3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 A Οµάδας. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συµµετρίας τον άξονα σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν έχει εστία το σηµείο Ε(, ) (ii) Όταν έχει διευθετούσα την ευθεία (iii) Όταν διέρχεται από το σηµείο Α(, ) (i) Η εξίσωση της παραβολής θα είναι της µορφής. Άρα (ii) Η εξίσωση της παραβολής θα είναι της µορφής. Άρα (iii) Η εξίσωση της παραβολής θα είναι της µορφής Επαληθεύεται από το σηµείο Α(, ) Άρα
. Να βρεθεί η εστία και η διευθετούσα της παραβολής µε εξίσωση : (i) 8 (ii) 8 (iii) (v) (i) (iv) α (vi) 8 (ii) 8 (iii) (iv) (v) α (vi) α α α α α Άρα Ε(, ) και δ : α Άρα Ε(, ) και δ : Άρα Ε(, ) και δ : Άρα Ε(, ) και δ : α Άρα Ε(α, ) και δ : α α Άρα Ε(, α) και δ : α
3 3. ίνεται η παραβολή. Να αποδειχθεί ότι η κορυφή της παραβολής είναι το πλησιέστερο στην εστία σηµείο της. Έστω Μ(, ) το τυχαίο σηµείο της παραβολής και Ε η εστία της. Θα αποδείξουµε ότι (ΕΜ) (ΕΟ) M (ΕΜ ) (ΕΟ ) O E ( + + + ) + ( ) + και επειδή + που ισχύει. Να βρεθούν οι συντεταγµένες των σηµείων Α και Β της παραβολής που έχουν την ίδια τεταγµένη και ισχύει Α ÔΒ 9ο. Επειδή η παραβολή µας είναι συµµετρική ως προς τον άξονα, τα σηµεία Α, Β που έχουν την ίδια τεταγµένη, θα έχουν Β Α αντίθετες τετµηµένες,, αντίστοιχα. O () () Α στην παραβολή Α ÔΒ 9ο OA O ( ) + ( ) ή Για, η () απορρίπτεται αφού Α Ο Για Η () 6 ή Άρα τα ζητούµενα σηµεία είναι Α(, ) και Β(, )
5. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της παραβολής τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν είναι παράλληλη στην ευθεία + (ii) Όταν είναι κάθετη στην ευθεία (iii) Όταν διέρχεται από το σηµείο Α(, ) Η παραβολή γράφεται Η εφαπτοµένη της στο σηµείο της Λ(, ) είναι ε : ( + ) + (i) ε + λ ε Λ(, ) στην παραβολή () ε : (ii) ε λ ε Λ(, ) στην παραβολή () ε : (iii) Α(, ) ε Λ(, ) στην παραβολή σε καθεµιά από () ή () ή ή
5 6. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόµενες της παραβολής και Β(, ) τέµνονται κάθετα και πάνω στη διευθετούσα της. Η παραβολή γράφεται στα σηµεία Α(, ) και δ : Εφαπτοµένη στο Α ε : ( + ) +. () Εφαπτοµένη στο η : ( ) ( + ) + () λε λ η ( ) ε η Λύνουµε το σύστηµα των (), () για να βρούµε το σηµείο τοµής των ε, η. Εξισώνουµε τα δεύτερα µέλη 8 6 5 3 () 3. δηλαδή Κ( 3, ) Άρα το Κ ανήκει στη διευθετούσα
6 Β Οµάδας. Να αποδειχθεί ότι ο κύκλος ( 3 ) + 8 εφάπτεται της παραβολής ( ηλαδή έχουν τις ίδιες εφαπτόµενες στα κοινά σηµεία τους). ( 3) + 8 6+ 9+ 8 + ( ) ή Τα σηµεία τοµής είναι Α(, ), Β(, ) Η εφαπτοµένη της παραβολής στο Α είναι ε : ( + ) +. Το κέντρο του κύκλου είναι Κ(3, ) και η ακτίνα r 8 3 + d(, ε) + κύκλου Οµοίως στο σηµείο Β. 6 8 r άρα η ε εφάπτεται και του
7. Έστω η παραβολή. Αν η εφαπτοµένη της παραβολής στο σηµείο Α(, 3 ) τέµνει τον άξονα στο σηµείο Β, να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΕΑΒ είναι ισόπλευρο. 6 Α άρα 6 και Ε(3, ) Εφαπτοµένη στο Α ε : 3 6( + ) Για δίνει. Άρα Β(, ) (ΕΑ ) ( 3 ) + ( 3 ) + 6 Β O E (ΕΒ ) 6 (ΑΒ ) ( ) + { 3 ) + 6 Άρα (ΕΑ) (ΕΒ) (ΑΒ)
8 3. Έστω η παραβολή Β δ O Κ Ε. Αν η εφαπτοµένη της παραβολής στο σηµείο Α(3, 3 ) τέµνει τη διευθετούσα στο σηµείο Β, να αποδειχθεί ότι ο κύκλος µε διάµετρο ΑΒ εφάπτεται στον άξονα στην εστία της παραβολής.. άρα Ε(, ) και δ : Α Εφαπτοµένη στο Α ε : 3 ( + 3) Για δίνει 3 ( + 3) 3 Άρα Β(, 3 3 ). 3 3 3 Το κέντρο Κ του κύκλου διαµέτρου ΑΒ είναι το µέσο του τµήµατος ΑΒ. 3 3 + 3 3 3 3 Είναι ΚΕ E Αρκεί να είναι και (ΚΕ) (ΚΑ) (ΚΕ ) (ΚΑ ) ( ) + ( 6 3 + ( 3 3 6 3 + 3 3 3 ) ) (3 ) +( 3 που ισχύει 3 3 )
9. Έστω Μ ένα σηµείο της παραβολής. Να αποδειχθεί ότι ο κύκλος µε διάµετρο ΕΜ, όπου Ε η εστία της παραβολής, εφάπτεται στον άξονα. Έστω Μ(, ) σηµείο της παραβολής, M οπότε Λ O E + + Το κέντρο Κ του κύκλου διαµέτρου ΕΜ είναι το µέσο του τµήµατος ΕΜ. + + και + Φέρουµε ΚΛ Λ, Αρκεί να είναι (ΚΕ) (ΚΛ) (ΚΕ ) (ΚΛ ) + + + + ( ) + 6 6 (+ ) 6 + + + ρ + 8 που ισχύει
5. Έστω η παραβολή ρ και η εφαπτοµένη της ε σε ένα σηµείο Α(, ) αυτής. Αν η ευθεία ΟΑ τέµνει τη διευθετούσα της παραβολής στο σηµείο Β, να αποδειχθεί ότι ΒΕ ε. δ Β Η O ε Αρκεί να είναι E λ ΒΕ Α λ ε + + ε : ( + ) + OA : ( ) Σύστηµα των δ : και OA, για να βρούµε τις συντεταγµένες του Β. Είναι ( ) ρ το οποίο ισχύει, αφού το Α ανήκει στην παραβολή.
6. Αν η εφαπτοµένη της παραβολής στο σηµείο της Α τέµνει τη διευθετούσα στο Β και τον άξονα στο σηµείο Κ, να αποδειχθεί ότι (i) A Ê 9ο (ii) E A και (iii) (E ) (A)() Εφαπτοµένη στο Α(, ) Α ε : ( + ) δ Β Για έχουµε Κ ε ( + ) O (i) A Ê 9ο (ii) E A Ε Για Β ε έχουµε ( + ) EA E + ( ( ) ) ( ) + ( ) ( ) + που ισχύει EΚ AΒ + + + + + ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) + (αλλά ) + + + + 8 που ισχύει
(iii) Τρίγωνο ΕΑΒ ορθογώνιο στο Ε µε ύψος ΕΚ (E ) (A)() 7. Έστω η παραβολή και ένα σηµείο της Α(, ), Φέρνουµε την εφαπτοµένη της παραβολής στο Α, που τέµνει τον άξονα στο Β και την παράλληλη από το Α στον άξονα, που τέµνει τη διευθετούσα στο Γ. Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΑΕΒΓ είναι ρόµβος µε κέντρο στον άξονα. δ Γ Α Εφαπτοµένη στο Α(, ) : ε : ( + ) Κ O Ε Για έχουµε Β ε ρ( + ) + Είναι Γ(, ) λ ΒΓ Γ Β και λ ΕΑ Α Ε Γ Β + Α Ε λ ΒΓ λ ΕΑ ΒΓΕΑ. Άρα ΑΕΒΓ παραλληλόγραµµο. Για να είναι ρόµβος, αρκεί να αποδείξουµε ότι (ΓΑ) (ΕΑ) (ΓΑ ) (ΕΑ ) + ( + + + ) + ( ) + που ισχύει + Το κέντρο του ρόµβου είναι το µέσο Κ της διαγωνίου ΒΑ A + Κ. Άρα το Κ ανήκει στον άξονα.
3 8. ίνονται οι παραβολές C : C Β O Ε Γ και C : C. (i) Να αποδείξετε ότι οι C και C τέµνονται στα σηµεία Ο(, ) και Α(ρ, ρ). (ii) Αν οι εφαπτόµενες των C και C στο Α τέµνουν τις C και C στα σηµεία Β και Γ αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι η ΒΓ είναι κοινή εφαπτοµένη των C και C. (i) A Σύστηµα των C, C 3 3 ή 8 (ii) ή ή 3 3 () ή ή ή 3 8 3 3 8 3 8 3 3 ( 8 ) Εφαπτοµένη ΑΒ της C στο Α(, ) : ( + ) + Σύστηµα των C, ΑΒ ώστε να βρούµε τις συντεταγµένες του Β. ( + ) + ή απορρίπτεται αφού A Η + ( ) + Άρα Β(, )
Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουµε Γ(, ) Εφαπτοµένη της C στο Β : ( + ) + () Εφαπτοµένη της C στο Γ : ( + ) + + () Από τις (), () συµπεραίνουµε ότι πρόκειται για την ίδια ευθεία.