Καλώς ήρθατε στην Τοπολογία! http://eclass.uoa.gr/courses/math451/ Χειμερινό Εξάμηνο 2015-16

Υπενθύμιση: Η τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης Εστω K ένα σύνολο (π.χ. K = [a,b]) και f n,f : K R φραγμένες συναρτήσεις (bounded functions). Λέμε f n f ομοιόμορφα στο K (converges uniformly on K) αν f n f 0 όπου f n f = sup{ f n (x) f (x) : x K}. Δηλαδή αν (X,ρ) είναι ο μετρικός χώρος με στοιχεία τις φραγμένες συναρτήσεις g : K R, λέμε f n f ομοιόμορφα στο K αν ρ(f n,f ) 0, ισοδύναμα αν για κάθε V X ρ-ανοικτό σύνολο (ρ-open set) με f V υπάρχει n 0 N ώστε για κάθε n n 0 να ισχύει f n V. Η ομοιόμορφη σύγκλιση περιγράφεται μέσω ρ-ανοικτών συνόλων και μόνο. Το ίδιο ισχύει για τη συνέχεια (continuity), τη συμπάγεια (compactness) κ.λπ. (στον χώρο (X, ρ)).

Η τοπολογία της σύγκλισης κατά σημείο Λέμε f n f κατά σημείο (pointwise) αν για κάθε x K ισχύει f n (x) f (x). Υπάρχει κάποια μετρική d στο X που να περιγράφει τη σύγκλιση κατά σημείο; Απάντηση: Οχι! Υπάρχει όμως περιγραφή μέσω κατάλληλων «ανοικτών συνόλων», όπως θα δούμε αργότερα.

Υπενθύμιση: Τοπολογία μετρικών χώρων Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος. Αν x X και ε > 0 γράφουμε B(x,ε) := {y X : ρ(x,y) < ε}. Η οικογένεια T ρ = {A X : x A ε > 0 : B(x,ε) A} των ανοικτών υποσυνόλων του X (ως προς τη μετρική ρ) έχει τις εξής βασικές ιδιότητες: (i) /0,X T ρ, (ii) Η τομή (intersection) πεπερασμένου πλήθους στοιχείων της T ρ ανήκει στην T ρ. Δηλαδή αν n N και G 1,G 2,...,G n T ρ τότε n i=1 G i T ρ και (iii) Η ένωση (union) αυθαίρετης οικογένειας στοιχείων της T ρ ανήκει στην T ρ. Δηλαδή αν I αυθαίρετο σύνολο δεικτών και G i T ρ i I τότε i I G i T ρ.

Τοπολογικοί χώροι Ορισμός Εστω X σύνολο. Μια οικογένεια T υποσυνόλων του X καλείται τοπολογία στο X, αν: (i) /0,X T, (ii) Κάθε πεπερασμένη τομή στοιχείων της T ανήκει στην T. Δηλαδή αν n N και G 1,G 2,...,G n T τότε n i=1 G i T και (iii) Κάθε ένωση στοιχείων της T ανήκει στην T. Δηλαδή αν I αυθαίρετο σύνολο δεικτών και G i T i I τότε i I G i T. Το ζεύγος (X,T) X καλείται τοπολογικός χώρος και τα στοιχεία της T καλούνται ανοικτά σύνολα (ως προς T ή του (X,T)).

Τοπολογικοί χώροι Παράδειγμα Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος. Αν x X και ε > 0 γράφουμε B(x,ε) := {y X : ρ(x,y) < ε}. Η οικογένεια T ρ = {A X : x A ε > 0 : B(x,ε) A} των ανοικτών υποσυνόλων του X (ως προς τη μετρική ρ) είναι τοπολογία στο X και καλείται η μετρική τοπολογία που καθορίζεται από τη ρ. Ορισμός Ενας τοπολογικός χώρος (X, T) λέγεται μετρικοποιήσιμος (metrisable) αν υπάρχει μετρική ρ στο X, τέτοια ώστε T = T ρ. Στην περίπτωση αυτή, η τοπολογία T λέγεται μετρικοποιήσιμη.

Τοπολογικοί χώροι Παρατηρήσεις Εστω X μη κενό σύνολο. (α) Η τετριμμένη (trivial) τοπολογία T t είναι η οικογένεια T t = {/0,X } (κανένα μη τετριμμένο ανοικτό). Αν ο X έχει τουλάχιστον δύο στοιχεία, η T t δεν είναι μετρικοποιήσιμη (γιατί σε κάθε T ρ, κάθε X \ {x} είναι ανοικτό). (β) Η διακριτή (discrete) τοπολογία T d είναι η οικογένεια T d = P(X ) (όλα ανοικτά). Η T d είναι μετρικοποιήσιμη (T d = T ρd, όπου ρ d (x,y) = 1 όταν x y και ρ d (x,x) = 0). Κάθε τοπολογία T στο X ικανοποιεί T t T T d.

Η παραγόμενη τοπολογία Πρόταση Εστω X σύνολο και T 1,T 2 δύο τοπολογίες στο X. Τότε η T 1 T 2 είναι τοπολογία στο X. Γενικότερα αν (T i ) i I είναι οικογένεια τοπολογιών στο X, τότε η i I T i είναι τοπολογία στο X. Πόρισμα Εστω X σύνολο και C P(X ). Τότε υπάρχει η μικρότερη τοπολογία T στο X ώστε η T να περιέχει τη C. Είναι η ένωση τοπολογιών τοπολογία; Παράδειγμα Στο X = {a,b,c}, θέτω T 1 = {/0,X,{a}} και T 2 = {/0,X,{b}}. Οι T 1 και T 2 είναι τοπολογίες στο X, αλλά η T 1 T 2 δεν είναι τοπολογία, αφού τα {a},{b} ανήκουν στην T 1 T 2 ενώ {a} {b} = {a,b} / T 1 T 2.

Βάση Τοπολογίας Ορισμός Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος και B υποοικογένεια της T. Η B καλείται βάση για την T, αν κάθε ανοικτό σύνολο είναι μια ένωση στοιχείων της B. Δηλαδή, αν G T υπάρχει (B i ) i I οικογένεια στοιχείων της B, ώστε G = i I B i. Τα στοιχεία της B λέγονται βασικά ανοικτά σύνολα (basic open sets). Πρόταση Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος και B T. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (i) Η B είναι βάση για την T. (ii) Για κάθε G T και για κάθε x G, υπάρχει B B ώστε x B και B G. Στην περίπτωση αυτή, για κάθε G X έχουμε: G T x G B B ώστε x B G.

Βάση Τοπολογίας Θεώρημα Εστω X σύνολο και B P(X ). Η B είναι βάση για μία τοπολογία στο X, αν και μόνο αν: (αʹ) X = B {B : B B} και (βʹ) Αν B 1,B 2 B και x B 1 B 2, τότε υπάρχει B 3 B ώστε x B 3 B 1 B 2. Η ιδιότητα (β ) ισοδυναμεί με την: (γ ) για κάθε B 1,B 2 B, το B 1 B 2 είναι ένωση στοιχείων της B. Μια οικογένεια B που ικανοποιεί τις (α ) και (β ) είναι βάση για μία μοναδική τοπολογία. Παράδειγμα Στο R, η οικογένεια B = {(a,b] : a,b R,a b} (όπου (a,a] = /0) είναι βάση για μια τοπολογία, την τοπολογία των αριστερά ημιανοικτών διαστημάτων (left semi-open intervals). Ο τοπ. χώρος (R,T S ) συμβολίζεται επίσης R S.

Υποβάση Τοπολογίας Ορισμός Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος. Μια υποοικογένεια C της T καλείται υποβάση (subbasis) για την T αν η οικογένεια των πεπερασμένων τομών στοιχείων της C αποτελεί βάση για την T. Δηλαδή, αν η { } n B = C i : n N,C i C για i = 1,2,...,n {X } i=1 είναι βάση για την T. Πρόταση Εστω C οικογένεια υποσυνόλων ενός συνόλου X. Τότε υπάρχει μοναδική τοπολογία T στο X που έχει υποβάση τη C.

Κλειστά σύνολα Ορισμός Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος. Ενα F X καλείται κλειστό (closed) στο X (ή κλειστό ως προς T), αν το συμπλήρωμά του (its complement) είναι ανοικτό. Δηλαδή το F είναι κλειστό αν F c T. Πρόταση Εστω (X, T) τοπολογικός χώρος. Τότε: (i) Τα /0,X είναι κλειστά στο X. (ii) Η πεπερασμένη ένωση κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύνολο. (iii) Η αυθαίρετη τομή κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύνολο.

Κλειστά σύνολα: Παραδείγματα (α) Σε διακριτό τοπολογικό χώρο (X,T d ) όλα τα υποσύνολα είναι κλειστά (και συγχρόνως ανοικτά). (β) Σε τετριμμένο τοπολογικό χώρο (X,T t ) τα μόνα κλειστά σύνολα είναι τα /0,X. (γ) Αν ο (X,T) έχει τη συμπεπερασμένη (cofinite) τοπολογία, τότε τα κλειστά σύνολα είναι τα πεπερασμένα και το X. (δ) Αν (X, T) έχει τη συναριθμήσιμη (co-countable) τοπολογία, τότε τα κλειστά σύνολα είναι τα αριθμήσιμα και το X. (Εδώ, T = {A X : A c αριθμήσιμο} {/0}.) (ε) Στον (R,T S ) κάθε (a,b] είναι ανοικτό και συγχρόνως κλειστό.

Παρατήρηση Η συναριθμήσιμη τοπολογία T σ ένα σύνολο X είναι μετρικοποιήσιμη αν και μόνον αν το X είναι αριθμήσιμο. Πράγματι, αν το X είναι αριθμήσιμο τότε η τοπολογία είναι η διακριτή (όλα είναι κλειστά, άρα όλα ανοιχτά) που είναι μετρικοποιήσιμη. Αν όχι, τότε όλα τα ανοιχτά (μη κενά) τέμνονται, πράγμα που δεν συμβαίνει σε μετρικούς χώρους (διαφορετικά σημεία χωρίζονται από ξένα ανοιχτά). Πράγματι, αν A,B T είναι μη κενά, τότε A c,b c αριθμήσιμα, άρα A c B c αριθμήσιμο, άρα X και συνεπώς A B /0.

Κλειστή θήκη συνόλου Ορισμός Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος και A X. Το σύνολο {F : F c T, F A} = {F : F A και F κλειστό} λέγεται κλειστή θήκη (closure) του A και συμβολίζεται Ā ή cl T A. Παρατήρηση Το Ā είναι κλειστό σύνολο, περιέχει το A και είναι το μικρότερο κλειστό σύνολο που περιέχει το A.

Κλειστή θήκη συνόλου Πρόταση Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος. Τότε για κάθε A,B X : (i) Ā A (ii) A κλειστό Ā = A (iii) cl(cla) = cla (iv) Αν A B, τότε Ā B (v) (A B) = Ā B

Εσωτερικό συνόλου Ορισμός Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος και A X. Το σύνολο {G : G A και G ανοικτό} = {G T : G A} λέγεται εσωτερικό (interior) του A και συμβολίζεται A ή int T A. Παρατήρηση Το A είναι ανοικτό σύνολο περιέχεται στο A και είναι το μεγαλύτερο ανοικτό σύνολο που περιέχεται στο A.

Εσωτερικό συνόλου Πρόταση Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος. Τότε για κάθε A,B X : (i) A A (ii) A T A = A (iii) (A ) = A (iv) Αν A B, τότε A B (v) (A B) = A B

Συνοψίζουμε Σε ένα τοπολογικό χώρο (X,T), A X : : τα εσωτερικά σημεία του A. A = {G T : G A} : τα σημεία επαφής του A. A = {F : F c T, F A} G X ανοικτό G = G F X κλειστό F = F G ανοικτό,f κλειστό,g A F = G A A A F

Κλειστή θήκη κι εσωτερικό Πρόταση Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος και A X. Τότε (i) X \ A = (X \ A) ή ισοδύναμα, A = X \ (X \ A). (ii) X \ A = (X \ A) ή ισοδύναμα, A = X \ (X \ A). Πρόταση Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος, A X και x X. Τότε x A G A /0 για κάθε G T με x G. Πρόταση Αν B είναι βάση για την T, για κάθε A X και x X, έχουμε x A B A /0 για κάθε B B με x B.

Κλειστή θήκη κι εσωτερικό Πρόταση Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος, A X και x X. Τότε x A o υπάρχει G T με x G και G A.

Πυκνά υποσύνολα Ορισμός Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος και D X. Το D λέγεται πυκνό (dense) στο X (ή πυκνό υποσύνολο του X ) αν D = X. Ενα υποσύνολο D είναι πυκνό αν και μόνο αν G D /0 G T, G /0. Αν B είναι βάση για την T, το D είναι πυκνό αν και μόνο αν B D /0 B B, B /0. Παραδείγματα (α) Αν (X,T t ) είναι τετριμμένος τοπολογικός χώρος, κάθε μη κενό D X είναι πυκνό. (β) Αν (X,T d ) είναι διακριτός τοπολογικός χώρος, κανένα D X δεν είναι πυκνό στο X. (γ) Στον R S το Q είναι πυκνό, διότι Q (a,b] /0 για κάθε a,b R με a < b.

Σημεία συσσώρευσης Ορισμός Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος, A X και x X. Το x καλείται σημείο συσσώρευσης του A (accumulation point) αν για κάθε G T με x G ισχύει A G \ {x} = /0. Συμβολίζουμε A το σύνολο των σημείων συσσώρευσης του A. Το A καλείται παράγωγο σύνολο του A. Κάθε σημείο του A που δεν είναι σημείο συσσώρευσης, καλείται μεμονωμένο σημείο (isolated point) του A. Ενα στοιχείο x είναι σημείο συσσώρευσης του A αν και μόνο αν x A \ {x}. Πράγματι, έχουμε ότι x A \ {x} αν και μόνο αν για κάθε ανοικτό σύνολο G με x G ισχύει (A \ {x}) G /0, δηλαδή A G \ {x} = /0.

Σημεία συσσώρευσης Πρόταση Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος και A X. Τότε (i) A = A A (ii) το A είναι κλειστό αν και μόνο αν A A.

Σύνορο Ορισμός Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος και A X. Το σύνολο A (X \ A) καλείται σύνορο (boundary) του A και συμβολίζεται με BdA ή (A). Το σύνορο ενός συνόλου είναι κλειστό σύνολο, ως τομή κλειστών συνόλων. Επιπλέον ισχύει ότι BdA = BdA c για κάθε A X, δηλαδή κάθε σύνολο έχει το ίδιο σύνορο με το συμπλήρωμά του. Πρόταση Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος και A X. Τότε (i) BdA = A \ A (ii) BdA A = /0 (iii) A = BdA A (iv) Τα σύνολα A,(X \ A),BdA διαμερίζουν το X.

Σύνορο Πρόταση Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος και A,B X. Τότε (i) Bd(/0) = /0 (ii) BdA = Bd(A c ) (iii) Bd(BdA) BdA (iv) A B Bd(A B) = A B (BdA BdB) (v) Το A είναι ανοικτό αν και μόνο αν A BdA = /0 (vi) Το A είναι κλειστό αν και μόνο αν BdA A.

Περιοχές και βάσεις περιοχών Ορισμός (Περιοχή) Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος και x X. Ενα U X καλείται περιοχή (neighbourhood) του x αν x U. Το σύνολο των περιοχών του x καλείται σύστημα περιοχών του x (neighbourhood system at x) και συμβολίζεται με N x ή με N T x. Παρατήρηση: U N x G T με x G U (αφού U = {G T : G U}.) Περιοχή: όχι κατ ανάγκην ανοικτό: πχ. το (a, b] είναι περιοχή του a+b 2 (στον R με τη συνηθισμένη τοπολογία).

Ιδιότητες περιοχών Πρόταση Εστω (X, T) τοπολογικός χώρος. Τότε τα συστήματα περιοχών {N x,x X } έχουν τις εξής ιδιότητες: (i) Αν U N x, τότε x U (άρα U /0). (ii) Αν U 1,U 2 N x, τότε U 1 U 2 N x. (iii) Αν U N x και U V X, τότε V N x. (iv) Ενα G X είναι ανοικτό αν και μόνο αν G N x x G. (v) Αν U N x τότε υπάρχει G N x με G U και G N y y G.

Χαρακτηρισμός περιοχών Θεώρημα Εστω X ένα σύνολο και για κάθε x X έστω N x μια μη κενή οικογένεια υποσυνόλων του X με τις ιδιότητες: (αʹ) Αν U N x, τότε x U. (βʹ) Αν U 1,U 2 N x, τότε U 1 U 2 N x. (γʹ) Αν U N x και U V X, τότε V N x. (δʹ) Αν U N x, τότε υπάρχει G N x, τέτοιο ώστε G U και G N y y G. Θέτουμε T = {G X : G N x x G} {/0}. Τότε Η T είναι τοπολογία στο X. Το σύστημα περιοχών κάθε σημείου x X, ως προς την T, είναι η οικογένεια N x. Δηλαδή, N T x = N x για κάθε x X. (Η απόδειξη παραλείπεται.)

Βάσεις περιοχών Ορισμός Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος και x X. Μια υποοικογένεια B x του N x λέγεται βάση περιοχών του x (neighbourhood basis at x), αν για κάθε U N x υπάρχει B B x ώστε B U. Τα στοιχεία της B x λέγονται βασικές περιοχές του x (basic neighbourhoods of x). Η B x συμβολίζεται και B T x. Παρατήρηση: Αν δοθεί B x, τότε N x = {U X : B B x με B U}: Δηλαδή ένα υποσύνολο του X είναι περιοχή του x αν και μόνο αν περιέχει μια βασική περιοχή του x. Παραδείγματα: Το N x είναι βάση περιοχών του x. Η οικογένεια B x = {G X : G ανοικτό και x G} είναι βάση περιοχών του x. Σε μετρικό χώρο (X,T ρ ), η B x = {B(x,ε) : ε > 0} είναι βάση περιοχών του x. Επίσης και η B x = {B(x, 1 n ) : n N}. (!)

Βάσεις περιοχών Πρόταση Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος και για κάθε x X, έστω B x βάση περιοχών του x. Τότε (i) Αν B B x, τότε x B (άρα B /0). (ii) Αν B 1,B 2 B x, τότε υπάρχει B 3 B x ώστε B 3 B 1 B 2. (iii) Ενα G X είναι ανοικτό αν και μόνο αν για κάθε x G υπάρχει B x B x ώστε B x G. (iv) Αν B B x, τότε υπάρχει G X ώστε x G B και y G B y B y ώστε B y G.

Βάσεις περιοχών Θεώρημα (Κριτήριο Hausdorff) Εστω X σύνολο και T 1,T 2 δύο τοπολογίες στο X. Για κάθε x X έστω B 1 x,b 2 x βάσεις περιοχών του x ως προς T 1 και T 2 αντίστοιχα. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (αʹ) T 1 T 2 (βʹ) Για κάθε x X και B 1 B 1 x, υπάρχει C 2 B 2 x ώστε C 2 B 1. Πόρισμα Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα (αʹ) T 1 = T 2 (βʹ) Για κάθε x X και B 1 B 1 x, B 2 B 2 x, υπάρχουν C 1 B 1 x, C 2 B 2 x ώστε C 2 B 1 και C 1 B 2.

Βάσεις περιοχών Θεώρημα Εστω X ένα σύνολο και x X έστω B x /0 οικογένεια υποσυνόλων του X τ.ω. (αʹ) Αν B B x, τότε x B. (βʹ) Αν B 1,B 2 B x, τότε υπάρχει B 3 B x ώστε B 3 B 1 B 2. (γʹ) Αν B B x, τότε υπάρχει G X, τέτοιο ώστε x G B και για κάθε y G υπάρχει B y B y ώστε B y G. Θέτουμε T = {G X : x G B B x ώστε B G} {/0}. Τότε Η T είναι τοπολογία στο X. Για κάθε x X η οικογένεια B x είναι μια βάση περιοχών του x για την τοπολογία T. Παρατήρηση Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος και B T. Τότε: η B είναι βάση για την T για κάθε x X η οικογένεια B x = {B B : x B} είναι βάση περιοχών του x.

Σύγκλιση Δικτύων (Convergence of nets) Ορισμός Εστω X τοπολογικός χώρος, (x n ) n N μια ακολουθία (sequence) στο X και x X. Λέμε ότι η ακολουθία (x n ) συγκλίνει (converges) στο x (θα γράφουμε x n x) αν για κάθε περιοχή U N x υπάρχει n 0 = n 0 (U) N ώστε x n U για κάθε n n 0.

Ακαταλληλότητα ακολουθιών Παραδείγματα (α) Στον (N,T), όπου T η συμπεπερασμένη τοπολογία, η ακολουθία (x n ) με x n = n n N συγκλίνει σε κάθε x N. (β) Στον (X,T), όπου X υπεραριθμήσιμο σύνολο και T η συναριθμήσιμη τοπολογία, παρατηρούμε τα εξής: Αν (x n ) ακολουθία στο X και x X ώστε x n x, τότε η (x n ) είναι τελικά σταθερή και ίση με x. X = X. Ετσι, για κάθε x X έχουμε x X \ {x}, αλλά δεν υπάρχει ακολουθία (x n ) στο X \ {x}, ώστε x n x.

Δίκτυα (nets) Ορισμός (Λ, ) προδιατεταγμένο σύνολο (preodered set): (i) αν a Λ τότε a a, (ii) αν a b και b c, τότε a c. (Λ, ) κατευθυνόμενο σύνολο (directed set): (iii) για κάθε a,b Λ υπάρχει c Λ ώστε a c και b c. Ορισμός Εστω X σύνολο. Ενα δίκτυο (net) στο X είναι μια συνάρτηση p : Λ X, όπου (Λ, ) είναι κατευθυνόμενο μη κενό σύνολο. Γράφουμε (p λ ) λ Λ ή (p λ ). Ορισμός Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος, (p λ ) λ Λ δίκτυο στο X και x X. Το δίκτυο (p λ ) λ Λ συγκλίνει στο (converges to) x, αν για κάθε U N x υπάρχει λ 0 = λ 0 (U) Λ ώστε p λ U για κάθε λ λ 0. Γράφουμε p λ x ή lim λ p λ = x.

Δίκτυα (nets) και κλειστή θήκη Υπενθύμιση: Σε μετρικοποιήσιμο τοπολογικό χώρο (X,T d ) αν A X ισχύει ότι x A (x n ), x n A, x n x. Πρόταση Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος, A X και x X. Τότε x A αν και μόνον αν υπάρχει δίκτυο (p λ ) στο X ώστε p λ A για κάθε λ Λ και p λ x. Πόρισμα Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος και A X. Τότε (i) Α κλειστό για κάθε δίκτυο (p λ ) λ Λ στο X και για κάθε x X με p λ A λ Λ και p λ x, ισχύει x A. (ii) Ενα σημείο x X είναι σημείο συσσώρευσης του A υπάρχει δίκτυο (p λ ) λ Λ στο X, ώστε p λ A \ {x} λ Λ και p λ x.

Συνέχεια (continuity) Ορισμός Εστω X,Y τοπολογικοί χώροι και x 0 X. Μια συνάρτηση f : X Y θα λέμε ότι είναι συνεχής (continuous) στο x 0, αν για κάθε V N f (x0 ) υπάρχει U N x0 ώστε f (U) V. Η f καλείται συνεχής, αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του X. Παρατηρήσεις (α) Η f είναι συνεχής στο x 0 για κάθε V N f (x0 ) ισχύει f 1 (V ) N x0. (β) Στον ορισμό μπορούμε να θεωρήσουμε βάσεις περιοχών των f (x 0 ) και x 0, αντί για τα N f (x0 ) και N x0 αντίστοιχα. Άρα στην περίπτωση των μετρικών χώρων, ο ορισμός αυτός συμπίπτει με το γνωστό. (γ) Αν η f είναι σταθερή, τότε είναι συνεχής (παίρνουμε U = X ). (δ) Αν ο X έχει τη διακριτή τοπολογία, τότε η f είναι αυτόματα συνεχής (παίρνουμε U = {x 0 }).

Συνέχεια (continuity) Θεώρημα Εστω X,Y τοπολογικοί χώροι και μια συνάρτηση f : X Y. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (i) Η f είναι συνεχής. (ii) Για κάθε G Y ανοικτό, το f 1 (G) είναι ανοικτό στο X. (iii) Για κάθε F Y κλειστό, το f 1 (F ) είναι κλειστό στο X. (iv) Για κάθε A X, f (A) f (A). (v) Για κάθε B Y, f 1 (B) f 1 (B). (vi) Για κάθε B Y, f 1 (B ) (f 1 (B)).

Συνέχεια (continuity) Πρόταση Εστω X,Y τοπολογικοί χώροι, x 0 X και συνάρτηση f : X Y. Τότε η f είναι συνεχής στο x 0 αν και μόνο αν, για κάθε δίκτυο (p λ ) στο X με p λ x 0, ισχύει f (p λ ) f (x 0 ). Πόρισμα Εστω X,Y τοπολογικοί χώροι και συνάρτηση f : X Y. Τότε η f είναι συνεχής αν και μόνο αν, για κάθε x X και για κάθε δίκτυο (p λ ) στο X με p λ x, ισχύει f (p λ ) f (x). Πρόταση Εστω X, Y, Z τοπολογικοί χώροι, x 0 X και συναρτήσεις X f Y g Z. Αν η f είναι συνεχής (στο x 0 ) και η g είναι συνεχής (στο f (x 0 )), τότε η g f : X Z είναι συνεχής (στο x 0 ).

Ανοικτές και κλειστές συναρτήσεις Ορισμός Εστω X,Y τοπολογικοί χώροι. Μια συνάρτηση f : X Y καλείται ανοικτή (αντίστοιχα κλειστή), αν για κάθε A X ανοικτό (αντίστοιχα κλειστό) το f (A) είναι ανοικτό (αντίστοιχα κλειστό) στο Y. Παρατηρήσεις (α) Αν B είναι βάση της T, τότε η f είναι ανοικτή αν και μόνο αν για κάθε B B το f (B) είναι ανοικτό στο Y. (β) Αν η f : X Y είναι 1 1 και επί, τότε, αφού f (A) = (f 1 ) 1 (A) για κάθε A X, έχουμε f ανοικτή f 1 : Y X συνεχής f κλειστή. (γ) Εστω T 1 και T 2 δύο τοπολογίες στο X και id : (X,T 1 ) (X,T 2 ) με id(x) = x για κάθε x X. Τότε: T 1 T 2 id ανοικτή id 1 συνεχής id κλειστή.

Ανοικτές και κλειστές συναρτήσεις Παραδείγματα Η προβολή π 1 : R 2 R με π 1 (x,y) = x είναι ανοικτή, αλλά όχι κλειστή. Η εμφύτευση i : R R 2 με i(x) = (x,0) είναι κλειστή, αλλά όχι ανοικτή. Πρόταση Εστω X,Y τοπολογικοί χώροι και f : X Y. (ι) Η f είναι ανοικτή αν και μόνο αν f (A ) (f (A)), για κάθε A X. (ιι) Η f είναι κλειστή αν και μόνο αν f (A) f (A), για κάθε A X.

Ομοιομορφισμοί Ορισμός Μια συνάρτηση f : (X,T 1 ) (Y T 2 ), που είναι 1 1, επί, σψνεχής και η f 1 συνεχής, καλείται ομοιομορφισμός (homeomorphism) των τοπολογικών χώρων (X,T 1 ) και (Y T 2 ). Οταν υπάρχει ομοιομορφισμός f : X Y, λέμε ότι οι X και Y είναι ομοιομορφικοί και γράφουμε X Y. Η σχέση είναι σχέση ισοδυναμίας στην κλάση των τοπολογικών χώρων. Κατά συνέπεια η κλάση των τοπολογικών χώρων διαμερίζεται σε κλάσεις ισοδυναμίας. Παραδείγματα (i) Οι R και ( 1,1) είναι ομοιομορφικοί, π.χ. μέσω της f (x) = x 1+ x, x R. (ii) Οι R και R 2 είναι άραγε ομοιομορφικοί;

Ομοιομορφισμοί Πρόταση Εστω X,Y τοπολογικοί χώροι και f : X Y μια συνάρτηση που είναι 1 1 και επί. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (i) Η f είναι ομοιομορφισμός. (ii) Η f είναι συνεχής και ανοικτή. (iii) Η f είναι συνεχής και κλειστή. (iv) Για κάθε A X ισχύει f (A) = f (A).

Υπόχωροι τοπολογικών χώρων (the subspace topology) Ορισμός Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος και A X. Η οικογένεια T A = {A G : G T} είναι τοπολογία στο Α και καλείται η σχετική (relative) τοπολογία του A (ως προς την T). Ο τοπολογικός χώρος (A,T A ) λέγεται υπόχωρος (subspace) του X και τα στοιχεία της T A λέγονται σχετικά ανοικτά (relatively open) ή ανοικτά στο A (open in A). Πρόταση Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος και A X. Αν B είναι βάση (αντίστοιχα υποβάση) για την T, τότε η B A = {B A : B B} είναι βάση (αντίστοιχα υποβάση) για την T A.

Υπόχωροι τοπολογικών χώρων (α) Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος και A X. Τότε (T ρ ) A = T d όπου d = ρ A A η σχετική μετρική (relative metric). (β) Ο υπόχωρος [0,1] του R έχει βάση την B = {(a,b) [0,1] : a,b R με a < b} = {(a,b) : 0 a < b 1} {[0,b) : b [0,1]} {(a,1] : a [0,1]} {[0,1]}. (γ) Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος και A B X. Τότε (T B ) A = T A.

Υπόχωροι τοπολογικών χώρων Πρόταση Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος και A X. (i) Αν F A, τότε το F είναι κλειστό στο A αν και μόνο αν υπάρχει σύνολο K, κλειστό στον (X,T), ώστε F = A K. (ii) Για κάθε B A ισχύει ότι cl A B = (cl X B) A. (iii) Για κάθε x A ισχύει ότι N A x = {U A : U N x }. (iv) Αν (x λ ) δίκτυο στο A και x A, τότε T A T x xλ x. x λ Παρατηρήσεις Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος και B A X. (α) int A B (int X B) A (διότι (int X B) A T A και (int X B) A B). Ομως όχι πάντα ισότητα. Π.χ. : Q = int Q Q (int R Q) Q = /0.

Υπόχωροι τοπολογικών χώρων (β) Αν το A είναι ανοικτό στο X, τότε το B είναι ανοικτό στο A αν και μόνο αν B T. (γ) Ομοια, αν το A είναι κλειστό στο X, τότε ένα B A είναι κλειστό στο A αν και μόνο αν το B είναι κλειστό στο X. Πρόταση Εστω (X,T) f (Y,S). (i) Αν η f είναι συνεχής και A X, τότε η f A : (A,T A ) (Y,S) είναι συνεχής. (ii) Αν f (X ) B Y, τότε η f : (X,T) (B,S B ) είναι συνεχής αν και μόνο αν η f : X Y είναι συνεχής. (iii) Αν X = i I A i, όπου A i ανοικτά στο X για i I, τότε f συνεχής αν και μόνο αν η f Ai είναι συνεχής για κάθε i I. (iv) Αν X = n i=1 F i, όπου F i κλειστά για i = 1,2,...,n, τότε f συνεχής αν και μόνο αν f Fi συνεχής για i = 1,2,...,n.

Υπόχωροι τοπολογικών χώρων Πρόταση (Λήμμα συγκόλησης) Εστω (X,T), (Y,S) τοπολογικοί χώροι. Αν X = F 1 F 2 και f i : F i Y (i = 1,2) συνεχείς συναρτήσεις ώστε f 1 (x) = f 2 (x) για κάθε x F 1 F 2, τότε η συνάρτηση g : X Y με { f 1 (x) αν x F 1 g(x) = f 2 (x) αν x F 2 είναι συνεχής. Πρόταση Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος, A X και id : A X, με id(x) = x για κάθε x A. Τότε: (i) η id είναι συνεχής και (ii) η T A είναι η μικρότερη τοπολογία στο A ώστε η id να είναι συνεχής.

Ασθενής τοπολογία Ορισμός Εστω X σύνολο, (X i,t i ) οικογένεια τοπολογικών χώρων και συναρτήσεις f i : X X i, για κάθε i I. Θέτουμε C = {f 1 i (G) : G T i, i I } Η τοπολογία T που έχει υποβάση την C καλείται ασθενής τοπολογία (weak topology) ως προς την οικογένεια (f i ) i I.

Ασθενής τοπολογία Παρατηρήσεις (α) Η T είναι η μικρότερη τοπολογία στο X ώστε κάθε f i να είναι συνεχής (αφού είναι η μικρότερη τοπολογία που περιέχει την C ). (β) Μια βάση για την T είναι η { } n B = fi 1 k (G k ) : i k I, G k T ik για k = 1,...,n N. k=1 (γ) Αν B i είναι βάση για την T i για κάθε i I, τότε η { } n B = fi 1 k (G k ) : i k I, G k B ik {X ik } για k = 1,...,n N k=1 είναι βάση για την T.

Ασθενής τοπολογία Πρόταση Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος, όπου T είναι η ασθενής τοπολογία ως προς μια οικογένεια συναρτήσεων f i : X X i, i I. (i) Αν Z είναι τοπολογικός χώρος και g : Z X, τότε g συνεχής f i g : Z X i συνεχής για κάθε i I. (ii) Αν (x λ ) είναι δίκτυο στο X και x X, τότε x λ x στην T f i (x λ ) f i (x) στην τοπολογία του X i, για κάθε i I. Παρατήρηση Αν A X, τότε η σχετική τοπολογία T A συμπίπτει με την ασθενή τοπολογία ως προς (f i A ) i I.

Καρτεσιανά γινόμενα (Cartesian products) n i=1 X i := {(x 1,x 2,...,x n ) : x 1 X 1, x 2 X 2,...,x n X n } = { x : {1,2,...,n} } n X i : x(i) X i για i = 1,2,...,n. i=1 Εστω I αυθαίρετο σύνολο και (X i ) i I οικογένεια συνόλων. Αξίωμα της επιλογής (Axiom of choice) Αν X i /0 για κάθε i I, τότε υπάρχει μια συνάρτηση επιλογής x : I i I X i με x(i) X i για κάθε i I, δηλαδή i I X i /0: Ορισμός Εστω I αυθαίρετο σύνολο και (X i ) i I οικογένεια συνόλων. Το καρτεσιανό γινόμενο της οικογένειας (X i ) i I : { } X = X i = x : I X i με x(i) X i για κάθε i I. i I i I

Καρτεσιανά γινόμενα Ορισμός Εστω I αυθαίρετο σύνολο και (X i ) i I οικογένεια συνόλων. Το σύνολο { } X = X i = x : I X i με x(i) X i για κάθε i I i I i I καλείται καρτεσιανό γινόμενο της οικογένειας (X i ) i I. Τα στοιχεία του i I X i συμβολίζονται με x = (x i ) i I, όπου x i = x(i) για κάθε i I. Τα x i λέγονται συντεταγμένες του x. Η συνάρτηση π i : X X i με π i (x) = x i για κάθε x X καλείται προβολή i τάξης. Αν X i = Y για κάθε i I, τότε το i I X i συμβολίζεται με Y I και καλείται δύναμη του Y.

Τοπολογία γινόμενο (product topology) Ορισμός Εστω (X i,t i ) i I οικογένεια τοπολογικών χώρων, όπου I αυθαίρετο σύνολο. Η ασθενής τοπολογία του X = i I X i ως προς την οικογένεια (π i ) i I των προβολών, καλείται καρτεσιανή τοπολογία ή τοπολογία γινόμενο (product topology) και ο τοπολογικός χώρος X καλείται χώρος γινόμενο (product) της οικογένειας (X i ) i I. Μια υποβάση για την T είναι η C = {πi 1 (G) : G T i, i I }. Παρατήρηση πi 1 (G) = {(x j ) : x i G} = j I G j, όπου G i = G και G j = X j αν j i. Μια βάση για την T είναι η B = { π } 1 i k (G k ) : i k I, G k T ik, k = 1,2,...,n και n N { } = G i : G i T i i I και G i = X i πλην πεπερασμένων i i I

Τοπολογία γινόμενο Πρόταση Εστω (X i,t i ) i I οικογένεια τοπολογικών χώρων και X = i I X i με την καρτεσιανή τοπολογία T. (i) Αν Z είναι τοπολογικός χώρος και f : Z X, τότε f συνεχής π i f : Z X i συνεχής για κάθε i I. (ii) Αν (x λ ) είναι δίκτυο στο X και x X, τότε x λ x π i (x λ ) π i (x) για κάθε i I. (iii) Αν A i X i για κάθε i I και A = i I A i, τότε η σχετική τοπολογία T A του A ως προς T συμπίπτει με την καρτεσιανή τοπολογία του A όταν κάθε A i έχει τη σχετική τοπολογία ως προς T i. Επιπλέον A = ( i I A i ) = i I A i. (iv) Για κάθε i I η προβολή π i : X X i είναι ανοικτή, αλλά όχι αναγκαία κλειστή.

Αριθμήσιμο γινόμενο μετρικών χώρων. Πρόταση Εστω (X n,t n ), n = 1,2,... οικογένεια μετρικοποιήσιμων χώρων. Η τοπολογία γινόμενο είναι μετρικοποιήσιμη: Μπορώ να επιλέξω μετρικές d n ώστε d n (x,y) 1 για κάθε x,y X n και κάθε n = 1,2,... Στο X = X i ορίζουμε τη μετρική d : X X R ως εξής: i=1 d(x,y) = n=1 1 2 n d n(x(n),y(n)), όπου x = (x(1),x(2),...), y = (y(1),y(2),...) με x(n),y(n) X n για κάθε n = 1,2,... Η τοπολογία γινόμενο είναι η T d.

Χώρος πηλίκο (quotient space) Εστω X μη κενό σύνολο, μια σχέση ισοδυναμίας (equivalence relation) στο X, δηλαδή x X x x, x y y x, (x y) (y z) x z. Κλάση ισοδυναμίας (equivalence class) [x] := {y X : y x} X. Ισχύει [x] = [y] ανν x y, αλλιώς [x] [y] = /0. Η διαμερίζει το X σε ξένη ένωση κλάσεων ισοδυναμίας: X = x X [x]. Αν X = X / το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας, ως προς την, η κανονική προβολή π : X X : x [x] είναι επί και π 1 ({[x]}) = {y X : y x}.

Χώρος πηλίκο Η κουλούρα S 1 S 1 (όπου S 1 = {e 2πiθ : θ [0,1]}) είναι πηλίκο του ορθογωνίου [0,1] [0,1].

Τοπολογία πηλίκο Ορισμός Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος, σχέση ισοδυναμίας στο X και X = X / το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας ως προς την. Η T π = {U X : π 1 (U) T} (όπου π η κανονική προβολή) είναι τοπολογία στον X και καλείται τοπολογία πηλίκο (quotient topology) και ο χώρος ( X,T π ) είναι ένας χώρος πηλίκο (quotient space) του X. Η T π είναι η μεγαλύτερη τοπολογία στο X ώστε η κανονική προβολή π : X X να είναι συνεχής.

Τοπολογία πηλίκο Πρόταση Εστω τοπολογικοί χώροι X,Y και X ένας χώρος πηλίκο του χώρου X. Τότε, μια συνάρτηση g : X Y είναι συνεχής αν και μόνο αν η g π είναι συνεχής. π X X g g π Y

Τοπολογία πηλίκο Πρόταση Εστω (X,T), (Y,S) τοπολογικοί χώροι και μια συνάρτηση f : X Y η οποία είναι σταθερή στις κλάσεις ισοδυναμίας της. Τότε υπάρχει μοναδική f : X Y με f = f π. Δηλαδή υπάρχει μοναδική f έτσι ώστε το ακόλουθο διάγραμμα να είναι μεταθετικό. f X Y π f X Αν η f είναι συνεχής, τότε η f : ( X,T π ) (Y,S) είναι συνεχής.

Τοπολογία πηλίκο Ορισμός Εστω (X,T), (Y,S) τοπολογικοί χώροι. Μια συνάρτηση q : X Y καλείται απεικόνιση πηλίκο (quotient map) αν υπάρχει σχέση ισοδυναμίας,, στο X και ομοιομορφισμός ϕ : ( X,T π ) (Y,S) έτσι ώστε το ακόλουθο διάγραμμα να μετατίθεται (δηλ. q = φ π): X q Y π φ X

Τοπολογία πηλίκο Μια απεικόνιση πηλίκο q είναι προφανώς συνεχής και επί. Επιπλέον, ένα U Y είναι ανοικτό αν και μόνο αν το q 1 (U) X είναι ανοικτό. Πρόταση Εστω (X,T), (Y,S) τοπολογικοί χώροι και q : X Y μία συνεχής και επί συνάρτηση. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Η q είναι απεικόνιση πηλίκο (β) Ενα U Y είναι ανοικτό αν και μόνο αν το q 1 (U) X είναι ανοικτό.

Τοπολογία πηλίκο Απόδειξη του (β) (α) Ορίζω x x q(x) = q(x ). Είναι σχέση ισοδυναμίας στον X. Η απεικόνιση φ : X Y με φ([x]) := q(x) είναι καλά ορισμένη, αφού η q είναι σταθερή στις κλάσεις ισοδυναμίας, και προφανώς είναι 1-1 και επί. Μένει να δείξω ότι οι φ και φ 1 είναι συνεχείς, δηλ. ότι, αν U Y, τότε U S φ 1 (U) T π. Ομως, από την υπόθεση, S = {W Y : q 1 (W ) T}, και από τον ορισμό της τοπολογίας πηλίκο, T π = {V X : π 1 (V ) T}. Αλλά π 1 (φ 1 (U)) = (φ π) 1 (U) = q 1 (U). Τελικά λοιπόν U S q 1 (U) T π 1 (φ 1 (U)) T φ 1 (U) T π.

Συνεκτικότητα Ορισμός Ενας τοπολογικός χώρος X καλείται συνεκτικός αν δεν υπάρχουν δύο μη κενά, ανοικτά, ξένα υποσύνολα A,B του X, ώστε X = A B. Ενα υποσύνολο ενός τοπολογικού χώρου καλείται συνεκτικό, αν είναι συνεκτικός χώρος με τη σχετική τοπολογία. Παρατήρηση Είναι τοπολογική ιδιότητα: Αν X συνεκτικός και Y X τότε Y συνεκτικός. Πρόταση Εστω ένας τοπολογικός χώρος X. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (i) Ο X είναι συνεκτικός χώρος. (ii) Τα μόνα υποσύνολα του X που είναι συγχρόνως ανοικτά και κλειστά είναι τα /0, X. (iii) Δεν υπάρχει συνεχής και επί συνάρτηση f : X {0,1} (όπου το {0,1} είναι εφοδιασμένο με τη διακριτή τοπολογία).

Συνεκτικότητα Παραδείγματα (α) Το σύνολο των ρητών δεν είναι συνεκτικό υποσύνολο του R, αφού Q = (Q (,a)) (Q (a,+ )) για κάθε a R \ Q. (β) Ο χώρος του Sierpinski: X = {a,b},t = {/0,{a},X } είναι συνεκτικός, αφού δεν υπάρχουν μη κενά, ξένα, ανοικτά υποσύνολα που η ένωσή τους να ισούται με το χώρο. (γ) Ο χώρος R S δεν είναι συνεκτικός, αφού το σύνολο (,a] είναι συγχρόνως ανοικτό και κλειστό, για κάθε a R. Θεώρημα Για κάθε a,b R, με a b, το κλειστό διάστημα [a,b] (με τη συνηθισμένη τοπολογία) είναι συνεκτικό σύνολο.

Συνεκτικότητα Πρόταση Η ένωση κάθε οικογένειας συνεκτικών υποσυνόλων ενός τοπολογικού χώρου X, με μη κενή τομή, είναι συνεκτικό σύνολο. Δηλαδή, αν κάθε A i X είναι συνεκτικό σύνολο, για i I, και i I A i /0, τότε το σύνολο i I A i είναι συνεκτικό. Πόρισμα (α) Ο τοπολογικός χώρος R είναι συνεκτικός. (β) Τα συνεκτικά υποσύνολα του R είναι ακριβώς τα διαστήματα (με πεπερασμένα ή άπειρα άκρα).

Συνεκτικότητα Παρατηρήσεις Για κάθε k, ο R k (με την Ευκλείδεια τοπολογία) είναι συνεκτικός (ένωση ευθειών που τέμνονται στο 0). Το ίδιο και κάθε υπόχωρος, ή κάθε κυρτό υποσύνολο, άρα και κάθε μπάλα στον R k. Συνεκτικό είναι και κάθε κυρτό υποσύνολο τοπολογικού γραμμικού χώρου (: γραμμικού χώρου με τοπολογία ως προς την οποία οι πράξεις (x,y) x + y και (x,λ) λx είναι συνεχείς) - π.χ. χώρου με νόρμα. Μια τοπολογική ομάδα όμως (: ομάδα με τοπολογία ως προς την οποία οι πράξεις (x,y) xy και x x 1 είναι συνεχείς) δεν είναι αναγκαστικά συνεκτικός χώρος. Πχ η ομάδα O(3) των 3 3 ορθογωνίων πινάκων γράφεται O(3) = {A O(3) : deta = 1} {A O(3) : deta = 1} που είναι ξένα κλειστά σύνολα.

Συνεκτικότητα Πρόταση Εστω X ένας τοπολογικός χώρος και A,B X. (i) Αν το A είναι συνεκτικό και A B A, τότε και το B είναι συνεκτικό. δηλ. A {κάποια σ.σ. του A} : συνεκτικό. (ii) Αν το A είναι συνεκτικό, τότε και το A είναι συνεκτικό. Πρόταση Η εικόνα ενός συνεκτικού τοπολογικού χώρου μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης είναι συνεκτικός τοπολογικός χώρος. Πόρισμα (Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής) Εστω X συνεκτικός τοπολογικός χώρος και f : X R μια συνεχής συνάρτηση. Η εικόνα f (X ) R είναι διάστημα.

Συνεκτικότητα Θεώρημα Εστω (X i ) i I μια οικογένεια μη κενών και συνεκτικών τοπολογικών χώρων. Ο χώρος γινόμενο X = i I X i είναι συνεκτικός.

Συνεκτικές συνιστώσες Ορισμός Εστω ένας τοπολογικός χώρος X. Συνεκτική συνιστώσα λέγεται ένα υποσύνολο /0 C X που είναι (α) συνεκτικό και (β) μεγιστικό συνεκτικό, δηλ. αν C A X και A συνεκτικό, τότε A = C. Ορίζουμε: x y υπάρχει συνεκτικός υπόχωρος του X που να περιέχει το {x,y}. Η είναι μια σχέση ισοδυναμίας στο X. Οι κλάσεις ισοδυναμίας της είναι οι συνεκτικές συνιστώσες του X. Κάθε x X περιέχεται σε μια μοναδική συνεκτική συνιστώσα C x.

Συνεκτικές συνιστώσες Οι συνεκτικές συνιστώσες ενός τοπολογικού χώρου X είναι ξένα ανά δύο συνεκτικά υποσύνολα του X και η ένωσή τους είναι ο χώρος X. Κάθε συνεκτικό υποσύνολο του X τέμνει ακριβώς μία συνεκτική συνιστώσα. Οι συνιστώσες είναι κλειστά σύνολα, όχι πάντα ανοικτά. (Δες το Q.) Πρόταση Αν X είναι ανοικτό υποσύνολο κάποιου R k τότε κάθε συνεκτική συνιστώσα στον X είναι και ανοικτό σύνολο. Απόδειξη: μετά.

Συνεκτικότητα κατά τόξα (ή μονοπάτια) Ορισμός Εστω ένας τοπολογικός χώρος X και x,y X. Ενα μονοπάτι του χώρου X, από το x στο y, είναι μια συνεχής συνάρτηση f : [a,b] X, όπου a,b R με a < b, ώστε f (a) = x και f (b) = y. Ο X καλείται κατά μονοπάτια συνεκτικός αν κάθε δύο σημεία του χώρου συνδέονται με κάποιο μονοπάτι στο X. Παρατηρήσεις (α) Αν ένας τοπολογικός χώρος X είναι κατά μονοπάτια συνεκτικός, τότε είναι και συνεκτικός. (β) (the topologist s sine curve) Ορίζουμε το υποσύνολο του R 2, S = {(x,sin(1/x)) R 2 : x (0,1]}. Αφού το σύνολο S είναι συνεχής εικόνα του συνεκτικού συνόλου (0,1], είναι συνεκτικό. Επομένως το S R 2 είναι επίσης συνεκτικό. Μάλιστα, εύκολα ελέγχει κανείς ότι S = S ({0} [ 1,1]). Ομως, το σύνολο S δεν είναι κατά μονοπάτια συνεκτικό.

Ανοικτά συνεκτικά στον R k Ενας τοπολογικός χώρος (X, T) λέγεται τοπικά κατά τόξα συνεκτικός (locally arcwise connected) αν η T έχει μια βάση από κατά μονοπάτια συνεκτικά σύνολα. Παράδειγμα: Κάθε ανοικτό υποσύνολο κάποιου R k : δυο σημεία a, b μιας μπάλας συνδέονται με ευθύγραμμο μονοπάτι, f (t) = tb + (1 t)a, t [0,1]. Πρόταση Αν X είναι τοπικά κατά τόξα συνεκτικός τότε ο X είναι συνεκτικός αν και μόνον αν είναι κατά μονοπάτια συνεκτικός. Απόδειξη. Εστω a X. Θέτω A ={x X : υπάρχει συνεχής f : [0,1] X με f (0) = a και f (1) =x}. Δείξε ότι το A είναι κλειστάνοιχτο, άρα A = X. Πρόταση Αν X είναι τοπικά κατά τόξα συνεκτικός τότε κάθε συνεκτική συνιστώσα είναι ανοικτό (και κλειστό) σύνολο.