ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 58 5 ΙΑΣΚΕ ΑΣΜΟΣ-ΣΧΕΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ Ειδικά θα αχληθύ τη διάδη Η/Μ κυάτν η αγώγι διηλκτρικό υλικό. Είδα παραπάν ότι τα Η/Μ κύατα έα υλικό (, ) έχυν αική ταχύτητα u και υνπώς δίκτης διάθλαης η θα ίναι n c u. Επιδή γνικά τ ίναι πλύ κντά τη νάδα ιχύι η χέη: n () Η διηλκτρική ταθρά και κατά υνέπια δίκτης διάθλαης η ξαρτώνται από τη υχνότητα τυ πρπίπτντς Η/Μ κύατς. Η ανάλυη πυ ακλυθί θα πρπαθήι να ξηγήι τη υική βάη της ξάρτηης ηη() καθώς πίης και τ ηχανιό για τν πί ς πί τ πλίτν u<c. ) Τέλις ντής Βαικά αναένυ ότι τ Η/Μ πδί διαταράι την τρική κατανή ρτίυ ένα διηλκτρικό κυρίς τ χριό τν θτικών από τα αρνητικά ρτία. Αν υβλίυ ξ τ ξτρικό ηλκτρικό πδί τότ ι δηιυργύνς διπλικές ρπές κραζόνς από την πόλη P τυ διηλκτρικύ υνιέρυν τ τλικά απκαθιτών πδί P, ξ () (Η χέη () ίναι πργγιτική. Σ αυτή δ λαβάνται υπόψη η πίδραη τν γιτνικών ατόν τ πδί.) Γνικά ιχύι: ξ ( ) (3α) όπυ ( ) :τανυτής (πίνακας) διηλκτρικής διαπρατότητας. Αν ξ,όπς και την πρίπτή ας,τότ τανυτής ( ) ίναι ία ταθρά, η διηλκτρική ταθρά τυ έυ. Άρα: ξ (3β) Από την () και την (3α) έχυ: ( ) P P Πρκύπτι ότι: ξ P και τλικά + (4) Θρώντας αρνικό ξτρικό πδί αναένυ ότι τ θα ίναι πίης αρνικό. Θα ξτάυ την πίδραη τυ παραπάν πδίυ τα ξτρικά ηλκτρόνια (ηλκτρόνια θένυς) τν ατόν, τα πία θρύ υνδδένα τα άτα λατήρια ταθράς m όπυ m η άζα τυ ηλκτρνίυ. Αν χ η απόκλιη από τη θέη ιρρπίας τότ η διαρική ξίη πυ διέπι την κίνηη τυ ηλκτρνίυ θα ίναι: q m m d (5) d όπυ $ τ πδί πυ τλικά απκαθίταται και q τ ρτί τυ ( k) ηλκτρνίυ. Τ πδί ίναι γνικά. Υπθέτυ ότι τ ήκς κύατς τυ πδίυ ίναι πλύ γαλύτρ από τ έγθς τυ ατόυ έτι ώτ όλη τη διάταη τυ ατόυ τ πδί πυ βλέπι τ ηλκτρόνι να έχι την ίδια τιή. Συνπώς πρύ να θρήυ αλητέα τη χρική ταβλή, δηλαδή παίρνυ $.
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 59 Θρώντας τώρα ότι τ ηλκτρόνι ταλαντώνται την ίδια υχνότητα όπς τ αναζητύ λύις της ρής: () Αντικαθιτώντας αυτή τη χέη (5) καταλήγυ: q m () (6) ( ) Αν < τότ τα Ε και χ έχυν τ ίδι πρόη. Αλλά P q() N (7) όπυ Ν αριθός τν ηλκτρνίν ανά νάδα όγκυ. ( 6),( 7) q N P (8) m ( ) q N και λόγ της χέης (4) + m Από την () τλικά πρκύπτι: n q N + m Φαίνται αές η ξάρτηη τυ δίκτη διάθλαης από τη υχνότητα. Στην πράξη υπάρχυν πριότρς από ία υικές υχνότητς. Η () γράται τότ: q N f n () + () m Τα f γνικά αντιπρπύυν τη υνιρά τν διαόρν τρόπν ταλάντης την πλιότητα τυ υλικύ και υνπώς τ δίκτη διάθλαης. ) Ατλής ντής Παρατηρύ την () ότι όταν η πληιάζι πρς ία από τις χαρακτηριτικές υχνότητς τ η γίνται αυνχές, πράγα πυ αντιβαίνι πρς τις πιραατικές παρατηρήις. Αυτό ίλται τ γγνός ότι την αρχική διαρική ξίη πυ πιλύα δν λάβα υπόψη τη δύναη τριβής (damng fc) πυ ίλται την αλληλπίδραη ταξύ τν γιτνικών ατόν και ρίν και η πία ίναι ανάλγη της ταχύτητας γ d.πληρέτρη ξίη κίνηης ίναι η παρακάτ: d d q m m m d γ () d d και αναζητώντας λύη της ρής:, θα έχυ : d d q d d m + γ + Σηιώτ ότι υντλτής γ έχι διατάις υχνότητς. Τυπικές τιές τυ γ ίναι της τάξης ~ 8 s -.Αντικαθιτώντας τ χ από την παραπάν έκραη έχυ: q m q m γ ( ) + γ ( ) + γ [( ) ] Αν γράψυ τ χ τη ρή A, τότ πρκύπτι: (9) ()
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 6 q m ( ) + γ διαρά άης ταξύ και () ή P : an Άρα () γ q m q m ( ) () ( ) + γ ( ) + γ Από τις χέις (4) και (7) θα έχυ τη γνική πρίπτη, θρώντας ότι κάθ τρόπ ταλάντης αντιτιχί ένα γ, την έκραη: όπυ n an qn f + m ( ) + γ γ ή γ ( ) + γ Λαβάνντας υπόψη ότι q N 5 (η τιή της για τν Cu ίναι 5.5 s ) m υχνότητα πλάατς καταλήγυ την έκραη : γ n + f ( ) + γ ( ) + γ (3) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ / ΣΧΟΛΙΑ. Η έκραη (3) τυ δίκτη διάθλαης υπδικνύι ότι ίναι ιγαδικός αριθός ήτι ηη π -η, πυ κατά τα χτικά της λίδας 54 ηαίνι ξαθένηη τυ κύατς έα από ντικό υλικό. Ας ηιθί ότι αυτό ανανόταν καθ όν όρς mγ d τη χέη () αντιπρπύι ταρά νέργιας από τα ταλαντύνα d ρτία πρς τ έ η πία ανίζται ς θρότητα τυ υλικύ.στα πριότρα από τα υλικά τ γ βρίκται την πριχή 6 ές s - τις πτικές υχνότητς ( 4 s - ). Για ακριά τυ τ αντατικό έρς τυ η ίναι αλητέ. Μ άλλα λόγια δ.δ. ίναι πραγατικός αριθός κτός της πριχής υντνιύ. Στην πρίπτη τέλιυ ντή, γ πότ η, τ κύα διαδίδται χρίς ξαθένηη. Τ πλάτς τυ ίναι ταθρό έα τν τέλι ντή υνία και την ανάλυη τις λίδς 4 και 43. Για τ πρί να παραληθί από τν παρανατή και υνπώς τ η ίναι ταθρό. Καθώς τ αυξάνι πληιάζντας τ όρς αρχίζι να λαττώνται και θρώντας τν όρ τριβής γ αλητέ πρύ να πύ ότι τ η αυξάνι τη υχνότητα (αλός διακδαός). Καθώς τ πληιάζι τη υική υχνότητα αρχίζι να δηιυργίται κατάταη υντνιύ. Ταυτόχρνα όρς γ αρχίζι να γίνται
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 6 ηαντικός απτέλα ηαντική απρρόηη νέργιας από τ πρπίπτν κύα. Στην πριχή πλύ κντά τ τ dn/d γίνται αρνητικό (ανώαλς διακδαός). Για ένα υλικό πριότρς της ιας η γραική παράταη της χέης διακδαύ έχι την παρακάτ ρή: n ρατό 3 υπέρυθρ υπριώδς Σχήα 8 ακτίνς Χ. Στην πρίπτη της υπυκνένης ύλης, τα γιτνικά άτα δηιυργύν P πίης πδί. Τότ η () γράται τότρα ς ξής: ξ (4) 3O και η έκραη τυ διακδαύ έχι τλικά τη ρή: n q N f (5) n + 3 m ( ) + γ 3. Ένα άλλ ηί τ πί έχι νδιαέρν ίναι όταν η υχνότητα τυ Η/Μ κύατς γίνι γαλύτρη από τ,τότ η < δηλαδή η<. Αυτό αιννικά έρχται αντίθη τη θρία της χτικότητας αύ η< υνπάγται αική ταχύτητα γαλύτρη της ταχύτητας τυ τός. Αλλά η αική ταχύτητα δν ταδίδι πληρρία. Η αδική ταχύτητα αντιθέτς, η πία έχι υικό πριχόν, ίναι πάντα ικρότρη της ταχύτητας τυ τός. 4. Αξίζι πίης να ιπθύν ρικά λόγια γιατί τ Η/Μ κύα διαδίδται έα την ύλη ταχύτητα διάδης διάρη της c. Όταν τ Η/Μ κύα πέι τ διηλκτρικό υλικό πλώνι τ έ και ξαναγκάζι τα ηλκτρόνια να ταλαντώννται. Αυτά τη ιρά τυς ακτινβλύν νέργια τη ρή Η/Μ κυάτν. Μλνότι τ κλαικό ντέλ πρβλέπι ότι τα ηλκτρόνια ταλαντώννται άη τ διγίρν πδί, αυτό υβαίνι όν για χαηλές υχνότητς. Καθώς η υχνότητα τυ κύατς αυξάνι παρατηρίται ια διαρά άης, υνέπια τα δυτργνή κύατα πυ πρκαλύνται λόγ της ταλάντης τν ηλκτρνίν, να έχυν διαρά άης τ αρχικό πρπίπτν κύα. Τ τλικό απτέλα ίναι ότι τ κύα πυ διαδίδται έα τ υλικό έχι διαρά άης τ αρχικά πρπίπτν Η/Μ κύα. Αυτό ός ίναι ιδύνα διαρά τη αική ταχύτητα. Πράγατι έτ ότι ένα ηί τυ χώρυ Α (τ κνό) η διαταραχή ίναι cs( ). Όταν τ ηί αυτό βρθί έα τη διηλκτρική ύλη λόγ της διαράς άης η διαταραχή θα κράζται από ια χέη της ρής: cs( ). Η υχνότητα διάδης τυ κύατς έα την ύλη ίναι ίδια αυτή τ κνό. Ένας παρατηρητής τ ηί Α θα πρέπι να πριένι πριότρ χρόν ένα υγκκριέν ηί τυ κύατς (π.χ. τ mamum) να βρθί τ Α έα την ύλη παρά τ κνό. Μ άλλα λόγια η ταχύτητα διάδης τυ κύατς την ύλη ίναι ικρότρη αυτής τ κνό (n>). Ανάλγα άλλς πριπτώις πρί να βρθί n<. 5. Τλικά πρέπι να τνιθί ότι τ κάλαι (4) αναρόν τη διάδη Η/Μ κυάτν έα την ύλη και τ κάλαι (5) αναρόν την απόκριη της
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 6 ύλης Η/Μ πδία απτλύν ιδύνας αναλύις νός και τυ αυτύ θέατς και υνπώς αναένται να καταλήγυν τα ίδια υπράατα. Αυτό αίνται την πόνη παράγρα όπυ η ανάλυη για τα έταλλα δηγί την ίδια έκραη για τ πιδρικό βάθς όπς αυτή πυ βρήκα τη λίδα 45. Άκηη: Τ απταγέν νρό έχι, 8,. Από τη χέη n πρκύπτι η9. Είναι ός πιραατικά γντό ότι για τ ς τ νρό έχι δίκτη διάθλαης η.33. Πυ ίλται κατά τη γνώη ας αυτή η αυνέπια; (Για την ιτρία αναέρται ότι αυτή η πρίπτη ίχ χρηιπιηθί ς ένδιξη ναντίν της θρίας τυ Mawll) Απάντηη: Η απάντηη έγκιται τ γγνός ότι η διηλκτρική ταθρά δν ίναι ταθρή, αλλά ξαρτάται από τη υχνότητα τυ κύατς. Η παραπάν τιή της ιχύι για τίνντς τ ηδέν. Για τις υχνότητς τυ τός (π.χ. για ς νατρίυ λ589nm) βρίκυ.77 και η.33. Συπέραα: να ην ξχνά ότι δίκτης διάθλαης και διηλκτρική ταθρά πλλές υίς ταβάλλνται τη υχνότητα, ήτι ηη() και (). Αυτή η ξάρτηη ός αναπτύχθηκ πρηγύνς λίδς ίναι απτέλα της ατικής ύης της ύλης. ).ΑΕΡΙΟ q N ίξτ ότι για τα αέρια η () γίνται n +.Πράγατι, πιδή για m τα αέρια αναένυ τ δίκτη διάθλαης να ίναι λαρά γαλύτρς της νάδας, πρύ να γράψυ η +, όπυ : πλύ ικρός αριθός. Τότ, n + + q N. Στην πρίπτή ας,. m v).καλοσ ΑΓΩΓΟΣ Η λέτη πυ πιχιρύ αναέρται τα λύθρα ηλκτρόνια τν τάλλν, πυ ίναι υπύθυνα για την αγγιότητα. Για τα δέια ηλκτρόνια ιχύυν ι τύπι της πρηγύνης παραγράυ. Τα τιχία πυ πρέπι να λάβυ υπόψη ας για τ λύθρ ηλκτρόνι, ίναι: Πρώτν: Η κινητική ξίη τν ηλκτρνίν θα ίναι παρόια τη χέη (), λίδα 54, χρίς ός τν όρ, αύ δν υπάρχι παναέρυα δύναη m την κίνηή τυς. Μ άλλα λόγια, δν υπάρχι ταθρά λατηρίυ k m, αύ για λύθρ ηλκτρόνι ίναι. Ο όρς mγ d ξακλυθί να υίταται και d κράζι την ύπαρξη δύναης τριβής την κίνηη τυ ηλκτρνίυ. ύτρν: Τα ηλκτρόνια κινύνα όλ τ χώρ τυ αγγύ, βρίκνται υπό την πίδραη νός έυ ηλκτρικύ πδίυ πυ κράζται από χέη της ρής () P ξ και όχι της ρής (4). Στην πρηγύνη χέη τ ξ αναέρται τ πδί πυ θα υπήρχ αν δ υτίχαν καθόλυ τα ηλκτρόνια. Γίνται λιπόν αές, ότι η χέη (3) για ντές, πρί να χρηιπιηθί και τα έταλλα, όπυ ββαίς παραβλέπντας τα f λαβάνι την έκραη:
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 63 γ n + n 4 4 + + γ + γ γ γ ( + γ ) Αν n n n π (6) γ ( + ) + + γ τότ: nπ (6α) + γ 4 γ και n (6β) ( + γ )( + γ ) γ + + ( + γ ) Πριν πρχρήυ τη διρύνηη τν χέν 6, θα δώυ τη χέη πυ υνδέι τις παραέτρυς, και γ. Σύνα τ νό τυ Ωhm J, όπυ : η αγγιότητα. Αν u η έη ταχύτητα τν ηλκτρνίν τότ: J Nq u.οπότ Nq u (7) Αλλά η έη ταχύτητα τν ηλκτρνίν ίναι η πιτάχυνη πλλαπλαιαένη τ έ χρόν τ ταξύ δύ διαδχικών υγκρύν. Η πιτάχυνη πυ έχυν τα ηλκτρόνια ίναι q m,άρα q u τ (8) m Επιδή u: ταθρό, αυτό ηαίνι ότι q m γ u και λόγ της χέης (8), έχυ: τ (9) γ q N γ Από τις (7),(8),(9) τλικά πρκύπτι η γντή χέη : ή P () mγ Αναρόνι την τιγιαία ταχύτητα u τν ηλκτρνίν πρύ να απδίξυ ότι γνικά () (βλέπ άκηη 5 λ. 67). α) Χαηλές υχνότητς ( << γ ) Η (6) λόγ πρέγγιης παίρνι τη ρή : + γ γ Από τη (6α) έχυ : n γ γ γ γ + + γ γ ( ) ( ) ( ) nπ nπ nπ γ γ γ Από την (6β) έχυ : 4 γ ( γ ) n n n ( ) γ γ γ γ ()
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 64 Οπότ πρκύπτι: nπ n n ( ) Αντικαθιτώντας αυτή την τιή τυ η την έκραη τυ κύατς τ πλάτς nz c (λίδα 49) γίνται: z z c c Αν δ ίναι τ πιδρικό βάθς,τότ τ πλάτς γράται : z δ,πότ δ c Συγκρίντ τη χέη αυτή την έκραη της πότητας δ,πυ ίδα τ πρηγύν κάλαι, όπυ λήθη υπόψη και η αγνητική διαπρατότητα τυ υλικύ και χλιάτ τα δύ απτλέατα. β) Υψηλές υχνότητς ( >> γ ) Η (6) λόγ πρέγγιης παίρνι τη ρή: + γ. γ n 3 Στην (3) ός τ αντατικό έρς γράται: γ γ 3 ( )) >> γ Συνπώς: n nπ (4) και n Συγκρίνατ την αντίτιχη χέη πυ δίν ι τ δίκτη διάθλαης τν Η/Μ κυάτν τ πλάα (λίδα 56). ιαπιτώτ πραιτέρ ότι για υψηλές υχνότητς τα έταλλα έχυν την ίδια χέη διαπράς για τα Η/Μ κύατα αυτήν τυ πλάατς. Πράγατι c ck c k n + ck (5) u Άρα τα χαηλόυχνα Η/Μ κύατα ( << γ ) δν διαδίδνται τν αγγό, νώ τα υψίυχνα ( >> γ ) διαδίδνται. Θρώντας τη χέη (5) γνικά για έταλλα πρύ να διαχρίυ τις πριπ τώις για <, δίκτης διάθλαης έχι αντατικό έρς και υνπώς τα κύατα ξαθνίζυν κατά τη διάδή τυς τ ταλλικό αγγό, νώ για >>, δίκτης διάθλαης ίναι πραγατικός και τα έταλλα διαπρνύνται από τα κύατα. Αυτό ξηγί, π.χ. γιατί τα έταλλα ίναι διαπρατά από τις ακτίνς Χ (πυ έχυν υψηλές υχνότητς και για τις πίς ιχύι > ). Ειτάται η πρχή τυ αναγνώτη τα παρακάτ. Στην πρίπτη τυ ντή η ανάλυη της λίδας 37 δηγί την (5) απ όπυ πρκύπτι u, πότ (3) ()
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 65 n. Στην πρίπτη τυ αγγύ, η διαρική ξίη πριλαβάνι τν όρ (λίδα 45), πότ η ταχύτητα ξαρτάται από την αγγιότητα τυ υλικύ και από τη υχνότητα τυ Η/Μ κύατς κατά πλύπλκ τρόπ (χέη (), λίδα 46). Η χέη n δν ιχύι γνικά. Ας ηιθί ός ότι ακλυθώντας τυς υλλγιύς της λίδας 53, ικρές όν τρππιήις και πργγίις, ίναι δυνατό να χρηιπιηθί η χέη n και για τα έταλλα, δίνντας απτλέατα πυ πιββα ιώννται από πιραατικά δδένα. Ερώτηη: Οι κράις (6α) και (6β) τυ δίκτη διάθλαης για αγγό υνύν τις αντίτιχς κράις πυ πρκύπτυν από την ανάλυη τν λίδν 46, 47 και 48 ;. Σηαντικό Συπέραα: Είναι αές από την παραπάν ανάλυη ότι η ξάρτηη τυ δίκτη διάθλαης από την υχνότητα ίναι απτέλα της ατικής δής της ύλης. Τα ατικά ρτία, πυ πλώννται από τα πδία, έχυν αδράνια η πία κάνι την απόκριή τυς τις ηλκτραγνητικές δυνάις να ξαρτάται από την υχνότητα. Πι υγκκριένα, όταν θρύ ότι τα ηλκτρόνια υνδένται τα άτα έ λατηρίν ταθράς κ (ηχανικό ανάλγ), πριένυ η απόκριή τυς ξτρικά ηλκτρικά και αγνητικά πδία να ξαρτάται από την υχνότητα τν πδίν αυτών, ακριβώς όπς όταν ια χρδή κτλί ια ξαναγκαένη ταλάντη η απόκριή της ξαρτάται από την υχνότητα τυ ξτρικύ διγίρντς αιτίυ. Πι γνικά, υνδυαός της αδράνιας και τν δυνάν τριβής ιάγι ια διαρά άης ταξύ της αρζόνης δύναης τ ύτηα και της απόκριης τυ υτήατς. Σ'αυτή την πρίπτη ίναι πι βλικό να πριγράνται τα διάρα υικά γέθη ή παράτρι ιγαδικύς αριθύς. Στα παρακάτ ργαζόθα την πτική πριχή υχντήτν, για την πρίπτη ντή δίκτη διάθλαης n λαρά γαλύτρ της νάδας. Έτ ότι υπάρχι ία όν υχνότητα. Τότ : n + και υνπώς n +. Σχέη Sllm: n + 4π υ 4π υ + 8π υ λ λ λ λ λ + λ Aλ λ 8π υ ή n +, η χέη Sllm, A λ λ λ λ 8π υ Σχέη Cauch: Η χέη n + διαδχικά γράται n + + + + + +. Λα βάν ντας υπ όψιν ότι π v π υ καταλήγυ ότι 4 λ B, χέη Cauch, + ρ λ n A + π υ A, Β. 4
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 66 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίξτ ότι ταξύ της αδικής ταχύτητας u g και της αικής u ιχύι η χέη: u g. ck dn + n d u () u g d ( ) k dk () d ku u+ k du u+ k du d u u+ ku du g g dk dk d dk d c du c dn u u u u ck dn u g g u g n d n d n d ck dn + n d dn Πρανώς όταν > (αλός διακδαός, u d u dn g < ), νώ όταν d < (ανώαλς διακδαός, u u ). g >. Η διάδη τν Η/Μ κυ άτν την ινόαιρα πριγράται από τη διαρική ξίη: + c z. () ίξτ τη χέη διαπράς : + ck και πίης βρίτ τη χέη ηη(). Παίρνυ sn( kz ) και αντικαθιτώντας την () έχυ: + c k + c k c c n n Αλλά n k πότ c. Τλικά: n. u c c k 3. Ο δίκτης διάθλαης τυ αρίυ υδργόνυ καννικές υνθήκς θρκραίας και πίης ίναι η +.4-4 για λ 5.46-7 m κα ι η +547-4 για λ 4-7.5 m. Υπθέτντας ότι υπάρχι ία όν ιδιυχνότητα,υπλγίτ την. ίνται c3 8 m/sc. -7 5 - Για λ 5.46 m πρκύπτι πc/λ 3.45 sc Για λ.54-7 m πρκύπτι πc/λ 7.4 5 sc - Για τα αέρια η χέη πυ υνδέι τ δίκτη διάθλαης τη υχνότητα ίναι: Nq n + m( ) όπυ η υχνότητα υντνιύ. Επένς ιχύι: n Nq () + () m( )
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 67 n Nq + m ( ) ( n ) m( ) Από τη χέη () πρκύπτι: N q Αν αντικατατήυ τη () πρκύπτι: ( n ) m( ) q q n + n ( ) ( n ) m ( ) ( n ) ( n ) n n 5. ad sc () 4. Ύπαρξη χαηλής υχνότητας απκπής. ιαπιτώνυ πιραατικά ότι αρνικό κύα υχνότητας ικρότρης από ια ριένη τιή δν πρί να διαδθί έα ένα ντικό υλικό. Μια υική ξήγηη ίναι η ακόλυθη. Από τις διάρς υικές υχνότητς,πυ έχι ένα υικό ύτηα έτ η ικρότρη δυνατή. Nq Έτ η χέη διακδαύ: n + m( ) (). Αλλά, n c ck (). k Από τις () και () πρκύπτι: ck Nq + m Θρύ ότι για τη υχνότητα απκπής τ ήκς κύατς τυ αρνικύ κύατς τίνι τ άπιρ δηλαδή k. Οπότ για κ βρίκυ: απ + Nq +. m Συζητίτ τ απτέλα χέη τα αντίτιχα υπράατα για τη διάδη Η/Μ κυάτν τα έταλλα, πυ ίδα παραπάν. 5. Η χέη () : Για την πρίπτη αγγύ η χέη της λ. 59 γράται du q mγu m. Για d θρύ ότι u u πότ q Nq q mγu mu υνπώς u. Αλλά J ρu Nqu. m γ + m mγ + m Από τν νό τυ Ohm J Ε πρκύπτι ότι απ Νq Nq mγ mγ + m + γ. Για την Nq τατική πρίπτη ( ), πότ δηλ. γνικά (). mγ + γ Συνάγται λιπόν ότι η απόκριη της ύλης τα ηλκτρικά και αγνητικά πδία ξαρτάται από την υχνότητα τν πδίν.
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 68 and B a slwl dsaang fm h mdn ssn f h hscal laws; h a bng lacd b A and R.Fnman 6 Η ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΤΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Ας θρήυ τις ξιώις τυ Mawll τ κνό πηγές: ρ () B () B ( j + ) (3) B (4) πυ δηγύν τις γντές κυατικές ξιώις: ρ J ( ) + B B J Συχνά ίναι πλύ πι ύκλ τν Ηλκτραγνητιό να διαπραγατυόατ διάρα πρβλήατα χρηιπιώντας τα δυναικά και όχι τα πδία. Έχι λιπόν ηαντικό νδιαέρν να βρύ τις αντίτιχς κυατικές ξιώις τα δυναικά. Από τη () έπται ότι υπάρχι ένα διανυατικό έγθς A έτι ώτ: B A ( A :διανυατικό δυναικό) (5) Μάλιτα τ A δν ίναι νήαντα ριέν από τη (5). Πράγατι διαπιτώνυ ότι για κάθ A A+ ψ (6) όπυ ψ νό τρ πδί, ιχύι B A ( A+ ψ ) A+ ψ A B B Από την έχυ λόγ της (5) ( A) A A ( ) ( + ) και υνπώς υπάρχι ένα νότρ έγθς έτι ώτ: A + (: νότρ δυναικό) (7) Τ αρνητικό ηί παίνι για αθηατική διυκόλυνη. Εαρόζντας τ ταχηατιό ( 6) την (7) έχυ:
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 69 A A ( ψ ) ( ψ ) Θα πρύ τ πδί να παραένι αναλλίτ τ ταχηατιό A A+ ψ τυ διανυατικύ δυναικύ αν ταυτόχρνα τ νότρ δυναικό υίταται τ ταχηατι ό: ψ (8) Πράγατι τότ: A ψ A ( ψ ) + ( ) Άρα τα και B v ένυν ανπηρέατα αν τα A και αλλάξυν ταυτόχρνα κατά τις χέις (6) και (8). A A + ψ Οι χέις αυτές ψ λέγνται ταχηατιί βαθίδας (gaug v ansfmans). Οι υικί νόι πυ κράζνται από τα και B παραένυν αναλλίτι (gaug nvaan) κάτ από τυς παραπάν ταχηατιύς βαθίδας. ψ ( ιαπιτώτ ότι και ι ταχηατιί A A ψ, + ίναι πίης ταχηατιί βαθίδας.) A ρ Αντικαθιτώντας την (7) την () έχυ: ( ) ρ ( A ) (9) Αντικαθιτώντας τις (5) και (7) την (3) έχυ: A A A J + A A+ + ( ) ( ) J A A ( A + ) J () Είδα παραπάν ότι τ A δν ρίζται νή αντα από τη χέη (5). Για να ριθί τ A νήαντα θα πρέπι πιπλέν να ριθί και τ A. Παρ όλ ότι έχυ λυθρία την πιλγή τυ A η κέψη ας κατυθύνται από τ γγνός ότι τ A και τ θα πρέπι να ξχρίυν και να ικανπιύν την κυατική ξίη. Επιλέγυ λιπόν: A () θήκη Lnz χέη πυ ίναι γντή ς υν. Τότ η (9) γίνται : ή
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 7 ρ () Επίης η χέη () γίνται: A A J (3) Βλέπυ λιπόν ότι ι κυατικές ξιώις τα πδία πρύν να κραθύν τα δυναικά ένα τλίς ιδύνα ραλιό, την πρϋπόθη ότι ιχύι η υνθήκη τυ Lnz. J ρ + ρ ( ) B A B J A J Πρέπι να τνιθί ότι η υνθήκη τυ Lnz δν ίναι απλώς ια πιπλέν υνθήκη ριένη αυθαίρτ τρόπ απλώς και όν για να καλύψι την αδυναία τυ ριύ τυ A από την A. A. Ορίζι ια πιπλέν χέη, (κτός της + ) ταξύ τυ νότρυ και τυ διανυατικύ δυναικύ A.. Εξααλίζι ώτ τα A και να ικανπιύν την ξίη κύατς αντίτιχα όπς τα πδία και B v. 3. Ειάγι πλήρη υτρία ταξύ τν και A από την άπψη ότι τις ξιώις () και (3) τα και A έχυν διαχριθί κατά τν καλύτρ τρόπ. Τ A υνδέται τ J και τ τ ρ. 4. ιαπιτώτ ότι η υνθήκη τυ Lnz ίναι απόλυτα υβατή την ξίη της υνέχιας. Υπόδιξη: Εαρόζυ τν τλτή τη υνθήκη τυ Lnz. Έχυ: ( A + ) ( A) + ( ) ( ),( 3) ( + A ρ ) + ( + J ) ρ + + + + A ρ ( J ) ( A ) J + πυ ίναι και η ξίη της υνέχιας.
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Πρπαθήτ να κράτ τις ξιώις τυ Mawll τη βήθια τν δυναικών A και και όχι τν πδίν και B v. Σχλιάτ τα απτλέατα πυ λαβάντ. ρ A ρ ( ) B A A ( A) B, A ( ) () I ( II) B B J + ( ( A) ) A ( A) [ J + ( )] Θα πρύ κάπις να ιχυριτί ότι τ ύτηα ξιών (ΙΙ) ίναι αρκτά πλύπλκ και υνπώς όχι πρτιητέ. Ός από την ανάλυη της λίδας 64 ίδα ότι αν χρηιπιηθί και η χέη Lnz, A +, τότ τ ύτηα δηγί τις ξιώις: ρ III A ( ) A J Παρατηρύ ότι καταλήγυ ένα νέ ύτηα ξιών τα A,, πυ έχι τν ίδι αθηατικό τύπ για κάθ ία από τις τέρις υναρτήις, Α χ, Α,Α z. Λύνντας τις ξιώις τυ υτήατς (ΙΙΙ) πρύ αές να υπλγίυ τα και B v A από τις χέις + και B A. Τ ύτηα (ΙΙΙ) τν ξιών τα δυναικά ίναι τλίς ιδύνα πρς τ αντίτιχ ύτηα (λίδα 67) για τα πδία, την πρϋπόθη βέβαια της υνθήκης Lnz. Σ πλλές πριπτώις ίναι απλύτρ και υκλότρ να αντιτπίζυ τα πρβλήατα χιριζόνι τα δυναικά παρά τα πδία.. Ξκινήτ από τις κυατικές ξιώις για τα δυναικά τν κνό χώρ χρίς πηγές για να παράγτ τις ξιώις για τα πδία. A Αρχικά A J () και ρ Ιχύυν και B A και A + ()
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 7 () A ( A) ( A) ( A) c c B B (3) c ( ) ( ) ( ) c c A A c A A ( ) + + ( ) c c A + ( ) A ( ) c c + A A c c (4) c 3. ίξτ ότι τν κνό χώρ χρίς πηγές ( ρ, J ), ι ξιώις τυ Mawll, πρκύπτυν από ένα ναδικό διανυατικό δυναικό A για τ πί ιχύι: A A (Ι) και A (ΙΙ) c. B A A B (). A A B, ( A) B (). A + + A c c από (ΙΙ) έχυ: A A + A c c A ( ) A ( A) A+ + ( A) c c c
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 73 A Αλλά πότ B c v. Είναι A ( A) Αλλά A και άρα Από τις A και A + Συνπώς η χέη γίνται (4) Η υτρία βαθίδας και η διατήρηη τυ ρτίυ : Η έρυνα για την ύπαρξη υτριών τυς υικύς νόυς, δηλαδή η έρυνα για την ύρη τρόπν τυς πίυς ι νόι ταχηατίζνται διατηρώντας την ρής τυς, ίναι από τις πλέν γητυτικές την πιτήη της Φυικής και όχι όνν. Η έρυνα αυτή αναέρται την γνικότρη διαπίτη ότι υτρίς την ύη δηγύν νόυς διατήρηης την Φυική (θώρηα Nh). Έτι η ιγένια τυ χώρυ (υτρία την χρική ταρά ), δηγί την διατήρηη της ρής, η ανιτρπία τυ χώρυ (υτρία την τρή) δηγί την διατήρηη της τρρής και η ιγένια τυ χρόνυ (υτρία την χρνική ταρά) δηγί την διατήρηη της Ενέργιας. Είδα τα πρηγύνα ότι η ταχηατιί βαθίδας αήνυν αναλλίτς τις ξιώις τυ Mawll. Είναι λγικό λιπόν να ρυνήυ, αυτή η υγκκριένη υτρία βαθίδς πι νό διατήρηης δηγί. ψ Ειάγυ τυς ταχηατιύς Α Α + ψ και τις χέις ρ A και Α J. ( ιαπιτώτ ότι η υνθήκη τυ Lnz Α + απαιτί η αυθαίρτη υνάρτηη ψ να ικανπιί ψ την κυατική ξίη ψ ). Οι αντίτιχς κυατικές ξιώις γράνται : ρ () A Α J () Παραγγίζντας ς πρς τν χρόν την () και παίρνντας την απόκλιη τν όρν της () έχυ : (3)
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 74 ρ (3) ( ) ( ) J A Α (4) Πρθέτντας κατά έλη της (3) και την (4) λαβάνυ : ( ) ( ) J ρ + Α Α, ή J ρ + + Α Α ή + + J ρ Α Α. Επιδή Α + + ρ J πυ ίναι αρχή της υνέχιας. Συπέραα : Η υτρία βαθίδας δηγί την διατήρηη τυ ρτίυ.
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 75 7 ΕΜΠΕ ΗΣΗ ΓΙΑ ΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Κατά τη διάδη ηχανικών κυάτν αίνται η ανάγκη ριύ νός γέθυς πυ καλίται πέδηη και τ πί χτίζται άα τη ταρά νέργιας από την πηγή (ππός) πρς τ έ (γραή ταράς). Η πέδηη κράζι τη υβατότητα από νργιακής κπιάς ό αρά την ικανότητα της γραής ταράς να «απρρά» και ταδίδι την πρρόνη από τν νργιακό ππό ιχύ. Αν τ έ δν παρυιάζι απώλις, τότ όλη η νέργια απθηκύται αυτό και η πέδηη καθρίζται από τις δύ παραέτρυς απθήκυης νέργιας, την λατικότητα και την αδράνια. Γνικά ιχύι η χέη: Z παραγντας λατικτητας παραγντας αδρανιας Η πέδηη πκτίνται όλν τν ιδών τα κύατα υνδέντας γνικά την αιτία αιτι τ απτέλα: Z απτλα Στην πρίπτη π.χ. της χρδής ρίζται αν τ πηλίκ της γκάριας δύναης (αίτι) πρς την γκάρια ταχύτητα(απτέλα) : Z F u. Στην πρίπτη κυάτν τάης τις γραές ταράς ηλκτρικής νέργιας ρίζται αν η τάη (αίτι) πρς τ ρύα (απτέλα) : Z V I. Στα πόνα θα αχληθύ τ έγθς πέδηη τη διάδη Η/Μ κυάτν.. Υπλγιός της πέδηης για πίπδ Η/Μ κύα τ κνό Ας θρήυ τις ξιώις τυ Mawll τ κνό χρίς πηγές ( ρ, J ) : () B ( ) B () 3 B ( 4) Από τη χέη (3) έχυ : $ $ j k$ $ $ z + j + B B B z z k$ (5) Έτ ότι έχυ ένα πίπδ Η/Μ κύα πυ διαδίδται κατά τν άξνα z, δηλαδή ι υνιτώς Ε z, Β z ίναι ίς τ ηδέν και Bz (,,, ) Bz (, ), (,, z, ) ( z, ). Επένς τ Η/Μ κύα έχι τη ρή: ( z, ) $ + ( z, ) $ j B B ( z, ) $ + B ( z, ) $ j Η χέη (5) τότ θα γραί:
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 76 B z B (5) $ $ $ $ $ B z B + B B j + + z z k j πότ πρκύπτι: B (6) z Έτ ότι: B z (7) ( kz) kz $ ( ) + $ j ( kz) ( kz) B B $ + B $ j Από τη χέη (6) έχυ τότ : B ( kz) ( kz) ( 6) B dz z ( ) ( ) + () kz B c B + () k k kz c Χρίς βλάβη της γνικότητας πρύ να θρήυ ότι c ( ), πότ: B B c c c π ( Ω) 376. 7( Ω) Σηιώνυ ότι η παραπάν χέη ανανόταν αύ: cb. z $ Παρατηρύ ότι αύ τ Ε χ έχι διατάις V/m και τ Η A/m, τ πηλίκ Ε χ /Η έχι διατάις (Ω). Αυτό ας δηγί τ να ρίυ ένα νέ έγθς Ε χ /Η,πυ αύ κράζται Ωhms, τ καλύ ύνθτη αντίταη ή πέδηη τυ κύατς. Ακλυθώντας την ίδια διαδικαία, χρηιπιώντας τη χέη (7) πρκύπτι ότι: B ( kz) ( kz) ( 7) B dz z B k ( kz) π ( Ω) 376. 7( Ω) B k B Ακόα γνρίζυ ότι για τα Η/Μ κύατα ιχύι: cb c k
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 77 Βλέπυ δηλαδή ότι τα τρία πηλίκα,, για την πρίπτη τυ κνύ ίναι ία. Παρατήρηη: Πρέπι να ηιθί ότι τ πηλίκ τν υνιτών Ε και Η νός Η/Μ κύατς, παρ όλ ότι έχι διατάις Ωhms, ν τύτις δν κράζι ότι και νός τυ Ωhm αύ τ Ε ίναι ηλκτρικό έγθς και τ Η αγνητικό. Η διαρά γίνται ανής αν κάπις θέι τ ξής ρώτηα: «Τα 367.7 Ω ίναι η αντίταη ταξύ πιών ηίν ή πιανιών και για πια απόταη ταξύ τυς;» και αές θα αντιληθί ότι η απάντηη ίναι χρίς νόηα.. Υπλγιός της πέδηης για πίπδ Η/Μ κύα τέλι ντή Οι ξιώις τυ Mawll τν τέλι ντή γράνται: () B () B (3) B (4) Ακλυθώντας την πρηγύνη διαδικαία θα πάρυ από τη χέη (3): $ $ j k$ z () 3 $ + $ + $ z j k B B B B z B z $ $ $ $ $ B B B B j + k + j + z z z z k$ πότ πρκύπτι: B z B z (6) Από τη χέη (5) έχυ: B (5) z z Πραιτέρ ακλυθώντας την διαδικαία κατά την θάνυ τ ζητύν. Μια γνικότρη πρία λύης ίναι η ξής. Θρύ πίπδ Η/Μ κύα της ρής: f ( z u) + f ( z u)$ j τότ: (5)
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 78 f ( z u) ( z u) f ( zu)( u) z ( z u) f ( zu) z f ( z u) dz + c() + c() Χρίς βλάβη της γνικότητας θρύ c(), πότ: Αν την πότητα την νάυ Ζ κνύ,τότ: Z Οίς από τη χέη (6) παίρνυ: Z κνυ. Ακόα έχυ: B u $ + $ u j δηλαδή B u u. Παρατηρύ ότι και αυτή την πρίπτη τα τρία πηλίκα,, ιύνται την ίδια πότητα, πυ έχι διατάις Ωhm. Την πότητα αυτή την νάζυ πέδηη και για τν τέλι ντή ίναι: Zντη Z κνυ κνυ. Υπλγιός της πέδηης ατλή ντή Έτ ένα Η/Μ κύα πυ διαδίδται ατλή ντή. Από την 4 η ξίη τυ Mawll θα έχυ: j k z $ $ $ + + z j k $ $ $ z z z + j + z z k $ $ $ $ z z z $ j + k$ () () Από τη χέη () έχυ:
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 79 () z z d Στν ατλή ντή έχυ διηλκτρικές απώλις, πότ η ένταη τυ ηλκτρικύ πδίυ δίνται από την ξίη: + * * ( k z) ( k z) * * ( k z) ( k ) ( ) k d Οίς από τη χέη () πρκύπτι: Παρατηρύ ότι τα πηλίκα. Συνπώς: * * ( k z) k * * k, ιύνται την ίδια πότητα, πυ κατά αναλγία νάζυ πέδηη Ζ ατλύς ντή. Στην γνική πρίπτη πυ θα ίναι Ζ * k Γνρίζυ ότι k π π, πότ η πέδηη παίρνι τη π ρή: Zατλ.ντη Zατλ.ντη + π π π π π και θρώντας τη ρή Z Z θ πυ υβλίζται ς Z Z θ καταλήγυ: Z ατλ.ντη θ anθ + π π π v. Υπλγιός της πέδηης αγγό Στην πρίπτη τυ αγγύ ι ξιώις τυ Mawll παίρνυν τη ρή: () B () B J + (3) (4) νώ η ξίη τυ κύατς ίναι της ρής: * * ( k z) ( k z) $ + $ j. Από την 4 η ξίη τυ Mawll έχυ ότι : θ
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 8 j k + + z j z z z z + j z z k + z z k j+ z k (6) Από την (6) έχυ ότι : * z d k * ( k z) d * * k * ( k z) k * k Οίς η (5) θα δώι: *. k Επένς πρύ να ρίυ κατά αναλγία την πέδηη αγγό: Zαγγυ Σηιώτ ότι την πρίπτη αγγύ (όπς και για τν ατλή ντή) τ πηλίκ ιύται τ έτρ της πέδηης η δ διαρά άης θ (διότι Z Z θ ) πρδιρίζται από τις αντίτιχς χέις της θ. Z αγγυ Άρα όπυ A Z + αγγυ. Τότ A + + + ( ) + ( ) ( ), A A / / Σύνα τ θώρηα τυ d Mv έχυ ότι : A A Τλικά από τη χέη (8) βάι της (9) καταλήγυ την έκραη A (7) θ, όπυ anθ. θ / (5) (8) (9)
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 8 Z αγγυ + ( ) 4 / θ / Καλός αγγός Έχυ ότι >>,πότ η χέη (7) γράται ς ξής: Z k.αγγυ π/4 45 ( + ) ( + ) δ Συνψίζντας τα παραπάν έχυ: Z κνυ Z τλ.ντη 3 Z ατλ.ντη 4 Z αγγυ π Z + π κνυ π π 4 + θ π θ / anθ π anθ 5 Z καλ.αγγυ ( + ) π/4
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 8 Γνικές παρατηρήις - Σχόλια - Ερτήις. Η πέδηη Ζ πρί να ίναι πραγατικός, αντατικός ή ιγαδικός αριθός. Όταν Ζ ίναι πραγατικός αριθός, τότ η γραή ταράς απρρά όλη την πρρόνη νέργια από τν ππό. ν πιτρέι τίπτα. ν υπάρχι η δυνατότητα αυτή την πρίπτη για να γυρίι ένα έρς της νέργιας αυτής πί τν ππό. Παραδίγατα ίναι η χρδή απίρυ ήκυς, η ική αντίταη R, τα κυκλώατα LC απίρυ ήκυς, τ κνό(π.χ. νργιακός ππός πρί να ίναι ένα πλέν δίπλ ταδίδντας Η/Μ νέργια τ κνό) και τέλις ντής. Όταν Ζ ίναι αντατικός αριθός τότ όλη η πρρόνη νέργια τη γραή ταράς πιτρέι πί τν ππό. ν υπάρχυν ι πρϋπθέις για να ξδυτί. Παραδίγατα ίναι η χρδή ππραένυ ήκυς και τ κύκλα LC ππραένυ ήκυς. Όταν Ζ ιγαδικός αριθός, τότ ένα έρς της νέργιας απρράται από τη γραή ταράς και διαδίδται και ένα έρς πιτρέι πί από τν ππό. Η κατάταη αυτή ίναι πι ραλιτική και απτλί ια νδιάη τν δύ παραπάν πριγραόνν πριπτών. Παραδίγατα ίναι τ κύκλα RLC και τ αγώγι έ κατά τη διάδη Η/Μ κυάτν.. Για την πρίπτη τυ κνύ Z κνυ.θα πρύ κάπις να πρδώι τ κνό ιδιότητς όπς η λατικότητα και η αδράνια αντίτιχα γέθη / και. αιτι 3. Μ δδέν τ γνικότρ ριό της πέδηης Z χλιάτ τη απτλα χέη Z για τη διάδη Η/Μ κυάτν. 4. Για την πρίπτη τυ κνύ ή τυ τέλιυ ντή η πέδηη ίναι πραγατικός αριθός ανξάρτητς της υχνότητας τυ Η/Μ κύατς. Τα δύ πδία και ίναι υαικά. Η τιή της Ζ δηλώνι ότι ταξύ τν έτρν τν και υπάρχι ια καθριένη χέη πυ ξαρτάται από τη ύη τυ έυ πυ διαδίδται τ κύα (δηλαδή, για τ κνό και από τις τιές και για τν ντή). Στην πρίπτη τυ αγγύ η πέδηη ίναι ιγαδικός αριθός, τ έτρ τυ πίυ ξαρτάται κτός από τις ιδιότητς τυ αγγύ (, ) και από τη υχνότητα τυ Η/Μ κύατς. Στην έκραη Z Z θ η γνία θ ίναι η διαρά άης ταξύ και. 5. Θυηθίτ: Z κνυ Z τλ.ντη Z κνυ Z αγγυ Z κνυ
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 83 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( kz). ίνται τ ηλκτρικό πδί πυ διαδίδται ντή. Να βρθύν α. Η χέη διαπράς β. τα u, Ζ, λ, κ χέη τυς αντίτιχυς όρυς τ κνό γ. τα Ζ, κ, Ε χ Ε(z, ), (z, ) ίννται Ε V/m, v3 Mz, 9,,. z k ( ) α. ( kz) k c β. u, Z Zκνυ, λ λ, k k κ Z Zκνυ πω 6 ad γ. k π 3 /sc 8 9 6π ad / m c 3 m /sc 6 cs( kz) cs( 6π 6π z) V / m 9 4π Ω Επιδή δν υπάρχι διαρά άης ταξύ τν Ε χ και Η,έχυ: V / m 6 5 6 cs( 6π 6π z) cs( 6π 6π z) A/ m Z 4πΩ π. Επίπδ Η/Μ κύα πλάτς ηλκτρικύ πδίυ Ε V/m και υχνότητας νgz πρπίπτι πλάκα από χαλκό ( και ) και 58Ms/m. Υπλγίτ την πέδηη Ζ και τ πλάτς τυ αντίτιχυ αγνητικύ πδίυ. Απδίξτ ότι για τη δδένη υχνότητα χαλκός ίναι καλός αγγός. Επένς από την χέη πν Z ( + ) Z Z 65. Ω Z / m Z Σηιώτ ότι: anθ 6 θ 58 8 π πυ ηαίνι θ9 άρα 45 Άρα : Z 65. 45 3. Ένα πίπδ κύα διαδίδται κατά τη διύθυνη z τ κνό. Στ ηί ηδέν πρπίπτι αγγό για τν πί 6.7ms/m και. Στ κνό τ κύα έχι
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 84 υχνότητα ν.5mz και πλάτς Ε χ.v/m, νώ τη διαχριτική πιάνια ιχύι (, ). sn πv $ (V/m).Βρίτ την έκραη Η(z, ) έα τν αγγό. Για τ κύα διαδιδόν έα τν αγγό ιχύι az ( πv-kz) z (,). ( V/ m) όπυ k a 9 4 cm πv. δ Γνρίζυ ότι καλό αγγό η πέδηη δίνται από τη χέη: πν Zκαλ.αγγυ ( + ) Zκαλ.αγγυ ( + ) Συνπώς λόγς (θρύ ότι τ ηλκτρικό πδί ταλαντώνται τ πίπδ z) θα ίναι ίς τ έτρ της πέδηης. az ηλαδή: 8 3 (. πv-kz) $ j Z πν Αλλά για καλό αγγό θ/45 και υνπώς az 8 9 (. πv-kz-π/4) $ j. Στην πρίπτη πυ ας δίνται ότι τ ηλκτρικό πδί ταλαντώνται τ πίπδ z, δηλαδή sn πv $ j, δν πρέπι να ξχάυ τ αρνητικό πρόη πυ υπάρχι τη χέη Z. Τότ τ αγνητικό πδί ίναι της ρής Z $ $ 4. Σ ένα υλικό πυ δν παρυιάζι απώλις, τα ξής χαρακτηριτικά: Ζ6π,, διαδίδται Η/Μ κύα τυ πίυ τ αγνητικό πδί υπακύι την ξίη :.cs( z)$ + 5.sn( z)$ j (Α/m). Υπλγίτ τη διηλκτρική ταθρά τυ υλικύ, την κυκλική υχνότητα τυ κύατς και τ ηλκτρικό πδί. Τ υλικό ας ίναι πρανώς ένας τέλις ντής, πότ και πραγατικός αριθός. Γνρίζυ ότι για ένα ντή ιχύι: Z π 4. Ακόα γνρίζυ ότι η ταχύτητα διάδης ένα ντή δίνται από τη χέη: u Αλλά uκ κ πότ.5 8 ad/sc. Τέλς από τν ριό της πέδηης έχυ: Z Z 6πsn(-z) πότ: 3πsn(-z) 3πsn(-z)+6πsn(-z)j $ $