Δ Π Ι Χ Δ Ι Ρ Η Ι Α Κ Η Δ Ρ Δ Υ Ν Α

ΣΜΖΜΑ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΩΝ ΦΔΒΡΟΤΑΡΗΟ 28 ΣΟΜΔΑ ΣΑΣΗΣΗΚΖ, ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΩΝ & ΔΠΗΥΔΗΡΖΗΑΚΖ ΔΡΔΤΝΑ ΘΔΜΑ 1 ο Δ Π Ι Χ Δ Ι Ρ Η Ι Α Κ Η Δ Ρ Δ Υ Ν Α Ζ βηνηερλία πιαζηηθώλ εηδώλ Plastic, Inc. πξέπεη λα δηεθπεξαηώζεη ηελ επόκελε εβδνκάδα παξαγγειίεο 2, 5 θαη 12 ηεκαρίσλ γηα ηα ηξία κεγέζε πιαζηηθώλ ιεθαλώλ A, B θαη C (αληίζηνηρα) πνπ θαηαζθεπάδεη. Ζ Plastic δηαζέηεη ηξεηο κεραλέο, ε θάζε κία εθ ησλ νπνίσλ έρεη ηε δπλαηόηεηα λα παξάγεη νπνηνδήπνηε από ηα ηξία πξντόληα κε ηνλ ίδην ξπζκό. Δπεηδή όκσο παξαηεξείηαη δηαθνξά ζηνλ αξηζκό ησλ ειαηησκαηηθώλ ηεκαρίσλ αλά πξντόλ ζηελ θάζε κεραλή, ην ηειηθό κνλαδηαίν θόζηνο ηνπ θάζε πξντόληνο πνηθίιεη αλάινγα κε ηε κεραλή πνπ θαηαζθεπάδεηαη: ΠΡΟΪΟΝ Α Β C Μεραλή 1 1. 1.2.9 Μεραλή 2 1. 1.4 1.2 Μεραλή 3 1.1 1. 1.2 Λακβάλνληαο ππόςε όηη ε εβδνκαδηαία παξαγσγηθή δπλαηόηεηα ησλ ηξηώλ κεραλώλ είλαη αληίζηνηρα, θαη 1 ηεκάρηα, βξείηε ηελ παξαγσγηθή δηαδηθαζία κε ην κηθξόηεξν θόζηνο. ΘΔΜΑ 2 ο Σα πεδνδξόκηα ζην θέληξν κηαο πόιεο πξόθεηηαη λα αλαθαηαζθεπαζηνύλ, πξνθεηκέλνπ πνιίηεο κε θηλεηηθά πξνβιήκαηα λα έρνπλ εύθνιε πξόζβαζε ζε ζεκεία όπσο, ζηάζεηο ιεσθνξείσλ, δεκνηηθέο/θξαηηθέο ππεξεζίεο, εκπνξηθά θαηαζηήκαηα, θιπ. ην θαησηέξσ δίθηπν θαίλεηαη ηα ζεκεία πνπ επηιέρηεθαλ (θόκβνη 1, 2,, 14) λα ζπλδένπλ ηα ππό θαηαζθεπή πεδνδξόκηα (αθκέο ηνπ δηθηύνπ), θαζώο επίζεο θαη ην κήθνο ηνπ θάζε πεδνδξνκίνπ (ζε κέηξα). Ζ δηαδηθαζία είλαη ηδηαίηεξα δαπαλεξή, θη έηζη δεηείηε λα ππνινγίζεηε ην ειάρηζην ζπλνιηθό κήθνο ησλ πεδνδξνκίσλ πνπ πξέπεη λα αλαθαηαζθεπαζηνύλ, ζε ηξόπν ώζηε όια ηα ππνδεηθλπόκελα ζεκεία λα επηθνηλσλνύλ κεηαμύ ηνπο. ΘΔΜΑ 3 ο Γύν αεξνπνξηθέο εηαηξείεο, ε United θαη ε Alaska εμππεξεηνύλ ην πξσηλό δξνκνιόγην από Αζήλα πξνο Λνλδίλν. Ζ πηήζε ηεο United αλαρσξεί ζηηο 8: πκ. θαη ηεο Alaska ζηηο 8: πκ. ηελ παξνύζα ρξνληθή ζηηγκή, ε United κεηαθέξεη ην 6% ησλ επηβαηώλ θαη ε Alaska ην ππόινηπν 4%. Πξόζθαηα, ε ΤΠΑ έδσζε ην δηθαίσκα θαη ζηηο δύν εηαηξείεο λα επαλαπξνζδηνξίζνπλ ηελ ώξα αλαρώξεζεο ησλ δξνκνινγίσλ ηνπο. Δληνύηνηο, ιόγσ ηεο ελ γέλεη ελαέξηαο θπθινθνξίαο, ε United κπνξεί λα αλαρσξεί κόλνλ αθξηβώο ζηελ όπνηα ώξα απνθαζίζεη, ελώ ε Alaska κόλνλ θαη. Ζ νκάδα ζρεδηαζκνύ δξνκνινγίσλ ηεο United πηζηεύεη όηη, κόλνλ αλαρσξήζεηο ζηηο 7:, 8:, 9: ή 1: πκ. έρνπλ πξαθηηθό λόεκα, θη όηη ε Alaska ζα δξνκνινγήζεη αλαρώξεζε ζηηο 7:, 8:, 9: ή 1: πκ. Ζ ίδηα νκάδα πξνβιέπεη ηηο θαησηέξσ κεηαβνιέο ζην κεξίδην αγνξάο εθάζηεο εθ ησλ δύν εηαηξεηώλ, αλάινγα κε ην δξνκνιόγην πνπ ηειηθά πινπνηεζεί: United Alaska (αλαρώξεζε) (αλαρώξεζε) 7: πκ 8: πκ. 9: πκ. 1: πκ. 7: πκ. +1% -2% -4% +4% 8: πκ. -5% -3% +3% 9: πκ. +4% +4% -3% +6% 1: πκ. -3% -2% +5% +3%

Πξνζδηνξίζηε ηε βέιηηζηε ζηξαηεγηθή γηα ηελ United. Πνην είλαη ην αλακελόκελν καθξνπξόζεζκν θέξδνο ηεο ζηελ κεηαθνξά ησλ επηβαηώλ κεηά ηνλ θαζνξηζκό ηεο λέαο ώξαο αλαρώξεζεο ησλ πηήζεσλ; ΘΔΜΑ 4 ο Μηα εηαηξεία κεηαθνξάο πεηξειαηνεηδώλ μεθίλεζε πξόζθαηα ηηο επαγγεικαηηθέο ηεο δξαζηεξηόηεηεο κε ηελ αγνξά/δηάζεζε θνξηεγώλ/βπηηνθόξσλ ζε θάζε κία από ηηο ηξεηο πόιεηο Γ1, Γ2, Γ3 πνπ βξίζθνληαη νη απνζήθεο ηεο (ηα δηπιηζηήξηα). Ζ εηαηξεία ζα ρξεζηκνπνηήζεη ηα θνξηεγά απηά γηα ηηο κεηαθνξέο πεηξειαηνεηδώλ πνπ πξόθεηηαη λα πξαγκαηνπνηήζεη πξνο ηηο πόιεηο Ε1, Ε2 θαη Ε3 κε θέξδνο ζε ρξεκαηηθέο κνλάδεο σο αθνινύζσο: ΠΡΟΟΡΗΜΟ ΑΠΟΘΖΚΔ Ε1 Ε2 Ε3 Γ1 1,8 2,1 1,6 Γ2 1,1 7 9 Γ3 1,4 8 2,2 (είλαη δηαθνξεηηθό ιόγσ ηεο απόζηαζεο, ηνπ θόζηνπο κεηαθνξάο, ησλ δηνδίσλ θιπ.). Λακβάλνληαο ππόςε όηη νη δπλαηόηεηεο θηινμελίαο ζε αξηζκό θνξηίσλ/θνξηεγώλ πνπ ππάξρνπλ ζηηο πόιεηο Ε1, Ε2, Ε3 είλαη αληίζηνηρα 4, 6 θαη 5, πξνζδηνξίζηε ην πιήζνο ησλ θνξηεγώλ πνπ πξέπεη λα δξνκνινγεζνύλ ζηελ θάζε δηαδξνκή ώζηε λα κεγηζηνπνηείηαη ην ζπλνιηθό θέξδνο ηεο εηαηξείαο. ΘΔΜΑ 5 ο Γύν εηαηξείεο θαξκαθεπηηθώλ θαη παξαθαξκαθεπηηθώλ εηδώλ, ε Upjohn θαη ε Merck, εηνηκάδνληαη λα ιαλζάξνπλ ζηελ αγνξά έλα λέν πξντόλ γηα ηελ θαηαπνιέκεζε ηεο απώιεηαο ησλ καιιηώλ ζηνπο άληξεο. ηελ παξνύζα ζηηγκή, ε Upjohn πνπ είλαη πην παιηά εηαηξεία θαηέρεη ην 7% ηεο αγνξάο γηα ηέηνηνπ είδνπο πξντόληα θαη ε Merck ην ππόινηπν %. Οη δύν εηαηξείεο εηνηκάδνπλ ηε πνιηηηθή πξνώζεζεο ηνπ λένπ πξντόληνο ε νπνία ζα βαζίδεηαη ζε επηζθέςεηο θαξκαθεπηηθώλ αληηπξνζώπσλ ζε γηαηξνύο, δηαθεκίζεηο ζε ηαηξηθά πεξηνδηθά, δηαθεκίζεηο ζε αληξηθά πεξηνδηθά θαη αζιεηηθέο εθεκεξίδεο, θαη πξνζθνξέο ζηα ζεκεία πώιεζεο. ηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί παξνπζηάδεηαη ε εθηίκεζε ησλ νηθνλνκηθώλ ζπκβνύισλ ηεο Merck γηα ηε κεηαβνιή ηνπ κεξηδίνπ αγνξάο, αλάινγα κε ηε ζηξαηεγηθή πνπ ζα αθνινπζήζνπλ νη δύν αληαγσληζηηθέο εηαηξείεο: Merck επηζθέςεηο αληηπξνζώπσλ ζε γηαηξνύο δηαθεκίζεηο ζε ηαηξηθά πεξηνδηθά δηαθεκίζεηο ζε εκπνξηθά έληππα επηζθέςεηο αληηπξνζώπσλ ζε γηαηξνύο Upjohn δηαθεκίζεηο ζε ηαηξηθά πεξηνδηθά δηαθεκίζεηο ζε εκπνξηθά έληππα πξνζθνξέο +1% -2% +3% -1% -3% +2% +4% +3% +.5% -1% +5% -1% Πξνζδηνξίζηε ηε βέιηηζηε ζηξαηεγηθή γηα ηελ Merck. Πνην είλαη ην αλακελόκελν καθξνπξόζεζκν θέξδνο ηεο ζηελ αγνξά κεηά ηελ εκθάληζε ησλ λέσλ πξντόλησλ; ΘΔΜΑ 6 ο Ζ Arnoff Enterprises, κηα εηαηξεία πνπ εηδηθεύεηαη ζηελ θαηαζθεπή ειεθηξνληθώλ θπθισκάησλ ζηαζεξνπνίεζεο, θέξδηζε έλα ζπκβόιαην γηα ςεθηαθέο θσηνγξαθηθέο κεραλέο. Σα θπθιώκαηα πνπ θαηαζθεπάδνληαη ζε Seattle, Columbus θαη New York πξέπεη λα κεηαθεξζνύλ ζε απνζήθεο ζε Pittsburgh, Mobile, Denver, Los Angeles θαη Washington γηα πεξαηηέξσ δηαλνκή. Ο πίλαθαο πνπ αθνινπζεί εκθαλίδεη ην πιήζνο ησλ δηαζέζηκσλ θπθισκάησλ ζε θάζε εξγνζηάζην, ηνλ αξηζκό ησλ δεηνύκελσλ θπθισκάησλ από ηελ θάζε απνζήθε, θαζώο επίζεο θαη ην κνλαδηαίν θόζηνο κεηαθνξάο ($ αλά ηεκάρην). Αποθήκη διαθέζιμος αριθμός Δργοζηάζιο Pittsburgh Mobile Denver Los Angeles Washington κσκλωμάηων Seattle 1 2 5 9 1 9 Columbus 2 1 8 6 4 New York 1 2 7 1 4 8 αιηούμενος αριθμός κσκλωμάηων 5 4 6 1. Τπνδείμηε ηνλ νηθνλνκηθόηεξν ηξόπν κεηαθνξάο ησλ θπθισκάησλ από ηα εξγνζηάζηα πξνο ηηο απνζήθεο. ε πνην πνζό αλέξρεηαη ην ζπλνιηθό θόζηνο κεηαθνξάο; 2. Τπνζέζηε όηη ε απνζήθε ζην Pittsburgh αύμεζε ηελ παξαγγειία θαηά 1 θπθιώκαηα. Ζ Arnoff δήηεζε από ην εξγνζηάζην ζην Columbus λα απμήζεη αλάινγα ηελ παξαγσγή. ε απηή ηελ πεξίπησζε, ην ζπλνιηθό θόζηνο κεηαθνξάο απμάλεηαη ή ειαηηώλεηαη θαη θαηά πόζν; Τπνδείμηε ην λέν βέιηηζην ηξόπν κεηαθνξάο ησλ θπθισκάησλ (ρσξίο λα ιύζεηε ην πξόβιεκα εμ αξρήο).

ΘΔΜΑ 7 ο Θεσξήζηε ην PERT δηάγξακκα ηεο επόκελεο ζειίδαο. Τπνζέζηε όηη θάζε δξαζηεξηόηεηα απαηηεί γηα ηελ νινθιήξσζή ηεο ρξόλν ζύκθσλα κε ηηο πην θάησ πηζαλόηεηεο: ΓΡΑΣΖΡΗΟΣΖΣΑ ΥΡΟΝΟ (εκέξεο) ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΑ A 8 1 B 5.5 6.5 C 2.5 3.5 D 5.25 6.75 E 8.75 9.25 1. Τπνινγίζηε ηνλ αλακελόκελν ρξόλν πινπνίεζεο εθάζηεο δξαζηεξηόηεηαο. ηε ζπλέρεηα, ρξεζηκνπνηήζηε απηέο ηηο ηηκέο πξνθεηκέλνπ λα ππνδείμηε ηελ θξίζηκε δηαδξνκή θαη λα ππνινγίζεηε ηνλ αλακελόκελν ρξόλν πινπνίεζεο νιόθιεξνπ ηνπ έξγνπ. 2. Πνηεο ηηκέο κπνξεί λα πάξεη ν ρξόλνο πινπνίεζεο ηεο θξίζηκεο δηαδξνκήο ηνπ εξσηήκαηνο (1); Τπνινγίζηε ηελ πηζαλόηεηα γηα θάζε κηα από απηέο ηηο ηηκέο (ζεσξήζηε όηη νη ρξόλνη πινπνίεζεο ησλ δηάθνξσλ δξαζηεξηνηήησλ πνπ ζρεκαηίδνπλ ην θξίζηκν κνλνπάηη είλαη αλεμάξηεηα κεηαμύ ηνπο γεγνλόηα). 3. Δπαλαιάβαηε γηα ην κνλνπάηη ησλ κε θξίζηκσλ δξαζηεξηνηήησλ. 4. Υξεζηκνπνηήζηε ηηο απαληήζεηο ζηα εξσηήκαηα (2) θαη (3) πξνθεηκέλνπ λα βξείηε ηελ θαηαλνκή πηζαλνηήησλ ηνπ ρξόλνπ πινπνίεζεο νιόθιεξνπ ηνπ έξγνπ. Πνηα είλαη ε αλακελόκελε ηηκή ηεο θαηαλνκήο; Γηαηί δελ είλαη ίδηα κε απηή πνπ ππνινγίζαηε ζην εξώηεκα (1); B D START A FINISH C E ΘΔΜΑ 8 ο ηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί, δίλνληαη νη εθηηκήζεηο απνζηάζεσλ ππό θαηαζθεπή δαζηθώλ δξόκσλ ζύλδεζεο 1 δηαζπαξκέλσλ ζηαζκώλ παξαηήξεζεο θαη πξόιεςεο ππξθαγηώλ ζε ππθλή δαζώδε έθηαζε. Όινη νη δξόκνη είλαη δηπιήο θαηεύζπλζεο, θάηη πνπ θαίλεηαη άιισζηε θαη από ηα δεδνκέλα. Λακβάλνληαο ππόςε ην γεγνλόο όηη ε ππθλόηεηα ηνπ δάζνπο είλαη νκνηόκνξθε, βξείηε έλα ηξόπν λα επηθνηλσλνύλ κεηαμύ ηνπο κε ρεξζαία κέζα όινη νη ζηαζκνί, ειαρηζηνπνηώληαο ην ζπλνιηθό πιήζνο δέληξσλ πνπ ζα πξέπεη λα θνπνύλ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 18 12 41 2 18 32 3 32 14 13 4 14 19 5 9 12 6 9 8 11 7 8 14 8 11 14 16 9 12 1 41 13 19 12 16

ΘΔΜΑ 9 ο Ζ νκάδα κπάζθεη ησλ Άλσ Μνπξηώλ αληηκεησπίδεη ηελ νκάδα ησλ Κάησ Μνπξηώλ. Οη Άλσ Μνπξηέο επηηίζεληαη κε δύν ηξόπνπο (shuffle θαη overload), ελώ νη Κάησ Μνπξηέο ακύλνληαη κε ηξεηο (zone, man-to-man θαη combination). ηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί δίλνληαη νη πόληνη ηνπο νπνίνπο νη ηζύλνληεο ησλ Άλσ Μνπξηώλ εθηηκνύλ όηη ζα ζθνξάξεη ε νκάδα ηνπο, αλάινγα κε ηνλ ηξόπν πνπ νη ίδηνη ζα επηηίζεληαη ζηελ θάζε άκπλα ησλ Κάησ Μνπξηώλ: ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ ΚΑΣΩ ΜΟΤΡΗΔ (άκπλα) (επίζεζε) Zone Man-to-Man Combination Shuffle 72 6 83 Overload 58 91 72 Υσξίο λα δηαγξάςεηε ηηο ππνδεέζηεξεο ζηξαηεγηθέο, λα εθαξκόζεηε ηελ θαηάιιειε κεζνδνινγία ώζηε λα πξνζδηνξίζεηε ηνλ άξηζην ηξόπν κε ηνλ νπνίν πξέπεη λα παίμνπλ νη δύν νκάδεο. Πόζνπο πόληνπο αλακέλεηαη λα πεηύρεη ε νκάδα ησλ Άλσ Μνπξηώλ;

ΘΔΜΑ 1 ο Σν ζύζηεκα παξαγσγήο ηεο Plastic κπνξεί λα εηδσζεί σο έλα πξόβιεκα κεηαθνξάο κε ζηαζκνύο παξαγσγήο ηεο κεραλέο (i = 1, 2, 3), ζηαζκνύο πξννξηζκνύ ηα πξντόληα (j = A, B, C), κεηαβιεηέο x ij ην πιήζνο ησλ πξντόλησλ ηύπνπ j πνπ θαηαζθεπάδνληαη ζηελ i-κεραλή θαη θόζηνο κεηαθνξάο ην αληίζηνηρν θόζηνο θαηαζθεπήο: min x 1A + 1.2x 1B +.9x 1C + 1.3x 2A + 1.4x 2B + 1.2x 2C + 1.1x 3A + x 3B + 1.2x 3C θάησ από ηνπο πεξηνξηζκνύο: x 1A + x 1B + x 1C x 2A + x 2B + x 2C x 3A + x 3B + x 3C 1 x 1A + x 2A + x 3A = 2 x 1B + x 2B + x 3B = 5 x 1C + x 2C + x 3C = 12 x ij Όκσο, ε δπλακηθόηεηα ηεο παξαγσγήο αλέξρεηαη ζε 4 ηεκάρηα ελώ ε ζπλνιηθή παξαγγειία είλαη γηα 37 ηεκάρηα. Δπνκέλσο, πξνθεηκέλνπ λα εθαξκνζηεί ε δηαδηθαζία επίιπζεο, ζα πξέπεη λα πξνζζέζνπκε έλα αθόκε πξντόλ D κε δήηεζε 4 37 = ηεκαρίσλ θαη θόζηνο Μ>>>. Υξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν Vogel γηα ηελ εύξεζε κηαο αξρηθήο βαζηθήο εθηθηήο ιύζεο ηνπ πξνβιήκαηνο, παίξλνπκε σο ηέηνηα ηελ: 1..2.1 1. (M-1.).1.1.1 12 1.1 (M-1.1).1.1.2 5 Ζήτηση 2 2 17 17.2.1.2.1.2.1.2. Προσυορά 1.2.9 12 M 1.4 1.2 M 1. 1.2 M 1 1 1 5 5 5 12 5 5 Ζ ιύζε απηή έρεη 6 ζεηηθέο ζπληζηώζεο θαη ζπλεπώο είλαη κε εθθπιηζκέλε. Βξίζθνληαο ηα δπλακηθά u i, v j θαη ζρεκαηίδνληαο ηηο δηαθνξέο δ ij = u i + v j - c ij πνπ αληηζηνηρνύλ ζηηο κε βαζηθέο κεηαβιεηέο δηαπηζηώλνπκε όηη ε ιύζε απηή είλαη ε βέιηηζηε (δ ij i, j) θαη ζπλεπάγεηαη θόζηνο παξαγσγήο ηεο ηάμεο ησλ 399. εκεηώζηε ηέινο ηελ ύπαξμε ελαιιαθηηθώλ βέιηηζησλ ιύζεσλ (δ 23 = ). u..1 v 1..9.9 -. 1. -. 1.2.9 -. Μ 12 1. -.2 1.4 1.2 Μ 12 1.1 1. -.2 1.2 -.2 Μ 1 5 5 2 5 12

Καηά ζπλέπεηα ε βέιηηζηε παξαγσγηθή δηαδηθαζία έρεη σο εμήο: Βέιηηζηε Λύζε Σεκάρηα Κόζηνο 1 - A 1 - C 12 18 2 - A 12 6 3 - A 5 55 3 - B 5 5 ΤΝΟΛΟ: 399 (ελώ παξακέλεη αλεθκεηάιιεπηε δπλαηόηεηα παξαγσγήο ηεκαρίσλ ζηε κεραλή 2).

ΘΔΜΑ 2 ο Πξόθεηηαη γηα πξόβιεκα εύξεζεο ηνπ ειάρηζηνπ δεπγλύνληνο δέληξνπ. Ξεθηλάκε απζαίξεηα από νπνηνδήπνηε θόκβν, έζησ ηνλ θόκβν 1. πλδένπκε ηνλ πιένλ θνληηλό ηνπ, πνπ είλαη ν θόκβνο 4, κέζσ ηεο αθκήο 1-4 κε κήθνο 17. Οη θόκβνη {1, 4} είλαη ζπλδεδεκέλνη. Ο πιεζηέζηεξνο κε ζπλδεδεκέλνο θόκβνο ζηνπο {1, 4} είλαη ν θόκβνο 6 κε ηελ αθκή 4-6 κήθνπο 76. Έηζη, ζπλδεδεκέλνη είλαη ηώξα νη θόκβνη {1, 4, 6}. Ο επόκελνο πιεζηέζηεξνο θόκβνο είλαη ν θόκβνο 3 κε ηελ αθκή 6-3 κήθνπο 63, νπόηε ζπλδεδεκέλνη είλαη ηώξα νη θόκβνη {1, 4, 6, 3}. Ο πιεζηέζηεξνο ζηνπο ζπλδεδεκέλνπο είλαη ν θόκβνο 9 κε ηελ αθκή 6-9 κήθνπο 67. Σν ζύλνιν ησλ ζπλδεδεκέλσλ θόκβσλ είλαη ηώξα {1, 4, 6, 3, 9}. Δπόκελνο ζπλδέεηαη ν θόκβνο 11 κε ηνλ θόκβν 9 κέζσ ηεο αθκήο 9-11 κήθνπο 73, νπόηε ην ζύλνιν ησλ ζπλδεδεκέλσλ θόκβσλ είλαη ην {1, 4, 6, 3, 9, 11}. Ο επόκελνο θόκβνο πνπ ζπλδέεηαη είλαη ν θόκβνο 1 κε ηνλ θόκβν 9 κέζσ ηεο αθκήο 9-1 κε κήθνο 84. Σν ζύλνιν ησλ ζπλδεδεκέλσλ θόκβσλ γίλεηαη {1, 4, 6, 3, 9, 11, 1}. Δπόκελνο ζπλδέεηαη ν θόκβνο 12 κε ηνλ θόκβν 1 κε ηελ αθκή 1-11 κήθνπο 61, νπόηε ην ζύλνιν γίλεηαη {1, 4, 6, 3, 9, 11, 1, 12}. Ο επόκελνο θόκβνο πνπ ζπλδέεηαη είλαη ν θόκβνο 14 κε ηνλ θόκβν 12 κέζσ ηεο αθκήο 12-14 κε κήθνο 82. Σν ζύλνιν ησλ ζπλδεδεκέλσλ θόκβσλ γίλεηαη {1, 4, 6, 3, 9, 11, 1, 12, 14}. Δπόκελνο ζπλδέεηαη ν θόκβνο 13 κε ηνλ θόκβν 1 κέζσ ηεο αθκήο 1-13 κήθνπο 88, νπόηε ην ζύλνιν ησλ ζπλδεδεκέλσλ θόκβσλ είλαη ην {1, 4, 6, 3, 9, 11, 1, 12, 14, 13}. Ο επόκελνο θόκβνο πνπ ζπλδέεηαη είλαη ν θόκβνο 7 κε ηνλ θόκβν 1 κέζσ ηεο αθκήο 1-7 κε κήθνο 92. Σν ζύλνιν ησλ ζπλδεδεκέλσλ θόκβσλ γίλεηαη {1, 4, 6, 3, 9, 11, 1, 12, 14, 13, 7}. Δπόκελνο ζπλδέεηαη ν θόκβνο 8 κε ηνλ θόκβν 9 κέζσ ηεο αθκήο 9-8 κήθνπο 95, νπόηε ην ζύλνιν ησλ ζπλδεδεκέλσλ θόκβσλ είλαη ην {1, 4, 6, 3, 9, 11, 1, 12, 14, 13, 7, 8}. Ο επόκελνο θόκβνο πνπ ζπλδέεηαη είλαη ν θόκβνο 5 κε ηνλ θόκβν 8 κέζσ ηεο αθκήο 8-5 κε κήθνο 86, νπόηε ην ζύλνιν ησλ ζπλδεδεκέλσλ θόκβσλ είλαη ην {1, 4, 6, 3, 9, 11, 1, 12, 14, 13, 7, 8, 5}. Σειεπηαίνο ζπλδέεηαη ν θόκβνο 2 κε ηελ αθκή 1-2 κήθνπο 112. Σν άζξνηζκα ησλ αθκώλ πνπ ρξεζηκνπνηήζεθαλ είλαη 186 θαη είλαη ην ειάρηζην ζπλνιηθό.

ΘΔΜΑ 3 ο Έρνπκε έλα παίγλην δύν παηθηώλ ζηαζεξνύ αζξνίζκαηνο όπνπ ην άζξνηζκα είλαη ην πνζνζηό 1% ην νπνίν νη παίθηεο κνηξάδνληαη. Ζ ζηξαηεγηθή Β4 είλαη ππνδεέζηεξε (ηεο Β1 θαη Β2) θαη δηαγξάθεηαη. Οκνίσο, ππνδεέζηεξεο είλαη θαη νη ζηξαηεγηθέο Α1, Α2 (ηεο Α3) νπόηε δηαγξάθνληαη θη απηέο. Γηα ηελ εθαξκνγή ηνπ θξηηεξίνπ minmax/maximin ππνινγίδνπκε ηα ειάρηζηα ησλ γξακκώλ θαη ηα κέγηζηα ησλ ζηειώλ ζηνλ αθόινπζν πίλαθα δηάζηαζεο 2 3, όπνπ δελ ππάξρνπλ άιιεο ππνδεέζηεξεο ζηξαηεγηθέο: Β1 Β2 Β3 Row Min Maximin Α3 4 4-3 -3-3 Α4-3 -2 5-3 Col Max 4 4 5 Minimax 4 4-3 Όπσο βιέπνπκε, νη ακηγείο ζηξαηεγηθέο δελ νδεγνύλ ζε ζεκείν ηζνξξνπίαο αθνύ ε ηηκή Maximin (-3) είλαη δηαθνξεηηθή από ηε Minimax ηηκή (4).Άξα ζα πξέπεη λα ππνινγίζνπκε ην ζεκείν ηζνξξνπίαο κε ηε βνήζεηα κηθηώλ ζηξαηεγηθώλ. Σν παίγλην είλαη δηάζηαζεο 2 3 νπόηε εθαξκόδνπκε γξαθηθή δηαδηθαζία επίιπζεο. Δπεηδή ε United επηιέγεη ην κέγηζην από ηα ειάρηζηα πξνζδνθώκελα θέξδε, ζα θαζνξίζεη ηε ζηξαηεγηθή ηεο ζε ηξόπν ώζηε λα βξεζεί ζην ζεκείν Κ (ζεκείν maximin) ην νπνίν είλαη ην πςειόηεξν ζεκείν ηνπ ρακειόηεξνπ ηεζιαζκέλνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο. ηνλ θαζνξηζκό ηνπ ζεκείνπ Κ δελ ζπκκεηέρεη ε ζηξαηεγηθή Β2 ε νπνία θαη απνξξίπηεηαη. Έηζη πξνθύπηεη ην εμήο παίγλην δηάζηαζεο 2 2: y 1 y Β1 Β3 x Α3 4-3 1 x Α4-3 5 Αο νλνκάζνπκε x ηελ πηζαλόηεηα ν παίθηεο Α (ε United) λα αθνινπζήζεη ηε ζηξαηεγηθή Α3, νπόηε (1-x) είλαη ε πηζαλόηεηα λα αθνινπζήζεη ηελ Α4. Οκνίσο, έζησ y ε πηζαλόηεηα ν Β (ε Alaska) λα αθνινπζήζεη ηε ζηξαηεγηθή Β1, νπόηε (1-y) είλαη ε πηζαλόηεηα λα αθνινπζήζεη ηε ζηξαηεγηθή Β3. Έηζη, έρνπκε Δηαηξεία United V(United, B1) = 4x 3(1 x) 7x 3 V(United, B3) = 3x 5(1 x) 8x 5

Θέηνληαο V(United, B1) = V(United, B3) έρνπκε 7x 3= 8x 5 8 x.53 7 1 x Ζ αμία ηνπ παηγλίνπ βξίζθεηαη κε αληηθαηάζηαζε ηεο ηηκήο V(United, B3) θαη είλαη ίζε κε 11 V.73. 8 x, είηε ζηε V(United, B1), είηε ζηε Δηαηξεία Alaska V(Alaska, A3) = 4y 3*(1 y) 7y 3 V(Alaska, A4) = 3y 5(1 y) 8y 5 Θέηνληαο V(Alaska, A3) = V(Alaska, A4) βξίζθνπκε: κε ηηκή παηγλίνπ 11 V. 8 y 7 1 y σνοψίζονηας, ην απνηέιεζκα είλαη ην εμήο : 8 7 Μεηθηή ζηξαηεγηθή γηα ηελ United: 8 7 Μεηθηή ζηξαηεγηθή γηα ηελ Alaska: 11 Σηκή ηνπ παηγλίνπ V.73. Ζ United καθξνπξόζεζκα αλακέλεηαη λα απμήζεη ην κεξίδην αγνξάο ηεο θαηά.73%.

ΘΔΜΑ 4 ο Οξίδνληαο σο x ij ην πιήζνο ησλ θνξηεγώλ πνπ ζα δξνκνινγεζνύλ από ηελ απνζήθε Γ i πξνο ηελ πόιε Ε j έρνπκε πξνο επίιπζε έλα πξόβιεκα κεηαθνξάο ζην νπνίν ε αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε είλαη ζπλάξηεζε κεγηζηνπνίεζεο θη όρη ειαρηζηνπνίεζεο. Γηα ην ιόγν απηό ζεσξνύκε ζηα tableau όηη είλαη c c. Δπηπιένλ, επεηδή si i 9 d ζα πξέπεη λα πξνζηεζεί έλαο ππνζεηηθόο ζηαζκόο πξνέιεπζεο κε πξνζθνξά ίζε κε j j 9 = 6 θνξηεγά. Υξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν Vogel γηα ηελ εύξεζε κηαο αξρηθήο βαζηθήο εθηθηήο ιύζεο ηνπ πξνβιήκαηνο, παίξλνπκε σο ηέηνηα ηελ: 1 7 9 4 1 1, 4 1, 6 Προσυορά -1,8-2,1-1,6 2 2 2-1,1-7 -9 8 8-1,4-8 -2,2 6 6 6 6 1 2 Ζήτηση 4 4 4 1 6 5 5 2 2 Ζ ιύζε απηή έρεη 6 ζεηηθέο ζπληζηώζεο θαη ζπλεπώο είλαη κε εθθπιηζκέλε. Βξίζθνληαο ηα δπλακηθά u i, v j θαη ζρεκαηίδνληαο ηηο δηαθνξέο δ ij = u i + v j - c ij πνπ αληηζηνηρνύλ ζηηο κε βαζηθέο κεηαβιεηέο δηαπηζηώλνπκε όηη ε ιύζε απηή είλαη ε βέιηηζηε (δ ij i, j) θαη ζπλεπάγεηαη ζπλνιηθό θέξδνο ηεο ηάμεο ησλ -(-162,) = 162, ρξεκαηηθώλ κνλάδσλ. ij ij εκεηώζηε ηέινο ην γεγνλόο όηη ην πξόβιεκα ζα κπνξνύζε λα ιπζεί θαη απεπζείαο σο πξόβιεκα κεγηζηνπνίεζεο (ρσξίο ην κεηαζρεκαηηζκό c c ) αιιάδνληαο απιά ηνλ ηξόπν ππνινγηζκνύ ησλ πνζνηήησλ δ ij ζε δ ij = c ij - u i - v j. ij ij v -2,1-2,1-2,1 u - -1,8-2,1-5 -1,6-1,1-4 -7-2 -9 1, -8-1,4-1,4-8 -2,2-1 2,1 1 2 4 6 5 6

ΘΔΜΑ 5 ο Έρνπκε έλα παίγλην δύν παηθηώλ ζηαζεξνύ αζξνίζκαηνο όπνπ ην άζξνηζκα είλαη ην πνζνζηό 1% ην νπνίν νη παίθηεο κνηξάδνληαη. Οη ζηξαηεγηθέο Β3 θαη Β4 είλαη ππνδεέζηεξεο ησλ Β1 θαη Β2 αληίζηνηρα θαη δηαγξάθνληαη. Δθαξκόδνληαο ην θξηηήξην minmax/maximin ππνινγίδνπκε ηα ειάρηζηα ησλ γξακκώλ θαη ηα κέγηζηα ησλ ζηειώλ ζηνλ αθόινπζν πίλαθα δηάζηαζεο 3 2, όπνπ δελ ππάξρνπλ άιιεο ππνδεέζηεξεο ζηξαηεγηθέο: Β1 Β2 Row Min Maximin Α1 1-2 -2 Α2-3 2-3 Α3.5-1 -1-1 Col Max 1 2 Minimax 1 1-1 Όπσο βιέπνπκε, νη ακηγείο ζηξαηεγηθέο δελ νδεγνύλ ζε ζεκείν ηζνξξνπίαο αθνύ ε ηηκή Maximin (-1) είλαη δηαθνξεηηθή από ηε Minimax ηηκή (1).Άξα ζα πξέπεη λα ππνινγίζνπκε ην ζεκείν ηζνξξνπίαο κε ηε βνήζεηα κηθηώλ ζηξαηεγηθώλ. Σν παίγλην είλαη δηάζηαζεο 3 2 νπόηε εθαξκόδνπκε γξαθηθή δηαδηθαζία επίιπζεο. Δπεηδή ν παίθηεο Β (ε εηαηξεία Upjohn) επηιέγεη minimax ζηξαηεγηθή, απηό ζεκαίλεη όηη επηιέγεη ην ειάρηζην από ηα κέγηζηα. Άξα ζα αθνινπζήζεη ηελ ηεζιαζκέλε γξακκή πνπ βξίζθεηαη ζηελ αλώηεξε πεξηνρή ηνπ ζρήκαηνο θαη ε νπνία παξνπζηάδεηαη κε έληνλεο γξακκέο. Δπάλσ ζ απηήλ, ζα επηιέμεη ην ρακειόηεξν (minimax) ζεκείν δειαδή ην ζεκείν Κ, όπσο ζεκεηώλεηαη. Ωο εθ ηνύηνπ, ε ζηξαηεγηθή A1 από ηελ πιεπξά ηνπ παίθηε A (εηαηξεία Merck) απνξξίπηεηαη αθνύ δελ ζπκκεηέρεη ζηνλ θαζνξηζκό ηνπ minimax ζεκείνπ Κ θαη ε δηάζηαζε ηνπ πξνβιήκαηνο γίλεηαη 2x2 κε ηνλ αθόινπζν πίλαθα πιεξσκώλ y 1 y Β1 Β2 x Α2-3 2 1 x Α3.5-1 Αο νλνκάζνπκε x ηελ πηζαλόηεηα ν παίθηεο Α (ε Merck) λα αθνινπζήζεη ηε ζηξαηεγηθή Α2, νπόηε (1-x) είλαη ε πηζαλόηεηα λα αθνινπζήζεη ηελ Α3. Οκνίσο, έζησ y ε πηζαλόηεηα ν Β (ε Upjohn) λα αθνινπζήζεη ηε ζηξαηεγηθή Β1, νπόηε (1-y) είλαη ε πηζαλόηεηα λα αθνινπζήζεη ηε ζηξαηεγηθή Β2. Έηζη, έρνπκε

Δηαηξεία Merck V(Merck, B1) = 3x.5(1 x) V(Merck, B2) = 2x 1(1 x) Θέηνληαο V(Merck, B1) = V(Merck, B2) έρνπκε 3x.5(1 x) = 2x 1(1 x) 6.5x 1.5 x.27 65 5 1 x.7693 65 Ζ αμία ηνπ παηγλίνπ βξίζθεηαη κε αληηθαηάζηαζε ηεο ηηκήο x, είηε ζηε V(Merck, B1), είηε ζηε 65 2 V(Merck, B2) θαη είλαη ίζε κε V.745. 65 Δηαηξεία Upjohn V(Upjohn, A2) = 3y 2(1 y) V(Upjohn, A3) =.5y 1(1 y) Θέηνληαο V(Upjohn, A2) = V(Upjohn, A3) βξίζθνπκε: κε ηηκή παηγλίνπ V.745. y.46 65 35 1 y.5385 65 σνοψίζονηας, ην απνηέιεζκα είλαη ην εμήο : 5 Μεηθηή ζηξαηεγηθή γηα ηελ Merck: 65 65 35 Μεηθηή ζηξαηεγηθή γηα ηελ Upjohn: 65 65 2 Σηκή ηνπ παηγλίνπ V.745. Ζ Merck καθξνπξόζεζκα αλακέλεηαη λα κεηώζεη ην 65 κεξίδην αγνξάο ηεο θαηά.745%.

ΘΔΜΑ 6 ο 1. Υξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν Vogel γηα ηελ εύξεζε κηαο αξρηθήο βαζηθήο εθηθηήο ιύζεο ηνπ πξνβιήκαηνο, παίξλνπκε σο ηέηνηα ηελ: 11 4 4 4 4 1 3 3 3 3 Ζήτηση 4 1 2 1 2 1 6 9 2 1 6 1 1 2 1 2 Προσυορά 1 2 5 2 1 1 4 1 5 1 1 1 1 2 4 4 4 4 4 9 5 8 6 4 7 1 1 6 6 6 6 6 1 9 9 9 9 5 4 8 8 5 2 2 Ζ ιύζε απηή έρεη 7 ζεηηθέο ζπληζηώζεο θαη ζπλεπώο είλαη κε εθθπιηζκέλε. Βξίζθνληαο ηα δπλακηθά u i, v j θαη ζρεκαηίδνληαο ηηο δηαθνξέο δ ij = u i + v j - c ij πνπ αληηζηνηρνύλ ζηηο κε βαζηθέο κεηαβιεηέο δηαπηζηώλνπκε όηη ε ιύζε απηή είλαη ε βέιηηζηε (δ ij i, j) θαη ζπλεπάγεηαη θόζηνο κεηαθνξάο ηεο ηάμεο ησλ,. u -9 1 v 19 5 9 3-1 1-1 2 5 9-7 1 9 4 5-11 2 1-12 8 - -12 6 4 4 1 2-1 7 1 4 8 1 1 5 4 6 2. Σν θειί (2, 1) δελ είλαη βαζηθό. Δπνκέλσο ζα πξέπεη λα μεθηλήζνπκε κηα αλαπξνζαξκνγή +1 ζε έλα από ηα βαζηθά θειηά ηεο 2 εο γξακκήο θαη λα ηειεηώζνπκε κε +1 ζε έλα από ηα βαζηθά θειηά ηεο 1 εο ζηήιεο.

1 2 5 9 1 4 5 2 1 8 6 4+1 1 2 7 1 4 +1 1-1 1 +1 5 4 6 9 4+1 8 Ζ λέα ιύζε είλαη εθηθηή, επνκέλσο ζα είλαη θαη άξηζηε. Σν λέν θόζηνο κεηαθνξάο αλέξρεηαη ζε 141,, είλαη δειαδή κηθξόηεξν ηνπ αξρηθνύ.

ΘΔΜΑ 7 ο 1. ΓΡΑΣΖΡΗΟΣΖΣΑ ΥΡΟΝΟ (εκέξεο) ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΑ ΑΝΑΜΔΝΟΜΔΝΖ ΣΗΜΖ A 8 1 8 B 5.5 6.5 5.5 + 6.5 = 5.5 C 2.5 3.5 2.5 + 3.5 = 2.5 D 5.25 6.75 5.25 + 6.75 = 5.75 E 8.75 9.25 8.75 + 9.25 = 8.25 Δπνκέλσο B 8 13.5 D 13.5 19.25 5.5 8 13.5 5.75 13.5 19.25 START A 8 8 8 FINISH C 8 1.5 E 1.5 18.75 2.5 8.5 11 8.25 11 19.25 Κξίζηκν κνλνπάηη ην A B D κε αλακελόκελε δηάξθεηα 19.25 εκέξεο. 2. Κρίζιμο Μονοπάηι A B D ΥΡΟΝΟΗ ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΑ ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΑ a-8, b-5, d-5 18.5.25 =.125.125 a-8, b-5, d-6.5.75 =.375 19 a-8, b-6, d-5.5.25 =.125.5 a-8, b-6, d-6 2.5.75 =.375.375 1. 3. Μη Κρίζιμες Γιαδρομές C E ΥΡΟΝΟΗ ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΑ ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΑ c-2, e-8 18.5.75 =.375.375 c-2, e-9.5.25 =.125 19.5 c-3, e-8.5.75 =.375 c-3, e-9 2.5.25 =.125.125 1.

4. Έρνπκε βξεη ηηο πεξηζώξηεο θαηαλνκέο θαη αλαδεηνύκε ηελ από θνηλνύ ζπλάξηεζε πηζαλόηεηαο ησλ (δηαθξηηώλ) η.κ. διαδρομή A B D θαη διαδρομή C E. Οη ρξόλνη θάζε δξαζηεξηόηεηαο είλαη αλεμάξηεηνη κεηαμύ ηνπο θη άξα θαη νη ρξόλνη πινπνίεζεο ησλ δύν δηαδξνκώλ (κνλνπαηηώλ) ζα είλαη επίζεο αλεμάξηεηνη. Δπνκέλσο κπνξνύκε λα ηηο πνιιαπιαζηάζνπκε πξνθεηκέλνπ λα βξνύκε ηελ από θνηλνύ πηζαλόηεηα: Οπόηε A-B-D 18 19 2 18.46875.1875.14625.375 C-E 19.625.25.1875.5 2.625.625.46875.125.125.5.375 1. ΥΡΟΝΟ ΤΛΟΠΟΗΖΖ ΔΡΓΟΤ ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΑ ΥΡΟΝΟ ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΑ 18.46875.84375 19.625 +.1875 +.25 =.5 9.5 2.625 +.625 +.14625 +.1875 +.46875 =.453125 9.625 19.4625 Ζ αλακελόκελε ηηκή 19.4625 ηνπ ρξόλνπ πινπνίεζεο ηνπ έξγνπ είλαη κεγαιύηεξε ηεο ηηκήο πνπ έδσζε ε κεζνδνινγία PERT (ε νπνία γεληθόηεξα ππνεθηηκά ηνλ πξαγκαηηθό αλακελόκελν ρξόλν).

ΘΔΜΑ 8 ο Πξόθεηηαη γηα πξόβιεκα εύξεζεο ηνπ ειάρηζηνπ δεπγλύνληνο δέληξνπ. Ξεθηλάκε απζαίξεηα από νπνηνδήπνηε θόκβν, έζησ ηνλ θόκβν 1. πλδένπκε ηνλ πιένλ θνληηλό ηνπ, πνπ είλαη ν θόκβνο 9, κέζσ ηεο αθκήο 1-9 κε κήθνο 12. Οη θόκβνη {1, 9} είλαη ζπλδεδεκέλνη. Ο πιεζηέζηεξνο κε ζπλδεδεκέλνο θόκβνο ζηνπο {1, 9} είλαη ν θόκβνο 2 κε ηελ αθκή 1-2 κήθνπο 18. Έηζη, ζπλδεδεκέλνη είλαη ηώξα νη θόκβνη {1, 9, 2}. Ο επόκελνο πιεζηέζηεξνο θόκβνο είλαη ν θόκβνο 8 κε ηελ αθκή 9-8 κήθνπο, νπόηε ζπλδεδεκέλνη είλαη ηώξα νη θόκβνη {1, 9, 2, 8}. Ο πιεζηέζηεξνο ζηνπο ζπλδεδεκέλνπο είλαη ν θόκβνο 6 κε ηελ αθκή 8-6 κήθνπο 11. Σν ζύλνιν ησλ ζπλδεδεκέλσλ θόκβσλ είλαη ηώξα {1, 9, 2, 8, 6}. Δπόκελνο ζπλδέεηαη ν θόκβνο 7 κε ηνλ θόκβν 6 κέζσ ηεο αθκήο 6-7 κήθνπο 8, νπόηε ην ζύλνιν ησλ ζπλδεδεκέλσλ θόκβσλ είλαη ην {1, 9, 2, 8, 6, 7}. Ο επόκελνο θόκβνο πνπ ζπλδέεηαη είλαη ν θόκβνο 5 κε ηνλ θόκβν 6 κέζσ ηεο αθκήο 6-5 κε κήθνο 9. Σν ζύλνιν ησλ ζπλδεδεκέλσλ θόκβσλ γίλεηαη {1, 9, 2, 8, 6, 7, 5}. Δπόκελνο ζπλδέεηαη ν θόκβνο 1 κε ηνλ θόκβν 5 κε ηελ αθκή 5-1 κήθνπο 12, νπόηε ην ζύλνιν γίλεηαη {1, 9, 2, 8, 6, 7, 5, 1}. Ο επόκελνο θόκβνο πνπ ζπλδέεηαη είλαη ν θόκβνο 3 κε ηνλ θόκβν 1 κέζσ ηεο αθκήο 1-3 κε κήθνο 13. Σν ζύλνιν ησλ ζπλδεδεκέλσλ θόκβσλ γίλεηαη {, 9, 2, 8, 6, 7, 5, 1, 3}. Σειεπηαίνο ζπλδέεηαη ν θόκβνο 4 κε ηελ αθκή 4-3 κήθνπο 14. Σν άζξνηζκα ησλ αθκώλ πνπ ρξεζηκνπνηήζεθαλ είλαη 127 θαη είλαη ην ειάρηζην ζπλνιηθό.

ΘΔΜΑ 9 ο Έρνπκε έλα παίγλην δύν παηθηώλ κεδεληθνύ αζξνίζκαηνο. Γηα ηελ εθαξκνγή ηνπ θξηηεξίνπ minmax ππνινγίδνπκε ηα ειάρηζηα ησλ γξακκώλ θαη ηα κέγηζηα ησλ ζηειώλ ζηνλ πίλαθα ακνηβώλ, όπσο απηόο δόζεθε: Β1 Β2 Β3 Row Min Maximin Α1 72 6 84 6 6 Α2 58 91 72 58 Col Max 72 91 84 Minimax 72 72 6 Οη ακηγείο ζηξαηεγηθέο δελ νδεγνύλ ζε ζεκείν ηζνξξνπίαο αθνύ ε ηηκή Maximin (6) είλαη δηαθνξεηηθή από ηε Minimax ηηκή (72).Άξα ζα πξέπεη λα ππνινγίζνπκε ην ζεκείν ηζνξξνπίαο κε ηε βνήζεηα κηθηώλ ζηξαηεγηθώλ. Σν παίγλην είλαη δηάζηαζεο 2 3 νπόηε εθαξκόδνπκε γξαθηθή δηαδηθαζία επίιπζεο. Κ Δπεηδή νη ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ επηιέγνπλ ην κέγηζην από ηα ειάρηζηα πξνζδνθώκελα θέξδε, ζα θαζνξίζνπλ ηε ζηξαηεγηθή ηεο ζε ηξόπν ώζηε λα βξεζεί ζην ζεκείν Κ (ζεκείν maximin) ην νπνίν είλαη ην πςειόηεξν ζεκείν ηνπ ρακειόηεξνπ ηεζιαζκέλνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο. ηνλ θαζνξηζκό ηνπ ζεκείνπ Κ δελ ζπκκεηέρεη ε ζηξαηεγηθή Β3 ε νπνία θαη απνξξίπηεηαη. Έηζη πξνθύπηεη ην εμήο παίγλην δηάζηαζεο 2 2: y 1 y Β1 Β2 x Α1 72 6 1 x Α2 58 91 Αο νλνκάζνπκε x ηελ πηζαλόηεηα ν παίθηεο Α (ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ) λα αθνινπζήζνπλ ηε ζηξαηεγηθή Α1, νπόηε (1-x) είλαη ε πηζαλόηεηα λα αθνινπζήζνπλ ηελ Α2. Οκνίσο, έζησ y ε πηζαλόηεηα ν Β (ΚΑΣΩ ΜΟΤΡΗΔ) λα αθνινπζήζνπλ ηε ζηξαηεγηθή Β1, νπόηε (1-y) είλαη ε πηζαλόηεηα λα αθνινπζήζνπλ ηε ζηξαηεγηθή Β2. Έηζη, έρνπκε ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ V(ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ, B1) = 72x 58(1 x) 14x 58 V(ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ, B2) = 6x 91(1 x) 31x 91

Θέηνληαο V(ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ, B1) = V(ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ, B2) έρνπκε 14x 58 = 31x 91 11 x.73 4 1 x 11 Ζ αμία ηνπ παηγλίνπ βξίζθεηαη κε αληηθαηάζηαζε ηεο ηηκήο x, είηε ζηε V(ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ, B1), 124 είηε ζηε V(ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ, B2) θαη είλαη ίζε κε V 68.27. ΚΑΣΩ ΜΟΤΡΗΔ V(ΚΑΣΩ ΜΟΤΡΗΔ, A1) = 72y 6*(1 y) 12y 6 V(ΚΑΣΩ ΜΟΤΡΗΔ, A2) =58y 91(1 y) 33y 91 Θέηνληαο V(ΚΑΣΩ ΜΟΤΡΗΔ, A1) = V(ΚΑΣΩ ΜΟΤΡΗΔ, A2) βξίζθνπκε: 31 y.689 45 14 1 y 45 σνοψίζονηας, ην απνηέιεζκα είλαη ην εμήο : 11 4 Μεηθηή ζηξαηεγηθή γηα ηηο ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ: 31 14 Μεηθηή ζηξαηεγηθή γηα ηελ ΚΑΣΩ ΜΟΤΡΗΔ: 45 45 124 Σηκή ηνπ παηγλίνπ V 68.27. Οη ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ καθξνπξόζεζκα αλακέλεηαη λα πεηπραίλνπλ 68.27 πόληνπο ζε θάζε αλακέηξεζε κε ηηο ΚΑΣΩ ΜΟΤΡΗΔ.