mr + Mh - (b + b ) (b + b ) a C 0 Mgb (b + b ) mr + M " # (b + b ) R(M + m) Mgb " # (mr + Mh) R(M + m) " # MgRb $ M + m ' & ) (7) % mr + Mh( H (7) αποτελεί την ζητούµενη συνθήκη για να µην ανασηκώνεται το µπροστι νό µέρος του αυτοκινήτου κατα την εκκίνησή του.
iii) Για να µην ολισθαίνουν οι τροχοί του αυτοκινήτου κατα την εκκίνησή του πρέπει τα µέτρα των τριβών T και T να µην υπερβαίνουν τις αντίστοιχες οριακές τριβές nn και nn, δηλαδή πρέπει να ισχύει: T nn " # T nn $ (),(3) " / R- ma C / # nn $ % ma C / # nn & (+ ) " / R# n(n + N ) " # nrmg / (8) H (8) αποτελεί την ζητούµενη συνθήκη για να µην ολισθαίνουν οι τροχοί του αυτοκινήτου κατα την εκκίνησή του. P.M. fysikos Ένας ποδηλατιστής κινείται οµαλά σε κατηφορικό δρόµο γωνίας κλίσεως φ, χωρίς να χρησιµοποιεί το πεντάλ του ποδήλατου. Η τριβή µεταξύ των τροχών του ποδήλατου και του οδοστώµατος έχει τιµή που επιτρέπει στους τροχούς να κυλίωνται χωρίς ολίσθηση, ενώ θεω ρείται αµελητέα η παραµόρφωση του εδάφους και των τροχών στις επιφάνειες συνεπαφής τους. i) Εάν Μ είναι η συνολική µάζα του συστήµατος ποδήλατο-ποδηλατισ τής, h η απόσταση του κέντρου µάζας του από το οδόστρωµα και L, L οι αποστάσεις των κέντρων του πίσω και του µπροστινού τροχού αντιστοίχως από την ευθεία που διέρχεται από το κέντρο µάζας και είναι κάθετη στο οδόστρωµα, να βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου µάζας του συστήµατος. ii) Nα βρεθεί η συνθήκη, ώστε να µην ανασηκώνεται ο πίσω τροχός του ποδήλατου. Δίνεται η µάζα m κάθε τροχού που θεωρείται οµοιό µορφα κατανεµηµένη στην περιφέρειά του, η ακτίνα του R, ενώ παραλείπεται η αντίσταση του αέρα. ΛΥΣΗ: i) To σύστηµα ποδήλατο-ποδηλατιστής στην διάρκεια της καθοδικής του κίνησης δέχεται το βάρος του W, που αναλύεται στην παράλληλη προς το οδόστρωµα συνιστώσα W x και στην κάθετη προς αυτό συνιστώσα W y και τις αντιδράσεις του εδάφους στους δύο τροχούς του, που αναλύονται στις στατικές τριβές T, T επί του οπίσθιου και του µπροστινού τροχού αντιστοιχως και στις αντίστοιχες κάθετες αντιδράσεις N, N οι φορείς των οποίων διέρχονται από τα κέντρα των τροχών (σχήµα ). Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας C του συστήµατος τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, παίρνουµε την σχέση: W x - T - T = Ma C Mgµ" - T - T = Ma C ()
όπου a C η επιτάχυνση του κέντρου µάζας. Εξάλλου ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης δίνει για την περιστροφή των δύο τροχών τις σχέσεις: T R= mr '" # T R= mr ' $ T = mr' " # T = mr' $ T = ma C " T = ma C # () Σχήµα όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση περιστροφής κάθε τροχού, της οποίας το µέτρο έιναι ίσο µε a C /R διότι οι τροχοί κυλίωνται. Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () παίρνουµε: Mgµ" - ma C = Ma C a C = Mgµ" (3) M + m ii) Επειδή το κέντρο µάζας δεν κινείται κάθετα προς το κεκλιµένο οδόστρωµα, µπορούµε να γράψουµε την σχέση: N + N = W y N + N = Mg"#$ (4) Μια άλλη σχέση µεταξύ των Ν, Ν θα προκύψει αν χρησιµοποιήσουµε την έννοια της στροφορµής του συστήµατος περί το κέντρο µάζας του C. H στρο φορµή του συστήµατος περί το C είναι ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα των αντίστοιχων στροφορµών (), αντιστοίχως και της στροφορµής δηλαδή ισχύει η σχέση: = L () C + L () C + + Όµως για τις στροφορµές * () και L () C = L O + ( r m v ) " L () C = L O + ( r m v $ # ) % $ * () του πίσω και του µπροστινού τροχού του υπόλοιπου µέρους του συστήµατος, () ισχύουν οι σχέσεις: L () C = mr + ( r " m 0 ) # L () C = mr + ( r " m 0 % $ ) &% (5)
() = () = mr (6) όπου, L O, L O οι ιδιοστροφορµές του πίσω και του µπροστινού τροχού αντι στοίχως, r, r τα διανύσµατα θέσεως των κέντρων Ο και Ο των τροχών αυτών ως προς το C, η κοινή γωνιακή ταχύτητα περιστροφής τους και v, v οι ταχύτητες των Ο και Ο στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας C, οι οποίες είναι µηδενικές, διότι οι ταχύτητες των C, Ο, Ο είναι ίδιες στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Εξάλλου εύκολα προκύπτει ότι L * C = 0, διότι δεν υπάρ χει περιστροφή του υπολοίπου µέρους του συστήµατος περί το δικό του κέντρο µάζας. Με βάση τα παραπάνω η σχέση (5) παίρνει την µορφή: = mr Παραγωγίζοντας την (7) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την σχέση: d = mr d d (7) = mr ' (8) Όµως στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους ισχύει η σχέση: d = (" (8) C ) ( " C ) = mr # ' (9) όπου ( " C ) η συνισταµένη εξωτερική ροπή περί το C που δέχεται το σύτηµα. Η διανυσµατική σχέση (9) µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών αν λάβου µε αυθαίρετα ως θετική φορά, την φορά που προχωρεί δεξιόστροφος κοχλίας στρεφόµενος όπως οι τροχοί, οπότε θα έχουµε την σχέση: () -N L + N L + ht + ht = mra C L(-N + N ) + hma C = mra C L(N - N ) = m(h - R)a C (0) Oι σχέσεις (4) και (0) αποτελούν ένα σύστηµα πρώτου βαθµού ως προς Ν και Ν, η λύση του οποίου δίνει: και N N = Mg"#$ 3 = Mg"#$ 3 + m(h - R)a C 3L - m(h - R)a C 3L () () Από την () προκύπτει ότι κατα την κίνηση του συστήµατος ισχύει Ν >0, που σηµαίνει ότι ο µπροστινός τροχος του ποδήλατου δεν ανασηκώνεται. Για να
µην ανασηκώνεται και ο πίσω τροχός πρέπει να ισχύει Ν 0, η οποία µε βάση την () δίνει: Mg"#$ 3 - m(h - R)a C 3L (3) % 0 Mg"#$ % m(h - R) L Mg&µ$ M + m "#$ %µ$ & ' h - R * ), ( L + m M + m "# $ % h - R ( ' * & L ) m M + m (3) H (3) αποτελεί την ζητούµενη συνθήκη για να µην ανασηκώνεται ο πίσω τρο χός του ποδήλατου. P.M. fysikos Ένας ποδηλατιστής κινείται οµαλά σε κατηφορικό δρόµο γωνίας κλί σεως φ, χωρίς να χρησιµοποιεί το πεντάλ του ποδήλατου. Στη συνέ χεια κινείται οµαλά σε ανηφορικό δρόµο γωνίας κλίσεως φ, εξασκών τας στο πεντάλ δύναµη που είναι κάθετη στο άκρο του στρφάλου και έχει σταθερό µέτρο. Eάν το βάρος του ποδηλατιστή και του ποδηλά του είναι w, το µήκος του στρόφαλου του πεντάλ L και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του ", να βρεθεί το µέτρο της δύναµης στο πεντάλ, ώστε το σύστηµα ποδήλατο-ποδηλατιστής να κινείται στον ανηφορικό δρόµο µε σταθερή ταχύτητα v C. H αντίσταση του αέρα να θεωρηθεί αµελητέα, οι δε τροχοί του ποδήλατου κυλίωνται χωρίς ολίσθηση. ΛYΣH: Tο σύστηµα ποδήλατο-ποδηλατιστής κατά την κίνησή του στον κατη φορικό δρόµο δέχεται το βάρος του w, που αναλύεται στην κάθετη προς τον δρόµο συνιστώσα w y και στην παράλληλη προς αυτόν συνιστώσα w x (σχ. 3) και τις αντιδράσεις των τροχών, οι οποίες αναλύονται στις στατικές τριβές T, T παράλληλες προς τον δρόµο και αντίθετης φοράς προς την κίνηση και στις κά Σχήµα 3 θετες αντιδράσεις N N (σχ 3). Λόγω της ισοταχούς κύλισης των τροχών του ποδη λάτου η περιστροφή κάθε τροχού περί τον άξονά του είναι οµαλή, που ση µαίνει ότι η ροπή της αντίστοιχης στατικής τριβής περί τον άξονα αυτόν αντι
σταθµίζεται από την αντίστοιχη τριβή κυλίσεως. Δηλαδή υπάρχει παραµόρφω ση στην επιφάνεια επαφής εδάφους-τροχού που µετατοπίζει την κάθετη αντίδ Σχήµα 4 ραση µε αποτέλεσµα ο φορέας της να µην διέρχεται από το κέντρο του τρο χού και µε τον τρόπο αυτόν δηµιουργείται τριβή κύλισης που είναι ροπή αντιτιθέ µενη στην περιστροφή του. Αν δεχθούµε ότι ο συντελεστής τριβής κυλίσεως έχει την ίδια τιµή b και στους δύο τροχούς, τότε θα έχουµε τις σχέσεις: T R = N b " T R = N b # T = N b/r " T = N b/r# () Eξάλλου η ισοταχής µεταφορική κίνηση του συστήµατος κατά µήκος του κεκλιµένου δρόµου και η ανυπαρξία κίνησης κάθετα προς τον δρόµο επιβάλλει τις σχέσεις: T + T = w x " N + N = w y # T + T = wµ" & ' N + N = w#$%" ( () N b R + N b R = wµ" # $ % () b ( R N + N ) = wµ" b R w"#$ = w%µ$ b = R µ" #$%" () Όταν το σύστηµα ποδήλατο-ποδηλατιστής κινείται στον ανηφορικό δρόµο, δέχε ται ακριβώς τις ίδιες δυνάµεις, µε µόνη διαφορά ότι, τώρα η στατική τριβή T ' στον πίσω τροχό αποτελεί προωθητική δύναµη για την µεταφορική κίνηση του συστήµατος, δηλαδή είναι οµόρροπη της κίνησής του, ενώ η στατική τριβή T ' επί του µπροστινού τροχού εξακολουθεί να είναι αντίρροπη της µεταφορικής κίνησης (σχ. 6). Αν δεχθούµε ότι ο ανηφορικός δρόµος είναι της ίδιας κατασ κευής µε τον κατηφορικό, τότε οι κάθετες αντιδράσεις N ', N ' επί των τρο χών δηµιουργούν τριβές κύλισης που αντιτίθενται στην περιστροφή τους. Αν επικεντώσουµε την προσοχή µας στον µπροστινό τροχό, λογω της οµαλής περιστροφής του περί τον άξονά του, µπορούµε να γράψουµε την σχέση: T' R = N' b T' = N' b/r (3)
Αν αναφερθούµε στο σύστηµα του πίσω τροχού και του κυκλικού γραναζιού που είναι οµοαξονικά συσσωµατοµένο µε αυτόν, το σύστηµα δέχεται την ροπή της στατικής τριβής T ' και τις ροπές των δυνάµεων F, F που ασκούν οι δύο κλά δοι της αλυσίδας που συνδέει το γρανάζι του πίσω τροχού µε το κυκλικό γρα Σχήµα 5 νάζι του πεντάλ του ποδήλατου (σχ. 6) Λόγω της οµαλής περιστροφής του συστήµατος (βλέπε προηγούµενο θέµα) ισχύει η σχέση: F R - F R - T' R - N' b = 0 R (F - F ) = T' R + N' b (4) όπου R η ακτίνα του γραναζιού. Eξάλλου το σύστηµα του πεντάλ και του γρα ναζιού που είναι συσσωµατωµένο µε αυτό, δέχεται την ροπή της δύναµης F που ασκεί µε τα πόδια του ο ποδηλάτης στα άκρα των δύο στροφάλων και τις Σχήµα 6 Σχήµα 7 ροπές των δυνάµεων - F, - F που δέχεται το γρανάζι από τους δύο κλάδους της αλυσίδας σύζευξης των δύο γραναζιών. Λόγω της οµαλής περιστροφής του συστήµατος αυτού ισχύει η σχέση: FL + F R - R F = 0 FL = R (F - F ) (5) όπου R η ακτίνα του γραναζιού του πεντάλ. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) παίρνουµε: R R = T' R + N' b FL T' R + N' b = FL R R (6) Όµως, λόγω της οµαλής µεταφορικής κίνησης του συστήµατος στον ανηφορικό δρόµο θα ισχύει:
(3) T' - T' = wµ" T' - N' b/r = wµ" T' R - N' b= wrµ" T' R =N' b+ wrµ" (7) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (6) και (7) παίρνουµε: N' b+ wrµ" + N' b = FL R R b(n' + N' ) = FL R R - wrµ" bw"#$ = FL R () - wr%µ$ R R µ" #$%" w#$%" + wrµ" = FL R R Rw (%µ$ "#$ "#$ + %µ$ "#$ ) = FL R R Rw %µ ( $ "#$ + $ ) = FL R (8) R Το γεγονός ότι η αλυσίδα δεν ολισθαίνει πάνω στα γρανάζια όλα τα σηµεία της έχουν κάθε στιγµή ταχύτητες του ίδιου µέτρου, και το γεγονός αυτό µας επιτ ρέπει να γράψουµε την σχέση: R = " R R /R = " / όπου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής των τροχών του ποδήλατου. Έτσι η σχέση (8) παίρνει την µορφή: F = Rw 'µ (& L " #$%& + & ) F = διότι λόγω της κυλίσεως των τροχών ισχύει v C =ωr. v C w 'µ (& L " #$%& + & ) P.M. fysikos Ένα βαγόνι φέρει κ το πλήθος τροχούς της ίδιας ακτίνας R, οι οποίοι βρίσκονται σε συµµετρικές θέσεις, ώστε το βάρος W του βαγονιού να
ισοκατανέµεται πάνω στους τροχούς. Eάν ο συντελεστής τριβής κυλί σεως µεταξύ κάθε τροχού και των σιδηροτροχιών πάνω στις οποίες κυλίεται είναι b, να βρεθεί η δύναµη έλξεως στο βαγόνι, ώστε αυτό να κινείται οριζόντια µε επιτάχυνση µέτρου a. Nα θεωρήσετε ότι, κάθε τροχός έχει µάζα m, που είναι συγκεντρωµένη στην περιφέρειά του. ΛYΣH: Eπειδή οι τροχοί του βαγονιού κυλίονται πάνω στις σιδηροτροχιές, η τριβή T πάνω σε κάθε τροχό είναι στατική τριβή, ενώ η αντίστοιχη κάθετη αντί δραση N της σιδηροτροχιάς δεν διέρχεται από τον άξονα περιστροφής του τροχού, αλλά ο φορέας της είναι µετατοπισµένος δεξιότερα κατά b (σχήµα 7) Eξάλλου το σύστηµα βαγόνι-τροχοί δέχεται τις ακόλουθες εξωτερικές δυνά µεις. Tο βάρος του W, την οριζόντια δύναµη έλξεως F, τις αντιδράσεις του εδά φους επί των τροχών του, οι οποίες αναλύονται στις στατικές τριβές T και στις κάθετες αντιδράσεις N, που για λόγους συµµετρίας είναι ίδιες σε κάθε τροχό. Σχήµα 8 Eφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση του συστήµατος τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, παίρνουµε τη σχέση: F - κt = wa/g () Eξάλλου, εφαρµόζοντας για κάθε κυλιόµενο τροχό του βαγονιού τον θεµελιώ δη νόµο της στροφικής κίνησης έχουµε: TR - Nb = Iω TR - Nb = mr ω () όπου I η ροπή αδράνειας κάθε τροχού, ως προς τον άξονα περιστροφής του, η οποία είναι ίση µε mr (η µάζα του m θεωρείται συγκεντρωµένη στην περιφέ ρειά του) και ' η γωνιακή του επιτάχυνση. Όµως κατά τον κατακόρυφο άξο να το βαγόνι δεν έχει κίνηση, οπότε ισχύει κn=w δηλ. N=W/κ, και η () γράφε ται: TR - Wb/κ = mr ω' (3) Λόγω της κύλισης των τροχών ισχύει Rω = a και η (3) γράφεται: TR - Wb/κ = mra T = Wb/κR + ma (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (4) έχουµε: F - (Wb/R + ma) = Wa/g F = a(w/g + m) + wb/r P.M. fysikos