ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Φαίνεται αµέσως ότι η πυκνότητα ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου ισούται µε την πυκνότητα ενέργειας του µαγνητικού πεδίου.

Transcript

1 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 9 I believe that we shuld adhee t the stict validity f the enegy pinciple until we shall have fund imptant easns f enuncing this guiding sta A.instein 9 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΟΡΜΗ ΣΤΑ Η/Μ ΚΥΜΑΤΑ- ΑΝΥΣΜΑ POYNTING Ενέργια της Η/Μ ακτινβλίας Ο τύπς πυ δίνι την πυκνότητα νέργιας για στατικά πδία δίνται από την παρακάτω σχέση: u D+ B H ( ) όπυ πρώτς όρς αναφέρται σ ηλκτρστατικό πδί και δύτρς σ αγνητστατικό, δχόαστ δ, ότι ισχύι και για τα δυναικά πδία ήτι για τα ηλκτραγνητικά κύατα. Έστω πίπδ Η/Μ κύα διαδιδόν στ κνό κατά τη διύθυνση τυ άξνα z. Τότ: uzt (,) ( D+ B H) () B δένυ ότι D, H B η () γίνται uzt (,) ( + ) Αλλά B c πότ: uzt (,) ( + ) Φαίνται αέσως ότι η πυκνότητα νέργιας τυ ηλκτρικύ πδίυ ισύται την πυκνότητα νέργιας τυ αγνητικύ πδίυ. Καταλήγυ τλικά στην: uzt (,) d Ορίζυ σαν ισχύ P s την νέργια ανά νάδα χρόνυ και ανά νάδα πιφανίας κάθτα στη διύθυνση τυ κύατς. Στ Σχήα 8 φαίνται ένα Η/Μ κύα, πυ ταξιδύι ταχύτητα c διαέσυ ιας πιφάνιας s. Σ ένα χρνικό διάστηα t η νέργια πυ πρνά από την πιφάνια s θα ίναι: u u(sc t), πότ P usc ( t ) cu (3) s t Βάσι της () πρκύπτι: P c (4) () c t Σχήα 8 Η ένταση Ι της Η/Μ ακτινβλίας ρίζται από τη σχέση : I P (5)

2 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 9 Για την πρίπτωση αρνικύ κύατς : sin( kz ωt), ν πότ άρα I c c Πραιτέρω η (4) πρί να γραφί: P c c Bc c B ν (6) B δένυ ότι η νέργια τυ Η/Μ κύατς ρέι κατά συγκκριένη διύθυνση θωρύ λγικό να ρίσυ ένα διάνυσα τυ πίυ η διύθυνση να ίναι κίνη διάδσης τυ κύατς και τ έτρ τυ Η/Μ κύατς ανά νάδα χρόνυ και ανά νάδα πιφανίας κάθτα στη διύθυνση διάδσης τυ κύατς. Ένα τέτι άνυσα καλίται άνυσα Pynting S και πιδή B, λόγω της (7) θα B ίναι : S Γνικότρα : S H (8) ιαπιστώνυ αέσως S P (9) και S I () Από τν ρισό τυ ανύσατς Pynting, πρί να συπράνι κανίς ότι η ρή, δηλαδή τ λκλήρωα τυ H πάνω σ ια πιφάνια s, δίνι την νέργια ανά νάδα χρόνυ d πυ διαπρνά την πιφάνια αυτή. Λαβάνντας υπόψη τη σχέση ρισύ τυ P καθώς και τη σχέση (9) καταλήγι κανίς στην έκφραση d ( H) ds () Μια διαφρτική απόδιξη της σχέσης () φαίνται στη συνέχια: (7) Έστω τ Η/Μ κύα τυ Σχήατς 9 διαδιδόν κατά τν άξνα z x BB y x SS z x xb y z y S Σχήα 9 z

3 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 9 B y Είναι: u ( x + ) Η νέργια πυ πρνά από τ στιχιώδη όγκ, θα ίναι u ή κατά τ Σχήα 9 : πότ Έχυ όως δίξι ότι : B y ( x + ) s z () x By ( x + By ) s z () B y z c x και B y z Αντικαθιστώντας στη () έχυ : By x s z By s z c B x + y x B z z - z + ( ) Επιδή τώρα S z s z xby ( ) z B x y η τλυταία σχέση γράφται : Sz s z s z S S z z+ z ( Sz Sz+ z)s z z y x x z (3) Τ τλυταί έρς αυτής της σχέσης κφράζι τη γνικότητα ένα λκλήρωα πότ S ds και λαβάνντας υπόψη ότι ι πσότητς έσα στ λκλήρωα s ίναι διανύσατα, έχυ τλικά την έκφραση: S ds s Γνικότρα η σχέση (4) δίνι τ ρυθό της ταβλής της νέργιας τυ Η/Μ πδίυ σ ένα όγκ διαέσυ της πιφάνιας s πυ πριβάλλι τν όγκ, λόγω ρής της Η/Μ ακτινβλίας. Επιδή η στιγιαία τιή τυ ανύσατς Pynting ταβάλλται, πρφανώς όταν κάνυ τρήσις νδιαφέρι η έση τιή τυ, S. Για σηιακή πηγή πυ κπέπι Η/Μ νέργια γνώς και ισότρπα πρς όλς τις διυθύνσις, πότ τ S ίναι πάντα κάθτ στην πιφάνια, η σχέση (4) διαδχικά γίνται : S ds S ds S 4π δηλαδή η έση ισχύς πυ πρνά από σφαίρα ακτίνας, ισύται τη έση τιή τυ ανύσατς Pynting στην πιφάνια της σφαίρας πί τ βαδόν της πιφάνιας αυτής. Για την πρίπτωση τυ αρνικύ Η/Μ πδίυ στ κνό, και πιδή B θα ίναι : (4)

4 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 93 S B sin( ωt kz) B sin( ωt kz) S B sin ( ωt kz) B c ιαπιστώστ ότι S ν στ κνό και S ν στην νωτική ύλη. Ζ Ζ B sin ( ωt kz) ν S H S κν κν c c Z Ζ Ε ( ) sin ωt kz B ν S νωτικη H S νωτικη υλη u Z υλη Ζ Μέχρι τώρα βέβαια δν λάβα υπόψη ας την αλληλπίδραση τυ Η/Μ πδίυ την ύλη. Θωρήσα ότι δν υπάρχυν φρτία και ρύατα. Αυτό θα γίνι στην πόνη παράγραφ. Θώρηα διατήρησης της νέργιας στα Η/Μ κύατα uztdv (,) ( D+ B Hdv ) Για πίπδ κύα στν λύθρ χώρ D και B H πότ ( D + B ) dv () D D B B dv D H B ( + ) + dv ( ) () Από τις ξισώσις τυ Maxwell ξέρυ όως ότι: D B H J + και πότ η τλυταία σχέση γίνται: H J + H d ( ( ) ( ( )) v (3) Jdv ( H H) dv Ισχύι όως η ταυτότητα : ( H) H H πότ : Jdv H dv ( ) και φαρόζντας τ νό τυ Gauss: s

5 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 94 Jdv ( H) ds (4) Η φυσική σηασία κάθ όρυ της (4) ίναι: : ρυθός ταβλής της νέργιας στν όγκ Jdv: ρυθός παραγωγής θρότητας Jule στν όγκ Πράγατι ας υπλγίσυ τ έργ πυ κάνι τ πδί ανά νάδα όγκυ της ύλης. Ένα σωάτι έσα σ όγκ πυ φέρι φρτί q και κινίται ταχύτητα u δέχται δύναη Lentz: F q( + u B) Ο ρυθός dw τυ παραγόνυ έργυ θα ίναι: dw F u q u + qu u B q u Αν υπάρχυν Ν σωάτια ανά νάδα όγκυ τότ: dw Nq u J Ο όρς J κφράζι λιπόν γνικά την απώλια νέργιας ανά νάδα όγκυ και ανά νάδα χρόνυ από τ πδί πάνω στην ύλη. Αυτή η νέργια τατρέπται σ θρότητα Jule: dw d Jule ( H) ds : Φαίνται κατ αρχήν από τη σχέση (4), ότι όρς αυτός κφράζι s ρυθό ταβλής νέργιας. Η ρή τυ ανύσατς Pynting H δίνι τ ρυθό της πρς τα έξω ακτινβλύνης νέργιας διαέσυ της πιφάνιας s πυ πριβάλλι τν όγκ. Η σχέση (4) κφράζι τν θώρηα διατήρησης της νέργιας για τα Η/Μ κύατα. Η νέργια των πδίων σ ένα όγκ λαττώνται ρυθό, καταναλισκόνη πάνω στην ύλη ρυθό πριβάλλν ρυθό (4) ίναι η παρακάτω: ακτινβλιας Jule s Jdv και ακτινβλύνη πρς τ ( H ) ds. Μια άλλη συβλική γραφή της s Jule ακτινβλιας Πριν πρχωρήσυ στη διρύνηση τυ τύπυ (4) θα ξτάσυ ία διαφρτική αντιτώπιση τυ θωρήατς διατήρησης της νέργιας στ Η/Μ πδί από την πία πιστύυ ότι θα πρκύψι πι γλαφυρό τρόπ η ανάγκη ισαγωγής τυ

6 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 95 ανύσατς Pynting ως έγθς πυ κφράζι τ ρυθό της ακτινβλύνης νέργιας. Όπως ξέρυ η διατήρηση τυ φρτίυ κφράζται την αρχή της συνέχιας : ρ J ( ) Όταν υπάρχι απώλια φρτίυ - ρ από ένα χώρ τότ έχυ ία ρή φρτίυ J απακρυνόνη από τ χώρ αυτό, όπυ ρ ίναι η πυκνότητα φρτίυ και j η πυκνότητα τυ δηιυργύνυ ρύατς. Αντίστιχα θα πρύσα να σκφθύ ότι αν υπάρχι ια πυκνότητα νέργιας u σ ένα χώρ τότ κάθ απώλια u νέργιας θα δηιυργί ια ρή της νέργιας αυτής. Ένας αντίστιχς όρς S θα κφράζι τη ρή της νέργιας ανά νάδα χρόνυ και ανά νάδα πιφανίας κάθτα στη ρή. Σ ένα πρώτ συπέρασα θα πρύσ να δθί η αντίστιχη σχέση: u S ( ) όπυ τ φυσικό έγθς S ίναι αντίστιχ τυ J στη σχέση (). Στην πρίπτωση τυ Η/Μ πδίυ καταναλίσκται και πιπλέν νέργια λόγω της αλληλπίδρασης την ύλη. Παράγται κάπι έργ πυ όπως ίδα αντίστιχς ρυθός τυ ίναι J. Η σχέση ( ) λιπόν συπληρώνται ως ξής : u S + J (3 ) Επιδή η νέργια τυ πδίυ στν όγκ ίναι νέργιας θα πρύσ να κφραστί τη σχέση ή καλύτρα ud ud Sd Jd τ θώρηα διατήρησης της ud Sd + Jd Ας συγκρίνυ τώρα τη σχέση (4 ) την σχέση (4) όπυ πρηγύνα κφράσα τη διατήρηση της νέργιας στ Η/Μ πδί D + B H d Jd ( H) d Παραβάλλντας τις δύ τλυταίς σχέσις δύ ίναι τα άσα συπράσατα. Κατ αρχήν τύπς u ( D+ B H ), πυ ισχύι για στατικά πδία, πρί να πκταθί και στ Η/Μ πδί. ύτρ, τ άνυσα S,η ρή τυ πίυ κφράζι τη ρή της νέργιας ανά νάδα χρόνυ και ανά νάδα πιφανίας,δίνται από τη σχέση S H. (4 )

7 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 96 Σηαντικές παρατηρήσις.αυθαιρσία στην κλγή τυ S : Στ θώρηα διατήρησης της νέργιας φανίζται τ v S. Αλλά και για κάθ άλλ διάνυσα S S + Λ όπυ Λ v τυχαί διανυσατικό έγθς, ισχύι: v S S + Λ S άρα υπάρχυν άπιρα S πυ θα πρύσαν να κφράσυν τ ρυθό ρής της ακτινβλύνης νέργιας τυ Η/Μ πδίυ ανά νάδα πιφάνιας. Έχυν πρταθί στ παρλθόν διάφρι ρισί τυ S και γνικά διάφρι συνδυασί ρισών S,u στην έκφραση τυ θωρήατς διατήρησης της νέργιας. ν έχι απδιχτί πιραατικά πις ίναι σωστός ρισός. Είς θα θωρύ στ ξής σαν τις πλέν αντιπρσωπυτικές τις κφράσις των S και u πυ δώσα παραπάνω..ο ρισός τυ ανύσατς Pynting σαν S H ίναι αναλλίωτς σ τασχηατισύς βαθίδας A A + ψ ψ και φ φ-. A Πράγατι, όπως ξέρυ ισχύυν ι σχέσις φ, B A. Αφύ τα και B ίναι αναλλίωτα όπως ίδα πρηγυένως στυς πι πάνω τασχηατισύς έπται ότι και τ B S θα ίναι πίσης αναλλίωτ. 3.Αν θέλυ να δώσυ τν ρισό τυ ανύσατς Pynting θα λέγα ότι κφράζι την νέργια της Η/Μ ακτινβλίας ανά νάδα χρόνυ και ανά νάδα πιφανίας σ κάθ σηί της πιφάνιας. Είναι πικίνδυν όως να ρίζυ τ άνυσα τυ Pynting. Πι σίγυρ ίναι να δίνυ τη ρή τυ, δηλαδή τ λκλήρωα τυ S σ λόκληρη την πιφάνια s πυ πριβάλλι όγκ, καθ όσ αυτό τ έγθς ίναι πυ συνισφέρι στ νργιακό ισζύγι. Θωρήστ για παράδιγα δύ στατικά πδία και B σ ένα όγκ όπυ δν υπάρχυν ρύατα. Τότ από τν τύπ D + B H d Jd ( H) ds πιδή στην πρίπτωση αυτή τ πρώτ έλς ίναι ηδέν και όρς τυ δύτρυ έλυς ίναι πίσης ηδέν πρκύπτι: ( H) ds. S ηλαδή η ρή τυ S πρέπι να ίναι ηδέν, για να διατηρηθί τ νργιακό ισζύγι. Από την άλλη ριά όως τ άνυσα Pynting δν ίναι ηδέν στα διάφρα σηία τυ χώρυ. 4.Στατικά πδία σ χώρ όπυ υπάρχυν αγωγί. Τ θώρηα διατήρησης της νέργιας ισχύι ξ ίσυ για στατικά πδία καθώς και για χρνικά ταβαλλόνα. Στην πρίπτωση των στατικών πδίων η πρηγύνη Jd H ds δηλαδή: σχέση παίρνι τη ρφή: ( ) ( ) S S H ds Jd S

8 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 97 Η σχέση αυτή ας λέι ότι η θρότητα Jule Jd, πυ αναπτύσσται στυς αγωγύς ισύται την νέργια υπό ρφή Η/Μ ακτινβλίας ( H) ds πυ ρέι από τν πριβάλλντα χώρ όπυ ίναι απθηκυένη. Η θωρία λιπόν αυτή καταλήγι στ συπέρασα ότι υπάρχι ια «νέργια σ ρή» στ χώρ γύρω από τυς αγωγύς και αυτή την νέργια παίρνυν τα ηλκτρόνια για να κινηθύν έσα στα σύρατα. Αυτό έρχται σ αντίθση την κινή αντίληψη ότι τα ηλκτρόνια κινύνται λόγω των δυνάων πυ ασκύνται από τις πηγές (π.χ. ηλκτρικές πηγές) πυ ίναι συνδδένς στα διάφρα κυκλώατα. Κατά τη λγική τα πδία στ σωτρικό των συράτων ξασκύν δυνάις στα ηλκτρόνια τα πία κινύνα συγκρύνται τυς δικύς λίθυς τατρέπντας έργ σ θρότητα Jule. Η νέα θωρία λέι ότι τα ηλκτρόνια παίρνυν νέργια από πδία έξω από τυς αγωγύς. Κατ αρχήν ρυατφόρς αγωγός δηιυργί στ χώρ έξω από αυτόν και ηλκτρικό και αγνητικό πδί. Άρα νέργια Η/Μ πδίυ απταιύται στ γύρω χώρ. Στ ρώτηα αν η νέργια πυ ισρέι έρχται από έξω θα έπρπ η νέργια των πδίων πυ τη δίνυν να λαττώνται, δηλαδή τα πδία να φθίνυν, η απάντηση ίναι ότι η νέργια αυτή αναπληρώνται από τις πηγές πυ παράγυν αυτά τα πδία έτσι ώστ για στατικά πδία θu/θt. Στ ζήτηα πυ γννάται «πις από τυς δύ τρόπυς διάθσης της νέργιας στυς αγωγύς ίναι σωστός;» θα πρύσ κανίς να ισχυριστί ότι υπάρχυν πρισσότρς της ίας λγικά απδκτές απαντήσις. Επιδή τα πδία, ι πηγές τυς, τα ρύατα, ι αγωγί απτλύν ένα αυτσυνπές σύστηα, δν πρύ να πύ απκλιστικό τρόπ για τ έγθς πυ ίναι υπύθυν και για τν τρόπ πυ γίνται η ρή της νέργιας στν αγωγό. (Για πρισσότρη συζήτηση στ θέα αυτό αναγνώστης πρί να καταφύγι στ άρθρ τυ R. H. Rme, Am. J. Physics 5, 66 (98).) 5. ιάδση νέργιας στ κνό Όσ και αν φαίνται παράξνη η αντίληψη ότι η νέργια ταξιδύι στ κνό χωρίς τη βήθια ύλης σ κίνηση (όπως στην πρίπτωση των Μηχανικών κυάτων), ν τύτις αυτός ίναι τρόπς πυ γίνται. Αυτός ίναι τρόπς τν πί έρχται νέργια από τν ήλι στη γη. Τ συπέρασα ότι τα Η/Μ κύατα ταφέρυν νέργια ίναι τόσ αναπόφυκτ, όσ και τ συπέρασα ότι απαιτίται νέργια για την απκατάσταση ηλκτρικών και αγνητικών πδίων στ χώρ. Ορή της Η/Μ ακτινβλίας Τ Η/Μ πδί έχι και νέργια και ρή. Κατά τις αλληλπιδράσις ανταλλάσσται και νέργια και ρή. Τα δύ γέθη ίναι άσα συνδδένα. Υπάρχι τ ξής σηαντικό θώρηα της Μηχανικής: Όταν υπάρχι ρή νέργιας υπό πισδήπτ συνθήκς τότ η νέργια πυ ρέι ανά νάδα πιφανίας και ανά νάδα χρόνυ, πλλαπλασιαζόνη /c² δίνι την ρή ανά νάδα όγκυ στ χώρ. Θωρώντας στιχιώδη όγκ s z κατά τη διύθυνση διάδσης Η/Μ κύατς κατά τν άξνα z ταχύτητα c, θα έχυ για την ρή ανά νάδα όγκυ p u us z p c s t c s t c cu u c αφύ z c, η ταχύτητα τυ Η/Μ κύατς. t

9 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 98 Για πίπδ Η/Μ κύα u πότ p. c c Επιδή B η πρηγύνη σχέση γίνται: p B H S c. Θωρώντας την ρή κατά τη διύθυνση διάδσης τυ Η/Μ κύατς καταλήγυ : p c S Γνικά πρί να διατυπώσι κανίς για τ Η/Μ πδί ότι για ια δύναη αλληλπίδρασης F q + qu B τ θώρηα διατήρησης της νέργιας απαιτί u D+ B H ( ) και τ θώρηα διατήρησης της ρής απαιτί: H p c Μια διαφρτική παρυσίαση τυ θέατς της ρής πυ ταφέρι τ Η/Μ πδί και της συσχέτισής της τ άνυσα Pynting ίναι η ακόλυθη: Από τη σχέση Lentz F q + qu B ύκλα βρίσκται ότι η δύναη ανά νάδα όγκυ πυ ασκίται από τ Η/Μ πδί στην ύλη θα ίναι: F ρ + J B () ρ Από τις ξισώσις Maxwell όως και B ( J + ). Η () γίνται F ( ) + ( B) B B () B Λαβάνντας υπόψη ότι ( B) B+ η () γράφται F + ( B) ( ) ( ) B ( B) F t c H B B + ( ) + B B ( ) ( ) ( ) ( )( 3) Ο όρς πυ πριλαβάνι τ B έχι ισαχθί για λόγυς συτρίας. Αλλά ίναι F dp όπυ dp ρυθός ταβλής της ρής της ύλης. Κιτώντας την ξίσωση (3) θα πρύσ κανίς να ρίσι ια πυκνότητα ρής τυ Η/Μ πδίυ από ια σχέση p c H S c Τ δξιό έρς της σχέσης (3) νέχι σηαντικό φυσικό πριχόν τ πί όως ίναι πέρα τυ σκπύ της παρύσας ανάλυσης. Πρς χάρη της πληρότητας πρί

10 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 99 να πάρι την έκφραση έκφραση : Td όπυ T λγόνς τλστής τάσης τυ Maxwell B T + BB + Τέλς πρέπι να αναφέρυ ότι τ Η/Μ κύα ταφέρι και στρφρή L όπυ: L p ( H) c Πίση της Η/Μ ακτινβλίας Αφύ τα Η/Μ κύατα ταφέρυν ρή θα ξασκύν πίση καθώς πρσπίπτυν και απρρφώνται ή ανακλώνται από ία πιφάνια. Βρίσκται ότι για ια πιφάνια πυ απρρφά τ κύα: Pακτ cp u ίξα όως p άρα Pακτ u c και για Η/Μ κύα Pακτ Όταν η πιφάνια ανακλά τλίως την ακτινβλία τότ η ταβλή της ρής ίναι p, πότ P cp u ακτ Άνυσα Pynting για άλλα πδία Ένα βασικό ρώτηα πυ έρχται αυθόρητα τά την παραπάνω θώρηση τυ πρβλήατς της ρής της Η/Μ ακτινβλίας ίναι τ ξής: «Θα πρύσ να ρισθί ένα αντίστιχ άνυσα Pynting και για άλλα πδία κτός τυ Η/Μ, π.χ. για τ πδί βαρύτητας;». ιαισθητικά πριένι κανίς ια καταφατική απάντηση. Μια πρώτη όως παρατήρηση σ σχέση τ Η/Μ πδί ίναι ότι χρνικά ταβαλλόν π.χ. δηιυργί B και τανάπαλιν πότ ρίζται τ B. Στην πρίπτωση τυ πδίυ βαρύτητας η χρνική ταβλή τυ g έχι κάπι ιδιαίτρ φυσικό νόηα; ηιυργί κάπι άλλ πδί; Ακλυθώντας την ίδια πρία σκέψης ξέρυ ότι πηγή τυ ίναι τ φρτί q νώ τυ B τ κινύν φρτί ή ρύα dq/. Στην πρίπτωση τυ πδίυ βαρύτητας όπυ αντίστιχ υπόθα ίναι η άζα τι πιπλέν νόηα θα πρύσα να απδώσυ π.χ. σ κινύνς άζς; Θα πρύσ ια κινύνη άζα να θωρηθί πηγή κάπιυ αντίστιχυ πδίυ g ; Μια σύντη αλλά βριθή θώρηση τυ πρβλήατς τυ ρισύ «ανύσατς Pynting» για τ πδί βαρύτητας πρί να βρι αναγνώστης στ άρθρ των P. Kumm and D. Bedfd, Am. J. Physics. 55, 36 (987).

11 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Τ ηλκτρικό πδί πίπδυ Η/Μ κύατς στ κνό έχι την έκφραση Εsin(ωt-4π/3z) $i (/m). Πρσδιρίστ τ άνυσα Pynting τυ ν λόγω πδίυ και δώστ την χρνική ξάρτηση τυ σ ένα σηί τυ χώρυ. Λύση 4π sin( ωt + z)$( i / m ) 3 H 4π sin( ωt + z) $( j A/ m ) Z π 3 4π S H sin ( ωt + z) κ ( W/ m ) π 3 Σηιώστ ότι η έση τιή τυ ανύσατς Pynting ίναι: < S >< H > κ ( W / m ) π. Σηιακή πηγή νχρωατικύ φωτός ισχύς 6 Watt, ακτινβλί ισότρπα πρς όλς τις διυθύνσις. Πρσδιρίστ τ πλάτς τυ ηλκτρικύ πδίυ Ε, τυ αγνητικύ πδίυ Β και τ άνυσα Pynting σ απόσταση m ( 4π -7 s/am c3 8 m/s). Υπόδιξη : Λύση S ds ()

12 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Θωρώντας σηιακή πηγή πυ ακτινβλί ισότρπα, αυτό πυ ας νδιαφέρι ίναι η έση τιή τυ ανύσατς Pynting. Σύφωνα πρηγύνη ανάλυση έχυ : S 4π () Αλλά S H c (3) Από τις () και (3) π c4π... (4) c όπυ 6 Watt, η έση τιή ισχύς πυ ακτινβλί λαπτήρας. Από την c t (4) λαβάνυ... 3 π m B... 7 Tesla c S B Watt/m 3. Κυλινδρική δέση νχρωατικύ φωτός κπρύται από πηγή lase ισχύς KW και ήκυς κύατς λ6 Å. Η διατή της δέσης έχι διάτρ mm. Υπλγίστ τα πλάτη Ε και Η τυ ηλκτρικύ και τυ αγνητικύ πδίυ αντίστιχα καθώς και τη έση τιή τυ ανύσατς Pynting S. Στη συνέχια η δέση πρσπίπτι κάθτα σ γυαλί ικανύ πάχυς και δίκτη διάθλασης η.5. Υπλγίστ κ νέυ τα παραπάνω γέθη έσα στ γυαλί. Θωρήστ ότι λόγω ανάκλασης στ γυαλί τ ηλκτρικό πδί χάνι τ % της τιής τυ. Λύση S P 55. W / m π 3 S S c 3. / m c B 3. 8 Tesla c

13 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Λόγω φαινένων ανάκλασης στην πιφάνια τυ γυαλιύ τ ηλκτρικό πδί γίνται.8ε. Από τν τύπ n, δχόνι πρκύπτι η.5. Άρα έσα στ γυαλί 8. γ 4. / m γ 4. και Hγ 33. Am / Z Z κνυ 5. Σηίωση : Η δθίσα τή τυ δίκτη διάθλασης αντιστιχί στη στατική πρίπτωση (ω ). Η παραπάνω λύση λλίψι άλλων στιχίων δν λαβάνι υπόψη την τιή τυ δίκτη διάθλασης στη συχνότητα λιτυργίας τυ lase. 4. Ραδιφωνικός σταθός έσης ισχύς 5 Watt κπέπι ιόρφα σ όλ τ χώρ. Σ απόσταση Km να βρθί τ έτρ τυ ανύσατς Pynting και τα πλάτη τυ ηλκτρικύ και τυ αγνητικύ πδίυ. Υπθέστ ότι σ αυτή την απόσταση τ κύα ίναι πίπδ. Λύση d S 4π S. 8W / m S S c 45. / m c B 8. 8 T c 5. Βρίτ τ άνυσα Pynting S για στάσι Η/Μ κύα Ε χ Αcskzcsωt. Υπλγίστ τη έση τιή τυ S και σχλιάστ τ απτέλσα. Λύση Από τη σλίδα 35 έχυ : B c A kz t y sin sinω, πότ θα ίναι: i$ $ j k$ A A S x k$ xby cskz csω t sin kz sinω t sin kz sin ω t c 4 c B y Η έση τιή τυ S σ χρόν ιας πριόδυ τυ στάσιυ κύατς ίναι ηδέν αφύ sin ω t. ηλαδή η έση Η/Μ νέργια πυ πρνά από ια πιφάνια κάθτα τπθτηένη στη διύθυνση διάδσης τυ κύατς ίναι ηδέν. Τ στάσι κύα δν ακτινβλί Η/Μ νέργια. Η νέργια των πδίων ίναι παγιδυένη τατρπόνη διαδχικά σ νέργια τυ ηλκτρικύ και τυ αγνητικύ πδίυ. 6. Απδίξτ ότι ι ξισώσις τυ Maxwell στ κνό χωρίς πηγές ικανπιύνται και από τα πδία kb και B k. Τι κφράζι η σταθρά κ. Υπλγίστ τ άνυσα Pynting τυ Η/Μ πδίυ(, B ).

14 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 3 Λύση () B () B (3) B (4) Κατά την άσκηση θα έχυ: ( ) ( kb) k B () B ( k) k B ( 4) ( kb) k B B k ( k ) ( B) ( 3) B ( k) k B ( kb) B k B Για τ Η/Μ κύα γνικά ισχύι: cb. Επένως cb. B kb ( k ) B S k k S Πρέπι k να ίναι αδιάστατη σταθρά,άρα ι διαστάσις τυ κ ίναι ίδις τ ίναι c, δηλαδή διαστάσις ταχύτητας. Επιδή για διάδση στ κνό η ταχύτητα συνπάγται k c και συνπώς S S. 7. Σηιακό φρτί q κινίται σταθρή ταχύτητα u. ίξτ ότι δν ακτινβλί Η/Μ νέργια. Λύση Σχήα 3

15 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 4 Μια τυχαία χρνική στιγή τ φρτί βρίσκται στη θέση Ο. Στην πιαδήπτ θέση q Α στ χώρ δηιυργί ηλκτρικό πδί 4 $ κατά τη διύθυνση της π ακτίνας και αγνητικό πδί q B 4π u $, τ (OA). Τ B ίναι κάθτ στ u και και ια δυναική γραή αυτή πυ πρνά από τ Α π.χ. ίναι κύκλς κέντρ Ο και ακτίνα (Ο Α). Τ αγνητικό πδί στη θέση Α ίναι φαπτόν στ κύκλ αυτό στ Α. Τ B ίναι κάθτ στα και B και συνπώς φαπτόν της σφαίρας κέντρ Ο και ακτίνα (ΟΑ). Πρφανώς αυτό ισχύι για κάθ σηί Α στην πιφάνια της σφαίρας. Άρα τ πιφανιακό λκλήρωα τυ S, πί της σφαίρας, δηλαδή η ρή τυ S έσω της σφαίρας αυτής ίναι ηδέν. Τ λκλήρωα όως αυτό δίνι τ ρυθό d της ακτινβλύνης Η/Μ νέργιας. d Άρα : S ds Αυτό ισχύι για κάθ θέση τυ φρτίυ κατά τη διαδρή τυ. Μ άλλα λόγια κατά την αλή υθύγραη κίνηση τυ δν ακτινβλί Η/Μ νέργια. Σ αντίθση, αξίζι να τνιστί ότι πιταχυνόν φρτί ακτινβλί Η/Μ νέργια. 8. Μακρύ υθύγρα σύρα διαρέται από ρύα σταθρής πυκνότητας J. Η ακτίνα διατής τυ ίναι R και η διαφρά δυναικύ για κάθ ήκς l ίναι. Ζητίται τ έτρ και η διύθυνση τυ ανύσατς Pynting στην πιφάνια ( R) τυ σύρατς. ίξτ στη συνέχια ότι η νέργια ανά νάδα χρόνυ πυ ρέι στ σύρα ίναι I. Σχλιάστ την νργιακή ταβλή και γνικά τ νργιακό ισζύγι σ ένα κύκλωα διαρόν από σταθρό ρύα. ιρυνήστ τ παραπάνω πρόβληα για <R (σωτρικό αγωγύ) και για >R (ξωτρικό αγωγύ). η λύση Σχήα 3

16 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 5 Στ σωτρικό τυ αγωγύ Ε/I. Λόγω της συνέχιας της φαπτνικής συνιστώσας τυ πδίυ στην πιφάνια τυ αγωγύ τ πδί θα ίναι /I και αέσως έξω από την πιφάνια τυ αγωγύ. Αν j η πυκνότητα τυ ρύατς τότ η ένταση i τυ ρύατς πυ πρνά από ία διατή τυ αγωγύ (S π R² ) θα ίναι i j π R² και i από τ νό τυ Ampee, Bdl i καταλήγυ στη σχέση B πr. Τ B ίναι φαπτόν της δυναικής γραής κέντρυ Ο και ακτίνας (ΟΑ)R. Τ έτρ τυ ανύσατς Pynting θα ίναι: i i S B l πr l πr Η διύθυνση τυ S ίναι κάθτη της κυλινδρικής πιφάνιας τυ αγωγύ και διυθύνται πρς τα έσα. Η ρή τυ S έσω τυ αγωγύ θα ίναι: S ds S ds cs8 + S ds cs9 sκυλινδρυ sπαραπλυρη παρ sβασων i S ds (πrl) i παρ s l πr παραπλυρη Αλλά d S ds d όπυ η νέργια της Η/Μ ακτινβλίας πυ ισέρχται ανά νάδα χρόνυ από τν ξωτρικό χώρ στν αγωγό. Η θρότητα Jule συνπώς πυ πάγται από τν αγωγό ίναι ίση την Η/Μ νέργια πυ ισέρχται από τν αγωγό στν ξωτρικό χώρ. Μ άλλα λόγια, η διαπραγάτυση τυ θέατς βάση τ άνυσα Pynting δηγί στ συπέρασα ότι η νέργια πυ καταναλίσκται υπό ρφή θρότητας πάνω στα σύρατα δν πρσφέρται από την πηγή (δια έσω των συράτων) όπως ίναι κινή αντίληψη, αλλά ισέρχται από τν πριβάλλντα χώρ όπυ υπάρχι απθηκυένη Η/Μ νέργια λόγω των πδίων Ε και Β. η λύση d H/M Για τα στατικά πδία τυ πρβλήατς ας ισχύι: πρκύπτι: S ds Jd. Αλλά Άρα βασ d d D H B Jule ακτινβλιας + d Jd S ds ( ) παραπ D B παραπ και i i i Jd d d R l i l R l R ( π ) l π π πr S ds i πότ Θωρώντας, λόγω συτρίας, τ S σταθρό και συνχώς κάθτ σ πιδήπτ σηί της πιφάνιας τυ αγωγύ έχυ: S ds S ds cs8 S ds S πrl Συγκρίνντας τις δύ παραπάνω σχέσις καταλήγυ τλικά στη v i S. πrl

17 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 6 ιρύνηση α) σωτρικό αγωγύ (R <R) Για τ ρύα i πυ πρνά από ια διατή τυ αγωγύ ακτίνας R <R θα έχυ i i R j i i. Τ πδί Β στην πιφάνια τυ αγωγύ ακτίνας R πr² πr ² R θα ίναι B B R και συνπώς τ άνυσα τυ Pynting S S R και η R R νέργια πυ καταναλώνται στη νάδα τυ χρόνυ στ σύρα ακτίνας διατής R, d θα ίναι S ds i παραπ β) ξωτρικό αγωγύ (R >R) Αφύ από την πιφάνια τυ αγωγύ ρέι Η/Μ νέργια πρς τα έσα, σηαίνι ότι στν έξω χώρ τυ αγωγύ ίναι απθηκυένη νέργια και άλιστα σηαίνι ότι τ άνυσα τυ Pynting υφίσταται και η ρή τυ δν ίναι ηδνική. Είναι σαφές ότι αφύ υπάρχι S υπάρχι ηλκτρικό πδί στ ξωτρικό τυ ρυατφόρυ αγωγύ. Τ πδί αυτό πρύ να τ καταλάβυ καλύ τρα αν θωρήσυ τυς δύ πόλυς της πηγής απακρυνένυς πρς τ + και τ αντίστι χα και κατά συνέπια θωρώντας ισδύναα ια διπλική κατανή φρτίυ. Τ θα ίναι φαπτόν ιας δυναικής γραής και συνπώς θα έχι διαφρτική διύθυνση στα διάφρα σηία τυ χώρυ. (Τ έτρ τυ πδίυ στα διάφρα σηία τυ χώρυ πρί να υπλγισθί αλλά ίναι έξω από τ σκπό της παρύσας άσκησης.) Αυτό πυ έχι σηασία ίναι ότι υφίσταται τ S έξω από τν αγωγό, η δ ρή τυ για πιαδήπτ πιφάνια πριβάλλυσα τν αγωγό ίναι ίση πρς I δηλαδή πρς τη ρή έσω της ξωτρικής κυλινδρικής πιφάνιας τυ αγωγύ. 9. Οαξνικό καλώδι ακτίνων α και β συνδδέν ηλκτρική πηγή τάσης τρφδσίας διαρέται από ρύα Ι. Ζητίται τ άνυσα Pynting και η ρή τυ. Λύση Σχήα 33

18 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 7 Υπόδιξη : Τα ρύατα στν ξωτρικό και στν σωτρικό αγωγό ίναι αντίστιχα -Ι I και +Ι. Στην πριχή α<<β τ αγνητικό πδί θα ίναι H. Θωρώντας π τήα αγωγύ ήκυς l η πυκνότητα ρύατς σ απόσταση θα ίναι jι/αι/πl και συνπώς Εj/σΙ/πlσ. Η διαφρά δυναικύ των θέσων α και β θα ίναι: β β I d l d I β ln συνπώς πσ πσl α α α ln β. Σηιώστ ότι τ α I πδί ίναι ακτινικό. Άρα τ άνυσα Pynting θα ίναι S ln β π α διυθυνόν κατά τν άξνα z. Η λική ρή θα ίναι : β β β I d S ds d β π π β I α α ln α ln α α. Σύρα κυλινδρικύ σχήατς, ακτίνας διατής, κάπτται σ σχήα κύκλυ ακτίνας. Τ σύρα λικής αντίστασης R τρφδτίται ρύα Ι από παταρία αλητέων διαστάσων. i) Σχδιάστ πρόχιρα τα Ε και Β στ σωτρικό τυ σύρατς και αέσως έξω από την πιφάνιά τυ. ii) Υπλγίστ τη ρή της νέργιας σ ένα σηί της πιφάνιας τυ σύρατς και σχδιάστ τις γραές ρής τυ ανύσατς Pynting S p κατά πρσέγγιση. iii) Υπλγίστ την Η/Μ νέργια πυ ισέρχται στν αγωγό και βρίτ τη σχέση της τη θρότητα Jule. Λύση : [i), ii)] Σχήα 34 Σχήα 35 Λόγω συνέχιας, τ Ε λίγ έξω από τν αγωγό διατηρί την τιή και τη φρά τυ. Κάθ γραή ρής ίναι κάθτη στην πιφάνια τυ σύρατς στ αντίστιχ σηί.

19 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 8 Αν για στιχιώδς ήκς l τυ αγωγύ η διαφρά δυναικύ ίναι, τότ Ε / l. Από τ σχήα φαίνται ότι τ πρόβληα ίναι ισδύνα κίν τυ υθύγραυ κυλινδρικύ σύρατς. Τ ήκς τυ σύρατς ίναι π και η I R αντίστιχη διαφρά δυναικύ ΙR. Άρα,. Τ αγνητικό πδί στ π I ξωτρικό τυ αγωγύ ίναι B. (Υπλγίστ τ Β στ σωτρικό τυ αγωγύ π θωρώντας σταθρή πυκνότητα ρύατς Ι/π².) I R I I R Άρα, Sp B π π π π iii) I R I R I R Sp ds ds ds I π π R π π π π π π Από τ σχήα φαίνται ότι τ S p ίναι κάθτ στην πιφάνια τυ αγωγύ και διυθύνται πρς τ σωτρικό τυ. Επένως, S ds S ds cs8 S ds. p p p. Πυκνωτής πλισύς παράλληλς κυκλικές πλάκς ακτίνας α φρτίζται. Αν l η απόσταση ταξύ των πλισών τυ, υπλγίστ τ άνυσα Pynting S και τη ρή τυ S ds. Πώς αντιλαβάνστ την απθήκυση της ηλκτρστατικής νέργιας στν πυκνωτή; Λύση Σχήα 36 Κατά τη φόρτιση τυ πυκνωτή q q ( e t RC ) dq q, RC e ταξύ των πλισών ίναι χρνικά ταβαλλόν έτρ: t RC. Άρα τ πδί

20 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 9 ( t) q( t) ( t) () l lc πα C () l Λόγω τυ ταβαλλόνυ ηλκτρικύ πδίυ, δηιυργίται αγνητικό πδί H. Τ αγνητικό πδί έχι δυναικές γραές όκντρυς κύκλυς κέντρ πάνω στν άξνα τυ πυκνωτή. Θα έχυ: H dl ( ds ds t ) και τ έτρ τυ Η θα ίναι Hπα Τότ πα δηλαδή S H α H α διύθυνση τυ σωτρικό τυ πυκνωτή. Για τη ρή τυ S έχυ: S ds ds d ds t t α cs 8 α α ( ) d d ( ) α( παl) S ds l ( )(πα ) (4) (3) ds (5) Αλλά ίναι η πυκνότητα νέργιας τυ ηλκτρικύ πδίυ τυ πυκνωτή, και κυλ πα l κυλινδρικός όγκς πυ γκλωβίζι πυκνωτής. d d Συνπώς ( ) H/ κυλ ίναι η χρνική ταβλή της ηλκτρστατικής νέργιας πυ απταιύται στν πυκνωτή. Η σχέση (5) λιπόν θα γράφται : d S ds H / Μια πρώτη παρατήρηση ίναι ότι θωρήσα dq/ σταθρό, άρα H σταθρό, πότ η χρνική ταβλή της αγνητικής νέργιας θωρήθηκ ηδέν. Σηιώστ ότι η νέργια πυ ίναι κάθ στιγή απταιυένη στν πυκνωτή κυλ ίναι η ηλκτρστατική νέργια τυ πυκνωτή. Η σχέση (5) ας λέι ότι η νέργια πυ απταιύται στν πυκνωτή δν δίνται έσω των συράτων αλλά από τν πριβάλλντα χώρ, απ όπυ ρέι Η/Μ νέργια παράλληλα πρς τυς πλισύς τυ πυκνωτή. Ένας συβιβασός την κινή αντ ίληψη ότι η νέργια έρχται έσω των συράτων θα πρύσ να πέλθι αν H παράλληλ πρς τν άξνα τυ αγωγύ. Αλλά αυτό ισχύι για τ και συνπώς τ H ίναι κάθτ πρς τν άξνα και παράλληλ πρς τυς πλισύς τυ πυκνωτή δικνύντας σαφώς ότι η Η/Μ νέργια ρέι από τν ξωτρικό χώρ, όπυ ίναι απθηκυένη, πρς τ σωτρικό τυ πυκνωτή δια έσυ της παράπλυρης πιφάνιάς τυ. Επιδή στην διατύπωση της άσκησης δίνται τ φρτί q η λύση πρί να διατυπωθί και ως ξής: Από τις σχέσις (), (), (3) έχυ:

21 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ q dq q dq S H S q dq α α lc lc lc lc l πα πα l άρα d H M dq dq S ds q ds q l S ds lc lc C q dq q / πα ( ) πα πα C όπυ H/ η ηλκτρστατική νέργια τυ πυκνωτή. Σηιώνυ ότι όπως ίναι γνωστό τ ηλκτρικό πδί κτίνται και στ χώρ έξω από τυς πλισύς τυ πυκνωτή και πιδή q q(t) άρα (t) πυ σηαίνι και την ύπαρξη H στν γύρω από τν πυκνωτή χώρ. Άρα υπάρχι Η/Μ πδί και συνπώς Η/Μ νέργια απθηκυένη στ γύρω χώρ από τν πυκνωτή η πία ρέι πρς τ σωτρικό τυ ξασφαλίζντας τ νργιακό ισζύγι. η λύση Εφαρόζυ τ θώρηα διατήρησης της νέργιας. D H B + d J d ( H) ds B Είδα πρηγυένως ότι. Επίσης J άρα S ds D t d q dq lπ a dq d al q π lc lc lc π al l q dq C q dq δηλαδή S ds άρα C d q d S ds ( ) H/ C Λόγω συτρίας τ H ίναι κάθτ σ κάθ σηί της παράπλυρης πιφάνιας πυ ρίζι πυκνωτής. Για την πιφάνια τυ κυλίνδρυ, από τη σχέση ( ) q dq H ds H al cs q dq π 8 H q dq C C π alc ιρύνηση Θα πρύσ να καταλήξι κανίς στη σχέση : d S ds H / ως ξής: Από την dq σταθ. πρκύπτι db, πότ D S ds ( Dd) ( t t H/ ) dq Στην πραγατικότητα όως ίναι ταβαλλόν κατά την διάρκια της φόρτισης, πότ ισχύι: D B S ds + H d + t t t D H B d + S ds H/ / ιατυπώστ τι κφράζι η τλυταία σχέση. H/ ( H M)

22 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ. Εκφόρτιση πυκνωτή χωρητικότητας C έσω αντίστασης R. Ως γνωστό η νέργια τυ πυκνωτή φανίζται ως θρότητα Jule στην αντίσταση. /R, έχυ: q I t RC Από τις σχέσις q C, d q/ I e /. q I α) Η νέργια τυ πυκνωτή ίναι: C C e t/ RC d C t/ RC ( ) e I I R RC RC R β) Έστω α η ακτίνα των πλισών και l η απόσταση ταξύ τυς. IR I R t/ RC e, H l l l t a και S t a κατά τη σλίδα 88, όπυ τ S στην κφόρτιση διυθύνται πρς τα έξω. S ds t ads t a al a I R I R t/ RC e l l RC e t/ RC al π ( ) π a a t RC π π / I e R a al I R I RC lc π lc l Σχδιάστ τ αντίστιχ σχήα της σλίδας 88 για διαδικασία κφόρτισης. Μλτίστ και σχλιάστ την παραπάνω λύση. γ) I R I I t RC t RC e e B l l l a a e t RC / / /, π π στην παράπλυρη πιφάνια τυ κυλίνδρυ πυ καθρίζι πυκνωτής. Η ρή τυ ανύσατς Pynting θα ίναι: B S ds S ds + S ds S ds ds παρ βασ παρ cs t RC I R e e l π a / t/ RC π al I R e I R t/ RC 3. Πηνί γάλυ ήκυς σπίρς κυκλικές, ακτίνας R υφίσταται ταβλή τυ ρύατς απ ό την τιή στην τιή Ι σταθρό ρυθό di/. Αν η* αριθός των σπιρών ανά νάδα ήκυς, υπλγίστ τ S στην πιφάνια τυ πηνίυ, καθώς και τη ρή τυ S ds και σχλιάστ τν τρόπ απθήκυσης της νέργιας. η λύση Τ αγνητικό πδί στ σωτρικό τυ πηνίυ ίναι γνές παράλληλ στν άξνα τυ πηνίυ και ισύται : Η η* Ι () Επιδή Ι Ι(t) θα ίναι και Η Η(t), γγνός πυ συνπάγται τη δηιυργία ηλκτρικών πδίων (βλέπ σχήα 37). Ισχύι: d dl Φ d π R R nids n di B n* R di * * π () S n R di H * I (3) διύθυνση στ σωτρικό τυ πηνίυ κάθτη σ κάθ σηί της παράπλυρης n R di ιας. S ds I Rl n R li di * di πιφάν π π * LI

23 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ όπυ L π n* R l ίναι συντλστής αυτπαγωγής τυ πηνίυ. Σχή α 37 d Τλικά έχυ: S ds LI d ( ) αγ (4) όπυ αγ ίναι η νέργια τυ αγνητικύ πδίυ. Επιδή di σταθρό, άρα Ε σταθρό και συνπώς η ταβλή της ηλκτρικής νέργιας ίναι ηδέν. Τ συπέρασα πάλι ίναι, όπως και για τις πρηγύνς δύ ασκήσις πυ αναφέρνται σ ρυατφόρ αγωγό και πυκνωτή, έτσι και για τ πηνί η νέργια πυ απταιύται δν έρχται έσω των συράτων τυ κυκλώατς πυ τ πηνί απτλί έρς αλλά ρέι έσω της παράπλυρης πιφάνιας τυ πηνίυ από τν πριβάλλντα χώρ πυ ίναι «απθηκυένη». η λύση Χρησιπιύ τ θώρηα διατήρησης της νέργιας: D B + H d J d H ds t t ( ) Αλλά D, J, (αφύ δν υπάρχυν ωικές απώλις) πότ: ( H) ds H B di di d n* I n* d n* I d n* I di Rl ( n* RlI ) di LI di π π d då αγ Άρα S ds ( LI ) Θωρώντας, λόγω συτρίας, τ άνυσα S σταθρό και κάθτ σ κάθ σηί της παράπλυρης πιφάνιας έχυ: S Rl n R li di n* R di π cs 8 π * S I

24 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 3 4. Μικρός ραβδόρφς αγνήτης φρτίζται φρτί q. Σχδιάστ τ άνυσα Pynting σ διάφρα σηία τυ χώρυ. Σχλιάστ τη ρή της νέργιας και της ρής τυ Η/Μ πδίυ. Υπόδιξη Σχήα 38 Στ σχήα φαίννται ι δυναικές γραές τυ και B και στ σηί Α τ S. Τα πδία ίναι στατικά άρα και η νέργια, πυ παραένι ατάβλητη τ χρόν. Τ άνυσα τυ Pynting όως B /, πυ ίναι δώ διάφρ τυ ηδνός, κφράζι ρή της Η/Μ νέργιας. Αν κιτάξυ πρσχή τ S στα διάφρα σηία τυ χώρυ θα δύ ότι κυκλφρί συνχώς γύρω- γύρω στ χώρ πυ πριβάλλι τ αγνήτη. Όση νέργια παίνι σ ένα όγκ για κάπι χρόν τόση βγαίνι (φαινόν αντίστιχ τη ρή ασυπίστυ υγρύ). Τ άνυσα τυ Pynting πένως ας πιβάλλι να σκφθύ ια ρή νέργιας ακόα και για στατικά πδία. Αυτό ας βάζι σ σκέψις. Η ρή νέργιας για στατικά πδία έρχται σ αντίθση την κινή αντίληψη. (Μήπως όως αυτή η κινή αντίληψη ίναι λανθασένη και τ άνυσα Pynting ας δίχνι τ σωστό δρό;)παρόιι συλλγισί πρύν να γίνυν για την ρή p S c. Θωρώντας στ σχήα τυ αγνήτη κάθτ στ πίπδ της σλίδας, τ άνυσα τυ Pynting πάνω σ αυτό τ πίπδ και σ απόσταση Α από τ αγνήτη θα διαγράφι πριφέρια κέντρ Ο πί τυ αγνήτη και ακτίνα (ΟΑ) (σηιώστ ότι η ακτίνα αυτή πρί να ίναι πιαδήπτ). Η ρή όως ίναι διανυσατικό έγθς. Η αλλαγή της διύθυνσης συνπάγται ταβλή της ρής. Παρατηρίστ δώ ότι άν σ ένα σηί τυ χώρυ η ρή αυξάνι υπάρχι ένα αντίστιχ σηί όπυ αυτή λαττώνται απτέλσα να ην έχω ταβλή της ρής γνικά. 5. Πρσδιρίστ τ ρυθό της ακτινβλύνης νέργιας για την πρίπτωση των σφαιρικών Η/Μ κυάτων. Λύση R f ut B B Rc f ut S B cr f ( ), ut ( ), ( ) Αρκί να δίξυ ότι τ πιφανιακό λκλήρωα τυ ανύσατς Pynting πάνω σ ια σφαιρική πιφάνια (πυ ίναι και έτωπ τυ σφαιρικύ κύατς) κέντρ τ

25 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 4 σηί κππής των κυάτων ίναι σταθρό. Θωρώντας τ άνυσα Pynting σταθρό σ κάθ σηί ιας ισφασικής (σφαιρικής) πιφάνιας, έχυ: S ds S ds f ( ut) ds cr (Λάβα υπόψη ότι τ S έχι τη διύθυνση της ακτίνας διάδσης και ότι τα και B B ίναι κάθτα ταξύ τυς.) Φ B Σχήα 39 Τλικά (Σχλιάστ.) S ds cr f ut R S ds 4 4 f ut ( ) π π c ( ) 6. Επίπδ Η/Μ κύα ηλκτρικό πδί sin( π 7 t 8. z)$ i / m διαδίδται σ νωτικό έσ (, 4.5). Πρσδιρίστ την έση ισχύ πυ ταφέρι τ κύα καθώς και την λική ισχύ πυ διαπρνά πιφάνια Α cm τυ πιπέδυ x+y+z. Λύση S H sin ( π 7 t 8. z) k W m Z $ ( / ) Z 98. 7Ω 4 S. 6 3 W /m Η πιφάνια τυ πιπέδυ x+y+z πρσδιρίζται από τη συνάρτηση : f ( x, y, z) x + y + z. f i$ $ j k$ Τ διάνυσα τ κάθτ στην πιφάνια αυτή ίναι : n$ f Η ζητύνη λική ισχύς θα ίναι: P S A n W m k m i $ + $ j + k $ 3 $. 6 / $ 4 7 W 3

26 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 5 7. Η Η Θ συνιστώσα τυ αγνητικύ πδίυ σφαιρικύ Η/Μ κύατς διαδιδόν την ταχύτητα τυ φωτός c3 8 sinθ m/sec ίναι HΘ cs( 7 t k ) A / m. Ζητύνται : α) Η συνιστώσα τυ ηλκτρικύ πδίυ Ε τυ σφαιρικύ κύατς και κυαταριθός κ. β) Η συνλική ισχύς πυ διέρχται από σφαιρική πιφάνια σταθρής ακτίνας θ π 9-7, φ π. ίννται 4π H / m, F / m. 3 36π Λύση α) sinθ sinθ Z H Z H sinθ Άρα cs( 7 t k) A/ m ω Είναι k ad / m. c sinθ 7 Τλικά cs( t. 3333) A/ m. sin θ β) IΟΛ S H cs ( ωt k) IΟΛ sin θ Η ισχύς πυ διέρχται από τ ζητύν τήα της σφαιρικής πιφάνιας ( ds sinθdθdφ) θα ίναι: π 3 π 3 sin θ 3 P S ds sinθdθdφ sin θdθdφ π π π θdθ 48 6Watt π - θ+ cs θ 3 π sin cs. 3 4 Σηιώστ ότι η διρχόνη ισχύς ίναι ανξάρτητη της ακτίνας της σφαιρικής πιφάνιας όπως ανανόταν. 8. ίνται τ Η/Μ κύα i $ cs z t) + $ ω( jsin ω( z t) όπυ Ε σταθρά. Πρσδιρίστ τ B και τ άνυσα Pynting. i$ $ j k$ B Bx By Bz i $ + $ j + k$ x y z όπυ cs ω( z t ) x και y sin ω( z t) πότ έχυ: x y z π π

27 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 6 y x Bx By B i$ $ j k$ ( ) i$ $ j k$ z z + t t z B x y z ω ω( cs z t ) () By x z ω ω( sin z t ) () () Bx ω cs ω( z t) ω cs ) ) ( ω( z t dω( z t + C ω) Παίρνντας τη σταθρά C ίση ηδέν πρκύπτι: y Bx sin ω( z t) (3) c ( ) By ω sin ω( z t)... (4) x By cs ω( z t) c πότ: B i $ sin z t) + $ ω( j cs ω( z t) Ακόα : B B + B B x x y y Για τ άνυσα τυ Pynting έχυ: S H B i$ $ j k$ x y z B B B i$ $ j + k$ B B x y z ( ( ) ( ) ( x y y x) ) ( ω( ω( ) k$ cs z t) + sin z t) k$ k$ S k k $ $ Z O Σηίωση: Η παραπάνω έκφραση (και η αντίστιχη τυ αγνητικύ) πδίυ απτλύν κυκλικά πλωέν κύα.(βλέπ κφάλαι 3). Μια διαφρτική κφώνηση της άσκησης θα ήταν : ίξτ ότι η στιγιαία τιή τυ ανύσατς Pynting νός κυκλικά πλωένυ κύατς στ κνό ίναι σταθρή, ανξάρτητη τυ χρόνυ και της θέσης. 9. Επίπδ Η/Μ κύα έχι τη ρφή: i $ cs( kz ωt) + $ j sin( kz ωt-φ) a β. Να βρθί η έση τιή τυ ανύσατς Pynting και να διχθί ότι ίναι ίση πρς τ άθρισα των έσων τιών των ανυσάτων Pynting των δύ συνιστωσών τυ ηλκτρικύ πδίυ. Υπόδιξη : δένυ ότι ι δύ συνιστώσς ίναι κάθτς, έχυ: a + β a β S + Sa + S () β Z Z Z Z Η διαφρά φάσης ταξύ των δύ συνιστωσών δν πηράζι τ απτέλσα.

28 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 7. Επίπδ Η/Μ κύα έχι τη ρφή: i cs( kz ωt) + j cs( kz ωt φ). Να βρθί η έση τιή τυ ανύσατς Pynting και να διχθί ότι δν ίναι ίση πρς τ άθρισα των έσων τιών των δύ συνιστωσών. Υπόδιξη : Εδώ σ αντίθση την πρηγύνη άσκηση ι δύ συνιστώσς ίναι στην ίδια διύθυνση και φανίζυν διαφρά φάσης φ. Θα ίναι : a + β + a β csφ a β S Sa + Sβ + cs φ () Z Z Z Πρφανώς S > Sa + Sβ για και S < Sa + Sβ για a < φ π π φ<π < Τ απτέλσα αυτό ίναι απτέλσα τυ φαινένυ της συβλής. Για φ π ισχύι: S Sa + Sβ. Η διαφρά φάσης ταξύ των δύ συνιστωσών πηράζι τ απτέλσα. Γιατί; Σκφτίτ ότι τ απτέλσα της συβλής δύ κυάτων και κφράζται από τν όρ (: + + ) πίς στην πρίπτωσή της άσκησης 9 ίναι ηδνικός. Στην ιδική πρίπτωση πυ a β έχυ: i $ cs( kz ωt) + cs( kz ωt-φ ) a [ ] πιδή όως A+ B A B cs A+ cs B cs cs άρα i $ a cs kz ωt- φ cs a cs φ πένως: S Z a ή S cs φ Z ίξτ ότι τύπς () για έχι την έκφραση τυ τύπυ (3). a β β (3). Άνυσα Pynting σ αγώγι έσ Κατά τη διάδση Η/Μ κύατς σ αγώγι έσ έχυ δι ότι ισχύυν ι σχέσις: * k az az e cs( kz ω t) και H e cs( kz ω t Ω) ω k * ω + ω σ 4 και a + ω actan σ ω σ

29 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 8 Συνπώς * k az S e cs( kz ω t) cs( kz ω t Ω) ω Αλλά cs Acs B [ cs( A B) + cs( A+ B) ] k az πότ S e csω+ cs ( kz ω t) * ω [ [ Ω] ] δένυ ότι η έση τιή τυ συνηίτνυ ίναι, θα έχυ τλικά : * k az S e csω ω Καλός αγωγός : π, k a σω Τότ Ω, k * 45 k + a 4 σω π az H e cs( kz ω t ) ω 4 σω π az σ S e cs S e ω 4 ω σω az δένυ ότι α/δ, όπυ δ τ πιδρικό βάθς η τλική έκφραση τυ S σ γράφται: S ω Συπραίνυ λιπόν τα ακόλυθα: e z/δ az α) Η διαδιδόνη νέργια λαττώνται τ ττράγων τυ πλάτυς ( e όπως ανανόταν. β) Η νέργια πυ χάνται τατρέπται σ θρότητα Jule στν αγωγό. x z Ας πάρυ την πρίπτωση καλύ αγωγύ πιφάνιας αβ(m²) πάχυς z κάθτ στη διύθυνση διάδσης τυ α κύατς. Τ πλάτς τυ ηλκτρικύ S z z/δ πδίυ ιώνται από Ε σ e y B β κατά την διάδση έσα στν αγωγό και αντίστιχα η έση τιή τυ ανύσατς Σχήα 4 Pynting από S σ σ ω ) και σ S ω e z/δ Συνπώς η απώλια ισχύς τυ κύατς στν αγωγό θα ίναι: aβ σ aβ σ z/ δ ( S S ) aβ ( e ) ω ω z δ

30 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 9 Αλλά δ πότ: ( ) σω S S aβ σ z () Τ πλάτς της τάσης στν αγωγό κατά τη διύθυνση διάδσης τυ κύατς z/δ ταβάλλται από την τιή a στην e a, πότ η έση χωρική τιή τυ ίναι z/δ z ( + e ) a a δ z και a a για z << δ δ a Η αντίσταση κατά τη διύθυνση τυ ρύατς ίναι R σ β z. Η θρότητα Jule συνπώς πυ αναπτύσσται θα ίναι : νρ R / a / aβσ z R a () σ β z Συγκρίνντας τις σχέσις () και () φαίνται αέσως ότι η νέργια πυ χάνται από τ κύα τατρέπται σ θρότητα Jule έσα στν αγωγό. γ) Ο λόγς της ηλκτρικής νέργιας πρς τη αγνητική νέργια ίναι για την z/ δ e πρίπτωση τυ καλύ αγωγύ : ω σ σ z/ δ e ω Επιδή για καλό αγωγό σ ω > << ω σ Αυτό σηαίνι ότι η νέργια ίναι στην υσία σ αγνητική ρφή. Η ένταση τυ ηλκτρικύ πδίυ Ε ίναι ικρή, αλλά η πυκνότητα ρύατς και συνπώς η ένταση τυ αγνητικύ πδίυ Η ίναι σχτικά υψηλή.. Ακτινβλία ηλκτρικύ διπόλυ : Μ κβαντική ανάλυση απδικνύται ότι τ φως ίναι απτέλσα κυρίως της διπλικής ηλκτρικής ρπής των ατόων. Παρακάτω θα λτήσυ τ θέα στην κλασική πρσέγγιση νός ταλαντύνυ ηλκτρικύ διπόλυ. Θα υπθέσυ ότι ένα ξωτρικό ηλκτρόνι ταλαντύται γραικά κτλώντας απλή αρνική κίνηση σ ία έση απόσταση από τ σταθρό θτικό πυρήνα. Τ σύστηα πρί να θωρηθί ότι έχι διπλική ρπή: p qa cs ωt () Κατ αρχήν να τνιστί ότι ταλαντύνη διπλική ρπή συνπάγται ταλαντύν ηλκτρικό πδί, τ πί τη σιρά τυ σηαίνι τη δηιυργία ταλαντύνυ αγνητικύ πδίυ δηλαδή διάδση Η/Μ ακτινβλίας στ χώρ. Η κλασική διαδικασία αντιτώπισης τυ πρβλήατς πρϋπθέτι λύση των ξισώσων τυ Maxwell πυ ίναι και πλύπλκη και δύσχρηστη. Σ απστάσις αρκτά γάλς σ σχέση τις διαστάσις τυ ατόυ τ ηλκτρικό πδί βρίσκται ότι ίναι:

31 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ qa sinθ ω nπ c sin( kz ω t) () Την ξάρτηση τυ τη διαισθάνται κανίς, αν θωρήσι σφαιρικά κύατα πότ πριένι ξάρτηση τυ πλάτυς τυ πδίυ αντιστρόφως ανάλγη της απόστασης. Σχήα 4 Η γωνία θ φαίνται στ σχήα 4. Θωρώντας τα έτωπα πίπδα κύατα για γάλς απστάσις τ θα ίναι κάθτ στη διύθυνση διάδσης και συνπώς κάθτ στη διανυσατική ακτίνα. Στ σχήα τ δίπλ έχι θωρηθί ότι παράγται κατά τη διύθυνση τυ άξνα z. Άρα ι δυναικές γραές τυ αγνητικύ πδίυ θα ίναι όκντρι κύκλι κέντρ πί τυ z και σ πίπδα κάθτα στ z. (Τ ταλαντύν δίπλ ισδυναί ρύα χρνικά ταβαλλόν κατά τη διύθυνση z.) qa sinθ ω Θα έχυ: B sin( kz ω t) (3) c nπ c c Φαίνται αέσως ότι τ B έχι τη διύθυνση της ακτίνας. Έχυ δι όως ότι η ένταση της Η/Μ ακτινβλίας ίναι: και λόγω της () I c 4 qaω I 3π c 3 θ sin (4) Φαίνται αέσως από την (4) η γωνιακή ξάρτηση της κππόνης Η/Μ ακτινβλίας, ΙΙ(θ). Τ ταλαντύν δίπλ δν κπέπι νέργια κατά ήκς τυ άξνα τυ και κπέπι τη έγιστη νέργια στ πίπδ τ κάθτ στν άξνα τυ. Η λικά ακτινβλύνη νέργια ανά νάδα χρόνυ σ όλ τ χώρ θα ίναι:

32 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 4 d qaω I( θ ) ds sin θ ds 3 3π c Σ σφαιρικές συντταγένς τ στιχί πιφάνιας ds ισύται ds sinθdθdφ, πότ: ππ sin θds 3 sin θ sinθdθdφ sin π θ θ π - d csθ( sinθ+) π π 8 δηλαδή: sin θds π 3 4 d qaω πότ: 3 π c Γιατί τ χρώα τυ υρανύ ίναι πλ. Όταν πρσπίπτι η ηλιακή ακτινβλία στα όρια τυ αέρα στην ατόσφαιρα πρύ να θωρήσυ ότι τα ξαναγκάζι σ ταλάντωση απτέλσα η αντίστιχη κππόνη ακτινβλία να ίναι ακτινβλία διπόλυ. Θωρώντας ότι ι συχνότητς ω πυ αντιστιχύν στ ρατό φως ίναι πλύ ικρότρς των 4 d qaω φυσικών συχντήτων ω των ρίων τυ αέρα από τν τύπ 3 π c πρύ κατά πρσέγγιση να συπράνυ ότι η σκδαζόνη ακτινβλία ίναι ανάλγη της τέταρτης δύναης της συχνότητας ω. d ω 4 λ 4 Αλλά τα Η/Μ κύατα πυ πρέρχνται από τν ήλι πριέχυν όλα τα ήκη κύατς. Θωρώντας δύ ήκη κύατς, για τ κόκκιν φως (λ κόκκιν 65 Α ) και για τ πλ (λ πλ 45 ) θα έχυ: Α d ( ) d ( ) 4 πλ λ κκκιν λ πλ κκκιν δηλαδή τ πλ φως σκδάζται 4.3 φρές πρισσότρ τυ κόκκινυ. Μ άλλα λόγια τ πλ χρώα κυριαρχί στν υρανό γιατί έχι τ ικρότρ ήκς κύατς. π