) = 0 όπου: ω = κ µε m-εκφυλισµό

Εκφυλισμένες ιδιοτιμές Ø Υποθέσαµε ότι : ω k ω k ΦΥΣ 211 - Διαλ.25 1 Ø Τι ακριβώς συµβαίνει όταν έχουµε εκφυλισµών των ιδιοτιµών? Ø Στην περίπτωση αυτή πολλαπλές ιδιοτιµές αντιστοιχούν σε πολλαπλά ιδιοδιανύσµατα Ø Η χαρακτηριστική εξίσωση των ιδιοτιµών γράφεται στην περίπτωση αυτή: det U ω 2 Τ = ( ω 2 κ 2 ) m f ( ω 2 ) = 0 όπου: ω = κ µε m-εκφυλισµό Ø Η εξίσωση ιδιοδιανυσµάτων : ( U κ 2 Τ)a = 0 όπου =1,,m ιδιοδιανύσµατα Ø Αλλά ο γραµµικός συνδυασµός ιδιοδιανυσµάτων είναι επίσης ιδιοδιάνυσµα: c a Ø Είναι επίσης δυνατόν να βρεθεί µια οµάδα από m ορθογώνιων διανυσµάτων

Εκφυλισμένες ιδιοτιμές Η συνταγή ΦΥΣ 211 - Διαλ.25 2 Ø Για µια m-εκφυλισµένως ιδιοτιµή µε m-ιδιοδιανύσµατα Ø Αρχικά κανονικοποιούµε ένα ιδιοδιάνυσµα χρησιµοποιώντας: a 1 T T a 1 Ø Κατόπιν χρησιµοποιούµε το ιδιοδιάνυσµα α 2 και το µετασχηµατίζουµε ως: a 2 = a 2 ( a T 1 T a 2 ) a 1 Ø Έτσι ικανοποιείται η συνθήκη ορθοκανονικότητας: a T 1 T a 2 = 0 Ø Κανονικοποιούµε το ιδιοδιάνυσµα α 2 : a 2 T T a 2 Ø Κατόπιν χρησιµοποιούµε το ιδιοδιάνυσµα α 3 και το µετασχηµατίζουµε ως: a 3 = a 3 ( a T 1 T a 3 ) a 1 ( a 2 T T a 3 ) a 2 Ø Ο µετασχηµατισµός ικανοποιεί τις συνθήκες: Ø Συνεχίζουµε την διαδικασία για τα υπόλοιπα ιδιοδιανύσµατα a T 2 T a 3 = 0 και a T 1 T a 3 = 0 Ø Η διαδικασία αυτή οδηγεί σίγουρα στον σχηµατισµό του πίνακα Α: A Τ T A = 1

ΦΥΣ 211 - Διαλ.26 3 Συζευγμένες ταλαντώσεις Υλικά σημεία σε χορδή Ø Θεωρήστε Ν υλικά σηµεία µάζας m, τα οποία ισαπέχουν (απόσταση d µεταξύ δυο γειτονικών σηµείων) και συνδέονται µε αβαρή χορδή που έχει τάση τ Ø Τα άκρα της χορδής είναι ακλόνητα θέτοντας συνοριακές συνθήκες Ø Το πρόβληµα ουσιαστικά οδηγεί στην περιγραφή της ταλάντωσης συνεχούς µέσου, διάδοσης κυµάτων µέσω συνεχούς µέσου και δονήσεις ενός κρυσταλικού πλέγµατος όπως στα στερεά Ø Περιοριζόµαστε µόνο σε εγκάρσιες κινήσεις των µαζών Ø Έστω y k η µετατόπιση του σηµείου k Ø Η κινητική ενέργεια θα είναι: T = 1 2 my 2 k (1) Ø Θεωρώντας την επιµήκυνση της χορδής, Δl, µεταξύ δυο υλικών σηµείων: Δl = d 2 + ( y k+1 y k ) 2 d Δl d + 1 ( ) 2 d Δl = 1 2d y k+1 y k Ø Για τάση, τ, η δυναµική ενέργεια στο τµήµα αυτό της χορδής θα είναι: U (k+1,k ) = τδl = τ ( 2d y k+1 y k ) 2 (2) ( ) 2 2d y k+1 y k

Υλικά σημεία σε χορδή ΦΥΣ 211 - Διαλ.26 4 ( ) 2 Ø Για ένα τµήµα της χορδής έχουµε: T = 1 2 my 2 k και U (k+1,k ) = τ 2d y y k+1 k Ø Για όλο το σύστηµα εποµένως: T = N ( ) 2 N 1 2 my 2 k και U = k=1 N U = τ y k+1 y k U = K 2d y k+1 y k k=1 2 k=1 µε συνοριακές συνθήκες: y 0 = y N+1 = 0 N ( ) 2 my 2 k K ( y k+1 y k ) 2 Ø H Lagrangan θα είναι: L = 1 2 k=1 d L Ø και οι EOK: dt y k L y k = 0 δίνουν: my k = K y k y k 1 π.χ. για δυο σώµατα: L = 1 2 m y 2 2 1 + y 2 οπότε: my 2 = K y 2 y 1 ( ) + K ( y 3 y 2 ) ( ) K y 1 y 0 όπου: N k=1 τ ( 2d y y k+1 k ) 2 K = τ d ( ) + K ( y k+1 y k ) Ø Υποθέτουµε ότι τα y k κινούνται αρµονικά και εξετάζουµε την λύση: y k = a k cosωt όπου α k το πλάτος ταλάντωσης του k-υλικού σηµείου (( ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2 ) ( ) ( ) Ø Αντικατάσταση στις διαφορικές εξισώσεις δίνει: mω 2 a k = K a k 1 2a k + a k+1 Ø που περιλαµβάνει τα άκρα της χορδής όπου: a 0 = a N+1 = 0 0 και: 0 k διαφορικές εξισώσεις my 1 = Ky 1 + K y 2 y 1

Υλικά σημεία σε χορδή Ø Στην συνηθισµένη µορφή πινάκων: T = m 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 " " " # και U = K 2 1 0 1 2 1 0 1 2 " " " # ΦΥΣ 211 - Διαλ.26 5 Ø Η χαρακτηριστική εξίσωση των ιδιοτιµών θα είναι: det ω 2 T + U = 0 det 2K mω 2 2 K 2K mω 2 K 0 2 K 0 K 2K mω 2 2 " " " # = 0 N λύσεις για ω Ø Αντί να λύσουµε την ορίζουσα, µπορούµε να δουλέψουµε µε την εξίσωση: mω 2 a k = K ( a k 1 2a k + a k+1 )και υποθέτουµε ότι: a k = Asn kϕ Ø Αντικατάσταση: mω 2 Asn kϕ ( ) ( ) = KA sn( kϕ ϕ) 2sn( kϕ ) + sn( kϕ +ϕ)

Υλικά σημεία σε χορδή Ø Από την σχέση: mω 2 Asn kϕ Ø Καταλήγουµε στην: ΦΥΣ 211 - Διαλ.26 6 ( ) ( ) = KA sn( kϕ ϕ) 2sn( kϕ ) + sn( kϕ +ϕ) ϕ ( ) mω 2 = 4K sn 2 mω 2 = K 2 2cosϕ ω 2 = 4K ϕ m sn2 2 ω = 2 K 1 2 m sn ϕ 2 ω = 2ω 0 sn ϕ 2 Ø Η αντικατάσταση για το πλάτος α k : a k = Asn kϕ ικανοποιεί την συνθήκη α 0 =0: Ø Η παράµετρος φ υπολογίζεται από την άλλη συνοριακή συνθήκη, α N+1 =0 a N+1 = Asn N +1 = 0 ( N +1)ϕ = nπ όπου n ακέραιος ( )ϕ Ø Έχοντας το φ, οι ιδιοσυχνότητες θα είναι: ω n = 2ω 0 sn nπ 2N + 2 Ø Τα πλάτη των κανονικών ταλαντώσεων θα είναι: a k = Asn nπk N +1 Ø H κίνηση του συστήµατος σε µια ιδιοσυχνότητα θα είναι: y k = Asn πnk N +1 cosω n t Ø Στο όριο : N, d 0 d( N +1) l όπου l το µήκος της χορδής τ nπd αν επίσης m 0, m d = ρ τότε ω n = 2 sn md 2l ω nπ τ n l ρ 2

Υλικά σημεία σε χορδή ΦΥΣ 211 - Διαλ.26 7 Ø Θεωρώντας την απόσταση των σηµείων από το ακλόνητο άκρος της χορδής: x = kd y k = Asn πnk πn kd N +1 cosω n t = Asn ( ) ( N +1)d cosω t n Ø H προηγούµενη σχέση καταλήγει: y k = Asn nπ x l cosω n t εξίσωση στάσιµων κυµάτων

Μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς ΦΥΣ 211 - Διαλ.26 8 q Μέχρι τώρα έχουµε χρησιµοποιήσει συστήµατα αναφοράς όπως ( x, y,z) καρτεσιανό q όπου ο 2 ος νόµος του Newton F = m a x = f x, y,z έχει την µορφή: y = q x, y,z z = h x, y,z ( ) ( ) ( ) q Πολύ συχνά χρησιµοποιούνται συντεταγµένες οι οποίες κινούνται ως προς τις στατικές καρτεσιανές συντεταγµένες q Αν οι εξισώσεις κίνησης του Newton έχουν και πάλι την µορφή Ø το νέο σύστηµα συντεταγµένων είναι «αδρανειακό» x = f y = q z = h Ø Γιατί έτσι, ο 1 ος νόµος του Newton σύµφωνα µε τον οποίο ένα σώµα σε ηρεµία θα παραµείνει σε ηρεµία όταν δεν εφαρµόζονται δυνάµεις πάνω του εξακολουθεί να ισχύει Ø Για παράδειγµα ένα σύστηµα συντεταγµένων µε µορφή: x = x υt είναι αδρανειακό γιατί: ""x = ""x q Σε διαφορετική περίπτωση το σύστηµα συντεταγµένων είναι «µη αδρανειακό»

Μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς ΦΥΣ 211 - Διαλ.26 9 q Οι νόµοι της φυσικής είναι ανεξάρτητοι από το σύστηµα συντεταγµένων Ø Αλλάζει µόνο η µορφή των εξισώσεων κίνησης Ø Για παράδειγµα: επιταχυνόµενο σύστηµα συντεταγµένων: x = x + f t ² Αν η συνάρτηση f(t) γραµµική µε t έχουµε και πάλι αδρανειακό σύστηµα ² Μια πολύπλοκη µορφή της f(t) περιγράφει επιταχυνόµενο σύστηµα αναφοράς Ø Έστω σύστηµα συντεταγµένων που κινείται µε σταθερή επιτάχυνση: y = y + 1 2 at 2 y = y + a Ø Εισαγωγή φανταστικής δύναµης λόγω επιτάχυνσης του συστήµατος αναφοράς Ø Η φανταστική δύναµη υπάρχει επειδή γράψαµε την εξίσωση κίνησης σε µη αδρανειακό σύστηµα Ø Έστω στο παραπάνω παράδειγµα, ότι βρισκόµαστε στην επιφάνεια της γης Ø Όλα τα σώµατα υπόκεινται στην σταθερή επιτάχυνση της βαρύτητας: Ø Επιλέγω ένα σύστηµα αναφοράς που κινείται µε επιτάχυνση: ² Στο σύστηµα αυτό εποµένως: y = 0 a = g Ø Εποµένως, η βαρυτική δύναµη στην επιφάνεια της γης µπορεί να αφαιρεθεί κάνοντας αλλαγή του συστήµατος αναφοράς Αρχή της ισοδυναµίας ( ) y = g

ΦΥΣ 211 - Διαλ.27 10 Περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων q Σηµεία για ξεκαθάρισµα: Ø Η κίνηση συµµβαίνει σε κάποιο περιστρεφόµενο σώµα και παρατηρείται ² Είτε ως προς σύστηµα αναφοράς «καρφωµένο» στο περιστρεφόµενο σώµα ² Είτε ως προς εξωτερικό σύστηµα αναφοράς «αδρανειακό»/χωρικό Ø Το πρόβληµα της περιγραφής της κίνησης χωρίζεται σε 3 µέρη ² Πως µετασχηµατίζουµε τις συνιστώσες ενός διανύσµατος µεταξύ των δυο συστηµάτων αναφοράς? (για καθορισµένη περιστροφή) ü Η απάντηση εξαρτάται από τον σχετικό προσανατολισµό των αξόνων στα δυο συστήµατα αναφοράς και όχι από το διάνυσµα ² Πως µετασχηµατίζουµε τις συντεταγµένες ενός σηµείου το οποίο είναι ακίνητο στο ένα σύστηµα αναφοράς στις συντεταγµένες του άλλου συστήµατος όταν ένα από τα δυο συστήµατα περιστρέφεται ως προς το άλλο ² Πως µετασχηµατίζουµε τις χρονικές παραγώγους διανυσµάτων από το ένα σύστηµα συντεταγµένων στο άλλο. ü Ο ρυθµός µεταβολής στο περιστρεφόµενο σύστηµα προέρχεται από: (α) ρυθµό µεταβολής των συνιστωσών του διανύσµατος όπως γίνεται αντιληπτός στο ένα σύστηµα και µετασχηµατίζεται στο άλλο σύστηµα (β) µεταβολή του µετασχηµατισµού µεταξύ των δυο συστηµάτων

ΦΥΣ 211 - Διαλ.27 11 Περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων q Σηµεία για προσοχή: Ø Το µέτρο ενός διανύσµατος παραµένει σταθερό ανεξάρτητα του συστήµατος που επιλέγουµε για να το περιγράψουµε r 2 2 = r k = Ø Το εσωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων είναι αµετάβλητο από αλλαγή του συστήµατος συντεταγµένων: a b = a k b k = a k b k Ø Για να δούµε τον ακριβή µετασχηµατισµό συντεταγµένων ü Επιλέξτε δυο συστήµατα µε ίδια αρχή που διαφέρουν κατά µια περιστροφή ü Θεωρήστε το εσωτερικό γινόµενο και το Αναλυτικά: r e το οποίο γράφεται: r 1 = r 1 e1 e 1 + r 2 e2 e 1 + r 3 e3 e 1 r 2 = r 1 e1 e 2 + r 2 e2 e 2 + r 3 e3 e 2 r 3 = r 1 e1 e 3 + r 2 e2 e 3 + r 3 e3 e 3 k k k k r k 2 e e r k ek e = r k ek e (προβολή του άξονα στον άξονα ) k r 1 r 2 = r 3,k e 1 e 1 e2 e 1 e3 e 1 e 1 e 2 e2 e 2 e3 e 2 e 1 e 3 e2 e 3 e3 e 3 Ø O παραπάνω µετασχηµατισµός αποτελεί και τον ορισµό ενός διανύσµατος ü Αποφεύγεται η θεώρηση µέτρου και διεύθυνσης που απαιτούν καθορισµό συστήµατος συντεταγµένων r 1 r 2 r 3

Περιστρεφόμενα συστήματα αναφοράς ΦΥΣ 211 - Διαλ.26 12 q Έστω ότι η θέση ενός σώµατος ως προς στατικό καρτεσιανό σύστηµα: r =1,2,3 q ενώ η θέση ενός σώµατος σχετικά µε περιστρεφόµενο σύστηµα είναι: r =1,2,3 q Το διάνυσµα θέσης εποµένως στα δυο συστήµατα αναφοράς θα είναι: r = r e µε e τα διανύσµατα των στατικών αξόνων συντεταγµένων ŷ yˆ Ø Ανάλογα: r = zˆ ˆx ẑ xˆ r e Ø Για κάποιο περιστρεφόµενο σώµα: διάνυσµα µε συνιστώσες διανύσµατα e = e 1 e 2 e 3 r r e µε τα διανύσµατα των περιστρεφόµενων αξόνων χωρικές συντεταγµένες = στατικές συντεταγµένες σώµατος = περιστρεφόµενες Ø Τι σηµαίνει όµως ότι τα 2 συστήµατα συντεταγµένων σχετίζονται µεταξύ τους µέσω περιστροφής? e Οι στατικοί άξονες,, σχετίζονται µε τους περιστρεφόµενους άξονες,, µέσω µιας γραµµικής σχέσης: e = U e e r 1 r = r 2 r 3 r = 3 3 πίνακας µετασχηµατισµού πίνακας περιστροφής r 1 r 2 r 3

Περιστρεφόμενα συστήματα αναφοράς q Μπορούµε να γράψουµε: e = U e ΦΥΣ 211 - Διαλ.26 13 q Ο πίνακας περιστροφής U εν γένει εξαρτάται από τον χρόνο t, άρα έχουµε U (t) q Η σύνδεση µε τις συνιστώσες θέσης ενός σώµατος µέσω του µετασχηµατισµού: r = r e = U r e = U r Ø και θέλουµε να το συγκρίνουµε µε: r e = r e εφόσον r είναι αµετάβλητο r = r U Ø και θα µπορούσαµε να το γράψουµε µε την µορφή: r = U Τ r e e = δ e e e e = δ q Η σχέση µεταξύ των «χωρικών» και «περιστροφικών» συντεταγµένων: q O πίνακας U έχει την ιδιότητα ότι τα και είναι ορθοκανονική βάση: δηλαδή τα µετασχηµατισµένα διανύσµατα παραµένουν ορθοκανονικά Ορισµός περιστροφής e e = δ e = U q Από την σχέση και την e θα έχουµε: k U k ek l U le l = δ U k U l ek e l k,l = δ k,l U U k lδ kl = δ

Πίνακας περιστροφής q Από την συνθήκη ορθοκανονικότητας έχουµε: q Ουσιαστικά είναι ο τύπος πολ/σµου πινάκων: U k U l δ kl = U k U k q Εποµένως µπορούµε να γράψουµε την (1) σαν: U U Τ = 1 Δηλαδή, ο πίνακας περιστροφής είναι ορθοκανονικός k,l A B k ΦΥΣ 211 - Διαλ.26 14 k ( ) k = A B U Τ = U 1 q Το σύνολο όλων των πινάκων περιστροφής για τους οποίους ισχύει U Τ = U 1 αποτελούν την οθογώνια οµάδα Ο(3) Ø Επειδή U Τ = U 1 det U Τ = det U 1 Ø αλλά det U = det U T και det U 1 = 1 det U det U = +1 det U = ±1 (1) Ορισµός ορθοκανονικού πίνακα ² Το σύνολο των ορθογώνιων πινάκων µε αποτελούν την οµάδα SO(3) στην QM θα δείτε τους πίνακες Paul (πίνακες spn) που ανήκουν στην SO(3) q Ο πίνακας U εξαρτάται εν γένει από τον χρόνο και έχουµε δει ότι: r = r e = r e

ΦΥΣ 211 - Διαλ.27 15 Απειροστές περιστροφές και γωνιακή ταχύτητα q Θεωρήστε ότι έχετε ένα σώµα το οποίο περιστρέφεται ως προς άξονα: q Θεωρήστε ότι ένα σηµείο P πάνω στο σώµα µε διάνυσµα θέσης r t O r t ( ) Ø Η σχέση P q Eξετάζουµε την κίνηση του P ως προς ακίνητο παρατηρητή Ø Πόσο µετακινείται το P σε χρόνο dt? Ø Έστω r ( t + dt) r ( t) + d r όπου d r η απειροστή µετατόπιση ˆn d r d r = rsnθdϕ και d r d ϕ d r r δφ Ø Χρησιµοποιώντας το διάνυσµα ˆn r ( t + dt) r ( t) ˆn r = r snθ θ d r = d ϕ r ( ) Ø Εποµένως: d r = dϕ ˆn r Ø Θεωρώντας: d ϕ dϕ ˆn d r = d ϕ r Ø Η ταχύτητα του σηµείου P για συνεχή περιστροφή θα είναι: Ø Ορίζουµε γωνιακή ταχύτητα ω: ισχύει µόνο για απειροστές περιστροφές ω d ϕ dt u P = d r dt = d ϕ dt r οπότε: u P = ω r Ø Τα διανύσµατα ω και dφ δεν είναι ακριβώς διανύσµατα αλλά ψευδο-διανύσµατα u ψευδοδιανύσµατα περιστρέφονται σαν διανύσµατα αλλά είναι αµετάβλητα ως προς χωρικούς αντικατοπτρισµούς Χ Χ,Υ Υ,Ζ Ζ ( )

Πίνακας περιστροφής ΦΥΣ 211 - Διαλ.26 16 q Ο πίνακας U εξαρτάται εν γένει από τον χρόνο και έχουµε δει ότι: r = r = r e e q Η ταχύτητα εποµένως του σηµείου µε διάνυσµα θέσης r r " = r " e τα e είναι σταθερά και δεν µεταβάλλονται µε τον χρόνο Ø Αλλά αν προσπαθήσω να γράψω την ταχύτητα του r στο περιστρεφόµενο σύστηµα τα e δεν είναι σταθερά και µεταβάλλονται µε τον χρόνο Ø H χρονική παράγωγος του r θα αποτελείται από δυο τµήµατα: r " = "r e + r "e Ø Ποια η χρονική παράγωγος των " e? e " = d U e dt = U " e "e = "U U 1 k ek k "e = ( "U U Τ ) e Ø Εποµένως καταλήγουµε ότι: "r = "r e + r ( "U U Τ ) e "r = "r + ( "U U Τ ) r e Διόρθωση για το γεγονός ότι οι άξονες συντεταγµένων δεν είναι σταθεροί χρονικά

Πίνακας περιστροφής q Είδαµε ότι στο περιστρεφόµενο σύστηµα συντεταγµένων: " r = q Ορίζουµε τον πίνακα: A = U U Τ Ø Α αντισυµµετρικός γιατί: U U Τ = 1 d dt A = U U Τ A Τ = ΦΥΣ 211 - Διαλ.26 17 ο οποίος είναι αντισυµµετρικός "r + ( "U U Τ ) r ( U U Τ ) = 0 U U Τ + U U Τ = 0 ( U U Τ ) Τ A Τ = ( U Τ ) Τ U Τ A Τ = U U Τ Ø Εποµένως: U U Τ + U U Τ = 0 A + A Τ = 0 A = A Τ e Α αντισυµµετρικός q Α είναι ένας 3 3 αντισυµµετρικός πίνακας 0 Ø Καθορίζεται πλήρως µε τον ορισµό των A = 0 στοιχείων πάνω από την κύρια διαγώνιο 0 Εποµένως τα στοιχεία α 12, α 13 και α 23 0 ω 3 ω 2 0 ω αντισυµµετρικός 3 ω 2 A = 0 ω A = 1 ω 3 0 ω 1 0 ω 2 ω 1 0 q Χρησιµοποιώντας φορµαλισµό δεικτών: A k = ε k ω k µε ε k το σύµβολο Lev-Cvta 1 (,,k) = (1,2,3),(2,3,1),(3,1,2) k ε ι k = -1 (,,k) = (1,3,2),(3,2,1),(2,1,3) 0

ΦΥΣ 211 - Διαλ.26 18 Ταχύτητα σε περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων q Είδαµε ότι µπορούµε να γράψουµε: Α = q Τα ω είναι οι συνιστώσες του διανύσµατος: k ε k ω k ω = ω e q Με βάση τα παραπάνω, µπορούµε να γράψουµε τις ποσότητες: " e = "U U Τ ( ) e και e " = Α e = ε k ω k e k r " = "r + "U U Τ ( ) r e γωνιακή ταχύτητα " e = ω e Ø Από το εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων: e k e = ε k e = ε k e q To διάνυσµα της ταχύτητας θα γραφεί: "r = "r + Α r e "r = "r + r ω q Η παραπάνω απόδειξη ισχύει εν γένει, για οποιοδήποτε διάνυσµα w και την παράγωγό του ως προς χρόνο σε περιστρεφόµενο σύστηµα αναφοράς: w = w e = w e w " = "w + w ω ( ) e [ ] e Άθροισµα δυο όρων, ο ένας εκ των οποίων είναι κάθετος στα διανύσµατα και ίσος µε e w ω e

ΦΥΣ 211 - Διαλ.26 19 Επιτάχυνση σε περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς q Θεωρήστε ένα σώµα µε θέση που δίνεται από το διάνυσµα: r = ( ) e q Η ταχύτητά του θα είναι: " r = "r + r ω q Η επιτάχυνση του σώµατος (στο περιστρεφόµενο σύστηµα) προκύπτει από την παράγωγο της (1): a = d "r ( ) dt ( ) e Ø Είδαµε όµως: " "w = dw dt = "w + w ω και θεωρήστε ότι: w = r + r ω d " Ø Εποµένως θα έχουµε: a = [ ( "r + r ω ) + r + r ω dt a = [r "" + r " ω +r " ω + r " " " ω + r ω ω ] e a = r "" + 2 "r ω + "r ω ω + r "ω e (1) r e ( ) " ω " e διάνυσµα επιτάχυνσης σε περιστρεφόµενο σύστηµα q Η έκφραση αυτή της επιτάχυνσης οδηγεί στην εισαγωγή «φαινοµενικών» δυνάµεων

ΦΥΣ 211 - Διαλ.26 20 2 ος Νόμος του Newton σε περιστρεφόμενο σύστημα q Θεωρούµε δυο νέα διανύσµατα ορισµένα στο περιστρεφόµενο σύστηµα (αγνοώντας τις διορθώσεις από την περιστροφή των αξόνων) v σωµ. = "r e και a σωµ. = "" r e q Με τα παραπάνω διανύσµατα, το διάνυσµα της επιτάχυνσης στο περιστρεφόµενο σύστηµα αναφοράς µπορεί να γραφεί: a = r "" + 2r ω + "r ω ω + r "ω e a = a σωµ. + 2 ω v σωµ. + ω ω r ( ) + " ω r (προσοχή: δεν είναι ταχύτητα ή επιτάχυνση) F = m a επιτάχυνση σε περιστρεφόµενο σύστηµα συντεταγµένων q Εποµένως για περιστρεφόµενο σύστηµα αναφοράς, οι εξισώσεις κίνησης είναι: Ø Σύµφωνα µε τον 2 ο νόµο του Newton: Ø Σύµφωνα µε την έκφραση της πραγµατικής επιτάχυνσης α συναρτήσει της α σωµ. εµφανίζονται 3 νέοι όροι: a 1 = ω ( ω r ) φυγόκεντρος επιτάχυνση a 2 = ω v σωµ. Corols επιτάχυνση a 3 = συνεπίπεδη της κίνησης και ω " κάθετη στη φυγόκεντρο. r Euler επιτάχυνση Εµφανίζεται λόγω µεταβολής της ω