Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ 2: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles Lamb (19 ος αιώνας) Ο Νεύτωνας, στο σύγγραμμά του Μαθηματικές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας, * έδωσε το πρώτο μαθηματικό πρότυπο για το χρόνο και το χώρο Το πρότυπο αυτό δεν μας λέει τι είναι στην πραγματικότητα ο χρόνος και ο χώρος, αλλά καθιστά εφικτή την κωδικοποίηση των παρατηρήσεων και την ανάπτυξη μιας ορθολογικής συλλογιστικής από την οποία συνάγονται προβλέψεις που επιζητούν την πειραματική επιβεβαίωσή τους στη φυσική πραγματικότητα Στο πρότυπο αυτό, ο χρόνος και ο χώρος είναι διαχωρισμένοι μεταξύ τους και συγκροτούν ένα υπόβαθρο στο οποίο διαδραματίζονται τα γεγονότα, χωρίς όμως να επηρεάζεται από αυτά Ένα γεγονός είναι κάτι που συμβαίνει σε κάποια συγκεκριμένη στιγμή στο χρόνο και σε κάποιο συγκεκριμένο σημείο στο χώρο και η αντιληπτική ανάγκη απαιτεί τέσσερις πληροφορίες για τον εντοπισμό του, μια χρονική και τρεις χωρικές Αλλά, σε αντίθεση με αυτό που πίστευαν στην αρχαιότητα, καμία στιγμή του χρόνου και κανένα σημείο του χώρου δεν ξεχωρίζει από τις άλλες στιγμές και τα άλλα σημεία ώστε να υπάρχει μια απόλυτα αποδεκτή αρχή ως προς την οποία να εντοπίζονται τα γεγονότα Στην Κλασική Μηχανική, το μαθηματικό πρότυπο του χρόνου και του χώρου, που ανταποκρίνεται στην ανυπαρξία αρχής, διαμορφώνεται στα σύγχρονα δεδομένα με τη * Isaac Newton, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, 1687

ΜΑΘΗΜΑ 2 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 15 που αποτελεί τη γεωμετρική έκφρα- θεώρηση ενός τετραδιάστατου αφινικού χώρου ση του χωροχρόνο πριν τη διάσπασή του σε χώρο και χρόνο Κάθε σημείο του αναπαριστά ένα γεγονός και κανένα από αυτά δεν ξεχωρίζει ώστε να εκληφθεί ως απόλυτη αρχή Αυτός ο τετραδιάστατος αφινικός χώρος αποκτά αριθμητική υπόσταση στον τετραδιάστατο πραγματικό διανυσματικό χώρο διαμέσου μιας απεικόνισης: που σε κάθε ζεύγος γεγονότων, προσαρτά ένα μοναδικό διάνυσμα υ έτσι ώστε να πληρούνται τα εξής αξιώματα:, Το 1 ο αξίωμα διασφαλίζει τη δυνατότητα μετάβασης από ένα γεγονός σε κάποιο άλλο διαμέσου των διανυσμάτων του προσαρτημένου διανυσματικού χώρου: Αν δοθεί ένα διάνυσμα υ τότε σε κάθε γεγονός a προσαρτάται ένα μοναδικό γεγονός b τέτοιο ώστε: υ =υ Το 2 ο αξίωμα διασφαλίζει την ισχύ της μεταβατικής συνθήκης που προσλαμβάνει το νόημά της στον προσαρτημένο διανυσματικό χώρο ως εξής: Για κάθε τριάδα γεγονότων c,, ισχύει: Από εδώ απορρέει ότι: υ +υ bc =υac υ 0 aa και υ = υ ba Έτσι, η μετάβαση από ένα γεγονός a σε ένα γεγονός b πραγματοποιείται με τη χωροχρονική μεταφορά που ορίζεται από το προσαρτημένο διάνυσμα υ και συμβολικά σημειώνεται ως εξής: b= a +υ Οι χωροχρονικές μεταφορές των γεγονότων του χωροχρόνου συγκροτούν ένα διανυσματικό χώρο ισόμορφο προς τον τετραδιάστατο πραγματικό διανυσματικό χώρο Ο χρόνος ορίζεται ως γραμμική απεικόνιση - ως προβολή - του τετραδιάστατου χώρου των χωροχρονικών μεταφορών στην πραγματική ευθεία που καλείται χρονικός άξονας: τ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο γεγονότων a και b προσμετράται με τον αριθμό: τ( b a ) τ( υ ) και τα γεγονότα αυτά καλούνται ταυτόχρονα όταν: τ( b a ) = 0 Οι χωροχρονικές μεταφορές που μεταφέρουν κάθε γεγονός σε ταυτόχρονό του συγκροτούν τον πυρήνα της προβολής των χωροχρονικών μεταφορών στο χρονικό άξονα: { / ( ) 0 τ } Ker τ = υ υ = Συνεπώς, κάθε χρονική στιγμή, τα ταυτόχρονα γεγονότα συγκροτούν έναν τρισδιάστατο αφινικό χώρο προσαρτημένο στον πραγματικό διανυσματικό χώρο Έτσι, ο χωροχρόνος διασπάται σε καρτεσιανό γινόμενο χώρου και χρόνου: = Μετάβαση από ένα γεγονός σε άλλο γεγονός μέσα στον κλασικό χώρο-χρόνο * Στο διασπασμένο αφινικό χώρο-χρόνο προσαρτάται ο αριθμητικός χώρο-χρόνος στον οποίο τα γεγονότα αποκτούν χωρικές και χρονικές συντεταγμένες: = Η μαθηματική δομή του χώρο-χρόνου που χαρακτηρίζεται από την αφινικότητά της, τη γραμμικότητα του χρόνου και την ευκλείδεια δομή του χώρου καλείται γαλιλαϊκή δομή Η ευκλείδεια δομή του χώρου, δηλαδή η πραγματική διανυσματική δομή του αριθμητικού χώρου των ταυτόχρονων γεγονότων εφοδιασμένη με την πράξη του εσωτερικού γινομένου, δίνει τη δυνατότητα ορισμού των χωρικών συστημάτων αναφοράς * Ο χρόνος νοείται ως μια ανεξάρτητη γραμμή, κάτι σαν σιδηροδρομική γραμμή, που εκτείνεται επ άπειρο προς τις δυο κατευθύνσεις και θεωρείται παντοτινός υπό την έννοια ότι είχε υπάρξει από πάντα και θα υπάρχει για πάντα, λέει ο Stephen Hawking στο βιβλίο του που έχει τίτλο: Το Χρονικό του Χρόνου ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ 2 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 17 Ένα σύστημα αναφοράς είναι ένα τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων ορισμένο από μια θετικά προσανατολισμένη ορθοκανονική βάση του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου Έτσι απορρέει ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων που αποδίδει σε κάθε σημείο αριθμητικές συντεταγμένες διαμέσου των ορθογώνιων προβολών στους τρεις άξονες: xi :, 1, 2, i = Στον αριθμητικό χώρο-χρόνο, το διάνυσμα χωροχρονικής μεταφοράς από το γεγονός a = (,) xt στο γεγονός b = ( yt, ) εκφράζεται ως εξής: υ y x, y x, y x, t t = ( ) 1 1 2 2 και από την προβολή του στο χρονικό άξονα υπολογίζεται το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί μεταξύ των δύο αυτών γεγονότων: τ :, τ( υ ) = t t Η γραμμικότητα του χρόνου υποδεικνύει ότι: τ( υ +υ ) = τ( υ ) + τ( υ ) c,, bc bc, Στην Κλασική Μηχανική δεν υπάρχει μετρική στον τετραδιάστατο χώρο-χρόνο που να έχει φυσικό νόημα και να προσμετρά συγχρόνως χρονικά διαστήματα και χωρικές αποστάσεις και μόνο η απόσταση των ταυτόχρονων γεγονότων είναι μετρήσιμη * Η ευκλείδεια μετρική του τρισδιάστατου αριθμητικού χώρου είναι αυτή που μετρά τη χωρική απόσταση των ταυτόχρονων γεγονότων a = (,) xt και b = ( yt,) ως εξής: d:, dxy (, ) = x y = (( y x ) 2 + ( y x ) 2 + ( y x ) 2 ) 1/2 1 1 2 2 Εντοπισμός της θέσης ενός σημείου στο χώρο από ένα σύστημα αναφοράς * Στην Κλασική Μηχανική η μη ύπαρξη φυσικής μετρικής που να προσμετρά συγχρόνως χωρικές αποστάσεις και χρονικά διαστήματα οφείλεται στην ανυπαρξία παγκόσμιας σταθεράς με διαστάσεις ταχύτητας όπως συμβαίνει με την ταχύτητα του φωτός στη Θεωρία της Σχετικότητας ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Θυμίζουμε ότι στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται ενδογενώς ως διγραμμική απεικόνιση, συμμετρική και θετικά ορισμένη, η οποία σε κάθε ζεύγος διανυσμάτων x, y αποδίδει έναν πραγματικό αριθμό < x, y > : <>, : Οι αξιωματικές συνθήκες ορισμού του εσωτερικού γινομένου δηλώνονται ως εξής: Διγραμμικότητα: < x + x, y >=< x, y >+< x, y >, xx,, y, < x, y + y >=< x, y >+< x, y >, x, y, y, λ< x, y >=<λ x, y >=< x, λ y >, x, y, λ Συμμετρικότητα: < xy, >=< yx, > Θετικότητα: < xx, > 0 < xx, >= 0 x= 0, x, y,, x, x Σε κάθε διάνυσμα του ευκλείδειου χώρου αποδίδεται το μέτρο του: 1/2 x = < xx, > και η απόσταση δυο σημείων προσμετράται ως εξής: dxy (, ) = x y Η γωνία δυο μη μηδενικών διανυσμάτων ορίζεται μονοσήμαντα από τη σχέση: * και προκύπτει: cos θ=< xy, >/ x y, 0 θ π, x y < xy, >= 0 x+ y = x y Η ορθοκανονικότητα μιας βάσης του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου σημαίνει ότι τα διανύσματα που τη συγκροτούν είναι μοναδιαία και ανά δυο μεταξύ τους ορθογώνια: {, e e, e } ορθοκανονική βάση : < e, e >=δ (σύμβολο Kronecker), i, j = 1, 2, 1 2 i j ij Ο προσανατολισμός της βάσης ορίζεται από τη διάταξή της και χαρακτηρίζεται ως θετικός όταν το πρόσημο της ορίζουσας της είναι θετικό που σημαίνει ότι: e e = e 1 2 * Ο μονοσήμαντος προσδιορισμός της γωνίας διασφαλίζεται από την κλασική ανισότητα Cauchy-Schwarz : < xy, > x y 2 2 2 θ [0,π]: < xy, >= x y cosθ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ 2 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 19 Η αριθμητική έκφραση του εσωτερικού γινομένου καθορίζεται από την επιλογή της βάσης του ευκλείδειου χώρου και αποσυνθέτοντας τα διανύσματα σε μια βάση: προκύπτει: x = xe + xe + xe 1 1 2 2 και y= ye 1 1+ ye 2 2+ ye < x, y>= xy < e, e> i j i j i, j=1,2, Στις ορθοκανονικές βάσεις προκύπτει η κανονική έκφραση: < x, y>= xy 1 1+ xy 2 2+ xy άρα 2 2 2 1/2 x = ( x1 + x2+ x ) και 2 2 2 ( ) 1/2 1 1 2 2 dxy (, ) = ( y x) + ( y x) + ( y x ) Η ανυπαρξία απόλυτης αρχής στον αφινικό χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων επιτρέπει την τοποθέτηση ενός συστήματος αναφοράς οπουδήποτε στο χώρο, όμως τότε κάθε σημείο του χώρου εντοπίζεται στα διάφορα συστήματα αναφοράς με διαφορετικές αριθμητικές συντεταγμένες Εντοπισμός της θέσης ενός σημείου στο χώρο από διαφορετικά συστήματα αναφοράς ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΤΟ ΧΡΌΝΟ Ερωτήματα ενός μαθηματικού προς ένα φυσικό: 1 Ο Νεύτωνας λέει ότι o χρόνος και ο χώρος είναι διαχωρισμένοι μεταξύ τους και καμία στιγμή του χρόνου και κανένα σημείο του χώρου δεν ξεχωρίζουν από τις άλλες στιγμές και τα άλλα σημεία ώστε να εκληφθούν ως απόλυτη χρονική και χωρική αρχή Γιατί συμφωνείς μαζί του; 2 Λες ότι ο χώρος και ο χρόνος δεν έχουν αρχή και ζητάς να ορίσω το μαθηματικό τους πρότυπο Αντιλαμβάνεσαι το νόημα των αξιωμάτων που επιτρέπουν την αναγωγή του αφινικού χωροχρονικού προτύπου στον προσαρτημένο τετραδιάστατο πραγματικό διανυσματικό χώρο; Λες ότι ο χρόνος είναι γραμμικός, αλλά τι είναι αυτό που σε πείθει για τη γραμμικότητά του; Πάντως, η μαθηματική διαδικασία διάσπασης του χωροχρόνου σε χώρο και χρόνο απορρέει από τον ορισμό που έδωσα στο χρόνο βασιζόμενος στη γραμμικότητά του Αν δεν σου αρέσει αυτός ο μαθηματικός ορισμός, εσύ πώς θα όριζες το χρόνο και το χώρο; Από μαθηματική άποψη ορίζεται κάλλιστα μετρική σε οποιονδήποτε τετραδιάστατο χώρο Γιατί λες ότι δεν υπάρχει μετρική με φυσικό νόημα που να προσμετρά συγχρόνως χωρικές και χρονικές αποστάσεις στο πλαίσιο της Κλασικής Μηχανικής; Ερωτήματα ενός φυσικού προς ένα μαθηματικό: 1 Ο Νεύτωνας λέει ότι o χρόνος και ο χώρος είναι διαχωρισμένοι μεταξύ τους και καμιά στιγμή του χρόνου και κανένα σημείο του χώρου δεν ξεχωρίζουν από τις άλλες στιγμές και τα άλλα σημεία ώστε να εκληφθούν ως απόλυτη χρονική και χωρική αρχή Γιατί το μαθηματικό πρότυπο που μου προτείνεις ανταποκρίνεται σε αυτά τα ζητούμενα; 2 Λες ότι η μαθηματική δομή του χώρο-χρόνου χαρακτηρίζεται από την αφινικότητά της, τη γραμμικότητα του χρόνου και την ευκλείδεια δομή του χώρου Πες μου, τι ακριβώς σημαίνουν οι μαθηματικοί αυτοί όροι, ώστε να πειστώ ότι συμπίπτουν οι απόψεις μας Λες ότι οι χωροχρονικές μεταφορές συγκροτούν από αλγεβρική άποψη μια ομάδα και από γεωμετρική άποψη ένα διανυσματικό χώρο ισόμορφο προς τον τετραδιάστατο πραγματικό διανυσματικό χώρο Πες μου, γιατί πρέπει να μου προκαλούν φυσικό ενδιαφέρον οι μαθηματικές αυτές δομές; Όρισες το χρόνο ως προβολή του τετραδιάστατου χώρου των χωροχρονικών μεταφορών στο χρονικό άξονα και λες ότι, κάθε χρονική στιγμή, ο πυρήνας της ορίζει τον τρισδιάστατο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων Πες μου, τι ακριβώς σημαίνουν οι μαθηματικοί αυτοί όροι, ώστε να αντιληφθώ το φυσικό τους αντίκρισμα ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ