1 Μερική παραγώγιση και μερική παράγωγος

Περίγραμμα διάλεξης 5 Βιβλίο Chiang και Wainwright (κεφ 74,75,76) 1 Μερική παραγώγιση και μερική παράγωγος Έστω η συνάρτηση (x) όπου x R ή εναλλακτικά γράφουμε ( 1 2 ) Το διάνυσμα x περιέχει τις ανεξάρτητες μεταβλητές 1 2 Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση χρησιμότητας ( ) για έναν αντιπροσωπευτικό (μέσο;) καταναλωτή ( ) 1 όπου 00 σταθερές ενώ : η κατανάλωση (consumption) και : η σχόλη (leisure)αντίστοιχα Συμβολισμός μερικής παραγώγου 06 ή ή Για παράδειγμα 0 ή ( ) ή Αντίστοιχα 0 ή ( ) ή Ερμηνεία μερικής παραγώγου 06 ( 1 2 + ) ( 1 2 ) lim 0 1

Παράδειγμα ( ) ln 2 +2 2 +15 ( ) ( ) 4 2 +2 2 +15 2 2 +2 2 +15 Παράδειγμα ( ) ln(2 +3)+3 4 + ( ) ( ) 12 3 + 2 2 +3 +34 Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ; 2 1 ( ) 2 2 2 2 για μία κανονικά κατανεμόμενη τυχαία μεταβλητή 2 δηλαδή R ( ) ; 2 Μερική παράγωγος ως προς τη μέση τιμή 1 1 µ ( ) 2 2 2 2 2( )( 1) 2 2 Μερική παράγωγος ως προς τη διακύμανση 2 2 ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 Γράφημα 74 από το βιβλίο Chiang Μερική παράγωγος συνάρτησης παραγωγής ( ) ως προς την εργασία (κίνηση στα σημεία ) 1 Θεωρούμε ότι η ; 2 είναι συνάρτηση των παραμέτρων 2 ; για δεδομένες τιμές της όπως γίνεται, πχ, σε συγκεκριμένες μεθόδους στατιστικής εκτίμησης 2

11 Παραδείγματα Συνάρτηση παραγωγής 2, έστω τύπου Cobb-Douglas Οριακό φυσικό προϊόν κεφαλαίου και εργασίας 3 (οριακή παραγωγικότητα κεφαλαίου και οριακή παραγωγικότητα εργασίας) ή οριακό προϊόν Το οριακό φυσικό προϊόν ενός συντελεστή παραγωγής (εισροής) είναι το επιπλέον προϊόν που παράγεται αν απασχολήσουμε μία επιπλέον μονάδα της εισροής αυτής, ενώ όλες οι υπόλοιπες εισροές παραμένουν σταθερές Αντίστοιχα, υιοθετώντας τη συνάρτηση χρησιμότητας 4, ορίζουμε την οριακή χρησιμότητα κάθε αγαθού ως την επιπλέον χρησιμότητα που απολαμβάνει ο καταναλωτής από μία επιπλέον μονάδα του αγαθού που καταναλώνει κρατώντας την κατανάλωση του άλλου αγαθού σταθερή ( ),, 2 Production function 3 Marginal Physical Product (of capital ή of labor) ή Marginal Product (of capital ή of labor) 4 Utility function 3

2 Διάνυσμα κλίσης (gradient vector) Τα διανύσματα θα συμβολίζονται στις σημειώσεις με έντονη γραφή (όπως πριν όπου είχαμε x ) Τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης τις τοποθετούμε συχνά (για αλγεβρική ευκολία) μαζί σε ένα διάνυσμα γραμμής ή στήλης το οποίο συμβολίζεται ως Αναλυτικά 21 Εφαρμογές x ³ 1 x 2 ή ή ή x 1 2 ( ), µ µ 1 1 ( ) +, µ 2 ( ) ln( 1 )+ ( 2 ), ( ) µ 2 2 +, ( ), µ 1 22 Γενίκευση σε n συναρτήσεις Έστω συναρτήσεις 1 με ανεξάρτητες μεταβλητές 1 2 1 1 ( 1 2 ) 2 2 ( 1 2 ) ( 1 2 ) 4

Ιακωβιανή μήτρα και Ιακωβιανή ορίζουσα 1 1 1 2 1 y x ( 1 ) ( 1 ) 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 Ένας έλεγχος για τη συναρτησιακή εξάρτηση (γραμμική ή μη-γραμμική) των συναρτήσεων/εξισώσεων ενός συστήματος εξισώσεων με ανεξάρτητες μεταβλητές στηρίζεται στην Ιακωβιανή ορίζουσα (αν είναι μηδενική ή όχι) Για παράδειγμα, έστω το σύστημα (γραμμική σχέση των δύο εξισώσεων) 1 +5 (6 1 ) 2 6 +30 με ανεξάρτητες μεταβλητές τις Η Ιακωβιανή ορίζουσα δίνεται από 1 1 5 6 30 0 2 2 ενώ και για το μη-γραμμικό σύστημα (υπάρχει μη-γραμμική σχέση μεταξύ των εξισώσεων) 1 +5 2 1 2 2 2 +10 +25 2 1 2 1 2 5 2 2 +10 10 +50 0 Παρατηρήστε ότι για ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων με μεταβλητές η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι ίση με την ορίζουσα της μήτρας των συντελεστών 5

των μεταβλητών, δηλαδή όταν θεωρήσουμε κάθε γραμμική εξίσωση των μεταβλητών 1 ως μία συνάρτηση 1 1 + 2 2 + + 3 Ολικά διαφορικά (Βιβλίο Chiang και Wainwright κεφ 8) Έστω η συνάρτηση ( 1 2 ) Γενικός τύπος ολικού διαφορικού 1 1 + 2 2 + + ή 1 1 + 2 2 + + Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση ζήτησης χρήματος µ + όπουηζήτησηχρήματος έχει αποπληθωριστεί με το επίπεδο των τιμών, άρα πραγματική ζήτηση χρήματος Η πραγματική ζήτηση χρήματος εξαρτάται θετικά από το εισόδημα (ζήτηση για συναλλακτικούς σκοπούς) και αρνητικά από το επιτόκιο Η συνολική μεταβολή στη ζήτηση χρήματος αναλύεται με βάση το ολικό διαφορικό σε µ + µ + + ; 6

Μερική παραγώγιση, στην περίπτωση που το εισόδημα παραμένει αμετάβλητο έχουμε µ 0 () 0 31 Παραδείγματα 1 Βρείτε το ολικό διαφορικό της συνάρτησης χρησιμότητας ( 1 2 ) ln 1 +(1 ) 1 2 Έχουμε ότι 1 + 2 1 2 1 1 + 2 2 με και άρα 1 1 + (1 ) 1 1 2 2 (1 ) 1 1 2 + (1 ) 1 1 2 1 + (1 ) 12 1 2 1 32 Ολική παράγωγος (σε αντιδιαστολή με τη μερική) Ολικό αποτέλεσμα άμεσο αποτέλεσμα + έμμεσο αποτέλεσμα ( ), () (()) + + 7

1 Άμεσο αποτέλεσμα (ceteris paribus) ή αυτόνομο 2 έμμεσο αποτέλεσμα 3 Ολικό αποτέλεσμα 321 Παραδείγματα 1 Έστω η συνάρτηση παραγωγής ( ), (), () όπου συμβολίζει χρόνο Άρα έχουμε μία δυναμική συνάρτηση παραγωγής Συμβολίζουμε τη μεταβολή ενός μεγέθους στο χρόνο με Τότε η συνολική μεταβολή του προϊόντος στον χρόνο δίνεται από + + όπου συμβολίζει την αυτόνομη ή άμεση μεταβολή (θα υπήρχε μεταβολή ακόμα και αν 0) 4 Πεπλεγμένες συναρτήσεις Αν μιά συνάρτηση δίνεται στην μορφή ( 1 2 ) τότε λέμε ότι βρίσκεται σε λυμένη μορφή (ανηγμένη) Δίνεται καθαρά η σχέση εξαρτημένης και ανεξάρτητων μεταβλητών 1 2 Εάν βρίσκεται στη μορφή της εξίσωσης ( 1 2 )0τότε λέμε ότι βρίσκεται σε πεπλεγμένη μορφή 41 Παράδειγμα Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα δίνεται από την εξίσωση ½ p 2 2 2 2 2 αν 2 2 p 2 2 αν 2 2 ή μέσω πεπλεγμένης συνάρτησης Παράδειγμα Έστω ότι 2 ( ) 2 + 2 2 0 8

2 + 2 40 y 3 2 1-3 -2-1 1 2 3-1 x -2-3 42 Θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων Υπάρχει ένα θεώρημα που εγγυάται την επιλυσιμότητα μίας πεπλεγμένης μορφής, τουλάχιστον τοπικά στην περιοχή ενός σημείου και το οποίο μας δίνει έμμεσα και ενδιαφέρουσες μερικές παραγώγους Γιαπαράδειγμαμπορείναείναιδύσκολοναεπιλύσουμετην ώστε να καταλήξουμε στην ( 1 2 )0 ( 1 2 ) ενώ μπορεί να είναι και τεχνικά αδύνατο αφού μπορεί να μην έχουμε αναλυτική παρουσίαση της συναρτησιακής μορφής της ( 1 2 )0 Επιπλέον, αν μας ενδιαφέρει η παράγωγος (τιμή ή πρόσημο) να κάνουμε; τι μπορούμε Θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων Έστω ότι ( 1 2 )0 z ( x) R +1 9

όπου ( 1 2 ) μία συνεχής συνάρτηση στο σημείο z 0 ( 0 x 0 ) τέτοιο ώστε: Έστω επίσης ένα 1 (z 0 )0 2 Οι μερικές παραγωγοι 1 είναι συνεχείς σε μιά γειτνίαση του σημείου z 0 3 (z 0 ) 6 0 Τότε υπάρχει περιοχή R του x 0 και μια συνάρτηση (x) : R τέτοια ώστε (α) (β) (γ) 0 (x 0 ) (x(x)) 0 x Χρησιμοποιώντας το ολικό διαφορικό 421 Παράδειγμα + 1 1 + + (0) + 1 1 + + 0 (όταν 0 6 ) + 0 0 6 Ένα παράδειγμα όπου είναι δύσκολο να βρεθεί η λυμένη μορφή ( ) η οποία, επιπλέον, δεν μας ενδιαφέρει Θέλουμε να υπολογίσουμε την μερική παράγωγο και Έστω λοιπόν ότι η πεπλεγμένη μορφή δίνεται από ( ) 3 2 + 3 + 30 10

Οι μερικές παράγωγοι δίνονται από 3 2 2 + 2 3 + 3 2 + Τότε η ( ) υπάρχει 6 0και 422 Παράδειγμα 23 + 3 2 2 + 32 + 3 2 2 + Έστω η συνάρτηση παραγωγής σε πεπλεγμένη μορφή Ορίζεται η συνάρτηση παραγωγής ( ) 0 ( ) Πώς μπορώ να βρώ το οριακό φυσικό προϊόν εργασίας και κεφαλαίου ; µ µ Επίσης πως μπορώ να βρώ τον, οικονομικά σημαντικό, οριακό λόγο τεχνικής υποκατάστασης 5 ; Υποκαταστασιμότητα/Συμπληρωματικότητα εισροών Πόσο πρέπει να μειωθεί το κεφάλαιο όταν αυξηθεί η εργασία ώστε το προϊόν να παραμείνει σταθερό; 5 Marginal rate of technical substitution 11

Κίνηση πάνω στην καμπύλη ίσου προϊόντος + + 0 0 Σημείωση 1: Καμπύλη ίσου προϊόντος (isoquant) Η συγκεκριμένη καμπύλη ίσου προϊόντος απεικονίζει τους συνδυασμούς των συντελεστών παραγωγής (εισροών) που μπορούν να παράγουν μία δεδομένη ποσότητα προϊόντος Διαγραμματικά, αν για δεδομένο σχεδιάσουμε την καμπύλη ; τότε σχεδιάζουμε μία καμπύλη ίσου προϊόντος 6 Αν μεταβάλλουμε (για παράδειγμα αυξάνοντας 3 2 1 ) το προϊόν τότε μετακινούμαστε σε υψηλότερη καμπύλη ίσου προϊόντος 7 Βλ το παρακάτω γράφημα για καμπύλες ίσου προϊόντος τύπου Cobb-Douglas K 4 35 3 25 2 15 1 05 Q 3 Q 2 Q 1-02 -01 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 21 22 L Σημείωση 2: η αντίστοιχη έννοια για τη συνάρτηση χρησιμότητας ( ) είναι οι καμπύλες αδιαφορίας (;) όπου συνδυασμοί των αγαθών 6 Αντίστοιχα μπορούμε να αντιστρέψουμε τους άξονες και να σχεδιάσουμε την 1 ; 7 Περισσότερα στα μαθήματα της μικροοικονομικής 12

αποδίδουν το ίδιο επίπεδο χρησιμότητας, άρα ο καταναλωτής είναι αδιάφορος ως προς το ποιόν συνδυασμό θα καταναλώσει αν ο συνδυασμός βρίσκεται στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας Αντίστοιχα, οοριακόςλόγοςυποκατάστασης (marginal rate of substitution) του αγαθού με το αγαθό είναι η ποσότητα του την οποία ο καταναλωτής είναι διαθέσιμος να υποκαταστήσει (ανταλλάξει) με ποσότητα του Ερώτηση/Άσκηση: Βρείτε τον οριακό λόγο υποκατάστασης για μία συνάρτηση χρησιμότητας τύπου Cobb-Douglas ( ) μέσω πεπλεγμένων συναρτήσεων ή έμμεσης παραγώγισης και μέσω απευθείας παραγώγισης Απάντηση: ή () 1 µ () 1 [32] 1 1 [32] (+[32]) [32] µ 1 [32] (+[32]) [32] Σημείωση: Μέτρηση δυνατότητας υποκατάστασης (substitutability) Έστω ότι θέλουμε να μετρήσουμε την δυνατότητα υποκατάστασης (ή συμπληρωματικότητας) δύο συντελεστών παραγωγής ή δύο αγαθών στη συνάρτηση χρησιμότητας Το συχνότερα υιοθετούμενο μέτρο είναι αυτό της ελαστικότητας υποκατάστασης (elasticity of substitution) των John Hicks (1932) και Joan Robinson (1933) ln ( ) ln 1 ή ln ln ( ) μετρά την ποσοστιαία μεταβολή (αντίδραση) στον οριακό λόγο (τεχνικής) υποκατάστασης (που μετρά υποκαταστασιμότητα) εξαιτίας μίας ποσοστιαίας μεταβολής στην αναλογία των συντελεστών ή μετρά την ποσοστιαία μεταβολή στην αναλογία των συντελεστών εξαιτίας μίας ποσοστιαίας μεταβολής στον οριακό λόγο (τεχνικής) υποκατάστασης Είναι ένα μέτρο ευκολίας με την οποία ο μεταβαλλόμενος συντελεστής παραγωγής (ή αγαθό) υποκαθίσταται από έναν άλλο Επίσης μετρά την καμπύλωση (curvature) τηςκαμπύληςίσουπροϊόντοςήαδιαφορίας(lerner, 1933) Περισσότερα στις ασκήσεις της διάλεξης 13

Ερώτηση/άσκηση: Για μία συνάρτηση χρησιμότητας τύπου Cobb-Douglas ( ) υπολογίστε την ελαστικότητας υποκατάστασης (elasticity of substitution) ; Απάντηση: ln( ) 1 1 ln( ) 423 Παράδειγμα (sos) Συγκριτική στατική ανάλυση σε πρόβλημα βελτιστοποίησης Έστω η συνάρτηση παραγωγής : () :R + R + με 0 και 0 (φθίνουσες αποδόσεις) Υποθέστε ότι 0συμβολίζει την τιμή του προϊόντος μεγιστοποιήσουμε τη συνάρτηση κέρδους Π () Θέλουμε να καιναπροβούμεσεσυγκριτικήστατικήανάλυσητηςζήτησηςεργασίας ως προς το μισθό Δηλαδή μας ενδιαφέρει το πρόσημο της παραγώγου εργασίας δίνετια από argmax Π Πώς μπορούμε να απαντήσουμε στο ερώτημα ; Από την ΣΠΤ Π 0 0 λαμβάνουμε μία πεπλεγμένη συνάρτηση ( ) 0 που ικανοποιείται σίγουρα για δηλαδή ( )0 Η μερική παράγωγος της πεπλεγμένης ( ) ως προς είναι ενώωςπροςτο είναι Άρα 0 1 µ 1 1 0 14 Η ζήτηση

5 Πεπλεγμένες εξισώσεις και συστήματα Έστω το σύστημα πεπλεγμένων εξισώσεων 1 ( 1 1 ) 0 2 ( 2 1 ) 0 ( 1 ) 0 όπου 1 είναι ενδογενείς μεταβλητές και 1 είναι εξωγενείς μεταβλητές Το θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης γενικεύεται σε συγκεκριμένα συστήματα εξισώσεων όπως το παραπάνω Επιπλέον, των προϋποθέσεων για κάθε μία των εξισώσεων, δηλαδή (α) το σημείο y 0 x 0 ικανοποιεί τις εξισώσεις (μελλοντικά το συγκεκριμένο σημείο θα είναι συχνά το στάσιμο σημείο άραθαικανοποιείεξισώσειςοιοποίες θα αντιπροσωπεύουν συνθήκες πρώτης τάξης) (β) οι εξισώσεις έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους, τουλάχιστον πρώτης τάξης, σε κάποιο ανοιχτό σύνολο σημείων γύρω από το y 0 x 0 πρέπει να ισχύει και (γ) μη-μηδενικότητα της Ιακωβιανής ορίζουσας 1 1 1 2 1 F y 2 2 1 2 1 1 1 6 0 Τότε ορίζονται οι συναρτήσεις 1 στο σημείο y 0 x 0 - και στην περιοχή γύρω από αυτό - και ικανοποιούν τις εξισώσεις 1 1 ( 1 ) 2 2 ( 1 ) ( 1 ) ενώ ισχύει ότι (συγκριτική στατική ανάλυση) y F 15

δηλαδή 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 {z 1 } 1 2 {z } y 1 2 {z } F Οπότε αν θέλουμε να προβούμε σε συγκριτική στατική ανάλυση και να μελετήσουμε την ποσότητα τότε μέσω της λύσης Cramer (ούτωςήάλλωςθυμηθείτεότι γιαναέχεινόημαηανάλυσηπρέπει 6 0) έχουμε ότι 8 Παράδειγμα + 0 + 0 0 0 0 1 ( ) 0 + ( ) ( )0 2 ( ) 0 + 0 3 ( ) 0 1 2 3 1 2 3 1 (1 ) 1 2 3 1 1 0 1 0 1 Ερώτημα 1 (όπως σε προηγούμενη διάλεξη) 0 ;, Απάντηση 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 3 1 0 0 0 0 ; 1 1 0 0 1 0 0 1 1 (1 ) 1 1 (1 ) 1 16

3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 (1 ) 1 (1 ) 1 Ερώτημα 2 ; ; αλλαγή στο ύψος της φορολόγησης από πηγές εκτός εισοδήματος (πχπλούτος) Απάντηση 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 3 0 1 1 (1 ) 1 0 0 0 1 1 1 (1 ) 1 (1 ) 0 0 1 1 2 3 1 1 (1 ) 1 ½ (0 1) αν 1 1 αν 17