Τετραγωνική ρίζα του θετικού αριθμού α, ονομάζεται ο θετικός αριθμός χ, όταν χ = α. Ορίζουμε επίσης ότι: 0 0. Δηλαδή αν α, x > 0 και x, τότε x. Συνέπειες του ορισμού Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει: x Αν x 0 τότε x x x Ιδιότητες ριζών. Το γινόμενο των τετραγωνικών ριζών τους ισούται με την τετραγωνική ρίζα του γινομένου τους. Δηλαδή:.. Το πηλίκο των τετραγωνικών ριζών τους ισούται με την τετραγωνική ρίζα του πηλίκου τους. Δηλαδή:, 0. Απόδειξη. Είναι και α, οπότε Επειδή οι αριθμοί ίσοι. Δηλαδή:.. και α είναι μη αρνητικοί και έχουν ίσα τετράγωνα, είναι. Αποδεικνύεται με τον ίδιο τρόπο με την προηγούμενη ισότητα. Ασκήσεις. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) 8 8 α) 0 8 8 6 6 8 8 6 9 8 8 8 0 0 9 9
. Να αποδείξετε τις ισότητες: α) 0 6 8 0 0 0 8 8 6 α) 0 6 8 6 6 6 6 6,6,9 0,8 0,,8 0 0 9 9 0 0 8 8 9 6 9 6 6 6 6 6 6 6 6 6 9 8, 6,9 0,8 0, 0 0 0 0 6 9 8 0 0 0 0 6 8 6 8,8 0 0 0 0 0 0 0. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: 6, 86 9, 6 9 6 6 86 9 86 86 9 86 86 00 0 6 9 6 6 9 6 6 6 66 6 6
. Να συμπληρώσετε τον πίνακα με τις περιμέτρους και τα εμβαδά των ορθογωνίων ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ και ΚΛΜΝ. Ποιο από τα ορθογώνια έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν; μήκος πλάτος περίμετρος εμβαδόν ΑΒΓΔ ΕΖΗΘ ΚΛΜΝ Περίμετρος του ΑΒΓΔ = 0 Περίμετρος του ΕΖΗΘ = 8 Περίμετρος του ΚΛΜΝ = 6 6 Εμβαδόν του ΑΒΓΔ = 0 Εμβαδόν του ΕΖΗΘ = 8 8 6 Εμβαδόν του ΚΛΜΝ = 9 9 8 μήκος πλάτος περίμετρος εμβαδόν ΑΒΓΔ 0 ΕΖΗΘ 6 ΚΛΜΝ 8 Το ΚΛΜΝ έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν. Να κάνετε τις πράξεις: α) 8 8 6 00 : α) 8 8 8 8 8 8 6 6 6 0 6 6 6 6 6 6 8 8 9 8 9 9 6 00 : : : 00 : : : 00: 0
6. Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα, που έχουν άρρητους παρονομαστές, σε ισοδύναμα κλάσματα με ρητούς παρονομαστές: α) 6 6 α) 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 8 6 9 6 9 6 6. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) x x 6 x x x α) x x 6 x x x x x x 6 6 x x x x x x 9 x x x 9 x 6 x x 8 x 0
8. Να αποδείξετε ότι. Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη ισότητα, να μετατρέψετε το κλάσμα ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή. Είναι:, που έχει άρρητο παρονομαστή, σε. Αν λύσουμε την προηγούμενη ισότητα ως προς έχουμε: ή προκύπτει: ή και αντιστρέφοντας 9. Αν τα τετράγωνα ΑΒΓΔ, ΓΕΖΗ έχουν εμβαδόν 0 m και 8 m αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου ΒΘΙΕ είναι 98 m. Έστω ότι το τετράγωνο ΑΒΓΔ έχει πλευρά μήκους α και το τετράγωνο ΓΗΖΕ πλευρά μήκους β. Τότε:, οπότε: 0 cm 8 cm. Το τετράγωνο ΒΘΙΕ έχει πλευρά με μήκος, οπότε το εμβαδόν του είναι: 0 8 8. ή Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν του ΒΘΙΕ αρκεί να βρούμε το γινόμενο. Είναι 0 8, οπότε με πολλαπλασιασμό κατά μέλη, προκύπτει: 0 8 ή 00 ά 00 0 ό : 8 8 0 8 0 98 m
0. Στις κάθετες πλευρές ΑΒ= cm και ΑΓ = 6 cm ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία Δ, Ε έτσι ώστε: ΑΔ = cm και ΑΕ = cm. Να αποδείξετε ότι ΒΓ = ΔΕ. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, έχουμε: 6 9 6, άρα. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΕ, έχουμε:, ά ό :. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), δίνονται το ύψος ΑΔ = cm και η πλευρά ΒΓ = cm. α) Να υπολογίσετε την πλευρά ΑΓ και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι cm. Στην προηγούμενη ερώτηση μαθητές έδωσαν τις παρακάτω απαντήσεις: 0, 0, 8, 0. Ποιες από αυτές είναι σωστές; α) Από το Πυθαγόρειο θεώρημα το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ, έχουμε: 6 0, ά 0. Η περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ, είναι: cm. Θα απλοποιήσουμε τα αποτελέσματα των μαθητών για να διαπιστώσουμε ποια απ αυτά είναι ίσα με. 0 0 8 ί 0 Άρα σωστές είναι οι απαντήσεις 0 0..Αν οι θετικοί αριθμοί α, β είναι αντίστροφοι, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 8. 6
6 6 Είναι: και 8 8 6 6, οπότε: 8 6 6 6 6 8 8 8 8 8 8 8 8. Επειδή οι α, β είναι αντίστροφοι, ισχύει,. άρα:. Να εξετάσετε πότε ορίζονται (έχουν νόημα) οι παρακάτω παραστάσεις: α) x x x x 0 x α)για να έχει νόημα μια παράσταση με ρίζες πρέπει οι υπόριζες ποσότητες να μην είναι αρνητικοί αριθμοί. Οπότε πρέπει: x 0 ή x. Πρέπει x 0 x 0 ή x Με συναλήθευση προκύπτει x. Για να ορίζεται το κλάσμα, πρέπει το υπόριζο να μην είναι αρνητικός αριθμός και x ο παρονομαστής να είναι διαφορετικός του μηδενός. Δηλαδή πρέπει: x 0 ή x. Επίσης για να ορίζεται το 0 x πρέπει: 0 x 0 ή x 0. Με συναλήθευση προκύπτει: x 0..Να αποδείξετε ότι ο είναι άρρητος. Έστω ότι ο είναι ρητός. Τότε υπάρχουν φυσικοί αριθμοί α, β τέτοιοι ώστε και το κλάσμα να είναι ανάγωγο (δηλαδή δεν δέχεται απλοποιήσεις). Τότε: ή ή. Δηλαδή ο αριθμός α είναι άρτιος, οπότε και ο α είναι άρτιος αριθμός. Επειδή τώρα ο α είναι άρτιος αριθμός, θα είναι πολλαπλάσιο του, δηλαδή x, x. Τότε: x ή x ή x. Άρα ο β είναι άρτιος, οπότε και ο β είναι άρτιος αριθμός. Αφού οι α, β είναι άρτιοι, το κλάσμα απλοποιείται με το και δεν είναι ανάγωγο. Αυτό όμως είναι άτοπο, οπότε ο είναι άρρητος.
Εξάσκηση.Να κάνετε τις πράξεις: α) 6 8 6.Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: α) 90 0 8 0 ε) 8 στ).να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: ζ) 0 90 η) 8 0 6 6 8 99 8.Να απλοποιήσετε τις παρακάτω ρίζες: α) 8 8 ε) 00 στ) 88 9.Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 8 8 8 8 0.Να αποδείξετε ότι: 0.Να αποδείξετε ότι: 0 α) 8 98 8 9.Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή. 8 α).να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) x x x 8 x 8 x x x.αν x = και y = να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: A x y x y..να αποδείξετε, χρησιμοποιώντας την απαγωγή σε άτοπο, ότι οι αριθμοί άρρητοι. 6.Να αποδείξετε ότι: 9 8 6 :8 :. είναι.αν x >, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 8
x : x x 8.Να εξετάσετε πότε ορίζονται οι παρακάτω παραστάσεις: x x x x x x x 9.Να αποδείξετε ότι: α) Στέλιος Μιχαήλογλου 9