ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II

Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II Skripta za vaje iz Matematike II (UNI + VSP) Ljubljana,

determinante Determinanta det A je število, prirejeno kvadratni shemi A a b c d ad bc, a b c d e f aei + bfg + cdh afh bdi ceg. g h i i) ii) Če so v neki vrstici/stolpcu same, je determinanta enaka. Če sta dve vrstici/stolpca enaki, je determinanta enaka. iii) iv) v) Če je neka vrstica/stolpec večkratnik neke druge vrstice/stolpca, je determinanta enaka. Če zamenjamo dve sosednji vrstici/stolpca, determinanta spremeni predznak. Če vrstici/stolpcu prištejemo večkratnik druge vrstice/stolpca, se determinanta ohrani. Razvoj po vrstici/stolpcu: a a a n a a a n det A...... a n a n a nn n a ij ( ) i+j A ij j n a ij ( ) i+j A ij. i A ij je kvadratna shema, ki jo dobimo iz sheme A tako, da izbrišemo i-to vrstico in j-ti stolpec. Kramerjevo pravilo: Dan je sistem linearnih enačb a x + a y + a z b, a x + a y + a z b, a x + a y + a z b. Izračunamo determinante a a a D a a a a a a, D x Rešitev sistema je b a a b a a b a a x D x D,. Izračunajte naslednje determinante. a) 5 6 4 b) 8 4 4 +a a c) a a (+a ) ( a ) a +a a a, D y y D y D, a b a a b a a b a z D z D. 4a ( a ), a R, a ± ( a ) ( a ). Izračunajte naslednje determinante. 7 6 5 a) 4 + 8 + 4 6, D z a a b a a b a a b.

b) 4 4 6 5 5 4 c) 8 5 4 5 5 8 8 5 4 5 7 6 5 6 d) 5 4 5 4 4 + 5 ( 6) + ( 5) e) ( 4 ) (8 8) + ( + 4) 6 4 4 f) + i + i i i i + i ( + i)( i)( i) + ( + i)( i)( + i) (5 i)( i) + ( + i)( + i) 6. S pomočjo razvoja po vrstici/stolpcu izračunajte naslednje determinante. a) Najprej v prvem stolpcu pridelamo ničle, nato pa po njem razvijemo determinanto. 4 4 4 4 4 4 b) Najprej v prvi vrstici pridelamo ničle, nato pa po njej razvijemo determinanto. 4 7 4 5 9 4 9 4 9 4 5 6 4 5 6 4 5 6 4 5 6 5 6 6 c) Najprej v tretji vrstici pridelamo ničle, nato pa po njej razvijemo determinanto. V drugem in tretjem koraku pridelamo ničle v prvem stolpcu, nato pa po njem razvijemo determinanto. d) Determinanto razvijemo najprej po tretji vrstici, nato po četrtem stolpcu in nazadnje po prvi vrstici. 9 7 6 8 5 7 6 8 5 5 4 4 5 4 7 5 4 6 5 4 6 5 4 6 5 4

e) Najprej v četrtem stolpcu pridelamo ničle, nato pa po njem razvijemo determinanto. V drugem koraku pridelamo ničle v tretji vrstici in po njej razvijemo determinanto. V tretjem koraku pa pridelamo ničle v prvem stolpcu in po njem razvijemo determinanto. 7 9 4 7 4 9 5 9 4 4 4 9 6 6 7 4 4 9 4 4 5 5 6 6 8 5 5 4 5 6 8 6 5 5 7 9 4 9 6 6 7 4 4 9 4 4 5 9 5 6 7 9 4 5 5 4 5 5 5 5 4. ( ) Z uporabo rekurzije izračunajte n n determinanto 5 5 5 D n..................... 5 5 4 5 5 6 9 5 5 Najprej napravimo razvoj po prvem stolpcu, nato pa na drugi determinanti še po prvi vrstici 5 5 5 D n 5.................................. 5 5 5 5 5 5 5D n 4................. 5D n 4D n. 5 5 Dobimo rekurzivno enačbo D n 5D n 4D n, ki jo rešimo z nastavkom D n λ n λ n 5λ n + 4λ n λ 5λ + 4 (λ )(λ 4). Torej je λ in λ 4. Splošna rešitev je kombinacija obeh rešitev D n Aλ n + Bλ n A + B 4 n. Koeficienta A in B določimo tako, da izračunamo determinanti D 5 in D 5 5. Dobimo sistem enačb A + 4B 5 in A + 6B, ki ima rešitev A 4 in B. Splošna rešitev determinante je D n 4n+. 4

5. Izračunajte naslednje determinante. Za katere vrednosti parametra t je determinanta enaka? a) t 4 t (t )(t ) t t (t 5)(t + ) Rešitvi kvadratne enačbe sta t 5 in t. t b) t t t t + (t ) (t + ) Z uporabo Hornerjevega algoritma dobimo ničle polinoma tretje stopnje t, in t. t c) t + 5 6 6 t 4 (t 4)(t + 4t + 4) (t 4)(t + ) Rešitve enačbe tretje stopnje so t, in t 4. 6. Z uporabo Kramerjevega pravila rešite naslednje sisteme enačb. a) x + y 7 x 5y 4 Izračunamo vse tri determinante D 5, D x 7 4 5 9, D y 7 4. b) c) Sledi x Dx D Dy in y D. x y + z x + y + z 6 x + y z Izračunamo vse štiri determinante D, D x D y 6 46, D z Sledi x Dx D Dy, y D Dz in z D. x y + z x + 5y + z 5 4x y 4z Izračunamo vse štiri determinante D 5 4 4, D x D y 5 4 4 6, D z 6 6 5 5 4 5 5 4, 69. 4, 9. Sledi x Dx D Dy 4, y D Dz in z D. 5

Skalarni produkt: vektorji a b a b cos ϕ a b a b a b a b a a a oz. a a a a b b a : komutativnost a b a b a (a, a, a ), b (b, b, b ) a b a b + a b + a b, a v C: a b a b + a b + a b Standardni bazni vektorji v R : ı (,, ), j (,, ), k (,, ). Pravokotna projekcija vektorja b na vektor a: b a a b a a a. Vektorski produkt: Vektorski produkt a b vektorjev a in b je vektor, za katerega velja i) a b a, a b b in velja pravilo desnega vijaka, ii) dolžina a b je enaka ploščini paralelograma, ki ga napenjata vektorja a in b. a b a b sin ϕ a b b a : antikomutativnost a b a b a + a + a. a (a, a, a ), b (b, b, b ) a b (a b a b, a b a b, a b a b ). Velja: ı j k, j k ı, k ı j. Mešani produkt: ( a, b, c) a ( b c) ( a, b, c) ( b, c, a) ( c, a, b) Absolutna vrednost mešanega produkta ( a, b, c) vektorjev a, b in c predstavlja volumen paralelepipeda, ki ga napenjajo ti trije vektorji. ( a, b, c) a, b, c so komplanarni a (a, a, a ), b (b, b, b ), c (c, c, c ) ( a, b, c) a a a b b b c c c. Dana sta vektorja a ı + j in b ı + j + k. Določite kot med njima ter pravokotni projekciji enega na drugega. Vektorja zapišemo s komponentami a (,, ) in b (,, ). Kot med vektorjema izračunamo iz definicije skalarnega produkta a b cos ϕ a b 6 ϕ π 8 6 6. Pravokotni projekciji izračunamo s formulama b a a b a b a a 6 8 (,, ) (,, ), a b b 6 b 6 (,, ) (,, ).. 6

. Izračunajte skalarni produkt kompleksnih vektorjev a ( + i, i, i) in b ( i, + i, ). a b ( + i)i + i( i) ( i) 5 + 5i. Določite kot med vektorjema a ı + j + k in b 4 ı + 4 j k. Vektorja zapišemo po komponentah a (,, ), b (4, 4, ). Sledi cos ϕ a b a b 8 9 6 4 9 ϕ 6.6. 4. Izračunajte skalarni produkt (5 a + b) ( a b), kjer je a pravokoten na b, a in b. (5 a + b) ( a b) a a + 6 }{{} b a 5 a }{{} b b b a b 5. Izračunajte skalarni produkt ( a b) (5 a 6 b), kjer je kot med a in b enak π, a 4 in b 6. ( a b) (5 a 6 b) 5 a a b a 8 a b + b b 5 a a 8 a b + b b 5 a 8 a b cos ϕ + b 4 6 + 4 6 6. Določite kot, ki ga oklepata enotska vektorja a in b, če sta vektorja a+ b in 5 a 4 b ortogonalna. Iz enakosti ( a + b) (5 a 4 b) 5 a + 6 a b cos ϕ 8 b + 6 cos ϕ sledi cos ϕ ϕ π. 7. Določite parameter t R tako, da vektorja a (t, t+5, ) in b (,, ), dana s koordinatami v neki bazi, oklepata kot π. a b a b cos ϕ t t + t + 8 4t t + t + 8 t 5t 4 (t 7)(t + ) Dobimo dve rešitvi t 7 in t, od katerih je le prva smiselna. 8. Določite dolžine stranic in notranje kote trikotnika z oglišči A(,, 4), B(,, ) in C(, 4, ). Vektorji stanic so Dolžine stranic so a BC (,, ), b AC (,, ), c AB (,, ). a a, b b, c c. Notranji koti so c b α arccos c b arccos 5 6, c a 6 β arccos arccos c a 58.5, γ 8 α β 58.5. 7

9. Izračunajte a b in b a, kjer sta a ı + j + k in b ı + j + k. Vektorja zapišemo s komponentami a (,, ) in b (,, ) ter dobimo a ı j k b (, 4, ), ı j k b a (, 4, ) a b.. Izračunajte ploščino paralelograma, ki ga oklepata vektorja a 6 ı + j k in b ı j + 6 k. Ploščina paralelograma je enaka dolžini vektorskega produkta vektorjev a (6,, ) in b (,, 6) p a b 7 49 49, kjer je a b ı j k 6 6 (4, 4, ) 7(, 6, ).. Izračunajte ploščino paralelograma, ki ga oklepata vektorja a ı j k in b ı + j k. Vektorja zapišemo po komponentah a (,, ) in b (,, ). Ker je a ı j k b (4,, 7), je ploščina paralelograma enaka p a b 66.. Izračunajte ploščino trikotnika z oglišči A(,, ), B(,, 4) in C(4,, ). Vektorja a in b, ki napenjata trikotnik, sta a AB (,, ) in b AC (,, ). Ploščina trikotnika je enaka polovici ploščine paralelograma kjer je vektorski produkt enak a b ı j k p a b 6, ( 4, 8, 4) 4(,, ).. Izračunajte ploščino trikotnika z oglišči A(,, ), B(,, ) in C(,, 5). Vektorja a in b, ki napenjata trikotnik, sta a AB (,, ) in b Ploščina trikotnika je enaka polovici ploščine paralelograma kjer je vektorski produkt enak a b p a b 7, ı j k 4 (, 8, ). AC (,, 4). 8

4. Izračunajte ploščino trikotnika z oglišči A(,, ), B(,, ) in C(,, ). Izračunajte še kot α in dolžino stranice c. Vektorja a in b, ki napenjata trikotnik, sta a AB (, 5, ) in b Ploščina trikotnika je enaka polovici ploščine paralelograma AC (, 4, 4). p a b 6, kjer je vektorski produkt enak a ı j k b 5 (8,, 6). Kot α dobimo iz definicije 4 4 skalarnega produkta cos α α 6.7. a b a b 7 5 Dolžina stranice c je enaka dolžini vektorja a, torej c a 5. 5. Izračunajte ploščino paralelograma, ki ga določata vektorja a + b in a + b, če je a b, kot med a in b pa je π 6. p ( a + b) ( a + b) a }{{ a } + a b + 9 b a + b }{{ } b 8 a b 8 a b sin ϕ 8 sin π 6 4 6. Izračunajte ploščino trikotnika, ki je napet med vektorjema a b in a + b, če je a, b, kot med a in b pa je π. p ( a b) ( a + b) 6 a }{{ a } +4 a b b a b }{{ } b 7 a b 7 a b sin ϕ sin π 7. Poenostavite izraz ı ( j + k) j ( ı + k) + k ( ı + j + k). ı ( j + k) j ( ı + k) + k ( ı + j + k) ı j + ı k j ı j k + k ı + k j + k k }{{} k j + k ı + j ı ı + k 8. Izračunajte prostornino paralelepipeda, ki ga napenjajo vektorji a ı j k, b ı + j k in c ı + j + 4 k. Prostornina paralelepipeda je enaka absolutni vrednosti mešanega produkta vektorjev a (,, ), b (,, ) in c (,, 4), ki ga napenjajo V 4. 9. Izračunajte prostornino tristrane piramide z oglišči A(,, ), B(4,, ), C(4, 5, 4) in D(5, 5, 6). Prostornina tristrane piramide in prostornina paralelepipeda sta povezani z zvezo V piramide 6 V paralelepipeda. Vektorji, ki napenjajo piramido, so a AB (,, ), b AC (,, ) in c AD (,, 4). Ker je mešani produkt enak ( a, b, c) 4 7, je prostornina piramide enaka V 7 6. 9

. Izračunajte prostornino tristrane piramide z oglišči A(,, ), B(,, ), C(,, ) in D(,, ). Vektorji, ki napenjajo piramido, so a (,, 4). Ker je mešani produkt enak ( a, b, c) AB (,, 4), b 4 4 4 je prostornina piramide enaka V 6 ( a, b, c). 7, AC ( 4,, ) in c. Dokažite, da točke A(,, ), B(,, ), C(,, ) in D(5,, 6) ležijo na isti ravnini. Zapišemo vektorje a AB (,, ), b AC (, 4, ) in c AD (,, 4). Ker je ( a, b, c) 4 4, ti vektorji ležijo na isti ravnini, kar pomeni, da dane točke ležijo na isti ravnini. AD. Dani so vektorji a (λ,, 4), b (, λ, ) in c (λ,, 4). Določite parameter λ tako, da bodo vektorji a, b in c komplanarni. Vektorji a, b in c so komplanarni natanko tedaj, ko je mešani produkt ( a, λ 4 b, c) λ λ 4 8λ + 4λ 4 6λ 6. Ta enačba ima dve rešitvi, in sicer λ in λ.. Pokažite, da vektorji a ı + j + λ k, b ı + j + (λ + ) k in c ı j + λ k za nobeno vrednost parametra λ ne ležijo v isti ravnini. Vektorji so nekomplanarni, če je ( a, b, c) neodvisen od parametra λ in različen od. Ker je ( a, λ b, c) λ + λ λ + λ + λ λ + λ + λ, vektorji ne ležijo v isti ravnini. 4. Dana so tri oglišča paralelograma ABCD: A(,, ), B(,, ) in C(,, 5). Določite koordinate oglišča D, ploščino paralelograma in dolžino diagonale BD. Krajevni vektor oglišča D paralelograma izračunamo po formuli r D r A + AD r A + BC (,, ) + ( 4,, ) (,, ). Torej je D(,, ). Vektor BD ( 5, 4, ) ima dolžino BD 4. Ploščino paralelograma izračunamo po formuli p a b 98, kjer je a AB (,, ), b AD ( 4,, ) in a b ı j k 4 (9, 4, ).

5. Dana so tri oglišča paralelograma ABCD: A(,, ), B(,, ) in D(,, 4). Določite koordinate oglišča C, obseg in ploščino paralelograma ter kot med diagonalama. Krajevni vektor oglišča C paralelograma izračunamo po formuli r C r B + BC r B + AD (,, ) + (,, ) (,, ). Torej je C(,, ). Obseg paralelograma izračunamo po formuli o ( a + b ) ( 5 + 6), kjer je a AB (,, ) in b AD (,, ). Ploščino paralelograma pa izračunamo po formuli p a b 4, kjer je Kot med diagonalama e skalarnega produkta a b ı j k AC (,, ) in f cos ϕ (,, ). e f e f 9 ϕ 8.4. BD (,, ) pa izračunamo iz definicije 6. Dan je trikotnik z oglišči A(,, ), B(,, ) in C(, 4, ). Določite težišče T trikotnika, vektor med razpoloviščem S stranice AB in težiščem ter ploščino trikotnika. Krajevni vektor težišča T trikotnika izračunamo po formuli r T ( r A + r B + r C ) (,, 6) (,, ). Torej je T (,, ). Krajevni vektor razpolovišča S daljice izračunamo po formuli r S ( r A + r B ) (,, 4) (,, ). Torej je S(,, ). Vektor ST (, 5, ). Ploščino trikotnika izračunamo po formuli p a b 7, kjer je a AB (,, ), b AC (, 4, ) in a b ı j k 4 (,, 8). 7. Dana so oglišča tristrane piramide A(,, ), B(,, 5), C(6,, ) in D(, 7, ). Izračunajte višino skozi oglišče A. Volumen tristrane piramide zapišemo na dva različna načina V Ov 6 a b v, V 6 ( a, b, c). Pri tem smo označili vektorje a BC (4,, ), b BD (, 4, ) in c BA (,, 4). Obe izražavi za volumen izenačimo in dobimo formulo za višino na oglišče A v ( a, b, c) a 4 5, b 5 7 kjer je vektorski produkt a ı j k b 4 (,, 7), dolžina vektorskega produkta 4 a b 5 in mešani produkt ( a, b, c) ( a b) c (,, 7) (,, 4).

8. Dana so oglišča tristrane piramide A(,, ), B(4,, ), C(,, ) in V (a,, ). Določite parameter a tako, da bo prostornina piramide enaka. Določite še višino piramide. Najprej določimo tri vektorje, ki napenjajo piramido: a AB (,, ), b AC (,, ) in c AV (a,, ). Prostornini piramide in paralelepipeda sta v razmerju : 6, zato rešujemo enačbo 6 ( a, b, c), 6 7 a, kjer je ( a, b, c) 7 a. Ta enačba ima dve rešitvi a in a. Ploščina osnovne ploskve ABC je enaka p a b, kjer je a b (,, ). Ker je V pir pv, je višina piramide enaka v V p 6. 9. Dan je paralelogram ABCD. Označimo a AB in b AC in BD. Na sliki je označen paralelogram. Sledi BC b, CD a, AD. Izrazite z a in b vektorje D AC a + b in BD b a. BC, CD, A b a. Dan je pravilen šestkotnik ABCDEF. Označimo a AB in b BC. Izrazite z a in b vektorje AC, CD, AD, BE, AE, BF in DF. Na sliki je označen pravilen šestkotnik. Sledi AC a + b, AE b a, BF b a in DF a b. CD b a, AD b, BE b a, F C b a. V trikotniku ABC leži točka M na stranici BC, tako da velja vektorjema a AB in b AC. Izrazimo najprej vektor AM AB + BM a + µ BM MC λ. Izrazite vektor AM z BC a + µ( b a), kjer je µ BM BC. Potrebujemo še zvezo med parametroma µ in λ. Enačbo BC BM + MC delimo z BM in dobimo enačbo µ + λ. Torej je µ λ +λ in zato AM λ λ+b + λ+ a.

. Dokažite, da se diagonali v paralelogramu razpolavljata. Skiciramo paralelogram v katerem z S označimo razpolovišče diagonal. a AB in b AD. Vektor AS izrazimo na dva načina AS λac λ( a + b), AS AB + BS a + µ BD a + µ( b a). Označimo vektorja Obe izražavi izenačimo in združimo na eni strani λ( a + b) a + µ( b a) (λ + µ ) a + (λ µ) b. Ker sta vektorja a in b nekolinearna, je to možno le v primeru, ko sta oba koeficienta enaka. Dobimo sistem enačb λ + µ, λ µ, ki ima rešitev λ µ, kar pomeni, da se diagonali v paralelogramu razpolavljata.. Dokažite, da daljica, ki povezuje eno oglišče paralelograma z razpoloviščem nasprotne stranice, deli diagonalo v razmerju :. Označimo z S presečišče daljice in nasprotne diagonale, z M pa razpolovišče nasprotne stranice. Označimo še vektorja a AB in b AD. Vektor BS izrazimo na dva načina Obe izražavi izenačimo in združimo na eni strani BS λbd λ( b a), BS BM + MS b + µ MA b + µ λ( b a) ( b + µ ) b a ( λ + µ) a + ( λ + µ ) b. ( ) b a. Ker sta vektorja a in b nekolinearna, je to možno le v primeru, ko sta oba koeficienta enaka. Dobimo sistem enačb λ + µ, λ + µ, ki ima rešitev λ µ, kar pomeni, da daljica deli nasprotno diagonalo v razmerju :. 4. ( ) Vektorji a, b in c napenjajo tetraeder s prostornino. Kolikšna je prostornina tetraedra, ki ga napenjajo vektorji a b, b c in c a? Ker je prostornina tetraedra, ki ga napenjajo vektorji a, b in c enaka, to pomeni, da je mešani produkt ( a, b, c) 8. Prostornina tetraedra, ki ga napenjajo vektorji a b, b c in c a, je enaka V 6 ( a b, b c, c a) 6 ( a b) (( b c) ( c a)) 6 ( a b) (( b c) a) c ( b c) c) a) 6 ( a b) (( b, c, a) c ( }{{} b, c, c) a) ( a, }{{} b, c) 54. 8 Pri tem smo uporabili formulo za dvojni vektorski produkt a ( b c) ( a c) b ( a b) c.

Enačba premice: analitična geometrija Premica v prostoru je določena s točko T (x, y, z ) na premici in smernim vektorjem e (a, b, c) premice, T (x, y, z) točka na premici. Vektorska oblika Parametrična oblika Kanonična oblika Enačba ravnine: x x a r r + t e. x x + t a, y y + t b, z z + t c. y y b z z. c Ravnina v prostoru je določena s točko T (x, y, z ) na ravnini in normalo n (a, b, c) ravnine, T (x, y, z) točka na ravnini. Implicitna oblika Razdalje: ax + by + cz d, d ax + by + cz. a) Razdalja med točko T (x, y, z ) in ravnino π : ax + by + cz d je d(t, π) ax + by + cz d a + b + c. b) Razdalja med točko T in premico p s točko T in smernim vektorjem e je d(t, p) e ( r r ). e c) Razdalja med vzporednima premicama p in p, kjer je T točka na premici p, je d(p, p ) d(t, p ). d) Razdalja med mimobežnima premicama p in p, kjer je T točka na p, T točka na p, r T T, je d(p, p ) ( e, e, r). e e Zrcaljenja: a) Zrcaljenje točke T čez premico p, T zrcalna točka r r + T T r + T ( T S r + T e e ) T e T. b) Zrcaljenje točke T čez ravnino π, T zrcalna točka r r + T T r + T ( ) S r + ±d(t, π) n n. 4

. Zapišite enačbo premice, ki gre skozi točko T (,, ) in je vzporedna vektorju e (,, ), v vseh treh oblikah. Enačba premice: i) vektorska oblika: r (,, ) + t(,, ), ii) parametrična oblika: x + t, y + t, z t, iii) kanonična oblika: x y z.. Zapišite enačbo premice, ki gre skozi točki A(,, ) in B(,, ), v vseh treh oblikah. Smerni vektor je e AB (,, ). Enačba premice: i) vektorska oblika: r (,, ) + t(,, ), ii) parametrična oblika: x, y t, z t, y iii) kanonična oblika: x, z.. Zapišite enačbo premice, ki je pravokotna na vektorja e (,, ) in e (,, ) ter gre skozi točko T (,, ), v vseh treh oblikah. Premica, ki je pravokotna na dana dva vektorja, ima smer vektorskega produkta teh dveh vek- ı j k torjev. Vektorski produkt je e e (5,, 7). Enačba premice: i) vektorska oblika: r (,, ) + t(5,, 7), ii) parametrična oblika: x + 5t, y t, z 7t, iii) kanonična oblika: x 5 y z 7. 4. Zapišite enačbo ravnine, ki gre skozi točko T (,, 5) in je pravokotna na vektor n (4,, ). Normirajte to enačbo. Vektor n je ravno normala ravnine. Izračunamo še koeficient d (4,, ) (,, 5) 7. Enačba ravnine je 4x + y + z 7. Normirano enačbo dobimo tako, da jo delimo z dolžino normale, ki je 9 4 9 x + 9 y + 9 z 7 9. 5. Zapišite enačbo ravnine skozi točko T (,, ), ki je vzporedna ravnini 5x y + z. Vzporedni ravnini imata vzporedni normali, torej lahko vzamemo za normalo iskane ravnine kar normalo dane ravnine. Izračunamo še koeficient d (5,, ) (,, ). Enačba ravnine 5x y + z. 6. Zapišite enačbo ravnine skozi točke A(,, ), B(4,, ) in C(, 4, ). Najprej zapišemo dva vektorja, ki ležita v ravnini a AB (4,, ) in b AC (, 4, ). Normala je pravokotna na ravnino, torej na ta dva vektorja in zato lahko za normalo vzamemo kar vektorski produkt teh dveh vektorjev n a ı j k b 4 (, 4, ). 4 Izračunamo še koeficient d, kjer lahko uporabimo katerokoli točko, recimo A. Koeficient d je enak, ko izhodišče leži na ravnini. Enačba ravnine je x + 4y + z. 5

7. Zapišite enačbo ravnine, ki gre skozi točke A(,, ), B(,, ) in C(,, ). Normala ravnine je vektorski produkt dveh vektorjev, ki ležita v ravnini n a ı j k b (,, ), kjer je a AB (,, ) in b AC (,, ). Izračunamo še koeficient d. Enačba ravnine je z oz. z. 8. Zapišite enačbo ravnine, v kateri ležita premici x 7 y 4 z 4 in x 7 y 4 z. Iz enačb premic je razvidno, da sta vzporedni s smernim vektorjem e (7, 4, ). Začetni točki na premicah sta A(,, ) in B(,, 4). Ker za vektorski produkt potrebujemo dva nevzporedna vektorja, vzamemo poleg vektorja e še vektor r AB (,, 4) in izračunamo vektorski produkt ı j k e r 7 4 (, 6, 7). 4 Enačba ravnine je x 6y + 7z. 9. Zapišite enačbo ravnine, ki gre skozi točki A(,, ) in B(, 5, ) ter je pravokotna na ravnino π : x + y + z. Normala ravnine n (,, ), ki je pravokotna na iskano ravnino leži v tej ravnini. Drugi vektor, ki leži v iskani ravnini, je vektor r AB (, 5, ). Ker je ı j k n r ( 7,, 4) 5 in koeficient d ( 7,, 4) (,, ) 5, je enačba iskane ravnine 7x + y + 4z 5.. Določite presečišče ravnin x + y + z, x + y + z 6 in x y + z. Presečišče treh ravnin dobimo tako, da rešimo gornji sistem treh enačb s tremi neznankami, ki ima rešitev x, y in z. Uporabimo Gaussovo eliminacijo spremenljivk. Presečišče treh ravnin je v tem primeru točka T (,, ).. Določite presečišče ravnin x + y z in x y + z 8. Presečišče dveh ravnin dobimo tako, da rešimo poddoločen sistem enačb, ki ima manj enačb kot neznank. Rešitev je v tem primeru neskončno, kar geometrijsko pomeni, da je presek dveh ravnin premica. Eno neznanko, recimo x, proglasimo za parameter t in ostali dve spremenljivki izrazimo s tem parametrom. Tako dobimo parametrično obliko enačbe premice x t, y 9 t in z 5 5 t.. Določite točko, v kateri premica x y+ 5 z prebode ravnino x + y + z 4. Iščemo točko, ki hkrati leži na premici in ravnini. Enačbo premice zapišimo v parametrični obliki x + t, y + 5t, z + t. Izražave za x, y in z vstavimo v enačbo ravnine in dobimo ( + t) + ( + 5t) + ( + t) 4 t t. Torej je x, y in z, prebodišče pa je točka P (,, ). 6

. Določite presečišče premic r (,, ) + t(,, ) in r (,, ) + s(,, ). Najprej zapišimo obe premici v parametrični obliki i) prva premica: x + t, y + t, z t, ii) druga premica: x, y + s, z s. Ti dve obliki izenačimo in dobimo sistem treh enačb z dvema neznankama, ki ima rešitev t in s. To vstavimo v enačbo in dobimo presečišče v točki T (,, ). 4. Določite parameter λ tako, da se premici x sekata. Določite še presečišče. y + z 4, x + y z λ Najprej zapišimo obe premici v parametrični obliki i) prva premica: x + t, y t, z 4 + t, ii) druga premica: x s, y + s, z λ + s. Ti dve obliki izenačimo in dobimo sistem treh enačb s tremi neznankami, ki ima rešitev t, s in λ 8. Presečišče je v točki T (,, 4). 5. Kolikšen mora biti parameter λ, da se premici x sekata? Določite še presečišče. y z λ, x y z 4 4 Najprej zapišimo obe premici v parametrični obliki i) prva premica: x + t, y t, z + λt, ii) druga premica: x + s, y + s, z 4 + 4s. Ti dve obliki izenačimo in dobimo sistem treh enačb s tremi neznankami, ki ima rešitev t, s in λ. Presečišče je v točki T ( 4, 5, 4 ). Parameter λ mora biti enak. 6. Določite kot med ravninama x 4y + 8z 8 in x + z 6. Kot med dvema ravninama je enak kotu med normalama teh dveh ravnin. Tega dobimo iz definicije skalarnega produkta. Obe normali sta n (, 4, 8) in n (,, ). Ker je sledi, da je kot med ravninama enak ϕ π 4. cos ϕ n n n n 9 8 7. Določite kot med ravninama x + z in x y + z 7. Normali sta n (,, ) in n (,, ). Ker je sledi, da je kot med ravninama enak ϕ π 4. cos ϕ n n n n 9,, 8. Določite kot med ravnino x z 5 in premico x y, z. Kot med ravnino in premico je komplementaren kotu med normalo ravnine in smernim vektorjem premice. Ker je n (,, ), e (,, ) in cos α n e n e, je kot med normalo in smernim vektorjem α π, kot med ravnino in premico pa ϕ π α π 6. 7

9. Dani sta ravnina x y in premica x y z 5. Določite prebodišče in kot pod katerim se sekata. Enačbo premice zapišemo v parametrični obliki x t, y t in z 5t, ki jo vstavimo v enačbo ravnine in dobimo vrednost parametra t 5. Prebodišče je točka P ( 5, 5, 5 5 ). Kot med normalo n (,, ) in smernim vektorjem e (,, 5) je kot med ravnino in premico pa ϕ π α π 6. cos α n e n e α π,. Poiščite pravokotno projekcijo točke T ( 4, 9, 5) na ravnino, ki je določena s točkami A(,, ), B(,, 4) in C(4,, ). Najprej določimo enačbo ravnine. Normala je n a ı j k b ( 5,, 4), 4 5 kjer je a AB (,, ) in b AC (4,, 5). Ker je d ( 5,, 4) (,, ), se enačba ravnine glasi 5x y 4z. Nato določimo še enačbo premice, ki je pravokotna na ravnino in gre skozi točko T. V vektorski obliki je r ( 4, 9, 5) + t( 5,, 4), v parametrični obliki pa x 4 5t, y 9 t in z 5 4t. Pravokotna projekcija točke je ravno presečišče ravnine in premice. Vstavimo paramerično izražavo enačbe premice v enačbo ravnine in dobimo vrednost parametra t Pravokotna projekcija je točka S(,, ). + 5t + 99 + t + + 6t t.. Katera točka na ravnini x + 4y z 9 je najbližja koordinatnemu izhodišču? Normala ravnine je n (, 4, ). Točka na ravnini, ki je najbližja dani točki je presečišče ravnine in premice, ki je pravokotna na ravnino in gre skozi dano točko. Enačba te premice v parametrični obliki je x t, y 4t in z t. Le-to vstavimo v enačbo ravnine in dobimo 9t 9 oz. t. Iskana točka je S(, 4, ).. Dani sta ravnini π : x + 9y z 9 in π : 6x y + 5z 9. Določite točko, ki leži na osi z in je enako oddaljena od teh dveh ravnin. Iščemo tako točko T (,, z), da velja d(t, π ) d(t, π ). Ker je d(t, π ) d(t, π ) z 9 65 z 9 5, 5z 9 65 5z 9 5, rešujemo enačbo z 9 5z 9, ki ima dve rešitvi i) prva rešitev: z 9 5z 9 z 7, ii) druga rešitev: z 9 5z + 9 z 8 5. Dobimo dve točki T (,, 7 ) in T (,, 8 5 ). 8

. Izračunajte razdaljo točk A(,, ), B(,, ) in C(, 5, 4) do ravnine π : x + y + 4z. i) d(a, π) 4+9+6 9, ii) d(b, π) + 9, točka leži na ravnini, iii) d(c, π) 6+5+6+ 9 8 9. 4. Izračunajte oddaljenost točke T (,, ) do premice p : x y+ z. Iz podatkov dobimo vektorje e (,, ), r (,, ), r (,, ) in r r (,, ). Sledi ı j k e ( r r ) (, 4, 5), d(t, p) 5 9 5. 5. Izračunajte oddaljenost točke T (,, ) do premice p : x y z. Iz podatkov dobimo vektorje e (,, ), r (,, ), r (,, ) in r r (,, ). Sledi ı j k e ( r r ) (,, ), d(t, p) 6. Izračunajte oddaljenost točk A(,, ) in B(,, ) od premice p : x 4 y z 5.. Iz podatkov dobimo vektorje e (4,, 5), r (,, ), r A (,, ) in r B (,, ). Dolžina e 5 5. Izračunajmo razdaljo najprej za točko A, kjer je r A r (,, ) ı j k e ( r A r ) 4 5 ( 6,, ), d(a, p) 54 5 5. Nato še razdaljo za točko B, kjer je r B r (,, ) e ( r B r ) ı j k 4 5 ( 6,, 5), d(b, p) 45 5. 7. Izračunajte razdaljo med premicama p : x y z + in p : x + y z. Premici sta vzporedni s smernim vektorjem e (,, ). Razdalja med tema premicama je enaka razdalji ene točke na eni premici do druge premice. Ker je r (,, ) in r (,, ), je r r (,, ). Vektorski produkt je enak ı j k e ( r r ) (, 6, ), razdalja med premicama pa d(p, p ) 6 4 9 4. 9

8. Izračunajte razdaljo med premicama p : x y z in p : x y z+. Premici sta mimobežni. Iz podatkov dobimo vektorja e (,, ) in e (,, ) ter točki T (,, ) in T (,, ). Sledi r T T (,, ). Vektorski produkt je enak ı j k e e (,, ), mešani produkt je ( e, e, r) ( e e ) r (,, ) (,, ), dolžina vektorskega produkta je e e 5, razdalja med premicama pa d(p, p ) ( e, e, r) e e 9. Izračunajte razdaljo med premicama p : x + y z in p : x y+ z 4. Premici sta mimobežni. Iz podatkov dobimo vektorja e (,, ) in e (,, 4) ter točki T (,, ) in T (,, ). Sledi r T T (,, ). Vektorski produkt je enak e e ı j k 4 5 5. (,, ), mešani produkt je ( e, e, r) (,, ) (,, ), razdalja med premicama pa d(p, p ) ( e, e, r) e e.. Določite zrcalno točko k točki T (,, ) glede na premico x y, z. Iz podatkov dobimo T (,, ), e (,, ) in T (,, ). Sledi Zrcalna točka je T (,, ). T T (,, ), T T S T e e e (,, ) (,, ), T S T S T T (,, ), r r + T S (,, ) + (,, ) (,, ).. Določite zrcalno točko k točki T (4,, 4) glede na ravnino π : x + y + z 9. Iz podatkov dobimo n (,, ) in T (4,, 4). Sledi Zrcalna točka je T (,, ). d(t, π) 9 9, T S d(t, π) n n (,,) (,, ), r r + T S (4,, 4) + (,, ) (,, ).

matrike Matrika A [a ij ] j,...,n i,...,m dimenzije m n je pravokotna tabela mn števil, ki ima m vrstic in n stolpcev. Z A T [a ji ] j,...,n i,...,m označimo transponirano matriko, ki jo dobimo tako, da zamenjamo vlogo stolpcev in vrstic. Veljajo zveze (A + B) T A T + B T, (αa) T αa T, (A T ) T A in (AB) T B T A T. Z A A T označimo konjugirano matriko. Množenje matrik: A [a ij ] j,...,n i,...,m, B [b ij] j,...,p i,...,n, C [c ij] j,...,p i,...,m, n C A B, c ij a ik b kj. Za identiteto I... k velja zveza A I I A A. Matrika A je obrnljiva, če obstaja inverzna matrika A, tako da je AA A A I. Če matrika ni obrnljiva, je singularna. Matrika A je nesingularna natanko tedaj, ko je det A. Velja A det A ÃT, kjer je à matrika kofaktorjev z elementi à ij ( ) i+j A ij, A ij pa determinanta matrike A brez i-te vrstice in j-tega stolpca. Za determinante veljajo zveze det (AB) det A det B in det (A ) det A. Rang r(a) je enak številu linearno neodvisnih vrstic/stolpcev. Veljajo zveze r(a) min {m, n} in r(a) r(a T ). Operacije, ki ohranjajo rang (Gaussova eliminacija):. Dve vrstici lahko med seboj zamenjamo.. Vrstico lahko pomnožimo s poljubnim neničelnim številom.. Vrstici lahko prištejemo poljuben večkratnik druge vrstice. Inverz izračunamo tako, da z operacijami, ki ohranjajo rang, prevedemo [A I] [I A ]. Ortogonalne in unitarne matrike: Matrika A R n n je simetrična, če je A T A. Matrika A R n n je ortogonalna, če je AA T A T A I. Matrika U C n n je unitarna, če je UU U U I. [ ] [ 5. Dani sta matriki A in B 5 A X B. X (A B) ([ 4 6. Dani sta matriki A 4 in B 5 6 A + B T A T + B 6 6 9 + 5 8 [ ] 4 6 + 4 8 ] [ 5 [ 5 6 5 6 [ 5 8 6 6 9 ]. Poiščite matriko X, za katero velja ]) [ 9 9 ] [ ]. ]. Izračunajte A + B T in A T + B. 5 8 4, 5 ] [ 8 ].

. Za dano kompleksno matriko A A T 4. Dani sta matriki A + i 4 i i 6 4 i 7 5 4 + i + 6i AB BA 5. Dani sta matriki A AB BA 6. Dane so matrike A produkta AB in AC. AB AC 4 4 + i i 4 5 4 i 4 + i i 6 7 + 6i in B [ 5 4 4 6 4 7. Dana sta vektorja a 4 4 a T b [ ], A [ 5 4 [ 5 4 ] 4 in B, B in b izračunajte A T in A. i 4 + i + i 6 4 i 7 5 4 i 6i ] 4 6 4 6. ]. Izračunajte produkta AB in BA. 8 5 9 5 [ 5 ].,. Izračunajte produkta AB in BA. 4 4 6, ba T, 6 6 in C. 5 5 5 5 5 4 8 6.. Izračunajte produkta a T b in ba T. [ ]. Izračunajte 4 6 8. Matriki A inb komutirata, če velja AB BA. Ali lahko določimo parametra a in b tako, da b a 5 matriki A in B 9 a a komutirata? a 4 a 8 a,.

Izračunamo oba produkta AB a 4 b a 5 BA 9 a a a 8 a b a 5 9 a a a 8 a a 4 b a + 8 a 8 a + 5 9 + a a + 4 4a ab + 4a + 8 a + a + a b + 5a b + a + a b + a + 9 a + 8 7a 9 a + a 4a + 8 a + 4 Matriki sta enaki, če imata vse istoležne elemente enake. Ker sta neznanki dve, vzamemo tudi dve enačbi, lahko kar enačimo prva dva elementa v prvi vrstici in dobimo sistem b a + 8 b + 5a, a 8 b + a +, ki ima rešitev a in b 6. Vendar pa ta rešitev ni dobra za vse enačbe, zato taka parametra a in b, da bi matriki A in B komutirali, ne obstajata. [ ] 9. Poiščite vse matrike, ki komutirajo z matriko A. [ ] a b Izračunamo oba produkta matrike A s poljubno matriko B c d AB BA [ [ a b c d ] [ a b c d ] [ ] [ c d a + c b + d ] [ ] b a + b. d c + d Da matriki komutirata, mora biti AB BA, torej morajo biti vsi istoležni elementi enaki. Dobimo enačbe c b, a + c d, a + b d in b + d c + d, ki se reducirajo v c b in d a + b. Matrike, ki komutirajo z matriko A, so oblike [ ] a b B. b a + b. Dani sta matriki A Izračunajte f(a) in f(b). Izračunamo najprej za matriko A A A A A A A A 4 A 5, in B ],., ter funkcija f(x) x 5 +x 4 x +5x +8. f(a) A 5 + A 4 A + 5A + 8I 8 5 8 8,,.

Nato še za matriko B. Ali je matrika A Ker je B B B B B B B 4 B B B 5 B 4 B 4 6 8 4 f(b) B 5 + B 4 B + 5B + 8I AA T matrika A ni ortogonalna.. Ali je matrika A ortogonalna? 6 6 6 ortogonalna? 6 8, 5 4 5 5 I,,,,. Ker je AA T 6 6 6 6 6 6 I in A T A I, je matrika A ortogonalna. [ +i ] 4 i. Ali je matrika U 5 5 unitarna? Ker je 4i 5 UU i 5 [ +i 5 4i 5 4 i 5 i 5 in U U I, je matrika U unitarna. 4. Ali je matrika A 4 4 obrnljiva? 5 5 4 4 ] [ i 5 4+i 5 +4i 5 +i 5 ] [ ] I Matrika A ni obrnljiva, saj sta prvi in drugi stolpec enaka (tudi tretji in četrti), kar pomeni, da je determinanta matrike A enaka. 4

[ a b 5. Poiščite inverze k danim matrikam A c d ] [ 5, B ] [ cos α sin α in C sin α cos α ]. Inverze izračunamo po formuli A det A ÃT, ki se za matrike poenostavi v [ ] A d b. ad bc c a S konkretnimi podatki dobimo [ B 5 ] [, C cos α sin α sin α cos α ]. Matrika C je zanimiva zato, ker množenje poljubnega vektorja s to matriko pomeni rotacijo vektorja za kot α. 5 8 4 6. Z matriko kofaktorjev izračunajte inverz matrike A 5. 7 6 Izračunamo determinanto matrike in matriko kofaktorjev 5 8 4 5 4 det A 5 7 6 6, Ã 56 6. 4 Inverzna matrika je A 6 56 5 4 6 4 7. Z matriko kofaktorjev izračunajte inverz matrike A Izračunamo determinanto matrike in matriko kofaktorjev det A, Ã Inverzna matrika je 8. Določite rang matrike A A 4 8 6 4 5 6 4.... 4 5 6 4 Z operacijami, ki ohranjajo rang, pridelamo v vsaki vrstici vsaj eno ničlo več kot je v prejšnji vrstici 4 4 4 8 6 4 4. 4 Rang matrike je enak številu vrstic, ki nimajo vseh elementov enakih. Torej je r(a).. 5

9. Določite rang matrike A 9 4 7 7 9 9 4 7 7 9. 5 5 6 5 r(a).. Določite rang matrike A 4 5 6 4 9 4 4 5 6 4 9 4. Poiščite število k, pri katerem ima matrika A. 4 5 6 9 5 4 4 5 4 k 4 7 7 4 Z operacijami, ki ohranjajo rang, reduciramo matriko A 4 7 7 k 4 7 7 4 4 4 k 4 4 5 r(a). 7 7 5 5 4 7k 7k k najmanjši rang. 7 7 4 7k 7k k. Ločimo dva primera. Če je k, potem je r(a), sicer pa je r(a). Torej ima matrika A najmanjši rang pri k.. Določite rang matrike A 5 7 4 v odvisnosti od parametra p. p 7 7 Z operacijami, ki ohranjajo rang, reduciramo matriko A 5 7 4 7 7 p 7 7 p + 7 7 7 p 4. Ločimo dva primera. Če je p 4, potem je r(a), sicer pa je r(a). 6

. Z Gaussovo eliminacijo izračunajte inverz matrike A. Matriko A razširimo z identiteto I. Z operacijami, ki ohranjajo rang, razširjeno matriko predelamo tako, da na mestu, kjer je bila matrika A, dobimo matriko I, na mestu, kjer je bila matrika I, pa dobimo inverzno matriko A 4 6 6 9 6 9 4 6 A 4 4 6 4. Z Gaussovo eliminacijo izračunajte inverz matrike A Sestavimo razširjeno matriko in jo predelamo 5 5 4 8 8 4 5. 5 4 8 6 5 A 5 5. Z Gaussovo eliminacijo izračunajte inverz matrike A 4 4 4 6. 5 8. 6 5. Inverzna matrika je A 8 6 5 7. 7

sistemi linearnih enačb Dan je sistem m enačb z n neznankami a x + a x + + a n x n b, a x + a x + + a n x n b,.. a m x + a m x + + a mn x n b m. Sistem zapišemo v matrični obliki Ax b. Sestavimo razširjeno matriko R [A b] in uporabimo Gaussovo eliminacijo na tej matriki. Uporabljamo operacije, ki ohranjajo rang matrike. Velja. Sistem Ax b je protisloven (nima rešitve), če je r(a) r(r).. Sistem Ax b je rešljiv natanko tedaj, ko je r : r(a) r(r). (a) (b) Če je r n, je rešitev natanko ena. Če je r < n, je rešitev neskončno, dobimo (n r)-parametrično družino rešitev. Homogen sistem linearnih enačb: Ax. Trivialna rešitev x (,,..., ) T vedno obstaja.. Kvadratni sistem ima netrivialno rešitev natanko tedaj, ko je det A.. Če je m < n, netrivialna rešitev vedno obstaja. Matrične enačbe: Enačbo Ax b rešimo tako, da z operacijami, ki ohranjajo rang, prevedemo: [A b] [I x]. Enačbo AX B rešimo tako, da z operacijami, ki ohranjajo rang, prevedemo: [A B] [I X]. Enačbo XA B najprej transponiramo, da dobimo enačbo A T X T B T prejšnje oblike. Le-to rešimo tako, da prevedemo [A T B T ] [I X T ].. Rešite sistem linearnih enačb x y + z, x y + z, x + y + z. Zapišemo razširjeno matriko sistema in jo z operacijami, ki ohranjajo rang, reduciramo 5 5. Ranga matrike in razširjene matrike sta enaka, torej rešitev obstaja. Ker je rang enak številu neznank, je rešitev natanko ena. Poiščemo jo tako, da enačbe rešujemo od spodaj navzgor. Dobimo z, torej z, y 5z, zato y 5 in x y + z, zato x 7.. Rešite sistem linearnih enačb x + y z 5, x y + z, 4x y + 4z. 8

Zapišemo razširjeno matriko in jo z operacijami, ki ohranjajo rang, reduciramo 5 7 8 7 8. 4 4 7 8 7 8 Ker je rang razširjene matrike enak, rang osnovne matrike pa, sistem nima rešitve.. Rešite sistem linearnih enačb x + y + z, x + y z, x + y + 5z. Zapišemo razširjeno matriko in jo z operacijami, ki ohranjajo rang, reduciramo 5 5 8 4 8 4. 5 8 4 Ranga razširjene matrike in osnovne matrike sta enaka, torej rešitev obstaja. Ker je rang enak, neznanke pa so, je rešitev neskončno. Vzamemo npr. z poljuben in z njim izrazimo x in y. Ker je y 8z 4, je y 8z + 4, in ker je x + y + 5z, je x z 5. 4. Rešite sistem linearnih enačb x + y + z + u v 5, x + y + z + 5u v 5, x + y 4z + u, x y + 7z u 6. Zapišemo razširjeno matriko in jo z operacijami, ki ohranjajo rang, reduciramo 5 5 5 5 4 5 7 6 8 4 5 4 5 Ker sta ranga osnovne in razširjene matrike enaka, rešitev obstaja. Rang je, neznank pa 5, torej dobimo -parametrično družino rešitev x z+, y z v 4, z poljuben, u v+, v poljuben. 5. Določite parameter k tako, da bo sistem rešljiv x y + z, x y z, 4x y z k. Zapišemo razširjeno matriko in jo z operacijami, ki ohranjajo rang, reduciramo 4 4 k 6 k k + Sistem je rešljiv, ko sta ranga enaka, torej ko je k +. Zato ima sistem rešitev pri k, leteh pa je neskončno, saj je rang, neznanke pa so. Enoparametrična družina rešitev: x z, y z, z poljuben. 9..

6. Obravnavajte rešljivost sistema glede na vrednosti parametra k kx + y + z 4, x + y z, x + y + z. Zapišemo razširjeno matriko in jo z operacijami, ki ohranjajo rang, reduciramo 7 7 k 4 4 k 6 + k 8 k 5k 5 k Obravnavamo primere: k : sistem nima rešitve, k : sistem ima natanko eno rešitev x k, y 5 + 6k 5k 5, z k 5k 5. 7. ( ) Obravnavajte rešljivost sistema glede na vrednosti parametra k x z, x + ky z, x + y + kz. Zapišemo razširjeno matriko in jo z operacijami, ki ohranjajo rang, reduciramo k k 5 4 k 5 4 k k + 4 (k + 5)(k ) 4(k ) Obravnavamo primere: k 5: sistem nima rešitve, k : sistem ima neskončno rešitev x + t, y 5 t, z t, k : sistem ima neskončno rešitev x 5, y t, z 4 5, k 5, k, k : sistem ima natanko eno rešitev x k k + 5, y 4 k + 5, z 4 k + 5. 8. ( ) Obravnavajte rešljivost sistema glede na vrednosti parametra k x + ( k)y + (k )z k 7, x y + 6z 5, x + ky 6kz k. Zapišemo razširjeno matriko in jo z operacijami, ki ohranjajo rang, reduciramo 6 5 6 5 k 6k k k + 6k 6 k k k k 7 k k + 6 k + 8 6 5 k + 6k 6 k 5k + 5...

Obravnavamo primere: k : sistem nima rešitve, k : sistem ima neskončno rešitev x + t, y t, z, k, k : sistem ima natanko eno rešitev x, y k k, z k. 9. Kateremu pogoju morajo zadoščati parametri a, b in c, da bo sistem enačb x 7y 7z a x + y + z b x + y z c rešljiv? Rešite sistem za vrednosti parametrov a, b 7 in c 9. Zapišemo razširjeno matriko, kjer zamenjamo prvo in tretjo enačbo, ter jo reduciramo c c c b b + c b + c. 7 7 a 9 a c a + b + c Da bo sistem rešljiv, mora biti izpolnjen pogoj a + b + c. Dane vrednosti a, b 7 in c 9 temu pogoju zadoščajo, torej ima sistem rešitev. Ker je rang za manjši od števila neznank, dobimo -parametrično družino rešitev: x 7y, y poljuben, z y.. Ali ima homogen sistem x + y z x 8y + 8z x y + 4z netrivialno rešitev? Če jo ima, jo izračunajte. Ker je det A 8 8, ima homogen sistem netrivialno rešitev, ki jo dobimo 4 podobno kot pri nehomogenem sistemu z redukcijo 8 8. 4 Ker je rang enak, neznanke pa, dobimo -parametrično družino rešitev: x 8 z poljuben.. Rešite enačbo Ax b, kjer je A in b. 7 5 z, y z, Najprej sestavimo razširjeno matriko in jo predelujemo toliko časa, da dobimo na levi strani identiteto. Takrat je na desni strani rešitev sistema. 7 5 9

Rešitev je x.. Rešite matrično enačbo AX B, kjer je A 4 in B 9 7 7 7 5 7 Rešitev obstaja, če je determinanta matrike A različna od, sicer pa ne. Ker je det A 4,. dana matrična enačba nima rešitve.. Rešite matrično enačbo AX B, kjer je A 4 in B 4 4. Ker je det A, rešitev obstaja in je enaka X A B. Poiščemo jo tako, da sestavimo razširjeno matriko iz matrik A (na levi) in B (na desni). To matriko predelujemo toliko časa, da dobimo na levi identiteto. Na desni je tedaj rešitev X 4 4 4 6 6 6 4 6 6 4. Rešite matrično enačbo XA B, kjer je A 6 [ 4 ] in B X [ ]. 6 Ker je det A, rešitev obstaja in je enaka X BA. Poiščemo jo tako, da sestavimo razširjeno matriko iz matrik A T (na levi) in B T (na desni). To matriko predelujemo toliko časa, da dobimo na levi identiteto. Na desni je tedaj X T [ ] [ ] [ ] [ ] 4. 4 Rešitev matrične enačbe je X [ 5. ( ) Rešite matrično enačbo XA B, kjer je A 9 5 4 7 4 6 ]. 4 4 7 8 9 9 6 8 9 in B 9 4 6 5 7.. 4 8 9 9 6 X 9.

vektorski prostori in linearne preslikave Množica vektorjev x,..., x n V je linearno neodvisna, če je linearna kombinacija α x + +α n x n natanko tedaj, ko je α α n. Linearna ogrinjača vektorjev x,..., x n V je množica vseh vektorjev oblike y α x + + α n x n, ki so linearno odvisni od vektorjev x,..., x n. Baza vektorskega prostora V je množica vseh linearno neodvisnih vektorjev, katerih linearna ogrinjača je cel prostor V. Število vektorjev v bazi je enako dimenziji vektorskega prostora. Standardna baza v prostoru R n je e [,,..., ] T,..., e n [,,..., ] T. Preslikava T : U V je linearna preslikava med vektorskima prostoroma U in V, če velja T (αx + βy) αt x + βt y. Bazni vektorji e,..., e n prostora U se z linearno preslikavo T preslikajo v bazne vektorje T e,..., T e n prostora V. Linearno preslikavo predstavimo z matriko. 5 8 4. Ali so vektorji, in 5 linearno neodvisni? 7 6 Vektorji v, v in v so linearno neodvisni, če je α β γ edina rešitev enačbe αv + βv + γv. To je homogen sistem enačb, za katerega vemo, da ima netrivialno rešitev, ko je determinanta matrike sistema enaka. Vektorji so torej linearno neodvisni, ko ima matrika, katere stolpci so ti vektorji, determinanto različno od. Ker je so vektorji linearno neodvisni.. Ali so vektorji, in 5 det A 5 8 4 5 7 6 6, linearno neodvisni? Ker je so vektorji linearno odvisni.. Dani so vektorji, njihovi linearni ogrinjači. det A in 4 5 5,. Določite parameter λ tako, da bo vektor 4 λ v Vektor u je v linearni ogrinjači vektorjev v, v in v, če obstajajo taki α, β in γ, da je u αv + βv + γv. To nam da nehomogen sistem enačb, ki ga rešimo z Gaussovo eliminacijo. Koeficienti α, β in γ obstajajo, ko ima sistem rešitev. Reduciramo in dobimo 4 4 5 λ 4 5 5 5 λ Sistem ima rešitev, ko je λ +, torej ko je λ. 4 λ +.

4. Pokažite, da vektorji x R. Razvijte vektor y 6 9 4, x po tej bazi. in x tvorijo bazo vektorskega prostora Vektorji tvorijo bazo, ko so linearno neodvisni in napenjajo cel prostor. V prostoru R poljubna trojica linearno neodvisnih vektorjev sestavlja bazo. Ker je det A, so vektorji linearno neodvisni, torej baza prostora R. Iščemo take koeficiente α, β in γ, da bo y αx + βx + γx. Potrebno je rešiti nehomogen sistem enačb, katerega rešitve so iskani koeficienti. Rešitev bo natanko ena, saj se da vsak vektor na natanko en način zapisati kot linearno kombinacijo baznih vektorjev. Reduciramo in dobimo 6 9 4 6 8 Sistem ima rešitev α, β in γ, kar pomeni y x + x + x. 5. Pokažite, da vektorji x, x in x tvorijo bazo vektorskega prostora R. Razvijte vektor y po tej bazi. Ker je det A 9, so vektorji linearno neodvisni, torej baza prostora R. Reduciramo in dobimo 6. Sistem ima rešitev α, β in γ, kar pomeni y x + x + x. 6. Določite sliko vektorja x z linearno preslikavo, ki je podana z matriko A Sliko vektorja dobimo kot produkt matrike, ki pripada linearni preslikavi, z vektorjem 9 y Ax 5. 7 7. Linearna preslikava preslika standardne bazne vektorje v vektorje V kateri vektor se preslika vektor x? 4. 4, in 4..

Sestavimo matriko A, ki pripada linearni preslikavi. To je matrika, ki ima za stolpce slike baznih vektorjev 4 A 4. Preslikan vektor je y Ax 4 4 8. Dan je vektor a 5. Preslikava T preslika vektor v v vektor a v. Dokažite, da je preslikava T linearna in poiščite njeno matriko v standardni bazi. Kam se s to preslikavo slika vektor? Kateri vektor se slika v vektor? 7 Najprej pokažimo po definiciji, da je T linearna preslikava 7 6 T (α v + β u) a (α v + β u) a (α v) + a (β u). α( a v) + β( a u) αt ( v) + βt ( u). Matriko T, ki pripada linearni preslikavi, dobimo tako, da preslikamo standardne bazne vektorje ı j k T ( e ) a e 5, 5 ı j k T ( e ) a e 5, ı j k 5 T ( e ) a e 5. Matrika T je sestavljena iz stolpcev slik standardnih baznih vektorjev 5 T. 5 Vektor se preslika v vektor t oblike 5t. t 9. ( ) Dokažite, da je preslikava T preslikave ter sliko vektorja x x y z. 9 7 7 5, vektor y + z x + z y + x 7 pa je slika neskončno vektorjev linearna. Poiščite matriko te linearne

Najprej pokažimo po definiciji, da je T linearna preslikava x x α(y + z ) + β(y + z ) T α y z + β y z α(x + z ) + β(x + z ) αt α(y + x ) + β(y + x ) Stolpci matrike T so slike standardnih baznih vektorjev T, T, T x y z + βt T x y z. Preslikan vektor je y T x. ( ) Poiščite matriko linearne preslikave, ki preslika vektorje v vektorje 7, 5 4 in. 5 4., in 4 Iščemo rešitev matrične enačbe XA B, kjer sta matriki A in B dobljeni iz danih vektorjev 7 5 A 4, B. 4 Z redukcijo razširjene matrike iz A T in B T dobimo na desni X T 7 5 4 4 4 7 6 4 5 5 5 8 5 45 8 7 5 5 8 5 7 4 5 5 5 5 6 8 5 4 8 48 4 8 8 5 X 45 8 8 5 5 7 5. 6

lastne vrednosti in lastni vektorji Lastne vrednosti matrike A so ničle karakterističnega polinoma matrike A det (A λi). Lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti λ, je neničelni vektor x, da velja Ax λx. Lastni vektorji so netrivialne rešitve homogenega sistema (A λi)x.. Poiščite lastne vrednosti in lastne vektorje matrike A [ 4 Lastne vrednosti matrike A so rešitve enačbe det (A λi) λ 4 λ λ 4λ 5 (λ 5)(λ + ). ]. Dobimo dve različni lastni vrednosti λ 5 in λ. vektorja tako, da rešimo homogen sistem linearnih enačb Izračunamo še pripadajoča lastna i) λ 5: A λ I A 5I [ 4 4 ] [ ] x [ ]. ii) λ : A λ I A + I [ 4 4 ] [. Poiščite lastne vrednosti in lastne vektorje matrike A Ker je det (A λi) λ λ λ ] x. [ ( λ)( λ)( λ), dobimo lastne vrednosti λ, λ in λ. Pripadajoči lastni vektorji so i) λ : ii) λ : iii) λ : A I A I A I x x. ].. x.. Izračunajte lastne vrednosti in tisti lastni vektor, ki pripada po absolutni vrednosti največji lastni vrednosti, matrike A 5. 6 6 4 7

Ker je det (A λi) λ 5 λ 6 6 4 λ (4 λ)( + λ), dobimo lastne vrednosti λ 4 in λ,. Absolutno največja je prva lastna vrednost (λ 4) in k njej izračunajmo pripadajoči lastni vektor A 4I 9 6 x. 6 6 6 4. Poiščite lastne vrednosti in lastne vektorje matrike A Ker je det (A λi) λ λ λ. ( + λ)( + λ ) dobimo lastne vrednosti λ, λ i in λ i. Pripadajoči lastni vektorji so i) λ : A + I x. ii) λ i: A ii i i i i x + i. iii) λ i: A + ii + i + i + i + i 5. Določite parameter k tako, da bo lastna vrednost matrike A x k 4. i. Ker je det (A λi) λ λ k 4 λ λ + 4λ (4k + )λ 6 8k je lastna vrednost, ko je karakteristični polinom deljiv z λ, torej ko je 6 8k. Zato je k 4. α 6. Določite parametra α in β tako, da bo x lastni vektor matrike A α. β Iz matrične enačbe Ax λx, kjer je λ pripadajoča lastna vrednost, dobimo sistem enačb α λ, α λ in β λ, ki ima rešitev α, β in λ. Lastni vektor x pripada lastni vrednosti λ. 8

potenčna in Taylorjeva vrsta Potenčna vrsta je funkcijska vrsta oblike Konvergenčni polmer R potenčne vrste je R lim n a n (x a) n. n a n a n+ lim n n a n. Potenčna vrsta je enakomerno in absolutno konvergentna, če je x a < R, in divergentna, če je x a > R. Če je x a R, konvergenco preverimo kot konvergenco številske vrste. Razvoj funkcije f v Taylorjevo vrsto okrog točke a: f(x) f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) +! Razvoji elementarnih funkcij okrog točke a : i) e x + x + x + x 6 + x4 4 + n n x n ; x <. n! ii) sin x x x 6 + x5 x7 54 ± ( ) n xn+ ; x <. (n + )! iii) cos x x + x4 4 x6 7 ± n ( ) n xn iv) ln ( + x) x x + x x4 4 ± ( ) v) Binomska formula: ( + x) α vi) Geometrijska vrsta: n n ( ) α x n ; x < ; n ; x <. (n)! n xn n ; x <. n ( ) α n x + x + x + x + x 4 +. Določite območje konvergence naslednjih potenčnih vrst. x n a) n + 4 n To je potenčna vrsta z a in a n R lim n n+4 a n a n+ f (n) (a) (x a) n n! α (α ) (α n + ). n! x n ; x <. n. Izračunamo konvergenčni polmer lim n + 5 n n + 4. Vrsta zagotovo konvergira na odprtem intervalu (, ). Preverimo še konvergenco v krajiščih. Za x dobimo alternirajočo vrsto, katere koeficienti padajo proti, torej ta vrsta konvergira. Za x dobimo harmonično vrsto, ki je divergentna. Območje konvergence je interval [, ). 9

b) n n! 5 n xn To je potenčna vrsta z a in a n n! 5 n. Izračunamo konvergenčni polmer R lim n n! 5 n+ 5 n (n + )! lim n 5 n +. c) d) Ker je konvergenčni polmer enak, lahko vrsta konvergira samo v točki x, kar pa, saj dobimo vrsto iz samih ničel. Območje konvergence je {}. n n! xn n To je potenčna vrsta z a in a n n n!. Izračunamo konvergenčni polmer n (n + )! n + R lim n n+ lim. n! n Ker je konvergenčni polmer enak, vrsta konvergira na celi množici realnih števil R. n (x )n n n To je potenčna vrsta z a in a n n n. Izračunamo konvergenčni polmer R lim n n n+ n (n + ) lim n n n + n +. e) Vrsta zagotovo konvergira na odprtem intervalu (, ). Preverimo še konvergenco v krajiščih. Za x dobimo alternirajočo vrsto, katere koeficienti pa ne padajo proti, torej ta vrsta divergira. Za x dobimo vsoto kvadratov naravnih števil, ki je divergentna. Območje konvergence je interval (, ). ( ) n (x )n n + n f) To je potenčna vrsta z a in a n ( )n n+. Izračunamo konvergenčni polmer R lim ( ) n (n + ) n (n + ) ( ) n+ lim n + n n +. Vrsta zagotovo konvergira na odprtem intervalu (, 4). Preverimo konvergenco v krajiščih. Za x dobimo harmonično vrsto, ki je divergentna. Za x 4 dobimo alternirajočo vrsto, katere koeficienti padajo proti, torej ta vrsta konvergira. Območje konvergence je interval (, 4]. n (x + ) n n To je potenčna vrsta z a in a n R lim n n n. Izračunamo konvergenčni polmer n n + n n+. Vrsta zagotovo konvergira na odprtem intervalu (, ). Preverimo še konvergenco v krajiščih. Za x dobimo alternirajočo vrsto, katere koeficienti padajo proti, torej ta vrsta konvergira. Za x dobimo vrsto tipa n n, ki je divergentna. Območje konvergence je interval [, ). 4

. Razvijte naslednje funkcije v Taylorjevo vrsto okrog a in določite območje konvergence. a) f(x) e x Uporabimo formulo za razvoj eksponentne funkcije in dobimo ( x) n f(x) n! n ( ) n n n! xn. n Območje konvergence je x <. b) f(x) x e x Uporabimo formulo za razvoj eksponentne funkcije in dobimo f(x) x ( x ) n n! n n ( ) n xn+ n!. Območje konvergence je x <. sin x c) f(x) x Uporabimo formulo za razvoj funkcije sinus in dobimo f(x) x + 5 x4 4 5 x6 ± Območje konvergence je x <. n ( ) n n (n + )! xn.. Razvijte funkcijo f(x) v Taylorjevo vrsto okrog a in določite območje konvergence. x 5x+6 Racionalno funkcijo razbijemo na parcialne ulomke x 5x + 6 A x + B x (A + B)x A B x. 5x + 6 Sledi, da je A in B. Izraz preoblikujemo in uporabimo geometrijsko vrsto f(x) x x x x ( x ) n ( x ) n n Območje konvergence je x <. 4. Razvijte funkcijo f(x) x x n n x ) x n. x ( n+ n+ v Taylorjevo vrsto okrog a in določite območje konvergence. Najprej napravimo substitucijo y x, oz. x y +, da dobimo funkcijo g(y) y+ y +4y+, ki jo razvijemo okrog točke. Razbitje na parcialne ulomke y + y + 4y + A y + + B y + (A + B)y + A + B y, + 4y + da koeficienta A in B. Izraz preoblikujemo in uporabimo geometrijsko vrsto g(y) ( y + + ) ( y + ( y) + ) ( y ) ( ( y) n + n n 4 ( y ) n ) n ( ) n ( n+ + ) n+ y n.

Nato uporabimo obratno substitucijo in dobimo f(x) Območje konvergence je x <. n ( ) n ( n+ + ) n+ (x ) n. x 5. Razvijte funkcijo f(x) v Taylorjevo vrsto okrog a in določite območje konvergence. x +x+ Najprej napravimo substitucijo y x, oz. x y +, da dobimo funkcijo g(y) y+ y +5y+6, ki jo razvijemo okrog točke. Razbitje na parcialne ulomke y + y + 5y + 6 A y + + B y + (A + B)y + A + B y, + 4y + da koeficienta A in B. Izraz preoblikujemo in uporabimo geometrijsko vrsto g(y) y + + y + n ( y ) n ( y ) ( y ) ( y ) n ( ( ) n n+ n Nato uporabimo obratno substitucijo in dobimo f(x) ( ( ) n n+ n Območje konvergence je x <. n n+ ) (x ) n. n+ ) y n. x 6. Razvijte funkcijo f(x) v Taylorjevo vrsto okrog a in določite območje konvergence. (+x ) Funkcijo preoblikujemo in uporabimo binomsko formulo ( f(x) x ( + x ) ) x (x ) n n Območje konvergence je x <. 7. Razvijte funkciji f(x) x n n ( ) x n+. n in g(x) arcsin x v Taylorjevo vrsto okrog a. Funkcijo f najprej razvijmo podobno kot v prejšnji nalogi ( f(x) ( x ) ( ) n ) x n. n Nato opazimo, da velja g (x) f(x). Zato dobimo Taylorjev razvoj za funkcijo g tako, da členoma integriramo Taylorjev razvoj za funkcijo f: g(x) f(x)dx + C ( ( ) g(x) ( ) n ( )x n dx ( ) n ) ( x n dx ( ) n ) x n+ n n n n +. n n Izkaže se, da je konstanta C, ker je g(). 8. ( ) Razvijte funkcijo f(x) ln (x + + x ) v Taylorjevo vrsto okrog a. Uporabimo metodo iz prejšnjega primera in najprej razvijemo v Taylorjevo vrsto odvod ( ) f (x) x + + x x + + x ( + ( + x x ) ) x n. n 4 n n n