Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διπλά Ολοκληρώματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD
Ορθογώνια Χωρία Ορισμός n f( x, y) da lim f( x, y ) = Α Α 0 k = k k k Άθροισμα iemann
Ιδιότητες Διπλών Ολοκληρωμάτων Η συνέχεια της f στο φραγμένο χωρίο εγγυάται την ύπαρξη του διπλού ολοκληρώματος. Δεν είναι όμως αναγκαία συνθήκη. kf ( x, y) da = k f ( x, y) da ( ) f ± g da = f da ± g da f da 0αν f 0στο f da g da αν f g στο f da = f da + f da, = f ave A 2 f ( x, y) da 2 = Μέση Τιμή της Συνάρτησης στο
Θεώρημα Fubini db f ( x, y) da = f ( x, y) dx dy = f ( x, y) dy dx bd = [ ab, ]x[c,d] c a a c Διαδοχικά Ολοκληρώματα f ( x, y) dx dy = f ( x, y) dx dy f ( x, y) dy dx = f ( x, y) dy dx d b d b γράφεται και ως dy (, ) c a c a bd b d a c a c d c b a f x y dx γράφεται και ως dx (, ) b a d c f x y dy
Διαδοχικά Ολοκληρώματα Διαχωρίσιμης Συνάρτησης σε Ορθογώνιο Χωρίο Αν η ολοκλήρωση γίνεται πάνω σε ορθογώνιο χωρίο με πλευρές παράλληλες προς τους άξονες x και y: και αν η f είναι διαχωρίσιμη, δηλ. μπορεί να γραφεί ως τότε ισχύει: = [ ab, ] [c, d] f( xy, ) = hxgy ( ) ( ) h( x) g( y) dx dy = h( x) g( y) dy dx = h( x) dx g( y) dy db bd b d c a a c a c Προσοχή: Η σχέση δεν ισχύει γενικά για μη ορθογώνια χωρία
Μη Ορθογώνια Χωρία Η καμπύλη του συνόρου πρέπει να είναι κατά τμήματα (τουλάχιστον) ομαλή Ο ορισμός είναι ίδιος με την περίπτωση του ορθογώνιου χωρίου, μόνον που τώρα στο άθροισμα iemann εμπλέκονται μόνον τα γκρι ορθογώνια της εικόνας, δηλ. αυτά που περικλείονται ολόκληρα στο εσωτερικό του χωρίου f( x, y) da= lim f( x, y ) Α Α 0 k k k k
Γενικευμένο Θεώρημα Fubini : : a x b g ( x) y g ( x) 2 c y d h( y) x h ( y) 2 2 ( y) f ( x, y) da = f ( x, y) dx dy c h ( y) d b h g 2 ( x) f ( x, y) da = f ( x, y) dy dx Προσοχή: Στα εξωτερικά όρια επιτρέπονται μόνον σταθερές a g (x)
Χωρία και Σειρά Ολοκλήρωσης Για να ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς x θα πρέπει κάθε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των x α) να τέμνει το σύνορο του χωρίου σε δύο σημεία το πολύ β) να τέμνει πάντοτε τις ίδιες καμπύλες του συνόρου Σε αντίθετη περίπτωση το χωρίο πρέπει να χωρισθεί σε υποχωρία Τα αντίστοιχα πρέπει να συμβαίνουν αν θέλουμε να ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς y Οριζόντια απλό χωρίο: Ολοκλήρωση πρώτα ως προς x Κάθετα απλό χωρίο: Ολοκλήρωση πρώτα ως προς y Πρέπει να χωρισθεί σε υποχωρία
Επιλογή Σειράς Ολοκλήρωσης Η επιλογή της σειράς ολοκλήρωσης -αν και το αποτέλεσμα που παίρνουμε είναι το ίδιο σε κάθε περίπτωση- είναι σημαντική. Κριτήρια επιλογής Επιλέγουμε τη σειρά ολοκλήρωσης κατά την οποία τα ολοκληρώματα που καλούμαστε να υπολογίσουμε είναι απλούστερα. (Επίσης μπορεί να προκύψει περίπτωση που σε συγκεκριμένη σειρά ολοκλήρωσης κάποιο ολοκλήρωμα είναι αδύνατο να υπολογισθεί. Τότε, προφανώς, επιλέγουμε την άλλη σειρά ολοκλήρωσης.) Επιλέγουμε τη σειρά ολοκλήρωσης κατά την οποία τα χωρία ολοκλήρωσης είναι απλούστερα.
Σύνοψη Οριζόντια απλό χωρίο Γραμμές παράλληλες στον Ox d c h( y) Κάθετα απλό χωρίο a g ( x) 2 b h ( y) 2 Γραμμές παράλληλες στον Oy g ( x) Ολοκλήρωση πρώτα ως προς x. Το αποτέλεσμα του εσωτερικού ολοκληρώματος θα είναι μία συνάρτηση μόνον του y (το x εξαλείφεται) d h2 ( y) f ( x, y) da = f ( x, y) dx dy c h ( y) Σταθερές (τα όρια του y) Συναρτήσεις μόνο του y (τα όρια του x) Ολοκλήρωση πρώτα ως προς y. Το αποτέλεσμα του εσωτερικού ολοκληρώματος θα είναι μία συνάρτηση μόνον του x (το y εξαλείφεται) b g2 ( x) f ( x, y) da = f ( x, y) dy dx (x) a g Σταθερές (τα όρια του x) Συναρτήσεις μόνο του x (τα όρια του y)
Διπλά Ολοκληρώματα σε Πολική Μορφή Ακτινικά Απλό Χωρίο ΜικρόςΤομέας β g 2 ( θ ) f (, r θ) da = f (, r θ) r dr dθ α g ( θ) Μεγάλος Τομέας
Αντικαταστάσεις σε Διπλά Ολοκληρώματα x= guv (, ), y= huv (, ) f ( x, y) dx dy = f g( u, v), h( u, v) J ( u, v) du dv G ( ) Ιακωβιανή Ισχύει Juv (, ) = J( xy, ) ( xy, ) xu xv Juv (, ) = = = xy u v yx u v ( xy, ) ( uv, ) yu y = v ( uv, ) ( uv, ) π.χ. Μετατροπή σε πολικές συντεταγμένες ( xy, ) x= g(, r θ) = rcos θ, y = h(, r θ) = rsinθ ( xy, ) xr xθ cosθ r sinθ 2 2 Juv (, ) = = = = r( cos θ + sin θ) = r (, r θ ) y y sinθ r cosθ r θ ( ) f ( x, y) dx dy = f r cos θ, r sin θ r dr dθ, r > 0 G
Όγκοι Όγκος μεταξύ επιφάνειας z = f( xy, ) και του χωρίου στο Οxy V= f( xyda, ), f( xy, ) 0 Όγκος στερεών εκ περιστροφής χωρίου του επιπέδου Οxy V = 2π y dxdy Περιστροφή του γύρω από τον άξονα των x V = 2π x dxdy Περιστροφή του γύρω από τον άξονα των y
Εμβαδά Εμβαδό φραγμένου χωρίου στο επίπεδο xy A A = = dxdy rdrdθ Καρτεσιανές συντεταγμένες Πολικές συντεταγμένες Εμβαδό επιφάνειας z = f( xy, ) A = + f + f dxdy 2 2 S x y (Πρέπει: fx, fy συνεχείς)
Μάζα Συστήματος Ροπές χωρίων του επιπέδου xy Πυκνότητα Μάζα Πρώτες Ροπές Κέντρο μάζας M x Ροπές αδρανείας ( 2 2) ρ( xy, ) = ρ I y ρ( x, y) da = 2 x 2 I y = x ρ( x, y) da ( x, y) da M y ρ( x, y) da x = M y =, y = M M M I0 = x + y ρ( x, y) da = I x + I y M x ρ( x, y) da y = Ως προς τον άξονα x Ως προς τον άξονα y x Ως προς τον άξονα x Ως προς τον άξονα y Ως προς την αρχή (πολική ροπή)