ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Σηµειώσεις, Άνοιξη 2016 (σε εξέλιξη) Χαρά Χαραλαµπους Τµήµα Μαθηµατικών, ΑΠΘ

Περιεχόµενα Κεφάλαιο 1: 3 1.1 Απαρχές της Αντιµεταθετικής Άλγεβρας................... 3 1.1.1 Θεωρία Αριθµών............................ 3 1.1.2 Αλγεβρική Γεωµετρία......................... 6 1.1.3 Θεωρία Αναλλοιώτων......................... 8 1.1.4 Βιβλιογραφία............................. 9 1.2 Πρώτα Ιδεώδη................................. 10 1.2.1 Βασικοί ορισµοί............................ 10 1

Κεφάλαιο 1 1.1 Απαρχές της Αντιµεταθετικής Αλγεβρας Τρεις κλάδοι των Μαθηµατικών συνέβαλλαν στη γέννηση της Αντιµεταθετικής Άλγεβρας. 1.1.1 Θεωρία Αριθµών Η εύρεση απόδειξης του Τελευταίου Θεωρήµατος του Fermat (1637) υπήρξε µία από τις µεγάλες προκλήσεις των Μαθηµατικών. Θυµίζουµε ότι η απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήµατος του Fermat ολοκληρώθηκε το 1995 µε τη δουλειά του Wiles. Θεώρηµα 1.1.1 (Τελευταίο Θεώρηµα του Fermat). Η εξίσωση x n + y n = z n δεν µπορεί να λυθεί στους ακεραίους όταν n > 2. Ο Gauss το 1832 στην εργασία Theoria residuorum biquadraticorum εισήγαγε το σύνολο Z[i] := {a + bi : a, b Z, i 2 = 1 }. Ο δακτύλιος αυτός είναι γνωστός σήµερα ως δακτύλιος των ακεραίων του Gauss. Ο Gauss απέδειξε (ανάµεσα σε πολλά άλλα) ότι τα στοιχεία του Z[i] ικανοποιούν την ιδιότητα της µονοσήµαντης ανάλυσης. Αυτό σηµαίνει ότι αν x Z[i] τότε το x µπορεί να γραφτεί µε µοναδικό τρόπο ως γινόµενο x = u s i=1 όπου το u είναι αντιστρέψιµο, το p i είναι ανάγωγο, για κάθε i και p i, p j δεν είναι συναφή όταν i j. ( Ενα µη αντιστρέψιµο στοιχείο q του δακτυλίου R λέγεται ανάγωγο αν κάθε ϕορά που q = ab, τότε ένα από τα a ή b είναι αντιστρέψιµα στον R. ύο ανάγωγα στοιχεία q 1, q 2 του R είναι συναφή ακριβώς όταν q 1 = aq 2, όπου a κάποιο αντιστρέψιµο στοιχείο του R). Με µοναδικό τρόπο σηµαίνει ότι αν το x γράφεται µε διαφορετικό τρόπο ως τέτοιο γινόµενο, δηλ. αν x = u t i=1 είναι µία άλλη έκφραση της µορφής που περιγράψαµε προηγουµένως, τότε t = s και κάθε p i είναι συναφές µε κάποιο q j. Θυµίζουµε ότι αν D είναι µία ακεραία περιοχή, τότε ένα µη αντιστρέψιµο στοιχείο p D είναι πρώτο (prime) στοιχείο του D, αν κάθε ϕορά που p ab τότε p a ή p b. Είναι εύκολο να δείξει κανείς ότι κάθε πρώτο στοιχείο είναι και ανάγωγο. Ισχύει το αντίστροφο ; Οπως µπορεί να ϐεβαιωθεί στις ασκήσεις, η απάντηση δεν είναι πάντα ϑετική. Η D καλείται 3 p n i i q m i i

1.1. ΑΠΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 4 περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης (unique factorization domain UFD) και συµβολίζεται µε ΠΜΑ, αν για κάθε x D ισχύει η ιδιότητα της µονοσήµαντης ανάλυσης που περιγράψαµε παραπάνω. Ασκήσεις 1.1.2. 1. Να αποδείξετε ότι σε µία περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης, κάθε ανάγωγο στοιχείο είναι πρώτο. 2. Να αποδείξετε ότι Z[i] είναι ΠΜΑ. είξτε πρώτα ότι ο Z[i] είναι Ευκλείδια περιοχή χρησιµοποιώντας πολλαπλασιαστικές ιδιότητες της νόρµας, N(a + bi) = a 2 + b 2. 3. Σχολιάστε τη σχέση 2 = (1 + i)(1 i) στον Z[i]. Είναι τα 1 ± i πρώτα (ανάγωγα) στοιχεία του Z[i]; Είναι το 2 πρώτο στον Z[i]; 4. Θεωρήστε τώρα την ακεραία περιοχή Z[ 5] = {a + b 5 : a, b Z και την νόρµα N(a + b 5) = a 2 + 5b 2. Παρατηρείστε ότι 6 = 2 3 = (1 + 5)(1 5). Είναι τα στοιχεία 3, 2 ± 5 πρώτα, ανάγωγα ; Είναι η ακεραία περιοχή Z[ 5] ΠΜΑ ; Τι σχέση όµως έχουν τα παραπάνω µε το Τελευταίο Θεώρηµα του Fermat; Ας δούµε αναλυτικά τι γίνεται στην περίπτωση της δευτεροβάθµιας ιοφαντικής εξίσωσης x 2 + y 2 = z 2. Αντί να περιοριστούµε σε λύσεις στον δακτύλιο Z, ϑα µελετήσουµε την x 2 + y 2 = z 2 στον δακτύλιο Z[i]. Παρατηρούµε, λοιπόν, καταρχήν ότι x 2 + y 2 = (x + iy)(x iy). Εποµένως, αν (a, b, c) Z 3 ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση, τότε το c 2, έχει µία µη τετριµµένη παραγοντοποίηση στον δακτύλιο Z[i]. Για παράδειγµα, όταν c = 5 έχουµε ότι : 5 2 = (3 + i 4)(3 i 4) = 3 2 + 4 2 και η παραγοντοποίηση του 5 2 στον Z[i], οδηγεί στη λύση (3, 4, 5) της x 2 + y 2 = z 2. (Παρεµπιπτόντως, είναι το 5 πρώτο στον Z[i] και ποια είναι η ανάλυση του 5 2 σε ανάγωγους παράγοντες στον Z[i];) Βέβαια, για το Τελευταίο Θεώρηµα του Fermat µας ενδιαφέρουν οι λύσεις της εξίσωσης x n + y n = z n, για n > 2. Τι κάνουµε, λοιπόν, σε αυτήν την περίπτωση ; Ας δούµε λίγο πιο αναλυτικά την περίπτωση που n = 3. Εστω ζ = e 2πi/3. Αφού ( ζ) 3 = 1 και οι τρεις ϱίζες του πολυωνύµου x 3 + 1 είναι οι 1, ζ, ζ 2, συµπεραίνουµε ότι x 3 + 1 = (x + 1)(x + ζ)(x + ζ 2 ) και συνεπώς x 3 + y 3 = (x + y)(x + ζy)(x + ζ 2 y). 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. 5 Γενικότερα λοιπόν, αν n είναι περιττός πρώτος και (a, b, c) είναι λύση της x n + y n = z n, τότε για το κατάλληλο ζ (ποιο άραγε ;) ισχύει ότι a n + b n = (a + b)(a + ζb) (a + ζ n 1 b) = c n. Η ϐασική ιδέα του Lamé το 1847, υποθέτοντας ότι ο Z[ζ] έχει την ιδιότητα της µονοσή- µαντης ανάλυσης, ήταν να δείξει ότι όταν οι παράγοντες σε αυτό το γινόµενο είναι πρώτοι µεταξύ τους (στον δακτύλιο Z[ζ]), τότε κάθε ένας από τους παράγοντες του γινοµένου είναι ίσος µε µία n-στη δύναµη. Επαναλαµβάνοντας αυτη τη διαδικασία κατέληξε σε άτοπο. Το πρόβληµα µε αυτήν την απόδειξη είναι ότι ο δακτύλιος Z[ζ] δεν είναι απαραίτητα ΠΜΑ όπως έδειξε ο Kummer λίγο αργότερα την ίδια ξρονιά (για n = 23). Αυτή λοιπόν η απόπει- ϱα απόδειξης του Τελευταίου Θεωρήµατος του Fermat ανέδειξε τη σηµασία της ιδιότητας της µονοσήµαντης ανάλυσης. Οι Dedekind και Lasker στα τέλη του 19ου αιώνα µε την έρευνά τους εισήγαγαν την έννοια των ιδεωδών σε κάποιες ειδικές περιπτώσεις. Με αυτόν τον τρόπο ανακτάται η ιδιότητα της µονοσήµαντης ανάλυσης, περνώντας από την ανάλυση των στοιχείων του δακτυλίου στην ανάλυση των ιδεωδών του δακτυλίου. Στη ϑέση των πρώτων στοιχείων µελετούµε πρώτα ιδεώδη. Στη ϑέση των αναγώγων µελετούµε ανάγωγα ιδεώδη και αντί για γινόµενα αναγώγν στοιχείων ϑα µελετήσουµε την τοµή αναγώγων ιδεωδών. Θυµίζουµε ότι ένα γνήσιο ιδεώδες P του δακτυλίου R λέγεται πρώτο, αν κάθε ϕορά που fg P για f, g R, τότε f ή g P, δηλαδή όταν ακριβώς R/P είναι ακεραία περιοχή. Ενα γνήσιο ιδεώδες Q του δακτυλίου R λέγεται ανάγωγο, αν δεν µπορεί να γραφεί ως τοµή δύο γνήσιων ιδεωδών. Κάθε µέγιστο ιδεώδες είναι ανάγωγο. Ασκήσεις 1.1.3. 1. Να αποδείξετε ότι το κύριο ιδεώδες 2 = {2r : r Z[ 5]} δεν είναι πρώτο ιδεώδες του Z[ 5]. 2. Να αποδείξετε ότι 2, 1 + i 5 = {2r + (1 + i 5)s : r, s Z[ 5]} είναι µέγιστο και άρα πρώτο και ανάγωγο ιδεώδες του Z[ 5]. Υπόδειξη : Χρησιµοποιείστε το Τρίτο Θεώρηµα Ισοµορφίας ακτυλίων για να δείξετε ότι Z[ 5]/P = Z 2. 3. Να αποδείξετε ότι αν I, J είναι δύο ιδεώδη και I + J = 1, τότε IJ = I J. Να συµπεράνετε ότι αν I J είναι δύο µέγιστα ιδεώδη, τότε IJ = I J. Στο επόµενο παράδειγµα, ϑα δείξουµε την ανάλυση του κύριου ιδεώδους 6 στον δακτύλιο Z[ 5]. Θυµίζουµε ότι στον Z[ 5], το 6 έχει δύο αναλύσεις σε γινόµενο αναγώγων στοιχείων, ϐλ. Άσκηση 1.1.2.4. Παράδειγµα 1.1.4. Στον δακτύλιο Z[ 5]} ϑεωρούµε τα ιδεώδη P = 2, 1 + i 5, Q = 3, 1 + i 5, R = 3, 1 i 5. Τα ιδεώδη P, Q, R είναι µέγιστα ιδεώδη, ϐλ. Άσκηση 1.1.3.2. Παρατηρούµε επίσης ότι P 2 = 2. Πράγµατι : P 2 = 2 2, 2(1 + i 5), (1 + i 5) 2 = 4, 2(1 + i 5), 4 + 2i 5 = 4, 2 + 2i 5, 2i 5 = 4, 2, 2i 5 = 2. 5

1.1. ΑΠΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 6 Οµοίως, µπορεί να δείξει κανείς ότι QR = 3. Αφού λοιπόν 6 = 2 3, χρησιµοποιώντας την άσκηση 1.1.3.3, προκύπτει ότι 6 = 2 3 = P 2 (QR) = P 2 (Q R). Τα πρώτα ιδεώδη αυτής της ανάλυσης είναι τα P, Q, R. Αφήνουµε στον αναγν στη να ελέγξει αν η ανάλυση 6 = (1 + 5)(1 5) οδηγεί στα ίδια πρώτα ιδεώδη, όταν περάσουµε στην ανάλυση του 6. Η E. Noether µία από τους µεγαλύτερους µαθηµατικούς του 20ου αιώνα ενοποίησε τις έννοιες των ιδεωδών των Dedekind και Lasker και έθεσε τις αξιωµατικές ϐάσεις της Αντιµεταθετικής Άλγεβρας. Θα εξετάσουµε την πρωταρχική ανάλυση των ιδεωδών σε επόµενη ενότητα. 1.1.2 Αλγεβρική Γεωµετρία Η ανάπτυξη της Αντιµεταθετικής Άλγεβρας ήταν αναγκαία για πρόοδο σε ϐασικά προβλή- µατα της Αλγεβρικής Γεωµετρίας για τα κοινά µηδενικά ενός συνόλου πολυωνύµν. Η πιο απλή περίπτωση αφορά ένα πολυώνυµο σε µία µεταβλητή και αντιµετωπίζεται πλήρως µε το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Άλγεβρας. Θυµίζουµε ότι η πρώτη ολοκληρωµένη απόδειξη του Θεµελιώδους Θεωρήµατος της Άλγεβρας αποδίδεται στον Gauss το 1803. Το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Άλγεβρας λέει ότι ένα µη µηδενικό πολυώνυµο f(x) µε µιγαδικούς συντελεστές έχει ακριβώς deg(f) ϱίζες στο σώµα των µιγαδικών αριθµών. Είναι ϕυσικό λοιπόν να αναζητήσουµε τη γενίκευση αυτού του ϑεωρήµατος για πολυώνυµα σε περισσοτέρες από µία µεταβλητή. Εστω ότι S είναι ένα σύνολο πολυωνύµων στον δακτύλιο C[x 1,..., x n ]. Τι µπορούµε να πούµε για τα κοινά µηδενικά αυτών των πολυωνύµων ; Ορίζουµε το σύνολο των µηδενικών του S, Z(S), ως εξής : Z(S) = {(a 1,..., a n ) C n : g(a 1,..., a n ) = 0, g S} C n και λέµε ότι Z(S) είναι µία ποικιλότητα (variety). Πότε είναι το σύνολο Z(S) διάφορο του κενού ; εν είναι δύσκολο να δει κανείς ότι το σύνολο S και το ιδεώδες που παράγεται από το S, δηλ. το σύνολο S = {r 1 f 1 + + r n f n : f 1,..., f n S, r 1,..., r n C[x 1,..., x n ], n N} ορίζουν την ίδια ποικιλότητα. Με άλλα λόγια : Z(S) = Z ( S ). Εύκολα επίσης µπορεί να δει κανείς ότι αν S 1 S 2, τότε Z(S 1 ) Z(S 2 ). Είναι µήπως το ιδεώδες S το µεγαλύτερο (ως προς τη σχέση εγκλεισµού) υποσύνολο του C[x 1,..., x n ] που τα στοιχεία του µηδενίζονται ακριβώς στο Z(S) και ποιες είναι οι ιδιότητες του ιδεώδους S που καθορίζουν τα µηδενικά του S; Αντίστροφα, έστω X ένα υποσύνολο του C n. Πως µπορούµε να καταλάβουµε πότε X ισούται µε κάποιο Z(S) και ότι X είναι ποικιλότητα ; Παραδείγµατα 1.1.5. 1. Εστω X = N. Κάθε µη µηδενικό πολυώνυµο f(x) C[x] έχει πεπερασµένο αριθµό ϱιζών. Εποµένως δεν υπάρχει S C[x 1,..., x n ], έτσι ώστε X = Z(S). 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. 7 2. Εστω X = {1, 2}. Αν f(x) έχει ϱίζες στο X, τότε (x 1)(x 2) διαιρεί το f(x). Εστω I = (x 1)(x 2 ). εν είναι δύσκολο να δει κανείς ότι Z(I) = X και ότι αν Z(S) = X, τότε S I. 3. Εστω S = {c} ένα σταθερό µη µηδενικό πολυώνυµο. Τότε Z(S) =. 4. Εστω S = {0}. Τότε Z(S) = C n. Εστω, λοιπόν, X C n µία ποικιλότητα. Ας µελετήσουµε λίγο περισσότερο ένα ιδεώδες που συνδέεται άµεσα µε το X. Ορίζουµε I(X) να είναι το παρακάτω σύνολο : I(X) = {f(x 1,..., x n ) C[x 1,..., x n ] : f(a 1,..., a n ) = 0, (a 1,..., a n ) X}. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι I(X) είναι ιδεώδες του C[x 1,..., x n ]. Ποια είναι η σχέση του X και του Z(I(X)); Αντίστροφα, (µε X = Z(S)) ποια είναι η σχέση του I(Z (S)) και του S; Παραδείγµατα 1.1.6. 1. Εστω S = {x 2 4, x 2 5x + 6}. Τότε Z(S) = {±2} {2, 3} = {2}. Εποµένως I({2}) = x 2 αφού κάθε πολυώνυµο µε ϱίζα το 2 διαιρείται από το x 2. Πόσο διαφέρουν στην περίπτωση αυτή τα ιδεώδη I(Z (S)) και S ; Ο C[x] είναι δακτύλιος κυρίων ιδεωδών και το ιδεώδες S παράγεται από τον µέγιστο κοινό διαιρέτη των x 2 4 και x 2 5x + 6. Χρησιµοποιώντας τον Ευκλείδειο αλγόριθµο, δεν είναι δύσκολο να δει κανείς ότι : S = {f(x)(x 2 4) + g(x)(x 2 5x + 6) : f(x), g(x) C[x]} = x 2 = I(Z(S)). 2. Εστω S = {x 2, y 2 }. Τότε Z(S) = {(0, a) : a C} {(b, 0) : b C} = {(0, 0)}. Θα δείξουµε ότι I(Z(S)) = x, y S. Πράγµατι, για την ισότητα, ο ένας εγκλεισµός είναι άµεσος : x, y I(Z(S)). Αντίστροφα, αν f(x, y) = a i,j x i y j I(Z(S)) τότε a 0,0 = f(0, 0) = 0 και άρα f(x, y) = x( i 1 a i,j x i 1 y j ) + y( j 1 a 0,j x i y j 1 ) x, y. 3. Εστω X = C n. Τότε I(X) = C[x 1,..., x n ]. 4. Εστω X = C n. Τότε I(X) = 0. Είναι ϕανερό ότι αν g I(X) και f t = g, για t N, τότε f I(X). Οδηγούµαστε, λοιπόν, στη µελέτη του ϱιζικού ενός ιδεώδους I. Το ϱιζικό (radical) του ιδεώδους I στον δακτύλιο R είναι το σύνολο rad(i) = {f R : f m I, για κάποιο m N}. Παραδείγµατα 1.1.7. 1. Στον C[x, y], rad(x 2, y 2 ) = x, y (αποδείξτε το). 2. rad(c[x 1,..., x n ]) = C[x 1,..., x n ]. 3. Στον Z, rad ( 20 ) = 10, (αποδείξτε το). 7

1.1. ΑΠΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 8 Το ϱιζικό του I είναι και αυτό ιδεώδες. Ο Hilbert απέδειξε ότι στον C[x 1,..., x n ] ισχύει ότι : I(Z(I)) = rad(i) (1.1.1) και Z(f 1,..., f m ) = αν και µόνο αν υπάρχουν πολυώνυµα g 1,..., g m στο C[x 1,..., x n ] έτσι ώστε 1 = g 1 f 1 + + g m f m, δηλ. αν και µόνο αν f 1,..., f m C[x 1,..., x n ]. Τα αποτελέσµατα αυτά αποτελούν το Θεώρηµα των Μηδενικών του Hilbert (Hilbert s Nullstellensatz) και η απόδειξή τους είναι ϐασικός στόχος του µαθήµατος. Παρακάτω δείχνουµε την µία από τις δύο κατευθύνσεις του δεύτερου αποτελέσµατος, έχοντας υποθέσει, ως γνωστή την 1.1.1. Πρόταση 1.1.8. Αν 1 / f 1,..., f m τότε Z(f 1,..., f m ). Απόδειξη. Εστω ότι 1 / f 1,..., f m και ότι Z(f 1,..., f m ) =. Θα καταλήξουµε σε άτοπο. Θέτουµε S = {f 1,..., f m }. Αφού Z(S) = και I( ) = C[x 1,..., x n ], συµπεραίνουµε ότι C[x 1,..., x n ] = rad( S ). Εποµένως 1 rad( S ) και άρα 1 t S, για κάποιο t N. Οµως 1 = 1 t και άρα 1 S, άτοπο. Το Θεώρηµατος των Μηδενικών του Hilbert δεν ισχύει όταν το σώµα των συντελεστών του πολυνυµικού δακτυλίου δεν είναι αλγεβρικά κλειστό. Παράδειγµα 1.1.9. Εστω S = {x 2 + 1} R[x]. rad( x 2 + 1 ) = x 2 + 1 R[x]. Τότε Z(S) =, I( ) = R[x] και Ασκήσεις 1.1.10. 1. Να αποδείξετε ότι τα σύνολα I(X) και rad(i) είναι ιδεώδη. 2. Εστω f(x) = x 4 + 2x 2 + 1 και I = f(x). Να υπολογίσετε rad(i), Z(I) και I(Z(I)) στους Z 5 [x], R[x], C[x]. 3. Εστω X = {(a, a) : a C, a 2} C 2. Να εξετάσετε αν το X είναι ποικιλότητα. 1.1.3 Θεωρία Αναλλοιώτων Η ανάπτυξη της Αντιµεταθετικής Άλγεβρας σηµατοδοτήθηκε από τη σύνδεσή της µε τη Θεωρία των Αναλλοιώτων (Invariant Theory). Στα παραδείγµατα που ακολουθούν, G είναι µία (πολλαπλασιαστική) οµάδα µε δύο στοιχεία, G = {e G, g} που δρα στον δακτύλιο C[x, y]. Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει µία απεικόνιση G C[x, y] C[x, y] όπου και (e G, f(x, y)) e G f(x, y) = f(x, y) (g, f(x, y)) g f(x, y) όπου g (g f(x, y)) = (g 2 ) f(x, y) = f(x, y). Παραδείγµατα 1.1.11. 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. 9 1. Εστω ότι g x = x, g y = y και g f(x, y) = f( x, y). Ποια είναι, λοιπόν, τα πολυώνυµα που παραµένουν αναλλοίωτα και δεν επηρεάζονται από τη δράση της G; Με άλλα λόγια τι µπορούµε να πούµε για τα σύνολο C[x, y] G, όπου C[x, y] G = {f(x, y) C[x, y] : f(x, y) = f( x, y)}. Μπορεί να αποδειχθεί ότι C[x, y] G = C[x 2, y 2, xy] (αποδείξτε το) και άρα ο υποδακτύλιος των αναλλοιώτων είναι πεπερασµένα παραγόµενος. 2. Εστω ότι g x = y, g y = x και g f(x, y)) = f(y, x). Μπορεί να αποδειχθεί ότι αναλλοίωτα από τη δράση της G είναι ακριβώς εκείνα τα πολυώνυµα που ανήκουν στον υποδακτύλιο C[x + y, xy] (αποδείξτε το), ο οποίος είναι επίσης πεπερασµένα παραγόµενος. Ενα από τα µεγάλα προβλήµατα που απασχολούσε τους µαθηµατικούς στο τέλος του 19ου αιώνα και αρχές του 20ου είναι η περιγραφή των αναλλοιώτων (14ο πρόβληµα του Hilbert). Ο Hilbert για µία ευρεία τάξη περιπτώσεων έδειξε ότι η υποάλγεβρα των αναλλοιώτων είναι πεπερασµένα παραγόµενη. Στηρίχτηκε σε αυτό που σήµερα είναι γνωστό ως το Θεώρηµα Βάσης του Hilbert, δηλαδή ότι κάθε ιδεώδες στον C[x 1,..., x n ] είναι πεπερασµένα παραγόµενο. Το ϑεώρηµα αυτό γενίκευσε µετέπειτα η Noether για τους δακτυλίους που είναι γνωστοί µε το όνοµά της και έτσι η Noether ανέπτυξε αξιωµατικά την Αντιµεταθετική Άλγεβρα. 1.1.4 Βιβλιογραφία 1. Atiyah, McDonald 2. D. Cox, J. Little, D. O Shea 3. D. Eisenbud 4. Μ. Μαλιάκας 9

1.2. ΠΡΩΤΑ Ι ΕΩ Η 10 1.2 Πρώτα Ιδεώδη Η ενότητα από εδώ και πέρα δεν έχει διορθωθεί. Σε ότι ακολουθεί ο R είναι αντιµεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα, όπως και όλοι οι δακτύλιοι που ϑα συναντήσουµε. 1.2.1 Βασικοί ορισµοί Το ιδεώδες I λέγεται κύριο όταν I = (f) δηλαδή όταν το I έχει έναν µόνο γεννήτορα, και όλα τα στοιχεία του είναι πολλαπλάσια του f. Το ιδεώδες I λέγεται πεπερασµένα παραγόµενο (finitely generated) µε γεννήτορες (generators) f 1,..., f s και συµβολίζου- µε I = (f 1,..., f s ) όταν κάθε στοιχείο f του I είναι συνδυασµός f = a 1 f 1 + a s f s. Υπάρχουν ϐέβαια ιδεώδη σε δακτυλίους που δεν είναι πεπερασµένα παραγόµενα. Για παράδειγµα στον δακτύλιο k[x 1, x 2,...] των πολυωνύµων µε άπειρες µεταβλητές το ιδεώδες που αποτελείται από τα πολυώνυµα µε σταθερό συντελεστή ίσο µε το 0 είναι άπειρα παραγόµενο. Οι δακτύλιοι στους οποίους όλα τα ιδεώδη είναι πεπερασµένα παραγόµενα λέγονται δακτύλιοι της Noether. Θα µιλήσουµε όµως για αυτούς αργότερα. Πρόταση 1.2.1. Εστω P ιδεώδες του R. Το ιδεώδες P είναι πρώτο αν και µόνο αν όποτε AB P για ιδεώδη A, B του R τότε ισχύει ότι A P ή B P. Απόδειξη. Εστω ότι P είναι πρώτο ιδεώδες, AB P και A P και B P. Θα καταλήξουµε σε άτοπο. Από την υπόθεση f A \ P και g B \ P. Αφού fg AB P f g P άτοπο. Για την αντίστροφη κατεύθυνση έστω f g P. Τότε (f)(g) P (f) P ή (g) P. Αν (f) P τότε f P και οµοίως αν (g) P τότε g P. Αν ο δακτύλιος S είναι ακεραία περιοχή, τότε ο δακτύλιος S[x 1,..., x n ] είναι ακεραία περιοχή και το ιδεώδες (x 1 ) είναι πρώτο, αφού S[x 1,..., x n ]/(x 1 ) = S[x 2,..., x n ]. Το ιδεώδες (x 1,..., x n ) είναι µέγιστο στον δακτύλιο k[x 1,..., x n ] όταν το k είναι σώµα, αφού k[x 1,..., x n ]/(x 1,..., x n ) = k. Ασκηση 1.2.2. Να αποδείξετε ότι το ιδεώδες (x 2 + 1) είναι πρώτο στο δακτύλιο Z[x]. Να ϐρείτε κάποιο µέγιστο ιδεώδες που να το περιέχει. Θυµίζουµε ότι το σύνολο R/I είναι δακτύλιος µε πολλαπλασιασµό (f + I)(g + I) = fg + I. Αν το ιδεώδες I είναι µέγιστο και f / I τότε το ιδεώδες (f) + I δεν µπορεί να είναι γνήσιο. Ισούται λοιπόν µε το R. Επεται ότι 1 (f) + I και 1 = uf + i όπου i I. Ετσι στον δακτύλιο R/I έχουµε (f + I)(u + I) = (1 i) + I = 1 + I. Τα µη µηδενικά στοιχεία είναι αντιστρέψιµα και R/I είναι σώµα. Αντίστροφα έστω ότι R/I είναι σώµα. Αν J είναι ιδεώδες που περιέχει το I µε f J \ I, τότε (f + I)(u + I) = 1 + I γιά κάποιο u εποµένως 1 = uf + i και R = (f) + I J. Αναγκαστικά J = R και I µέγιστο. Μία άλλη παρατήρηση είναι ότι τα ιδεώδη του R/I ϐρίσκονται σε µία προς µία αντιστοιχία µε τα ιδεώδη του R που περιέχουν το I. Ετσι J/I J και (I 1 + I)/I I 1. Τα πρώτα ιδεώδη του δακτυλίου Z είναι το (0) και τα ιδεώδη (p) όπου p είναι πρώτος αριθµός είναι πρώτα και µάλιστα µέγιστα αφού Z p = Z/pZ είναι ακεραία περιοχή και µάλιστα σώµα. Γενικά τα πρώτα ιδεώδη δεν είναι µέγιστα. ώσαµε στη προηγούµενη ενότητα παραδείγµατα πρώτων ιδεωδών στο δακτύλιο πολυωνύµων πάνω από σώµα. Θα δείξουµε τώρα τη ϐασική τεχνική (το πρώτο ϑεώρηµα ισοµορφίας) που χρησιµοποιούµε για να δείξουµε ότι ένα ιδεώδες για παράδειγµα το ιδεώδες (x 1, y) είναι µέγιστο στο δακτύλιο k[x, y]. 10

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. 11 Πράγµατι ο πυρήνας του επιµορφισµού φ : k[x, y] k, x 1, y 0 είναι ακριβώς το προαναφερόµενο ιδεώδες. Θυµίζουµε ότι για να οριστεί ο οµορφισµός φ στον k[x, y] αρκεί να ορίσουµε την εικόνα του στα στοιχεία x και y. Θυµίζουµε επίσης τα τρία ϑεωρήµατα ισοµορφισµού 1. Αν f : R S είναι οµοµορφισµός δακτυλίων τότε R/ Ker f = Im f. 2. I/(I J) = (I + J)/J 3. (R/I)/(J/I) = R/J. Τέλος ϑα µας ϕανεί ιδιαίτερα χρήσιµο το Λήµµα του Zorn. Θυµίζουµε ότι το Λήµµα του Zorn είναι ισοδύναµο µε το Αξίωµα της Επιλογής και λέει ότι αν ένα µη κενό µερικά διατεταγµένο σύνολο A έχει την ιδιότητα ότι κάθε αλυσίδα του έχει ένα άνω όριο στο A τότε το A έχει ένα µέγιστο στοιχείο. Θα δώσουµε µία πρώτη εφαρµογή µε την επόµενη πρόταση : Πρόταση 1.2.3. Εαν το I είναι γνήσιο ιδεώδες τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα µέγιστο ιδεώδες που περιέχει το I. Απόδειξη. Εστω S το σύνολο των ιδεωδών που περιέχουν το I και είναι γνήσια, (S ). Ορίζουµε µία σχέση µερικής διάταξης στο S: J 1 J 2 εαν και µόνο εάν J 1 J 2. Αν L είναι µία αλυσίδα στο L τότε η ένωση J i όπου J i L είναι γνήσιο ιδεώδες και αποτελεί το άνω ϕράγµα για το L. Σύµφωνα µε το Λήµµα του Zorn το S έχει ένα µέγιστο στοιχείο. Προς το παρόν έχουµε δει τις παρακάτω πράξεις στα ιδεώδη : I J, I+J, IJ. Τονίζουµε ότι το σύνολο I J δεν είναι στη γενικότητα ιδεώδες. Πέρα από τις πράξεις στα ιδεώδη που αναφέραµε, ϑα ορίσουµε και το ιδεώδες πηλίκο, (I : J) = {r R rj I}. Πράγµατι, µπορεί εύκολα να επιβεβαιώσει κανείς ότι το παραπάνω σύνολο είναι ιδεώδες. Ετσι αν I = (xy), J = (x) στον δακτύλιο R = C[x, y] τότε (I : J) = (y), και (J : I) = R. Ασκηση 1.2.4. Να επιβεβαιώσετε ότι (I : J) είναι ιδεώδες. Ασκηση 1.2.5. Εστω I = (x 2 ), J 1 = (x, y), J 2 = (x + z) στον δακτύλιο R = C[x, y, z]. Να υπολογίσετε το (I : J 1 ), (I : J 2 ). Θα συµβολίζουµε το σύνολο των πρώτων ιδεωδών του R µε Spec(R) ενώ το σύνολο των µεγίστων ιδεδών µε maxspec(r). Πρόταση 1.2.6. Εστω U ένα σύνολο που είναι πολλαπλασιαστικό κλειστό και έστω Q το ιδεώδες (αν υπάρχει) που είναι µέγιστο ανάµεσα στα ιδεώδη που η τοµή τους µε το U είναι κενή. Τότε το Q είναι πρώτο. Απόδειξη. Εστω fg Q αλλά f, g / Q. Τότε αφού το Q δεν είναι ίσο και περιέχεται στο (f) + Q συνεπάγεται ότι ((f) + Q) U και οµοίως για το ιδεώδες (g) + Q. Εστω af + i U, bg + j U, i, j Q. Τότε h = (af + i)(bg + j) U Q, άτοπο. Εχουµε το επόµενο πόρισµα. Π ρισµα 1.2.7. rad(i) = P Spec(R)I P P 11

1.2. ΠΡΩΤΑ Ι ΕΩ Η 12 Απόδειξη. f rad(i) f m I f m P f P. Γιά την άλλη κατεύθυνση, έστω ότι το στοιχείο f είναι στην τοµή των πρώτων ιδεωδών που περιέχουν το I, όχι όµως και στο ϱιζικό του I. Τότε ϑέτουµε U = {f n n 1}. Το σύνολο U + I είναι πολλαπλασιαστικό κλειστό στο R/I και το µηδενικό ιδεώδες αυτού του δακτυλίου περιέχεται στο σύνολο των ιδεωδών του R/I που η τοµή τους µε το U + I είναι ίση µε το κενό. Επεται ότι υπάρχει πρώτο ιδεώδες P/I µε αυτή τη ιδιότητα. Συνεπώς f + I / P/I, και f / P, άτοπο. Ετσι έχουµε τη περιγραφή του συνόλου των µηδενοδύναµων στοιχείων : Π ρισµα 1.2.8. rad((0)) = P Spec(R) P Ασκηση 1.2.9. Να υπολογισθεί το σύνολο των µηδενοδύναµων στοιχείων του δακτυλίου R = C[x, y, z]/(x 2, xy 3, y 2 z 4 ). Θυµίζουµε ότι στο Z 6 το 2 είναι πρώτο αλλά όχι ανάγωγο αφού 2 = 2 4 ενώ στο Z[ 3] το 2 είναι ανάγωγο αλλά όχι πρώτο, αφού 2/(1 + 3)(1 3). Οµως αν το R είναι ακεραία περιοχή τότε κάθε πρώτο στοιχείο είναι και ανάγωγο, και όταν το R είναι περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης τότε τα ανάγωγα είναι και πρώτα. Ασκηση 1.2.10. Να δείξετε ότι το 2 είναι ανάγωγο αλλά όχι πρώτο στο Z[ 3]. Ασκηση 1.2.11. Να δείξετε ότι όταν το R είναι περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης τότε τα ανάγωγα είναι και πρώτα. Επίσης ο δακτύλιος λέγεται τοπικός (local) και συµβολίζεται µε (R, m, k = R/m) αν ο R έχει ένα µοναδικό µέγιστο ιδεώδες m, για παράδειγµα ο δακτύλιος (Z 4, ( 2), Z 2 ). Ο δακτύλιος R λέγεται ηµιτοπικός (semilocal) αν ο R έχει πεπερασµένο αριθµό µεγίστων ιδεωδών, για παράδειγµα ο δακτύλιος Z 6 έχει δύο µέγιστα ιδεώδη, ( 2), ( 3). Προκύπτει εύκολα το παρακάτω Πρόταση 1.2.12. x m maxspec(r) m 1 xy είναι αντιστρέψιµο για κάθε y R. Απόδειξη. Εστω ότι x m maxspec(r) m. Αν το στοιχείο 1 xy δεν ήταν αντιστρέψιµο τότε το ιδεώδες (1 xy) ϑα έπρεπε να περιέχεται σε κάποιο µέγιστο ιδεώδες. Εποµένως 1 xy m και συνεπώς 1 m, άτοπο. Για το αντίστροφο αν υπάρχει ένα µέγιστο ιδεώδες m έτσι ώστε x / m τότε το ιδεώδες m + (x) = R, συνεπώς 1 = r + xy και 1 xy = r, άτοπο. Ασκηση 1.2.13. Να υπολογισθεί x m maxspec(k[x,y]) m Τονίζουµε ότι το ευθύ γινόµενο δύο δακτυλίων όπου η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασµός γίνονται στις συνιστώσες δεν είναι ακεραία περιοχή µιάς και (1, 0) (0, 1) = (0, 0). Επίσης αν J 1, J 2 είναι δύο ιδεώδη του R και φ : R R/J 1 R/J 2, φ(r) = (r +J 1, r +J 2 ) τότε φ είναι οµοµορφισµός δακτυλίων και ker φ = J 1 J 2. Ασκηση 1.2.14. Να δείξετε ότι αν J 1 + J 2 = R τότε ο φ είναι επιµορφισµός. Π ρισµα 1.2.15. (Prime Avoidance Theorem) Εστω P 1,..., P n Spec(R) και I P 1... P n. Τότε I P i για κάποιο i. 12

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. 13 Απόδειξη. Με επαγωγή, µε n = 1 ξεκάθαρο. Υποθέτουµε ότι ισχύει για n 1, ελέγχουµε για n. Εστω ότι I δεν περιέχεται σε κανένα από τα P i. Θα δείξουµε ότι υπάρχει ένα στοιχείο του I που δεν περιέχεται στην ένωση των P i και άρα το I δεν είναι υποσύνολο αυτής της ένωσης. Από την επαγωγή έπεται ότι υπάρχουν τέτοια στοιχεία για την ένωση των n 1 ιδεωδών, δηλαδή υπάρχουν x i I, έτσι ώστε x i / P 1... ˆP i... P n, µε άλλα λόγια x i / P j, j i. Αν κάποιο από όλα τα x i / P i, τότε ϐρήκαµε το Ϲητούµενο στοιχείο. Αν όµως για κάθε i, x i P i τότε ϑα ϑεωρήσουµε το στοιχείο y = x 1 ˆx i x n. Παρατηρούµε ότι y ανήκει στο I, και αφού όλοι οι προσθετέοι εκτός από τον x 1 ˆx i x n ανήκουν στο P i το y / P i. Ασκηση 1.2.16. Να αποδείξετε ότι στον δακτύλιο R = k[x, y] το ιδεώδες (x, y) περιέχεται στην ένωση άπειρων πρώτων ιδεωδών P i έτσι ώστε κανένα από τα P i δεν περιέχει το (x, y). Παρατηρούµε επίσης ότι αν φ : R S οµοµορφισµός δακτυλίων και I ιδεώδες στο R τότε φ(i) δεν είναι αναγκαστικά ιδεώδες στο S για παράδειγµα το σύνολο 2Z είναι ιδεώδες στο Z όχι όµως στο Q ενώ αν J είναι ιδεώδες στο S, τότε το φ 1 (J) είναι ιδεώδες στο R, αφού rf 1 (j) f 1 (f(r)j). Ορίζουµε I e τη προέκταση του I (extension ) να είναι το ιδεώδες του S που παράγεται από τα στοιχεία του συνόλου I στο S και J c = φ 1 (J) να είναι η συστολή του J (contraction) στον R. Ασκηση 1.2.17. Να αποδείξετε ότι αν Q Spec(S) τότε φ 1 (Q) Spec(R). Θεώρηµα 1.2.18. (Θεώρηµα Αποφυγής Πρώτων Ιδεωδών) Εστω ότι P 1... P n Spec(R). Εστω I ιδεώδες του R έτσι ώστε I P 1... P n. Τότε I P i για κάποιο i = 1,..., n. Απόδειξη. Θα κάνουµε επαγωγή στον αριθµό των πρώτων ιδεωδών, το n. Η πρόταση είναι προφανής για n = 1. Υποθέτουµε ότι ισχύει όταν ο αριθµός των πρώτων ιδεωδών είναι 1. Εστω λοιπόν ότι I P 1... P n. Θα δείξουµε ότι I P i για κάποιο i = 1,..., n. Υποθέτουµε αντίθετα ότι I P i για i = 1,..., n. Θεωρούµε τα παρακάτω n σύνολαενώσεις : J i = P 1... ˆP i... P n, i = 1,..., n. Εάν I J i για κάποιο i, τότε σύµφωνα µε την υπόθεση της επαγωγής έπεται ότι υπάρχει κάποιο j = 1,..., î,..., n, έτσι ώστε I P j, άτοπο. Άρα I J i για κάθε i = 1,..., n. Επεται ότι f i I µε f i I και f i / J i. Άρα f i / P j όταν j i. Σηµειώστε ότι αναγκαστικά f i P i αφού I P 1... P n. Βρίσκουµε n τέτοια στοιχεία f 1,..., f n. Ορίζουµε g = f 2 f n + f 1 f 3 f n +... + f 1 f n 1 = n i=1 f 1 ˆf i f n. Σηµειώστε ότι f 1 ˆf j f n P i όταν i j. Αφού g I έπεται ότι g P i για κάποιο i = 1,..., n. Άρα g j i f 1 ˆf j f n = f 1 ˆf i f n P i. Αφού P i είναι πρώτο ιδεώδες έπεται ότι κάποιο από τα f j, j i, ανήκει στο P i. Αυτό όµως είναι άτοπο. Παρατήρηση 1.2.19. Ας δούµε αναλυτικά την απόδειξη όταν n = 2. Εστω I P 1 P 2 µε I P 1 και I P 2. Επεται ότι f 2 I έτσι ώστε f 2 / P 1. Αναγκαστικά f 2 P 2. Οµοίως f 1 I έτσι ώστε f 1 / P 2 και άρα f 1 P 1. Τότε g = f 1 + f 2 I. Αναγκαστικά g P 1 ή P 2. Αν g P 1 g f 1 = f 2 P 1 άτοπο. Οµοίως αν g P 2. Παρατηρούµε λοιπόν ότι ισχύει το εξής, αφού δεν χρειάστηκε στην παραπάνω απόδειξη να χρησιµοποιήσουµε ότι P 1, P 2 είναι πρώτα ιδεώδη : Αν για ιδεώδη I, I 1, I 2 ισχύει ότι I I 1 I 2 τότε I I 1 ή I I 2. Ασκηση 1.2.20. Στο Θεώρηµα Αποφυγής Πρώτων Ιδεωδών, είναι αναγκαίο τα ιδεώδη P i για i = 1,..., n να είναι πρώτα ; 13