A) práca, mechanická energia

A) práca, mechanická energia (MMF, s. 95) 1. Vypočítajte prácu, ktorú vykoná sila pri urýchlení telesa z 0 na rýchlosť v. Uvažujte nasledovné sily: 1 a) F konšt. mv 1 b) F k.t mv 1 c) F F 0 + k.x mv (MMF, s. 135). Vypočítajte prácu, ktorú vykonala sila F [ xy,, y x ] B [ 1,1,5 ] :, keď premiestnila teleso z bodu [ 0,0,5] A do bodu 7 a) po parabole, 4 5 b) po priamke. 3 (Hajko, II/69) 3. Guľa pláva v kvapaline s hustotou ρ tak, že je do polovice ponorená. Aká práca sa vykoná pri vytiahnutí gule nad hladinu? Polomer gule je R. 5 πr 4 ρ.g 1 (N 010/011, ) 4. Vypočítajte prácu potrebnú na vytiahnutie kocky so stranou dĺžky a a hustotou ρ k z vody v nádobe s obsahom podstavy S a. Na začiatku sa horná podstava kocky práve dotýka hladiny. Hustota vody je ρ v. 1 4 a g 4 ( ρ ρ ) k v verzia ZS 01 1/1

(N 000/001, 5) 5. V nádobe s prierezom S m pláva ponorená polovicou svojho objemu kocka s dĺžkou hrany a 1 m. Akú prácu je potrebné vykonať na jej vytiahnutie z vody s hustotou ρ 0? (Pri tomto vyťahovaní predpokladajte po celý čas hornú stenu kocky vodorovnú.) ρ 0 ga 16 4 65J (N 007/008, 18) 6. Akvárium v tvare kocky so stranou dĺžky a bez hornej podstavy je do polovice naplnené vodou s hustotou ρ. Akú prácu musíme vykonať na vyliatie vody preklopením akvária? Hmotnosť akvária zanedbajte. 4 ρa 4 g 3 4 (N 001/00, 38) 7. Kocka s dĺžkou hrany a je položená na vodorovnej podložke. Chceme ju premiestniť do vzdialenosti a. Pri akom najväčšom koeficiente šmykového trenia μ medzi kockou a podložkou vykonáme pri ťahaní kocky po podložke menšiu prácu než pri prevaľovaní? µ 1 8. Zo studne ťaháme vedro s počiatočnou hmotnosťou m 0 konštantnou veľkosťou rýchlosti v. Vedro je deravé a vyteká nám μ kg vody za sekundu. Akú prácu vykonáme, keď vedro zdvihneme do výšky h? 1 h m0 gh µ. g v (N 010/011, 30) 9. Aká môže byť hustota paličky, aby na vode plávala tak, ako ukazuje obrázok? (Inak povedané, pre aké hustoty paličky je táto poloha stabilná?) [z energetických úvah vyplýva, že pre žiadne] verzia ZS 01 /1

(N 1999/000, 7) 10. Dva červy s rovnakou hmotnosťou lezú cez 10 cm vysokú veľmi tenkú stenu. Jeden z nich je 0 cm dlhý, druhý má dĺžku 10 cm. Aký je pomer medzi prácou, ktorú pri preliezaní steny vykoná dlhší červ a prácou vykonanou kratším červom? [:3 v prospech dlhšieho červa] (N 003/004, 1) 11. Tank sa pohybuje veľkosťou rýchlosti v. Aká je kinetická energia jedného jeho pásu s hmotnosťou m, ak pás tvorí obdĺžnik dlhý a a vysoký b? [ mv ] (N 001/00, 19) 1. Aký je pomer kinetickej a potenciálnej energie telesa, konajúceho harmonický kmitavý pohyb, v okamihu, keď je od rovnovážnej polohy vzdialené štvrtinu amplitúdy? [15 : 1] (N 004/005, 41) 13. Lyžiar sa kĺže dole po svahu, ktorý má tvar paraboly s rovnicou y x. Na začiatku sa lyžiar nachádza v bode [-3, 9], pričom je v pokoji. Vplyvom gravitácie sa lyžiar začne pohybovať. Koeficient šmykového trenia medzi lyžami a svahom je μ 0,4. Odpor vzduchu zanedbajte. Akú rýchlosť bude mať lyžiar v bode [-1, 1]? Všetky číselné údaje sú v metroch. [11,89 m.s -1 ] (N 008/009, 18) 14. Na naklonenej rovine so sklonom α rastie koeficient šmykového trenia lineárne podľa vzťahu f kl, kde L je vzdialenosť od vrchu roviny. Akú dráhu prejde teleso spustené z vrchu roviny, kým zastane? tgα L k verzia ZS 01 3/1

15. Hmotný bod hmotnosti m sa pohybuje v trubici v tvare kružnice s polomerom R postavenej vertikálne v tiažovom poli. Pri pohybe v trubici naň pôsobí konštantná odporová sila F t. Akú začiatočnú veľkosť rýchlosti v 0 musíme minimálne udeliť hmotnému bodu a) aby sa vrátil do začiatočnej polohy a v nej zostal, v 0 4πRF m t b) aby sa zastavil v najspodnejšom bode trubice. v 0 ( πrf mg R) t m 16. Nízky valček leží na naklonenej rovine, ktorá zviera uhol θ s vodorovnou rovinou. Pokusom sme zistili, že pre uhol sklonu nad 13 začne valček kĺzať. Koeficient šmykového trenia medzi valčekom a rovinou je μ D. a) Aký je koeficient statického trenia μ S medzi valčekom a podložkou. [ µ tgθ 0,3] b) Akú prácu vykoná tiažová sila za 1 sekundu pohybu. A G mg sinθ. ( sinθ µ cosθ ) c) Akú prácu vykoná trecia (dynamická) sila za 1 sekundu pohybu. 1 1 F tr mg µ D cosθ. D cosθ S D ( sinθ µ ) 17. Kváder s hmotnosťou m bol na začiatku v pokoji a potom ho bez trenia ťaháme lanom po naklonenej rovine. Keď kváder prešiel vzdialenosť L a zdvihol sa do výšky h nad počiatočnú úroveň, ťahanie skončilo. Akú prácu vykonala tiažová sila? [- mgh] 18. Kváder sa pohybuje bez trenia smerom k človeku, ktorý sa ho snaží zastaviť silou F i + ( 6) j a ustupuje pred ním. Kváder sa pritom posunie o vektor a 3i. a) Akú prácu vykonala sila F? [- 6] b) Aká bude kinetická energia kvádra, keď na začiatku bola E K 10 J? [4 J] verzia ZS 01 4/1

(N 009/010, 41) 19. (*) Vnútri hladkej rúrky tvaru štvrťkruhu s polomerom r je špagát, ako to zobrazuje obrázok. Určite jeho veľkosť zrýchlenia v prvom okamihu. g π (N 000/001, 14) 0. (*) Na naklonenej rovine so sklonom α 45 je priviazaná niť dĺžky L s malým závažím na konci. Ak ho z rovnovážnej polohy vychýlime o uhol β 0 a pustíme, prekmitne do polohy s maximálnou výchylkou veľkosti β 0 /. Aká je veľkosť koeficientu trenia f medzi závažím a podložkou? f β 0 cos cos β 3β 0 (FX, A4) 1. (**) Katka si medzi poličkou a stolom postavila most. Most je tvorený ľahkými tyčami voľne spojenými kĺbmi tak, ako na obrázku. Dĺžky šikmých a vodorovných tyčí sú v pomere 5:6. V bode E je zavesené závažie s hmotnosťou m. Ktoré z tyčí môže Katka nahradiť ohybnými väzbami, t.j. napríklad pevným špagátom rovnakej dĺžky? Akou silou je namáhaná tyč BD? (HINT: využite [napríklad] princíp virtuálnych prác) mg verzia ZS 01 5/1

B) výkon (N 1999/000, 36). Fontána strieka vodu do výšky H. Vo vzduchu je vždy naraz M kilogramov vody. Aký je výkon čerpadla fontány? Mg Hg (N 008/009, 6) 3. Závodný cyklista Filip fičí po vodorovnej ceste na optimálnom prevode veľkosťou rýchlosti v 1. Ak ide dolu kopcom so sklonom α, na optimálnom prevode vie ísť s rovnakou námahou až veľkosťou rýchlosti v. Hmotnosť cyklistu je m, bicykluje stále v rovnakej polohe a valivé trenie na jeho cestnom bicykli môžeme zanedbať. Aký výkon pri bicyklovaní podáva? Odporová sila je úmerná v. mgv v v1 3 3 sinα 1 4. Auto o hmotnosti m sa rozbieha z pokoja tak, že výkon P je konštantný. Určite závislosť veľkosti zrýchlenia, veľkosti rýchlosti a polohy na čase. v Pt ; a m P ; s m. t 3 Pt m 3 5. Auto s hmotnosťou m ide pri maximálnom (a teda konštantnom) výkone do kopca veľkosťou rýchlosti v 1 95 km.h -1. Dolu z rovnakého kopca ide pri plnom výkone veľkosťou rýchlosti v 16 km.h -1. Akou veľkosťou rýchlosti pôjde auto po rovine? Odporová sila je úmerná v. v 3 ( v + v ) 1 v 1 + v. v v 1 18km. h 1 verzia ZS 01 6/1

C) zákony zachovania (N 009/010, 18) 6. Filip, nadšený športovým spravodajstvom, sníva sen o kariére futbalistu. V návale entuziazmu vyšiel na útes čnejúci sa vo výške h nad inak rovným terénom a vykopol odtiaľ loptu vodorovným smerom veľkosťou rýchlosti v 0. Aká bude veľkosť rýchlosti lopty bezprostredne pred dopadom? Odpor vzduchu zanedbajte. v + gh 0 (N 000/001, 8; N 004/005, 5 tu je otázka na prečnievajúcu dĺžku retiazky) 7. Homogénna retiazka dĺžky l leží na hladkom stole, pričom malý kúsok zo stola prečnieva. Na začiatku ešte retiazku držíme, ale keď ju pustíme, začne sa zo stola skĺzavať (trenie neuvažujte). Nájdite veľkosť rýchlosti retiazky v okamihu, keď zo stola prečnieva dĺžka x. x g l (N 000/001, 3) 8. Na vrchu oblej časti polvalca s polomerom R sa nachádza malé teliesko s hmotnosťou m. Jemne do telieska strčíme. Po prejdení akej dráhy sa odlepí z povrchu polvalca? R arccos 3 (N 005/006, 10) 9. Dolu naklonenou rovinou so sklonom α 30 sa bez trenia šmýka malé teliesko. Keď sa po prekonaní výškového rozdielu h 1 m došmýka na jej úpätie, pružne sa odrazí od vodorovného povrchu a ďalej sa pohybuje ako pri šikmom vrhu. Do akej vzdialenosti od úpätia naklonenej roviny toto teliesko dopadne? [ hsin( α ) 1, 73m] verzia ZS 01 7/1

(N 007/008, 1) 30. Korálik hmotnosti m je navlečený na zvislo upevnenej kruhovej obruči, po ktorej sa môže pohybovať bez trenia. Koráliku udelíme takú rýchlosť, aby jedným smerom obiehal po obruči, ale v najvyššom bode na ňu nepôsobil žiadnou silou. Akou veľkosťou sily pôsobí korálik na obruč v najnižšom bode svojej dráhy? [ 6mg ] (N 008/009, 9) 31. Lietadlá pristávajúce na lietadlovú loď sa kedysi brzdili pomocou mechanizmu lán a oceľových pružín. Predstavte si pristávajúce lietadlo s hmotnosťou m a veľkosťou rýchlosti v, ktoré sa podvozkom zaprie kolmo do stredu pružiny natiahnutej na dĺžku L. Ak je pokojová dĺžka pružiny nulová, aká musí byť jej tuhosť, aby lietadlo zastavila na brzdnej dráhe d? mv 4d (N 00/003, ) 3. Na kladke o polomere R a zanedbateľnej hmotnosti je zavesené lano o hmotnosti m a dĺžky l» R tak, že je v rovnováhe. Ak rovnováhu narušíme, lano sa začne pohybovať. Aká je rýchlosť padania lana v okamihu, keď lano opúšťa kladku? g.l (N 00/003, 17) 33. Na konci nite dĺžky l je guľka s hmotnosťou m. Guľku odkloníme o uhol π/ a pustíme. Na akej najmenšej vzdialenosti x pod bodom úchytu treba umiestniť klinec, aby sa niť nepretrhla, ak vydrží maximálnu ťahovú silu T m? x mg l 1 T m verzia ZS 01 8/1

(N 00/003, 47) 34. Guľôčka s hmotnosťou m voľne visí na špagáte dĺžky l. Druhý koniec špagátu než ten, na ktorom je gulička, chytíme a začneme ho ťahať vo vodorovnom smere veľkosťou rýchlosti v. Aký maximálny uhol α bude zvierať špagát so zvislicou počas tohto pohybu? v cosα 1 gl (N 004/005, 4) 35. Akou veľkosťou rýchlosti sa pôvodne pohybovala bomba, ktorá sa po výbuchu rozletela na tri kusy, letiace podľa obrázka? Kusy majú hmotnosti m 1, m a m 3, ich rýchlosti sú zakreslené na obrázku. (HINT: Úlohu riešte graficky [t.j. priamo do zadania znázornite výslednú rýchlosť].) [ ] (N 004/005, 15) 36. Pravítko dĺžky d voľne visí vo výške h nad podložkou, v ktorej je malý otvor (h je výška nižšieho konca pravítka nad podložkou). Pravítko pustíme. Čas, ktorý pravítko letí otvorom, je t. Určite výšku h. h ( d gt ) 8gt (N 004/005, 16) 37. Teleso s hmotnosťou m sa bez trenia kĺže po šmykľavke (na obrázku), ktorá má ukončenie v tvare kruhu s polomerom R. Z akej najmenšej výšky h musíme teleso spustiť, aby sa dostalo až na najvyšší bod kruhového zakončenia? 5 h R verzia ZS 01 9/1

(N 004/005, 17) 38. Na dne nádoby s hĺbkou h, ktorá je naplnená vodou s hustotou ρ držíme pingpongovú loptičku s hmotnosťou m a objemom V, ktorý je oveľa menší ako objem nádoby. Ak loptičku pustíme, začne sa pod vplyvom vztlakovej sily rýchlo pohybovať smerom nahor. Do akej maximálnej výšky h m vyskočí loptička nad hladinu? Odpor vody a vzduchu zanedbajte. ρv h m 1 h m (N 004/005, 35) 39. Akú veľkosť rýchlosti musí mať teleso v bode A, aby dopadlo do bodu B, ak sa nachádza vo výške h nad povrchom planéty? Hmotnosť planéty je M, jej polomer je R. v κmr A ( R + h)( R + h) (N 001/00, 16) 40. Tarzan stojí na okraji brala v rukách zviera svoju lianu dĺžky R. Húpe sa na nej tak, že najnižší bod jeho trajektórie je o h metrov nižšie ako bralo, na ktorom Tarzan stál. Aká musí byť najmenšia pevnosť liany, pri ktorej táto nepraskne a udrží kráľa pralesa pri jeho lete? Hmotnosť Tarzana je m. mg h R +1 (N 001/00, 7 zlé vzorové riešenie) 41. Šialený bungeejumper si vybral na svoj skok lano s neznámou dĺžkou (meranou bez záťaže). Skočil z mosta vo výške h nad cestou. Lano ho ubrzdilo iba tesne pred tvrdým dopadom na betón. Keď ním lano prestalo horedolu hompáľať, ostal visieť vo výške y nad cestou. Aká bude dĺžka lana l? [ l h( h y) ] verzia ZS 01 10/1

(N 001/00, 39) 4. Na vodorovnej podložke sú položené závažia hmotností m, ktoré sú spojené pružinou tuhosti k. Závažiu 1 udelíme veľkosť rýchlosti v smerom od závažia 1. Aký musí byť koeficient statického trenia závaží o podložku, aby sa závažie počas pohybu závažia 1 nepohlo? µ kv 3mg (N 001/00, 40; podobné aj FKS 1999/000, A-4.) 43. Na stole leží guľôčka s hmotnosťou m, ku ktorej je pripevnená pružinka tuhosti k. Pružinku začneme dvíhať za voľný koniec kolmo nahor veľkosťou rýchlosti v. Nájdite maximálne predĺženie pružinky počas pohybu, ak jej počiatočná deformácia bola nulová. mg k + v m k (Hajko, II/117) 44. Aké množstvo paliva m p musí obsahovať jednoduchá jednostupňová raketa, aby mohla dosiahnuť po spálení všetkého paliva prvú kozmickú rýchlosť, keď hmotnosť rakety bez paliva je m k 100 kg a keď relatívna výtoková rýchlosť plynov vznikajúcich pri spaľovaní paliva je v r 3 000 m.s -1? v k m p mk exp 1 19kg vr (doc. Ševčík, analogické ako Hajko, III/115 45. Tučniak hmotnosti m sa nachádza na saniach hmotnosti M a dĺžky l, ktoré sú na dokonale hladkom ľade. Tučniak prejde z jednej strany saní na druhú. O akú vzdialenosť sa pohnú počas jeho pohybu sane? ml m + M verzia ZS 01 11/1

(N 001/00, 43) 46. (*) Družica obieha okolo Zeme po kruhovej dráhe vo vzdialenosti R od jej stredu. Narazí do nej meteoroid s hmotnosťou desaťnásobne menšou voči hmotnosti družice, a to tak, že jeho rýchlosť je kolmá na rýchlosť družice a po zrážke v družici uviazne. V dôsledku zrážky sa nová dráha družice približuje k stredu Zeme na najmenšiu vzdialenosť R/. Aká bola rýchlosť meteoroidu? (N 001/00, 46) 58κM R 47. (*) Na horizontálnej rovine ležia dva kliny s uhlami sklonu α 45, každý s hmotnosťou M (viď obrázok). Z výšky h 0 voľne padá guľôčka s hmotnosťou m, ktorá narazí najprv na šikmú plochu jedného klina a na druhom kline sa odrazí vertikálne nahor. Nájdite výšku, do ktorej guľôčka po tomto náraze vystúpi. Predpokladajte, že oba nárazy sú dokonale pružné, trenie medzi klinmi a rovinou možno zanedbať. M M m + m h 0 verzia ZS 01 1/1