Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Σχετικά έγγραφα
Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Λογισμός 4 Ενότητα 18

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 4 Ενότητα 10

~ 1 ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΗ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Τύπος de Moivre Έστω ένας µιγαδικός αριθµός: Τότε. Ν-οστή ρίζα µιγαδικού

4. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. (0.1) όπου z = x + iy. Όταν z = iy τότε ο ανωτέρω τύπος παίρνει την μορφή. e dz = (0.3)

Τίτλος Μαθήματος: Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IΙΙ. Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Μικροβιολογία & Υγιεινή Τροφίμων

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές I

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαγνητικά Υλικά Υπεραγωγοί

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

Λογισμός 4 Ενότητα 13

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 13: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 3. Ενότητα 13: Τύπος του Taylor. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 3. Ενότητα 11: Κανόνας της αλυσίδας. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 4 Ενότητα 12

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Taylor. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 4. Ενότητα 4: Ιδιότητες του Ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 6: Εφαρμογές του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

Λογισμός 4 Ενότητα 19

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

( y = 2, x R) και ( y = 0, x R ) ή ισοδύναμα πάνω στην ευθεία z = 2

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Λογισμός 3. Ενότητα 1: Τοπολογία των Ευκλείδειων χώρων. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

Λογισμός 4. Ενότητα 9: Παραδείγματα από άλλες αλλαγές. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Το άτομο του Υδρογόνου Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Λογισμός ΙΙ. Χρήστος Θ. Αναστασίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΑΝΟΙΚΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γενικά Μαθηματικά Ι Ενότητα 11 : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Προσομοιώσεις και οπτικοποιήσεις στη μαθησιακή διαδικασία

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Λογισμός 4 Ενότητα 14

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Λογισμός 4 Ενότητα 15

Λογισμός 3. Ενότητα 10: Παραγώγιση Διανυσματικών Συναρτήσεων. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ.

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης

Ορισμός κανονικής τ.μ.

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Οικονομετρία. Συστήματα συναληθευουσών εξισώσεων Το πρόβλημα της ταυτοποίησης. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης. Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΔΙΑΔΑΧΘΕΙΣΑΣ ΥΛΗΣ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Οικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 7: Μορφές αγοράς και συγκέντρωση των ΜΜΕ

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης

Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία

Transcript:

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟ ΔΡΟΜΙΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης reative ommons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

[13] την μονότιμη συνάρτηση Logz. Επίσης λόγω του πλειότιμου χαρακτήρα της log z θα έχουμε ενώ z log e = z+ nπ i, όπου n= 0, ± 1, ±,... (4.39) Loge z = z. (4.40) c Η συνάρτηση f( z) = z. Ορισμός: c clog z z = e αν z 0 (4.41) όπου c είναι ένας οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός. Αν στον ανωτέρω ορισμό n θέσουμε c = 1 n όπου n N τότε λαμβάνουμε άμεσα τις ρίζες της εξίσωσης z = 1: 1/ n n Θ k Θ k z = r cos( + π) + isin( + π) n n n n, (4.4) όπου π <Θ π και k = 0,1,,, n 1. Είναι σαφές από τον ορισμό (4.41) ότι η c συνάρτηση z είναι πλειότιμη. Αν καθορίσουμε ένα συγκεκριμένο κλάδο για την c log z ώστε αυτή να γίνει μονότιμη τότε γίνεται μονότιμη και η z. Στο πλαίσιο ενός τέτοιου κλάδου μπορούμε να γράψουμε c1+ c c1 c c z = z z (σε καθορισμένο κλάδο της z ) (4.43) cc 1 c1 c c z = ( z ) (σε καθορισμένο κλάδο της z ) Η συνάρτηση «τετραγωνική ρίζα του z» λαμβάνεται από την (4.4) για n = και γράφεται Θ i 1/ re z για k = 0 z = (4.44) Θ i re z για k = 1 (1 )Logz Η τιμή z στον ανωτέρω τύπο αποτελεί τον κύριο κλάδο e της συνάρτησης 1 z που είναι δίτιμη. 5. ΤΟ ΔΡΟΜΙΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Η έννοια του δρόμου Η συνάρτηση z = z() t = x() t + iy(), t με t [ a, b] R (5.1) όπου οι συναρτήσεις x () t και y () t είναι συνεχείς στο διάστημα [ ab, ] λέμε ότι παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο μια ομαλή (ή λεία) καμπύλη. Η καμπύλη αυτή είναι προσανατολισμένη. Δηλαδή καθώς η πραγματική παράμετρος t διατρέχει το διάστημα [ ab, ] κινούμενη από το a προς το b το σημείο zt () διατρέχει την καμπύλη Χ. Κολάσης. Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 013-014

[14] ξεκινώντας από το za ( ) και καταλήγοντας στο zb ( ). Το μήκος L μιας ομαλής καμπύλης ορισμένης στο διάστημα [ ab, ] ορίζεται από τον τύπο L = b b z () t dt = a [ x ()] t + [ y ()] t dt a, (5.) και όπως εύκολα αποδεικνύεται είναι ανεξάρτητο από την εκάστοτε εκλογή της παραμέτρου t. Αν πάνω στην καμπύλη υπάρχουν πεπερασμένα στο πλήθος σημεία όπου ενώ οι xt (), yt () είναι συνεχείς κάποια (ή και οι δύο) από τις x () t και y () t δεν είναι συνεχής η καμπύλη λέγεται κατά τμήματα ομαλή. Μια κατά τμήματα ομαλή καμπύλη λέγεται δρόμος. Σύμφωνα με αυτό τον ορισμό ο δρόμος είναι η ένωση ενός πεπερασμένου πλήθους ομαλών καμπύλων όπου το πέρας της μιας συμπίπτει με την αρχή της επόμενης. Ένας δρόμος που δεν αυτοτέμνεται, δηλαδή ένας δρόμος για τον οποίο όταν t 1 t τότε zt ( 1) zt ( ), λέγεται απλός. Τον κλειστό δρόμο, δηλαδή τον δρόμο του οποίου τα άκρα ταυτίζονται, θα τον λέμε βρόχο. Ο απλός βρόχος είναι ένας δρόμος του οποίου τα μόνα σημεία που ταυτίζονται για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου t είναι τα άκρα του. Είναι ευνόητο ότι το μήκος ενός δρόμου θα είναι το άθροισμα των μηκών των ομαλών καμπύλων που τον συνθέτουν. Το δρομικό ολοκλήρωμα. Έστω ο δρόμος z= zt (), με a t b, και f( z ) μια συνάρτηση συνεχής πάνω στον. Το ολοκλήρωμα της f( z ) κατά μήκος του δρόμου ορίζεται από την σχέση b f ( z) dz = f [ z()] t z () t dt (5.3) a Σημειώστε ότι αν ο δρόμος είναι βρόχος τότε το δρομικό ολοκλήρωμα θα συμβολίζεται ως εξής: f ( z ) dz. Αν ο βρόχος έχει συγκεκριμένο προσανατολισμό τότε αυτός επιδεικνύεται με ένα βέλος. Π.χ. αν ο προσανατολισμός του βρόχου είναι θετικός (αντίθετος προς την φορά κίνησης των δεικτών ενός ρολογιού) τότε το δρομικό ολοκλήρωμα γράφεται f ( z) dz. Αν ο δρόμος βρίσκεται στο εσωτερικό μιας περιοχής του μιγαδικού επιπέδου όπου η f( z ) έχει αντιπαράγωγο F( z ) (δηλαδή F ( z) = f( z) ) τότε zb ( ) f( zdz ) = f( zdz ) = Fzb [ ( )] Fza [ ( )]. (5.4) z( a) Παρατηρούμε στην (5.4) ότι το δρομικό ολοκλήρωμα δεν εξαρτάται από τον δρόμο αλλά μόνο από το αρχικό σημείο za ( ) και το τελικό σημείο zb ( ) του δρόμου. Εδώ πρέπει να τονίσουμε ότι μόνο σε μια τέτοια περίπτωση είναι επιτρεπτός ο zb ( ) συμβολισμός f( ζ ) dζ για το δρομικό ολοκλήρωμα. Αν τώρα ο δρόμος είναι z( a) βρόχος οπότε za ( ) = zb ( ) τότε προφανώς Χ. Κολάσης. Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 013-014

[15] f ( z) dz = 0. Το δρομικό ολοκλήρωμα είναι γραμμικό, δηλαδή αν z1 και z είναι δύο σταθεροί (δηλαδή ανεξάρτητοι της μεταβλητής z) μιγαδικοί αριθμοί τότε [ z1f ( z) + zg( z) ] dz = z1 f ( z) dz + z g( z) dz. (5.5) Ας θεωρήσουμε δύο δρόμους 1 και όπου το πέρας του 1 συμπίπτει με την αρχή του. Τον δρόμο αυτό θα τον συμβολίζουμε 1+. Τότε θα ισχύει το εξής: f ( z) dz = f ( z) dz + f ( z) dz. (5.6) 1+ 1 Έστω ότι είναι ένας προσανατολισμένος δρόμος με παραμετρική εξίσωση z= zt (), a t b. Αν στον δρόμο αυτό δώσουμε αντίθετο προσανατολισμό τότε θα τον συμβολίζουμε με. Αποδεικνύεται εύκολα ότι f ( z) dz = f ( z) dz. (5.7) Μια σημαντική ιδιότητα του δρομικού ολοκληρώματος είναι η ανισότητα Darboux που διατυπώνεται ως εξής: f ( z ) dz ML. (5.8) όπου ο θετικός πραγματικός αριθμός Μ είναι ένα άνω φράγμα της f( z ) πάνω στον δρόμο (δηλαδή f( z) M για κάθε z πάνω στον ) και L είναι το μήκος του. Ένα θεώρημα με θεμελιώδη σημασία στην μιγαδική ανάλυση είναι το ακόλουθο θεώρημα auchy-goursat: Θεώρημα auchy-goursat: Αν μια συνάρτηση f( z ) είναι αναλυτική πάνω και στο εσωτερικό ενός απλού βρόχου, τότε f ( z ) dz = 0. Ένα πόρισμα του θεωρήματος auchy-goursat είναι η ονομαζόμενη αρχή παραμόρφωσης των βρόχων που διατυπώνεται (βλ. Σχήμα 5.1) ως εξής : Αρχή παραμόρφωσης των βρόχων: Έστω ότι ένας απλός βρόχος 1 περικλείει τον απλό βρόχο που έχει τον ίδιο προσανατολισμό με τον 1. Αν η συνάρτηση f( z ) είναι αναλυτική στην περιοχή που έχει εξωτερικό σύνορο τον 1 και εσωτερικό σύνορο τον τότε θα ισχύει f ( z ) dz = f ( z ) dz. 1 Χ. Κολάσης. Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 013-014

[16] Σχήμα 5.1 Με την βοήθεια του θεωρήματος auchy-goursat και της αρχής παραμόρφωσης των βρόχων εύκολα αποδεικνύεται ο ακόλουθος τύπος που φέρει την ονομασία ολοκληρωτικός τύπος του auchy. Ολοκληρωτικός τύπος του auchy: Αν η συνάρτηση f( z ) είναι αναλυτική πάνω και στο εσωτερικό του απλού και θετικά προσανατολισμένου βρόχου και z είναι ένα τυχόν σημείο στο εσωτερικό του, τότε θα ισχύει ο τύπος f( z) = 1 f ( ς ) dς πi. ς z Ο τύπος αυτός γενικεύεται και για τις παραγώγους της συνάρτησης f( z ) ως εξής: Ολοκληρωτικός τύπος του auchy για τις παραγώγους: Αν η συνάρτηση f( z ) είναι αναλυτική πάνω και στο εσωτερικό του απλού και θετικά προσανατολισμένου βρόχου και z είναι ένα τυχόν σημείο στο εσωτερικό του, τότε στο z η f( z ) έχει παραγώγους κάθε τάξης που δίνονται από τον τύπο n! f( ς ) ( ) =, = 0,1,, ( n) f z dς n n+ 1 πi ( ς z) Παρατηρούμε ότι στον τύπο αυτό θέτοντας n = 0 λαμβάνουμε τον ολοκληρωτικό τύπο του auchy. 6. ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΕΣ Δυναμοσειρές: Μια σειρά με την μορφή n an ( z z0) = a0 + a1( z z0) + a( z z0) +... (6.1) n= 0 Χ. Κολάσης. Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 013-014

Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. http://ecourse.uoi.gr/course/view.php? id=1348.

Σημείωμα Αναφοράς opyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος. «Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί. ΤΟ ΔΡΟΜΙΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?i d=1348.

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης reative ommons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/ by-sa/4.0/.