To Je rhma tou Dirichlet

To Je rhma tou Dirichlet Dèspoina NÐka IoÔlioc 999 Majhmatikì Tm ma Panepist mio Kr thc

2

Prìlogoc Οι πρώτοι αριθμοί, 2, 3, 5, 7,,..., είναι εκείνοι οι φυσικοί αριθμοί οι οποίοι έχουν ακριβώς δύο διαιρέτες, τον εαυτό τους και τη μονάδα. Οι αριθμοί αυτοί θεωρούνται θεμέλιοι λίθοι της Αριθμητικής κυρίως λόγω του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Αριθμητικής Κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος της μονάδας γράφεται με μοναδικό τρόπο σαν γινόμενο πρώτων αριθμών. Ενα από τα κεντρικά ζητήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η μελέτη της κατανομής των πρώτων αριθμών ανάμεσα στους φυσικούς αριθμούς. Το πρώτο και πασίγνωστο αποτέλεσμα σε αυτό το πλαίσιο είναι του Ευκλείδη από την αρχαιότητα Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Η απόδειξη αποτελεί υπόδειγμα συντομίας και κομψότητας: έστω ότι το πλήθος όλων των πρώτων αριθμών είναι πεπερασμένο. Σχηματίζουμε το γινόμενό τους και προσθέτουμε μια μονάδα στο αποτέλεσμα. Ο αριθμός που προκύπτει δε διαιρείται από κανέναν από τους πρώτους αριθμούς που τον σχημάτισαν και, επομένως, δεν έχει απομείνει άλλος πρώτος αριθμός γιά να τον διαιρεί. Αυτό αντιφάσκει με το Θεμελιώδες Θεώρημα. Το σύνολο των φυσικών αριθμών χωρίζεται σε δύο αριθμητικές προόδους με βήμα 2, την αριθμητική πρόοδο των περιττών αριθμών, 3, 5, 7, 9,... και την αριθμητική πρόοδο των άρτιων αριθμών 2, 4, 6, 8, 0,.... Είναι προφανές ότι, εκτός του 2, κανένας άλλος άρτιος αριθμός δεν είναι πρώτος αριθμός: όλοι διαιρούνται από το 2. Άρα οι άπειροι πρώτοι αριθμοί περιέχονται, εκτός του 2, όλοι στην αριθμητική πρόοδο των περιττών αριθμών. Τα επιχειρήματα δυσκολεύουν αν χωρίσουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών στις τρείς αριθμητικές προόδους με βήμα 3, 4, 7, 0, 3,... 2, 5, 8,, 4,... 3, 6, 9, 2, 5,....

2 Η τρίτη, εκτός του 3, δεν περιέχει κανέναν πρώτο αριθμό και, επομένως όλοι οι πρώτοι αριθμοί μοιράζονται ανάμεσα στις δύο άλλες. Αλλά δεν είναι προφανές αν και οι δύο περιέχουν άπειρους πρώτους αριθμούς ή, μήπως, κάποια από τις δύο περιέχει πεπερασμένο πλήθος από αυτούς. Για στοιχειώδεις λύσεις αυτού, αλλά και άλλων παρόμοιων προβλημάτων, ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να ανατρέξει στο βιβλίο An Introduction to the Theory of Numbers των Hardy και Wright. Το πρόβλημα είναι, φυσικά, γενικότερο. Εστω βήμα m και οι, m στο πλήθος, αριθμητικές πρόοδοι στις οποίες χωρίζεται το σύνολο των φυσικών αριθμών a, a + m, a + 2m, a + 3m,... όπου το a διατρέχει τους αριθμούς, 2,..., m. Είναι προφανές ότι, αν ο a και ο m έχουν κοινό διαιρέτη μεγαλύτερο της μονάδας, τότε αυτός ο διαιρέτης διαιρεί κάθε όρο της αριθμητικής προόδου και, επομένως, κανένας από τους όρους της, εκτός ίσως του ίδιου του a, δεν είναι πρώτος αριθμός. Οπότε γεννιέται το ερώτημα ποιές από τις υπόλοιπες αριθμητικές προόδους, δηλαδή για τις οποίες ο αντίστοιχος a είναι σχετικά πρώτος με τον m, περιέχουν άπειρους πρώτους αριθμούς. Η εργασία αυτή ασχολείται με το διάσημο Θεώρημα του Dirichlet Κάθε αριθμητική πρόοδος a, a+m, a+2m,..., με a, m να είναι σχετικά πρώτοι, περιέχει άπειρους πρώτους αριθμούς. Το αποτέλεσμα αυτό αποδείχθηκε για πρώτη φορά από τον Dirichlet το 837 και κατόπιν αποδείχθηκε και από άλλους μαθηματικούς με διαφορετικούς τρόπους απόδειξης: Mertens 897), Selberg 949), Zassenhaus 949). Στην εργασία αυτή θα παρουσιάσουμε με κάθε λεπτομέρεια την απόδειξη του Θεωρήματος του Dirichlet βασισμένοι στον τρόπο παρουσίασης που εκτίθεται στο βιβλίο Introduction to Analytic Number Theory του K. Chandrasekharan. Θα πρέπει να τονισθεί ότι στη συγκεκριμένη απόδειξη δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στις μεθόδους της μιγαδικής ανάλυσης. Οσον αφορά στις απαιτούμενες γνώσεις για την ανάγνωση της εργασίας μας αυτές καλύπτονται από τα συνήθη προπτυχιακά μαθήματα ενός μαθηματικού τμήματος. Οποιαδήποτε αποτελέσματα ξεφεύγουν από τα καθιερωμένα εκτίθενται και αποδεικνύονται στην Εισαγωγή της εργασίας. Ειδικώτερα, δεχόμαστε τα εξής.. Από τη Θεωρία Αριθμών: Τους πρώτους αριθμούς τους οποίους, σε αύξουσα διάταξη, συμβολίζουμε p, p 2, p 3,.... Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής. Την έννοια του μέγιστου κοινού διαιρέτη gcda, b) δύο αριθμών. Την έννοια των ισοϋπολοίπων mod m με το σχετικό συμβολισμό a b mod m. Τις αντίστοιχες κλάσεις ισοϋπολοίπων [], [2],..., [m] και πώς τις προσθέτουμε και τις πολλαπλασιάζουμε. Τη συνάρτηση του Euler ϕm). Το Θεώρημα των Fermat - Euler. 2. Από τη Θεωρία Ομάδων: Την έννοια της τάξης μιας ομάδας και την ταυτότητα a m = e γιά τα στοιχεία a μιας ομάδας, την τάξη της m και το μοναδιαίο στοιχείο της e. Το ότι όταν

3 a είναι ένα στοιχείο μιάς πεπερασμένης ομάδας και το b διατρέχει μία φορά όλα τα στοιχεία της, τότε το ab διατρέχει μία φορά όλα τα στοιχεία της. Την έννοια της αβελιανής ομάδας και το παράδειγμα G m = {[a] : a m, gcda, m) = }. Την έννοια της κυκλικής ομάδας. Το Θεμελιώδες Θεώρημα των Πεπερασμένων Αβελιανών Ομάδων: κάθε πεπερασμένη αβελιανή ομάδα είναι ευθύ γινόμενο κυκλικών υποομάδων της. 3. Από τον Προχωρημένο Απειροστικό Λογισμό: Ολα τα βασικά για ακολουθίες, όρια και συνέχεια συναρτήσεων, παραγώγιση, ολοκλήρωση συνεχών συναρτήσεων. Στοιχειώδεις ιδιότητες αριθμητικών σειρών και ειδικά ότι η απόλυτη σύγκλιση συνεπάγεται τη σύγκλιση μιάς σειράς. Βασικές ιδιότητες σειρών συναρτήσεων: ομοιόμορφη σύγκλιση και η σχέση της με τη συνέχεια, το κριτήριο του Cauchy για ομοιόμορφη σύγκλιση και το M test του Weierstrass. Τα σύμβολα [x] και {x} για το ακέραιο μέρος και το κλασματικό μέρος. Την έννοια του γενικευμένου ολοκληρώματος + ft)dt και το ότι η a απόλυτη σύγκλισή του συνεπάγεται τη σύγκλισή του. Το Θεώρημα Μέσης Τιμής για συναρτήσεις δύο μεταβλητών. 4. Από τη Μιγαδική Ανάλυση: Την έννοια της m οστής ρίζας της μονάδας. Την έννοια του συμπαγούς υποσυνόλου του μιγαδικού επιπέδου C σε σχέση με ανοικτές καλύψεις και με υπο-ακολουθίες. Την έννοια του ανοικτού και συνεκτικού υποσυνόλου του C και ειδικά ότι: αν Ω είναι ανοικτό και συνεκτικό υποσύνολο του C και Ω = A B, όπου τα A, B είναι ανοικτά και ξένα μεταξύ τους, τότε ένα από αυτά είναι κενό. Την έννοια της αναλυτικότητας και τις εξισώσεις Cauchy-Riemann. Την αναπαράσταση μιάς αναλυτικής συνάρτησης σαν σειρά-taylor στο μεγαλύτερο δίσκο που περιέχεται στο σύνολο αναλυτικότητάς της και με δοσμένο κέντρο μέσα στο σύνολο αυτό. Τα Θεωρήματα των Cauchy, Morera καθώς και τους Τύπους του Cauchy για τις παραγώγους μιάς αναλυτικής συνάρτησης. Την έννοια του πόλου, της τάξης ενός πόλου και του residue μιάς συνάρτησης σε έναν πόλο της. Την έννοια της μερόμορφης συνάρτησης και το ότι άθροισμα και γινόμενο μερόμορφων συναρτήσεων είναι μερόμορφες συναρτήσεις. Την επιτροπή για την κρίση αυτής της διπλωματικής εργασίας απετέλεσαν οι Μ. Παπαδημητράκης, επιβλέπων καθηγητής Ι. Αντωνιάδης Ε. Κατσοπρινάκης τους οποίους ευχαριστώ. Δέσποινα Νίκα Ιούλιος 999

4

Kefˆlaio Eisagwg. AkoloujÐec kai Seirèc Analutik n Sunart sewn Θεώρημα. Εστω Ω ανοικτό υποσύνολο του C και ακολουθία {f n } αναλυτικών συναρτήσεων στο Ω. Αν f n f ομοιόμορφα σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του Ω, τότε η f είναι αναλυτική στο Ω και f n k) f k) ομοιόμορφα σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του Ω για οποιοδήποτε k N. Απόδειξη: Αφού κάθε f n είναι συνεχής στο Ω, συνεπάγεται ότι η f είναι συνεχής σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του Ω. Αν πάρουμε τυχόν s Ω και δ > 0 ώστε ο κλειστός δίσκος s; δ) να περιέχεται στο Ω, τότε η f είναι συνεχής στο δίσκο και, επομένως, είναι συνεχής στο s. Άρα η f είναι συνεχής σε κάθε σημείο του Ω. Θεωρούμε τυχούσα τριγωνική καμπύλη γ, της οποίας η εικόνα γ μαζί με το εσωτερικό της τρίγωνο περιέχεται στο Ω. Τότε, από το Θεώρημα του Cauchy συνεπάγεται ότι για κάθε n ισχύει γ f n s)ds = 0. Λόγω ομοιόμορφης σύγκλισης στο συμπαγές γ, έχουμε γ f n s)ds fs)ds γ γ f n s) fs) ds max s γ f n s) fs) μήκοςγ) 0 όταν n +. Άρα γ fs)ds = 0 5

6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓ Η και, επειδή η f είναι συνεχής στο Ω, συνεπάγεται από το Θεώρημα του Morera ότι η f είναι αναλυτική στο Ω. Κατόπιν, θεωρούμε τυχόντα κλειστό δίσκο s 0 ; δ 0 ) υποσύνολο του Ω. Αν συμβολίσουμε Πs 0 ; δ 0 ) την περιφέρεια του s 0 ; δ 0 ), τότε από τον τύπο του Cauchy έχουμε ότι για κάθε n και για κάθε k ισχύει και f n k) s) = k! f n ς) dς 2πi Πs 0 ;δ 0 ) ς s) k+ f k) s) = k! fς) dς 2πi Πs 0;δ 0) ς s) k+ για κάθε s στον ανοικτό δίσκο s 0 ; δ 0 ). Περιορίζουμε, τώρα, το s στον ανοικτό δίσκο s 0 ; 2 δ 0) και έχουμε Άρα f k) n s) f k) s) = k! 2πi k! 2π k! 2π = 2k k! δ k 0 Πs 0 ;δ 0 ) Πs 0 ;δ 0 ) max s s0 ; 2 δ 0) f k) n s) f k) s) 2k k! δ k 0 f n ς) fς) ς s) k+ dς f n ς) fς) ς s k+ dς max ς Πs0 ;δ 0 ) f n ς) fς) 2 δ 0) k+ 2π 2 δ 0 max ς Πs0 ;δ 0 ) f n ς) fς). max ς Πs0 ;δ 0 ) f n ς) fς). Λόγω ομοιόμορφης σύγκλισης της {f n } στην f στο συμπαγές Πs 0 ; δ 0 ), συνεπάγεται ότι η {f n k) } συγκλίνει στην f k) ομοιόμορφα στο s 0 ; 2 δ 0). Εχουμε, λοιπόν, αποδείξει ότι για κάθε σημείο του Ω υπάρχει δίσκος με κέντρο το σημείο αυτό στον οποίον η {f n k) } συγκλίνει ομοιόμορφα στην f k). Εστω, τώρα, τυχόν συμπαγές K υποσύνολο του Ω. Για κάθε s K υπάρχει s; δ) όπου η {f n k) } συγκλίνει ομοιόμορφα στην f k). Το K καλύπτεται από τα ανοικτά σύνολα s; δ) καθώς το s διατρέχει το K και, επειδή το K είναι συμπαγές, υπάρχουν πεπερασμένα s,..., s m ώστε το K να περιέχεται στην ένωση m j= s j; δ j ). Τότε max s K f n k) s) f k) s) max j m max s sj ;δ j ) f n k) s) f k) s), οπότε η {f k) n } συγκλίνει στην f k) ομοιόμορφα στο K.

.2. ΑΠΕΙΡΟ-ΓΙΝ ΟΜΕΝΑ ΜΙΓΑΔΙΚ ΩΝ ΑΡΙΘΜ ΩΝ 7 Θεώρημα.2 Εστω ανοικτό υποσύνολο Ω του C και {f n } ακολουθία συναρτήσεων αναλυτικών στο Ω. Αν η σειρά + f n συγκλίνει στην f ομοιόμορφα σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του Ω, τότε η f είναι αναλυτική στο Ω και για κάθε k N ισχύει ότι η σειρά + f n k) συγκλίνει στην f k) ομοιόμορφα σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του Ω. Απόδειξη: Εφαρμόζουμε το προηγούμενο Θεώρημα. στην ακολουθία συναρτήσεων {s n }, όπου s n = f + + f n. Κάθε s n είναι αναλυτική στο Ω και η {s n } συγκλίνει στην f ομοιόμορφα σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του Ω. Άρα η f είναι αναλυτική στο Ω και η {s k) n } συγκλίνει στην f k) ομοιόμορφα σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του Ω. Ομως s k) n = f k) + + f n k) και η απόδειξη είναι πλήρης. Η πιό συνηθισμένη γενική περίπτωση εφαρμογής του τελευταίου Θεωρήματος.2 είναι σε συνδυασμό με το πολύ γνωστό Θεώρημα.3 Το M-test του Weierstrass ) Εστω ακολουθία μιγαδικών συναρτήσεων {f n } ορισμένων σε ένα σύνολο A και έστω ακολουθία αριθμών M n ώστε να ισχύει f n a) M n για κάθε n N και για κάθε a A. Αν η σειρά αριθμών + M n συγκλίνει, τότε η σειρά συναρτήσεων + f n συγκλίνει σε κάποια συνάρτηση ομοιόμορφα στο A. Η απόδειξη θεωρείται γνωστή..2 Apeiro-ginìmena Migadik n Arijm n Ορισμός. Εστω {z n } ακολουθία μιγαδικών αριθμών. Ονομάζουμε απειρογινόμενο με γενικό όρο z n το σύμβολο + z n ή z z 2. Λέμε ότι το απειρο-γινόμενο συγκλίνει στο μιγαδικό αριθμό P, αν συμβαίνουν τα ακόλουθα. υπάρχει N ώστε z n 0 για κάθε n N και 2. η ακολουθία μερικών γινομένων z N, z N z N+, z N z N+ z N+2,... συγκλίνει σε κάποιο Q και 3. το Q είναι διαφορετικό από το 0 και το και 4. P = z z N Q. Αν κάποιο από τα, 2, 3 δεν ισχύει, τότε λέμε ότι το απειρο-γινόμενο αποκλίνει. Λέμε ότι το απειρο-γινόμενο αποκλίνει στο 0 ή στο, αν ισχύουν τα, 2, αλλά το Q είναι ίσο με 0 ή αντίστοιχα.

8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓ Η Παρατήρηση Αν το απειρο-γινόμενο είτε συγκλίνει είτε αποκλίνει στο 0 ή στο, τότε συνεπάγεται ότι το πολύ πεπερασμένο πλήθος από τα z n μπορεί να είναι ίσα με 0. Επίσης, αν το απειρο-γινόμενο συγκλίνει σε αριθμό διαφορετικό από το 0, τότε συνεπάγεται ότι κανένα από τα z n δεν είναι ίσο με το 0. Και αντιστρόφως, αν το απειρο-γινόμενο συγκλίνει και κανένα από τα z n δεν είναι ίσο με το 0, τότε το απειρο-γινόμενο συγκλίνει σε αριθμό διαφορετικό από το 0. Πρόταση. Αν το + z n συγκλίνει, τότε z n. Απόδειξη: Χρησιμοποιούμε το συμβολισμό του ορισμού και θέτουμε Q N = z N, Q N+ = z N z N+, Q N+2 = z N z N+ z N+2,... Τότε Q n Q και, επειδή Q 0, συνεπάγεται ότι z n = Q n Q n Q Q =. Αποτελεί παράδοση να χρησιμοποιείται για το n οστό όρο ο συμβολισμός + a n, αντί του z n, οπότε η Πρόταση. λέει ότι αν το + + a n) συγκλίνει, τότε a n 0. Θεώρημα.4 Αν η σειρά + a n συγκλίνει απολύτως, τότε το + + a n) συγκλίνει. Απόδειξη: Επειδή η σειρά + a n συγκλίνει, συνεπάγεται ότι a n 0 και, επομένως, το πολύ πεπερασμένο πλήθος από τα + a n μπορεί να είναι ίσα με το 0. Περίπτωση. + a n <. Τότε a n < για κάθε n, οπότε κανένα + a n δεν είναι ίσο με 0. Θέτουμε P n = + a ) + a n ) και θα δείξουμε ότι η ακολουθία {P n } συγκλίνει σε μιγαδικό αριθμό διαφορετικό από το 0. Εχουμε ότι P n + a ) + a n ) exp a + + a n ) e. οπότε Επίσης, P n+ P n = P n + a n+ ) P n = P n a n+, P n+ P n e a n+.

.3. Η ΑΡΧ Η ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚ ΗΣ ΣΥΝ ΕΧΙΣΗΣ 9 Επειδή η + a n+ συγκλίνει, συνεπάγεται ότι η P + + P n+ P n ) συγκλίνει. Αν P είναι το άθροισμα της σειράς αυτής, τότε P n = P + P 2 P ) + + P n P n ) P και απομένει να δείξουμε ότι P 0. Ομως P n a ) a n ) a + + a n ) a k = α > 0. Ο α είναι ανεξάρτητος του n, οπότε, αν αφήσουμε το n να τείνει στο +, παίρνουμε P α > 0 και, επομένως, P 0. Περίπτωση 2. + a n. Υπάρχει N ώστε a n <. n=n Τότε, από την πρώτη περίπτωση παίρνουμε ότι το + n=n + a n) συγκλίνει σε μιγαδικό αριθμό διαφορετικό από το 0. Άρα, βάσει του ορισμού, το + + a n) συγκλίνει..3 H Arq thc Analutik c Sunèqishc Θεώρημα.5 Εστω f αναλυτική σε ανοικτό και συνεκτικό υποσύνολο Ω του C. Αν υπάρχει ακολουθία {s n } στο Ω και s Ω με s n s και s n s για κάθε n, ώστε fs n ) = 0 για κάθε n, τότε η f ταυτίζεται με τη μηδενική συνάρτηση στο Ω. Με άλλη διατύπωση: αν οι ρίζες της f έχουν σημείο συσσώρευσης στο Ω, τότε η f μηδενίζεται παντού στο Ω. Απόδειξη: Α). Εστω οποιοδήποτε s Ω με την ιδιότητα: υπάρχει {s n } στο Ω με s n s, s n s για κάθε n και fs n ) = 0 για κάθε n. Παίρνουμε δ > 0 ώστε s; δ) Ω και γράφουμε τη σειρά-taylor της f στο δίσκο αυτόν: fη) = a 0 + a η s) + a 2 η s) 2 +. Εστω ότι δεν είναι όλα τα a n ίσα με το 0. Τότε υπάρχει κάποιο ελάχιστο N ώστε a N 0. Δηλαδή η σειρά γίνεται fη) = a N η s) N + a N+ η s) N+ + k= = η s) N [a N + a N+ η s) + ] = η s) N gη),

0 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓ Η όπου η συνάρτηση g ορίζεται στο δίσκο s; δ) από τη δυναμοσειρά gη) = a N + a N+ η s) + και, επομένως, είναι αναλυτική εκεί. Επειδή s n s, συνεπάγεται ότι, για μεγάλα n, το s n περιέχεται στον s; δ), οπότε για μεγάλα n. Άρα, αφού s n s, 0 = fs n ) = s n s) N gs n ) gs n ) = 0 για μεγάλα n, οπότε, λόγω συνέχειας της g στο s 0 = lim gs n ) = gs) = a N και καταλήγουμε σε άτοπο. Άρα όλα τα a n είναι ίσα με το 0, οπότε η f μηδενίζεται παντού στον s; δ). Β). Χωρίζουμε το Ω στο υποσύνολο A = {s Ω : η f μηδενίζεται σε κάποιο δίσκο με κέντρο το s} και στο συμπληρωματικό B = Ω \ A. Το A είναι, προφανώς, ανοικτό σύνολο. Εστω ότι το B δεν είναι ανοικτό. Τότε υπάρχει s B ώστε κανένας δίσκος με κέντρο s να μην περιέχεται στο B. Επειδή κάποιος δίσκος με κέντρο s περιέχεται στο Ω, συνεπάγεται ότι κάθε δίσκος με κέντρο s τέμνει το A. Άρα υπάρχει ακολουθία Τότε {s n } στο A με s n s. s n s και fs n ) = 0 για κάθε n και από το μέρος Α) συνεπάγεται ότι s A. Αυτό είναι άτοπο, οπότε το B είναι ανοικτό σύνολο. Επειδή το Ω είναι συνεκτικό, κάποιο από τα A, B είναι κενό. Από την υπόθεση του θεωρήματος και από το αποτέλεσμα του μέρους Α) συνεπάγεται ότι το A δεν είναι κενό, οπότε Ω = A. Άρα η f μηδενίζεται παντού στο Ω. Θεώρημα.6 Εστω ανοικτό και συνεκτικό υποσύνολο Ω του C και f αναλυτική στο Ω. Αν η f μηδενίζεται σε κάθε σημείο ενός ευθύγραμμου τμήματος ή ενός ανοικτού δίσκου στο Ω, τότε η f μηδενίζεται παντού στο Ω. Απόδειξη: Άμεση συνέπεια του Θεωρήματος.5.

.4. ΑΝΑΛΥΤΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡ ΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠ Ο ΟΛΟΚΛΗΡ ΩΜΑΤΑ.4 Analutikèc Sunart seic pou OrÐzontai apì Oloklhr mata Θεώρημα.7 Εστω Ω ανοικτό υποσύνολο του C και f : [a, b] Ω C συνεχής στο [a, b] Ω. Τότε ορίζεται η στο Ω και είναι συνεχής στο Ω. F s) = b a ft, s)dt Απόδειξη: Το ολοκλήρωμα είναι καλά ορισμένο διότι η f, s) είναι συνεχής στο [a, b] για κάθε s Ω. Παίρνουμε τυχόν s 0 Ω και θα δείξουμε ότι η F είναι συνεχής στο s 0. Θεωρούμε μέσα στο Ω έναν κλειστό δίσκο με κέντρο το s 0. Η f είναι συνεχής στο συμπαγές [a, b], οπότε είναι ομοιόμορφα συνεχής εκεί. Άρα, για κάθε ɛ > 0 υπάρχει δ > 0 ώστε ft, s ) ft, s ) < ɛ για κάθε t, t [a, b] και s, s με t t < δ και s s < δ. Τότε, για κάθε s, s με s s < δ, έχουμε F s ) F s ) = b a [ft, s ) ft, s )]dt b a ft, s ) ft, s ) dt b a)ɛ. Άρα η F είναι συνεχής στο και, επομένως, είναι συνεχής στο s 0. Θεώρημα.8 Εστω Ω ανοικτό υποσύνολο του C και f : [a, b] Ω C ώστε. η f είναι συνεχής στο [a, b] Ω, 2. για κάθε t [a, b] η ft, ) είναι αναλυτική στο Ω και 3. η μιγαδική) παράγωγος f s είναι συνεχής στο [a, b] Ω. Τότε η F s) = b ft, s)dt είναι αναλυτική στο Ω και a για κάθε s Ω. F s) = b a f s t, s)dt ότι Απόδειξη: Παίρνουμε τυχόν s 0 Ω και θα δείξουμε ότι η F είναι αναλυτική στο s 0 και F s 0 ) = b a f s t, s 0 )dt.

2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓ Η Θεωρούμε τη συνάρτηση g : [a, b] Ω C που ορίζεται με τον τύπο { ft,s) ft,s0) gt, s) = s s 0, αν s s 0 f s t, s 0 ), αν s = s 0. Αν θεωρήσουμε σημείο t, s ) με s s 0, τότε, επειδή η f είναι συνεχής, έχουμε ft, s) ft, s 0 ) lim gt, s) = lim = ft, s ) ft, s 0 ) = gt, s ). t t,s s t t,s s s s 0 s s 0 Εστω σημείο t 0, s 0 ). Θα αποδείξουμε ότι lim gt, s) = gt 0, s 0 ), t t 0,s s 0 αλλά ο προηγούμενος υπολογισμός δεν ισχύει, οπότε κάνουμε το εξής. Γράφουμε f = u + iv και s = σ + iτ, οπότε από τις εξισώσεις Cauchy-Riemann : Τότε f s t, ) = u σ t, ) + iv σ t, ) = v τ t, ) iu τ t, ). gt, s) gt 0, s 0 ) gt, s) gt, s 0 ) + gt, s 0 ) gt 0, s 0 ) = ft, s) ft, s 0 ) f s t, s 0 )s s 0 ) s s 0 = + f s t, s 0 ) f s t 0, s 0 ) [ut, s) ut, s 0 )] + i[vt, s) vt, s 0 )] s s 0 f s t, s 0 )[σ σ 0 ) + iτ τ 0 )] + f s t, s 0 ) f s t 0, s 0 ). Από το Θεώρημα Μέσης Τιμής έχουμε ότι για κάποια s, s 2 στο ευθύγραμμο τμήμα [s 0, s] ισχύει και ut, s) ut, s 0 ) = u σ t, s )σ σ 0 ) + u τ t, s )τ τ 0 ) vt, s) vt, s 0 ) = v σ t, s 2 )σ σ 0 ) + v τ t, s 2 )τ τ 0 ). Από τις τρεις τελευταίες σχέσεις και από τις εξισώσεις Cauchy-Riemann παίρνουμε, τελικά, ότι gt, s) gt 0, s 0 ) [u σ t, s ) u σ t, s 0 ))σ σ 0 ) + u τ t, s ) u τ t, s 0 ))τ τ 0 )] s s 0 +i[v σ t, s 2 ) v σ t, s 0 ))σ σ 0 ) + v τ t, s 2 ) v τ t, s 0 ))τ τ 0 )] + f s t, s 0 ) f s t 0, s 0 ) u σ t, s ) u σ t, s 0 ) + u τ t, s ) u τ t, s 0 ) + v σ t, s 2 ) v σ t, s 0 ) + v τ t, s 2 ) v τ t, s 0 ) + f s t, s 0 ) f s t 0, s 0 ).

.5. ΕΝΑΛΛΑΓ Η ΔΙΑΔΟΧΙΚ ΩΝ ΑΘΡΟ ΙΣΕΩΝ 3 Η συνέχεια της f s συνεπάγεται τη συνέχεια των u σ, u τ, v σ, v τ και, επειδή s s 0 και s 2 s 0 όταν s s 0, παίρνουμε ότι lim gt, s) = gt 0, s 0 ). t t 0,s s 0 Αποδείξαμε, λοιπόν, ότι η g είναι συνεχής σε κάθε σημείο του [a, b] Ω είτε το σημείο έχει δεύτερη συντεταγμένη διαφορετική από το s 0 είτε έχει δεύτερη συντεταγμένη ίση με το s 0. Άρα η g είναι συνεχής στο [a, b] Ω C, οπότε από το Θεώρημα.7 η είναι συνεχής στο Ω. Άρα Gs) = F s) F s 0 ) lim = lim s s 0 s s 0 s s0 b a b = Gs 0 ) = a gt, s)dt gt, s)dt = b a lim Gs) s s0 gt, s 0 )dt = b a f s t, s 0 )dt..5 Enallag Diadoqik n AjroÐsewn Είναι γνωστό ότι, αν οι σειρές + a n και + b n συγκλίνουν, τότε και η σειρά + a n + b n ) συγκλίνει και a n + b n ) = a n + Αυτό επεκτείνεται με επαγωγή σε πεπερασμένο πλήθος σειρών: αν για m =,..., M οι σειρές + a m,n συγκλίνουν, τότε και η σειρά + M m= a m,n) συγκλίνει και M M a m,n ) = a m,n ). m= m= Θεώρημα.9 Εστω a m,n 0 για κάθε m, n. Τότε Απόδειξη: Εστω K = Θα αποδείξουμε ότι m= m= a m,n ) = m= a m,n ), L = K L. b n. a m,n ). m= a m,n ).

4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓ Η Αυτό είναι προφανές αν L = +, οπότε υποθέτουμε ότι L < +. Τότε, όμως, για κάθε m ισχύει ότι a m,n m= οπότε για κάθε m η σειρά + a m,n συγκλίνει. Άρα για κάθε M έχουμε ότι M m= a m,n ) = M a m,n ) m= a m,n ) = L < +, m= a m,n ) = L. Επειδή το M m= + a m,n) αυξάνει καθώς το M αυξάνει, συνεπάγεται, αφήνοντας το M να τείνει στο +, ότι K = Συμμετρικά αποδεικνύεται ότι m= L K, a m,n ) L. οπότε Θεώρημα.0 Εστω K = L. Τότε m= a m,n ) = m= a m,n ) = m= m= a m,n ) < +. a m,n ). Απόδειξη: Κατ αρχήν παρατηρούμε ότι η ισότητα των σειρών στην υπόθεση είναι συνέπεια του Θεωρήματος.9. Για κάθε a m,n ορίζουμε τους αριθμούς a + m,n = maxa m,n, 0) και a m,n = mina m,n, 0) και είναι προφανές ότι για κάθε m, n ισχύει αφ ενός αφ ετέρου a + m,n 0 και a m,n 0, a + m,n a m,n = a m,n και a + m,n + a m,n = a m,n.

.6. Ο Τ ΥΠΟΣ ΑΘΡΟΙΣΗΣ ΤΟΥ ABEL 5 Επομένως, συγκρίνοντας με την υπόθεση και χρησιμοποιώντας το Θεώρημα.9, παίρνουμε ότι και m= m= a + m,n) = a m,n) = Αφαιρώντας κατά μέλη βρίσκουμε m= m= a + m,n) < + a m,n) < +. m= a m,n ) = = m= a + m,n) a + m,n) m= m= m= a m,n) a m,n) = m= a m,n )..6 O TÔpoc 'Ajroishc tou Abel Θεώρημα. Εστω γνησίως αύξουσα ακολουθία πραγματικών αριθμών {λ n }, η οποία αποκλίνει στο + και ακολουθία μιγαδικών {z n }. Θεωρούμε τη συνάρτηση A : [λ, + ) C με τύπο Ax) = z n. Επίσης, έστω φ : [λ, + ) C. Τότε k n:λ n x k z n φλ n ) = Aλ k )φλ k ) Aλ n )[φλ n+ ) φλ n )]. Αν, επιπλέον, η φ έχει συνεχή παράγωγο στο [λ, + ), τότε n:λ n x z n φλ n ) = Ax)φx) Αν, επίσης, lim x + Ax)φx) = 0, τότε x λ At)φ t)dt. Απόδειξη: Υπολογίζουμε Aλ n ) = + z n φλ n ) = At)φ t)dt. λ m:λ m λ n z m = z + + z n,

6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓ Η Aλ n ) = z m = z + + z n. m:λ m λ n Άρα z n = Aλ n ) Aλ n ) για κάθε n 2 και, φυσικά, z = Aλ ). Επομένως k z n φλ n ) = Aλ )φλ ) + = = k [Aλ n ) Aλ n )]φλ n ) n=2 k Aλ n )φλ n ) k Aλ n )φλ n ) n=2 k k Aλ n )φλ n ) + Aλ k )φλ k ) Aλ n )φλ n+ ) k = Aλ k )φλ k ) Aλ n )[φλ n+ ) φλ n )]. Εστω k ο μεγαλύτερος ακέραιος ώστε λ k x και, επομένως, Τότε n:λ n x z n φλ n ) = k z n φλ n ) λ k x < λ k+. k = Aλ k )φλ k ) Aλ n )[φλ n+ ) φλ n )] k = Ax)φλ k ) Aλ n ) λn+ λ n φ t)dt k = Ax)φx) Ax)[φx) φλ k )] x = Ax)φx) Aλ k ) φ t)dt λ k x = Ax)φx) = Ax)φx) λn+ λ n k λn+ At)φ t)dt λ k x λ At)φ t)dt. λ n k λn+ λ n Aλ n )φ t)dt Aλ n )φ t)dt At)φ t)dt

.6. Ο Τ ΥΠΟΣ ΑΘΡΟΙΣΗΣ ΤΟΥ ABEL 7 Άρα, αν Ax)φx) 0 καθώς x +, τότε z n φλ n ) = + λ At)φ t)dt.

8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓ Η

Kefˆlaio 2 H ζ-sunˆrthsh tou Riemann Θεώρημα 2. Η σειρά + k= p k και το άπειρο-γινόμενο + k= p k ) αποκλίνουν στο +. Απόδειξη: ) Γνωρίζουμε ότι, για 0 u <, η γεωμετρική σειρά + m=0 um συγκλίνει. Άρα, για αυτές τις τιμές του u στο u Θέτουμε u = p + u = m=0 και παίρνουμε u m + u + u 2 + + u m. ) + p p + p 2 + + p m. Επιλέγουμε τυχόν x 2 και έστω n ο μεγαλύτερος ακέραιος ώστε p n x, οπότε οι αριθμοί 2, 3, 5,..., p n είναι όλοι οι πρώτοι μέχρι το x. Εστω m οποιοσδήποτε ακέραιος με 2 m x. Από την προηγούμενη ανισότητα βρίσκουμε ) ) ) 2 3 p n + 2 + 2 2 + + ) 2 m + 3 + 3 2 + + ) 3 m + + p n p 2 + + ) n p m n 9

20 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. Η ζ-συν ΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ RIEMANN = 0 i,j,...,h m 2 i 3 j p h n Στο τελευταίο άθροισμα οι εκθέτες i, j,..., h διατρέχουν ο καθένας και ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον τις τιμές 0,,..., m. Οι παρονομαστές του αθροίσματος είναι αριθμοί που η αναπαράστασή τους σαν γινόμενα πρώτων δεν περιλαμβάνει κανέναν πρώτο αριθμό διαφορετικό από τους 2, 3,..., p n. Ισχυριζόμαστε ότι ανάμεσα σ αυτούς τους παρονομαστές υπάρχουν όλοι οι αριθμοί, 2,..., [x]. Πράγματι, έστω y ένας από τούς, 2,..., [x]. Τότε, η αναπαράστασή του δεν περιέχει κανέναν πρώτο διαφορετικό από τους 2, 3,..., p n, αφού κάθε πρώτος στην αναπαράσταση του y είναι y x. Άρα για κάποια i, j,..., h. Τότε, όμως, οπότε και, επομένως, y = 2 i 3 j p h n 2 i+j+ +h y x 2 m, i + j + + h m 0 i, j,..., h m. Άρα το y είναι ένας από τους παρονομαστές του παραπάνω πολλαπλού αθροίσματος. Άρα και, επομένως, 0 i,j,...,h m 2 i 3 j p h n + 2 + 3 + + logx + ) [x] ) ) ) + 2 3 p n 2 + 3 + + logx + ). [x] Αν συμβολίσουμε P n = τότε έχουμε αποδείξει ότι ) ) ), 2 3 p n P n logx + ), όπου n είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος ώστε p n x. Η {P n } είναι αύξουσα ακολουθία πραγματικών αριθμών, οπότε, αν δεν αποκλίνει στο +, τότε υπάρχει M ώστε P n M.

2 για κάθε n. Αυτό συνεπάγεται ότι logx + ) M για κάθε x 2, πράγμα που είναι άτοπο. Άρα οπότε P n +. 2) Γνωρίζουμε ότι, για 0 u <, ισχύει το ανάπτυγμα-taylor log Θέτουμε u = p log u = u + u2 2 + u3 3 + u4 4 +, u u + u2 2 + u3 2 + u4 2 + = u + u 2 2 u). και παίρνουμε log ) p p + 2pp ). Προσθέτοντας για p = 2, 3,..., p n υπολογίζουμε log P n 2 + 3 + + + p n 2 22 ) + 33 ) + + ) p n p n ) = 2 + 3 + + + p n 2 2 + 2 3 + + p n ) p n 2 + 3 + + + p n 2. Αν συμβολίσουμε τότε έχουμε αποδείξει ότι S n = 2 + 3 + + p n, S n log logx + ) 2, όπου n είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος ώστε p n x. Η {S n } είναι αύξουσα ακολουθία πραγματικών και, όπως προηγουμένως για την {P n }, αποδεικνύεται ότι S n +. Αντιθέτως, αν σ >, η σειρά + + n σ p σ n συγκλίνει, αφού η μεγαλύτερη σειρά συγκλίνει. Σε λίγο θα αποδείξουμε ότι, αν σ >, τότε και το απειρο- ) συγκλίνει. γινόμενο + k= p σ k

22 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. Η ζ-συν ΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ RIEMANN Ορισμός 2. Εστω f : N C. Η f ονομάζεται πολλαπλασιαστική, αν δεν είναι η μηδενική συνάρτηση και ισχύει fmn) = fm)fn) για κάθε m, n N με gcdm, n) =. Η f ονομάζεται πλήρως-πολλαπλασιαστική αν δεν είναι η μηδενική συνάρτηση και ισχύει η ίδια ισότητα για κάθε m, n N. Αν η f είναι πολλαπλασιαστική και f) = 0, τότε fn) = f)fn) = 0 για κάθε n. Αυτό αντιφάσκει με τον ορισμό, οπότε f) 0. Τώρα, f) = f)f) και, επομένως, f) =. Παράδειγμα. Η συνάρτηση με τύπο fn) = n s, s C, είναι πλήρωςπολλαπλασιαστική. Παραδειγμα 2. Η συνάρτηση ϕ της Θεωρίας Αριθμών - όπου ϕn) είναι το πλήθος των φυσικών οι οποίοι είναι n και σχετικά πρώτοι με το n - είναι πολλαπλασιαστική αλλά όχι πλήρως-πολλαπλασιαστική) συνάρτηση. Θεώρημα 2.2 Εστω πολλαπλασιαστική f και έστω ότι η σειρά + fn) συγκλίνει απολύτως. Τότε ισχύει ότι fn) = + k= + fpk ) + fp 2 k) + fp 3 k) + ). Αν, επιπλέον, η f είναι πλήρως-πολλαπλασιαστική, τότε ισχύει ότι fn) = + k= fpk ) ). Απόδειξη: Εστω τυχόν N N. Αν k είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος ώστε p k N και m είναι οποιοσδήποτε ακέραιος ώστε 2 m N, τότε k + fpl ) + + fp m l ) ) = l= = f2 i )f3 j ) fp h k) 0 i,j,...,h m 0 i,j,...,h m f 2 i 3 j p h k). Παρατηρούμε τα εξής

23. Ανάμεσα στα γινόμενα που εμφανίζονται στο τελευταίο άθροισμα περιλαμβάνονται όλοι οι αριθμοί, 2,..., N. Πράγματι, έστω y N. Τότε κάθε πρώτος που υφίσταται στην αναπαράσταση του y σαν γινόμενο πρώτων είναι y N και, επομένως, είναι ένας από τους Άρα ο y γράφεται 2, 3,..., p k. y = 2 i 3 j p h k για κάποια i, j,..., h 0. Τότε, όμως, 2 i+j+ +h y N 2 m. Άρα και, επομένως, i + j + + h m 0 i, j,..., h m. 2. Διαφορετικές επιλογές των i, j,..., h δίνουν διαφορετικές τιμές στο γινόμενο 2 i 3 j p h k, λόγω της μοναδικότητας της αναπαράστασης οποιουδήποτε αριθμού σαν γινόμενο πρώτων. Από τα. και 2. παίρνουμε ότι ) k + fpl ) + + fp m l ) ) N fn) l= n=n+ fn). Επειδή η + fn) συγκλίνει απολύτως, συνεπάγεται ότι, για κάθε p, η σειρά με λιγότερους όρους + fp) + fp 2 ) + συγκλίνει. Επειδή η ) ισχύει για κάθε m με 2 m N, αφήνουμε το m να τείνει στο + και παίρνουμε ) k N + fpl ) + fp 2 l ) + ) fn) l= n=n+ fn), όπου k είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος ώστε p k N. Τώρα επιλέγουμε N = p k και αφήνουμε το k να τείνει στο +. Τότε N = p k + και η δεξιά πλευρά της ) τείνει στο 0. Άρα + l= + fpl ) + fp 2 l ) + ) = fn).

24 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. Η ζ-συν ΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ RIEMANN Αν η f είναι πλήρως-πολλαπλασιαστική, τότε για κάθε p + fp) + fp 2 ) + fp 3 ) + = + fp) + fp) 2 + fp) 3 + και, επειδή η σειρά συγκλίνει απολύτως, συνεπάγεται fp) < και, επομένως, + fp) + fp 2 ) + fp 3 ) + = fp) ). Άρα, αν η f είναι πλήρως-πολλαπλασιαστική, τότε fn) = + k= fpk ) ). Στο εξής θα χρησιμοποιούμε το σύμβολο Π σ για το δεξιό ημιεπίπεδο Αν Rs >, τότε η σειρά Π σ = {s C : Rs > σ}. συγκλίνει απολύτως. Άρα συγκλίνει σε μιγαδικό αριθμό και αυτός ο αριθμός εξαρτάται, προφανώς, από το s. n s Ορισμός 2.2 Η συνάρτηση ζ : Π C με τύπο ζs) = ονομάζεται ζ συνάρτηση του Riemann. n s, s Π, Πρόταση 2. Τύπος του Euler ) Ισχύει ότι για κάθε s Π. ζs) = + k= ) p s k Απόδειξη: Εφαρμόζουμε το Θεώρημα 2.2 με την πλήρως-πολλαπλασιαστική συνάρτηση fn) = n s.

25 Πρόταση 2.2 Η σειρά + n s δε συγκλίνει ομοιόμορφα στο Π. Απόδειξη: Εστω ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στο Π. Τότε για ɛ = υπάρχει n 0, τέτοιο ώστε l n=k n s < για κάθε k, l με n 0 k < l και για κάθε s Π. Σταθεροποιώντας τα k, l και παίρνοντας όριο όταν s, βρίσκουμε ότι l n=k n για κάθε k, l n 0. Παίρνοντας, τώρα, όριο όταν l +, βρίσκουμε n=k n για κάθε k n 0. Καταλήγουμε, έτσι, σε άτοπο, διότι η σειρά αποκλίνει στο +. n=k n Πρόταση 2.3 Η σειρά + n s συγκλίνει ομοιόμορφα στο Π σ0 για κάθε σ 0 >. Επίσης, η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του Π. Απόδειξη: Για κάθε s = σ + iτ Π σ0 ισχύει n s = n σ n σ0. Επειδή η σειρά + n συγκλίνει, από το M test του Weierstrass Θεώρημα.3) συνεπάγεται ότι η σειρά + σ 0 n συγκλίνει ομοιόμορφα στο Π s σ0. Εστω, τώρα, οποιοδήποτε συμπαγές K Π. Τότε υπάρχει σ 0 > ώστε K Π σ0. Από το πρώτο μέρος συνεπάγεται ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στο K.

26 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. Η ζ-συν ΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ RIEMANN Πρόταση 2.4 Η ζ συνάρτηση του Riemann είναι αναλυτική συνάρτηση στο Π. Απόδειξη: Για κάθε n η συνάρτηση n s είναι αναλυτική συνάρτηση του s στο C. Επειδή η σύγκλιση της σειράς των συναρτήσεων αυτών είναι, από την Πρόταση 2.3, ομοιόμορφη σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του Π, συνεπάγεται από το Θεώρημα.2 ότι η συνάρτηση που ορίζει η σειρά, δηλαδή η ζ συνάρτηση του Riemann, είναι αναλυτική συνάρτηση στο Π. οπότε Εφαρμόζουμε τον τύπο του Abel Θεώρημα.) για λ n = n, z n =, ϕx) = x s, Ax) = n: λ n x [x] z n = = [x]. Η ϕ έχει συνεχή παράγωγο στο [, + ) και, αν s = σ + iτ Π, τότε για κάθε x [, + ) Ax)ϕx) = [x] x σ x + x σ 2 x σ 0 όταν x +. Άρα lim x + Ax)ϕx) = 0 και επομένως ϖ) ζs) = s Υπενθυμίζουμε το συμβολισμό + {t} = t [t], t R, [t] t s+ dt, s Π. και ότι, προφανώς για κάθε t R. Πρόταση 2.5 Το ολοκλήρωμα 0 {t} < Gs) = + {t} dt ts+ συγκλίνει για κάθε s Π 0 και ορίζει συνάρτηση αναλυτική στο Π 0. Απόδειξη: Εστω οποιοδήποτε s = σ + iτ Π 0. Τότε σ > 0, οπότε + {t} dt t s+ + dt < +. tσ+

27 Άρα το ολοκλήρωμα που ορίζει την Gs) συγκλίνει για κάθε s Π 0. Ορίζουμε k+ {t} k+ t k F k s) = dt = k ts+ k t s+ dt και από το Θεώρημα.8 συνεπάγεται ότι η F k είναι αναλυτική στο C. Είναι φανερό ότι Gs) = k= F k s) οπότε, σύμφωνα με το Θεώρημα.2, αρκεί να αποδείξουμε ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του Π 0. Εστω συμπαγές K Π 0. Τότε υπάρχει σ 0 > 0 ώστε K Π σ0. Άρα, για κάθε s = σ + iτ K ισχύει ότι Fk s) Ομως k+ k {t} dt t s+ k= k+ k t σ0+ dt = σ 0 k ). σ0 k + ) σ0 σ 0 k σ0 k + ) σ0 ) = σ 0 < + και από το M-test του Weierstrass συνεπάγεται ότι η + k= F k συγκλίνει ομοιόμορφα στο K. Ορίζουμε, τώρα, συνάρτηση H : Π 0 \ {} C με τύπο Hs) = s s sgs), s Π 0 \ {}. Πρόταση 2.6 Η συνάρτηση H είναι μερόμορφη στο Π 0. Εχει ένα μοναδικό απλό πόλο στο σημείο s = με residue = στο σημείο αυτό. Απόδειξη: Το συμπέρασμα είναι άμεσο από την Πρόταση 2.5. Ο τύπος ϖ) λέει ότι οι συναρτήσεις ζ και H ταυτίζονται στο Π. Πράγματι, αν s Π, τότε ζs) = s = s + + [t] t s+ dt = s t s dt s + + t {t} t s+ {t} s dt = ts+ dt sgs) = Hs). s Άρα η συνάρτηση H μπορεί να θεωρηθεί επέκταση της ζ στο μεγαλύτερο πεδίο ορισμού Π 0.

28 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. Η ζ-συν ΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ RIEMANN Γι αυτόν το λόγο θα συμβολίζουμε την H με το σύμβολο ζ και θα θεωρούμε τη ζ συνάρτηση του Riemann επεκτεταμένη στο μεγαλύτερο πεδίο ορισμού Π 0. Το επόμενο θεώρημα καταγράφει τα μέχρι τώρα αποτελέσματα. Πρέπει να δοθεί προσοχή στα σύνολα στα οποία ισχύει ο κάθε τύπος. Θεώρημα 2.3 Η ζ συνάρτηση του Riemann είναι μερόμορφη συνάρτηση του s στο σύνολο Π 0, έχει ένα μοναδικό απλό πόλο στο σημείο s = με residue = στο σημείο αυτό και δε μηδενίζεται σε κανένα σημείο του Π. Επίσης ισχύουν οι τύποι ) ζs) = s s s 2) ζs) = s 3) ζs) = 4) ζs) = + + k= + {t} t s+ dt, s Π 0 [t] t s+ dt, s Π n s, s Π p s k ), s Π. Απόδειξη: Ο τύπος 3) δεν είναι τίποτε άλλο από τον Ορισμό 2.2, ο τύπος 4) είναι ο τύπος του Euler Πρόταση 2.) και ο τύπος 2) είναι ο τύπος ϖ). Τέλος, ο τύπος ) είναι ο ορισμός της συνάρτησης H. Το ότι η ζ είναι μερόμορφη στο Π 0 με μοναδικό απλό πόλο στο s = με residue = προκύπτει από την Πρόταση 2.6 και τα σχόλια που την ακολούθησαν. Το ότι ζs) 0 για κάθε s Π αποδεικνύεται από τον τύπο 4) και από την Παρατήρηση μετά από τον Ορισμό., αφού κανένας όρος p s k ) του απειρο-γινόμενου δεν μηδενίζεται.

Kefˆlaio 3 Seirèc-Dirichlet Ορισμός 3. Οι σειρές-dirichlet είναι σειρές της μορφής με μιγαδικούς συντελεστές a n. Η σειρά που ορίζει τη ζ συνάρτηση του Riemann είναι παράδειγμα σειράς- Dirichlet με a n = για κάθε n. Πρόταση 3. Εστω ότι η + a n n s συγκλίνει για κάποιο s = s 0. Τότε, για κάθε θ με 0 < θ < π 2, η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στην κυρτή γωνία a n n s Γs 0 ; θ) = {s : args s 0 ) < θ}. Απόδειξη: Εστω s = σ + iτ Γs 0 ; θ), s 0 = σ 0 + iτ 0 και θέτουμε b n = a n n s0, οπότε η + b n συγκλίνει. Επίσης θέτουμε r n = k=n b k, οπότε r n 0 όταν n +. 29

30 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΣΕΙΡ ΕΣ-DIRICHLET Εστω ɛ > 0 και θεωρούμε n 0 = n 0 ɛ), ώστε r n < ɛ όταν n n 0. Τότε, αν n 0 m < m : m n=m a n m = n s = = b n n s s 0 n=m m r n n s s0 n=m = m n=m m + n=m+ r m m r m m + s s0 m + s s0 r n r n+ n s s 0 r n n ) s s0 n=m+ r m m σ σ + r m + m 0 m σ σ + 0 r m + r m + + ɛ + ɛ + m n=m+ m n=m+ n=m+ r n n s s0 n ) s s0 ) r n s s 0 r n s s 0 n n n dt n t s s 0+ dt t σ σ 0+ r n s s 0 σ σ 0 n ) σ σ 0 n σ σ 0 2ɛ + ɛ m cos θ n ) σ σ ) 0 n σ σ 0 n=m+ = 2ɛ + ɛ cos θ m ) σ σ0 m σ σ0 2ɛ + ɛ cos θ m σ σ 0 ɛ 2 + ). cos θ Από το κριτήριο του Cauchy συνεπάγεται ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στο Γs 0 ; θ). Πρόταση 3.2 Αν η σειρά + a n n s συγκλίνει σε κάποιο s 0 = σ 0 + iτ 0, τότε η σειρά συγκλίνει σε κάθε σημείο του ανοικτού ημιεπιπέδου Π σ0. Επίσης, η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του Π σ0 και, επομένως, ορίζει αναλυτική συνάρτηση στο ημιεπίπεδο αυτό. Απόδειξη: Εστω συμπαγές K Π σ0 = {s : σ = Rs > Rs 0 = σ 0 }. Είναι γεωμετρικά φανερό ότι υπάρχει θ με 0 < θ < π 2, ώστε K Γs 0 ; θ). Από την Πρόταση 3. συνεπάγεται ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στο Γs 0 ; θ), οπότε συγκλίνει ομοιόμορφα και στο K και επομένως η αναλυτικότητα της συνάρτησης που ορίζεται από τη σειρά προκύπτει από το Θεώρημα.2. Η κατά σημείο σύγκλιση είναι, τώρα, προφανής. )

3 Θεώρημα 3. Για κάθε σειρά-dirichlet υπάρχει α R {+, } ώστε. η σειρά συγκλίνει σε κάθε σημείο του ημιεπιπέδου Π α = {s : Rs > α} και συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του ημιεπιπέδου αυτού. Επομένως, ορίζει αναλυτική συνάρτηση στο Π α. 2. η σειρά αποκλίνει σε κάθε σημείο του ανοικτού ημιεπιπέδου {s : Rs < α}. Για την ευθεία {s : Rs = α} δεν υπάρχει γενικό συμπέρασμα. Σημείωση: αν α = + ή, τότε το ένα ημιεπίπεδο είναι κενό και το άλλο είναι το C.) Απόδειξη: Αν η σειρά συγκλίνει σε κάθε s C, τότε ισχύει το. και με τετριμμένο τρόπο το 2. παίρνοντας α =. Πράγματι, αν K είναι οποιοδήποτε συμπαγές, τότε υπάρχει σ 0 ώστε το K να περιέχεται στο ανοικτό ημιεπίπεδο Π σ0. Από την Πρόταση 3.2 συνεπάγεται ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στο K, αφού συγκλίνει στο σημείο s = σ 0. Αν η σειρά αποκλίνει σε κάθε s C, τότε ισχύουν τα. και 2. με τετριμμένο τρόπο, αν θέσουμε α = +. Μένει να εξετάσουμε την περίπτωση που η σειρά συγκλίνει σε κάποιο s = σ + iτ και αποκλίνει σε κάποιο s 2 = σ 2 + iτ 2. Από την Πρόταση 3.2 συνεπάγεται ότι η σειρά συγκλίνει σε κάθε σημείο του Π σ και ομοιόμορφα σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του Π σ ), οπότε έχουμε ότι σ 2 σ. Διακρίνουμε, τώρα, τις περιπτώσεις. σ 2 = σ. Αν υπήρχε s με Rs < σ 2 στο οποίο η σειρά συγκλίνει, από την Πρόταση 3.2 θα είχαμε ότι η σειρά συγκλίνει και στο s 2. Αυτό είναι άτοπο, οπότε το θεώρημα ισχύει αν θέσουμε α = σ 2 = σ. 2. σ 2 < σ. Τότε, όπως προηγουμένως, συνεπάγεται ότι η σειρά αποκλίνει σε κάθε σημείο του {s : Rs < σ 2 }. Εστω T = {t : σ 2 t, η σειρά συγκλίνει σε κάθε s με Rs > t}. Το T είναι μη-κενό αφού σ T ), οπότε θέτουμε α = infimumt ). Θα δείξουμε ότι το θεώρημα ισχύει με αυτήν την επιλογή του α. Εστω συμπαγές K Π α. Τότε υπάρχουν t, t 2 με α t 2 < t, t 2 T και K Π t.

32 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΣΕΙΡ ΕΣ-DIRICHLET Από τον ορισμό του T συνεπάγεται ότι η σειρά συγκλίνει στο σημείο t, οπότε από την Πρόταση 3.2 συνεπάγεται ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στο K. Επίσης, αν η σειρά συγκλίνει σε κάποιο s με t = Rs < α, τότε, από την Πρόταση 3.2 συνεπάγεται ότι t T και αυτό είναι άτοπο αφού α = infimumt ). Ορισμός 3.2 Το α, του οποίου την ύπαρξη εξασφαλίζει το Θεώρημα 3., ονομάζεται τετμημένη σύγκλισης της σειράς-dirichlet. Το ημιεπίπεδο Π α = {s : Rs > α} ονομάζεται ημιεπίπεδο σύγκλισης, ενώ το ημιεπίπεδο {s : Rs < α} ονομάζεται ημιεπίπεδο απόκλισης της σειράς-dirichlet. Για δοσμένη σειρά-dirichlet με τετμημένη σύγκλισης α, η σειρά a n n s είναι, επίσης, σειρά-dirichlet. Επομένως και σ αυτήν αντιστοιχεί η τετμημένη σύγκλισής της, α 0. Θα δούμε, τώρα, ένα αποτέλεσμα για τη σχετική θέση των α, α 0. a n n s Εστω τυχόν σ > α 0. Τότε η σειρά + a n n συγκλίνει και, επομένως, η σ συγκλίνει. Άρα σ α. Αμέσως συνεπάγεται ότι σειρά + a n n σ α 0 α. Εστω, τώρα, τυχόν σ > α. Τότε η σειρά + a n n σ a n n σ 0 όταν n +. Άρα υπάρχει M > 0 ώστε a n n σ M για κάθε n. Επομένως, για κάθε ɛ > 0 έχουμε οπότε η σειρά + a n n σ++ɛ a n + n σ++ɛ M n +ɛ, συγκλίνει. Άρα σ + + ɛ α 0. συγκλίνει, οπότε

33 Αφού αυτό ισχύει για κάθε ɛ > 0, συνεπάγεται ότι σ α 0. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι α α 0. Άρα αποδείχθηκε η Πρόταση 3.3 α α 0 α + για κάθε σειρά-dirichlet. Ορισμός 3.3 Το α 0 ονομάζεται τετμημένη απόλυτης σύγκλισης της σειράς- Dirichlet. Το ημιεπίπεδο Π α0 = {s : Rs > α 0 } ονομάζεται ημιεπίπεδο απόλυτης σύγκλισης και το ημιεπίπεδο {s : Rs < α 0 } ονομάζεται ημιεπίπεδο απόλυτης απόκλισης της σειράς-dirichlet. Η κατακόρυφη ζώνη {s : α < Rs < α 0 }, αν δεν είναι κενή, ονομάζεται ζώνη υπό-συνθήκην σύγκλισης και είναι πλάτους μεταξύ 0 και. Παράδειγμα : Για τη σειρά η οποία ορίζει τη ζ συνάρτηση του Riemann η τετμημένη σύγκλισης και η τετμημένη απόλυτης σύγκλισης, προφανώς, ταυτίζονται και α = α 0 =, αφού η σειρά συγκλίνει αν s R και s > και αποκλίνει αν s R και s. Παράδειγμα 2: Για τη σειρά n s ) n η τετμημένη απόλυτης σύγκλισης είναι α 0 =, αφού + ) n n = + s n. s Ομως η τετμημένη σύγκλισης είναι α = 0. Πράγματι, για κάθε σ > 0 η + ) n n συγκλίνει, διότι είναι σειρά με όρους σ που φθίνουν προς το 0 και με εναλλασσόμενα πρόσημα. Επιπλέον, αν σ = 0, η σειρά γίνεται + )n και αποκλίνει. Ορισμός 3.4 Εστω σειρά-dirichlet + a n n s με τετμημένη σύγκλισης α R. Από το Θεώρημα 3. συνεπάγεται ότι η σειρά ορίζει αναλυτική συνάρτηση fs) = στο ημιεπίπεδο Π α. Εστω s 0 με Rs 0 = α. Τότε το s 0 ονομάζεται κανονικό σημείο της f, αν υπάρχει δ > 0 ώστε η f να επεκτείνεται σαν αναλυτική συνάρτηση στο n s a n n s Π α s 0 ; δ), όπου s 0 ; δ) είναι ο ανοικτός δίσκος με κέντρο s 0 και ακτίνα δ.

34 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΣΕΙΡ ΕΣ-DIRICHLET Θεώρημα 3.2 Landau ) Αν a n 0 για κάθε n και α R είναι η τετμημένη σύγκλισης της σειράς + a n n s, τότε το α δεν είναι κανονικό σημείο της συνάρτησης f που ορίζεται από τη σειρά στο Π α. Απόδειξη: Εστω ότι το α είναι κανονικό σημείο της f. Τότε υπάρχει δ > 0 ώστε η f να επεκτείνεται σαν αναλυτική συνάρτηση στο Ω = Π α α; δ). Θεωρούμε πραγματικό αριθμό μεγαλύτερο του α. Για παράδειγμα τον α +. Τώρα, η f αναπτύσσεται σαν σειρά-taylor στο μεγαλύτερο δίσκο με κέντρο α + ο οποίος περιέχεται στο Ω. Ομως, είναι γεωμετρικά προφανές ότι ο δίσκος αυτός περιέχει κάποιον πραγματικό αριθμό σ < α. Επομένως, για αυτό το σ η σειρά-taylor δίνει fσ) = m=0 f m) α + ) σ α ) m. m! Επειδή το α + περιέχεται στο ημιεπίπεδο σύγκλισης της σειράς-dirichlet, συνεπάγεται από το Θεώρημα.2 ότι για κάθε m f m) α + ) = Από τις σχέσεις αυτές παίρνουμε fσ) = = = m=0 + m=0 + m=0 σ α ) m m! log n) m a n n α+. + σ α ) m m! log n) m a ) n n α+ log n) m a ) n n α+ [α + σ) log n] m a ) n m! n α+ παρατηρώντας ότι όλοι οι όροι του τελευταίου αθροίσματος είναι μη-αρνητικοί και εφαρμόζοντας το Θεώρημα.) = = = = a n + n α+ m=0 a n log n eα+ σ) nα+ a n nα+ σ nα+ a n n σ. [α + σ) log n] m ) m!

35 Συμπεραίνουμε ότι το + a n n ισούται με το μιγαδικό αριθμό fσ). Αυτό είναι σ άτοπο, διότι ο αριθμός σ περιέχεται στο ημιεπίπεδο απόκλισης της σειράς-dirichlet. Θεώρημα 3.3 Γινόμενο σειρών-dirichlet. ) Εστω a + n n s, b n n s δυο σειρές-dirichlet οι οποίες συγκλίνουν απολύτως στο ίδιο σημείο s 0. Αν ορίσουμε c n = a k b k για κάθε n N, τότε η σειρά-dirichlet k,k : kk =n συγκλίνει απολύτως στο s 0 και c n n s Απόδειξη: Ι) Για N N έχουμε N a n n s 0 a n b n n s0 n s0 N = + b n n s = 0 k,k N c n n s0. a k b k kk ) s 0. Ομαδοποιούμε, τώρα, τους όρους του τελευταίου αθροίσματος ανάλογα με τις τιμές του n = kk, παρατηρώντας ότι N. Αν n N, τότε στο άθροισμα αυτό εμφανίζονται όλα τα ζευγάρια k, k με kk = n και, επομένως, αν προσθέσουμε τους αντίστοιχους όρους θα πάρουμε το c n n s 0. 2. Αν N + n N 2 το γινόμενο kk δε μπορεί να υπερβεί το N 2 ), τότε το kk = n συνεπάγεται ότι ένα τουλάχιστον από τα k, k είναι [ N + ]. Άρα a n N b n n s 0 n s 0 N c n n s 0 a kb k k,k : k,k N και k [ N+] ή k [ kk ) s 0 N+] a kb k kk ) s 0 k,k : k N,[ N+] k N

36 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΣΕΙΡ ΕΣ-DIRICHLET = + k,k : k <[ N+],[ N+] k N N a k k s0 k= + k= + N k=[ N+] a k k s0 k=[ N+] N k =[ N+] a k k s 0 + k =[ N+] b k k s0 [ N+] k = b k k s0 b k k s 0 a k + b k. k s0 k s0 k = a kb k kk ) s0 Αφήνοντας το N να τείνει στο + παίρνουμε ότι η τελευταία παράσταση τείνει στο 0, οπότε a n b n n s 0 n s = + c n 0 n s. 0 ΙΙ) Αν s 0 = σ 0 + iτ 0, τότε η απόλυτη σύγκλιση των σειρών ισοδυναμεί με τη σύγκλιση των Ορίζουμε και έχουμε αμέσως ότι d n = a n n, + σ0 k,k : kk =n c n d n n s 0 b n n σ0. a k b k n σ 0 για κάθε n. Άρα, αν εφαρμόσουμε το μέρος Ι), παίρνουμε c n n s 0 d n n σ 0 = + a n n σ 0 b n n σ 0 < + και επομένως η + c n n s 0 συγκλίνει απολύτως.

Kefˆlaio 4 Qarakt rec Ορισμός 4. Εστω G πεπερασμένη αβελιανή ομάδα και έστω χ : G C με τις ιδιότητες. χab) = χa) χb) για κάθε a, b G 2. χ δεν είναι η μηδενική συνάρτηση. Τότε η χ ονομάζεται χαρακτήρας της G. Πρόταση 4. Εστω χαρακτήρας χ της πεπερασμένης αβελιανής ομάδας G.. Αν e είναι το μοναδιαίο στοιχείο της G, τότε χe) =. 2. Για κάθε a G ισχύει χa) 0. 3. χa ) = χa) για κάθε a G. 4. Αν m είναι η τάξη της G, τότε για κάθε a G το χa) είναι m-οστή ρίζα της μονάδας. 5. χa) = για κάθε a G. Απόδειξη. Εστω a 0 G ώστε χa 0 ) 0. Τότε χa 0 ) = χa 0 e) = χa 0 ) χe). Άρα χe) =. 2. Αν για κάποιο a G είναι χa) = 0, τότε = χe) = χaa ) = χa) χa ) = 0. Άτοπο. 3. Από τον προηγούμενο υπολογισμό έχουμε αμέσως ότι = χa) χa ) και, επομένως, για κάθε a G. χa ) = χa) 37

38 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΧΑΡΑΚΤ ΗΡΕΣ 4. Επειδή a m = e για κάθε a G, συνεπάγεται χa) m = χa m ) = χe) =. 5. Από την προηγούμενη σχέση παίρνουμε χa) m =, οπότε χa) =. Άρα κάθε χαρακτήρας είναι συνάρτηση χ : G T, όπου T = {z C : z = }. Το σύνολο T είναι ομάδα με την πράξη του πολλαπλασιασμού μιγαδικών αριθμών και παρατηρούμε ότι ο ορισμός του χαρακτήρα ισοδυναμεί με το ότι η χ είναι ομομορφισμός ομάδων. Ορισμός 4.2 Με χ συμβολίζουμε το χαρακτήρα με τύπο χ a) =, a G. Τον χ ονομάζουμε κύριο χαρακτήρα. Με Ĝ συμβολίζουμε το σύνολο των χαρακτήρων της G. Τέλος, στο Ĝ ορίζουμε πράξη ως εξής: για κάθε χ, ψ Ĝ ο χ ψ είναι ο χαρακτήρας με τύπο χ ψ)a) = χa) ψa), a G. Το ότι ο χ ψ είναι στοιχείο της Ĝ, δηλαδή χαρακτήρας της G, αποδεικνύεται εύκολα: χ ψ)ab) = χab) ψab) = χa) χb) ψa) ψb) = χ ψ)a) χ ψ)b) για κάθε a, b G και, επιπλέον, χ ψ)e) = χe) ψe) =, οπότε η χ ψ δεν είναι η μηδενική συνάρτηση. Παρατηρούμε ότι για κάθε χ, ψ, ω Ĝ:. χ ψ)a) = χa) ψa) = ψa) χa) = ψ χ)a) για κάθε a G και, επομένως, χ ψ = ψ χ. 2. [ χ ψ) ω]a) = χ ψ)a) ωa) = χa) ψa) ωa) = χa) ψ ω)a) = [ χ ψ ω)]a) για κάθε a G, οπότε χ ψ) ω = χ ψ ω).

39 3. χ χ)a) = χ a) χa) = χa) για κάθε a G, οπότε 4. Αν ορίσουμε χ : G C με τύπο χ χ = χ. χ a) = χa)), a G, τότε χ χ)a) = χ a) χa) = = χ a) για κάθε a G και, επομένως, χ χ = χ. Επίσης, η συνάρτηση χ είναι στοιχείο της Ĝ. Πράγματι, χ ab) = χab)) = χa) χb)) = χa)) χb)) = χ a) χ b) για κάθε a, b G και χ e) = χe)) = =. Θεώρημα 4. Για κάθε πεπερασμένη αβελιανή ομάδα G το σύνολο Ĝ των χαρακτήρων της G αποτελεί πεπερασμένη αβελιανή ομάδα και η τάξη της είναι ίση με την τάξη της G. Απόδειξη Μόλις προηγουμένως είδαμε ότι η Ĝ αποτελεί αβελιανή ομάδα με την πράξη που ορίσθηκε. Το μοναδιαίο στοιχείο της είναι ο κύριος χαρακτήρας χ και το αντίστροφο στοιχείο του χ είναι το χ, όπως αυτό ορίσθηκε στο 4. πιο πάνω. Εχουμε, επομένως, να αποδείξουμε ότι η Ĝ έχει την ίδια τάξη με την G. Περίπτωση. Εστω ότι η G είναι κυκλική τάξης m με γεννήτορα a. Δηλαδή G = {a, a 2,..., a m, a m = e}. Κάθε χ Ĝ καθορίζεται από την τιμή χa), αφού από τη σχέση χak ) = χa)) k συνεπάγεται ότι κάθε τιμή του χ προκύπτει μονοσήμαντα από την τιμή χa). Θεωρούμε το συνολο των m-οστών ριζών της μονάδας, όπου Λ m = {ω, ω 2,..., ω m, ω m = } ω = cos 2π m + i sin 2π m. Η Πρόταση 4.4) μας επιτρέπει να σχηματίσουμε την απεικόνιση Ĝ Λ m

40 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΧΑΡΑΚΤ ΗΡΕΣ με τύπο χ χa) και θα έχουμε ολοκληρώσει την απόδειξη, αν αποδείξουμε ότι αυτή η απεικόνιση είναι αμφιμονοσήμαντη. Εστω χ, ψ Ĝ ώστε χa) = ψa). Τότε χa k ) = χa)) k = ψa)) k = ψa k ) για κάθε k και, επομένως, Άρα η απεικόνιση είναι ένα-προς-ένα. Εστω η Λ m. Ορίζουμε χ : G T με τύπο χ = ψ. χa k ) = η k για κάθε k =, 2,..., m. Τότε χa) = η, οπότε μένει να αποδείξουμε ότι η χ είναι χαρακτήρας. Κατ αρχήν η χ, προφανώς, δεν είναι η μηδενική συνάρτηση. Κατόπιν, αν a k, a l με k, l m είναι οποιαδήποτε στοιχεία της G, διακρίνουμε τις περιπτώσεις. αν k + l m, τότε χa k a l ) = χa k+l ) = η k+l = η k η l = χa k ) χa l ), 2. αν m + k + l 2m, τότε a k+l = a k+l m και k + l m m, οπότε χa k a l ) = χa k+l ) = χa k+l m ) = η k+l m = η k+l = η k η l = χa k ) χa l ). Περίπτωση 2. Η γενική περίπτωση με m να είναι η τάξη της G. Από το Θεμελιώδες Θεώρημα των Πεπερασμένων Αβελιανών Ομάδων συνεπάγεται ότι η G γράφεται G = G G 2... G n, όπου κάθε G j είναι κυκλική υποομάδα της G τάξης m j. Δηλαδή, κάθε a G γράφεται με μοναδικό τρόπο σαν γινόμενο a = a a 2 a n με a G, a 2 G 2,..., a n G n. Επομένως, m = m m 2 m n. Ορίζουμε την απεικόνιση Ĝ Ĝ Ĝ2 Ĝn

4 με τον τύπο χ χ ), χ 2),..., χ n) ), όπου χ j) είναι ο περιορισμός του χ στην υποομάδα G j. Εστω χ, ψ Ĝ ώστε χj) = ψ j) για κάθε j =, 2,..., n. Τότε παίρνουμε οποιοδήποτε a G και το γράφουμε με μοναδικά καθορισμένα a j G j. Τότε Άρα a = a a n χa) = χa ) χa n ) = χ ) a ) χ n) a n ) = ψ ) a ) ψ n) a n ) = ψa ) ψa n ) = ψa). χ = ψ και αποδείχθηκε ότι η απεικόνιση είναι -. Εστω ότι δίνονται τα χ ) Ĝ,..., χ n) Ĝn. Θα βρούμε χ Ĝ του οποίου ο περιορισμός σε κάθε G j να είναι ο χ j) και θα έχουμε αποδείξει ότι η απεικόνιση είναι επί. Για τυχόν a G γράφουμε a = a a n με μοναδικά καθορισμένα a j G j και ορίζουμε οπότε Αν a = a a n, b = b b n, τότε χa) = χ ) a ) χ n) a n ). ab = a b ) a n b n ), χab) = χ ) a b ) χ n) a n b n ) = χ ) a ) χ n) a n ) χ ) b ) χ n) b n ) = χa) χb). Επίσης e = e e και, επομένως, Άρα ο χ είναι χαρακτήρας της G. Για κάθε a j G j, προφανώς, ισχύει χe) = χ ) e) χ n) e) =. a j = e ea j e e, οπότε χa j ) = χ ) e) χ j) a j ) χ n) e) = χ j) a j ).

42 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΧΑΡΑΚΤ ΗΡΕΣ Άρα ο περιορισμός του χ στην G j ταυτίζεται με τον χ j). Εχουμε, λοιπόν, αποδείξει ότι η παραπάνω απεικόνιση Ĝ Ĝ Ĝ2 Ĝn είναι αμφιμονοσήμαντη. Από την πρώτη περίπτωση γνωρίζουμε ότι κάθε Ĝj έχει τάξη m j, οπότε το καρτεσιανό γινόμενό τους έχει πληθάριθμο m m n = m. Άρα και η Ĝ έχει τον ίδιο πληθάριθμο m. Πρόταση 4.2 Αν G είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα και a G, a e, τότε υπάρχει χαρακτήρας χ της G ώστε χa). Απόδειξη: Θα χρησιμοποιήσουμε το συμβολισμό της απόδειξης του Θεωρήματος 4.. Εστω ότι η G είναι κυκλική G = {a, a 2,..., a m, a m = e}. Αν ω = cos 2π m + i sin 2π m, τότε ο χαρακτήρας χ που ορίζεται μέσω του τύπου χa k ) = ω k έχει, προφανώς, την ιδιότητα να απεικονίζει κάθε στοιχείο a k της G που δεν είναι το e δηλαδή k m) σε αριθμό. Στη γενική περίπτωση αν πάρουμε G = G G 2 G n, a = a a n e, τότε ένα τουλάχιστον a j είναι e. Εχοντας τελειώσει με την ειδική περίπτωση, γνωρίζουμε ότι, για το ίδιο j, υπάρχει χ j) χαρακτήρας της G j ώστε χ j) a j ). Θεωρούμε, τώρα, το μοναδικό χαρακτήρα χ της G, του οποίου ο περιορισμός στην G j ταυτίζεται με τον χ j) και ο περιορισμός του σε κάθε άλλη G i είναι ο κύριος χαρακτήρας της G i. Η κατασκευή του χ περιγράφεται στην απόδειξη της περίπτωσης 2. του Θεωρήματος 4..

43 Τότε, φυσικά, χa) = χ ) a ) χ j) a j ) χ n) a n ) = χ j) a j ) και η πρόταση αποδείχθηκε. Εστω πεπερασμένη αβελιανή ομάδα G τάξης m. Θα υπολογίσουμε για κάθε χαρακτήρα χ της G το άθροισμα S = a G χa). Σταθεροποιούμε b G. Τότε ) χb)s = χb) χa) = χba) = χc) = S a G a G c G και διακρίνουμε τις δύο περιπτώσεις:. Αν χ χ, τότε υπάρχει b G ώστε χb). Χρησιμοποιώντας αυτό το b στην ) παίρνουμε S = 0. 2. Αν χ = χ, τότε S = a G χ a) = a G = m. Επίσης, θα υπολογίσουμε για κάθε a G το άθροισμα T = χ Ĝ χa). Σταθεροποιούμε ψ Ĝ. Τότε ) ψa)t = ψa) χa) = χ Ĝ ψ χ)a) = ω Ĝ ωa) = T χ Ĝ και διακρίνουμε τις περιπτώσεις. Αν a e, τότε από την Πρόταση 4.2 έχουμε ότι υπάρχει ψ ώστε ψa). Χρησιμοποιώντας αυτό το ψ στην ) παίρνουμε T = 0. 2. Αν a = e, τότε T = χ Ĝ χe) = χ Ĝ = m από το Θεώρημα 4..

44 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΧΑΡΑΚΤ ΗΡΕΣ Εχουμε, λοιπόν, αποδείξει το Θεώρημα 4.2 Εστω G πεπερασμένη αβελιανή ομάδα τάξης m. Τότε για κάθε χαρακτήρα χ της G ισχύει { 0, αν χ χ χa) = m, αν χ = χ. a G Επίσης, για κάθε a G ισχύει ότι χa) = χ Ĝ { 0, αν a e m, αν a = e. ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ mod m Εστω m θετικός ακέραιος. Θεωρούμε το σύνολο G m των κλάσεων υπολοίπων mod m οι οποίες είναι πρώτες προς το m. G m = {[a] : a m, gcda, m) = }. Είναι γνωστό ότι η G m αποτελεί αβελιανή ομάδα με πράξη τον πολλαπλασιασμό [a][b] = [ab]. Η τάξη της G m είναι ίση με ϕm). Παράδειγμα: Εστω m = 9, οπότε ϕ9) = 6 και G 9 = {[], [2], [4], [5], [7], [8]}. Είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι η G 9 είναι κυκλική με γεννήτορα το [2]. Άρα οι τιμές οποιουδήποτε χαρακτήρα χ Ĝ9 καθορίζονται από την τιμή χ[2]). Το σύνολο των έκτων ριζών της μονάδας είναι το {ω, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5, ω 6 = }, όπου ω = cos 2π 6 + i sin 2π 6 και γνωρίζουμε από την Πρόταση 4.4) ότι οι τιμές που μπορεί να πάρει το χ[2]) είναι κάποια από αυτές τις έκτες ρίζες της μονάδας. Στην περίπτωση της απόδειξης του Θεωρήματος 4. είδαμε πώς κατασκευάζεται χαρακτήρας της G 9 του οποίου η τιμή στο [2] είναι οποιαδήποτε προεπιλεγμένη έκτη ρίζα της μονάδας. Μπορούμε, επομένως, να βρούμε όλους τους χαρακτήρες της G 9 των οποίων το πλήθος είναι 6) και να φτιάξουμε τον πίνακα [] [2] [4] = [2] 2 [5] = [2] 5 [7] = [2] 4 [8] = [2] 3 χ χ 2 ω ω 2 ω 5 ω 4 ω 3 χ 3 ω 2 ω 4 ω 0 = ω 4 ω 8 = ω 2 ω 6 = χ 4 ω 3 ω 6 = ω 5 = ω 3 ω 2 = ω 9 = ω 3 χ 5 ω 4 ω 8 = ω 2 ω 20 = ω 2 ω 6 = ω 4 ω 2 = χ 6 ω 5 ω 0 = ω 4 ω 25 = ω ω 20 = ω 2 ω 5 = ω 3

45 Ορισμός 4.3 Αν χ : G m T είναι χαρακτήρας της G m, τότε ορίζουμε μια νέα συνάρτηση χ : Z T {0} με τον τύπο { χ[a]), αν gcda, m) = οπότε [a] Gm ) χa) = 0, αν gcda, m) >. Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται χαρακτήρας mod m. Ο ορισμός είναι καλός, διότι, αν ένα στοιχείο μιας κλάσης mod m είναι σχετικά πρώτο με το m, τότε κάθε άλλο στοιχείο της είναι επίσης σχετικά πρώτο με το m. Και, αν ένα στοιχείο μιας κλάσης mod m δεν είναι σχετικά πρώτο με το m, τότε και κάθε άλλο στοιχείο της δεν είναι σχετικά πρώτο με το m. Η συνάρτηση χ δίνει την ίδια τιμή σε όλους τους ακέραιους που βρίσκονται στην ίδια κλάση mod m. Η τιμή αυτή είναι ακριβώς η τιμή που δίνει η συνάρτηση χ στην κοινή κλάση που περιέχει αυτούς τους ακέραιους, αν αυτοί είναι σχετικά πρώτοι με το m. Αν αυτοί δεν είναι σχετικά πρώτοι με το m, τότε η τιμή που παίρνουν από την χ είναι 0. Μερικές ιδιότητες του χ είναι. χ) = χ[]) =. 2. Εστω a b mod m. Αν gcda, m) >, τότε gcdb, m) >, οπότε χa) = χb) = 0. gcda, m) =, τότε gcdb, m) = και χa) = χ[a]) = χ[b]) = χb). Δηλαδή, σε κάθε περίπτωση Ενώ, αν χa) = χb). 3. χa)χb) = χab) για κάθε a, b Z. Αυτή η ιδιότητα αποδεικνύεται ως εξής. Αν ένα τουλάχιστον από τα a, b δεν είναι σχετικά πρώτο με το m, τότε ούτε και το ab είναι, οπότε και οι δυο πλευρές της ισότητας είναι 0. Εστω, λοιπόν, ότι gcda, m) = gcdb, m) =. Τότε gcdab, m) = και χa)χb) = χ[a]) χ[b]) = χ[a][b]) = χ[ab]) = χab). Άρα και σ αυτήν την περίπτωση αποδείχθηκε η ισότητα. Η απεικόνιση χ χ είναι ένα-προς-ένα. Πράγματι, έστω χ, ψ χαρακτήρες της G m με χ = ψ. Δηλαδή χa) = ψa)