ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Σγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Τ ηλκτρικό πδί νός ηλκτρμαγνητικύ κύματς στ κνό δίνται από τη σχέση 8 π 3sπ t ˆ y Vlt/m. 3 Να καθριστύν η σχνότητα, τ μήκς κύματς, η κατύθνση διάδσης τ κύματς και η κατύθνση τ μαγνητικύ πδί. Από τη δθίσα σνάρτηση τ ηλκτρικύ πδί φαίνται ότι π ad / m. Επμένς: 3 8 π ad / se και πν ν π π π 8 ν 8 Hz π λ λ π π λ 3m π / 3 Επίσης από τη δθίσα σνάρτηση σμπραίνται ότι τ ηλκτρμαγνητικό κύμα διαδίδται κατά μήκς της θτικής κατύθνσης τ άξνα (αφύ ίναι της μρφής s( t ) ). Τ μαγνητικό πδί πλγίζται ς ξής: 3 π 8 ˆ s( π t ) ˆ yˆ π sπ t zˆ 3 όπ =3 8 m/ se και ˆ yˆ zˆ. Δηλαδή τ μαγνητικό πδί κίται στη θτική κατύθνση τ άξνα z. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Δίννται στ κνό, χρίς πηγές, τα πδία sin( t z) ˆ Πρσδιρίστ την παράμτρ n σναρτήσι τν ικανπιύν τις ξισώσις Mawell.,, μ και H sin( t z) yˆ. n έτσι ώστ τα πδία να Η μαγνητική διέγρση H ίναι : H / μ πότ η τρίτη ξίσση Mawell δίνι : μ t H t ˆ yˆ y zˆ z μ H t y yˆ z yˆ μ H t y yˆ [ sin( t z)] μ sin( t z) z t n μ s( t z) μ s( t z) () n n Ενώ από την τέταρτη ξίσση Mawell πρκύπτι: μ μ t H μ t ˆ yˆ y H y zˆ z t ˆ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ H y z ˆ t ˆ z n sin( t z) t sin( t z) s( t z) s( t z) n () n n Άρα από τις () και () πρκύπτι: μ n n n μ / n μ / Η παράμτρς n κφράζι τ φσικό μέγθς της μπέδησης Ζ και ξαρτάται μόν από τις ιδιότητς τ μέσ π διαδίδται τ κύμα. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 3 Έστ ότι τ ηλκτρικό πδί νός ηλκτρμαγνητικύ κύματς στ κνό ίναι : sin( t z) ˆ. Να πρσδιριστί τ μαγνητικό πδί ατύ τ κύματς. Από τη δθίσα σνάρτηση φαίνται ότι τ ηλκτρμαγνητικό κύμα διαδίδται κατά τη θτική κατύθνση τ άξνα z, πότ τ μαγνητικό πδί ίναι : zˆ sin( t z)ˆ z ˆ sin( t z) yˆ όπ zˆ ˆ yˆ και η ταχύτητα τ φτός στ κνό. μ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 4 Εξτάστ αν τα πδία κύμα. s s t yˆ και sin sin t zˆ στ κνό σνιστύν Από την τρίτη ξίσση Mawell πρκύπτι: μ t ˆ yˆ y zˆ z sin sin t μ t ( s s t) yˆ ( sin sin t)ˆ y μ t ( s s t) yˆ s sin t μ s sin t μ άτπ Άρα ι δθίσς σναρτήσις δ σνιστύν ηλκτρμαγνητικό κύμα. Ατό φαίνται πίσης και από τ γγνός ότι και όχι. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 5 ( t) e Δίνται τ ηλκτρικό πδί yˆ και τ μαγνητικό πδί μ Εξτάστ αν ι σναρτήσις ατές πριγράφν ηλκτρμαγνητικό κύμα. e ( t) zˆ. Σύμφνα μ τις δθίσς σναρτήσις τ κύμα διαδίδται κατά μήκς τ άξνα, νώ τ ταλαντώνται στ πίπδ y και τ στ πίπδ z. Δηλαδή ίναι γκάρσι κύμα. Ο λόγς τν πλατών τν πδίν ίναι : e ( t) / ( t) e μ μ Επίσης ίναι : e ( t) ( t) e και e t ( t) ( t) e t Οπότ από την κματική ξίσση τ μαγνητικύ πδί ίναι: e t ( t) ( t) e Δηλαδή τ κύμα διαδίδται μ την ταχύτητα τ φτός. Άρα φόσν ι δθίσς σναρτήσις ικανπιύν τις κματικές ξισώσις πριγράφν ένα ηλκτρμαγνητικό κύμα π διαδίδται στ κνό μ την ταχύτητα τ φτός. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ ΘΕΜΑ 6 α) Απδίξτ ότι ένα πίπδ ηλκτρμαγνητικό κύμα διαδιδόμν στ κνό κατά τν άξνα z πριγράφται από τη σχέση: t t z z t z y ), ( ), ( β) Θρώντας τ ηλκτρικό πδί νός στάσιμ ηλκτρμαγνητικύ κύματς : t z t z t z t z z y ), ( ), (, s s ), ( να βρθί τ μαγνητικό πδί π αντιστιχί σ ατό και να σχδιαστύν τα δύ πδία σναρτήσι τ z. γ) Υπλγίστ τ διάνσμα Pyntin S τ στάσιμ ατύ ηλκτρμαγνητικύ κύματς, καθώς πίσης και τη μέση τιμή τ S και να ξηγηθί πιτικά τ απτέλσμα. δ) Δίξτ ότι η λική νέργια για τ στάσιμ ατό κύμα παραμένι σταθρή μέσα σ πιδήπτ διάστημα μήκς λ/4, δηλαδή ανάμσα σ ένα δσμό και μια κιλία τ στάσιμ ατύ κύματς. α) Έστ t z ˆ ), ( και y t z y ˆ ), ( τ ηλκτρικό και μαγνητικό πδί αντίστιχα νός πιπέδ ηλκτρμαγνητικύ κύματς διαδιδόμν στ κνό κατά τν άξνα z. Σύμφνα μ την τέταρτη ξίσση Mawell στ κνό ίναι: t μ t z z y z y t μ y ˆ ), ( ˆ ˆ ˆ t μ z t μ z y y ˆ ˆ Κι πιδή μ μ η παραπάν τλικά γράφται : t z y

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ β) Τ ζητύμν μαγνητικό πδί θα πλγιστί από την τρίτη ξίσση Mawell: t ˆ s z s t yˆ y zˆ z t ( s z s t)ˆ y sin z s tyˆ z t t sin z s tdt yˆ sin zsin t yˆ Αλλά πιδή τλικά γράφται : sin zsin t yˆ Τ ακόλθ σχήμα δίχνι τα δύ στάσιμα κύματα Ε και Βy μτατπισμένα κατά λ/4 τ ένα πρς τ άλλ. Ηλκτρικό πδί y Μαγνητικό πδί z ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ γ) Τ διάνσμα Pyntin ίναι: S s z st sin zsin t( ˆ yˆ ) μ μ S (sin z s z)(sin t s t)ˆ z μ Αλλά : sin z sin z s z και sin t sin t s t πότ η πρηγύμνη δίνι : S sin zsin tzˆ 4μ Η μέση τιμή τ διανύσματς Pyntin τόσ ς πρς z, όσ και ς πρς t ίναι μηδέν, αφύ γνικά η μέση τιμή τ ημιτόν ίναι <sinφ>= για φ π. Δηλαδή <S >=. Τ απτέλσμα ατό ίναι σμβιβαστό μ τ γγνός ότι τα πδία και έχν τη μρφή στάσιμν κμάτν, δηλαδή κμάτν τα πία παραμένν ντπισμένα σ μια πριχή τ χώρ κι πμένς δ μταφέρν νέργια. δ) Η λική νέργια μέσα σ διάστημα z=λ/4 ανάμσα σ ένα δσμό και μια κιλία ίναι : U λ / 4 ( u u ) dz όπ u και u ίναι ι πκνότητς νέργιας τ ηλκτρικύ και τ μ μαγνητικύ πδί στη θέση z. Οπότ : U λ / 4 μ dz s t λ / 4 s zdz μ sin t λ / 4 sin zdz ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ λ 8 (s t sin λ t) 6 π λ U π 8 Δηλαδή η λική νέργια ίναι σταθρή πσότητα και ξαρτάται μόν από τ πλάτς Α και την κκλική σχνότητα τ στάσιμ κύματς. Σημίση: Τα πρηγύμνα λκληρώματα πλγίζνται ς ξής : λ / 4 λ / 4 λ / 4 sin z s zdz ( s z) dz z λ sin 4 π/λ λ / λ sin π ( ) 4 λ 8 λ / 4 λ / 4 zdz ( s z) dz... και sin λ 8 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

12 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 7 Τ ηλκτρικό πδί πιπέδ ηλκτρμαγνητικύ κύματς στ κνό έχι την έκφραση sin( t z) ˆ. Πρσδιρίστ τ διάνσμα Pyntin τ κύματς και σχδιάστ τη χρνική ξάρτησή τ σ ένα σημί τ χώρ. Τ μαγνητικό πδί τ κύματς ατύ ίναι : zˆ sin( t z)ˆ z ˆ sin( t z) yˆ Άρα τ διάνσμα Pyntin τ κύματς ατύ ίναι : S μ sin μ ( t z) ˆ yˆ S μ sin ( t z)ˆ z S sin Ζ ( t - z)zˆ όπ ˆ yˆ zˆ, μ και μ Z η μπέδηση. Στ ακόλθ σχήμα παριστάνται η χρνική ξάρτηση τ μέτρ τ διανύσματς Pyntin σ ένα σημί z τ χώρ. S S ma =Ε /Ζ T/4 T/ T t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 8 Ένας ραδιφνικός σταθμός ισχύς W κπέμπι ιστρπικά. Να πλγιστύν τα πλάτη τ ηλκτρικύ και τ μαγνητικύ πδί σ απόσταση 5m από τ σταθμό. Σ R Επιδή ραδιφνικός σταθμός κπέμπι μιόμρφα πρς όλς τις κατθύνσις (ιστρπικά), η ίδια ισχύς P=W διαπρνά μιόμρφα και ακτινικά τη σφαιρική πιφάνια π έχι κέντρ τ σταθμό και ακτίνα R=5m. Η ένταση τν κμάτν στα σημία της σφαιρικής ατής πιφάνιας ίναι: P P I I () S 4πR Αλλά πιδή σ μγάλη απόσταση από τ σταθμό τ κύμα μπρί να θρηθί πίπδ, η ένταση ίναι: I () μ Σνπώς από τις () και () πρκύπτι: P 4πR μ P (3) μ 4πR Αντικαθιστώντας στην (3) τις τιμές πρκύπτι : 376, , μ 376, ,7 Ω, Ρ= 5 Watt, R=5 4 m, 3 3, 5 Ενώ τ πλάτς τ μαγνητικύ πδί φόσν τ κύμα θρίται πίπδ ίναι: V / m 3, 5, 9 8 3, 8 Teslα ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

14 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 9 Ένας ραδιφνικός σταθμός βρίσκται σ απόσταση m από τ ραδιόφνό μας και κπέμπι ιστρπικά. Κντά στ ραδιόφν τ πλάτς τ ηλκτρικύ πδί τ πίπδ κύματς π λαμβάνμ ίναι =, V/m. Να πλγιστύν : α) Τ πλάτς τ αντίστιχ μαγνητικύ πδί. β) Η ένταση τ ηλκτρμαγνητικύ κύματς. γ) Η ισχύς τ σταθμύ. δ) Η ρμή ανά μνάδα όγκ π μταφέρι τ κύμα. ) Η ηλκτρμαγνητική πίση π ξασκί η ακτινβλία στ σώμα μας. α) Εφόσν τα κύματα π κπέμπι σταθμός θρύνται πίπδα, τ πλάτς τ μαγνητικύ πδί ίναι:, 3, Teslα β) Η ένταση τ ηλκτρμαγνητικύ κύματς ισύται μ τη μέση τιμή τ μέτρ τ διανύσματς Pyntin και σύμφνα μ την (7-) ίναι: 8 I S 3 8, 85, μ 5 I, 4 Watt / m γ) Αν πτθί ότι σταθμός βρίσκται στ κέντρ μιας σφαίρας μ ακτίνα R=m, δηλαδή πιφάνιας S 4πR, και ότι ατός κπέμπι ιστρπικά τότ τ γινόμν ίναι σταθρό, αφύ κφράζι τη μέση νέργια π ακτινβλί σταθμός ανά μνάδα χρόν, δηλαδή την ισχύ τ σταθμύ. Επμένς : IS P IS I4πR 5, , P 75, 8Watt δ) Η ρμή ανά μνάδα όγκ π μταφέρι τ κύμα ίναι : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

15 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ dp dv S I 8, 85, dp dv 4, 4 4 / m se ) Υπθέτντας ότι η ακτινβλία πρσπίπτι στ σώμα μας και απρρφάται πλήρς τότ η ηλκτρμαγνητική πίση θα δίνται από τη σχέση: 4 P 4, 4 Nt / m Δηλαδή παρατηρίται ότι η ηλκτρμαγνητική πίση ισύται μ την ρμή ανά μνάδα όγκ π μταφέρι τ κύμα. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

16 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Ηλκτρμαγνητικό κύμα διαδίδται σ μέσ μ δίκτη διάθλασης n. Έστ ότι ίναι αντίστιχα η φασική και η μαδική ταχύτητα τ κύματς. α) Αν η κκλική σχνότητα τ κύματς σνδέται μ τν αντίστιχ κματάριθμ μ τη σχέση : α και όπ α σταθρά και η ταχύτητα τ φτός, δίξτ ότι > β) Αν λ ίναι τ μήκς κύματς στ κνό, δίξτ τη σχέση :, < και =. λ dn dλ α) Η φασική ταχύτητα και η μαδική ταχύτητα ρίζνται πάντα ς : και d d () Διαφρίζντας τη δθίσα σχέση διασπράς πρκύπτι: () d d d d () Λύνντας ς πρς τη σχέση διασπράς και διαιρώντας μ πρκύπτι η φασική ταχύτητα ς : α α > (3) Άρα από την () λόγ της (3) πρκύπτι : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

17 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Παρατήρηση: Η σχέση δν έρχται σ αντίθση μ την ιδική θρία της σχτικότητας γιατί τ ηλκτρμαγνητικό κύμα δν μταφέρι νέργια ή πληρφρία μ την, αλλά μ την μαδική ταχύτητα, για την πία ισχύι. < β) Είναι : d d (4) d d Αλλά από τν ρισμό τ δίκτη διάθλασης ίναι : n (5) n Οπότ : ( 5) n n (6) Άρα η (4) δίνι : d d d d n n dn d ( 5) dn d (7) Όμς ίναι : dn dn dλ (8) d dλ d όπ τ μήκς κύματς λ στ κνό ικανπιί τη σχέση : π π dλ π λ λ (9) ν πν d Επμένς η (8) λόγ της (9) γίνται : dn d π dn και αντικαθιστώντας ατή στην (7) πρκύπτι : dλ π dn dλ π dn dλ λ dn dλ αφύ ισχύι : λ π π λ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

18 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Έστ ότι ένα διηλκτρικό μέσ χαρακτηρίζται από την ξής σχέση διασπράς : 4 4 ( 8α α ) π σνδέι την κκλική σχνότητα μ τν κματάριθμ νός ηλκτρμαγνητικύ κύματς. Τι μέση σχνότητα πρέπι να έχν ι κματμρφές, π χρησιμπιύνται για την τηλπικιννία στ μέσ ατό, ώστ τα σήματα να μταδίδνται όσ τ δνατό ταχύτρα; Τα σήματα μταδίδνται στ διηλκτρικό μέσ μ την μαδική ταχύτητα : d 4 3 ( 6α 8α ) () d Για να διαδίδνται τα σήματα όσ τ δνατό ταχύτρα θα πρέπι η μέση σχνότητα να πιλγί έτσι ώστ να μγιστπιίται η μαδική ταχύτητα. Δηλαδή αντίστιχς μέσς κματάριθμς πρέπι να παληθύι τη σχέση : d ( ) 4 6α 4α ( ) d 4 4α 6α () 3α Άρα η μέση σχνότητα π πρέπι να έχν ι κματμρφές ίναι: 8α 3α α 4 4 9α , 44 9 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

19 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Να πλγιστί η μαδική ταχύτητα τν φτινών κμάτν στ κνό και μέσα σ διαφανές μέσ μ δίκτη διάθλασης n(). Στ κνό η φασική ταχύτητα τ φτός ίναι : () Αλλά : ( ) () Άρα η μαδική ταχύτητα τ φτός στ κνό ίναι : ( ) d d Δηλαδή παρατηρίται ότι στ κνό η φασική και η μαδική ταχύτητα τ φτός ίναι ίδια. Γνικά δίκτης διάθλασης νός μέσ ίναι σνάρτηση της σχνότητας τ φτινύ κύματς και γι ατό γίνται ανάλση τ φτός όταν ατό πρνά μέσα από πρίσμα. Από τν ρισμό τ δίκτη διάθλασης πρκύπτι : n n (3) n n Άρα η μαδική ταχύτητα τν φτινών κμάτν σ διαφανές μέσ ίναι: d d d d ( 3) n dn d n dn d (4) Από τη σχέση (4) παρατηρίται ότι όταν dn/d> ίναι < (μαλός διασκδασμός), νώ όταν dn/d< ίναι > (ανώμαλς διασκδασμός). ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

20 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 3 α) Αν, ίναι η μαδική και η φασική ταχύτητα αντίστιχα και λ τ μήκς κύματς νός φτινύ κύματς, να απδιχθί η σχέση : d λ dλ β) Αν κάπι μέσ χαρακτηρίζται από τη σχέση : λ π πσ ρλ, όπ, σ, ρ σταθρές, να πρσδιριστί τ μήκς κύματς λ έτσι ώστ να μην παρσιάζται διασκδασμός. α) Η φασική ταχύτητα δίνται από τη σχέση : () Επμένς η μαδική ταχύτητα ίναι: ( ) d d ( ) d d d d () Αλλά : d d dλ όπ πιδή λ=π/ ίναι: d dλ d dλ d d d π π Οπότ : d d π d (3) dλ Σνπώς αντικαθιστώντας την (3) στη () πρκύπτι : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

21 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ π d dλ π d dλ Κι πιδή λ π / η παραπάν γράφται : d λ (4) dλ β) Από τη σχέση (4) φαίνται ότι αν / dλ τότ ίναι d = παρσιάζται διασκδασμός. Παραγγίζντας και τα δ μέλη της δθίσας σχέσης ς πρς λ πρκύπτι :, δηλαδή δν d πσ (5) dλ π ρλ Άρα όταν δν παρσιάζται διασκδασμός ίναι : d dλ ( 5) πσ πσ π ρλ π ρλ πσ λ ρλ π 4π σ ρ λ π σ ρ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

22 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 4 Η διάδση τν ηλκτρμαγνητικών κμάτν στην ινόσφαιρα πριγράφται από τη διαφρική ξίσση : t z Να πρσδιριστί η σχέση διασπράς =() και να βρθί δίκτης διάθλασης n σναρτήσι τ. Θρώντας τη διάδση πίπδν ηλκτρμαγνητικών κμάτν στην ινόσφαιρα ίναι: sin( t z) () Σνπώς αντικαθιστώντας την () στην δθίσα διαφρική ξίσση πρκύπτι η σχέση διασπράς ς : sin( t z) sin( t z) sin( t z) () Από τν ρισμό τ δίκτη διάθλασης ίναι : n (3) Αλλά : πότ η (3) γράφται : n n / n (4) Αντικαθιστώντας τέλς την (4) στη σχέση διασπράς () πρκύπτι : n n n ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

23 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 5 n n( ) Παλμός ακτίνν X, π πριέχι σχνότητς ν 4 Hz διαδίδται σ ένα μέσ όπ δίκτης διάθλασης, για την παραπάν πριχή σχντήτν, δίνται από τη σχέση : 7 n ν / ν όπ ν Hz Δηλαδή τ μέσ πρκαλί διασπρά. α) Βρίτ μια γνική σχέση π να σνδέι την μαδική ταχύτητα τ παλμύ μ τν δίκτη διάθλασης τ μέσ μέσα στ πί διαδίδται. β) Εκφράστ την μαδική ταχύτητα και τη φασική ταχύτητα τ παραπάν παλμύ σαν σνάρτηση της σχνότητας. γ) Σχδιάστ πιτικά, στ ίδι διάγραμμα τις ταχύτητς και σναρτήσι της σχνότητας ν. Τι σημαίνι τ γγνός ότι >; Δίξτ ότι. α) Από τν ρισμό της φασικής ταχύτητας ίναι: 7 () Οπότ από τν ρισμό της μαδικής ταχύτητας πρκύπτι : d d ( d d ) d d d d d d d () d Αλλά πιδή =/n η () γίνται : n d( / n) d n n dn d n n dn d n dn d n /n n dn d n n dn d n dn d () ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

24 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ (3) dn dn n n ν d dν β) Επιδή n ν / ν η φασική ταχύτητα τν ακτινών Χ στ μέσ ίναι: / ν n ν / ν ν (4) Επιδή δίνι : ν ν 6 χρησιμπιώντας τ δινμικό ανάπτγμα α ( ) α, η σχέση (4) ν (5) ν Χρησιμπιώντας τ δινμικό ανάπτγμα για τ δίκτη διάθλασης πρκύπτι : n / ν ν ν n ν και dn dν Επμένς αντικαθιστώντας τις παραπάν σχέσις στην έκφραση (3) της μαδικής ταχύτητας πρκύπτι : ν ν 3 ν n ν ν 3 ν n ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν (6) ν γ) Τ γγνός ότι > στη σχέση (5) δν έρχται σ αντίθση μ τη θρία της σχτικότητας, γιατί ι πληρφρίς π μταφέρι τ κύμα διαδίδνται μ την μαδική ταχύτητα, όπ σύμφνα μ τη σχέση (6) ίναι <. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

25 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Σύμφνα μ τις (5) και (6) τ γινόμν ίναι: ν ν ν ν ν 4ν 4 4 Στ ακόλθ σχήμα παριστάννται ι σναρτήσις (ν) και (ν). ν ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

26 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 6 Η διηλκτρική σταθρά αρί για μήκς κύματς λ δίνται από την έκφραση ( / ) Dλ, λ όπ Α, Β και D ίναι σταθρές, ίναι η ταχύτητα τ φτός στ κνό και η φασική τ ταχύτητα. Αν ίναι η μαδική ταχύτητα, δίξτ ότι : ( Dλ ) Είναι : λ Dλ Αλλά : π/ λ λ π /, πότ η παραπάν γίνται : όπ και D 4π D 4π 4π D D () 4π Επίσης ίναι : () / Έτσι από τν ρισμό της φασικής ταχύτητας πρκύπτι : ( ) / (3) / Οπότ η μαδική ταχύτητα ίναι : ( 3) d d / d d / / 3/ d ( ) (4) d ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

27 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ όπ λόγ της () ίναι: 3 D d d και η (4) δίνι : 3 D D / / / / (5) Αλλά από την () φαίνται ότι D / και η (5) γίνται : D D / / / / ) / ( )] / ( [ / / D D ) / ( / D (6) Όμς από την () ίναι : / και D 4π D πότ η (6) δίνι : ) ( ) / ( λ D D4π, όπ 4π λ

28 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 7 i( tz) Δίνται τ ηλκτρικό πδί e π διαδίδται σ μντή μ 9, μ μ, σ =. Να πλγιστύν : α) Η σχέση διασπράς. β) Η φασική ταχύτητα, η μπέδηση Ζ, τ μήκς κύματς λ και κματάριθμς σ σχέση μ τς αντίστιχς όρς στ κνό. γ) Τα ( z, t) και H y H( z, t) αν V / m και ν 3MHz. α) Η κματική ξίσση τ ηλκτρικύ πδί ίναι: z μ t () Οπότ αντικαθιστώντας τ i( tz) e στην () πρκύπτι η σχέση διασπράς : i( t z) e = μ i( t z) e μ () β) Η φασική ταχύτητα ίναι : ( ) μ μ 9 μ 3 μ 3 Η μπέδηση ίναι : μ μ μ π 4π Ω, όπ π Ω Τ μήκς κύματς ίναι : λ ν 3ν λ λ 3 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

29 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ο κματάριθμς ίναι : π λ π π 3 3 λ / 3 λ γ) Είναι : πν π 3 6π ad / se 6 8 και 3 3 6π π ad / m Άρα : s( t z) s( 6π t 6πz) V/ m 8 και y 8 8 t - 6πz) H y Z s(6π 4π 5 s(6π π t - 6πz)/m ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

30 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 8 Ηλκτρμαγνητικό κύμα διαδίδται σ ένα μέσ. Τ ηλκτρικό πδί έχι τη μρφή 8 s( t 3z) ˆ. Πρσδιρίστ αν τ μέσ π διαδίδται τ κύμα ίναι κνό, τέλις μντής ή αγγός. Πρσδιρίστ πίσης τ μαγνητικό πδί. Επιδή τ πλάτς τ ηλκτρικύ πδί ίναι σταθρό τ μέσ δν μπρί να ίναι αγγός, γιατί στς αγγύς τ πλάτς τ Ε φθίνι. Η ταχύτητα τ κύματς ίναι : m / se Άρα αφύ < τ μέσ δν ίναι κνό, αλλά μντής. Τ μαγνητικό πδί ίναι : s( t z)ˆ y s( 8 / 3 8 t 3z) yˆ ˆ s( t 3z) y Teslα ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

31 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 9 Επίπδ ηλκτρμαγνητικό κύμα sin( t z) πρσπίπτι σ αγώγιμ μέσ μαγνητικής διαπρατότητας μ και ιδικής αγγιμότητας σ. Υπλγίστ τ βάθς π τ πλάτς τ παραπάν κύματς θα γίνι τ % της αρχικής τ τιμής. Η ξασθένηση τ πλάτς τ ηλκτρικύ πδί π θα πστί τ ηλκτρμαγνητικό κύμα τ πί πρσπίπτι στ αγώγιμ μέσ ίναι: e αz αz αz, e, e αz n, αz, 3, 3 z α Αλλά σύμφνα μ την (7-8) για τ πιδρμικό βάθς ίναι: () μσ α () δ Επμένς η () λόγ της () δίνι: z, 3 μσ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

32 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Οι σντταγμένς δ σημιακών φρτίν Α και Β δίννται σναρτήσι τ χρόν ς ξής : λ /, y bst, z και λ /, y bst, z Τα φρτία τν Α και Β ίναι και τα δ ίσα μ q και λ π /. Υπλγίστ την ένταση της ηλκτρμαγνητικής ακτινβλίας, π φίλται στην παραπάν κίνηση τν φρτίν, στ σημί Ρ μ σντταγμένς (Rsφ, Rsinφ, ), αν R>>λ και b<<λ. y P P Β -λ/ ΔR=λsφ φ nˆ φ+π/ Α λ/ φ Η κινή στιγμιαία πιτάχνση τν φρτίν Α και Β ίναι πάντα παράλληλη πρς τν άξνα y και ίναι : α b s tyˆ () Στ σημί παρατήρησης Ρ (Rsφ,Rsinφ,) πάρχι ένα ηλκτρικό πδί ακτινβλίας : () όπ και ίναι : ίναι τα ηλκτρικά πδία π πρκαλί κάθ φρτί στ σημί Ρ και q R ( t) α t (3) 4π R ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

33 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ q R R ( t) α t (4) 4π R όπ α ίναι η κάθτη σνιστώσα της πιτάχνσης και λόγ της () ίναι: α α s φnˆ α b ˆ s t s φn (5) όπ nˆ τ μναδιαί κάθτ διάνσμα στη διανσματική ακτίνα τ Ρ. Σνπώς τ ηλκτρικό πδί στ σημί Ρ () λόγ τν (3), (4) και (5) ίναι: qb R R R s φ s t s t nˆ 4π R (6) Τ διάνσμα Pyntin στ σημί Ρ έχι ακτινική διύθνση και μέτρ : S πιδή και / μ μ Οπότ λόγ της (6) η παραπάν γίνται : 4 q b S 5 6π μ R s φst R st R R (7) Η ένταση Ι της ηλκτρμαγνητικής ακτινβλίας στ σημί Ρ ισύται μ τη μέση χρνική τιμή S. Δηλαδή ίναι : ( 7) I S q 6π b 4 μ s 5 R φ R s t R R s t (8) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

34 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ όπ s t R st R R s R t s t R R R s t st R R Ενώ : s t R s t R R Και s t R st R R st R R R s R s R s όπ χρησιμπιήθηκ η γνστή τριγνμτρική σχέση μτατρπής τ γινμέν σ άθρισμα s α sβ [s( α β) s( α β)] / και ότι s( αt β). Επμένς τλικά ίναι : s t R st R R R s Άρα η (8) γράφται : ΔR s s R q b s φ I s 5 6π μ R 4 R (9) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

35 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Αλλά R λ s φ ίναι η διαφρά τν απστάσν τ σημί Ρ από τα φρτία Α και Β αντίστιχα. Έτσι ίναι : R λsφ π sφ π sφ π sφ όπ π λ και Οπότ τλικά ίναι: q b s φ I s 5 8π μ R 4 ( πs φ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

36 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ q Δ όμια σημιακά φρτία q q κτλύν αρμνική ταλάντση μ τ ίδι πλάτς, την ίδια κκλική σχνότητα και διαφρά φάσης 8, πάν τν άξνα z. Οι ταλαντώσις τς ίναι σμμτρικές ς πρς την αρχή Ο. Σγκκριμένα ι απμακρύνσις τς και από την αρχή δίννται, σναρτήσι τ χρόν από τις σχέσις : z z z z z z s t και z z z s t Τ σύστημα ατό λέγται ηλκτρικό ττράπλ και νδιαφέρι τ ηλκτρμαγνητικό πδί ακτινβλίας σ ένα σημί Ρ(,θ), π απέχι μγάλη απόσταση από τα φρτία (δηλαδή >>z), όταν τ μήκς κύματς λ της κπμπόμνης ακτινβλίας ίναι πλύ μγαλύτρ από τ πλάτς ταλάντσης τν φρτίν (δηλαδή λ>>z ή z<<π). α) Βρίτ τα ηλκτρικά πδία ακτινβλίας και, π φίλνται σ κάθ φρτί χριστά. Σ πις διθύνσις (ρισμένς μ την πλική γνία θ) καθένα πδί, μηδνίζται; β) Βρίτ τ ηλκτρικό πδί ακτινβλίας π πρκύπτι σαν παλληλία τν δ παραπάν πδίν. Σ πιές διθύνσις (ρισμένς μ τη γνία θ) μηδνίζται τ σνλικό πδί γ) Σ ένα πλικό διάγραμμα σχδιάστ την ξάρτηση τ σνλικύ πδί από την πλική γνία θ. Η ξάρτηση ατή από τη γνία θ ίναι χαρακτηριστική της ττραπλικής ακτινβλίας. + ; + + z +z +z -z -z θ - P(,θ) α) Τ ηλκτρικό πδί ακτινβλίας κάθ φρτί ίναι ανάλγ της γκάρσιας ς πρς την ΟΡ σνιστώσας της πιτάχνσης την καθστρημένη χρνική i στιγμή t t (i=,). Σνπώς ι καθστρημένς γκάρσις πρβλές τν δ πιταχύνσν ίναι : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

37 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ α z ( t)sin θnˆ z sin θst n ˆ () α z ( t)sin θnˆ z sin θst nˆ () όπ και nˆ, ίναι ι απστάσις τ σημί Ρ από τ κέντρ της ταλάντσης κάθ φρτί τ μναδιαί διάνσμα κάθτ στην ΟΡ. Επίσης πιδή θα ισχύι θ θ θ και, νώ από τ σχήμα ίναι z s θ. Επμένς λόγ τ ότι =/ τα ηλκτρικά πδία ίναι : z ( ) q qz α t sin θs( t ) nˆ 4π 4π (3) ( ) q qz α t sin θs( t ) nˆ 4π 4π (4) Παρατηρίται από τις σχέσις (3) και (4) ότι στις διθύνσις θ= και θ=π καθένα πδί, μηδνίζται, αφύ μηδνίζται η αντίστιχη γκάρσια πρβλή της καθστρημένης πιτάχνσης. β) Η παλληλία τν δ παραπάν πδίν δίνι : qz sin θ[s( t ) s( t )] nˆ 4π (5) Αλλά : t s( t ) s( t ) sin sin t ( ) sin sin sin( t )sin( z sθ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

38 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ όπ και z s θ Άρα η (5) γράφται : qz sin θsin( z s θ)sin( t ) nˆ π (6) Επιδή όμς z<<π ίναι sin( z s θ) z s θ πότ η (6) γίνται : qz sin θs θsin( t ) nˆ π 3 qz sin θ sin( t ) nˆ 3 4π όπ αντικαταστάθηκ τ και sin θ sθ sin θ. Από τη σχέση (7) παρατηρίται ότι τ σνλικό πδί διθύνσις θ=, θ=π/ και θ=π. + (7) μηδνίζται στις γ) Στ ακόλθ πλικό διάγραμμα παριστάνται η ξάρτηση τ σνλικύ πδί από την πλική γνία θ ς απτέλσμα της παρσίας τ παράγντα sinθ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

39 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ θ=π/ θ=π θ= ΘΕΜΑ Ηλκτρόνι κινίται σ κκλική τρχιά, στ πίπδ Οy μ κέντρ την αρχή τν αξόνν και ακτίνα R, μ σταθρή γνιακή ταχύτητα. Σ μια τχαία θέση τ ηλκτρνί να πλγιστύν η ένταση τ ηλκτρικύ πδί και η ένταση ηλκτρμαγνητικής ακτινβλίας στα σημία Α(,,) και Β(,, ), όπ >>R. z y (,, ) O e P R (,, ) R O α α θ=t P α y Επιδή τ ηλκτρόνι κτλί μαλή κκλική κίνηση, σ μια τχαία θέση Ρ τ ηλκτρόνι έχι μόν κντρμόλ πιτάχνση, δηλαδή η λική τ πιτάχνση α έχι φρά πρς τ κέντρ Ο και μέτρ R. Επμένς ίναι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

40 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ α α sθˆ αsin θyˆ α R s tˆ R sin tyˆ () όπ λόγ της μαλής κκλικής κίνησης ίναι θ=t. Για τ σημί Α(,,) η γκάρσια σνιστώσα της πιτάχνσης ίναι : α ( t) R sin tyˆ () Ενώ για τ σημί Β(,, ), πιδή >>R τ Β βρίσκται πλύ μακριά από τ Ο, πότ ίναι, δηλαδή η γκάρσια σνιστώσα της πιτάχνσης για τ Β ίναι : α ( t) R s tˆ R sin ty ˆ (3) O α Άρα η ένταση τ ηλκτρικύ πδί στα σημία Α και Β ίναι : qα ( t / ) ( ) e R sin( t / )yˆ 4π 4π (4) qα ( t /) 4π e R [s( t / )ˆ sin( t / )ˆ] y 4π (5) Τ μέτρ τ διανύσματς Pyntin στ σημί Α ίναι : S μ ( 4) 4 e R 5 6π μ sin ( t / ) Άρα η ένταση της ηλκτρμαγνητικής ακτινβλίας στ σημί Α ισύται μ τη μέση χρνική τιμή τ μέτρ τ διανύσματς Pyntin στ σημί ατό. Δηλαδή : I 4 e R S sin ( t / ) I 5 6π μ 4 e R 5 3π μ όπ sin ( t / ) Αντίστιχα τ μέτρ διανύσματς Pyntin στ σημί Β ίναι : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

41 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ S ( 5) 4 e R s ( t / ) sin ( t / ) 5 μ 6π μ 4 e R S 5 6π μ όπ s ( t - /) sin ( t - /) Άρα : I 4 e R S 5 6π μ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ